第四章弯曲内力
合集下载
材料力学课件04弯曲内力
影响线的绘制方法
静力法
通过平衡条件，将单位集中荷载作用 于简支梁上，绘制弯矩图或剪力图。
机动法
利用梁的微段运动特性，通过几何关 系绘制影响线。
影响线的应用实例
确定最不利荷载位置
通过比较不同位置的荷载值，确定最不利荷载位置，以便进行结 构设计。
校核承载能力
根据影响线确定最不利荷载位置的弯矩值，校核梁的承载能力是否 满足设计要求。
02
在桥梁、建筑、机械等领域中，需要根据剪力和弯矩的分布规律进行结构设计， 确保结构的承载能力和稳定性。同时，在设计过程中还需要考虑材料的力学性能 、施工方法等因素，以满足工程实际需求。
剪力和弯矩的分布规律实验验证
为了验证剪力和弯矩的分布规律，需 要进行相关的实验验证。通过实验可 以测量梁在不同弯曲程度下的剪力和 弯矩值，并与理论分析结果进行比较 。
集中载荷下的简化和计算
总结词
集中载荷作用下，弯曲内力可以直接通过载 荷和支撑反力计算。
详细描述
在集中载荷作用下，梁的弯曲内力可以通过 将载荷与支撑反力相乘得到。这种方法适用 于载荷作用点明确的情况，计算过程简单明 了。
特殊情况下的简化和计算
要点一
总结词
某些特殊情况下，可以利用梁的对称性和载荷特性简化弯 曲内力的计算。
03
弯曲内力的大小与梁的截面尺寸、形状、材料属性 以及外力矩的大小和方向有关。
弯曲内力的类型
正应力
垂直于截面的应力，主要引起梁的弯曲变形 。
剪应力
与截面相切的应力过程中，梁截面上同时存在正应力和 剪应力，其中对梁的强度和稳定性影响最大 的应力。
弯曲内力分析的重要性
弯矩
由于弯曲变形产生的内力矩，其分布规律与梁的截面形状和弯曲方式有关。在梁的中部，弯矩通常为 负值，表示梁的上侧受压、下侧受拉；在梁的支座处，弯矩通常为正值，表示梁的上侧受拉、下侧受 压。
4弯曲内力
a A x
m m F
b B
解： 1、根据平衡条件求支座反力
Fb FAy , L
Fa FBy L
L
m
FAy
A o x
FBy
2、截取m-m截面左段。 剪力 FS——与截面相切的内力 弯矩M —— 截面内的约束力偶
M
m
FAy
FS
m
求解
M
A
o
FAy
x
m
FS
Fb 由 Fy 0, 得到： FS FAy L Fb 由 MO 0, 得到： M FAy x x L
x
DB段
取x截面，右段受力如图。
Q ( x ) q ( 2 .4 x ) RB 19 10 x (1.2 x 2.4 m) 1 2 M ( x ) R A ( 2 . 4 x ) q ( 2 .4 x ) 2 2 (1.2 x 2.4 m) 12 5 x 5( 2 .4 x )
M ( x) dM
F
y
0
FS ( x) q( x)dx [ FS ( x) dFS ] 0
dFS ( x) q( x) dx
由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相
应点处的载荷集度q。
M ( x)
FS ( x)
FS ( x) dFS
C
M ( x) dM
M
1 2 qa 8
注意：必须标明控制
截面上的内力值
(+)
qa 2
M 图
例4-3悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 在截面位置。 解： 取参考坐标系Axy。
m m F
b B
解： 1、根据平衡条件求支座反力
Fb FAy , L
Fa FBy L
L
m
FAy
A o x
FBy
2、截取m-m截面左段。 剪力 FS——与截面相切的内力 弯矩M —— 截面内的约束力偶
M
m
FAy
FS
m
求解
M
A
o
FAy
x
m
FS
Fb 由 Fy 0, 得到： FS FAy L Fb 由 MO 0, 得到： M FAy x x L
x
DB段
取x截面，右段受力如图。
Q ( x ) q ( 2 .4 x ) RB 19 10 x (1.2 x 2.4 m) 1 2 M ( x ) R A ( 2 . 4 x ) q ( 2 .4 x ) 2 2 (1.2 x 2.4 m) 12 5 x 5( 2 .4 x )
M ( x) dM
F
y
0
FS ( x) q( x)dx [ FS ( x) dFS ] 0
dFS ( x) q( x) dx
由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相
应点处的载荷集度q。
M ( x)
FS ( x)
FS ( x) dFS
C
M ( x) dM
M
1 2 qa 8
注意：必须标明控制
截面上的内力值
(+)
qa 2
M 图
例4-3悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 在截面位置。 解： 取参考坐标系Axy。
材料力学第四章 弯曲内力
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
第四章弯曲内力课件
例3 求图示梁1－1，2－2截面的内力。 P=3kN A 2m
m2=6kNm m1=2kNm 1 2 q=1kN/m 1
B 2 1m RB=4kN 2m 2m
1m RA=5kN 2m
解：(1) 求反力
RA 5kN
RB 4kN
P=3kN
m2=6kNm m1=2kNm 1 2 q=1kN/m
依方程画出剪力图和弯矩图。
FS ( x ) F M ( x ) Fx
(0 x l ) (0 x l )
F
A x l B
FS
x
M
F
x
q
x q x
FS l
例题6 悬臂梁受均布载荷作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画出 剪力图和弯矩图。
M x
解 ： 任选一截面 x ，写出剪力
和弯矩 方程
FS x
M ＝0， M ＝0
B
M
M x1 ＝Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝ Fa / l a x2 l M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
依方程画出剪力图和弯矩图。
3.
a
M
b
A
FAY
x1
M /l
C
l
x2
B
x
O
O
例题5 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此
梁的剪力图和弯矩图. 解 (1) 将坐标原点取在梁的左端，
列出梁的剪力方程 和弯矩方程
F
B x l
A
FS ( x ) F M ( x ) Fx
(0 x l ) (0 x l )
F SA左 0
第4章 弯曲内力
§4.3 剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图
一、剪力方程和弯矩方程
在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截
面的位置而变化。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
F
B
D
1m 1m
2m
1m 1m
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
FQ FQ (x), M M (x)
称为剪力方程和弯矩方程
x
AB段:
a
B a
Cx
FQ (x) 0 (0 x a)M (x) m a (0 x a)BC段:
m=Pa P
FQ (x) P (a x 2a) M (x) m P(x a)
A
xB a
a
2Pa Px (a x 2a)
2、作梁的剪力图和弯矩图
3、求
FQ
和M
max
max
第四章 弯曲内力
目录
§4-1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
§4.1.1 平面 弯曲的概念
起重机大梁
q
P
A
B
工程实际中的弯曲问题
P
P
P
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
受力特点：在构件的纵向对称平面内，受 到垂直于梁的轴线的力或力偶作用，使构 件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的 弯曲称为平面弯曲。
内力偶M是与横截面垂直的内力系的合
力偶矩，有使梁产生弯曲的趋势，故称 力偶矩M弯矩。
4.2.3 剪力与弯矩正负号规定
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。
剪力Q ：截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为 顺时针转向时，剪力为正；反之为负。 概括 为“左段下右段上，剪力为正”。
第四章 弯曲内力
（3）画剪力图和弯矩图
(a x l )
Pb l
M max Pab l
x
FS max
例5
画出图示梁的FS图和M图。
y
A
RA
（1）先求出约束反力： 解：
a
x
C x
M
b
（2）剪力方程和弯矩方程：
M RA l
M RB l
B
x
l
RB
M l Ma l
AC段： FS M FS1 ( x) RA (0 x a ) l Mx M 1 ( x) R A x (0 x a ) l CB段： M (a x l ) M FS 2 ( x) RA l M M 2 ( x) R A x M xM l (a x l )
0 x3
x
M ( x) P(4 x) 3(4 x) 3 x 4
（3）作剪力和弯矩图；
x
3kN m
dM ( x) 2 2x 0 dx
当 x 1m 时
M | x1m 1kN m
—— 极值点
§4. 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
图示简支梁，建立如图坐标系。 约定： 分布力q向上为正，向下为负。
M | x 0 0
—— 斜直线 1 2 M | x l ql 2 —— 二次抛物线
x
ql 2 2
FS
max
ql
M
max
ql 2 2
例4
画出图示梁的FS图和M图。
y
（1）先求出约束反力： 解：
a
A
P
C x l
Pb l Pa l
Pab l
第四章 弯曲内力(土建)
qdx dFS
dFS q dx
28
q
A
x dx
C
B M FS C dx M + dM FS + dFS
1 FSdx q(dx) 2 M [M dM ] 0 2 dM FS 略去高阶微量得： dx
dFS d 2 M q 2 dx dx
29
M
0,
(1) 当q = 0 ，FS =常数， FS 图为水平直线； M 为一次函数，M 图为斜直线；
即可画出剪力图和弯矩图。
30
不同载荷q作用下剪力图和弯矩图的特征
31
突 变 规 律(从左向右画)
1、集中力作用处，FS图突变，方
向、大小与力同；M图斜率突 变，突变成的尖角与集中力F的 箭头是同向。
2、集中力偶作用处，M图发生
突变，顺下逆上，大小与M 同，FS图不发生变化。
32
根据M、FS与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤 1. 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； 2. 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布载荷 两端，支座处都应取作分段点； 3. 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由FS = 0 确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯 矩值；
的弯矩为正，反之为负。
12
FS ⊕
FS FS
－ ○
FS M
⊕
MM
－ ○
M
剪力正负的规定 内力通过平衡方程计算。 x A D FSD MD C
弯矩正负的规定
F M
y
0; FAy FSD 0,
FSD FAy
FAy
C
0; M D FAy x 0,
四章弯曲内力
§4-4 剪力图和弯矩图
例题5-2
q
悬臂梁受均布载荷作用。
x
l
q
试写出剪力和弯矩方程，并
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
x
FS
M x
剪力和弯矩 方程
FS x＝qx
0 x l
FS x
ql
M x＝qx2 / 2 0 x l
依方程画出剪力图和弯矩图
Ma / l
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
2．写出剪力和弯矩方程
AC FS x1＝M / l 0 x1 a
M x1＝Mx1 / l 0 x1 a
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
d
2M (x) dx2
dFs (x) dx
q(x)
5
目录
26
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
载荷集度、剪力和弯矩关系：
d 2M (x) dx2
dFs (x) dx
q(x)
1. q＝0，Fs=常数， 剪力图为直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。
2.q＝常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
F
FBy
第4章弯曲内力
第4章 弯曲内力杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bending ）。
主要承受弯曲的杆件称为梁（beam ）。
在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种内力。
在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的。
对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发生强度破坏，这些横截面称为危险面。
弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。
研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但是也必须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化的。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；然后根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图与弯矩图，再讨论载荷、剪力、弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用。
§4－1弯曲问题的力学模型与工程实例4－1－1工程中承受弯曲的杆件及其力学模型为了便于工程设计与计算，将所有承受弯曲变形或主要承受弯曲变形的杆件进行符合实际的简化，形成力学模型－梁。
常见的静定梁，按照不同的支承，分为以下三种类型：1．简支梁(simple supported beam)：梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（辊轴支座），如图4－1所示。
2．悬臂梁(cantilever beam)：梁的一端固定，另一端自由，如图4－2所示。
AB 固定铰支座辊轴支座图4－1 简支梁固定端图4－2 悬臂梁AB辊轴支座AB固定铰支座辊轴支座A BC固定铰支座外伸端1(b)(c)(a)图4－3 外伸梁3．外伸梁(overhanding beam)：简支梁的一端或两端伸出支座之外，图4－3a 所示为两端外伸梁；图4－3b 、c 所示为一端外伸梁。
作用在梁上的外力有主动力和被动力。
主动力主要是施加在梁上的各载荷；被动力主要是约束力。
作用在梁上的力可以是集中力、分布力，也可以是力偶。
工程中可以简化为梁的杆件是很多的。
图4－4a 所示桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。
第四章 弯曲内力
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图 2.梁的计算简图
(3) 载荷简化 ②分布力 q — 均布力 均布力 q(x) — 分布力
③集中力偶、分布力偶 集中力偶、 M — 集中力偶 m — 分布力偶
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图 2.梁的计算简图
(4) 支座简化
A
① 固定铰支座 2个约束，1个自由度. 个约束， 个自由度. 如：桥梁下的固定支座，止 桥梁下的固定支座， 推滚珠轴承等. 推滚珠轴承等.
第四章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
§4–1 工程实际中的弯曲问题 §4–2 剪力和弯矩 §4–3 剪力图和弯矩图 剪力、 §4–4 剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系
第四章 弯曲内力
【本章学习目的】
1. 了解平面弯曲的概念 2. 能够列出剪力方程和弯矩方程 掌握剪力、 3. 掌握剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系 4. 熟练绘制剪力图和弯矩图
F FA = FB = 2
（2）列内力方程 ）
F FS1 = FA = 2 F M1 = FA x1 = x1 2
内力图对称中垂线. 内力图对称中垂线
( 0 < x1 < a ) ( 0 ≤ x1 ≤ a )
M max Fl = 4
FS max
F = 2
§4–3 剪力图和弯矩图 简支梁，受集中力偶M 作用，作内力图. 例4-5 简支梁，受集中力偶 e作用，作内力图 解： （1）求支座反力 ）
( 0 < x1 < a ) ( 0 ≤ x1 ≤ a ) ( 0 < x2 < b ) ( 0 ≤ x2 ≤ b )
Fa Fab = M max = l l
（3）根据方程作内力图 FS max ）
第4章弯曲内力
第4章 弯曲内力杆件在外力作用下，横截面上将产生轴力、剪力、扭矩、弯矩等内力分量。
在很多情况下，内力分量沿杆件的长度方向分布不是均匀的。
研究强度问题，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面，内力分量最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。
为了确定内力分量最大的横截面，必须知道内力分量沿着杆件的长度方向是如何分布的，杆件的内力图就是表示内力分量变化的图形。
4.1 基本概念和基本方法4.1.1 整体平衡与局部平衡确定外力作用下杆件横截面上的内力分量，重要的是正确应用平衡的概念和平衡的方法。
这一点与静力分析中的概念和方法相似，但又不完全相同，主要区别在于：在静力分析中只涉及整个系统或单个构件的平衡，不仅要涉及构件系统以及单个构件的平衡，而且还要涉及构件的局部平衡，因此，需要将平衡的概念加以扩展和延伸。
弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。
前者称为整体平衡或总体平衡(overall equilibrium)，后者称为局部平衡(local equilibrium)。
整体是指杆件所代表的某一构件，局部是指可以是用一截面将杆截成的两部分中的任一部分，也可是无限接近的两个截面所截出的一微段，还可以是围绕某一点截取的微元或微元的局部。
这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用于弹性杆件，而且适用于所有弹性体，因而可以称为弹性体平衡原理(equilibrium principle for elastic body)。
4.1.2 内力与外力的关系应用截面法，可以求出杆件任意截面上的内力，其内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡。
我们可以发现，当杆件上的外力(包括载荷与约束力)沿杆的轴线方向发生突变时，内力也将发生改变。
外力突变是指有集中力、集中力偶作用，或者分载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。
外力改变，内力随之改变，如果两个外力作用点之间的杆件上没有其他外力作用，则这一段杆件所有横截面上的内力都一样，可以用一个数学方程或同一曲线描述。
材料力学课件ppt-4弯曲内力
2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
第四章弯曲内力
§4.3 剪力和弯矩
材料力学
一.弯曲内力的含义
设有一简支梁AB，受集中力F作用。现 分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。
a mF b
A
B
xm L
材料力学
a mF b
A
F Ay
A F Ay
xm L
m
oM
x
Fs
m
材料力学
1.根据平衡条件求支座反力
Fb
Fa
B
FAy L
FBy L
FBy 2.求m-m截面上的内力
材料力学
M 2Pa - Px (a x 2a)
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
2.作梁的剪力图和弯矩图
AB段：
FS ( x) 0 M Pa
m=Pa
P
A
(0 x a)
(0 x a)
B
C
a
a
BC段：
FS ( x) P M 2Pa - Px
(a x 2a)
剪力图： Fs
x
弯矩图： M
x
材料力学
绘制剪力图和弯矩图的注意事项：
1.横坐标要与杆件长度相对应； 2.纵坐标要标明数值大小及正负; 3.纵坐标大小要成比例； 4.是一条连续的图线，不能间断； 5.在图上要画出阴影线.
材料力学
练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力 方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图， 并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
Fy 0
q
M
Fs q 2a FBy 0
C
Fs
材料力学
一.弯曲内力的含义
设有一简支梁AB，受集中力F作用。现 分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。
a mF b
A
B
xm L
材料力学
a mF b
A
F Ay
A F Ay
xm L
m
oM
x
Fs
m
材料力学
1.根据平衡条件求支座反力
Fb
Fa
B
FAy L
FBy L
FBy 2.求m-m截面上的内力
材料力学
M 2Pa - Px (a x 2a)
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
2.作梁的剪力图和弯矩图
AB段：
FS ( x) 0 M Pa
m=Pa
P
A
(0 x a)
(0 x a)
B
C
a
a
BC段：
FS ( x) P M 2Pa - Px
(a x 2a)
剪力图： Fs
x
弯矩图： M
x
材料力学
绘制剪力图和弯矩图的注意事项：
1.横坐标要与杆件长度相对应； 2.纵坐标要标明数值大小及正负; 3.纵坐标大小要成比例； 4.是一条连续的图线，不能间断； 5.在图上要画出阴影线.
材料力学
练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力 方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图， 并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
Fy 0
q
M
Fs q 2a FBy 0
C
Fs
工程力学4第四章弯曲内力
M=±ΣM(Fi)左或右
例1： 已知 q=2 kN / m，求 1-1，2-2，3-3
截面上的内力。
y MA FA
1 1 2m 2 2
q
3
1m 31m
x
1-1 截面：FS = 2×2 = 4 kN，M = -2 ×2 ×3 = - 12 kN.m
2-2 截面：FS = 2×2 = 4 kN， M = -2 ×2 ×1 = - 4 kN.m 3-3 截面：FS = 2×1 = 2 kN， M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kN.m
第四章 弯曲内力
主讲:符春生
§4-1 概述
一、平面弯曲
外力特点:外力是垂直于杆轴线的 力,或作用在包含轴线在 内的平面内力偶。
变形特点:轴线弯成曲线。横截面 轴线
绕垂直于轴线的轴作相 对转动。
轴线
以弯曲为主要变形的杆——梁。
若外力或外力偶作用在纵向对称
面内，杆的轴线在此平面内弯成一平
面曲线——平面弯曲（对称弯曲）。
MA
q0
A
q(x)
B
( 2)
画剪力图和弯矩图
FA
x
l
q0 1 FS ( x) q( x)(l x) (l x)2 2 2l
q0l/2 Fs q0l2/6 +
1 1 q0 M ( x) q( x)(l x) (l x) (l x)3 2 3 6l
M
§4－4剪力、弯矩与荷载集度之间的关系
FS=－FB+F2 ＝ΣFi右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)－F2(l-x-b)
＝ΣM(Fi)右
材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
第4章 材料力学—弯曲内力
第四章 弯曲内力§4.1 弯曲的概念和实例 §4.2 受弯杆件的简化 §4.3 剪力和弯矩§4.4 剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图 §4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4.6 静定刚度及平面曲杆的弯曲内力§4.1 弯曲的概念和实例1．实例()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧轧板机的轧辊镗刀刀杆火车轮轴桥式起重机大梁4321 2．弯曲变形作用于杆件上的垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线，这种变形称为弯曲变形。
3．梁——凡以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁 4．对称弯曲：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧曲线向对称面内的一条平面弯曲变形后轴线成为纵对称面内所有外力都作用于纵向称轴的纵向对称面整个杆件有一个包含对横截面有一根对称轴4321§4.2 受弯杆件的简化根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。
计算简图以梁的轴线和支承来表示梁。
()()()⎪⎩⎪⎨⎧悬臂梁外伸梁简支梁梁的基本形式321:l 称为梁的跨度§4.3 剪力和弯矩（1）求反力：BA AB F F 00=∑M =∑M（2）求内力（截面法）一般来说截面上有剪力F S 和弯矩M （为平衡）001=--=∑s A y F F F F1F F F A S -=（a ）()0010=⋅--+=∑x F a x F M M A()a x F x F M--=（b ）（3）讨论一般说，在梁的截面上都有剪力F S 和弯矩M ，从式（a ）式（b ）可以看出，在数值上，剪力F S 等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线（y 轴）上投影的代数和；弯矩M 等于截面以左所有外力对截面形心取力矩的代数和，即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==左左ni i ni iS M M F F 11 同理，取截面右侧部分为研究对象：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==右右ni i ni iS M M F F 11 （4）剪力F S 和弯矩M 符号规定无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力F S 和弯矩M ，不但数值相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。
《材料力学》第四章 弯曲内力.ppt
列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。 解：（1）求支反力。
FRA 14.5kN, FRB 3.5kN,
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 分CA，AD，DB三段。
CA段
FS x qx 3x 0 x 2m
M x 1 qx2 3 x2 0 x 2m
§4.1 弯曲的概念和实例
杆的轴线将由原来的直线弯成 曲线，这种变形称为弯曲。受 力后以弯曲变形为主的杆件通 常称为梁。
受力特点：外力作用线垂直于杆 的轴线，或在通过杆轴的平面内 受到外力偶作用。 变形特点：直杆的横截面绕横向 轴转动，轴线将由原来的直线弯 成曲线。
全梁有对称面，并且 所有外力都作用在对称面 内的情形。在这种情形下 梁的轴线弯成位于对称平 面内的一条平面曲线，这 种弯曲属于平面弯曲。
FS
n n1 dx
FS+dFS
上述微分关系在绘制FS、M图中的应用结论。
1.梁上某段无载荷时，则该段FS图为水平线， M图为斜直线。
2.某段为均布载荷时，则FS图为斜直线，M图为抛物线。
dFS
剪力图
dx
d 2M dx2
弯矩图
分布载荷q<0时 0 递减(＼) 0 上凸 (╭╮)
分布载荷q>0时 0 递增(／)
0 下凸 (╰╯)
3.在集中力P作用处，剪力图为突变(突变值等于集中力P)， 弯矩图为折角。
4.在集中力偶m作用处，弯矩图有突变(突变值等于力偶矩m)， 剪力图没影响。
5.某截面FS=0，则在该截面弯矩图取极值。
二、用载荷集度、剪力和弯矩间的关系画剪力图与弯矩图
例4.6 外伸梁及其所受载荷如图a示，作梁的剪力图和弯矩图。
FRA 14.5kN, FRB 3.5kN,
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 分CA，AD，DB三段。
CA段
FS x qx 3x 0 x 2m
M x 1 qx2 3 x2 0 x 2m
§4.1 弯曲的概念和实例
杆的轴线将由原来的直线弯成 曲线，这种变形称为弯曲。受 力后以弯曲变形为主的杆件通 常称为梁。
受力特点：外力作用线垂直于杆 的轴线，或在通过杆轴的平面内 受到外力偶作用。 变形特点：直杆的横截面绕横向 轴转动，轴线将由原来的直线弯 成曲线。
全梁有对称面，并且 所有外力都作用在对称面 内的情形。在这种情形下 梁的轴线弯成位于对称平 面内的一条平面曲线，这 种弯曲属于平面弯曲。
FS
n n1 dx
FS+dFS
上述微分关系在绘制FS、M图中的应用结论。
1.梁上某段无载荷时，则该段FS图为水平线， M图为斜直线。
2.某段为均布载荷时，则FS图为斜直线，M图为抛物线。
dFS
剪力图
dx
d 2M dx2
弯矩图
分布载荷q<0时 0 递减(＼) 0 上凸 (╭╮)
分布载荷q>0时 0 递增(／)
0 下凸 (╰╯)
3.在集中力P作用处，剪力图为突变(突变值等于集中力P)， 弯矩图为折角。
4.在集中力偶m作用处，弯矩图有突变(突变值等于力偶矩m)， 剪力图没影响。
5.某截面FS=0，则在该截面弯矩图取极值。
二、用载荷集度、剪力和弯矩间的关系画剪力图与弯矩图
例4.6 外伸梁及其所受载荷如图a示，作梁的剪力图和弯矩图。
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3、x截面处必须是任意截面； 4、x截面处必须是远离外力的作用点；
5、写出x截面处的内力就是内力方程，
同时确定定义域。
例3、简支梁受均布载荷作用 写内力方程，并作内力图。
FAY
xC
l
(2)．写内力方程
FAY
x
(1)．确定约ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ反力
FBY
M A＝0 FBy＝ ql/2
Fy＝0 FAy＝ ql/2
FS x＝FAy qx 0 x l
外力的作用线与杆件的轴 线垂直；
弯曲变形的变形特点
轴线由直线变为曲线； 梁： 以弯曲变形为主的杆件。
对称弯曲
条件： 所有的载荷作用在纵向对称面内； 结果： 梁的轴线 是纵向对称面内的一条平面曲线。
对称弯曲的条件
•具有纵向对称面； •外力都作用在纵向对称面内； •梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。
FS
FBy
FS //A 剪力：
与横截面相切的分布内力系的合力；
M M A 弯矩：
与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。
二、内力的大小
1、剪力大小= 截面一侧所有外力的代数和。
M
Fy 0
FAy
FS
FS FAy F1
M FS
Fy 0
FS F2 F3 FAy FBy
内力的大小
2、弯矩大小= 截面一侧所有外力对求内力的截面形心之矩的 代数和。
对称弯曲
构件的几何形状、材料性能、 外力 均对称于杆件的纵向对称面；
常见构件的纵向对称面
§4-2 受弯杆的简化
1、梁本身的简化 以轴线代替；
2、载荷的简化
•集中载荷 •分布载荷 •集中力偶
3、支座简化 固定铰支座
支座简化 活动铰支座
支座简化 固定端
4、梁的基本形式—— 简支梁
钢轨约束
M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。
分布载荷向上（q > 0）， 抛物线呈凹弧； 下凸。 分布载荷向下（q < 0）， 抛物线呈凸弧; 上凸。
3、 剪力Fs=0处， 左右两侧剪力变号 弯矩取极值。
梁上作用集中力时
dx
Fs (x) P (Fs (x) Fs (x)) 0 M(x)
Fs (x) P
2F
a 2
3Fa 2
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
P
a
a
a
q
P
a
a
M＝qa2 q
a
a
P=2qa
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
q
a
2a
P=qa
a
a
a
M=qa2
§4-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩
一、内力方程： 任意截面处的内力表示为截面位置的函数； q 例1、悬臂梁上作用均布载荷
总结5、6
5、剪力连续变化 过零点： 弯矩取得极值；
6、集中力偶处 剪力图 不变；
ql / 2
FS
ql 2 / 8
M
ql / 2
x
弯矩图 突变； 突变量 =外力偶矩的大小； 突变的方向
aMb
FS M / l
M /l
x
从左向右画，顺时针的外力偶引起弯 M
Ma / l
矩图的上突；
x
Mb / l
练习：写出下列各梁的内力方程、并作内力图
M
x＝FAy
x
qx
x 2
0 x l
(3)、作内力图
FS ql / 2
a/2
ql 2 / 8
M
FS x＝ql / 2 qx 0 x l
Mx＝qlx / 2 qx2 / 2 0 x l
a 建立坐标系
b 确定控制截面
x
c 作图
ql / 2
危险截面位置
跨度中点。
x 仔细观察内力图的特点
例4、简支梁受集中力偶作用 写内力方程，作内力图
C
FS Fb / l
Fa / l
CB FS x2 ＝ Fa / l a x2 l
M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
a 建立坐标系
x
b 确定控制截面
M
Fab/ l
c 作图
危险截面位置
x
集中力作用点的左或右侧截面
仔细观察内力图的特点
写内力方程时注意事项
1、必须分段列写梁的剪力方程和弯矩方程； 2、各段的分界点为各段梁的控制截面。
M
81qa2 / 32
qa 2
（+）
O
qa 3．建立坐标系 4．确定控制面
5．画图
x
qa
确定剪力等于零的 截面位置。
x
例3：利用微分关系快速作梁的内力图
F=qa
q
(1)求约束反力
C
A
a
FS
3
FA
qa
2
2a
B
M A＝0
1 FB 2 qa
E FB
a/2
Fy 0
FA＝
5 2
qa
O
-qa
M
x
(2)建立坐标系
1 qa2
1 qa 2
(3)确定控制截面
8
(4)利用微分关系作图
O
x
qa2
例4：利用微分关系作梁的内力图。
F=3KN
q=2KN/m
M 0 6KN.m
C
1m
FAAy
4m
D
B
1m FBy
1、求支座反力
MA 0
FBy 3.8KN
MB 0
FAy 7.2KN
F=3KN
C
1m
FAAy
q=2KN/m M 0 6KN.m
x
l
写内力方程，并作内力图
q
M x
x
FS x
FS x＝qx 0 x l
M x＝qx2 / 2 0 x l
二、内力图 q
l FS
M
FS x＝qx
0 x l
M x＝qx2 / 2 0 x l
a 建立坐标系
b 确定控制截面
ql
c 作图
危险截面位置 固定端截面处；
x
FS max＝ql M max＝ql 2 / 2
(3). 画内力图
a
b
M
FS M / l
Ma / l
M
Mb / l
FS x1＝ M / l 0 x1 a
Mx1＝ Mx1 / l 0 x1 a
FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M / l M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
x
a 建立坐标系
b 确定控制截面
x
c 作图
仔细观察内力图的特点
ql 2 / 2
x
仔细观察内力图的特点
1885年，俄国人别斯帕罗夫开 始使用弯矩图；
被认为是历史上第一个使 用弯矩图的人
例2、简支梁受集中载荷作用 写内力方程，并画内力图
aF
b
(1)．确定约束力
FAY
x1 x2C
l
FBY
M A＝0 FBy＝Fa/l
(2)．写内力方程
M B＝0 FAy＝Fb/l
q
1．计算约束反力
FAy
4a
FBy a qa
2．确定控制面
M A＝0， M B＝0
FAy＝
9 4
qa
,
FBy＝
3 4
qa
A、B两个截面、约束力FBy右侧的截面、以及集中力
qa左侧的截面。
q
FAy＝
9 4
qa
,
FBy＝
3 4
qa
FAy
4a
9 qa
FS 4
（+）
O 9a / 4
FBy a
（-）
qa
7qa / 4
梁的基本形式—— 外伸梁
梁的基本形式—— 悬臂梁
静定梁的基本形式
简支梁 外伸梁 悬臂梁
§4-3 剪力和弯矩
一、弯曲变形时横截面的内力
FAy
FBy
M FN
Fx 0 Fy 0
FN 0 FS FAy F1
FAy
FS
Mc 0 M FAy x F1(x a)
弯曲变形时横截面的内力
M FN
FAy＝0.89 kN FBy＝1.11 kN
1kN.m
A
CD E F
B
(3)．建立坐标系
0.89 kN=FAY 1.5m
1.5m
2kN 1.5m
FBY＝1.11 kN
FS (kN)
1.11
(4)．确定控制截面
O
0.89
M (kN.m)
O
0.335
x
(5)画图
x
1.335
1.67
例2：利用微分关系快速作梁的内力图
P=qa q
13 2a
a
14
a M=Pa
P
a M=Pa
M=qa2
q q
15
L L
q P=qa
16
2a
a
17
qa2 q
q
a
a
a
平面刚架的内力
刚节点： 某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成， 而各杆在其联接处的夹角不能改变。
8KNm
11
1m
1m 1m
12 4KN
4KN/m q=1KN/m
2m
1m
1m
m
2m
13 q
2a
M=qa2 q
a
a
a 14
P a
q 15
M=2qa2
a
5、写出x截面处的内力就是内力方程，
同时确定定义域。
例3、简支梁受均布载荷作用 写内力方程，并作内力图。
FAY
xC
l
(2)．写内力方程
FAY
x
(1)．确定约ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ反力
FBY
M A＝0 FBy＝ ql/2
Fy＝0 FAy＝ ql/2
FS x＝FAy qx 0 x l
外力的作用线与杆件的轴 线垂直；
弯曲变形的变形特点
轴线由直线变为曲线； 梁： 以弯曲变形为主的杆件。
对称弯曲
条件： 所有的载荷作用在纵向对称面内； 结果： 梁的轴线 是纵向对称面内的一条平面曲线。
对称弯曲的条件
•具有纵向对称面； •外力都作用在纵向对称面内； •梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。
FS
FBy
FS //A 剪力：
与横截面相切的分布内力系的合力；
M M A 弯矩：
与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。
二、内力的大小
1、剪力大小= 截面一侧所有外力的代数和。
M
Fy 0
FAy
FS
FS FAy F1
M FS
Fy 0
FS F2 F3 FAy FBy
内力的大小
2、弯矩大小= 截面一侧所有外力对求内力的截面形心之矩的 代数和。
对称弯曲
构件的几何形状、材料性能、 外力 均对称于杆件的纵向对称面；
常见构件的纵向对称面
§4-2 受弯杆的简化
1、梁本身的简化 以轴线代替；
2、载荷的简化
•集中载荷 •分布载荷 •集中力偶
3、支座简化 固定铰支座
支座简化 活动铰支座
支座简化 固定端
4、梁的基本形式—— 简支梁
钢轨约束
M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。
分布载荷向上（q > 0）， 抛物线呈凹弧； 下凸。 分布载荷向下（q < 0）， 抛物线呈凸弧; 上凸。
3、 剪力Fs=0处， 左右两侧剪力变号 弯矩取极值。
梁上作用集中力时
dx
Fs (x) P (Fs (x) Fs (x)) 0 M(x)
Fs (x) P
2F
a 2
3Fa 2
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
P
a
a
a
q
P
a
a
M＝qa2 q
a
a
P=2qa
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
q
a
2a
P=qa
a
a
a
M=qa2
§4-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩
一、内力方程： 任意截面处的内力表示为截面位置的函数； q 例1、悬臂梁上作用均布载荷
总结5、6
5、剪力连续变化 过零点： 弯矩取得极值；
6、集中力偶处 剪力图 不变；
ql / 2
FS
ql 2 / 8
M
ql / 2
x
弯矩图 突变； 突变量 =外力偶矩的大小； 突变的方向
aMb
FS M / l
M /l
x
从左向右画，顺时针的外力偶引起弯 M
Ma / l
矩图的上突；
x
Mb / l
练习：写出下列各梁的内力方程、并作内力图
M
x＝FAy
x
qx
x 2
0 x l
(3)、作内力图
FS ql / 2
a/2
ql 2 / 8
M
FS x＝ql / 2 qx 0 x l
Mx＝qlx / 2 qx2 / 2 0 x l
a 建立坐标系
b 确定控制截面
x
c 作图
ql / 2
危险截面位置
跨度中点。
x 仔细观察内力图的特点
例4、简支梁受集中力偶作用 写内力方程，作内力图
C
FS Fb / l
Fa / l
CB FS x2 ＝ Fa / l a x2 l
M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
a 建立坐标系
x
b 确定控制截面
M
Fab/ l
c 作图
危险截面位置
x
集中力作用点的左或右侧截面
仔细观察内力图的特点
写内力方程时注意事项
1、必须分段列写梁的剪力方程和弯矩方程； 2、各段的分界点为各段梁的控制截面。
M
81qa2 / 32
qa 2
（+）
O
qa 3．建立坐标系 4．确定控制面
5．画图
x
qa
确定剪力等于零的 截面位置。
x
例3：利用微分关系快速作梁的内力图
F=qa
q
(1)求约束反力
C
A
a
FS
3
FA
qa
2
2a
B
M A＝0
1 FB 2 qa
E FB
a/2
Fy 0
FA＝
5 2
qa
O
-qa
M
x
(2)建立坐标系
1 qa2
1 qa 2
(3)确定控制截面
8
(4)利用微分关系作图
O
x
qa2
例4：利用微分关系作梁的内力图。
F=3KN
q=2KN/m
M 0 6KN.m
C
1m
FAAy
4m
D
B
1m FBy
1、求支座反力
MA 0
FBy 3.8KN
MB 0
FAy 7.2KN
F=3KN
C
1m
FAAy
q=2KN/m M 0 6KN.m
x
l
写内力方程，并作内力图
q
M x
x
FS x
FS x＝qx 0 x l
M x＝qx2 / 2 0 x l
二、内力图 q
l FS
M
FS x＝qx
0 x l
M x＝qx2 / 2 0 x l
a 建立坐标系
b 确定控制截面
ql
c 作图
危险截面位置 固定端截面处；
x
FS max＝ql M max＝ql 2 / 2
(3). 画内力图
a
b
M
FS M / l
Ma / l
M
Mb / l
FS x1＝ M / l 0 x1 a
Mx1＝ Mx1 / l 0 x1 a
FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M / l M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
x
a 建立坐标系
b 确定控制截面
x
c 作图
仔细观察内力图的特点
ql 2 / 2
x
仔细观察内力图的特点
1885年，俄国人别斯帕罗夫开 始使用弯矩图；
被认为是历史上第一个使 用弯矩图的人
例2、简支梁受集中载荷作用 写内力方程，并画内力图
aF
b
(1)．确定约束力
FAY
x1 x2C
l
FBY
M A＝0 FBy＝Fa/l
(2)．写内力方程
M B＝0 FAy＝Fb/l
q
1．计算约束反力
FAy
4a
FBy a qa
2．确定控制面
M A＝0， M B＝0
FAy＝
9 4
qa
,
FBy＝
3 4
qa
A、B两个截面、约束力FBy右侧的截面、以及集中力
qa左侧的截面。
q
FAy＝
9 4
qa
,
FBy＝
3 4
qa
FAy
4a
9 qa
FS 4
（+）
O 9a / 4
FBy a
（-）
qa
7qa / 4
梁的基本形式—— 外伸梁
梁的基本形式—— 悬臂梁
静定梁的基本形式
简支梁 外伸梁 悬臂梁
§4-3 剪力和弯矩
一、弯曲变形时横截面的内力
FAy
FBy
M FN
Fx 0 Fy 0
FN 0 FS FAy F1
FAy
FS
Mc 0 M FAy x F1(x a)
弯曲变形时横截面的内力
M FN
FAy＝0.89 kN FBy＝1.11 kN
1kN.m
A
CD E F
B
(3)．建立坐标系
0.89 kN=FAY 1.5m
1.5m
2kN 1.5m
FBY＝1.11 kN
FS (kN)
1.11
(4)．确定控制截面
O
0.89
M (kN.m)
O
0.335
x
(5)画图
x
1.335
1.67
例2：利用微分关系快速作梁的内力图
P=qa q
13 2a
a
14
a M=Pa
P
a M=Pa
M=qa2
q q
15
L L
q P=qa
16
2a
a
17
qa2 q
q
a
a
a
平面刚架的内力
刚节点： 某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成， 而各杆在其联接处的夹角不能改变。
8KNm
11
1m
1m 1m
12 4KN
4KN/m q=1KN/m
2m
1m
1m
m
2m
13 q
2a
M=qa2 q
a
a
a 14
P a
q 15
M=2qa2
a