07 二次量子化方法

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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●利用对易关系计算
a | 1 1 11 0
i
1 2 i N
† 一般地，有
a | n1n2 ni ()
i
P
ni | n1n2 1 ni
i 1 r 1
21
ni 0或1，i 1,2,3,； P nr
1 2



† 计算单粒子（单体）算符的矩阵元
0 | a a a a a a | 0
N 1 1 N



列表计算收缩→ i i
i 1
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N
三、Wick定理的应用
† 计算单体算符的矩阵元（续） 代入单粒子位能算符矩阵元表达式→
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§7.1 中心场近似
Central Field Approximation
†‡●☺☻◙◘♠♣♥♦♪♫
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一、多粒子体系的哈密顿量
●考察序数为 Z 的原子中 Z 个电子构成的体系 在非相对论近似下，哈密顿量为
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二、力学量的表示
●力学量表达式的由来 在粒子数表象下用上述力学量计算的结果
与此完全一致
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§7.5 维克定理
Wick Theorem
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一、正规积与收缩
●正规积 一个以上产生消灭算符乘积的正规积为 全部产生算符排在全部消灭算符的左边 † 举例； † 正负号问题 † 正规积作用于真空态
2
Z
Z
Z
i 1
i j
ij
i 1
U (ri )的选取应使二者之差可视为微扰
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→中心场近似
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二、中心场近似
● 中心场近似的实质 将 Z 个具有相互作用的电子看作相互无作用 地在一个共同的中心场中运动——零级近似
ˆ ˆ 零级近似哈密顿量 H 0 [hi U (ri )] i 1 分离变量求解
† 交换两粒子全部坐标，态矢量对称 →产生算符对易关系 † 消灭算符对易关系
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§7.3 粒子数表象
Representation of Particle Number
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一、粒子数表象的由来
●上述结论启发人们采用粒子数表象
引入粒子的产生和消灭算符 以简化多粒子体系力学量矩阵元的计算 这种方法就叫做二次量子化方法
●对哈密顿量的分析
ˆ ˆ H1和H 2的相对影响依赖于原子序数
轻原子，前者重要，后者可视作微扰 重原子反之；一般原子，二者都较重要→
ˆ ˆ ˆ ˆ H H 0 H 2 H1
ˆ ˆ ˆ H 0 H 2 hi
i 1
Z
2 [ 2 m i i 1
2
Z
Ze r
●态矢量的正交归一化 →产生算符与消灭算符之间的对易关系 态矢量内积；三个可能值
N=1的情况
N=2的情况
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●N个费米子处于N个单粒子态的态矢量表示 态矢量表示 厄米共轭 反对易关系
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§7.4 粒子数表象中费米子体系 的波函数及力学量的表示
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●产生算符表示状态应与Slater行列式等价 →产生算符的对易关系
→消灭算符的对易关系
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
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二、粒子的真空态；产生消灭算符
●真空态定义；归一化条件 ●产生算符的定义
单个粒子的状态
N个粒子的状态
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二、粒子的真空态；产生消灭算符
●消灭算符的定义
作用于真空态的效果
产生和消灭算符互为厄米共轭；非厄米
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二、全同玻色子体系的波函数
●N个玻色子占有N个状态 一般表达式
N=3的例子
●N个玻色子占有m个状态
一般表达式
N=3的例子
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三、一般结论
●对称性确保满足全同性——不可分辨性 费米子体系波函数的反对称性 确保满足泡利不相容原理 ●在中心场近似下，只需知道 1、哪几个单粒子态被占有 2、每个单粒子态上有几个粒子 即可知道全同粒子体系的状态
0 | a a | t | a a a a | 0
N 1




1
N
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三、Wick定理的应用
† 计算双粒子（二体）算符的矩阵元
0 | a a a a a a a a | 0
N 1 1 N
i i

ˆ a a — 粒子数算符 N
i i i
总粒子数算符
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二、力学量的表示
●单粒子算符 例：单粒子动能算符
N个粒子体系的动能算符
在粒子数表象中的表达式 其中矩阵元的含义
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二、力学量的表示
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●同理可得
a | n1n2 ni ()
i

P
1 ni | n1n2 ni 1
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●进而得到
a a | n1n2 ni ni | n1n2 ni 当ni 0 当ni 1
| 0 | 1，1， 1，0， 1 2 N
i
当 i N a | C 0; a | C 0
i

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五、空穴算符
●定义空穴（洞眼）的产生和消灭算符
●两类产生和消灭算符
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五、空穴算符
Z
ˆ H 0 (1,2,, N ) E (1,2,, N ) ˆi U (ri )] nlj (ri s z ) E nlj nlj (ri s z ) 若[h i i 则 (1,2,, N ) (1) (2) ( N )
1 2 N
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N 1
N
i j j 1
i j
(
j i i j j i j i j i j j i
i
)
代入双粒子位能算符矩阵元表达式→
●双粒子算符 例：两个粒子相互作用位能算符
† N个粒子体系总的相互作用位能算符
† 在粒子数表象中的表达式 其中矩阵元的含义
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二、力学量的表示
●力学量表达式的由来 要求与波动力学矩阵元表达式相等而总结得到
† 单粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元
有一个态不相同的情况 † 双粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元 有一个态不相同的情况
●对易关系
† 粒子算符与空穴算符全部反对易 † 粒子算符之间
† 空穴算符之间
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五、空穴算符
●正规积（混合型）
●收缩
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五、空穴算符
●Wick定理
† 例子
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五、空穴算符
i

N
1
2
N
| 0 | C
‡ 用产生消灭算符表示的哈密顿量与粒 子数无关，粒子数只表现在态矢量上
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五、空穴算符
●为计算方便，定义基态为真空态 † 称 | 0 > 为真正真空态
●此时，消灭算符作用于基态可能不为零
| C
a1 a2 a N
●单体算符和二体算符在真空态下的平均值
† 单体算符的平均值 † 二体算符的平均值
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五、空穴算符
●激发态
† 一粒子激发 † 二粒子激发 ‡ 先消灭后产生→先产生空穴，后产生粒子
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§7.6 粒子数表象中 玻色子体系的波函数
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四、哈密顿量及其零极近似
●哈密顿量在粒子数表象中的表达式 ● N个全同费米子体系零级哈密顿量的解
本征态 | { } a a a | 0
i



本征值
0 E{ i }
基 态
i 1 | 0 a1 a2 aN
i
2
(ri )li si ]
为单粒子算符之和，可分离变量求解
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二、中心场近似
● 用单粒子位代替库仑排斥力
ˆ ˆ H1的存在使得H E不能严格求解
因电子间库仑斥力具有很大的球对称成分 →可取一球对称的单粒子位函数之和代替
ˆ ˆ H [hi U (ri )] e U (ri ) r
第七章 二次量子化方法
２ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ０４年１２月
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引
言
●全同多粒子体系难以用通常的波函数处理 →发展了二次量子化方法 ☻ † 引入粒子占有数表象—用各单粒子态填充 的粒子数描述状态；交换对称性自动满足 † 基本算符：粒子的产生算符和消灭算符 † 任意态矢和力学量均可用它们表示 † 有系统的法则计算力学量的矩阵元
† 例： 0 | a1 a 2 a 3 | 0


0 | a a a a | 0
1 2 3 4


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三、Wick定理的应用
●利用Wick定理，可以方便地计算矩阵元
0 | a2 a1a a a a a a | 0
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一、正规积与收缩
●收缩 两算符乘积的收缩＝乘积－正规积
† 总共只有四种收缩
→收缩是个数
0 | AB | 0 0 | AB N ( AB) | 0 AB
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二、Wick定理
●n个产生算符与m个消灭算符的交叉乘积 在真空态上的平均值 当n+m=奇数，为零 当n+m=偶数，为一切可能的收缩乘积之和
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二、中心场近似
●原子核物理中的独立粒子模型
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§7.2 N个全同粒子体系的波函数
——零级近似波函数
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一、Slater行列式
● 全同粒子具有不可分辨性→ 全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性 † 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 † 玻色子—交换对称 ●中心场近似下N个费米子体系的状态波函数 Slater行列式；求和形式 N个对象的排列算符； N=3的例子
Boson’s System
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一、N个玻色子体系的态矢量
● N 个玻色子处于 m 个不同单粒子态
† 态矢量 † 归一化因子 † 坐标表象中的波函数
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一、N个玻色子体系的态矢量
●产生消灭算符对易关系与归一化因子的确定
2 Ze 2 2 ˆ H 0 [ 2 m i ri ] i 1 Z 2 ˆ 1 e rij | ri r j H rij i j Z Z
|
ˆ H 2 (ri )li si
i
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一、多粒子体系的哈密顿量