实习一集中趋势与离散趋势
统计分布：探索集中与离散现象
统计分布：探索集中与离散现象统计分布是统计学中重要的概念，可以用来描述数据的分布情况。
在实际应用中，我们经常会遇到集中与离散现象，即一组数据中某些值出现的频率较高（集中），而另一些值出现的频率较低（离散）。
一. 集中趋势探索在统计分布中，集中趋势是指数据向某个中心值靠拢的趋势。
常见的度量集中趋势的指标包括均值、中位数和众数。
1. 均值均值是一组数据平均值的度量。
计算均值的方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
均值的计算公式为：均值 = (数据值1 + 数据值2 + ... + 数据值n) / n2. 中位数中位数是一组数据中间值的度量。
将数据按照大小顺序排列，中间的数即为中位数。
如果数据个数为奇数，中位数取正中间的值；如果个数为偶数，中位数取中间两个值的平均数。
3. 众数众数是一组数据中出现次数最多的值。
有时数据可能存在多个众数，这种情况下我们可以说该数据集呈多峰分布。
二. 离散程度探索离散程度是指数据分布的广度和不均匀程度。
常见的度量离散程度的指标包括极差、方差和标准差。
1. 极差极差是一组数据中最大值与最小值之间的差异。
计算极差的方法是最大值减去最小值。
2. 方差方差是一组数据与均值之差的平方和的平均值。
方差可以衡量数据分布的离散程度，数值越大表示数据越分散。
3. 标准差标准差是方差的平方根，用来度量数据的离散程度。
标准差可以帮助我们了解数据集的波动情况，数值越大表示数据的分布越分散。
三. 统计分布的图表表示为了更直观地观察和比较数据的分布情况，我们可以使用图表来展示。
常用的图表包括直方图、折线图和箱线图。
1. 直方图直方图是一种展示数据分布情况的图表。
它将数据分成多个区间，每个区间称为一个箱子，横轴表示数据的取值范围，纵轴表示每个区间的频数或频率。
2. 折线图折线图可以显示数据随某个变量的变化趋势。
横轴表示变量的取值，纵轴表示对应的数据值。
3. 箱线图箱线图可以显示数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值，用来描述数据的离散程度和异常值情况。
中职数学课件10.1集中趋势与离散程度
；
当n为偶数时，中位数是中间位置的两个数值的算术平均数，
即
Me=
．
10.1.1 集中趋势
情境导入
探索新知
典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
2.中位数
容易看出，中位数以其居中的位置体现了这组数据的集中趋势，
并且不受极端数据值的影响，当一组数据中出现极端数据值时， 用
中位数反映集中趋势比用算术平均数更准确．但是，中位数不能充
x1f1+x2f2+…+xnfn
．
f1+f2+…+fn
称为这组数据的加权算术平均数，其中fk(k=1，2，…，n)也称为样
本数据xk (k=1，2，…，n)的权重．
10.1.1 集中趋势
情境导入
探索新知
典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.算术平均数
显然，加权算术平均数不仅依赖于样本数据，还依赖
特点，有助于我们在实际应用中选择合适的统 计量来描
述数据的集中趋势．
10.1.1 集中趋势
情境导入
探索新知
典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
1. 求下列各组数据的算术平均数、中位数和众数．
（1）1，2，4，2，5；
（2）12，22，16，22，20，22；
（3）6，6，6，7，7，7，8，8，8；
准规格．那么，如何判断哪个厂家生
产的零件更接近标准规格呢？
10.1.2 离散程度
情境导入
探索新知
典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
为了更进一步揭示规格数据的分布特征，可以考察规格数据与算术
平均数的差以及规格数据之间的差等，这就涉及数据的离散程度．
集中和离散趋势
7 标准误
s S .E . n
8离散系数/变异系数
概念
一组数据的标准差与其均值之比 公式 s
us
x
主要用于比较不同样本数据的离散程度 离散系数↑，数据的离散程度↑ 离散系数↓，数据的离散程度↓ 例题 A组： 9.600/36.0=0.267 B组： 9.013/29.5=0.306
1
3
3 4 5 6 7 8 9
Q
3
10
R=10 R=10
Q=2
Q=6
5 平均数/均值（Mean）
是统计数据高低相互抵消的结果 是集中趋势的最主要的测度指标 适用于定距数据和定比数据，不适用于定类
和定序数据
例3
例题
甲班：19、20、21、22、23 乙班：17、18、19、23、23、32 中位数： 甲班：21 乙班：21
Vr
f f 表示变量值的总频数，
i
f f f
i i
m
fm 1 fi
m
表示众数组的频数
取值范围：〔0，1〕 异众比例↑，众数代表性↓ 异众比例↓，众数代表性↑
例1 计算异众比例
表1 学生自我评定生 存欲望情况
单位：人 程度 强烈 中等 人数 12 6 省份 北京 广西 贵州 河北 河南 湖北
三、峰度、偏度
四、数据标准化
1 众数（Mode）
概念：一组数据中出现次数最多的变量值
特别注意：变量值可能是定类、定序、定距、定比中的 任意一种！ 变量值可能是数值，也可能是字符！
定类数据的众数
频数最大的变量值即众数
表1 在美国名列前10位的外国语种
集中趋势和离散趋势PPT培训课件
对手的优势和劣势，以及市场上的竞
争格局。
在决策制定中的应用
01
02
03
预测模型
资源分配
风险评估
在预测模型中，可以使用
集中趋势和离散趋势来预
测未来的发展趋势，帮助
决策者制定相应的策略。
根据数据的集中趋势和离
散趋势，决策者可以合理
地分配资源，以实现更好
的效果。
通过分析数据的集中趋势
集中趋势
1
:``: slots (
2
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3
旋转 foromitiveive meanive:.
集中趋势
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集中趋势
01
02
03
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on whichomit fold meansive compens earlier审实战,,,
1xeus.
02
离散趋势
方差
方差是用来衡量一组
数值中各个数值与其
平均数之间的偏差程
度的统计量。
方差的值越小，说明
数据点越靠近平均数，
离散程度越小；方差
的值越大，说明数据
点离平均数的距离越
远，离散程度越大。
方差的计算公式为：
$sigma^2
=
frac{1}{N}sum_{i=1}
^{N}(x_i - mu)^2$，
三位, on,叹息:ilt词条
三位伙伴,
集中趋势
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长安,1 ( dust
集中趋势
re
0长安, mortal1
2022年《数据的集中趋势和离散程度》优秀教案
第3章数据的集中趋势和离散程度一、知识结构与回忆一组数据1、平均数、中位数、众数的概念及举例一般地对于n个数X1，……X n把错误!〔X1X2…X n〕叫做这n个数的算术平均数，简称平均数如某中外合资企业要招工，测试内容为数学、语文、外语三门文化课的综合成绩，总分值都为100分，且这三门课分别按25%、25%、50%的比例计入总成绩，这样计算出的成绩为数学，语文、外语成绩的加权平均数，25%、25%、50%分别是数学、语文、个数中，1出现f1次，2出现f2次，3出现f3次，… … n出现f n次，〔其中f1f2f3……f n=n〕，这n个数的平均数可表示为：中位数就是把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的数〔或最中间两个数据的平均数〕叫这组数据的中位数众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据如3，2，3，5，3，4中3是众数一组数据中的中位数是惟一的；一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有2、平均数、中位数和众数的特征〔1〕平均数、中位数、众数都是表示一组数据“平均水平〞的平均数〔2〕平均数能充分利用数据提供的信息，在生活中较为常用，但它容易受极端数字的影响，且计算较繁〔3〕中位数的优点是计算简单，受极端数字影响较小，但不能充分利用所有数字的信息〔4〕众数的可靠性较差，它不受极端数据的影响，求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势〞3、算术平均数和加权平均数有什么区别和联系算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数4、利用计算器求一组数据的平均数当所处理的数据较多时，手工计算的效率较低，运用计算器和计算机的方法就能迅速获得所需要的信息，将更多的时间用于对数据的讨论和对结果实际意义的解释．5、方差和标准差方差描述一组数据的离散程度可采取许多方法，在统计中常先求这组数据的平均数，再求这组数据与平均数的差的平方和的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小：设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，那么我们求它们的平均数，即用标准差有些情况下，需用到方差的算术平方根，即并把它叫做这组数据的标准差它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量4、利用计算器求一组数据的方差当所处理的数据较多时，手工计算的效率较低，运用计算器和计算机的方法就能迅速获得所需要的信息，将更多的时间用于对数据的讨论和对结果实际意义的解释．利用计算器求一组数据的方差就能很好地解决二、全章综合剖析平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中程度的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数运用最为广泛，应当注意平均数、中位数和众数的合理选用，防止平均数的误用这三个量的各自特点是：平均数的大小与一组数据的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会引起相应平均数的变动，这说明平均数充分地反映了一组数据的信息中位数的大小仅与数据的排列位置有关，当将一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的数据为中位数，于是局部数据的变动 对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势众数着眼于对各数据出现的频数的考察，因此求一组数据的众数既不需要计算，也不需要排序，而只要数出出现次数较多的数据的频数就行了，众数的大小仅与一组数据中的局部数据有关，当一组数据中有不少数据屡次重复出现时，它的众数也往往是我们关心的一种集中趋势极差、方差与标准差是用来描述一组数据的离散程度，它们是用来描述一组数据的稳定性的一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定三、例题精讲类型之一 求平均数及应用例1 两组数据1，2，3，…n 和1，2，3，…n 的平均数分别为，，求〔1〕21，22，23…2n 的平均数 〔2〕211，221，231…2n 1的平均数〔3〕11，22，33…nn 的平均数 分析:化单纯的知识记忆为理解记忆〔1〕的平均数为2;〔2〕的平均数为21; 〔3〕的平均数为例2 一家公司对A 、B 、C 三名应聘者进行了创新、综合知识和语言三项素质测试，他们的成绩如下表所示：测试成绩 测试工程 7074 50 综合知识 67 85 72 创新C B A〔1〕如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，你选谁？〔2〕根据实际需要，公司给出了选人标准：将创新、综合知识和语言三项测试得分按4：3：1的比例确定各人的测试成绩你选谁？解：〔1〕A的平均成绩为70分B的平均成绩为68分C的平均成绩为68分由70>68，故A将被录用〔2〕根据题意，A的成绩为分B的成绩为分C的成绩为分因此候选人B将被录用说明：当条件变化时，应注意平均数的不同求法类型之二求中位数与众数例3 在第29届奥林匹克运动会上，青岛姑娘张娟娟为代表团夺得了历史上首枚奥运会射箭金牌，为祖国争得了荣誉．下表记录了她在备战奥运会期间的一次训练成绩〔单位：环〕：根据表中的数据可得：张娟娟这次训练成绩的中位数是环，众数是环．说明:考查众数、中位数概念注意有时众数可能不止一个，也可能没有求中位数时要排序答案:9，9类型之三中位数与众数的实际应用例 4 某校学生会干部对校学生会倡导的“助残〞自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，以下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形高度之比为3∶4∶5∶8∶2，又知此次调查中捐15元和2021人数共39人．〔1〕他们一共抽查了多少人？捐款数不少于2021概率是多少？〔2〕这组数据的众数、中位数各是多少？〔3〕假设该校共有2310名学生，请估算全校学生共捐款多少元？图1解：〔1〕设捐15元的人数为5，那么根据题意捐2021人数为8．∴5＋8＝39，∴＝3∴一共调查了3＋4＋5＋8＋2＝66〔人〕∴捐款数不少于2021概率是．〔2〕由〔1〕可知，这组数据的众数是2021〕，中位数是15〔元〕．〔3〕全校共捐款〔9×5＋12×10＋15×15＋24×2021×30〕÷66×2310＝36750〔元〕说明:方程思想是数学的根本思想之一,数型结合是我们解决问题的手段例 5 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，初中三个年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩〔总分值为100分〕如下表所示：〔1〕请你填写下表：〔2〕请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析：①从众数和平均数相结合看〔分析哪个年级成绩好些〕；②从平均数和中位数相结合看〔分析哪个年级成绩好些〕〔3〕如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强些？并说明理由分析: 由所给的信息求出一组数据的平均数、中位数、众数；并结合具体的情境理解平均数、中位数和众数的区别与联系；并能根据具体问题，选择适宜的统计量表示数据的集中程度，对日常生活中的有关问题与现象做出一定的评判解：〔1〕〔2〕①∵平均数都相同，初二年级的众数最高，∴初二年级的成绩好一些；②∵平均数都相同，初一年级的中位数最高，∴初一年级的成绩好一些〔3〕∵初一、初二、初三各年级前三名学生决赛成绩的平均分分别是93分、91分、94分，∴从各年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，初三年级的实力更强一些类型之四极差、方差或标准差的实际应用例6 某农科所在8个试验点，对甲、乙两种玉米进行比照试验，这两种玉米在各试验点的亩产量如下〔单位：千克〕甲：450 460 450 430 450 460 440 460乙：440 470 460 440 430 450 470 440在这个试验点甲、乙两种玉米哪一种产量比拟稳定？剖析：我们可以算极差甲种玉米极差为460－430=30千克；乙种玉米极差为470－430=40千克所以甲种玉米较稳定还可以用方差来比拟哪一种玉米稳定甲2=100，乙2=2021甲2＜乙2，所以甲种玉米的产量较稳定 四、中考链接 1、〔 〕．一名射击运发动连续打靶8次，命中的环数如图2所示，这组数据的众数与中位数分别为〔 〕A ．9与8B ．8与9C ．8与D ．与9答案C 2、〔烟台市〕某校初一年级有六个班，一次测试后，分别求得各个班级学生成绩的平均数，它们不完全相同，以下说法正确的选项是〔 〕A ．全年级学生的平均成绩一定在这六个平均成绩的最小值与最大值之间B ．将六个平均成绩之和除以6，就得到全年级学生的平均成绩C ．这六个平均成绩的中位数就是全年级学生的平均成绩D ．这六个平均成绩的众数不可能是全年级学生的平均成绩答案 A3、南充一组数据2，1，，7，3，5，3，2的众数是2，那么这组数据的中位数是〔 〕A ．2B ．2.5C ．3D ．5答案 B图2 7 8 9 104、〔甘肃省白银市〕某校八年级32021生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考试成绩都以同一标准划分成“不及格〞、“及格〞和“优秀〞三个等级．为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生培训前后两次考试成绩的等级，并绘制成如图14的统计图，试结合图形信息答复以下问题： 1 这32名学生培训前后考试成绩的中位数所在的等级分别是 、 ；〔2〕估计该校整个八年级学生中，培训后考试成绩的等级为“及格〞与“优秀〞的学生共有多少名？提示:〔1〕不及格，及格； 〔2〕抽到的考生培训后的及格与优秀率为〔168〕÷32=75%， 由此，可以估计八年级32021生培训后的及格与优秀率为75%． 所以，八年级32021生培训后的及格与优秀人数为75%×3202140．5、〔遂宁〕“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间〞．在今年的慈善一日捐活动中，济南市某中学八年级三班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据右图提供的信息，捐款金额．．的众数和中位数分别是〔 〕 A ．20210 B ．30、2021．30、30 D ．20210答案 C6、〔烟台市〕某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图〔如图〕．请你根据图中提供的信息，答复以下问题：图14 272天 3天 4天 5天 6天 7天 时间〔1〕求出扇形统计图中的值，并求出该校初一学生总数；〔2〕分别求出活动时间为5天、7天的学生人数，并补全频数分布直方图；〔3〕求出扇形统计图中“活动时间为4天〞的扇形所对圆心角的度数；〔4〕在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？〔5〕如果该市共有初一学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天〞的大约有多少人？提示：〔1〕a=25%．初一学生总数：2021人〕．〔2〕活动时间为5天的学生数：50〔人〕．活动时间为7天的学生数：10〔人〕．频数分布直方图〔略〕〔3〕活动时间为4天的扇形所对的圆心角是1080〔4〕众数是4天，中位数是4天．〔5〕该市活动时间不少于4天的人数约是4500〔人〕．7、为了考察某班普通话测试情况，从中抽查了10人的成绩如下〔单位：分〕：87，90，98，74，89，90，85，80，90，93．〔1〕这个问题中，总体、个体、样本各是什么？〔2〕这个问题中，样本平均数、方差、标准差各是多少并估计总体平均数、方差、标准差？〔平均数精确到1分，标准差保存三个有效数字〕．分析：〔1〕利用总体是所要考查对象的全体，个体是总体中每一个考查对象，样本是从总体中抽取的局部个体，即可得到答案；〔2〕利用样本平均数、方差、标准差估计总体即可．解答：〔1〕总体是某班普通话测试成绩，个体是某班每个学生的普通话成绩，样本是抽查的10人的普通话成绩．〔2〕样本平均数=〔87909874899085809093〕÷10=876÷10=〔分〕，方差=[〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2]÷10=，标准差≈，因此估计总体的平均数是分，方差是，标准差是．四、课堂小结在本节的复习中，你有什么收获？还有哪些疑问？。
正态分布的集中趋势和离散统计指标
正态分布的集中趋势和离散统计指标在统计学中，正态分布是一种非常重要且常见的概率分布，也被称为高斯分布。
它具有许多重要特性，其中包括集中趋势和离散统计指标。
在本文中，我们将探讨正态分布的集中趋势和离散统计指标，以及它们在实际应用中的意义和重要性。
1. 集中趋势指标正态分布的集中趋势指标是描述数据集中取值位置的统计量。
常见的集中趋势指标包括均值、中位数和众数。
其中，均值是所有数据值的平均数，是最常用的集中趋势指标之一。
在正态分布中，均值通常位于分布的中心位置，并且具有对称性。
除了均值，中位数和众数也是描述集中趋势的重要指标。
中位数是将数据集等分为两部分的数值，而众数则是数据集中出现最频繁的数值。
在实际应用中，集中趋势指标可以帮助我们理解数据分布的中心位置，判断数据的平均水平，并做出相应的决策。
在财务报表分析中，我们可以利用均值来评估企业的盈利水平，进而制定财务策略和规划预算。
在医学研究中，研究人员也常用中位数来描述疾病的发病率，以便做出治疗方案和预防措施。
2. 离散统计指标除了集中趋势指标外，正态分布还具有离散统计指标，用于描述数据的分散程度和波动性。
常用的离散统计指标包括标准差、方差和极差。
标准差是数据偏离均值的平均距离，是描述数据离散程度的重要统计量。
方差则是标准差的平方，用于衡量数据的波动性和离散程度。
另外，极差是描述数据取值范围的统计量，可以帮助我们了解数据的最大和最小取值之间的差异程度。
在实际应用中，离散统计指标可以帮助我们评估数据的波动性和风险程度，从而制定相应的风险管理和控制策略。
在金融投资中，我们可以利用标准差来衡量资产价格的波动性，进而评估投资风险并调整投资组合。
在生产制造中，研究人员也常用方差来评估生产过程的稳定性和一致性，以便提高生产效率和质量。
个人观点和理解对于正态分布的集中趋势和离散统计指标，我认为它们在数据分析和决策制定中起着至关重要的作用。
集中趋势指标可以帮助我们理解数据的中心位置，从而判断平均水平和典型取值。
集中和离散趋势指标
集中和离散趋势指标1.引言1.1 概述概述部分将介绍集中和离散趋势指标的基本概念和背景。
集中趋势指标和离散趋势指标是统计学中常用的分析工具，用于描述和度量数据集中和离散程度的重要指标。
在实际问题中，我们经常遇到需要描述和分析数据集中和离散程度的情况。
集中趋势指标主要关注数据的中心值，用于度量数据集中在何处，以及数据的均匀分布程度。
而离散趋势指标则用于度量数据的分散程度，即数据的离散程度有多大。
集中趋势指标和离散趋势指标在统计学、经济学、金融学等领域被广泛应用。
例如，在统计学中，我们常常使用平均值、中位数、众数等指标来描述数据的集中趋势；而方差、标准差、极差等指标则用于度量数据的离散趋势。
本文将分别介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义和解释，并列举一些常见的集中趋势指标和离散趋势指标的示例。
通过对这些指标的应用和分析，我们能够更加客观地了解数据的分布特征，为后续的数据分析和决策提供依据。
在下一章节的正文部分，我们将详细介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义、计算方法和使用场景。
希望通过本文的介绍，读者能够对集中和离散趋势指标有一个全面的认识，并能够在实际应用中灵活运用这些指标，提高数据分析的精确性和准确性。
接下来，我们将开始介绍集中趋势指标的相关内容，包括定义和解释等方面的内容。
敬请关注！1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将围绕集中和离散趋势指标展开讨论。
首先，在引言部分进行概述，介绍集中和离散趋势指标的基本概念和作用。
然后，通过分析文章目录可以看出，正文部分将重点介绍集中趋势指标和离散趋势指标，包括它们的定义和解释以及常见的指标类型。
最后，在结论部分对集中趋势指标和离散趋势指标的应用进行总结。
具体而言，在正文部分，我们会首先介绍集中趋势指标，包括其定义和解释。
随后，会详细介绍一些常见的集中趋势指标，例如均值、中位数和众数等。
这些指标能够反映数据集中在某个位置或数值上的趋势，有助于我们对数据的整体特征进行理解和分析。
集中趋势和离中趋势
平均时速
H
10+10
10 50
10
30
2
1 50
1 30
37.5
（2）总体单位数未知时，例4.11（71）
加权调和平均数
1
N
MH
N i 1
fi
1 Xi
N i 1
fi
1 Xi
N
▪ 应用条件：资料经过分组，各组次数不同。
算术平均、几何平均、调和平均三者关系
▪ 三者均属于均值体系 ▪ 算术平均值是直接对观察值进行平均；几
【例】：9个家庭旳人均月收入数据(3种措施计算)
原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2023 1250 1630
排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2023
位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
措施1：
QL位置
9 4
2.25
i 1
二、中位数
将数据观察值x1,x2,…,xn按其变量值由小到 大旳顺序排列，处于数列中点位置旳数值就是中位 数（Me）。
中位数旳拟定方法： ①如果数据个数为奇数，则处于（n+1)/2位置旳标志值是中位数。
②如果数据个数为偶数，则处于n/2、n/2+1旳两个标志值旳平均数为中位数。
③假如是组距分组资料，公式为：
限；N表达数据总个数；Fi-1表达第i个K分位数所在组旳前一组
旳累积次数；fi是第i个K分位数所在组旳次数。di= Ui-Li是第i
个K分位数所在组旳组距。
四分位数旳位置拟定措施：
措施1：定义算法
QL位置
n 4
QU位置
3n 4
集中趋势与离散趋势
允许用户自定义查询条件、筛选数据和调整图表 参数，以便更深入地探索数据的内在规律和关联 关系。
数据动画
将数据变化过程以动画形式展现出来，帮助用户 更直观地理解数据的变化趋势和动态特征。
06 总结与展望
CHAPTER
主要发现与结论
集中趋势描述
通过平均数、中位数和众数等指标，可以有 效地描述数据的集中趋势，反映数据分布的 中心位置。
众数
一组数据中出现次数最多的数。众数可能不唯一，也可能不存在。众数适用于分类数据和顺序数据，对于数值型 数据，如果数据分布的波动性较大，众数可能不能很好地代表数据的集中趋势。
03 离散趋势
CHAPTER
定义与概念
离散趋势
指一组数据中各数值之间的差异程度 或离散程度，是数据分布的另一个重 要特征。
直方图（Histogram）
将数据按照一定范围进行分组并用矩形条表示，通过矩形条的高度和宽度反映数据的分布 规律。
散点图（Scatter Plot）
用点的位置表示两个变量之间的关系，可通过观察点的分布情况和趋势线分析数据的集中 和离散趋势。
动态数据可视化在趋势分析中的应用
1 2 3
时间序列分析
通过动态展示数据随时间变化的情况，揭示数据 的长期趋势、季节波动和周期性规律。
• 关注数据质量和异常值处理：在实际数据分析中，异常值和数据质量问题是不 可忽视的。未来的研究可以关注如何有效地处理异常值和数据质量问题，以提 高集中趋势和离散趋势分析的准确性和可靠性。例如，可以采用稳健的统计方 法或者数据清洗技术对异常值进行处理，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
谢谢
THANKS
Tableau
功能强大的数据可视化工具，支持交互式数据分析和动态图表展示， 适用于大数据处理。
集中趋势和离散趋势课件
03
实时数据分析
在实时数据分析中，快速准确地计算集中趋势和离散趋势对于及时做出
决策具有重要意义。研究者们正在研究如何利用新的计算方法提高实时
数据分析的效率和准确性。
对决策的影响研究
决策支持
集中趋势和离散趋势的计算结果可以为决策提供重要支持，如市场预测、风险 评估等。研究者们正在研究如何更好地利用这些结果为决策提供依据。
新的计算方法
随着统计学的发展，新的计算方 法不断涌现，如机器学习算法、 人工智能技术等，这些方法可以 更快速、准确地计算集中趋势和
离散趋势。
算法优化
针对现有计算方法的不足，研究 者们正在不断优化算法，提高计 算效率和准确性，以满足日益增
长的数据处理需求。
可解释性研究
为了更好地理解计算结果，研究 者们正在研究如何提高计算方法 的可解释性，使非专业人士也能
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DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
集中趋势和离散趋势的 应用
在数据分析中的应用
描述数据分布情况
通过计算数据的集中趋势和离散 趋势，可以了解数据的分布情况 ，从而更好地理解数据的特点和
规律。
识别异常值
通过离散趋势分析，可以识别出数 据中的异常值，这些异常值可能对 数据分析结果产生重大影响，需要 特别关注。
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ANALYSIS
SUMMARY
集中趋势和离散趋势 课件
目录
CONTENTS
• 集中趋势 • 离散趋势 • 集中趋势和离散趋势的应用 • 集中趋势和离散趋势的比较 • 集中趋势和离散趋势的未来发展
REPORT
初中数学知识归纳统计数据的集中趋势和离散程度
初中数学知识归纳统计数据的集中趋势和离散程度统计学是一门研究数据收集、处理、分析和解释的学科，它在生活中的应用非常广泛。
在统计学中，我们常常需要描述数据的集中趋势和离散程度。
本文将介绍几种常见的数据集中趋势和离散程度的统计量以及它们的含义和计算方法。
一、数据的集中趋势数据的集中趋势是指一组数据向某个中心值靠拢的趋势。
常用的统计量有均值、中位数和众数。
1. 均值（Mean）均值是指一组数据的总和除以数据的个数。
它是最常用的集中趋势统计量，用于表示数据的平均水平。
计算均值的方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
2. 中位数（Median）中位数是指一组数据中处于中间位置的值。
当数据集的个数为奇数时，中位数就是数据排序后的中间值；当数据集的个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值。
计算中位数的方法是将数据从小到大排序，然后找到中间位置的值。
3. 众数（Mode）众数是指一组数据中出现次数最多的数值。
一个数据集可能有一个或多个众数，也可能没有众数。
计算众数的方法是统计每个数值出现的频数，然后找到频数最大的数值。
二、数据的离散程度数据的离散程度是指一组数据的分散程度或波动程度。
常用的统计量有极差和标准差。
1. 极差（Range）极差是指一组数据的最大值与最小值之间的差值。
它是最简单的离散程度统计量，可以直观地反映数据的变化范围。
计算极差的方法是将最大值减去最小值。
2. 标准差（Standard Deviation）标准差是指一组数据偏离平均值的程度。
它通过计算每个数据与均值的差的平方，并求平均值来衡量数据的离散程度。
标准差越大，数据的离散程度越大。
计算标准差的方法包括计算均值、计算每个数据与均值的差的平方，并求平均值再开方。
三、应用举例现在我们来举两个实际问题的例子，通过计算集中趋势和离散程度的统计量来分析数据。
例1：小明的五次数学考试成绩分别是85、92、88、79和90，求这五次考试成绩的均值、中位数、众数、极差和标准差。
统计学课件 第2章-集中趋势与离散趋势
∑ (X
N i =1
i
− X
)=
0
（2）各变量值与其算术平均数的离差平方和最小： ）各变量值与其算术平均数的离差平方和最小：
∑ (X
N i =1
i
− X
)
2
= min
▲注意： 注意： 均值容易受到统计数据中个别极端数据的影响， 均值容易受到统计数据中个别极端数据的影响， 从而使均值代表某组统计数据的“平均水平” 从而使均值代表某组统计数据的“平均水平”时失 去意义，这时往往用“剔除极端值” 去意义，这时往往用“剔除极端值”的方法加以修 正。 的最高值用10000代替， 代替， 如例1中，如果将月薪 中 如果将月薪2825的最高值用 的最高值用 代替 则均值为3038 则均值为
S m −1 + f m + S m +1 = ∑ f
某班级英语考试成绩分组情况见下表： 例4.某班级英语考试成绩分组情况见下表： 某班级英语考试成绩分组情况见下表
成绩分组 人数 （分） 50以下 2 以下 50~60 5 60~70 10 累计人数 2 7 17 成绩分组 （分） 70~80 80~90 90以上 以上 人数 18 9 6 累计人数 35 44 50
X < Me < Mo
当分布右偏时（说明存在极端大的值） 当分布右偏时（说明存在极端大的值）
X > Me > Mo
3.在偏斜度适度的情况下，不论是左偏还是右偏，中位数与 在偏斜度适度的情况下，不论是左偏还是右偏， 在偏斜度适度的情况下 算术平均数之差约等于众数与算术平均数之差的1/3， 算术平均数之差约等于众数与算术平均数之差的 ，即有如 下经验公式： 下经验公式： 1 M e − X = (M O − X ) 3
集中和离散趋势
K n(n 1) ( xi x )4 3[ ( xi x )2 ]2 (n 1) (n 1)(n 2)(n 3)s 4
分组
K
4 ( M x ) fi i i 1
k
ns
4
3
峰度系数
K=0，数据服从标准正态分布 K>O，数据呈尖峰分布 K<0，数据呈平峰分布
总体方差
2
样本方差
2 ( X X ) i i 1
N
N
2 ( x x ) i i 1 n
s2
n 1
自由度
概念
一组数据中可以自由取值的个数 当样本数据的个数为n时，若样本均值 x 确 定后，只有n－1个数据可以自由取值，其中必 有一个数据不能自由取值，所以自由度为n－1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
A、B两组学生成绩
6 方差和标准差
方差（Variance）
各变量值与其平均数离差平方的平均数
图示 变量值 平均数 变量值 到均值 的距离
标准差（Standard
deviation，S.D.）
方差的平方根 标准差越大，变量值越分散，平均数解释力越低
方差的计算公式
小结
集中－离散
众数－异众比例 中位数－极差 四分位数－四分位差 平均数－方差、标准差、标准误、离散系数 选用哪组测度指标要根据掌握的数据的类型和分 析目的来确定
小结
表1 不同层次数据的集中趋势测量指标 众数 分 定类 变量值 类 定序 连 定距 变量值 续 组中值 定比 计算 中位数 平均数
集中趋势和离散趋势
众数
(mode)
1. 2. 3.
出现次数最多的变量值
不受极端值的影响
一组数据可能没有众数或有几个众数
4.
主要用于分类数据，也可用于顺序数据 和数值型数据
The Mode 众数
1.
排序后处于中间位置上的值
50%
Me
50%
2. 不受极端值的影响 3. 主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能 用于分类数据
顺序数据的中位数
(例题分析)
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别
非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 甲城市
户数 (户)
24 108 93 45 30
累计频数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
位置 n 1 2 9 1 2 5
中位数 1080
数值型数据的中位数
(10个数据的算例)
【例】：10个家庭的人均月收入数据
排 位 序: 置: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
22 18 12 18 100
在所调查的50人中，购 买可口可乐的人数最多， 为15人，占总被调查人数 的30%，因此众数为“可 口可乐”这一品牌，即 Mo＝可口可乐
顺序数据的众数
(例题分析)
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 甲城市 户数 (户) 24 108 93 45 30 百分比 (%) 8 36 31 15 10
【个人精编】数据集中趋势和离散程度笔记
数据的集中趋势和离散程度笔记一、知识点梳理知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。
（1）平均数算术平均数（简称为平均数）：121()n xx x x n（公式一）①一般地，如果在一组数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，……，x k 出现f k 次，（f 1，f 2，…f k 为正整数），则这组数据的平均数：当n 个数据中某些数据反复出现时，用该公式较简洁； f 1+f 2+…+f k =n （数据的总个数）。
②一般地，如果一组数据都在某个数a 上下波动时，就可以采用把原来每个数据都减去a ，得一组新数据，再算得这组新数据的平均数'x ，这样原来数据的平均数是：x ＝a ＋'x （公式三）平均数定义公式和两个简化计算公式都很重要，应根据具体情况，恰当选用。
特别的：一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，①若每个数据都扩大a 倍，即ax 1，ax 2，…，ax n ，则平均数也扩大a 倍，即a x ； ②若每个数据都增加b ，即x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b ，则平均数增加b ，即x ＋b ； ③若每个数据都扩大a 倍后又都增加b ，则平均数也扩大a 倍后增加b ，即a x ＋b ． 当数据组中数据较大又在某个数值左右波动或数据之间存在某种倍数关系时，利用这些规律求平均数比较直接、简便。
加权平均数在计算数据的平均数时，往往根据其重要程度，分别给每个数据一个“权”，由此求出平均数叫做加权平均数。
恒量各个数据“重要程度”的数值叫做权。
相同数据的个数叫做权，这个“权”含有所占分量轻重的意思。
ω1越大，表示x 1的个数越多，于是x 1的“权”就越重。
若n 个数x 1，x 2，…，x n 的权是分别是ω1，ω2，…，ωn ，则x ＝nnn x x x ωωωωωω++++++ 212211① 当ω1＝ω2＝…＝ωn ，即各项的权相等时，加权平均数就是算术平均数。
数据的集中趋势和离散程度知识点
数据的集中趋势和离散程度知识点文章一：《啥是数据的集中趋势？》朋友们，咱今天来聊聊数据的集中趋势。
比如说，咱班这次考试的成绩。
要是大部分同学都考了 80 分左右，那 80 分就可能是这个成绩数据的集中趋势。
再比如，咱去菜市场买菜。
一堆苹果，大多数都在半斤左右，那半斤就是这堆苹果重量数据的集中趋势。
像平均数、中位数和众数，都是能帮咱找到数据集中趋势的好帮手。
就拿平均数来说，一家人一个月的水电费，把所有费用加起来除以天数，得到的那个数就是平均数，能大概反映出这家人每天用水电的平均情况。
数据的集中趋势能让咱一下子就明白一堆数据的中心在哪儿，是不是挺有用？文章二：《走进数据的集中趋势》亲爱的小伙伴们，今天咱们来探索一下数据的集中趋势。
想象一下，学校运动会上，大家跑步的时间。
如果很多同学都在2 分钟左右跑完，那 2 分钟差不多就是跑步时间这个数据的集中趋势啦。
还有，大家一起收集树叶，看看树叶的大小。
要是多数树叶的面积都差不多，那这个差不多的大小就是树叶面积数据的集中趋势。
咱举个例子哈，一个班级同学的身高，把所有人的身高加起来除以人数，得到的那个数就是平均身高。
这个平均身高就能让咱知道这个班同学大概的身高水平。
再比如说，一组数字 3、5、5、7、8，这里面 5 出现的次数最多，那 5 就是众数，也是这组数据的集中趋势之一。
所以说，了解数据的集中趋势能帮咱快速抓住重点，是不是很有意思？文章三：《数据的集中趋势，你懂了吗？》朋友们好呀！今天咱们要说的数据的集中趋势，其实不难理解。
比如说，咱们去超市买零食，看各种零食的价格。
要是大部分零食都在 5 块钱左右，那 5 块钱就是这些价格数据的集中趋势。
再比如，咱们统计一个月里每天的气温。
如果有好多天的气温都在 25 度上下，那 25 度就可能是这个气温数据的集中趋势。
就拿咱班同学的零花钱来说吧，把大家的零花钱都加起来，再除以人数，算出来的那个数就是平均零花钱。
通过这个平均零花钱，咱能大概知道同学们零花钱的一般情况。
03集中趋势与离散趋势
极差小表示资料比较集中，
极差大表示资料分散。 极差计算方便，但是由于它的值是由端点的变量值 决定的，因此个别远离群体的极值会极大的改变极 差，使它不能真正反映资料全体的分散程度。
（三）四分互差（Interquartile range）Q 用对应于c%↑为75%的变量值 Q和对应于 c%↑为25%的变 75 量值 Q相减，得到四分互差。 25
频次 累计频次
70 121 182 85 91 242 363 545 697 788
累计百分比C%↑
24.2 36.3 54.5 69.7 78.8
L(U % 25%) U (25% L%) Q25 U % L%
L(U % 75%) U (75% L%) Q75 U % L%
2、分组数据： 真实组界限
0.2-0.4 0.4-0.6 0.6-0.8 下界值L←0.8-1.0 →上界值U 1.0-1.2
频次 累计频次
累计百分比C%↑
121 182
363 545
36.3→下界累计百分比L% 54.5 →上界累计百分比U%
通过累计百分比中的50%点求出：
（1）根据统计表中的累计百分比， 找出含有50%的区间。
N f mo N
f mo 众值的频次。
异众比率越小，众值的代表性越好，信息量越 大。反之，一种比率越大，众值的代表性越差，所 提供的信息量越小。 异众比率是众值的补充。 例如：（男，10） 10 0 .2 50 （女，40）
（二）极差(range）R
——对定序以上变量分散程度的度量。 R=max-min（观察的最大值减去最小值） 例如：1，2，3，4，6 R=6-1=5
70
60
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2020/6/2
21
频数分布图（直条图bar chart）
• 各种参数都有抽样误差，这里我们以均数为 研究对象
2020/6/2
12
• 假如事先知道某地七岁男童的平均身高为 119.41cm。为了估计七岁男童的平均身高（总体 均数），研究者从所有符合要求的七岁男童中每次 抽取100人，共计抽取了三次。
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
X 118.21cm s=4.45cm
2020/6/2
8
•思考下列变量的有哪些类型？依据？
•依据有无度量衡单位，取值的属性
病例号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
年龄
(岁) 35 44 26 25 41 45 50 28 31
性别 身高 血型 心电图 尿WBC 职业 RBC
(cm)
（1012/L）
女 1.65 A 正常
－
教师 4.67
2020/6/2
16
小概率事件
• 小概率事件 医学研究中，将概率小于等于0.05或0.01的事
件称为小概率事件。
• 小概率原理 小概率事件并不表示不可能发生，但在某一次
试验中，由于其发生的可能性十分小，近似认为是 不会发生的。
2020/6/2
17
二、数值变量的集中与离散趋 势
1. 频数表与频数图的绘制与用途 2. 集中趋势的描述：算术平均数、几何
表1 1998年某山区96名孕妇产前检测次数频数分布表
检查次数
0 1 2 3 4 5 >5 合计
频数
4 7 11 13 26 23 12 96
频率（％） 累计人数
4.2
4
7.3
11
11.5
22
13.5
35
27.1
61
24.0
84
12.5
96
100.0
—
累计频率 （％） 4.2 11.5 22.9 36.5 63.5 87.5 100.0 —
• 样本（Sample）：是从总体中按照一定的目的 按照一定的原则抽取的一部分个体。
• 请考虑如何判断样本是否有代表性；抽样研究 的目的？
•
随机、样本含量；推断总体信息
2020/6/2
7
变量与变量值
在医学研究中，根据研究目的的要求对一 些观察项目或研究指标在一些研究对象中进行 观察(或测量)，由于这些指标存在着变异，故把 这些观察项目或研究指标（属性、特征）称为 随机变量，简称变量(variable)，而观察结果对 应的取值称为变量值或资料(value of variable) 。
X 120.18cm s=4.90cm
X 120.81cm
s=4.33cm
2020/6/2
13
• 三次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同
每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
抽样误差
2020/6/2
14
抽样误差的表现
抽 样 误 差 的 表 现
2020/6/2
样本均数和 总体均数间 的差别 X i
＋
军人 5.24
2020/6/2
9
数值变量
变量 类型
分类变量
连续型变量:如:身高,体重
离散型变量:如子女数,脉搏数
无序分类
二项分类:如男女,有效无效 多项分类:如血型,职业特征
2020/6/2
有序分类:如血清反应,治疗效果
10
参数和统计量
• 总体参数 （Parameter ）：描述总体特征的指标。 • 统计量（ Statistic）：反映样本特征的指标。 • 总体参数与统计量有哪些区别与联系呢？ • 答：1.在总体被确定之后，总体参数就是一个常数，是
2020/6/2
3
同质（homogeneous）示例
在研究事物的形颜状色时
2020/6/2
4
变异（Variation）示例
在研究事物的颜色时
2020/6/2
5
变异（Variation）示例
发热者体温波动 正常人体温波动
2020/6/2
6
总体和样本
• 总体（Population）：根据研究目的所确定的同 质观察单位的全体；
它们探寻数据的分布规律。
2020/6/2
19
离散型定量变量的频数分布
• 离散型定量变量（discrete variable）通 常是指取值不连续的定量变量，通常只能 取数轴上的整数值。
• 例如受检次数、新生儿数、手术病人数等
• 例：1998年某山区96名孕妇产前检测次数 数据？
2020/6/2
20
男 1.74 B 男 1.80 O
正常 正常
－
工人 5.21
＋
职员 4.10
女 1.61 AB 正常
＋
农民 3.92
男 1.71 A 异常
++ 工人 3.49
女 1.58 B 正常
++ 工人 5.48
女 1.60 O 异常
++ 干部 6.78
男 1.76 AB 正常
+++ 干部 7.10
女 1.62 O 正常
预防医学（医学统计学）/2
1
实习纲要
• 医学统计学中的基本概念； • 集中趋势与离散趋势的统计指标
2020/6/2
2
一、医学统计学的基本概 念
1. 同质及变异 2. 总体与样本 3. 变量及其分类 4. 参数与统计量 5. 抽样误差 6. 概率与小概率事件
平均数、中位数、众数
3. 离散趋势的描述：极差、四分位数间 距、方差与标准差、变异系数
2020/6/2
18
• 由于个体变异的存在，医学研究得到的原始数据(raw data)往往是庞大的，但也不是杂乱无章的，而是有 一定规律的，呈一定的分布(distribution)
• 频数分布表的基本思想：将原始数据按照一定的标准 划分为若干各组，合计各组数据的个数（频数），得 到频数分布表；在将频数表绘制成频数分布图。通过
不会变化的，不管你是否确切知其大小；而统计量是几乎 总是随着样本而变的。
2.为了区分参数与统计量通常用希腊字母表示参数； 用拉丁文字母表示统计量。
3.通常参数是未知的，而统计量则可以通过抽样研究 得到，故统计学通常用统计量估计参数（参数估计）。
2020/6/2
11
抽样误差
• 【定义】由于个体变异的存在，在抽样研究 中产生样本统计量和总体参数之间的差异， 称为抽样误差（sampling error）。
样本均数和 样本均数间 的差别 X i X j
15
概率
• 概率的统计学定义： 数理统计学中的大数定理表明：当观察次
数n越来越大，频率f的随机波动幅度越来越小， 并最终趋向于一个常数p：随机事件A发生的 概率 (Probability)。 • 概率描述了随机事件发生的可能性的大小。是 一种参数。
• 0≤P ≤1