Laplace变换习题课

《Laplace 变换》习题课
一、 基本要求
1. 理解并记住Laplace 变换及其逆变换的定义；了解Laplace 变换存在定理；
2. 理解Laplace 变换的性质，并会证明积分性质和微分性质；
3. 熟练掌握Laplace 变换及其逆变换的计算方法；
4. 理解卷积的定义与卷积定理，会计算两个函数的卷积；
5.
掌握Laplace 变换在求解线性微分方程（组）的求解方法
二、 内容提要
1. Laplace 变换及其逆变换的定义；
()()st F s f t e dt +∞
-=⎰
；
)]([)(1s F L t f -==
1()2i st
i F s e ds i
ββπ+∞-∞⎰（右端成为反演积分） 2. Laplace 变换的性质；
线性性质；微分性质；积分性质；位移性质；延迟性质 3. Laplace 逆变换的计算方法； 重要定理：
若1s 、2s ……n s 是函数)(s F 的所有奇点（包含在β<)Re(s 的范围内），且
0)(lim =∞
→s F s ，则∑==n
k k st s e s F s t f 1
],)([Re )(,其中)]([)(t f L s F =。

有了以上定理，就可以利用复变函数求留数的方法来求像原函数)(t f ，下面就函数
)(s F 是有理函数的情形来给出计算方法，即 ()()/()F s A s B s =
分两种情形考虑：
4. 卷积的定义与卷积定理；
)(1t f 与)(2t f 的卷积（t>=0）定义为：⎰-=*t
d t f f t f t f 0
2121)()()()(τττ
卷积定理：
1212[()*()]()()L f t f t F s F s =•
或
=*)()(21t f t f 112[()()]L F s F s -•
其中=)(s F i 1
[()]i L f t -（i=1,2）
5. 应用
主要掌握Laplace 变换在解常微分方程（组）中的应用。

三、 几个常用函数的Laplace 变换
1[()]L u t s =； 1
[](Re()0)at L e s a s a
=->-；[()]1L t δ=
22[sin ]k s k L kt +=；22
[cos ]s
s k L kt +=；1![]m m m L t s
+= 四、 典型例题解答
例题1. 已知0
()sin 2t
f t t t dt =
⎰，求[()]L f t 。

解：利用积分性质：0
[()]
[
()]t
L g t L g d s
ττ=
⎰
因为 22[sin 2]4L t s =
+，所以[()]L f t =0[sin 2]
[sin 2]t L t t L t t dt s
=⎰ 利用微分性质：()[()]F s L tg t '=-⇔{[()]}[()]d
L g t L tg t ds
-=
从而22
[sin 2]{[sin 2]}[]4
d d L t t L t ds ds s =-=-+=？
例题2. 计算])1(1
[
2
1
--s s L
解：共提供4种方法，是本章方法的一个总结。

方法1. 因式分解：
22
1111
(1)1(1)s s s s s =-+--- 故原式=1
1
12111[][
][]1(1)
L L L s
s s ----+--=1t t e te -+ 方法2 利用卷积定理：原式=1
1
201
1[]*[
]1*(1)
t t L L te e d s
s τ
ττ--==-⎰ 方法3 利用留数计算：
2
1
(1)s s -有有两个极点，0=s 是一阶的，1=s 是二阶的零
点，故
1|]
)2([1]0,)([Re 002='-=
=t
s st e s s e s F s
22111Re [(),1]lim [(1)](1)(21)!(1)
st
st t
s d s F s e s e e t ds s s →=
-=--- 所以 ]1,)([Re ]0,)([Re ])
1(1
[
2
1
st st e s F s e s F s s s L +=--)1(1-+=t e t 方法4 利用积分性质：0()[()]t
F s L f d s ττ=⇔⎰10()
[[()]]t F s L L F s dt s
-=
⎰ 110()[()][]t
F s L F s dt L s --⇔=⎰ 定义21()(1)F s s =-，则1121()[][](1)F s L L s s s
--=-=10[()]t L F s dt -⎰ 120
01[
](1)
t
t t L dt te dt s -=
=-⎰
⎰ 例题3 已知30sin 2()t t
e t
f t dt t
-=⎰，求[()]L f t 。

解：像函数的积分性质：设[()]()L f t F s =，则 （1）0
()[
()]t
F s L f d s
ττ=⎰
；（2）⎰+∞=s t t f du u F L )(][)(。

所以3sin 2[][()]t e t
L t L f t s -==32112[sin 2](3)4
t s s L e t ds ds s s s ∞
∞-=++⎰⎰ =13arctan 22s s π+⎛⎫
-
⎪⎝⎭
例题4 课本P105 习题四 2
例题5 课本P105 习题四 4
五、 课堂练习题
1. 已知202()3
2t f t t ≤<⎧=⎨≥⎩，则[()]L f t （=21(2)s
e s -+）；
2. 已知30
()sin 2t
t f t t
e tdt -=⎰
，求30
[()][sin 2]t
t L f t L t e tdt -=⎰
={}
30[sin 2]t t d
L e tdt ds
--
⎰ 因为 330[sin 2]
[sin 2]t t
t
L e t L e
tdt s
--=⎰。