2019中考数学专题汇编全集 几何图形的折叠(10道)

几何图形的折叠
1. 如图，在矩形ABCD中，把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕为AF.把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，则∠HAF＝________.
第1题图
45°【解析】由折叠的性质可得∠DAH＝∠GAH，∠BAF＝∠EAF，∵∠DAH＋∠GAH＋∠BAF＋∠EAF＝90°，∴2∠GAH＋2∠EAF＝90°，∴∠GAH＋∠EAF＝45°，∴∠HAF＝45°.
2. 如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边上的A′处，若AB＝3，∠EF A＝60°，则四边形A′B′EF的周长是________．
第2题图
5＋3【解析】由折叠知，∠EF A＝∠EF A′＝60°，又BC∥AD，∴∠A′EF＝∠EF A＝60°，∴△A′EF为等边三角形，∴A′F＝EF
＝A′E，又∠B′A′F＝90°，∴∠B′A′E＝30°，∵AB＝A′B′＝3，∴B′E ＝1，A′E＝2，∴C四边形A′B′EF＝A′B′＋B′E＋A′F＋EF＝3＋1＋2＋2＝5＋ 3.
3. (2018淄博)在如图所示的▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，将△ACD 沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于________．
第3题图
10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2，又∵△ACE是由△ACD折叠而来，∴由折叠的性质可知AE＝AD＝3，CE＝CD＝2，∴△ADE的周长为3＋3＋2＋2＝10.
4. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，BC边上有一点E，BE＝4，将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于点M，则线段AM的长为________．
第4题图
132 【解析】
如解图，过点M 作MF ⊥BC 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝∠B ＝90°，∴四边形ABFM 是矩形，∴BF ＝AM ，FM ＝AB ＝6，∵将纸片折叠，使A 点与E 点重合，折痕MN 交AD 于M 点，∴AM ＝ME ，设AM ＝x ，则EF ＝BF ＝x ，∴EF ＝x －4，在
Rt △MEF 中，ME 2＝EF 2＋MF 2，∴x 2＝(x －4)2＋62
，解得x ＝132，∴AM ＝132.
第4题解图
5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，cos B ＝34，点D 在BC 边上，
将△ABD 沿直线AD 翻折得到△AED ，点B 的对应点为点E ，AE 与BC 边交于点F .若BD ＝2，那么EF ＝________.
第5题图
3215 【解析】
如解图，过点A 作AH ⊥BC 于点H , ∵AB ＝AC ＝8，cosB ＝34， ∴BH ＝6＝CH ，BC ＝12, 由折叠可得，BD ＝DE ＝2，∠E
＝∠ABC ＝∠C ，AB ＝AE ＝6, 又∵∠AFC ＝∠DFE , ∴△AFC ∽△
DFE , ∴DF AF ＝EF CF ＝DE AC ＝14.设EF ＝x ，则CF ＝4x ，AF ＝8－x , ∴DF
＝14AF ＝2－14x , ∵BD ＋DF ＋CF ＝BC , ∴2＋2－14x ＋4x ＝12, 解得x ＝3215，∴EF ＝3215.
第5题解图
6. 如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且∠AFG ＝60°，GE ＝2BG ，则折痕EF 的长为________．
第6题图
2 【解析】∵∠AFG ＝60°，∴∠FGE ＝60°，∠GFE ＝∠DFE ＝60°，∴△EFG 为等边三角形，∵∠FGH ＝∠D ＝90°，∴在Rt △EGH 中，∠EGH ＝30°，∴GE ＝2EH ，GH ＝
30tan EH ＝3EH ，∵GE ＝2BG ，∴EH ＝EC ＝BG ，∴CD ＝GH ＝3EH ＝3BG ，∴BC ＝BG ＋GE ＋EC ＝BG ＋2BG ＋BG ＝4BG ，∵S 矩形ABCD ＝43，∴BC ·CD ＝4BG ·3BG ＝43，∴BG ＝1，GE ＝2，∴EF ＝GE ＝2.
7. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，CD 是斜边AB
上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE.若DE∥AC，则AE的长为________．
第7题图
23【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AD，∴∠B＝∠BCD，由折叠性质得BD＝DE，∠BCD＝∠DCE，∠B＝∠DEC，∴∠DEC＝∠DCE，∵DE∥AC，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DEC＝∠ACE＝∠BCD，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝30°，∴∠B＝30°，∴AC＝AD＝DE，又∵DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形，∵CD ＝DE，∴四边形ACDE是菱形，∴AC＝AE，在Rt△ABC中，∠B＝
30°，AC＝
3
3BC＝
3
3×6＝23，∴AE＝2 3.
8. (2018襄阳)如图，将面积为322的矩形ABCD沿对角线BD 折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E.若BE＝2，则AP的长为__________．
第8题图
162
3【解析】∵点A与点P关于BD对称，∴BD垂直平分
AP ，∴∠1＋∠2＝90°，又∵∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3，在矩形ABCD 中，∠ABE ＝∠BAD ＝90°，∴△ABE ∽△DAB ，∴
AD AB AB BE =，∵BE ＝2，∴AD ＝12AB 2，∵S 矩形ABCD ＝AB ·AD ＝AB ·12AB 2＝322，∴AB ＝4，AD ＝82，∴由勾股定理得BD ＝22AD AB +＝12，∵S 四边
形ABPD ＝S 矩形ABCD ，∴12AP ·BD ＝322，∴AP ＝1623.
第8题解图
9. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 、DE ，将△DEC 沿线段DE 翻折，点C 恰好落在线段AE 上的点F 处．若AB ＝6，BE ∶EC ＝4∶1，则线段DE 的长为________．
第9题图
210 【解析】由矩形ABCD ，得∠B ＝∠C ＝90°，CD ＝AB ，AD ∥BC .由△DEC 沿线段DE 翻折，点C 恰好落在线段AE 上的点F 处，得△DFE ≌△DCE ，∴DF ＝DC ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∵DF ＝AB ，∠AFD ＝90°，∴∠AFD ＝∠B ，由AD ∥BC 得∠DAF ＝∠AEB ，∴在
△ABE 和△DF A 中，⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DF AB AFD B DAF AEB ，∴△ABE ≌△DF A . ∵BE ∶EC
＝4∶1，∴设CE ＝x ，BE ＝4x ，则AD ＝BC ＝5x ，由△ABE ≌△DF A ，得AF ＝BE ＝4x ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得DF ＝3x ，又∵DF ＝CD ＝AB ＝6，∴x ＝2，在Rt △DCE 中，DE ＝22DC CE +＝22＋62＝210.
10. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝9，BC ＝6，在矩形边上有一点P ，且DP ＝3，将矩形纸片折叠，使点B 与点P 重合，折痕所在直线交矩形两边于点E ，F ，则EF 长为________．
第10题图 62或210 【解析】①如解图①，当点P 在边CD 上时，∵PD ＝3，CD ＝AB ＝9，∴CP ＝BC ＝6，∵△EPF 由△EBF 折叠而来，∴PF ＝FB ，∠EPF ＝∠ABC ＝90°，又∵∠PEB ＝∠EBF ＝90°，∴四边形PFBE 是正方形，∴EF ＝62；②如解图②，当点P 在边AD 上时，过E 作EQ ⊥AB 于点Q ，∵PD ＝3，AD ＝6，∴AP ＝3，∴PB ＝AP 2＋AB 2＝310，∵EF 垂直平分PB ，∴∠FEQ ＋∠EFQ ＝∠PBA ＋∠EFQ ，∴∠FEQ ＝∠PBA ，∵∠A ＝∠EQF ，∴△ABP ∽△QEF ，∴PB FE ＝AB QE ，∴310FE ＝96，∴EF ＝210.综上所述，EF 长为
62或210.
第10题解图。