高中数学必修五第二章数列章末检测题 附答案解析

第二章 数列章末检测题
(时间:90分钟,满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( ).
A.1111,,,,
234
B.1,2,3,4,
-- C.111
1,,,,
248
----
D.,n
2.数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n (n ∈N *),则a 4等于( ). A.11 B.15 C.17 D.20
3.600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的第( ).
A.20项
B.24项
C.25项
D.30项
4.在等比数列{a n }中,若a 2a 3a 6a 9a 10=32,则29
12
a a 的值为( ).
A.4
B.2
C.-2
D.-4 5.若{a n }为等差数列,S n 是其前n 项和,且S 11=
223
π
,则tan a 6的值为( ).
B.
C.
D.3
6.已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,若a 6=2,且S 5=30,则S 8等于( ). A.31 B.32 C.33 D.34
7.等比数列{a n }各项均为正,a 3,a 5,-a 4成等差数列,S n 为{a n }的前n 项和,则6
3
S S 等于( ). A.2 B.
78 C.98 D.54
8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若12020OB a OA a OC =+,且A ,B ,C 三点共线(该直线不过点 O ),则S 2 020等于( ).
A.1 008
B.1 009
C.1010
D.2 019
9.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5 个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( ).
A.55 986只
B.46 656只
C.216只
D.36只
10.若数列{a n }是等差数列,a 1>0,a 2 009+a 2 010>0,a 2 009a 2 010<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ).
A.4 017
B.4 018
C.4 019
D.4 020
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.在等比数列{a n }中,a 2 006和a 2 012是方程x 2+x-1=0的两根,则a 2 007a 2 011= . 12.若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q= ;前n 项和S n = . 13.数列{a n }的前20项由如图所示的程序框图依次输出的a 值构成,则数列{a n }的一个通项公式a n = .
14.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n-1,则a 1+a 3+a 5+…+a 25= .
15.已知函数()221x f x x =+,那么f (1)+f (2)+…+f (2 019)+f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭+f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+f 12019⎛⎫
⎪⎝⎭
= .
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)在等差数列{a n }中,a 1+a 3=8,且a 4为a 2和a 9的等比中项,求数列{a n }的首项、公差及前n
项和.
17.(8分)已知数列{a n }是等差数列,a 2=6,a 5=18;数列{b n }的前n 项和是T n ,且T n +1
2
b n =1. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和T n .
18.(9分)已知首项为3
2
的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列.
(1)求数列{a n }的通项公式; (2)设1
n n n
T S S =-(n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.
19.(10分)已知{a n}是首项为19,公差为-2的等差数列,S n为{a n}的前n项和.
(1)求通项公式a n及S n;
(2)设{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n.
20.(10分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=4S2,a2n=2a n+1.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设数列{b n}的前n项和为T n,且
1
2
n
n n
a
Tλ
+
+=(λ为常数),令c n=b2n(n∈N*),求数列{c n}的前n项
和R n.
参考答案
1.【解析】A 项中数列是递减的无穷数列,B 项中数列是摆动数列,D 项中数列是递增的有穷数列. 【答案】C
2.【解析】a 4=S 4-S 3=20-9=11. 【答案】A
3.【解析】a 1=1×2=1×(1+1),a 2=2×3=2×(2+1),a 3=3×4=3×(3+1),a 4=4×5=4×(4+1),…,a n =n (n+1),令n (n+1)=600,解得a=24或a=-25(舍去),即600是数列{a n }的第24项. 【答案】B
4.【解析】设公比为q ,由a 2a 3a 6a 9a 10=32,得5
6
32a =,所以a 6=2,所以2961261212
2a a a
a a a ⋅===. 【答案】B 5.【解析】()
()
11166116111122112
2
3a a a a S a π++==
==
,则623
a π
=
,6tan a = 【答案】B
6.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,
则有()11525515302a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩, 解得126343a d ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
, 所以()8188182
S a d ⨯-=+2648283233⎛⎫
=⨯
+⨯-= ⎪⎝⎭
. 【答案】B
7.【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,则有q>0.
∵a 3,a 5,-a 4成等差数列,∴a 3-a 4=2a 5,∴a 1q 2-a 1q 3=2a 1q 4,
即1-q=2q 2,解得q=-1(舍去)或q=
12
, ∴q=12,∴()
()613
63
633311119111128
11a q S q q q S q a q q
---⎛⎫===+=+= ⎪--⎝⎭-.
【答案】C.
8.【解析】∵A ,B ,C 三点共线,∴a 1+a 2 020=1.
∴()
120202020202010102
a a S +=
=.
【答案】C.
9.【解析】设第n 天所有的蜜蜂都归巢后共有a n 只蜜蜂,则有a n+1=6a n ,a 1=6,则数列{a n }是公比为6的等比数列,故a 6=a 1q 5=6×65=46 656. 【答案】B
10.【解析】由a 2 009+a 2 010>0,a 2 009a 2 010<0及a 1>0得a 2 009>0,a 2 010<0,且|a 2 009|>|a 2 010|,
于是()
14017401720094017401702a a S a +=
=>.
()()
140182009201040184018401802
2
a a a a S ++==
>,
()
14019401920104019401902
a a S a +=
=<.故选B .
【答案】B
11.【解析】由题意,得a 2 006a 2 012=-1.又数列{a n }是等比数列,故a 2 007a 2 011=a 2 006a 2 012=-1. 【答案】-1
12.【解析】由题意知352440
220
a a q a a +=
==+.
∵a 2+a 4=a 2(1+q 2)=a 1q (1+q 2)=20,∴a 1=2. ∴()12122212
n n n S +-=
=--.
【答案】2；2n+1-2
13.【解析】由题中程序框图知a 1=0+1=1,
a 2=a 1+2=1+2, a 3=a 2+3=1+2+3,…, a n =a n-1+n ,
即a n =1+2+3+…+(n-1)+n=()12
n n +.
【答案】
()12
n n +
14.【解析】当n=1时,a 1=S 1=12+2×1-1=2;
当2n ≥时,S n-1=(n-1)2+2(n-1)-1=n 2-2,所以a n =S n -S n-1=(n 2+2n-1)-(n 2-2)=2n+1.
此时若n=1,a n =2n+1=3≠a 1,所以2,1
21,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩
故a 1+a 3+a 5+…+a 25=2+(7+11+15+…+51)=2+()
127512
⨯+=350.
【答案】350
15.【解析】()2
22211111n n f n f n n n
⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭+2221111n n n =+=++(n=2,3,4,…). 又()2211
1112f ==
+，故有 ()()()111122019232019f f f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫++
+++
++ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
()()()()1111232019232019f f f f f f f ⎡
⎤⎡
⎤⎡
⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦⎣⎦
()120182018.5f =+=.
【答案】2018.5
16.【解析】设该数列公差为d ,前n 项和为S n .
由已知,可得2a 1+2d=8,(a 1+3d )2=(a 1+d )(a 1+8d ),
所以,a 1+d=4,d (d-3a 1)=0,解得a 1=4,d=0或a 1=1,d=3,即数列{a n }的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.
所以,数列{a n }的前n 项和S n =4n 或S n =232
n n
-.
17.【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ,
由题意,得11
6
418a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得a 1=2,d=4. 故a n =2+4(n-1)=4n-2.
(2)当n=1时,b 1=T 1,由T 1+12b 1=1,得b 1=2
3
. 当2n ≥时,∵T n +
12b n =1,∴T n =1-12b n ,T n-1=1-1
2
b n-1, ∴T n -T n-1=12(b n-1-b n ).∴b n =12(b n-1-b n ),∴b n =1
3b n-1.
∴数列{b n }是以23为首项,1
3为公比的等比数列.
∴21113311313
n n n T ⎛⎫- ⎪⎝⎭
=
=--. 18.【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ,因为S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列,
所以S 5+a 5-S 3-a 3=S 4+a 4-S 5-a 5,即4a 5=a 3,于是q 2=5314
a a =. 又数列{a n }不是递减数列且a 1=
32,所以q=12
-. 故等比数列{a n }的通项公式为()
1
1
3131222n n n n
a --⎛⎫
=⨯-=-⋅
⎪
⎝⎭
. (2)由(1)得11,121121,2
n
n n n n S n ⎧+⎪
⎪⎛⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎪
-⎪⎩为奇数为偶数
当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小,所以13
12
n S S <≤=, 故11113250236
n n S S S S <-
≤-=-=. 当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以23
14
n S S =≤<, 故221134704312
n n S S S S >-
≥-=-=-.
综上,对于n ∈N *,总有715126
n n S S -
≤-≤. 所以数列{T n }最大项的值为
56,最小项的值为7
12
-. 19.【解析】(1)因为{a n }是首项为19,公差为-2的等差数列,
所以a n =19-2(n-1)=-2n+21,即a n =-2n+21, S n =19n+
()12
n n -×(-2)=-n 2+20n ,即S n =-n 2+20n.
(2)因为{b n -a n }是首项为1,公比为3的等比数列, 所以b n -a n =3n-1,即b n =3n-1+a n =3n-1-2n+21,
所以T n =b 1+b 2+…+b n =(30+a 1)+(3+a 2)+…+(3n-1+a n )
=(30+3+…+3n-1)+(a 1+a 2+…+a n )
()
2
1132013n n n ⨯-=-+-2
31202
n n n -=-+.
20.【解析】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.
由S 4=4S 2,a 2n =2a n +1,得
()()111
14684212211a d a d
a n d a n d +=+⎧⎪⎨
+-=+-+⎪⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩ 因此a n =2n-1,n ∈N *. (2)由题意知12
n n n
T λ-=-
, 所以当2n ≥时,112112222n n n n n n n n n b T T ------=-=-
+=. 故()1
*2212211,24n n n n n c b n n N ---⎛⎫
===-∈ ⎪
⎝⎭
.
所以()0
1
2
3
1
111110123144444n n R n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+⨯+
+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,
则()()1
2
3
4
1
11111110123214444444n n
n R n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
).
两式相减得
()1
2
3
1
3111111444444n n
n R n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
()1114411414n
n n ⎛⎫
⎪⎛⎫⎝⎭=-- ⎪⎝⎭-
1131334n n +⎛⎫
=- ⎪⎝⎭,整理得1131494n n n R -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 所以数列{c n }的前n 项和1131494n n n R -+⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.。