安徽大学期末试卷量子力学习题.doc

量子力学试题

1. 1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系：_____________________________

2. 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：_____________________________

3. 计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长_____________________________

4. 计算对易式)](,ˆ[x f p

x 和)]ˆ(,[x p f x ，其中x p ˆ为动量算符的x 分量，)(x f 为坐标的x 函数.

5. 如果算符βα

ˆˆ、满足关系式1ˆˆˆˆ=-αββα，求证 (1) βαββα

ˆ2ˆˆˆˆ22=- (2) 233ˆ3ˆˆˆˆβαββα

=- 6. 设波函数x x sin )(=ψ，求?][][(

22=ψ-dx

d

x x dx d ψ 7. 求角动量能量算符ϕ

∂∂

-=

i L z

ˆ的本证值和本征态 8. 试求算符dx

d

ie F

ix

-=ˆ的本征函数 9. 证明一维束缚定态方程的能量E 是非简并的

10. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称 11. 一粒子在一维势场

⎪⎩

⎪

⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)(

中运动，求粒子的能级和对应的波函数 12. 设t=0时，粒子的状态为

]cos [sin )(212kx kx A x +=ψ 求此时粒子的动量期望值和动能期望值 13. 一维运动粒子的状态是

⎩

⎨⎧<≥=-0 ,0 0

,)(x x Axe x x 当当λψ

其中0>λ，求：

(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的动量期望值。

14. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒

子的状态由波函数 )()(x a Ax x -=ψ 描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值.

15.设粒子处于范围在],0[a 的一维无限深势阱中状态用函数

a

x

a

x

a x ππ2

cos sin

4)(=

ψ，求粒子能量的可能测量值及相应的几率

16. 设氢原子处在0

3

1

),,(a r e

a

r -=πφθψ的态（0a 为第一玻尔轨道半

径），求 (1)

r 的平均值；(2)势能r

e 2

-

的平均值

17. 质量为m 的一个粒子在边长为a 的立方盒子中运动，粒子所受

势能(,,)V x y z 由下式给出：()()()0,0,;0,;0,(,,),x a y a z a V x y z others

∈∈∈⎧⎪=⎨

∞⎪⎩；

试写出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数；

18. 氢原子处于态()433141104111122,,3

3

3

r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问 （1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由；

（2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少

19. 在一维谐振子能量表象中写出坐标x 和动量p 的矩阵表示 20. 在t=0时，自由粒子波函数为

()⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<

=b 2x 0b 2x bx

sin 2b 0,x πππψ (1) 给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；

[

2221)(22sin )2()(41x

x p b b

b p i b -+ ππ] (2) 求出几率最大的动量值；b p x ±=

(3) 求出发现粒子在x dp b b +- 区间中的几率；

[x x 2

dp b

1

dp )b ( =

ϕ] 21. 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微

扰H 'ˆ的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='221121

12

，；b a 、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值

22. 一维无限深势阱)0(a x <<中的粒子受到微扰

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=')

2( )1(2)2

0( 2)(a x a a x a x a x

x H λλ

作用，试求基态能级的一级修正。)2

21(

2

πλ+= 23. 具有电荷为q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为)(ωI 。其波长较长，求：

① 原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。

α

21 ②讨论跃迁的选择定则。1±=m ∆

24. 电荷e 的谐振子，在0=t 时处于基态，0>t 时处于弱电场

τεε/0t e -=之中(τ

为常数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。

25.质量为m 的粒子处于位势 ()⎩⎨

⎧∞

≤<≤<≤<=其他和a

z 0a y 0,a x 00z ,y ,x V

中。假设它又经受微扰bxy H

ˆ='，试求第一激发态能量的一级修正。 26. 用试探波函数

a /x )x (e -=ψ，

估计一维谐振子基态能量和波函数

27.设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为 H

，它在 H 0表象中的