圆锥曲线与方程知识点复习及例题

圆锥曲线与方程知识点复习及

例题

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第二章 圆锥曲线与方程

§椭圆:知识梳理

1、椭圆及其标准方程

（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .

（2）.椭圆的标准方程：12222=+b y a x 122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）

（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果

2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.

2、椭圆的简单几何性质（a ＞b ＞0）. （1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程12

2

2

2

=+

b

y a

x , 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做

椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，

(2).离心率： a c e =2

21b a

=- 0＜e ＜越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近

于0时，椭圆就越接近于圆.

(3)椭圆的焦半径： ex a MF +=1，ex a MF -=2.2a =2b +2c

典例剖析

(4).椭圆的的内外部点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b

⇔+<

(5).焦点三角形21F PF ∆经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．

将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠结合起来，建立12PF PF +、12PF PF ⋅等关系．

§2.1.1椭圆及其标准方程:典例剖析

题型一 椭圆的定义应用

例1

题型二 椭圆标准方程的求法

例2 已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53

(,)22

-，求椭圆的标准

方程

§2.1.2椭圆的简单的几何性质

典例剖析

题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等．

例1 已知椭圆22(3)(0)x m y m m ++=>的离心率3

2

e =

，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

例2 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A ．

22 B ．212

- C ．22- D ．21-

例3 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线

2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．

§双曲线:知识梳理

1、双曲线及其标准方程

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a

＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜

2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

（2）.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 2、双曲线的简单几何性质

（1）.双曲线12222=-b y a x 实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e ==心率e 越大，开口越大.

（2）.双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b

y ±=或表示为02222=-b

y a x .若已知

双曲线的渐近线方程是x n

m

y ±

=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.

双曲线焦半径应用举例

双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。已知点P(x 0，y 0)

在双曲线22a x －22

b

y = 1 (a ＞0，b ＞0)上，F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦点。若

点P 在右半支上，则| PF 1| =e x 0+ a ，| PF 2| =e x 0－a ；若点P 在左半支上，则| PF 1| =－(e x 0+ a) ，| PF 2| =－(e x 0－a)．利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例，供参考。

一、求双曲线的标准方程

例1、 设F 1、F 2是双曲线22a x －22

b

y = 1 (a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，l

为左准线，离心率e=

23，P(－3

28

,m)是左支上一点，P 到l 的距离为d ，且d ，| PF 1|，| PF 2|成等差数列，求此双曲线方程。

分析；利用焦半径，结合双曲线的第二定义列出等式，求出待定系数.

解：由双曲线的第二定义知：d =3

2

| PF 1|，又| PF 1| =－(e x 0+ a) = 14－a,

| PF 2| =－(e x 0－a) = 14＋a,由已知得：d ＋| PF 2| = 2| PF 1|，即3

2

(14－a)＋

(14＋a)=28－2a 得：a = 2， c =3， b =5，故双曲线的方程为42x －5

2

y =1。

评注：利用焦半径公式，可使运算过程简便易行。 二、求值

例2 双曲线92x －16

2

y =1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若P F 1

⊥P F 2，则点P 到x 轴的距离为_____________.

分析；利用焦半径及勾股定理，列出等式，求出P 点纵坐标即可。 解：不妨设P 在双曲线上右支上，设P(x 0，y 0)，

则| PF 1| =e x 0+ a = 3＋35x 0，| PF 2| =e x 0－a =3

5

x 0－3，

则| PF 1|2＋| PF 2|2= |F 1F 2|2，即：(3＋35x 0)2＋(3

5

x 0－3) 2=100，

所以2

x =25369，又920x －162

0y =1，所以2

0y =25

256，所以点P 到x 轴的距离为

5

16。 评注：利用双曲线的定义和焦半径公式，简单明了。 三、求范围

例3 如图，已知梯形ABCD 中，|AB| = 2|CD|，点E 分有向线段−→

−AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当32≤λ≤4

3

时，求双曲线离心率e 的取值范围．