数学物理方法课件：第6章拉普拉氏变换

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《拉氏变换详解》课件

积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题时非常有用，可以方便地得到原函数的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性，它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用

数学物理方法1课件——第六章拉普拉斯变换

解：按照拉普拉斯变换的定义，有
∫ ∫ ∞ sin ωt e− ptdt = 1
0
2i
∞ 0
⎡⎣e−(
p −iω
)t
− e−( p+iω)t ⎤⎦ dt =
1⎡ 1
2i ⎢⎣ p − iω
−
p
1
+ iω
⎤ ⎥⎦
=
ω p2 +ω2
sin ωt
U
ω p2 +ω2
类似地，有
∫ ∫ ∞ cosωt e− ptdt = 1
f (n) (t) U pn F ( p) − pn−1 f (0) − pn−2 f (1) (0) − ... − f (n−1) (0)
通过拉普拉斯变换，把原函数的微商运算转化为像函数的乘法运算，而且还自动包括了原函数的初值。
例2 已知函数f(t)满足如下二阶常微分方程
d 2 f (t) + ω2 f (t) = 0
∞
∑ f (x) = cneiknx n=−∞
∫ 其中kn=nπ/l 为波数
cn
=
1 2l
l f (x)e−iknxdx
−l
¾ 实数形式的傅里叶积分变换
∞
∞
f (x) = ∫0 A(k) cos(kx)dk +∫0 B(k) sin(kx)dk
其中
∫ A(k) = 1
∞
f (x) cos(kx)dx
=
−
1
0
p
∞ tde− pt
0
=
−
1 p
⎡⎢⎣te− pt
∞ 0
−
∞ 0
e−
pt
dt
⎤ ⎥⎦

拉普拉斯变换法ppt课件

.
一些常用函数的Laplace变换表
函数，F（t） A t
Ae-at
A (eatebt) ba
Ate-at
L氏变换，f（s） A/s 1/s2
A/(s+a) A/s(s+a)
A/(s+a)(s+b)
A/(s+a)2
四、L氏变换解线性微分方程
1. 零级静脉输注速度表达式： dX k0 kX
dt
L氏变换
s[L X(t) ]X(0)k0k[L X(t)] s
sXX(0)k0kX S
X k0 s(s k)
方程终解 Xk0(1ekt) K.
2. 静脉注射 dX kX dt
( t=0, X=X0)
s[X L (t) ]X (0 ) k[X L (t)]
sXX(0)kX
X X0 sk
XX0ekt.
sLf(t) f (0)
三、L氏变换的重要性质 ❖ L氏变换是线性变换
设 F (t) n A iF i(t) i 1
则 L F ( t) nA iL F i( t) i 1
即代数多项式的L氏变换等于各项变换的代数和。
❖ 微分性质
若 L F (t)f(S )
则 L F ' ( t ) s ( S ) F f ( 0 ) s F ( t ) L F ( 0 )
L(A)0estAdtSA
2. 指数函数 f（t）= e-at
L (e a)t0 e s(te a)tdt0 e (s a)tds t 1a
L(Aeat) A sa
f) t0 estdd (tf)td t0 esd t (tf)
Lddf(tt)f (0)s0est f (t)dt

《拉普拉斯变换》课件

详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统不稳定。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
拉普拉斯变换的运算技巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将时间变量乘以常数，此时可以利用积分性质简化拉普拉斯变换的运算。
REPORT
《拉普拉斯变换》 PPT课件
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器学习、数据科学等领域中的应用前景值得关注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换的理论研究，提高其在实际问题中的应用效果，同时探索新的应用领域，推动科学技术的发展。

拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表.ppt

2.2.2 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件： ① 当t≥0时，f(t) 分段连续，只有有限个间断点； ② 当t →∞时，f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即
f (t ) Meat
式中：M、a为实常数。
在复平面上，对于Res >a的所有复数s (Res表示s的实部)都使积分式绝对收敛，故Res >a是拉普拉斯变换的定义域， a称为收敛坐标。

1 jt -jt st Lsin t sin t e dt e e e dt 0 2j 0 1 - ( s-j ) t -( s j ) t 1 1 1 e e dt 2 2j 0 2 j s-j s j s 2
st
0
1 2 s
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(4) 指数函数
指数函数表达式：
f (t ) e at
式中：a是常数。其拉普拉斯变换为：
Le

at

0
e e dt e
at st 0

( s a ) t
1 dt sa
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换

若：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有

(n)
1 f (t )dt n F ( s) s

注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。
2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (5) 终值定理若： L f (t ) F (s)
df (t ) L sF ( s) f (0) dt df (t ) 证明： df (t ) st st L e d t e df (t ) 0 dt 0 dt

拉普拉斯变换 PPT

F(s ) = ∫ f (t )e −st dt
0
∞
变量s叫做拉普拉斯算子。它为一复变数，变量叫做拉普拉斯算子。它为一复变数，即s=σ+jω。叫做拉普拉斯算子。
是一单位阶跃函数时为1；例：设f(t)是一单位阶跃函数，其定义为：t>0时为； t<0时为是一单位阶跃函数，其定义为：时为时为 0。求此函数的拉普拉斯变换值。。求此函数的拉普拉斯变换值。
∞
∫ f (t ) e
0
− st
dt = ∫ e
0
∞
− at
⋅e
− st
1 −( s + a )t ∞ dt = − e = 0 s+a
1 s +a
2、拉氏反变换、
它是拉氏变换的F(s)求取的运算。 F(s)的拉氏反变求取f(t)的运算它是拉氏变换的求取的运算。的拉氏反变换记为：换记为：f(t)=L -1[F(s)]。并且由拉氏反变换积分求出，。并且由拉氏反变换积分求出，
A1 A2 Ar + + ⋯+ , 2 r (s + si ) (s + si ) (s + si )
r −1
r−2
1 d2 ( s + si ) r X ( s ) = s = −s 2! ds2 i
1 d r −1 ( s + si ) r X ( s ) = s = −s ( r − 1) ! d s r − 1 i
= s n F ( s ) − s n −1 f (0 + ) − s n − 2 f (1) (0 + ) − ⋯ − f ( n −1) (0 + )

数学物理方法课件：6-拉普拉斯变换

t
[ e p f2 ( )d ]e p f1( )d f1( p) f2 ( p)
00 15
例在LR串联电路中加上一方形脉
冲电压E
E(t)
0E,0 ,
t
0
T
t
T
E (t )
求电路中的电流 i (t)，设 i (0)=0。
解
L di Ri E (t) dt
(1)
由(2)得 I ( p) 1 E( p)
f(t) f(t-t0)H(t-t0)
o
t0
t
14
(7)卷积定理 L [ f1(t) f2 (t)] f1( p) f2 ( p).
其中 L [ f1(t)] f1( p), L [ f2 (t)] f2 ( p),
t
τ
f1(t) * f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
2. Laplace 变换即(6.1.3)式存在的条件
（1）在 0 t < 的任一有限区间上，除了有限个第一类间断点外，函数 f(t) 及其导数是处处连续的，
（2）存在常数 M>0 和 0，使对于任何t (0 t < ), 有
| f (t) | Me t
的下界称为收敛横标，以0 表示。大多数函数都满足这个充分条件
L
L0
E0
R E0
R
Rt
(1 e L ),
RT
Rt
(e L 1)e L ,
0t T t T
16
本节作业：第95页（1，2，4）
17
§6.2 Laplace 变换的反演
反演：由像函数求原函数
（一）有理分式反演法
若像函数
f ( p) G( p) H ( p)

拉普拉斯变换课件

Example
f(t) = t 0<= t <=1 1 t >= 1
(法一) L(f(t)) = ∫e-st f(t)dt = ∫te-st dt + ∫e-st dt = (1 – e-s) / s2 (法二) f(t) = tu(t) + [u(t-1) – tu(t-1)] = tu(t) + (1-t)u(t-1) = tu(t) – (t-1)u(t-1) L(f(t)) = (1/s2) - (e-s / s2) = (1-e-s) / s2
sY + s2z = -(s3 / s2 + 1) s2Y – sY(0) - y(0) – z = 1 / s2 + 1 求解得 Y = s / s2 +1 , z = -(s+1) / (s2 + 1) = -(s / s2+1) – (1 / s2+1) ∴y(t) = L-1(Y) = cosx , z(t) = cosx – sinx
(CASE3)不重覆複數因子 (s-a)(s-a＊) = (s - α)2 + β2 Y(s) 有 As + B / (s-a)(s-a＊) 或 As + B / (s - α)2 + β2 型態之部份分式 L(eatcosβt) = s-α / (s-α)2 + β2 及 L(eatsinβt) = β / (s-a)2 + β2
部份分式法 (微分方程式) 如果解之拉式變換式Y = F(S) / G(S) 可以部份分式分解之，則可各則由逆拉式變換還原微分式之解y(t)。 (CASE1)不重覆因子 (s-a) Example1 G(s) = (s-a1)(s-a2)(s-a3)…(s-an) Y(s) =( A1 / s – a1) + ( A2 / s – a2) +…+ ( An / s – an) y(t) = A1ea1t + A2ea2t +…+ Aneant

SnS-第6章拉普拉斯变换与连续时间系统(1)

➢单边与双边拉普拉斯变换
❖前面定义的拉普拉斯变换能够处理从-∞至 +∞整个时间区间内存在的信号，将这一定义式称为双边拉普拉斯变换
X (s) x(t)estdt
❖对于因果信号x(t)= x(t)u(t)，双边拉普拉斯变换退化为单边拉普拉斯变换
X (s)
0
x(t
)e
st
dt
2021年1月21日星期四
信号与系统
多媒体教学课件第六章 Part 1
内容要点
➢ 双边拉普拉斯变换的定义和收敛域 ➢ 单边拉普拉斯变换及其性质 ➢ 拉普拉斯逆变换 ➢ 微分方程和电路的s域求解 ➢ LTI系统的系统函数及其性质 ➢ LTI系统的框图表示
2021年1月21日星期四
信号与系统第6章第1次课
2
第6章拉普拉斯变换与连续时间系统
2021年1月21日星期四
信号与系统第6章第1次课
Back 8
§6.1 拉普拉斯变换的定义
➢主要内容
❖拉普拉斯正变换 ❖拉普拉斯逆变换 ❖拉普拉斯变换的收敛域 ❖拉普拉斯变换的零极点图
2021年1月21日星期四
信号与系统第6章第1次课
9
§6.1 拉普拉斯变换的定义
➢定义一：从傅里叶变换引出
❖傅里叶变换
叶变换
x(t)et IFTX ( j)
1
X
(
j)e
jt d
2π
❖经整理，得到拉普拉斯逆变换
x(t) 1 jX (s)estds
2πj j
2021年1月21日星期四
信号与系统第6章第1次课
17
§6.1 拉普拉斯变换的定义
➢拉普拉斯变换与傅里叶变换
❖拉普拉斯变换将信号x(t) 表示为复指数 est的加权组合，其权值正比于X(s)

第6章拉普拉氏变换

0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例：求 L[sint] , L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
j
E0 Lp R
p2 2
E0 L
1 pR/L
p2 2
j
E0
Rt
eL
*sin t
L
j
E0
Rt
eL
*sin t
L
j E0
t R (t )
e L sin d
L0
R2
E0
L2 2
(R sin
t
L cos
t)
E0L R2 L2 2
e(R/ L)t
例：求常微分方程初值问题
y'''2 y" y' 4
p R 2L
(
R )2 2L
1 LC
I (t)
2L
1
[ R ( R )2 2L 2L LC e 2L 2L LC }
( R )2 1
2L LC
例：积分
I
0
sin 2 x2
txdx
解： I ( p)
1(1
p ) 1 dx
0 2 p p2 4x2 x2
2
1 f (t)e( i) tdt
2 0
令
p i
记
G( ) f ( p) 2
G() 1 f (t)e( i) tdt f ( p)

拉普拉斯变换

0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例1：求 L[sint] ， L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是连续的，(2)
存在常数M>0和σ≥0,使对任何t，有
f (t) Met
σ的下界称为收敛横标，用σ0表示，则：f (t) Me0t
f (t)e t dt Me0 te t dt M e( 0 ) tdt
0
0
0
M
0
(
0)
即要求： Re p 0
L[cos t]
11
1
p
[
2 p i
]
p i
p2 2
(Re p 0)
例2：求函数f(t)=tsint、 f(t)=tn的拉氏变换
解：
L[sin t]
p2
2
(Re p 0)
由像函数的导数定理
L[t
sin
t
]
d dp
[
p
2
2
]
2p ( p2 2)2
同理可得
L[t cos t]
p2 2 ( p2 2)2
0
fd
(
)ep d
L[ fd (t)]
所以:
L[
fb
(t)]
1
1 e
pT
T 0
fb( )ep d

拉普拉斯变换-PPT

1
i
s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cost] 1 ℒ [eit ] ℒ
2
[eit ]
s
s2 2
(Res 0)
二原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
ℒ [ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f '(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
t0
s
十二终值定理
设L[ f (t)] F (s),且 lim f (t)存在，或 t0
sF (s)的奇点位于 Re s 0的平面上，则
F () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
例1（P205例10.3.4）
求积分正弦函数Si (t)
t sin d的拉氏变换。 0
例2（P206例10.3.5）
二 Laplace变换的存在条件 1 Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)
及其导数是处处连续的。
（2）存在常数 M > 0 和 0，使对于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
绝对可积的条件
| f (x) | dx
3）在整个数轴上有定义
实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃，线性函数等；另外，在无线电技术中，函数往往以t作为自变量，t<0无意义。
2 拉普拉斯变换研究的对象函数
1）函数满足这样的条件:
a) t<0时，f(t)=0

数学基础-拉普拉斯变换PPT课件

es F (s)
f (t )
t
拉氏变换性质
(d)微分定理
L[df (t)] L[ f '(t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
L[
f
''(t )]
s2F(s)
sf
(0)
f
'(0)
f (0)
其中：
f (t)
t 0
f '(0) f '(t) t0
1
(t)dt 1(t 0)
f(t)
0 L[ (t)]
(t )estdt
lim 1estdt (t)0(t 0)
0
0 0
t
eL[e ] lim 1 (1 S) lijmt(1
0 S
0
(2)单位阶跃函数u(t)
e( S)'
S
)'
s
11 j
f(t)
L[u(t)]
0
10
21 [
e
0
[
( s j
e(s
)t dt
j )t dt
2 j 0
e ( s j )t dt ]
0
e( s j )t dt ]
21j[ 01
1
0
]
21 s j1 s j1
L[cost]
2 j [ss
s2 2
j
s
]
j
L[sint]
s2
2
拉普拉斯变换
（5）et sint，et sint，et cost，et cost
欧拉 e jt cost j sint
公式

数学物理方法 6 拉普拉斯变换

拉普拉斯（Laplace）变换在光学等工程技术与科学领域中有着广泛的应用．由于它的像原函数f(x)要求的条件比傅里
叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的
适用面要广．
本章首先从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换
的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换的积
分表达式――复反演积分公式，并得出像原函数的求法，最
dt

0
f ( t )e ( i ) t dt

0
f ( t )e pt dt ,
( p i )

上式即可简写为
f ( p)
0
f (t )e pt dt
这是由实函数 f (t ) 通过一种新的变换得到的复变函数，
e pt 为核. 这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换．
取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的条件．
性质1 线性定理
若则
,
为任意常数，且
f1 ( p) L [ f1 (t )], f 2 ( p) L [ f 2 (t )]
L [ f1 (t ) f 2 (t )] L [ f1( t )] L [ f 2 ( t )]
证明
L [ f1 (t ) f 2 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )]e pt dt
0

0
f1 (t )e dt
pt

0
f 2 (t )e pt dt
L [ f1 (t )] L [ f 2 (t )]
例6 求 L [shat ], L [chat ]

0

数学物理方法拉普拉斯变换法

达朗贝尔公式例3 求解无限长传输线上的电报方程 RGU ( LG RC)U t LCU tt U xx 0 U |t 0 ( x),U t |t 0 ( x) 解作函数变换 U ( x, t ) e
(参§7.3)
LG RC 2 LC
u ( x, t ) 定解问题变为
对泛定方程进行拉普拉斯变换,初始条件由二阶导数定理,结果为
p2u p a2uxx b2u 0
非齐次常微分方程的通解为:
u ( x; p) Ae
x p 2 b 2 / a
Be
x p 2 b 2 / a x a p 2 b 2
1 ( x) e 1 ( x) e ( ) p ( )d ( ) p ( )d 2 2 2 2 2a 2a p b p b
x a p 2 b 2

x 2 2 p b a
10
第二个中括号与第一个比较, ( ) 代替
( ) 且多了个因子 P,先对第一个反演,得到原函数,把改为对t求导就得到
第二个的原函数. 由附录二公式30,可得 x p 2 b 2 e a ( x )2 1 J b t 2 0 p 2 b2 a2
1 p L f (at ) f ( ) a a
L f t t0 e pt0 f ( p)
L e t f t f ( p )
L f1 t f 2 t f 1 ( p) f 2 ( p)

（5）延迟性定理

（6）位移性定理
x 2 2 x p b p 2 b 2 e a x e a 1 1 ( )d ( )d 2a x 2a p 2 b 2 p 2 b2 x 2 2 x p b p 2 b 2 e a x e a 1 1 p ( )d p ( )d 2a x 2a p 2 b 2 p2 b2

拉普拉斯变换及反变换ppt课件

补充拉普拉斯变换及反变换重点知识
一、拉氏变换及其特性 1、拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)

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f (p )
（7）、卷积定理若 L[ f1(t)] f1( p)
L[ f2 (t)] f2 ( p)
L[ f1(t)* f2 (t)] f1( p) f2 ( p)
t
其中
f1(t) * f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
称为 f1(t)与 f2(t) 的卷积
证明： L[ f1(t)* f2 (t)]
1
f ( p)
aa
证明：
L[ f (at)] f (at)e p tdt 0
1
p at
f (at)e a d (at)
a0
1
p
f ( )e a d ( )
a0
1 f ( p) aa
（5）、延迟定理
L[ f (t t0 )] e pt0 f ( p)
证明：
L[ f (t t0)]
2
1 f (t)e( i) tdt
2 0
令
p i
记
G( ) f ( p) 2
G() 1 f (t)e( i) tdt f ( p)
2 0
2
f ( p) f (t)e p tdt 0
称为 f(t) 的拉普拉氏变换函数（像函数）
G() 的逆变换
f (t)e t G()ei td f ( p) ei td
2
i p d dp / i
f (t) 1 i f ( p)e p tdp
2 i i
称 f(t) 为原函数
f (t) f ( p) 原函数f(t)
f ( p) L[ f (t)] f (t) L1[ f ( p)]
像函数 f ( p)Biblioteka 例：求 L[1]解：
L[1] 1 e p tdt 1
L[c1 f1(t) c2 f2 (t)]
0
[c1
f1(t)
c2
f2
(t)]e
p
t
dt
c1
0
f1(t)e p tdt
c2
0
f2 (t)e p tdt
c1 f1( p) c2 f2 ( p)
（2）、导数定理
L[ f '(t)] p f ( p) f (0)
证明：
L[ f '(t)] f '(t)e p tdt e p tdf (t)
0
n! p n1
L[t n ]
n! p n1
(Re p 0)
例：求 L[est] , s为常数
解： L[est ] est e p t dt 0
1 e( ps) t ps
0
1 ps
L[est ] 1 ps
(Re p Re s)
L[t nest ]
t nest e p t dt
0
f
(t
t0 )e ptdt
f ( )e p( t0 )d 0
e pt0 f ( )e p d 0
e pt0 f ( p)
（6）、位移定理
L[et f (t)] f ( p )
证明：
L[et f (t)] e t f (t)e ptdt 0 f (t)e( p)tdt 0
（3）、积分定理
L[
t
( )d ]
1 ( p)
0
p
证明：令
t
f (t) 0 ( )d
f '(t) (t)
L[ f '(t)] p f ( p) f (0)
f (0) 0
f ( p) 1 L[ f '(t)]
p
L[
t
( )d ]
1 ( p)
0
p
（4）、相似定理
L[ f (at)]
第六章拉普拉氏变换
§6.1 符号法 §6.2 拉普拉氏变换 §6.3 拉普拉氏变换反演
§6.2 拉普拉氏变换
（一）、拉普拉氏变换的定义
对于任意函数 f(t)，设 t<0, f(t)0, 只要足够大，
g(t)=f(t)e - t 的付氏变换为
[ f (t)e t ] G() 1 f (t)e tei tdt
f
(t)]
(1)n
d
n f ( p) dp n
（二）、拉普拉斯变换的性质 f ( p) L[ f (t)]
（1）、线性定理
如： f1( p) L[ f1(t)]
f2 ( p) L[ f2 (t)]
则 L[c1 f1(t) c2 f2 (t)] c1 f1( p) c2 f2 ( p)
证明：
0
n! ( p s)n1
L[t nest ]
n! ( p s)n1
(Re p Re s)
例：求 L[tf(t)] , f(t)为任意函数
解：
f ( p) f (t)e p tdt 0
df ( p)
t
f
(t)e p tdt
dp
0
L[tf (t)] df ( p) dp
L[t n
t=
[
0
t 0
f1( ) f2 (t )d ]e ptdt
t
[
0
f2 (t )dt]f1( )e ptd
L[ f1(t)* f2 (t)]
[
0
f2 (t )dt]f1( )e ptd
令 t
0 f2 ( )[
0
f1( ) e p ( )d ]d
[
0
f2 ( )e p d ][
0
p
L[1] 1 p
(Re p 0)
例：求 L[t], L[tn]
解： L[t] t e p tdt 1 t d (e p t )
0
p0
1 t ept p
0
1 p
e p t dt
0
1 p2
L[t]
1 p2
(Re p 0)
L[t n ]
t n e p t dt
L[cos t]
11
1
p
[
2 p i
]
p i
p2 2
(Re p 0)
§6.3 拉普拉氏变换反演
例：求
f
( p)
p2
p 2p5
的 Laplace 逆变换
解：
f
( p)
p2
p 2p5
p 11 ( p 1)2 4
0
0
ep t
f
(t)
0
f (t)d (e p t )
0
f (0) p f (t)e p tdt 0
p f ( p) f (0)
L[ f '(t)] p f ( p) f (0)
L[ f (n) (t)] pn f ( p) pn1 f (0) pn2 f '(0) pf (n2) (0) f (n1) (0)
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例：求 L[sint] , L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)