解析几何专题2圆的方程及应用

《高中数学专题题型分类大全》解析专题二圆的方程及应用
『知识与方法梳理』？
（一）圆的方程的两种形式
方程形式方程相关参数意义
标准式(x - a)1 2+ (y - b)2= r2圆心（a,b）,半径：r
一般式
2 2
x + y2+ Dx + Ey + F = 0 (D2+ E2-
4F > 0 )
圆心(--D，- E )，
半径：
r= 2/ D2+ E2- 4F
(二)点与圆的位置关系的判定
点P(x°, y o). 圆M 方程 (1) (x -a)2 + (y -b)2 = r2;
(2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.
(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2= r2;
2 2
(2) X0 + y0 + Dx。

+ Ey0 + F = 0.
1.点p在圆上.
(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2< r2;
2 2
(2) X。

+ y°+ Dx 0 + Ey 0 + F < 0.
2.点P在圆内.
(1)(X。

-a)2+ (y°-b)2> r2;
2 2
⑵ X0 + y°+ Dx0 + Ey°+ F > 0
3.点P在圆夕卜.
圆方程点p（x0, y0）到圆上的切线长
1. x2+y2=r2|PT| ^X02+ y02- r2
2 2 2
2. (x-a) 2+(y 七)2=r2|PT| 珂(x°- a)2+( y°- b)2- r2
2 2
3. x2+y2+Dx+Ey+F=0|PT| 珂X02+ y02+ Dx0 + Ey°+F
圆方程切线方程
1. x2+y2=r22
X0X + y°y = r
2 2 2
2. (x-a)2+(y-b)2=r22
(X0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r
2 2
3. x2+y2+Dx+Ey+F=0
X0X + y°y + D号+ 誓+F = 0
1. 直线I:Ax+By+C=0,圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0 当直线l与圆
C相交时，过两交点的圆的方程可设成
（三）直线与圆的关系
方
法
已
知
细
d
直
M
圆
旳
X F
D 4 < +
2 -
2
一
二
A
卜
+
2X
线
：
—
直
M
圆
2 2
2 C1: x +y +D1x+E1y+F1=0
C2： x2+y2+D2X+E2y+F2=0
(1 )当5与C2相交时，两圆公共弦所在直线方程为
（D1 - D2）X + （E1 - E2）y + （F1 - F2） = 0
（2）当C1与C2相交时，过两圆交点的圆的方程可设为
_x2+y2+D1x+E1y+F1 + X (xhy2+D2x+E2y+F2) = 0_ 或—'"_ _
x2+y2+D j x+E 1y+Fj_+ X [(D- D2)x+(E^ - E2)y+(F 1 - F2)] = 0
相
关
运
算
离
距
N
= ( d
心
凰
=0
那
+F
判
M+CDX
脚
立
BV2+
尹
耽
用
2x
，
Ax
元
{
艄《必修2》解析专题
、圆的方程及应用
圆|G半径D,圆C2半径r2.圆C1与圆C?位置关系.
（1）皿施心内含
(2)也-呵=15。

| ;内切
(3)『1-"|<101。

2|<口+「2相交
(4) |&。

2| =「1 +「2外切
(5) |C1C2l>「1+r2外离
『题型分类例析』？
（一）圆的切线问题
1.切线方程
题型结构特征：求切线方程或相关参数（基础题）.
【例题1】将直线2x-y 0，沿x轴向左平移1个单
位，所得直线与圆x2* y2* 2x-4y=0相切，则实数'的值为（
）
A. _3或7
B. -2或8
C.0或10
D.1 或11 （四）圆与圆位置系的判
定
22
2.切线长
题型结构特征：已知圆外点，相关点到圆的切线长(基础题).【例题2】从圆C: X2+ y2—6x—8y+ 24= 0外一点P向该圆引切线PT, T为切点，且|PT|=|PO|(O为坐标原点)，则
(1) 1 PT的最小值为___ ；
(2) | PT取得最小值时点P的坐标为_______ •
3. 切线应用
题型结构特征：有关切线的综合问题(中等题).
【例题3】过直线x+ y— 2. 2 = 0上点P作圆x2+ y2= 1的两条切线，若两条切线的夹角■是60°,则点P的坐标是
〖类型题〗(一)
(二)直线与圆相交弦问题
1. 弦的中点及相关的垂径
题型结构特征：有关圆弦及其中点问题(基础题).
【例题4] 已知圆C1：(x—1)2+ (y—1)2= 9,过点A(2，3) 作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程.
【例题5] 若P(2, -1)为圆(x -1)2 y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A. x -y -3 =0
B. 2x y -3 =0
C. x y -1 =0
D. 2x y -5 =0
【例题7] [2014 y2+ 2x - 2y + a = 0 截
直线x+ y+ 2 = 0所得弦的长度为4,则实数a的值是()
A • —2 B.—4 C • —6 D • —8
【例题8] 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上
截得线段长为2 2,在y轴上截得线段长为2,3.
(1) 求圆心P的轨迹方程；
(2) 若P点到直线y = x的距离为-孑，求圆P的方程.
【例题9] [2017全国新课标3文20]在直角坐标系xOy中，曲线y = x 2 + mx - 2与x轴交于A , B两点，点C的坐标为
(0,1).当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC丄BC的情况？说明理由；
2)证明过A, B, C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
〖类型题〗(二)
1. [2014福建卷]已知直线I过圆X2+ (y—3)2= 4的圆心，且与直
线x+ y+1= 0垂直，则l的方程是()
A • x+ y—2 = 0
B • x—y= 2= 0
C• x + y—3= 0 D • x—y + 3= 0
2. 若圆C：x2+ y2+ 2x —4y+ 3= 0 关于直线2ax + by —4= 0 对
称，贝U a2+ b2的最小值是__ •
3. [2016 全国1 文15]设直线y=x+2a 与圆C : x2+y2-2ay-2=0 相
交于A,B两点，若则圆C的面积为_________________________ 4. [2016新课标3文15]已知直线l : x_.. 3y，6=0与圆
X2• y2=12交于A,B两点，过A, B分别作l的垂线与x轴交于C, D两点，则|CD _
5. 过点C.2, 0)引直线l与曲线y=-., 1 -x2相交于A , B两点，O为
坐标原点，当厶AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于() .3 3 3 ,■
A.牙B .—专C •D.—寸3
6. [2014 湖北]直线l1：y = x+ a 和l2：y= x+ b将单位圆C：x2+
y2= 1分成长度相等的四段弧，则a2+ b2 = ______ .
7. [2016江苏18]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心
的圆M: x +y - 12x - 14y + 60 = 0 及其上一点A(2 , 4)
(1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6 上，求圆N的标准方程；
(2) 设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且
BC=OA,求直线l的方程；
(3) 设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得ATPQ 是平行四边形(改)，求实数t的取值范围。

21类型题〗(三)
(三)直线与圆位置关系及其应用问题
1. 位置关系的判断
题型结构特征：判断直线与圆的位置关系(基础题).
【例题10】已知点P(a, b)(ab工0)是圆O：x3 4+ y2= r2内一点，直线I的方程为ax+by+ r2= 0,那么直线I与圆O的位置关系是()
A •相离B.相切C.相交D •不确定
【例题11】已知圆x2+ y2—6mx—2(m—1)y + 10m2—2m —
24 = 0(m€ R).
(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线I上；
(2) 与I平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
(3) 求证：平行于I且与圆相交的直线被圆截得的弦长为定值. 1. [2014安徽卷]过点p(—护，—1)的直线I与圆X2+ y2= 1有公共
点，则直线I的倾斜角的取值范围是()
n n n n
A.(0，6]
B.(0，3]
C.[0，6]
D.[0，3]
2. 平面直角坐标系xOy中，A(_2,0), B( J ,0), P(x。

, y°)，满
2
足：PA<2PB，则直线x)x y)
^1与圆x2y2的公共点个数为.
3. 已知M为圆C：X2+ y2—4x—14y + 45 = 0上任意一点，且
点Q(—2，3).
(1) 求|MQ|的最大值和最小值；
n 一3
(2) 若M(m，n)，求豈+|的最大值和最小值.
※解法辩伪※
判断直线Dx + Ey + F = 0与圆x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的位置关系
: '2 2
〖错解〗由x y .Dx・Ey・F=0,得£ + y2 = °，即* = y = Dx +Ey +F =0
0,所以方程组只有一组解，因此直线与圆相切.
2. 用位置关系求最值或取值范围
题型结构特征：转化为直线与圆位置关系的数形结合问题(基础
【例题12】已知实数x，y满足方程x2+ y2—4x +1 = 0.
(1)求y的最大值和最小值；
x
⑵求y —x的最大值和最小值；
(3) 求x2+y2的最大值和最小值.
4. 已知点M(3,1)，直线ax—y + 4= 0 及圆(x—1)2+ (y—2)2= 4.
(1) 求过M点的圆的切线方程；
(2) 若直线ax —y+ 4= 0与圆相切，求a的值；
⑶若直线ax —y+ 4= 0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2... 3,求a的值.
(四)求圆的方程
题型结构特征：求各种条件下圆的方程(基础题).
※解法辩伪※
■ 2
若曲线y = 一1 - x与直线y =X b始终有交点，则b的i取值
范围是_________________ .
J 『「
〖错解〗由y = 5 6 -X ,得x + b = 1 - x2化为2x2 + 2bx + b2 -
y =X +b
1= 0.
' 曲线与直线有交点时，？ = 4b2 - 8(b2 - 1) > 0.解得-迄<
b < .2 .
3. 直线与圆相离的距离问题题型结构特征：圆上点到直线距离
问题(基础题).
【例题13】圆x2y2_2x -2y *1=0上的点到直线
x - y = 2的距离最大值是( )
3 求圆C的方程；
【例题22】已知圆C过点P(1, 1),且与圆M：(x+ 2)2+ (y
2 2
+ 2) = r (r> 0)关于直线x+y + 2= 0对称.
【例题14】在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)=
x2+ 2x+ b(x€ R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.
6 求实数b的取值范围；
A.2
B.1 一2
C.[ •2
D. 1 2 2
【例题15】根据下列条件，求圆的方程：
(1) 经过P(—2，4)、Q(3，—1)两点，并且在x轴上截得的
弦长等于6 ；
(2) 圆心在直线y=—4x上，且与直线I: x+ y—1 = 0相切于点P(3，—2).
【例题16】求过两圆x2+ y2+ 4x+ y=—1，/+y2+2x+ 2y + 1 = 0的交点的圆中面积最小的圆的方程.
〖类型题〗(四)
2
2. 圆方程划分的区域题型结构特征：将圆方程变为不等式(基础题).
【例题18】设平面点集A = { (x, y) | (y-x) (y-^)> 0}
B= {(x, y)|(x- 1)2+ (y- 1)2< 1}则AQB 所表示的平面图形
的面积为()
3 3
4 n
A.4n
B.5n
C.7n
D.22. 两圆公共弦
题型结构特征：化归为两圆公共弦问题(基础题).
【例题21】过点(3, 1)作圆(x- 1)2+ y2= 1的两条切线，切点分别为A , B，则直线AB的方程为()
A . 2x + y—3= 0 B. 2x- y- 3= 0
C . 4x —y- 3= 0
D . 4x + y —3= 0
3. 联立方程组求解
题型结构特征：通常是与直线综合问题(中等题).
7 求圆C的方程；
8 过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A, B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线
OP和AB是否平行？请说明理由. 【例题19】过点P(3, 0)作一直线I与圆(x+ 2 )2+(y-3) 2= 乡交
3.两圆的对称冋题
于A、B两点，O为坐标原点，若AO_BO,求I的直线方程.
题型结构特征：两圆相关的对称问题(基础题).
〖类型题〗(六)
『类型题补充』？
(3) 问圆C是否经过定点(其坐标与b的值无关)？请证明你的结论.。