线性离散系统

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自动控制原理第7章线性离散控制系统

差分方程描述了系统在离散时间点的行为，通过求解差分方程，可以预测系统未来的输出。
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩阵。
自动控制原理第7章线性离散控制系统

目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散控制系统的另一个重要应用领域，主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分布式控制结构，通过各种传感器、执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法

线性离散系统数学模型和分析方法

线性离散系统数学模型和分析方法目录一、内容简述 (3)二、线性离散系统的数学模型 (3)2.1 离散系统的概念 (5)2.2 离散系统的描述方法 (6)2.2.1 差分方程 (7)2.2.2 马尔可夫过程 (8)2.2.3 状态空间表示 (10)2.3 线性离散系统的特性 (11)2.3.1 稳定性分析 (12)2.3.2 脉冲响应与收敛性 (13)2.3.3 系统性能评估 (14)三、分析方法 (16)3.1 拉普拉斯变换法 (17)3.1.1 基本概念 (19)3.1.2 应用分析 (20)3.1.3 收敛性与应用局限 (21)3.2 状态空间方法 (23)3.2.1 基本理论 (24)3.2.2 控制器设计 (25)3.2.3 参数估计 (26)3.3 Z变换法 (27)3.3.1 基本原理 (28)3.3.2 系统分析 (30)3.3.3 系统的性能评估 (31)3.4 时域分析方法 (33)3.4.1 序贯逼近法 (34)3.4.2 数值仿真 (34)3.4.3 基于数字模型的算法 (36)四、应用实例 (37)4.1 控制系统设计 (39)4.1.1 系统建模 (40)4.1.2 控制器设计与仿真 (42)4.2 信号处理 (43)4.2.1 离散信号处理 (45)4.2.2 滤波器设计 (46)4.3 通信系统 (47)4.3.1 调制与解调 (49)4.3.2 语音编码与加密 (51)五、结论与展望 (52)5.1 研究成果总结 (53)5.2 未来研究方向 (54)5.3 实际应用前景 (55)一、内容简述本文档旨在全面介绍线性离散系统数学模型的构建及其分析方法。

线性离散系统在现代科技、工程和经济学等领域具有广泛的应用，因此对其数学模型的理解和分析显得尤为重要。

我们将从线性离散系统的基本概念出发，详细阐述线性离散系统的定义、特点以及类型。

通过实例演示如何建立线性离散系统的数学模型，包括状态方程、传递函数等基本形式。

第七章--线性离散系统的稳定性分析

取反变换，得 g (k ) b0δ (t ) b1δ (t T ) bnδ (t nT )
• 上式表明，一个n阶稳定系统的脉冲响应序列共有n个脉冲，如果在典型信号输入作用下，系统脉冲响应过程将在n个采样周期内结束(对连续系统而言，理论上动态过程在 t→∞时才结束)，由于这种系统瞬态响应时间最短，故称
0.11K 0 1.1 0.095 K 0 2.9 0.015 K 0
因此，使系统稳定K值范围为
0 K 11.58
• 采样器和保持器对离散系统的动态性能有如下影响： 1）采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大，故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。 2）零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，超调量和振荡次数也增加。这是因为除了采样造成的不稳定因素外，零阶保持器的相角滞后降
y* t
5
4
3
2 1
0
T
2T
3T
4T
5T
t
单位斜坡响应暂态过程只要两个采样周期即可结束!
将上述系统的输入信号改为单位阶跃信号 r (t ) 1(t )
则系统的输出信号的z变换为
1 Y ( z ) GB ( z ) R( z ) (2 z 1 z 2 ) 1 z 1 2 z 1 z 2 z 3 L z n L 此时动态过程也可在两个采样周期内结束，但在t=T时超调量为100%。
映射稳定区域左半s平面不稳定区域右半s平面临界稳定区域虚轴上单位圆内部单位圆外部单位圆上线性离散系统稳定的充分必要条件离散系统极点分布与稳定性的关系由由s平面与z平面的映射关系及连续系统的稳定性理论可知离散系统极点分布与其稳定性的关系如下极点分布稳定情况z单位圆内稳定z单位圆外不稳定z单位圆上临界稳定线性离散系统的稳定判据由前面的分析可知只要知道系统的极点分布即可判断系统的稳定与否但这里要解决的问题是如何知道闭环系统的极点分布

线性离散系统

如果对一个具有有限频谱（max max）的连续信号进行采样，当采样角频率 s >2max
或者说 fs >2fmax 时，则由采样得到的离散信号能够
不失真地恢复到原来的连续信号。
15
注释 1 采样定理的物理意义解释：
如果选择这样的采样频率，使得对连续信号中所含最高频率的信号来说，能做到在其一个周期内采样两次以上，则在经采样获得的离散信号中将包含连续信号的全部信息。
sin T
lim
0
H0 ( j)
limT 0
2
T
T
2
27
H0 ( j)
T
0
H0 ( j)
00
900 1800
sin T
H0 ( j) T
2
T
2
s
2s
3s
s
2s
3s
H0 (
j)
T
2
28
零阶保持器的频率特性
结论 1 零阶保持器是具有高频衰减特性的低通滤波器；
2 零阶保持器是具有负的相角，对闭环系统的稳定性有不利的影响。
其中 X ( j) 是一个带宽有限的连续频谱。
max
8
连续信号的频谱
X ( j)
X ( j0)
max
0 2max
max
9
离散信号x*(t) 的频率特性为
X
*(
j)
1 T
n
X
j
ns
离散信号x*(t) 的频谱为
X *( j)
1 T
X
n
j ns
以 s 为周期的无穷多个频谱分量之和
10
2
计算机控制系统
数字控制系统离散控制系统

线性离散系统的分析

§10-4 线性离散系统的分析前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。

本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。

一、稳定性稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。

本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。

有两大类的稳定性分析方法。

一类是分析离散系统极点在z 平面内的位置。

一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在z 平面内以原点为圆心的单位圆内。

当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。

但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把z 平面问题变成s 平面的问题，再用连续系统的稳定判据。

另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。

本节只介绍代数判据法。

Routh 、Schur 、Cohn 和Jury 都研究过相类似的稳定判据。

如果已知一个系统的特征多项式()n n na za z a z A +++=- 110 (10.87)Jury 把它的系数排列成如下的算表：11110a a a a a a a a a a nn n nn n =--α―――――――――――――――――――10111101211111110-------------=n n n n n n n n n n n n n a a aaaa a a α――――――――――――――――――――――――――――――――――――――10111110a a a a 10111a a =α―――――――――――――――――――0a 其中kk i k kik k k i k i a a a a a a 01=-=--α表中第一行和第二行分别是(10.87)中的系数按正序和倒序排列的。

线性离散系统状态方程的解

因此,有
(k) Gk Z 1[(zI - G)1]
1 3
-
4(-0.2)k 0.8(-0.2)k
- (-0.8)k 0.8(-0.8)k
5(-0.2)k - 5(-0.8)k
-
(-0.2)k
4(-0.8)k
Z变换法(6/7)—例3-14
由Z变换,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1)
比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式:
➢ 连续系统
t
x(t) (t)x0
(t )Bu( )d
0
➢ 离散系统
k 1
x(k) Φ(k)x(0) Φ(k - j -1)Hu( j) j0
初始时刻后输入的初始状态影响,为脉冲响应函的影响数与输入的卷积
对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明:
线性时变离散系统状态方程的解(5/6)
由上述状态方程解公式可知,线性时变离散系统的状态方程的解也包括两项。其中, ➢ 第1项是由初始状态激励的,为零输入响应,描述了输入向量为零时系统的自由运动。
➢ 第2项对应初始状态为零时,由输入向量激励的响应,称为强迫运动或受控运动。
➢ 线性时变离散系统的运动状态取决于状态转移矩阵(k ,k0),而又是由(k ,k0)唯一决定的。
k 1
Z -1{( zI - G)-1 HU (z)} Z -1{( zI - G)-1 z z-1HU (z)} Gk- j-1Hu( j) j0
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
k 1
x(k) Gkx(0) Gk j1Hu( j)
j0
该表达式与前面递法求解结果一致。

第3章-线性离散系统数学描述

根据线性系统叠加原理，已知 h * ( t )后，任意输入脉冲序列 u * ( t )，可得系统输出为 y * ( t ) = u( 0 ) h * ( t ) + u (1) h * ( t − T ) + L + u( n ) h * ( t − nT ) + L y ( k ) = ∑ u ( j ) h( k − j ) =
z →1
i =0 i =1 m n
已知，用递推法求解。例3 − 2 − 2 y ( k + 1) = ay ( k ) + bu( k ), 设 y ( 0 )、 u( k )已知，用递推法求解。解： k = 0 k =1 M
k
y (1) = ay ( 0 ) + bu( 0 ) y ( 2 ) = ay (1) + bu(1) = a 2 y ( 0 ) + abu ( 0 ) + bu(1)
它的齐次方程为 y( k + n) + a1 y( k + n − 1) + L + a n y( k ) = 0
它的特征方程为 r n + a1 r n −1 + a 2 r n − 2 + L + a n = 0
个特征根：有 n个特征根：则方程通解为：（1）若解为 n个单根 r1 , r2 , L , rn , 则方程通解为： y ( k ) = c 1 r1k + c 2 r2k + L + c n rnk；重根，（2）若解有 m 重根，则 m 重根的解的形式为 r k , kr k , k 2 r k，， k m -1 r k的线性组合，的线性组合， L 通解中的系数 c n由系统的初始条件确定。

线性离散系统的状态空间描述

人口增长情况是,整个国家人口的自然增长率为1%。
激励性政策控制手段的作用为,一个单位正控制措施可激励5万城市人口迁移去乡村,而一个单位负控制措施会导致5万乡村人口流向城市。
试建立反映这个国家城乡人口分布,以政策控制u为输入变量,全国人口数为输出变量的状态空间描述模型。
离散时间系统的机理建模(3/8)
目录
概述 2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵 2.6 线性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题本章小结
目录(1/1)
线性离散系统的状态空间描述(1/3)
线性离散系统的空间描述(4/5)
离散系统状态空间模型的意义: 状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时刻的状态x((k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入 u(kT)之间的关系。描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。
输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。
重点喔
工程控制系统的计算机实现(1/9)
2.6.1 工程控制系统的计算机实现
自动控制系统可以分为调节系统和伺服系统两类。调节系统要求被控对象的状态保持不变,一般输入信号不作频繁调节; 而伺服系统则要求被控对象的状态能自动、连续、精确地跟随输入信号的变化。 “伺服(Servo)”一词是拉丁语,“奴隶”的意思,意即使系统像奴隶一样忠实地按照命令动作。而命令是根据需要不断变化的,因此伺服系统又称为随动系统。对于机械运动控制系统,被控对象状态主要有速度和位置,如速度伺服系统、位置伺服系统。

自动控制原理胡寿松第七章解析

1、线性定理齐次性 Z [ae (t)] aE(z ) Z[e1 (t) e 2 (t)] E1 (z ) E 2 (z ) 叠加性 2、实数位移定理
Z[e(t- kT )] z -k E(z)
Z [e(t kT)] z k [E(z)- e(nT)z -n ]
n 0
k -1
z变换实际上是采样函数拉氏变换的变形，
因此又称为采样拉氏变换
z变换只适用于离散函数，或者说只能表征
连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。
24
成都信息工程学院控制工程系
第七章线性离散系统的分析与校正
25
成都信息工程学院控制工程系
第七章线性离散系统的分析与校正
二、Z变换的性质
0T
*
采样器可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示。
理想采样开关S： T (t ) (t nT )
n 0

11
成都信息工程学院控制工程系
第七章线性离散系统的分析与校正
理想单位脉冲序列采样过程可以看成是一个幅值调制过程。
12
成都信息工程学院控制工程系
第七章线性离散系统的分析与校正
1 jns t T ( t ) e T n -
1 jns t * 代入采样信号表达式：e ( t ) e( t ) T (t ) e( t )e T n
对采样信号表达式取拉氏变换： 1 E* (s) E(s jns ) T n 采样信号的付氏变换： 1 E* ( j ) E[j( ns )] T n
T (t)的付氏级数形式：
T (t)
n -
(t - nT) C e

自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计

离散系统稳态误差是指系统在稳态时输出与输入之间的误差。
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利用这些信息来产生控制输入，以实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点

第7章线性离散系统简介

零阶保持器的传递函数，数值仿真时带零阶保持器变换
例：求积分环节的差分方程
Z变换的运算符z是前移运算符，与拉普拉斯变换的s类似
如u(z)
→u(kT);则 zu(z) →u(kT+T)
2 z 1 2 1 z 1 s T z 1 T 1 z 1 U ( s ) ki u ( z ) kiT ( z 1) ; E ( s ) s e( z ) 2( z 1) kiT ( z 1)e( z ) 2( z 1)u ( z ) kiT [e(k ) e(k 1)] 2[u (k 1) u (k )] ki T u (k 1) u (k ) [e(k 1) e(k )] 2 T ui (k 1) ui (k ) ki [e(k 1) e( k )] 2
采样时间序列
图 7-2 采样时间序列
采样周期实现
计算机逻辑包含一个时钟，他每隔T秒提供一个脉冲（中断），每次中断到来时模数（A/D)转换器向计算机中发送一个数，这种情况采样周期是精确不变的程序代码执行周期结束后，存取一遍A/D转换器，采样周期是由程序代码的长度决定的。采样速率约为系统闭环带宽的20倍以上，以确保数字控制器与连续控制器的性能一致。
用MATLAB求Z变换
数字控制系统可应用Z变换方法分析， Z变换是分析线性离散系统的数学工具
求Z变换的MATLAB命令
numG=[1 6]
denG=[1 0] sysG=tf(numG,denG) sysGd=c2d(sysG,T,'t')
注:T—采样周期，t—积分的梯形方法 Help c2d可获得更多的数值方法
第7章线性离散个
系统叫做离散时间系统，简称离散系统。如果一个系统中的变量有数字信号，则称这样的系统为数字控制系统：计算机控制系统是最常见的离散系统和数字控制系统

第8章线性离散时间控制系统

外推的,其外推公式为
一阶保持器复现原信号的准确度与零阶保持器相比有所提高。但由于在式(8-16)中仍然忽略了高阶微分,一阶保持器的输出信号与原连续信号之间仍有不同。
第8章线性离散时间控制系统由式(8-16)可知,一阶保持器的响应可以分解为阶跃响应
和斜坡输入响应之和。将式(8-16)的微分形式变换成式(8-17) 的差分形式,对应的传递函数为式(8-18)。
第8章线性离散时间控制系统
图8-6 零阶保持器输入信号与输出信号的关系
第8章线性离散时间控制系统下面推导零阶保持器的表达式。利用泰勒级数展开公式,
可以得到
如果略去含 Δt、(Δt)2等项,可得
第8章线性离散时间控制系统这就是零阶保持器的公式。由式(8-11)可得零阶保持器输出信号的完整表达式为
第8章线性离散时间控制系统
第8章线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理 8.2 信号保持器 8.3 离散系统的数学模型 8.4 离散系统的稳定性分析 8.5 离散系统的稳态误差 8.6 离散系统的动态性能 8.7 离散系统的校正
第8章线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理
8.1.1 概述离散时间系统(简称离散系统)是指系统中全部或一部分
进而输入给计算机控制器。也就是说,采样后的离散信号必须能够保留有原连续信号的完整或近似完整的信息。因此, 周期T 的设定非常重要。
采样定理(也叫Shannon定理)从理论上给出了必须以多快的采样周期(或多高的采样频率)对连续信号进行采样,才能保证采样后离散信号可以不失真地保留原连续信号的信息。换句话说,采样定理给出了对采样周期的限定条件,即采样周期要在多短时间之内,才能保证采样后的离散信号保留有采样之前的连续信号的尽量多的信息。

第4章：线性离散系统的数学描述1

这是一个二阶离散系统，该系统稳定的充要条
件为：
∴使系统稳定的k值范围为 0<k<2.39
思考题：
1、自己随便定一个一阶微分方程，用前向差分将其转变成差分方程。 2、描述Z变换中的实数位移定理和复数位移定理。 3、会用Z变换解差分方程。 4、会写闭环系统Z传递函数。 5、线性离散系统稳定性分析。
du(t ) 将用后向差分 dt
代替得：
u(k ) u(k 1) T
整理后得：
2.用差分方程描述离散系统
（1）系统本身是离散过程
（2）系统本身是连续的采样控制系统：利用定义推导3. 差 Nhomakorabea方程的解法
（递推法）
……
3. 差分方程的解法
（2）经典分析法：全解=通解+特解。麻烦。（3）Z变换法
离散系统的闭环脉冲传递函数为
z

K (0.368z 0.264) z 2 (0.368K 1.368) z (0.264K 0.368)
G0 ( z ) 1 G0 ( z )
于是，离散系统的闭环特征方程为
2.离散系统的稳定性判定
D(z)=z2(0.368K－1.368)z+(0.264K+0.368)=0
第4章：线性离散系统的数学描述与分析
一、离散系统的差分方程描述二、线性离散系统的z传递函数描述三、线性离散系统的稳定性分析
一、离散系统的差分方程描述
1. 差分方程的定义 2. 用差分方程描述离散系统 3. 差分方程的解法
1. 差分方程的定义
描述方程
分析工具
拉普拉斯变换
Z变换
典型的离散信号—均是单边信号
定义：零初始条件下，线性定常离散控制系统的输出序列的z变换和输入序列的z变换之比。

线性离散系统的数学模型

T
G1(s)
X * ( s)
G2(s)
C (s)
•采样开关使脉冲传递函数的零点发生变化。
5、闭环系统脉冲传递函数
r* (t ) R( z)
r (t )

e(t )
e* (t )
c* (t ) C ( z)

T
E( z)
G (s)
c(t )
H (s)
E (s) R(s) H (s)C (s)
G( z)
G1 ( z)
例7－20
X (s)
G2 ( z)
C * ( s)
R( s )
R* (s)
1 a z az 传递函数G1 ( s ) , G2 ( s ) G1 ( z ) , G2 ( z ) s sa z 1 z e aT az 2 G1 ( z )G2 ( z ) ( z 1)( z e aT ) az 3 C ( z ) G1 ( z )G2 ( z ) R ( z ) ( z 1) 2 ( z e aT ) a z (1 e aT ) G1G2 ( z ) Z 2 aT s ( s a ) ( z 1) ( z e ) z 2 (1 e aT ) C ( z ) G1G2 ( z ) R ( z ) ( z 1) 2 ( z e aT ) G1 ( z )G2 ( z ) G12 ( z )
c(nT ) ai c[(n i )T ] b j r[(n j )T ]
i 1 j 0 n m
z变换得：C ( z ) ai C ( z ) z b j R ( z ) z j
i i 1 j 0

线性离散控制系统及其与连续系统间的关系

1 s
-
1 e -Ts s

1 - e -Ts s
注意：这里的输入为1×δ(t)，是单位幅值脉冲经理想脉冲调制后的信号，即单位理想脉冲，其拉氏变换为1。
13
零阶保持器的频率特性：
传递函数频率特性
Gh( s )
1 s
-
1 e -Ts s

1 - e -Ts s
Gh( j )
1 - e - jT
第一个表达式对应蓝色线的 Z变换；zkF(z)对应全部蓝色
实线的Z变换，所以只有当
-kT 0
kT
t 虚线部分=0时才有第二个表
超前定理的直观解释达式
21
4. 终值定理（掌握）
设 f(t) 的Z变换为F(z)，且F(z) 在z平面不含有单位圆上及圆外的的极点（除 z＝１外的单根），则 f(t) 的终值为
n0
Z反变换为 Z -1 [ F ( z )] f ( t )
17
关于Z变换的几点说明：
Z变换的无穷级数表达式与信号在采样时刻的取值一一对
应。

F ( z ) f ( nT )z-n
n0
z-1 又称为延迟算子
f ( 0 ) f ( T )z-1 f ( 2T )z- 2 f ( 3T )z- 3
0

z-k f ( nT )z-n z-k F ( z )
k0
19
f(t)
f(t-kT)
0 kT
t
延迟定理的直观表示
注：连续系统的迟后环节 e-kTs 在离散系统中只是 z-k，属于有理式，便于分析。因此，对于有迟后环节的系统，按离散时间系统进行分析和设计通常较连续时间系统更方便。

第7章线性离散系统

离散控制系统的模型描述往往是差分方程，由于差分方程不便求解，然而可以将其变换成z变换表达式来进行求解，最后由通过反z变换表达式变换成差分方程得到求解。
z变换的定义： z eTs
z变换表达式的求解：

F (z) Z[ f (t)] Z[ f * (t)] f (nT )z n n0

则 x*(t) (10 10 2n) (t nT) 10 (1 2n) (t nT)
n0
n0
2019年12月2日星期一
自动控制原理
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留数法
3.留数法
x(nT) 等于函数 X (z)zn1 在其全部极点上的留数和。
即 x(nT) res[X (z)zn1]
2019年12月2日星期一
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部分分式展开法
2.部分分式展开法
将函数X(z)展开成若干个简单分式和的形式，然后利用熟知的一些基本对应关系式，或查z变换表求得 x*(t) 。
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自动控制原理
27
部分分式展开法
例13 已知象函数 X (z) 10z ，试求其z反变换。
自动控制原理
3
采样控制系统
典型采样控制系统结构框图：
采样：在系统运行中，采样开关S断开一定时间后
又闭合，反复动作，将模拟量变为离散量，这种
间断获取信息的过程称为采样。
采样周期（Sampling Period）：采样开关每间
隔一定时间T内接通及断开一次，时间T称为采样周期。
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11
保持器—采样信号的复现

线性离散控制系统的稳定性分析

线性离散控制系统的稳定性分析在控制工程中，稳定性是占据重要地位的概念之一。

对于线性离散控制系统而言，稳定性分析显得尤为关键。

在本文中，我们将讨论线性离散控制系统的稳定性分析。

线性离散控制系统由两个部分组成，一个是系统本身，另一个是控制器。

这两个部分共同作用，以使系统能够正常运行，达到预定的控制目标。

而稳定性则是在这一过程中，确保系统在特定的条件下能够保持稳定。

线性离散控制系统一般是在时刻 t 时，通过一个输入信号 u(t) 来控制输出信号 y(t)。

由此可以得到系统的状态空间方程式：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t)其中，x(t) 是状态向量，它包含系统中所有的状态信息。

A 和B 是状态转移矩阵，用于描述状态向量在时间上的演变。

C 则是输出端的转移矩阵，用于描述系统输出与状态向量之间的关系。

而 u(t) 则是控制器的输入信号，通过控制器的处理，最终得到系统的输出 y(t)。

对于任意给定的系统，其稳定性是需要依据系统本身的特性来分析的。

这里我们将从两个方面来讨论线性离散控制系统的稳定性分析。

分别为：利用特征值和易于分析的特殊情况。

一、利用特征值进行稳定性分析通过特征值，可以很方便地判断一个系统是否稳定。

特征值的计算公式如下：det(A-λI) = 0其中，det() 是矩阵的行列式，A 是状态转移矩阵，λ 是特征值，I 是单位矩阵。

特征值通常是由状态转移矩阵的特征多项式所产生的根。

如果计算出来的特征值都处于单位圆内，那么这个系统就是稳定的。

反之，如果特征值的模超过了 1，则这个系统就是不稳定的。

此外，还存在一种特殊情况，即状态转移矩阵的特征值都是实数。

在这种情况下，我们只需要检测特征值是否位于区间 [-1,1] 中即可。

如果全部都满足此条件，那么系统就是稳定的。

二、特殊情况下的稳定性分析对于线性离散控制系统而言，有一些特殊情况下可以使用更为简便的方法来进行稳定性分析。

线性离散系统

自动控制原理第7章线性离散控制系统

线性离散系统数学模型和分析方法

第七章--线性离散系统的稳定性分析

线性离散系统

线性离散系统的分析

线性离散系统状态方程的解

第3章-线性离散系统数学描述

线性离散系统的状态空间描述

自动控制原理胡寿松第七章解析

自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计

第7章 线性离散系统简介

第8章 线性离散时间控制系统

第4章：线性离散系统的数学描述1

线性离散系统的数学模型

线性离散控制系统及其与连续系统间的关系

第7章 线性离散系统

线性离散控制系统的稳定性分析

第7章线性离散系统简介

第8章线性离散时间控制系统

第7章线性离散系统