数学几何定理符号语言
立体几何八个定理默写含答案
2014学年高二数学---1028立体几何“平行、垂直”定理默写给你定理的图形语言，请写出定理的文字语言（即类似原话的叙述）、以及符号语言：①线面平行的判定定理——线线平行则线面平行文字语言：符号语言：图形语言：②面面平行的判定定理——线面平行则面面平行文字语言：符号语言：图形语言：③线面平行的性质定理——线面平行则线线平行文字语言：符号语言：图形语言：④面面平行的性质定理——面面平行则线线平行文字语言：符号语言：图形语言：▲平行的其它结论：（1）若面面平行，则一面内任一线平行于另一面。
（2）等角定理：若两个角的边对应平行，则这两个角相等或互补。
⑤线面垂直的判定定理——线线垂直则线面垂直文字语言：符号语言：图形语言：⑥面面垂直的判定定理——线面垂直则面面垂直文字语言：符号语言：图形语言：⑦线面垂直的性质定理：(这个还是线面垂直的定义“线面垂直则线线垂直”有用，故用定义代替定理)文字语言：符号语言：图形语言：⑧面面垂直的性质定理：面面垂直则线面垂直文字语言： 符号语言： 图形语言：▲垂直的其它结论：（1）若两平行线中的一条垂直于一面，则另一条也垂直于该面。
（2）若两直线都垂直于一面，则这两直线平行。
（这个是书上的线面垂直性质定理）（3）若两平面垂直，则过一面内一点与另一面垂直的直线，必在该面内。
答案1、八个定理——立体几何的证明的依据、更是证明的思路：① 线面平行的判定定理——线线平行，则线面平行文字语言： 符号语言： 图形语言： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则此直线与此平面平行。
② 面面平行的判定定理——线面平行，则面面平行文字语言： 符号语言： 图形语言： 一个平面内的两条相交 αa bααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄βαβαα//,,//,//⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂相交b a b a b a直线与另一个平面平行，则这两个平行平行。
③ 线面平行的性质定理——线面平行，则线线平行文字语言： 符号语言： 图形语言：一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
等角定理符号语言
等角定理符号语言等角定理是几何学中非常重要的一条定理，它表明了在一个等角三角形中，那些对应的角度是相等的。
这个定理对于解决很多几何问题都非常有帮助，但是在如何写等角定理的符号语言上却存在一些争议。
在标准的符号语言中，我们使用符号“≅”来表示等角。
这个符号来源于拉丁语中的“congruus”，意思是相等的或者一致的。
在使用这个符号的时候，我们通常会使用两个三角形来表示它们是等角的，这样更加明显，同时也符合了我们的视觉习惯。
然而，有些人却认为这种符号语言过于复杂，导致了人们对于等角定理的理解难度加大。
这些人提出了一个新的符号来表示等角，它就是“∠”。
这个符号很容易让人们想到角度，因为它就是一个尖角符号。
使用这个符号，我们就可以更加简洁地表示等角定理，同时也可以让人们更加直观地理解它。
当然，这种新的符号也存在一些潜在的问题。
首先，它可能会与表示角度大小的符号混淆，因为在一些情况下，等角所涉及的角度大小并不是很明显。
其次，它也可能会让人们误解等角的实际含义，因为在很多情况下，等角并不一定是指两个角大小完全相等，而是指它们具有相似的角度特征，这一点可能无法通过单纯的符号表达出来。
因此，无论是使用“≅”还是“∠”，我们都需要在使用的时候进行适当的说明和辨析，避免误解和混淆。
在进行教学的时候，我们也应该根据学生的认知特点和学科背景来选择适当的符号语言。
不过，无论是哪种符号语言，它们都只是表达等角定理这个概念的工具而已。
更重要的是，我们应该让学生深入理解等角定理的本质和应用，而不是纠结于符号的选择和细节。
只有通过深入的思考和实践，才能真正理解等角定理，发现它所蕴含的数学美和实用价值。
总之，等角定理符号语言的选择不仅仅涉及到符号本身的具体含义和使用方法，更涉及到教育学习的本质和目标。
我们应该在多方面考虑，提倡多元化的符号语言，以满足不同群体和情境下的需求。
同时，我们也需要注意理解等角定理的内涵和应用，以更好地发挥它的作用。
数学语言主要表现包括
数学语言主要表现包括
数学语言是用数学符号、术语和公式等方式进行抽象和具体的表达,主要表现包括：
1.符号：数学符号是数学语言最重要的表现形式,如“+”、“-”、“x”、“÷”、“=”、“<”、“>”、“∫”、“∝”等。
2.术语：数学术语是数学语言的基本组成部分,如“函数”、“方程”、“推论”、“证明”、“几何”、“统计”等。
3.公式：数学公式是用符号和术语表示的具有特定意义的式子,如勾股定理a²+b²=c²,二次方程ax²+bx+c=0等。
4.数学语句：数学语句是用数学语言描述的陈述性句子,如“1+1=2”,“圆的周长等于2πr”等。
5.数学证明：数学证明是数学语言最重要的表现形式之一,用于证明公式、定理和命题的正确性。
等角定理符号语言
等角定理符号语言一、引言等角定理是在几何学中的一条重要定理，描述了等角关系下的性质和效果。
在学习和研究等角定理时，经常需要使用符号语言进行描述和推导。
本文将详细探讨等角定理符号语言的使用方法和相关内容，旨在帮助读者更好地理解和运用等角定理。
二、符号语言概述等角定理符号语言是一种用特定符号表示等角关系的语言系统。
它通过简洁明了的符号表达方式，将复杂的几何关系和性质转化为易于理解和推导的形式。
在学习和研究等角定理时，使用符号语言能够提高几何推理和证明的效率，便于准确表达和记录等角定理的性质。
三、符号语言的基本规则为了正确使用等角定理符号语言，我们需要了解一些基本规则。
下面是几点需要注意的事项：1. 符号的选择在等角定理符号语言中，我们使用特定的符号来表示不同的几何关系和性质。
这些符号通常是由字母、数字或特殊符号组成的。
为了避免混淆，符号的选择应当具有明确性和简洁性。
通常情况下，我们可以使用大写字母表示点，小写字母表示线段。
2. 符号的排列顺序在符号语言中，符号的排列顺序反映了几何关系的顺序。
例如，若要表达两个线段相等，可以使用”A = B”表示，其中A和B分别代表两个线段。
符号的排列顺序应该与几何关系的逻辑顺序一致，方便理解和记忆。
3. 等号的含义在等角定理符号语言中，等号的含义与数学中的等号不同。
它表示的是两个几何对象具有相同的性质或关系，而不是数值上的相等。
例如，“∠ABC = ∠DEF”表示角ABC和角DEF是等角。
四、常用符号和表达1. 点和线段的表示在等角定理符号语言中，我们使用大写字母来表示点，小写字母来表示线段。
例如，点A可以表示为”A”，线段AB可以表示为”AB”。
2. 角的表示角是几何学中常见的一个概念，它可以用来描述点之间的夹角关系。
在等角定理符号语言中，我们通常使用小写希腊字母来表示角。
例如，角ABC可以表示为”∠ABC”。
3. 线段的比较在等角定理中，经常需要比较两个线段的大小关系。
勾股定理逆定理符号语言
勾股定理逆定理符号语言勾股定理是初中数学中极为基础的一条定理，它有着广泛的应用和重要的意义。
而勾股定理的逆定理同样也有着很高的实用价值，在实际生活中起到重要的作用。
本文将对勾股定理逆定理进行详细的解释和阐述，探讨其应用领域和数学意义。
首先，我们来复习一下勾股定理的内容。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。
用符号语言表示为：a² + b² = c²。
其中，a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。
那么，勾股定理的逆定理就是：如果一个三角形的三边的边长符合a² + b² = c²的关系，那么这个三角形一定是一个直角三角形。
在证明勾股定理逆定理之前，我们首先来看一下为什么勾股定理成立。
勾股定理可以通过几何方法和代数方法进行证明。
在几何方法中，我们可以用三个正方形的面积之和来证明勾股定理。
具体来说，我们可以将三角形分别取为三个正方形的内切圆，然后计算三个正方形的面积。
在代数方法中，我们可以利用坐标系的方法，将三角形的顶点设为某个点，然后利用勾股定理设立方程来证明勾股定理。
接下来，我们来证明勾股定理的逆定理。
假设有一个三角形，已知三个边的长度为a、b、c，且符合a² + b² = c²的关系。
我们需要证明这个三角形一定是直角三角形。
我们可以假设反证法，假设这个三角形不是直角三角形，而是一个锐角三角形或者钝角三角形。
首先，我们假设这个三角形是一个锐角三角形。
根据锐角三角形的性质，三个内角都是锐角，即都小于90°。
那么根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC。
由于c² = a² + b²，可以得到2ab·cosC = 0。
由于a和b都大于0，所以cosC = 0。
但是在三角函数表中，我们知道cos90° = 0，意味着C = 90°，与假设的锐角三角形相矛盾。
全等三角形的几何语言
全等三角形的几何语言一、全等三角形的几何语言（一）全等三角形的定义与表示全等三角形就是能够完全重合的两个三角形。
在数学里，我们用“≌”这个符号来表示全等。
比如说，如果三角形ABC和三角形DEF全等，我们就写成△ABC≌△DEF。
这就像是给这两个长得一模一样的三角形贴了个“全等”的标签呢。
（二）对应边与对应角的几何语言1. 当△ABC≌△DEF的时候，对应边相等的几何语言就可以写成：AB = DE，BC = EF，AC = DF。
这就像是在说，这两个全等三角形的三条边啊，就像双胞胎一样，长度是完全一样的。
2. 对应角相等的几何语言呢，就是∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
就好比这两个三角形的角也是一模一样的拷贝呢。
（三）全等三角形判定定理中的几何语言1. SSS（边边边）判定定理如果有三个边分别相等的两个三角形，那这两个三角形就是全等的。
几何语言就是：在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF，所以△ABC≌△DEF（SSS）。
就像三根一样长的小木棍搭成的两个三角形肯定是一模一样的呀。
2. SAS（边角边）判定定理如果两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
比如说在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，那么就可以说△ABC≌△DEF（SAS）。
这就好比一个角夹着两条一样长的边，这样的两个三角形肯定能重合啦。
3. ASA（角边角）判定定理两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
例如在△ABC 和△DEF中，∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E，所以△ABC≌△DEF （ASA）。
这就像两个角中间夹着一条相同的边，这样的三角形肯定是全等的啦。
4. AAS（角角边）判定定理两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
要是在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF，那么△ABC≌△DEF（AAS）。
勾股定理逆定理符号语言
勾股定理逆定理符号语言勾股定理是几何学中一个重要的定理，它在数学和物理学中应用广泛。
勾股定理的逆定理是指当一个三角形的三条边满足某种关系时，该三角形一定是直角三角形。
在本文中，我们将使用符号语言详细阐述勾股定理的逆定理。
首先，让我们来回顾一下勾股定理的表达式：对于一个直角三角形，设直角边为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有：c² = a² + b²现在我们将讨论勾股定理的逆定理。
我们假设有一个三角形，它的三边为a，b，c，并且满足下面的关系：c² = a² + b²我们需要证明，如果一个三角形的三边满足这个关系，那么这个三角形一定是一个直角三角形。
我们先假设这个三角形不是直角三角形。
那么根据三角形内角和定理，三角形的三个角度之和必定为180度，我们分别设这三个角度为A，B，C。
根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2abcosC将c² = a² + b²代入上式，我们得到：a² + b² = a² + b² - 2abcosC简化上式，我们得到：0 = -2abcosC因此，cosC = 0。
既然cosC = 0，则角C必定为90度，即这个三角形必定有一个直角。
所以，我们证明了如果一个三角形的三边满足c² = a² + b²关系，那么这个三角形一定是一个直角三角形。
在这个证明过程中，使用了一些符号语言。
让我们来解释一下这些符号的含义：- "a"，"b"和"c"是表示三角形的三个边的变量。
- "c² = a² + b²"表示"斜边的平方等于两条直角边的平方和"。
数学几何定理符号语言(学生版本)
1、基本事实：经过两点有且只有一条直线 。
（两点确定一条直线）2、基本事实：__________________最短。
________________最短3、补角性质：同角或等角的补角相等 。
几何语言：∵∠A+∠B=180°，∠A+∠C =180°∴__________________（同角的补角相等）∵∠A+∠B=180°，∠C +∠D =180°，∠A=∠C∴__________________（等角的补角相等）4、余角性质：同角或等角的余角相等。
几何语言：∵∠A+∠B=90°，∠A+∠C =90°∴∠B=∠C （同角的余角相等）∵∠A+∠B=90°，∠C +∠D =90°，∠A=∠C∴__________________（等角的余角相等）5、对顶角性质：对顶角相等。
∠1=∠26、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（垂线段最短）8、（基本事实）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
9、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 。
几何语言：∵ a ∥b ，a ∥c ∴∴____________10、两条直线平行的判定方法：几何语言：如图所示（1） 同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
∵∠1=∠2 ∴____________ ∵∠3=∠4 ∴____________（3）同旁内角互补，两直线平行。
∵∠5+∠6=180°∴________________11、平行线性质：几何语言：如图所示（1） 两直线平行，同位角相等。
∵a ∥b ∴________________（2） 两直线平行，内错角相等。
∵a ∥b ∴________________（3） 两直线平行，同旁内角互补。
∵a ∥b ∴________________12、平移：（1）把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
平面几何定理符号语言
几何定理一、七年级 1、∵∠1=∠2∴a ∥b （同位角相等，两直线平行） 2、∵a ∥b∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）3、∵∠3=∠4∴a ∥b （内错角相等，两直线平行） 4、∵a ∥b∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）5、∵∠5+∠6=180°∴a ∥b （同旁内角互补，两直线平行） 6、∵a ∥b∴∠5+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）7、三角形中任意两边的和大于第三边。
8、三角形中任意两边的差小于第三边。
9、n 边形的内角的和等于（n-2）×180° 。
10、n （n ≥3）边形的外角和等于360° 。
二、八年级 1、∵△ABC ≌△DEF∴∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F （全等三角形的对应角相等）AB=DE ，BC=EF ，AC=DF （全等三角形的对应边）2、∵AB=DE ，BC=EF ，AC=DF∴△ABC ≌△DEF （三边对应相等的两个三角形全等）或（SSS ）3、∵AB=DE ，∠A=∠D ，AC=DF∴△ABC ≌△DEF （两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等）或（SAS ）abab b a6534ab65FEDA B CFEDAB CFEDABC4、∵∠A=∠D ，AB=DE ，∠B=∠E∴△ABC ≌△DEF （两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等）或（ASA ）5、∵∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF∴△ABC ≌△DEF （两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等）或（AAS ） 6、∵AB=DE ，BC=EF （AB=DE ，AC=DF ）∴△ABC ≌△DEF （斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）或（H L ）7、∵∠APF=∠BPF ，EC ⊥PA ，ED ⊥PB∴EC=ED （角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 8、∵EC ⊥PA ，ED ⊥PB ，EC=ED∴∠APF=∠BPF （到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）9、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线。
初中八级数学几何定理符语言
初中数学“图形与几何”内容八年级上册第十一章 三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
4、多边形知识要点梳理边形的内角和等于（n-2）×180°。
360°。
n 边形的对角线条数等于2)3( n n（1）正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形。
（2）多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD 为四边形ABCD 的一条对角线。
要点诠释：①从n 边形一个顶点可以引（n －3）条对角线，将多边形分成（n －2）个三角形。
②n 边形共有 2)3(-n n 条对角线。
证明：过一个顶点有n －3条对角线(n ≥3的正整数)，又∵共有n 个顶点，∴共有n(n-3)条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n 边形，共有2)3(-n n 条对角线。
矩形对角线相相等符号语言
矩形对角线相相等符号语言矩形是一种常见的几何图形，它拥有很多特殊的性质。
其中最重要的特征之一是矩形的对角线互相垂直且相等，这个性质可以用符号语言来表达。
我们需要了解一些符号的含义。
在数学表达中，通常用大写字母表示点，用小写字母表示向量或线段。
我们用AB表示线段AB，用$\vec{a}$表示向量a。
我们还需要知道一些符号，如“$\perp$”表示垂直，“$\cong$”表示相等，“$\angle$”表示角度。
设矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，则有：$AO\cong CO$$BO\cong DO$$\vec{AO}\perp\vec{CO}$$\vec{BO}\perp\vec{DO}$$\angle AOB\cong\angle COD$这些表达式的意思是：矩形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，同时相等。
点O处，四个角度相等且成对相等，因此$\angle AOB\cong\angle COD$。
我们还可以使用向量的方法来描述矩形对角线相等的性质。
设矩形ABCD的对角线AC 和BD分别对应向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，则有：$|\vec{a}|=|\vec{b}|$$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$$|\vec{a}|$表示向量$\vec{a}$的长度，$\cdot$表示向量的点积（内积）。
第二个表达式的意思是两条对角线的向量互相垂直。
上述两种表达方式都可以用来描述矩形对角线相等的特性。
学生们可以根据自己的需求选择其中一种方式进行学习和运用。
无论是用符号语言还是向量法，都体现了矩形对角线相等的性质，让我们更好地理解和应用这个几何形状。
矩形对角线相等的性质是矩形几何图形的重要特点之一。
这个性质在实际生活中也有着广泛的应用。
在建筑设计、家具制作、地图绘制等领域中，我们常常需要运用矩形的对角线相等性质来进行精确的计算和制图。
在建筑设计中，矩形的对角线相等的特性经常被用来测量建筑物的面积和出入口的宽度。
初中八年级数学几何定理符号语言
初中数学“图形与几何”内容在中考中，几何解答题、几何证明题就是热点内容,在解答过程中经常要用到定义、定理，而具体的过程需要用到符号语言表小，因此学生必须熟练掌握每个定理的几何表小法，下面就把初中阶段八年级涉及的所有几何定理的符号语言归纳出来：初中八年级数学几何定理符号语言初中数学“图形与几何”内容八年级上册20、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。
21、全等三角形的判定方法：(1) 边边边:三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS 几何语言：如图所示 .• AB=DE,BC=EF,AC=DF 二△ AB(^A DEF(2) 边角边:两边与它们的火角对应相等的两个三角形全等。
(SAS 几何语言:如图所示.• AB=DE, Z A= Z D,AC=DF 二 AAB(^A DEF (3) 角边角:两角与它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA 几何语言:如图所示. Z A= Z D,AB=DE, Z B= Z E . AB(^A DEF(4) 角角边:两角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS 几何语言：如图所示/ A= Z D, Z B=Z E,BC=EF . AB(^A DEF (5) 斜边、直角边：斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(H L)■ 几何语言：如图所示[.• AB=DE,BC=EF(AB=DE,AC=DF) . AB(^A DEF22、角平分线的性质：角的平■分线上的点到角的两边的距离相等。
23、 推论:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平■分线上。
24、 轴对称的性质：如果两个图形关丁某条直线对称，那么对称轴就是任何一对对应 点连线的垂直平■分线。
25、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相LHJ (推论)几何语言: 如图所示 .• EC±PA 丁 C,ED±PB 于 D,EC=ED.••点E 在Z APB 的平■分26、 推论:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形中线、角平分线定理总结
三角形中线、角平分线定理总结1.三角形的中线定理，又称阿波罗尼斯定理，一种欧式几何的定理，表示三角形三边和中线长度关系。
定理内容：（1）文字语言：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方和与该中边平方和的2倍。
（2）符号语言：三角形ABC 的边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，其中点,,D E F 分别是,,BC AC AB 的中点，如图所示:（3）图象语言：1）2222122b c a AD +=+2）2222122b a c CF+=+ 3）2222122a c b BE +=+（4）以命题1）2222122b c a AD +=+为例证明过程：在三角形ABD ，由余弦定理，可得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，即222112cos 22c AD a AD a ADB ⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-------（1） 在三角形ADC 中，又余弦定理可知：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠B C即222112cos 22b AD a AD a ADC ⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-----（2） 又因为ADC ADC π∠+∠=，则ADC ADC π∠=-∠所以cos cos ADC ADC ∠=-∠有（1）（2）联立，且（1）式+（2）式，得：2222122c b AD a +=+，命题得证.阿波罗尼斯介绍：（Apollonius of Perga Back ）古希腊人（公元前262--前190），写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，如切线，共轭直径、极与极轴、点到锥线的最短与最长距离等，阿波罗尼斯圆是他论著中一个著名的问题，他与阿基米德、欧几里德被誉为古希腊三大数学家.如题：例1.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.且()()()B b c a B A c b a sin sin sin 2222222-+=--+.（1）求角C ；（2）若22=c ，ABC ∆的中线2=CD ，求ABC ∆的面积.2.三角形角平分线定理：定理内容：定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等定理2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.证明：如图，在ABC ∆，AD 是BAC∠的平分线，过点D 作AB DE ⊥，AC DF ⊥，AD 是角BAC ∠的平分线，AB DE ⊥，AC DF ⊥ DF DE =∴（定理1）DE AB S ABD ⋅=∆21 ，AD AC S ACD ⋅=21 AC AB S S ACD ABD ::=∴∆∆过点A 作BC AG ⊥，垂直为GAG BD S ABD ⋅=∆21 ，AG CD S ACD ⋅=∆21 CD BD S S ACD ABD ::=∴∆∆CD BD AC AB ::=∴定理3.已知AD 是ABC 的角平分，则CD BD AC AB AD ⋅-⋅=2（角平分线长定理如：例2. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，其面积A b S sin 2=.（1）求b c 的值（2）设内角A 的平分线AD 交BC 于D ，332=AD ，3=a ，求b . 解：（1）由A b A bc S sin sin 212==，可知b c 2=，即2=bc .（2）由角平分线定理可知，332=BD ，33=CD ，在ABC ∆中，32234cos 22⋅⋅-+=b b b B ，在ABD ∆中，3322234344cos 2⋅⋅-+=b b B ， 即332223434432234222⋅⋅-+=⋅⋅-+b b b b b ，解得1=b .。
完整版)高中立体几何八大定理
完整版)高中立体几何八大定理以下是格式正确、经过修改的文章：线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行。
符号语言：a//b作用：线线平行→ 线面平行二、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
符号语言：l//m。
l∥m∩β=m作用：线面平行→ 线线平行三、平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
符号语言：a∥β。
b∥β。
AB=ab。
A→β→γ。
B→β→γ作用：线线平行→ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。
符号语言：α∥β。
α∩γ=a。
β∩γ=b。
a//b作用：面面平行→ 线线平行五、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
符号语言：a⊥α。
a⊥β。
α∩β=A。
m⊥α。
n⊥α。
m∥β。
n∥β作用：线线垂直→ 线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行。
符号语言：a⊥α。
b⊥α。
a//b作用：线面垂直→ 线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
符号语言：a⊥α。
α∥β。
a⊥β作用：线面垂直→ 面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面。
符号语言：α⊥β。
α∩β=l。
AB⊥β。
AB∥α作用：面面垂直→ 线面垂直。
两直线平行内错角相等的符号语言
两直线平行内错角相等是几何学中的一个基本定理，它涉及到直线和角度的关系，是在数学领域中被广泛运用的一个重要定理。
在几何学中，两直线平行内错角相等的定理给出了两条平行线之间角度的关系，是在解决相关问题时的一个有力工具。
本文将就两直线平行内错角相等的符号语言进行较为详细的探讨，旨在帮助读者加深对这一定理的理解。
在数学中使用符号语言是一种非常普遍的表达方式，它能够简洁明了地传达数学定理和公式，是数学研究中不可或缺的一部分。
对于两直线平行内错角相等这一定理，同样可以通过符号语言进行表达和证明。
接下来将详细介绍这一定理的符号语言表示。
1. 定理表述两直线平行内错角相等的定理可以用如下的方式进行表述：若直线l和m平行，则对于任意一点A和B，当A在l线上，B在m线上时，角∠AOB等于角∠COD。
其中O是直线l和m的交点，C点在m线上，D点在l线上。
2. 符号语言的表示在数学中，通常使用字母表示点、直线或角，这些字母一般为大写或小写的拉丁字母。
对于两直线平行内错角相等这一定理，可以使用如下符号语言进行表示：a. 直线l和m平行：l // mb. 点的表示：A、B、C、D、Oc. 角的表示：∠AOB、∠COD3. 证明过程对于两直线平行内错角相等这一定理，可以通过简单的几何推理进行证明。
a. 连接AO和OD两条线段，连接BO和OC两条线段；b. 因为l和m平行，则根据平行线性质，∠AOB和∠COD为同旁内错角；c. 则根据同旁内错角的性质，∠AOB=∠COD。
4. 应用举例两直线平行内错角相等的定理，在解决相关几何问题时经常会用到。
考虑如下问题：已知直线l和m平行，AB是l线上的一点，C是m线上的一点，若∠AOB=60°，求∠COD的度数。
根据两直线平行内错角相等的定理，∠AOB=∠COD，则∠COD=60°。
通过以上的讨论，相信读者对于两直线平行内错角相等的定理有了更深入的理解。
符号语言的使用能够让数学表达更加简洁明了，有助于增强数学知识的理解和应用。
立体几何中的符号语言洋葱数学
立体几何中的符号语言洋葱数学
洋葱数学，是一种在立体几何中使用的符号语言。
它以洋葱的结构为基础，通过符号的组合和排列来描述复杂的几何形状和空间关系。
在洋葱数学中，最基本的符号是表示点的圆点符号。
通过将多个圆点符号组合在一起，可以表示线段、线、面等几何元素。
例如，三个圆点符号排列在一条直线上，表示一条线段；四个圆点符号排列成一个矩形，表示一个矩形面。
除了圆点符号，洋葱数学还使用了其他一些符号来描述几何元素之间的关系。
例如，一个圆圈表示一个圆，两个圆圈相交表示两个圆的交集；一个圆圈内部有一个箭头表示一个向量，箭头的方向表示向量的方向。
洋葱数学不仅可以描述基本的几何元素和关系，还可以用于推导和证明几何定理。
通过符号的排列和组合，可以简洁地表示几何定理的条件和结论。
例如，对于一个三角形ABC，如果有一个圆的圆心在三角形的外接圆上，那么这个圆被称为这个三角形的外接圆。
在洋葱数学中，可以用一个圆圈和一个三角形的符号来表示这个定理。
洋葱数学的优势在于它提供了一种简洁、直观的语言，可以更好地理解和研究立体几何的性质和结构。
它对于学习和教学立体几何有着重
要的作用。
通过学习和运用洋葱数学，人们可以更深入地理解立体几何的概念和原理，从而提高几何问题的解决能力。
总之，洋葱数学是一种在立体几何中使用的符号语言，通过符号的组合和排列来描述复杂的几何形状和空间关系。
它为研究和理解立体几何提供了一种简洁、直观的方法，对于学习和教学立体几何具有重要意义。
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1基本事实：经过两点有且只有一条直线。
（两点确定一条直线）2、基本事实：两点之间线段最短。
3、补角性质：同角或等角的补角相等。
几何语言：τ∠A+ ∠ B=180°,∠ A+ ∠ C =180°∙∙∙∠B=∠ C （同角的补角相等）∙∙∙∠A+ ∠ B=180°,∠ C +∠ D =180°,∠ A= ∠ C∙∠ B=∠ D （等角的补角相等）4、余角性质：同角或等角的余角相等。
几何语言：τ∠A+ ∠ B=90°,∠ A+ ∠ C =90°∙∠B=∠ C （同角的余角相等）∙∙∙∠A+ ∠ B=90°,∠ C + ∠ D =90°,∠ A= ∠ C∙∠B=∠ D （等角的余角相等）、/5、对顶角性质：对顶角相等。
L.∠ 1 = ∠ 26、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（垂线段最短）& （基本事实）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
9、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
几何语言：T a// b, a// C ∙b// C10、两条直线平行的判定方法：几何语言：如图所示（1）同位角相等，两直线平行。
v∠1 = ∠2 ∙a∕/ b（3）同旁内角互补，两直线平行T∠5+∠ 6=180°∙a/ b11、平行线性质：几何语言：如图所示（1）两直线平行，同位角相等。
V a / b ∙∠1 = ∠2（2）两直线平行，内错角相等。
v a∕/ b ∙∠3= ∠4（3）两直线平行，同旁内角互补。
V a/ b ∙∠5+∠6=180°12、 平移:(1) 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图 形的形状和大小完全相同。
(2) 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对 应点，连接各组对应点的线段平行且相等。
13、 三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边。
a+b>c a+c>bb+c>a14、三角形三边关系推论：三角形中任意两边之差小于第三边 a-b<ca-c<b b-c<a15、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
几何语言：在三角形ABC 中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180o 16、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 几何语言： 在三角形ABC 中, ∠ 1 = ∠ A+ ∠ C17、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
几何语言： 在三角形ABC 中， ∠ 1>∠ A, ∠ 1>∠ C多边形内角和：n 边形的内角的和等于(n-2)×180° 19、 多边形的外角和等于360 00 20、 全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。
犬DBCE F21、全等三角形的判定方法：(1) 边边边：三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS 几何语言：如图所示 V AB=DE ，BC=EF ，AC=DF /•△ ABC^ DEF (2) 边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS(图1)18 几何语言：如图所示•••△ ABC^ DEF∙∙∙∠ A= ∠ D ，∠ B= ∠ E ,∠ C= ∠ F ，ACB几何语言：如图所示V AB=DE , ∠A= ∠D, AC=DF ：■△ AB(^△ DEF(3)角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA 几何语言：如图所示V∠ A= ∠ D, AB=DE , ∠ B= ∠ E /•△ ABC^ DEF(4)角角边：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS 几何语言：如图所示V∠ A= ∠ D,∠ B= ∠ E, BC=EF•••△ABC^ DEF(4)斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)几何语言：如图所示V AB=DE ,BC=EF( AB=DE ,AC=DF)•••△ABC^ DEF22、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
(性质)几何语言：如图所示V PF 平分∠ APB (或∠ APF= ∠ BPF), EC⊥PA 于C, ED 丄PB 于D∙∙∙ EC=ED 23、推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
(推论)几何语言：如图所示V EC⊥ PA 于C, ED⊥ PB 于D, EC=ED•••点E在∠ APB的平分线上24、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称, 应点连线的垂直平分线。
25、线段垂直平分线的性质：这条线段两个端点的距离相(性质)几何语言：如图所示V MN是线段AB的垂直平分线(或MN丄AB于D, AD 那么对称轴是任何一对对线段垂直平分线上的点与等。
NB26、推论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 (推论)几何语言： 如图所示 V CA=CB•••点C 在线段AB 的垂直 平分线MN 上27、 轴对称： (1) 由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形， 这个图形与原图 形的形状、大小完全相同；(2) 新图形式的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点； (3) 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 。
28、 用坐标表示轴对称： 点(X , y)关于X 轴对称的点的坐标为(X , -y); 点(X , y)关于y 轴对称的点的坐标为(-X , y)。
29、等腰三角形的性质：(1) 等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角) 几何语言： 如图所示，在△ ABC 中V AB = AC∙∙∙∠ B = ∠ C （等边对等角）(2) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合30、等腰三角形的判定定理：如果一个三角 等，那么这两个角所对的边也相等。
(等角对 几何语言：如图所示，在△ ABC 中V ∠ B = ∠ C∙∙∙ AB = AC (等角对等边)BD C几何语言：如图所示，在△ ABC 中 ① V AB = AC ，BD = DC② V AB = AC ,∠ 1 = ∠ 2∙∙∙∠ 1 = ∠ 2，AD 丄BC ∙∙∙ AD 丄BC ，BD = DC ∙∙∙∠ 1 = ∠ 2，形有两个角相等边)(判定定理)几何语言 如图所示，在△ ABCB CB C31、等边三角形的性质定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60(性质定理)几何语言如图所示，•••△ ABC是等边三角形∙∙∙ AB=BC=AC ,∠ A= ∠ B= ∠ C=60 32、等边三角形的判定定理：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形。
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形33、直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半几何语言：如图所示∙∙∙∠ C = 90°, ∠ B = 30°1∙∙∙ AC 一AB （或者AB = 2AC）234、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a b,斜边为c,那么a2+b2=c2(定理)几何语言如图所示，在Rt A ABC中,2 2 2AC2+BC2=AB235、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长三角形是直角三角形。
_________(逆定理)几何语言：如图所示，在△ ABC中2 2 2V AC +BC =AB •••△ ABC是直角三角形36、平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行。
(2) 平行四边形的对边相等。
(3) 平行四边形的对角相等。
(4) 平行四边形的对角线互相平分。
a、b、C满足a2+b2=c2,那么这个(性质)几何语言：如图所示，(1) V四边形ABCD是平行四边形(2) V四边形ABCD是平行四边形(3) V四边形ABCD是平行四边∙∙∙ AB // CD , AD // BC∙∙∙ AB=CD , AD=BC∙∙∙∠ABC= ∠ ADC ,∠ BAD= ∠ BCDAA(5)τ∠ ABC= ∠ ADC , ∠ BAD= ∠ BCD 二四边形38、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半 几何语言：如图所示，在△ ABC 中1V D 、E 分别是 AB 、AC 的中点∙∙∙ DE // BC DE=1BC239、 两条平行线间的任何一组平行线段相等 。
40、 矩形的性质：(平行四边形具有的性质都具有) (1) 矩形的四个角都是直角 (2) 矩形的对角线相等。
(性质)几何语言：如图所示，(1) V 四边形ABCDi 矩形∙∙∙∠ ABC= ∠ BCD = ∠ CDA = ∠ DAB = 90 (2) V 四边形 ABCDi 矩形 ∙∙∙ AC=BD41、直角三角形的性质：(1) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (2) 直角三角形的两个锐角互余。
(性质)几何语言：如图所示，(1) V ^ ABC 是直角三角形，D 是AB 的中点 1∙ CD=-AB (或 AB=2CD ) 2(2) V ^ ABe 是直角三角形 ∙∠ A+ ∠ B=90o 42、矩形的判定方法：37、平行四边形的判定方法：(1) (2) (3) (4) (5) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(定义) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(判定)几何语言：如图所示，(1) V AB // CD ，AD // BC(2) V AB=CD ，AD=BC(3) V OA=OC ，OB=OD (4) V AB _ CD (或 ADj BC ) •••四边形 •••四边形•••四边形 ABCDi 平行四边形 ABCDi 平行四边形ABCDi 平行四边形ABCD 是平行四边形 ABCD 是平行四边形(1) 有一个是直角的平行四边形是矩形。
(定义)(2) 有三个角是直角的四边形是矩形。
(3) 对角线相等的平行四边形是矩形。
(判定)几何语言：如图所示，(1)v四边形ABCD是平行四边形，∠ ABC= 90°二四边形ABCD是矩形(2) τ∠ABC= ∠ BCD = ∠ CDA = 90°二四边形ABCD⅛矩形(3) ：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD 二四边形ABCDi矩形43、菱形的性质：(平行四边形具有的性质都具有)(1)菱形的四条边都相等。
(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(性质)几何语言：如图所示，D(1) v 四边形ABCD是菱形∙∙∙ AB=BC = CD=DA(2) ：四边形ABCD是菱形∙AC 丄BD，∠ ABD= ∠ CBD，∠ ADB= ∠ CDB44、菱形的判定方法：(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形。