人教版数学八年级上册 最短路径问题课件
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人教版八年级数学上册1最短路径问题课件
在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
B′
∴AC+BC < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
归纳
B A
l
解决实 际问题
B
抽象为数学问题
A
C
l
轴对称
A C
用旧知解决新知
B
l
A
C
l
B′
B′
解决“两点一线”型最短路径问题的方法：
异侧: 连接两点，与直线的交点即为所求的点；
同侧: 作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另
a P1
M .P
N
b
P2
解决“两线一点”型最短路径问题:
要作两次轴对称，从而构造出最短路径． a
P1
作法： 1.作点P关于直线a的对称 点P1; 2.作点P关于直线b的对称
M .P
点P2; 3.连接P1P2，分别交直线 a ，b于点M ,N ;
N
b
4.依次连接PM ,MN ,NP , 即所求最短路径。
A1
P
l1
.
A
Q
. B1
B
l2
再学习（4）造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔造在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A
B
思维分析
A Ｍ
Ｎ B
如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和 ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短呢？
问题解决
如图，平移A到A1，使Ａ
A
A1等于河宽，连接A1Ｂ
人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(ppt课件)
拓展延伸
2. 某班举行文艺晚会,桌子摆成AB,AC两行,如图13-4-27,AB桌面上 摆满了橘子,AC桌面上摆满了糖果,小明现在P处,准备先去拿橘子再 去拿糖果,然后回到P处.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总 路程最短.(保留作图痕迹,并简单写出作法)
拓展延伸
3. 如图,小华每天都要到李奶奶家做好事,在途中她要先到草场打
对点练习
4. 如图,AD为等腰三角形ABC底边上的高,E为AC边上一点,在AD
上求一点F,使EF+CF最小.
对点练习
5.如图,M为正方形ABCD的边CD的中点,BM=10,在对角线BD上求 作一点N,使MN+CN的值最小,并求出这个最小值.
拓展延伸
1、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接 游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船 的最短路径．【来源：2教育
E
一只在E处的蚂蚁要爬到圆柱内侧D点处，试
画出其最短路径。
对点练习
2.(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边L饮
马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
对点练习
3.点P是直线l上的一点,线段AB∥l,能使PA+PB 取得最小 值的点P的位置应满足的条件是 ( C ) A.点P为点A到直线l的垂线的垂足 B.点P为点B到直线l的垂线的垂足 C.PB=PA D.PB=AB
学习难点
确定最短距离及理论说明.
知识回顾：
思考：
(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？ (2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪 条线最短？ 以上路径选择基于什么原理？
类型一：两点之间，线段最短——直接应用
人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)
联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
作法及思路分析
1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接
CB′。
B
A C
l
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
根据前面的分析，我们认为的
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐蓬B．问：在河边 的什么地方饮水，可使所走的路径最 短？
B B
AA l
l
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A
B
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
八年级数学人教版(上册)课件_13.4课题学习最短路径问题(共20张PPT)
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A··B源自有关知识，找到上问中符合条
l
件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
八年级数学上册·人教版
第13章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
• 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮 马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题．
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
课件说明
• 学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
• 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)
A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
人教版八年级数学上册1课题学习最短路径问题(第一课时)课件
P1
CC O
DD
A PC+CD+DP
思考：你能利用解决牧 马人饮马问题的办法， 解决本题吗？
P
= P1C+CD+DP2 利用轴对称(实现线段转移).
B
两点之间，线段最短．
P2
拓展提升
如图，分别在OA、OB上求作点C、D，使得
PC+CD+DP和最短．
P1
A 作法：
C
（1）过点P分别作关于OA、OB的对称点
依据：
两点之间，线段最短
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
A
B
A l
C
l
A、B在直线l的同侧
B
A、B在直线l的异侧
思考2：能否通过图形的变换，把左边未知的问题 转化为我们右边研究过的问题呢？
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
B
A l
C
问题转化为：
八年级—人教版—数学—第十三章
13.4课题学习 最短路径问题（第一课时）
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题．
2.能把实际问题抽象为数学问题，体会图形的变化
在解决最值问题中的作用，感悟转化和类比思想．
学习重点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段 最短”问题．
情境引入
观察图片，生活中你通常如何选择路径，使所走路 径最短呢？
D
B
P2
思想方法：类比、转化
课堂小结
最短路径问题：
解决方法：利用轴对称实 现线段的转移，化折为直. 理论依据：两点之间，线 段最短. 思想方法：类比、转化.
课件_人教版数学八年级上册1 最短路径问题优秀精美PPT课件
A
B
于点C． 则点C 即为所求．
C
l
你能用所学的知识证明AC +CB最短吗？
B'
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，C′B，C′B′．
由轴对称的性质知，
CB =CB′，C′B=C′B′．
∴ AC +C B= AC +C B′= AB′，
AC′+C′B= AC′+C′B′．
A
在△AB′C′中，
·
AB′＜AC′+C′B′， ∴ AC +CB＜AC′+C′B．
C′ C
B
·
l
即 AC +CB 最短．
B′
问 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
利用了轴对称的有关知识， 把两点在直线同侧问题转化为 两点在直线异侧问题。从而用 “两点之间，线段最短”
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD,BD∥CE, BD=CE,
所以A到B地的路程为:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则A到B地的路程为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
13.4课题学习 最短路径问题 根据：两点之间线段最短.
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
∴ AC +CB＜AC′+C′B．
人教版数学八年级上册《课题学习——最短路径问题》课件
方法点拨：解决“两线两点”型最短路径问题 的方法以两线为对称轴，分别作靠近线的点的 对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为 连接两个对称点的线段.
感悟新知
解：如图13 .4 -4，(1)作点A 关于直 线l1 的对称点A′； (2)作点B 关于直线l2 的对称点B′； (3)连接A′B′，分别与直线l1，l2相交 于C，D 两点，连接AC，BD，则沿 路线A → C → D → B 走才能使总路 程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
感悟新知
知识点 1 最短路径问题
知1－讲
类型
问题
作法
最小值
一 线 两
点 型
两点 在直 线异
侧
在直线l 上找 一点P，使PA
＋PB 最小
连接AB，与直 线l 的交点即为
点P
PA＋PB 的最小值 为AB的
值
感悟新知
类型
问题
作法
知1－讲
最小值
两点
一 线 两
知1－练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感悟新知
知1－练
3-1.如图，AB 是∠ MON内部的一条线段，在∠ MON 的两 边OM，ON 上分别取点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
感悟新知
知1－练
(1)如果居民小区A，B 在主干线l 的两侧，如图13.4-1，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
解：如图13 .4 -1，
连接AB，与l 的 交点即为所求的
分支点M.
感悟新知
知1－练
(2)如果居民小区A，B 在主干线l 的同侧，如图13.4-2，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
感悟新知
解：如图13 .4 -4，(1)作点A 关于直 线l1 的对称点A′； (2)作点B 关于直线l2 的对称点B′； (3)连接A′B′，分别与直线l1，l2相交 于C，D 两点，连接AC，BD，则沿 路线A → C → D → B 走才能使总路 程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
感悟新知
知识点 1 最短路径问题
知1－讲
类型
问题
作法
最小值
一 线 两
点 型
两点 在直 线异
侧
在直线l 上找 一点P，使PA
＋PB 最小
连接AB，与直 线l 的交点即为
点P
PA＋PB 的最小值 为AB的
值
感悟新知
类型
问题
作法
知1－讲
最小值
两点
一 线 两
知1－练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感悟新知
知1－练
3-1.如图，AB 是∠ MON内部的一条线段，在∠ MON 的两 边OM，ON 上分别取点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
感悟新知
知1－练
(1)如果居民小区A，B 在主干线l 的两侧，如图13.4-1，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
解：如图13 .4 -1，
连接AB，与l 的 交点即为所求的
分支点M.
感悟新知
知1－练
(2)如果居民小区A，B 在主干线l 的同侧，如图13.4-2，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
人教版八年级上册 13.4 最短路径问题 课件(共56张ppt)
求解原理 两点之间，线段最短
将军饮马问题的应用 将军饮马问题有什么特点？ 如何发现并解决将军饮马问题？
美术字与轴对称
利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案
等腰三角形中相等的线段
复习巩固 下列图形是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴 .
复习巩固 画出下列轴对称图形的对称轴
复习巩固
如图，D，E 分别是AB，AC 的中点，CD⊥AB，垂足为 D，BE⊥AC，垂足为E .求证AC =AB .
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
能不能把点在同侧的问题转化 为点在异侧的问题呢？ 提示：将点B“移”到l 的另一侧 B′处，得满足直线l 上的任意一 点C，都保持CB 与CB′的长度相 等 你．想到怎么做了吗？
如图，A、B两地在一条河 的两岸，现要在河上建一座 桥MN，桥造在何处才能使 从A到B的路径AMNB最短 ？（假设河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直）
你能把这个问题抽象成一 个数学问题吗？
抽象
可以把河的两岸看成两条平行线a和b， N为直线b上的一个动点，MN 垂直于直线b，交直线a于点M， 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
，同时向 A，B 两个居民小区送电 .
（2） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的同旁，如图（2） 所示
，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，
并说明理由 .
作A的对称
点可以吗
人教版八年级数学上册第十三章课题学习最短路径问题(共30张PPT)
此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G
H B1 B
同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、 ６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用平 移转化桥长来解决问题．
例如： 沿垂直于河岸方向平移Ａ点
依次至Ａ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．， An,平移距离分别等于各自河宽， AnB交第n条河近B点河岸于Nn,建桥 MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近 B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...， 连接M1A交第一条河近B点河岸于N1， 建桥M1N1,此时所走路径最短.
献 。 现 将 主 要工作 报告 一 、 关 心 爱 护学生 。经常 耐心细 致地做 学生的 思想教 育工作 ,有时可 以说达 到了废 寝 忘 食 的 地 步。特 别是在 抗击非 典期间 ,对学生 的生命 安全高 度负责 ,从协助校领导
制 定 各 项 预 防措施 到学生 病情的 监控和 学生的 诊治陪 护等都 凡事躬 亲。自 己带领 的 由 党 团 员 组成的 陪护小 组,不怕 死,不怕 累,出 色完成 了学校 交给的 陪护学 生的任 务 。 XX 年 7月 ,音 专 001班 黄德华 被骗到 合浦搞 传销,我 接到求 救电话 后,马上 与杨小 林 等 同 志 赶 赴合浦 解救学 生,回到 南宁后 ,又自己 掏钱为 学生购 好了返回龙州的车票
桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长.
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
人教版八年级上册1最短路径问题课件
人教版八年级上册第十三章第四节
13.4 最短路径问题
1
情景引入
相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个
百思不得其解的问题，将军问：从住所A 地出发，到一 条笔直的河边l 饮马，然后到营地B 。到河边的什么地
方饮马可使他所走的路径最短？
B地 A地
使AC+BC最短问题。如何确定点C的位置呢？
你学习过哪些最短连线的 知识？
怎么办？
问题难在哪里呢？
线段公理： 两点之间，线段最短
A
B
垂线段性质： 垂线段最短.
A
l
若A、B两点分别在直线l两侧， 你能找到符合条件的点吗？
A C
Dl
B
B
A
l
C
不管点C在直线上哪里，A、 B、C都不可能在同一直线
上，无法直接应用这两个知 识解决问题。
起源
在古罗马，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名 叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百 思不得其解的问题：
将军骑马从城堡A出发到城堡B，途中马要到河边饮 水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是"将军饮马"问题。
如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，
问：这位将军怎样走路程最短？
进
步
你的疑惑；
的
阶
梯
面对一个新的求线段最短问题时，
我们可以通过怎样的途径去研究它？
谢谢聆听，欢迎指正！
B
A
河
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营， 问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB 最小？
13.4 最短路径问题
1
情景引入
相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个
百思不得其解的问题，将军问：从住所A 地出发，到一 条笔直的河边l 饮马，然后到营地B 。到河边的什么地
方饮马可使他所走的路径最短？
B地 A地
使AC+BC最短问题。如何确定点C的位置呢？
你学习过哪些最短连线的 知识？
怎么办？
问题难在哪里呢？
线段公理： 两点之间，线段最短
A
B
垂线段性质： 垂线段最短.
A
l
若A、B两点分别在直线l两侧， 你能找到符合条件的点吗？
A C
Dl
B
B
A
l
C
不管点C在直线上哪里，A、 B、C都不可能在同一直线
上，无法直接应用这两个知 识解决问题。
起源
在古罗马，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名 叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百 思不得其解的问题：
将军骑马从城堡A出发到城堡B，途中马要到河边饮 水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是"将军饮马"问题。
如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，
问：这位将军怎样走路程最短？
进
步
你的疑惑；
的
阶
梯
面对一个新的求线段最短问题时，
我们可以通过怎样的途径去研究它？
谢谢聆听，欢迎指正！
B
A
河
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营， 问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB 最小？
新人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A1
B
m
A
C
A2
n
解析：利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定B、C的位置，从而使AB＋B Nhomakorabea＋CA最小.
解：①作A关于m的对称点A1，再作A关于n的对称点A2；
②连接A1A2交m于B，交n于C，连接AB、AC.
由于两点之间线段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，
∴AB＋BC＋CA最小.
1
B处
B A
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
You made my day!
我们，还在路上……
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A1
B
m
A
C
A2
n
解析：利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定B、C的位置，从而使AB＋B Nhomakorabea＋CA最小.
解：①作A关于m的对称点A1，再作A关于n的对称点A2；
②连接A1A2交m于B，交n于C，连接AB、AC.
由于两点之间线段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，
∴AB＋BC＋CA最小.
1
B处
B A
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
人教版八年级数学上册1最短路径问题教学课件
最短路径问题
如图，在直线 上求作一点 ，使得 + 最短.
、 在直线 异侧
′
、 在直线 同侧
例：造桥选址问题
例
如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
. 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定
河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）?
作 ′ 关于直线 的对称点 ′′.
′
′
′
′′
连接 ′′，与直线 交于一点即
为所求点 .
问题
在直线 上求作两点 ，，使
得四边形 的周长最小.
练习 已知线段 ，点 、 在直线 的同侧，在直线 上求
作两点 ，（点 在点 的左侧）且 = ，使得
四边形 的周长最小.
思考
哪些点是定点？
哪些点是动点？
思考
问题是否可以简化？
问题转化为：
当点 在什么位置时， + + + 最小.
问题转化为：当点 在什么位置时， + 最小.
′
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），
座桥 ．桥造在何处可使从 到 的路径
最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点 在直线 的什么位置时，
+ + 最小？
实际问题用数学语言表达.
如图，在直线 上求作一点 ，使得 + 最短.
、 在直线 异侧
′
、 在直线 同侧
例：造桥选址问题
例
如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
. 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定
河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）?
作 ′ 关于直线 的对称点 ′′.
′
′
′
′′
连接 ′′，与直线 交于一点即
为所求点 .
问题
在直线 上求作两点 ，，使
得四边形 的周长最小.
练习 已知线段 ，点 、 在直线 的同侧，在直线 上求
作两点 ，（点 在点 的左侧）且 = ，使得
四边形 的周长最小.
思考
哪些点是定点？
哪些点是动点？
思考
问题是否可以简化？
问题转化为：
当点 在什么位置时， + + + 最小.
问题转化为：当点 在什么位置时， + 最小.
′
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），
座桥 ．桥造在何处可使从 到 的路径
最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点 在直线 的什么位置时，
+ + 最小？
实际问题用数学语言表达.
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A
l
人 教 版 数 学 八年级 上册 最 短 路径 问题课 件
B
人 教 版 数 学 八年级 上册 最 短 路径 问题课 件
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象 为一条直线．
·B A·
l
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人 教 版 数 学 八年级 上册 最 短 路径 问题课 件
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD,BD∥CE, BD=CE,
所以A到B地的路程为:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则A到B地的路程为：
如图，点A关于直线l的对称点是点B， 点C，D在直线l上，则CA与CB，DA与 DB大小关系如何？理由是什么？
A
CA=CB
DA=DB
DC
l
B
对称轴是对称点连线的垂直平分线，垂直 平分线上的点到线段两端点的距离相等
如图，从A地到B地有三条路可供
选择，你会选走哪条路最近？你
的理由是什么？
我选第②条路Байду номын сангаас
13.4课题学习 最短路径问题
人民教育出版社 八年级（上）
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专 程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路 线全程最短？
B A
l
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交
A
B
于点C． 则点C 即为所求．
C
l
你能用所学的知识证明AC +CB最短吗？
B'
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解决问题。
A
·
C′ C
B
·
l
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B′
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• 小试牛刀
• 如图，OM,ON是两条公路，在两条公路
之间有一油库A，现在想在两条公路分别
建一个加油站，为使运油的车从A出发先
到一个加油站再到另一个加油站，最后
A·
MC
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
已知：如图，A，B在直线L的两 侧，在L上求一点P，使得 PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L交于点P 就是所求。
P
根据：两点之间线段最短.
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相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专 程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路 线全程最短？
A
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l
B
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精通数学、物理学的海伦稍加思索，利 用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题 后来被称为“将军饮马问题”．这就是我们 这节课学习的内容——最短路径问题
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
·
AB′＜AC′+C′B′， ∴ AC +CB＜AC′+C′B．
C′ C
即 AC +CB 最短．
B
·
l
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B′
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问 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
利用了轴对称的有关知识， 把两点在直线同侧问题转化为 两点在直线异侧问题。从而用 “两点之间，线段最短”
A
O
C D
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B
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发现一个规律：
最短路径（最小值）问题一般回归到： 两点之间，线段最短。
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人 教 版 数 学 八年级 上册 最 短 路径 问题课 件 人 教 版 数 学 八年级 上册 最 短 路径 问题课 件
回到油库A的路程最短，
• 问加油站应如何选址？
M A
O
N
人 教 版 数 学 八年级 上册 最 短 路径 问题课 件
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• 再试试
• 光华中学93班举行文艺晚会，桌子摆成如 图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面 上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果， 站在C处的小明想先拿橘子再拿糖果，然 后到D处座位上，请你帮助他设计一条行 走路线，使其所走的总路程最短？
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
D
B
C
E
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
人 教 版 数 学 八年级 上册 最 短 路径 问题课 件
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，C′B，C′B′．
由轴对称的性质知，
CB =CB′，C′B=C′B′．
∴ AC +C B= AC +C B′= AB′，
AC′+C′B= AC′+C′B′．
A
在△AB′C′中，
分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″，分别交 OM，ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求
1. 如图，A.B两地在
一条河的两岸，现要
在河上建一座桥MN， 桥造在何处才能使从
A·
M
A到B的路径AMNB 最短？（假设河的两 N
岸是平行的直线，桥
要与河垂直）
B
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