第六章课后知识题解答
高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全单选题1、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB⃑⃑⃑⃑⃑ =3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．3CM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：A解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →即可得答案.解：根据题意做出图形，如图，所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →，所以CB →= 3CM →−2CA →.故选：A.小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题2、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为（ ）A ．aB ．1C ．-1D ．−a答案：A分析：根据给定条件，求出(a −2b ⃑ )⋅a ，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则(a −2b ⃑ )⋅a =a 2−2b ⃑ ⋅a =1，令向量a −2b ⃑ 与向量a 的夹角为θ，于是得|a −2b ⃑ |cosθ⋅a ⃑ |a ⃑ |=(a ⃑ −2b ⃑ )⋅a ⃑ |a ⃑ |⋅a⃑ |a ⃑ |=a ，所以向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为a .故选：A3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ .故选：D.4、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（ ）A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同；C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确.故选：D.5、向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，则b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为（）A ．-1B ．−12C ．12D ．1答案：B解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b ⃑⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.因为向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+|b ⃑⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃑⃗+1=3，则a ⃗⋅b⃑⃗=−1， 所以b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|=−12. 故选：B.6、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C,a +b =2c =2，则△ABC 的面积为（ ）A ．3√38B ．√34C ．√32D ．3√32 答案：B分析：由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出C =π3，再由已知可求出ab =1，即可求出面积.因为a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C ，由正弦定理得a (a −b )+b 2=c 2，即a 2+b 2−c 2=ab ，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab =12， 又C ∈(0,π)，所以C =π3.又a +b =2c =2，则c =1,a +b =2，由a 2+b 2−c 2=a 2+b 2−1= ab,(a +b)2−3ab =1，得ab =1.所以S △ABC =12ab sin C =12×1×1×sin π3=√34. 故选：B.7、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ）A ．14B ．34C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB .b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 22a⋅2a =34. 故选：B8、在△ABC 中，若AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解.因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0， 所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形.故选：B多选题9、下列结果为零向量的是( )A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ )B ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −CD ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：BCD分析：根据向量加减法的运算方法即可逐项判断.A 项，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗−(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)＝AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗； B 项，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；C 项，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；D 项，NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗.故选：BCD.10、已知向量a ⃗=(1,−2)，b⃑⃗=(−1,m)，则（ ） A ．若a ⃗与b ⃑⃗垂直，则m =−1B ．若a ⃗//b⃑⃗，则m =2 C ．若m =1，则|a ⃗−b ⃑⃗|=√13D ．若m =−2，则a ⃗与b⃑⃗的夹角为60° 答案：BC分析：利用向量垂直、平行的坐标表示求参数m ，即可判断A 、B 的正误；由m 的值写出b⃑⃗的坐标，再由向量坐标的线性运算及模长的坐标求法、夹角的坐标求法求|a ⃗−b ⃑⃗|、a ⃗与b⃑⃗的夹角，即可判断C 、D 正误. A ：a ⃗与b ⃑⃗垂直，则−1−2m =0，可得m =−12，故错误；B：a⃗//b⃑⃗，则m−2=0，可得m=2，故正确；C：m=1有b⃑⃗=(−1,1)，则a⃗−b⃑⃗=(2,−3)，可得|a⃗−b⃑⃗|=√13，故正确；D：m=−2时，有b⃑⃗=(−1,−2)，所以cos<a⃗,b⃑⃗>=a⃑⃗⋅b⃑⃗|a⃑⃗||b⃑⃗|=√5×√5=35，即a⃗与b⃑⃗的夹角不为60°，故错误.故选：BC11、（多选）已知向量a⃗，b⃑⃗，在下列命题中正确的是（）A．若|a⃗|>|b⃑⃗|，则a⃗>b⃑⃗B．若|a⃗|=|b⃑⃗|，则a⃗=b⃑⃗C．若a⃗=b⃑⃗，则a⃗//b⃑⃗D．若|a⃗|=0，则a⃗=0答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案.解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A错；向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B错；两个向量相等，这两个向量平行，所以C正确；模值为零的向量为零向量，故D正确故选：CD填空题12、《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.答案：100(√3+1)分析：依题意画出图象，即可得到A=60∘,B=75∘,C=45∘，AB=200，再利用正弦定理计算可得；解：如图，设震源在C处，则AB=200km，则由题意可得A=60∘,B=75∘,C=45∘，根据正弦定理可得200 sin45∘=ACsin75∘，又sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=√22×√32+√22×12=√6+√24所以AC=200sin75∘sin45∘=200×√6+√24√22=100(√3+1)，所以震源在A地正东100(√3+1)km处.所以答案是：100(√3+1)13、已知向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，若(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，则实数λ=___________. 答案：−1分析：由(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，可得(a⃗+3b⃑⃗)⋅(2a⃗+λb⃑⃗)=0，化简后结已知条件可求得答案解：因为向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，且(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，所以(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，即2a ⃗2+(6+λ)a ⃗⋅b⃑⃗+3λb ⃑⃗2=0， 所以8+(6+λ)×2×1×(−12)+3λ=0，解得λ=−1，所以答案是：−114、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________.答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p ⃗=xm ⃑⃑⃗+yn ⃑⃗，则有p ⃗=3a ⃗+2b ⃑⃗=x(2a ⃗−3b ⃑⃗)+y(4a ⃗−2b ⃑⃗)=(2x +4y)a ⃗+(−3x −2y)b⃑⃗， 得{2x +4y =3−3x −2y =2⇒{x =−74,y =138.，所以p ⃗=−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗， 所以答案是：−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗解答题 15、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB（1）求B ;（2）若b =2√3,AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6，求△ABC 的周长 答案：（1）B =π3；（2）6√3. 分析：（1）根据asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sinBcosB =sinB 求解；（2）利用余弦定理得到(a +c )2−3ac =12，然后由AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6求得ac 代入即可. （1）因为 asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，所以a (sinAsinB −cosAcosB )+ccosA =2bcosB ，所以−acos(A +B)+ccosA =2bcosB所以acosC +ccosA =2bcosB由正弦定理得sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB整理得sin (A +C )=2sinBcosB =sinB因为在△ABC 中，所以sinB ≠0，则2cosB =1所以B =π3 （2）由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(a +c )2−3ac =12，因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =accosB =12ac =6， 所以ac =12，所以(a +c )2−36=12，解得a +c =4√3.所以△ABC 的周长是6√3小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。
七下数学第六章课本课后习题答案
七下数学第六章课本课后习题答案第六章：实数习题一：理解实数的概念1. 实数包括有理数和无理数。
有理数可以表示为两个整数的比，而无理数则不能表示为这种形式。
2. 无理数的例子包括圆周率π和黄金分割比φ。
3. 实数在数轴上可以找到对应的点，数轴上的每一个点都代表一个实数。
习题二：实数的分类1. 正实数：大于0的实数。
2. 负实数：小于0的实数。
3. 零：0是唯一的中性实数，既不是正数也不是负数。
习题三：实数的运算1. 加法：两个实数相加，正数与正数相加结果为正数，负数与负数相加结果为负数，正数与负数相加结果根据绝对值大小而定。
2. 减法：减去一个实数等于加上它的相反数。
3. 乘法：两个正数相乘结果为正数，两个负数相乘结果也为正数，正数与负数相乘结果为负数。
4. 除法：除以一个正数结果的符号与被除数相同，除以一个负数结果的符号与被除数相反。
习题四：实数的大小比较1. 所有正实数都大于0。
2. 所有负实数都小于0。
3. 正实数大于一切负实数。
4. 两个负实数，绝对值大的反而小。
习题五：平方根和立方根1. 平方根：一个数的平方根是另一个数，当这个数自乘时等于原数。
例如，4的平方根是2，因为2*2=4。
2. 立方根：一个数的立方根是另一个数，当这个数自乘三次等于原数。
例如，8的立方根是2，因为2*2*2=8。
习题六：无理数的近似1. 无理数通常需要用近似值来表示，例如π的近似值是3.14159。
2. 可以使用无限不循环小数来近似无理数，但要注意保留足够的位数以确保精度。
习题七：估算无理数的大小1. 估算无理数时，可以通过比较它与相邻的有理数来确定其大小。
2. 例如，π位于3和4之间，可以估计为3.14。
习题八：实数的四则运算法则1. 先进行乘除运算，再进行加减运算。
2. 同级运算，从左到右依次进行。
3. 括号内的运算优先级最高。
本章习题答案提供了对实数概念、分类、运算和估算的深入理解，帮助学生掌握实数的基本性质和运算规则。
机械制造技术基础第六章课后题答案
6-1什么是生产过程，工艺过程和工艺规程（1）生产过程一一将原材料转变为成品的过程。
（2）工艺过程一一在生产过程中，凡是改变生产对象的形状、尺寸、位置和性质等，使其成为成品或半成品的过程称为工艺过程。
（3）工艺规程一一把合理工艺过程的有关内容写成工艺文件的形式，用以指导生产，这些工艺文件称为工艺规程。
6-2何谓工序、工步、走刀（1）工序是指一个（或一组）工人，在一台机床上（或一个工作地点）对同一工件（或同时对几个工件）所连续完成的那部分工艺过程。
（2）工步是在加工表面不变，加工工具不变，切削用量不变的条件下所连续完成的那部分工序。
（3）走刀又叫工作行程，是加工工具在加工表面上加工一次所完成的工步。
6-3零件获得尺寸精度、形状精度、位置精度的方法有哪些（1）零件获得尺寸精度的方法：试切法、定尺寸刀具法、调整法、自动控制法。
（2）零件获得形状精度的方法：轨迹法、成形法、展成法。
（3）零件获得位置精度的方法：找正法、装夹法。
6-4不同生产类型的工艺过程的特点：p222-223表6-4.6-5试述工艺规程的设计原则、设计内容、设计步骤。
（1）工艺规程的设计原则：1所设计的工艺规程应能保证机器零件的加工质量（或机器的装配质量），达到设计图样上规定的各项技术要求。
2应使工艺过程具有较高的生产率，使产品尽快投放市场。
3设法降低制造成本。
4注意减轻劳动工人的劳动强度、保证生产安全。
（2）工艺规程的设计内容及步骤：1分析研究产品的零件图及装配图。
2确定毛坯。
3拟定工艺路线，选择定位基准。
4确定各工序所采用的设备。
5确定各工序所采用的刀具、夹具、量具和辅助工具。
6确定各主要工序的技术技术要求及检验方法。
7确定各工序的加工余量，计算工序尺寸和公差。
8确定切削用量。
9确定工时定额。
10技术经济分析。
11填写工艺文件。
6-6拟定工艺路线需完成那些工作拟定工艺路线须完成的工作：1确定加工方法。
2安排加工顺序。
3确定夹紧方法。
水力学 第六章课后题答案
思考题
6.6 明渠水流有哪三种流态，是如何定义的，判别标准是什么？ 明渠恒定均匀流 、明渠恒定非均匀流 、明渠非恒定非均匀流。 明渠恒定均匀流：流速的大小和方向均不随时间及距离而变的明渠水流。 明渠恒定非均匀流：流速不随时间变化，但其大小和方向或二者之一沿程变化 的明渠水流。 明渠非恒定非均匀流：流动要素随时间变化且其大小和方向或二者之一沿程变 化的明渠水流。
2
2
R A 41.8 2.43m
17.24
C
1
1
R6
1
1
2.436 82.8m0.5 / s
n 0.014
Q CA Ri 82.8 41.8 2.43 0.002 241.3m3 / s
6.2 一梯形混凝土渠道，按均匀流设计。已知Q为35m3/s，b为8.2m，m为1.5 ，n为0.012及i为0.00012，求h（用试算——图解法和迭代法分别计算）。
6.10 何谓断面比能曲线？比能曲线有哪些特征？ 答 水：深由的函Es 数h ，2g即QA22 知Es ，f (当h)，流按量此Q和函过数水绘断出面的的断形面状比及能尺随寸水一深定变时化，的断关面系比曲能线仅即仅是是断 面比能曲线。 特征：是一条下端以水平线为渐近线，上端以过原点的 45o直线为渐近线的二次 抛物线；在K点有最小Esmin ，K点上部Es 随h增加而增大，K点下部 Es随h增加而减 小。
23
v Q 23 1.25m / s A 18.4
第六章++课后习题+参考答案
第6章完全垄断市场下的价格与产量课后习题参考答案一、单选题1.对完全垄断厂商来说（C）。
A.提高价格一定能够增加收益B.降低价格一定会减少收益C.提高价格未必能增加收益，降低价格未必减少收益D.以上都不对解析：完全垄断市场上，厂商的总收益TR曲线是先增加后减少。
因此，对完全垄断厂商来说，提高价格未必能增加收益，降低价格未必减少收益。
选C。
2.垄断厂商利润极大时，（C）。
A.P=MR=MCB.P>MR=ACC.P>MR=MCD.P>MC=AC解析：垄断厂商定价时遵循利润最大化原则，此时有边际收益等于边际成本MR=MC，而当垄断厂商利润极大时，价格P显然高于边际成本MC。
3.垄断利润或者说超额利润（A）。
A.不是一种成本，因为它不代表生产中使用的资源所体现的替换成本B.不能为垄断者在长期中所获取，因为价格在最优产出水平上必须等于长期平均成本C.为保证资本继续进入该行业所必需D.能为完全竞争者和垄断者一样在长期中获取解析：BCD选项均有明显错误。
垄断利润或者说超额利润不是一种成本，选A。
4.在短期，完全垄断厂商（D）。
A.无盈余B.取得最大利润C.发生亏损D.以上任何一种情况都有可能出现解析：完全垄断厂商在短期均衡点上可能获得超额利润，可能只获得正常利润，还可能发生亏损。
因此选D。
5.在完全垄断厂商的最好或最优产量处（D）。
A.P=MCB.P=SAC的最低点的值C.P最高D.MR=MC解析：根据利润最大化原则，边际收益等于边际成本MR=MC时的价格和产量是最优的。
因此选D。
二、简答题1.成为垄断者的厂商可以任意定价，这种说法对吗？这种说法不正确。
从理论上讲，垄断者是价格的制定者，其产品没有替代品，其他厂商无法进入垄断行业，厂商是产品唯一的卖者。
然而在实际上，如果垄断厂商定价过高，购买量就会下降，从而使总收益和利润下降；其他厂商如看到有丰厚的利润，尽管没有替代品，但相似的替代品总是会生产的，因而垄断厂商如果定价过高，会使自己产品失去销路，市场被相似替代品夺去；国家也会对垄断厂商的定价加以控制，有些国家会通过制定反垄断法，规定最高限价，还可用征税等办法加以控制。
机械课后习题答案第6章习题及解答
第6章习题6.1机械为什么会产生速度波动？它有何危害？答：实际上，机械原动件的运动规律是由其各构件的质量、转动惯量和作用于其上的驱动力与阻抗力等因素而决定的，因而在一般情况下，原动件的速度和加速度是随时间而变化，机械在运动过程中会出现速度波动。
这种速度波动，会导致在运动副中产生附加的动压力，并一起机械的振动，从而降低机械的寿命、效率和工作质量。
6.2周期性速度波动应如何调节？它能否调节为恒稳定运转？为什么？答：在机械中安装一个具有很大转动惯量的回转构件——飞轮来调节周期性速度波动。
飞轮能够调速，是利用了它的储能作用。
由于飞轮转动惯量不可能为无穷大，而平均转速和最大盈亏功又都是有限值，所以安装飞轮后机械运转的速度仍有周期波动，只是波动的幅度减小而已。
6.3为什么在机械中安装飞轮就可以调节周期性速度波动？通常都将飞轮安装在高速轴上是什么原因？答：由于飞轮具有很大的转动惯量，因而要使其转速发生变化，就需要较大的能量，当机械出现盈功时，飞轮的角速度只作微小上升，即可将多余的能量吸收储存起来；当机械出现亏功时，机械运转速度减慢，飞轮又可将其储存的能量释放，以弥补能量的不足，而其角速度只作小幅度的下降。
当最大盈亏功与速度不均匀系数相同时，飞轮转动惯量与其轴的转速的平方值成反比，所以为减少飞轮的转动惯量，最好将飞轮安装在机械的高速轴上。
6.4非周期性速度波动应如何调节？为什么利用飞轮不能调节非周期性速度波动？答：机械运转的速度出现非周期性的波动，若长时间内驱动力矩大于阻抗力矩，机械将越转越快，甚至可能出现“飞车”现象，从而使机械遭到破坏；反之，若驱动力矩小于阻抗力矩，则机械会越转越慢，最后将停止不动。
飞轮只能延缓机械遭到破坏或停止不动，不能使驱动力矩和阻抗力矩恢复平衡关系。
对非周期性的速度波动进行调节，方法必须可以使机械重新回复稳定运转。
主要采取的方法是安装调速器。
6.5在什么条件下需要进行转动构件的静平衡？使转动构件达到静平衡的条件是什么？答：对于轴向尺寸很小的回转件(D/b>5,圆盘直径为D，其宽度为b)，其质量的分布可以近似地认为在同一回转面内。
第六章互换课后习题及答案
第六章互换复习思考题6.1.货币互换在我国人民币国际化进程中起到了什么样的作用？6.2.利率互换的应用相比通过债券的发行和赎回操作来管理利率风险具有哪些优势？6.3.通过互换来发挥比较优势需要交易双方具备什么样的条件？讨论题6.1.权益互换在我国有哪些应用？相比融资融券具有哪些优势？6.2.互换产品的发展对我国利率市场化发展有何作用？6.3.为何互换产品比远期合约更受市场欢迎？6.4.查阅资料，了解商品互换的实际应用。
复习思考题答案6.1.货币互换在我国人民币国际化进程中起到了什么样的作用？答：除了规避风险，利用互换还可以促进货币在其他国家的应用，比如我国在推进人民币国际化的过程中，通过货币互换大大提升了其他国家的人民币结算。
截止2013年10月，中国人民银行已与包括英格兰、欧洲央行、韩国、新加坡等22个国家和地区的央行签署了27笔货币互换交易，合计2.8167万亿元人民币。
货币互换的签署可为相应国家人民币市场的进一步发展提供流动性支持，促进人民币在境外市场的使用，也有利于贸易和投资的便利化。
6.2.利率互换的应用相比通过债券的发行和赎回操作来管理利率风险具有哪些优势？答：利率互换管理利率风险的优势体现在以下几个方面：1.利率互换相对债券的发行和赎回，管理利率风险的方式更灵活，可以根据未来利率市场环境的变化，通过增加相应期现的利率互换合约灵活的调整公司的负债结构，降低融资成本。
2.利率互换管理利率风险的成本更低，利率互换由签约双方协商决定，且一般只交换利息差，交易成本较低，同时调整风险敞口的成本相对债券的发行和赎回成本也更低。
3.利率互换管理利率风险更快捷方便，债券发行和赎回程序繁琐，审核时间比利率互换合约的达成要长很多。
4.利率互换属于表外业务，在税收方面也具有优势6.3.通过互换来发挥比较优势需要交易双方具备什么样的条件？答：互换通过比较优势进行套利需满足两个条件：第一，互换两方对于对方的资产或负债均有需求；第二，二者在互换标的上存在比较优势。
第6章课后习题答案
第6章课后习题答案6-1解顶圆直径
齿高
齿顶厚
齿槽夹角
棘爪长度
图6.1 题6-1解图6-2解拔盘转每转时间
槽轮机构的运动特性系数
槽轮的运动时间
槽轮的静止时间
6-3解槽轮机构的运动特性系数
因：所以
6-4解要保证则槽轮机构的运动特性系数应为
因得，则
槽数和拔盘的圆销数之间的关系应为：
由此得当取槽数～8时，满足运动时间等于停歇时间的组合只有一种：，。
6-5 解：
机构类型工作特点结构、运动及动力性能适用场合
棘轮机构摇杆的往复摆动变成棘轮的单向间
歇转动
结构简单、加工方便，运
动可靠，但冲击、噪音大，
运动精度低
适用于低速、转角不大场
合，如转位、分度以及超
越等。
槽轮机构拨盘的连续转动变成槽轮的间歇转
动
结构简单，效率高，传动
较平稳，但有柔性冲击
用于转速不高的轻工机械
中
不完全齿轮机构从动轮的运动时间和静止时间的比
例可在较大范围内变化
需专用设备加工，有较大
冲击
用于具有特殊要求的专用
机械中
凸轮式间歇运动
机构只要适当设计出凸轮的轮廓，就能获
得预期的运动规律。
运转平稳、定位精度高，
动荷小，但结构较复杂
可用于载荷较大的场合。
高等数学课后答案-第六章-习题详细解答
习 题 6—11、在平行四边形ABCD 中, 设−→−AB =a , −→−AD =b . 试用a 和b 表示向量−→−MA 、−→−MB 、−→−MC 、−→−MD , 其中M 是平行四边形对角线的交点.解： 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以a +b −→−−→−==AM AC 2, 即 -(a +b )−→−=MA 2, 于是 21-=−→−MA (a +b ).因为−→−−→−-=MA MC , 所以21=−→−MC (a +b ). 又因-a +b −→−−→−==MD BD 2, 所以21=−→−MD (b -a ). 由于−→−−→−-=MD MB , 所以21=−→−MB (a -b ).2、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形.证： =,BM =，∴=+=+BM =与 平行且相等,结论得证.3、 求起点为)1,2,1(A ，终点为)1,18,19(--B 的向量→AB 与12AB −−→-的坐标表达式.解：→AB =j i k j i 2020)11()218()119(--=-+--+--={20,20,0}--, 12AB −−→-={10,10,0}4、 求平行于a ={1，1，1}的单位向量.解：与a 平行的单位向量为{}1,1,131±=±a a .5、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,1,1),A - (1,1,1),B -(1,1,1),C -- (1,1,1).D -- 解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ.6、 求点),,(z y x M 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标.解：),,(z y x M 关于x 轴的对称点为),,(1z y x M --，关于xOy 平面的对称点为),,(2z y x M -，关于原点的对称点为),,(3z y x M ---.7、已知点A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）. 解：分别为),0,0(),0,,0(),0,0,(),,0,(),,,0(),0,,(c b a c a c b b a .8、过点(,,)P a b c 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？解：平行于z 轴的直线上面的点的坐标：x a,y b,z R ==∈；平行于xOy 面的平面上的点的坐标为 z c,x,y R =∈.9、求点P (2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.解：到原点的距离为x y 轴的距离为到z10、 求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：222212(74)(13)(21)14M M =-+-+-=,222223(57)(21)(32)6M M =-+-+-= 222213(45)(32)(13)6M M =-+-+-=，即1323M M M M =，因此结论成立.11、 在yoz 坐标面上，求与三个点A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标. 解：设yoz 坐标面所求点为),,0(z y M ，依题意有||||||MC MB MA ==，从而222)2()1()30(-+-+-z y 222)2()2()40(++++-=z y222)2()1()30(-+-+-z y联立解得2,1-==z y ，故所求点的坐标为)2,1,0(-.12、 z 轴上，求与点A(-4, 1, 7), 点B(3, 5,-2)等距离的点. 解：设所求z 轴上的点为),0,0(z ，依题意：222)7()10()40(-+-++z 222)2()50()30(++-+-=z ，两边平方得914=z ，故所求点为)914,0,0(.13、 求λ使向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行. 解：由b a //得5051012==λ得51=λ.14、 求与y 轴反向，模为10的向量a 的坐标表达式. 解：a =j j 10)(10-=-⋅={0,10,0}-.15、求与向量a ={1，5，6}平行，模为10的向量b 的坐标表达式. 解：}6,5,1{6210==a a a ,故 {}6,5,16210100±=±=a b .16、 已知向量6410=-+a i j k ，349=+-b i j k ，试求： （1）2+a b ； （2）32-a b ．解：（1） 264102(349)1248i a b i j k i j k j k +=-+++-=+-; （2）323(6410)2(349)=122048a b =i j k i j k i j k --+-+--+.17、已知两点A 和(3,0,4)B ，求向量AB 的模、方向余弦和方向角．解： 因为(1,1)AB =-, 所以2AB =,11cos ,cos 22αβγ===-,从而π3α=,3π4β=,2π3γ=.18、设向量的方向角为α、β、γ．若已知其中的两个角为π3α=，2π3β=．求第三个角γ． 解： π3α=,2π3β=,由222cos cos cos 1αβγ++=得21cos 2γ=.故π4γ=或3π4.19、 已知三点(1,0,0)=A ，(3,1,1)B ，(2,0,1)C ，求：（1）BC 与CA 及其模；（2）BC 的方向余弦、方向角；（3）与BC 同向的单位向量.解：（1）由题意知{}{}23,01,111,1,0,BC =---=--{}{}12,00,011,0,1,CA =---=-- 故 2,2==BC CA .（2）因为{}1,1,0,=--BC 所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：cos 0αβγ===，方向角为：3,42ππαβγ===.（3）与BC 同向的单位向量为：oa =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭BCBC .20、 设23,23,34,m i j k n i j k p i j k =++=+-=-+和23a m n p =+-求向量在x 轴上的投影和在y 轴上的分向量.解：2(23)3(23)(34)5114a i j k i j k i j k i j k =++++---+=+-.故向量a 在x 轴上的投影5=x a ，在y 轴上的投影分量为11y a j =.21、一向量的终点为点B(-2,1,-4),它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为3，-3和8，求这向量起点A 的坐标.解：设点A 为（x, y, z ）,依题意有：84,31,32=---=-=--z y x ， 故12,4,5-==-=z y x ，即所求的点A （-5， 4，-12）.22、 已知向量a 的两个方向余弦为cos α=72 ,cos β=73, 且a 与z 轴的方向角是钝角.求cos γ. 解：因222cos cos cos 1,αβγ++=22223366cos 1cos 77497γγ=-==±故（）—（），，又γ是钝角，所以76cos -=γ.23、设三力1232234F ,F ,F i j i j k j k =-=-+=+作用于同一质点，求合力的大小和方向角.解： 合力123(2)(234)()F F F F i k i j k j k =++=-+-+++323i j k =-+，因此，合力的大小为|F |=合力的方向余弦为,222cos ,cos 223cos -===βγα因此παγβ===-习 题 6—21、 {}0,0,1=a ，{}0,1,0=b ，)1,0,0(=c ，求⋅a b ，c a ⋅，c b ⋅，及a a ⨯，b a ⨯，c a ⨯，c b ⨯. 解：依题意，i a =，j b =，k c =，故0=⋅=⋅j i b a ，0=⋅=⋅k i c a ，0=⋅=⋅k j c b .0=⨯=⨯i i a a ，k j i b a =⨯=⨯，j k i c a -=⨯=⨯，i k j c b =⨯=⨯.2、 }}{{1,2,2,21,1==b a ,，求b a ⋅及b a ⨯ .a 与b的夹角余弦. 解：（1）121221⋅=⨯+⨯+⨯=a b 6, 112221⨯==i j ka b }{3,3,0-.(2)cos a b a b a b θ++==3、 已知 π5,2,,3∧⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b a b ，求23a b -解：()()2232323-=-⋅-a b a b a b 22412976=-⋅+=a a b b ，∴ 23-=ab4、 证明下列问题：1）证明向量}{1,0,1=a 与向量}{1,1,1-=b 垂直. 2） 证明向量c 与向量()()a c b b c a ⋅-⋅垂直. 证：1）01110)1(1=⨯+⨯+-⨯=⋅b a ,^π(,)2a b ∴=，即a 与b 垂直. 2） [()()]⋅-⋅⋅a c b b c a c [()()]=⋅⋅-⋅⋅a c b c b c a c ()[]=⋅⋅-⋅c b a c a c 0=[()()]∴⋅-⋅⊥a c b b c a c .5、 求点)1,2,1(M 的向径OM 与坐标轴之间的夹角.解：设OM 与x 、y 、z 轴之间的夹角分别为γβα,,，则211)2(11cos 22=++==α,22cos ==β, 21cos ==γ. 3π=∴α, 4π=β, 3π=γ.6、 求与k j i a ++=平行且满足1=⋅x a 的向量x .解：因x a //, 故可设{}λλλλ,,==a x ，再由1=⋅x a 得1=++λλλ，即31=λ，从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31x .7、求与向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直的单位向量.解：=⨯=xy z x y zij kc a b a a a b b b 324112=--i j k =105+j k，||10==c 0||∴=c c c=.⎫±+⎪⎭j8、 在顶点为)2,1,1(-A 、)2,6,5(-B 和)1,3,1(-C 的三角形中，求三角形ABC 的面积以及AC 边上的高BD .解：{0,4,3},{4,5,0}AC AB =-=-,三角形ABC 的面积为,22516121521||21222=++=⨯=AB C A S ||||21,5)3(4||22BD S ==-+= ||521225BD ⋅⋅= .5||=∴BD9、 已知向量≠0a ，≠0b ，证明2222||||||()⨯=-⋅a b a b a b .解 2222||||||sin ()∧⨯=⋅a b a b ab 222||||[1cos ()]∧=⋅-a b ab 22||||=⋅a b 222||||cos ()∧-⋅a b ab 22||||=⋅a b 2().-⋅a b10、 证明：如果++=0a b c ，那么⨯=⨯=⨯b c c a a b ，并说明它的几何意义.证： 由++=0a b c , 有()++⨯=⨯=00a b c c c , 但⨯=0c c ，于是⨯+⨯=0a c b c ,所以⨯=-⨯=⨯b c a c c a . 同理 由()++⨯=0a b c a , 有 ⨯=⨯c a a b ,从而 ⨯=⨯=⨯b c c a a b .其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.11、 已知向量23,3=-+=-+a i j k b i j k 和2=-c i j ，计算下列各式：（1）()()⋅-⋅a b c a c b （2）()()+⨯+a b b c （3）()⨯⋅a b c （4）⨯⨯a b c 解： （1）()()8(2)8(3)⋅-⋅=---+=a b c a c b i j i j k 824--j k .(2) 344,233+=-++=-+a b i j k b c i j k ，故()()+⨯+a b b c 344233=-=-i jk--j k . （3）231()231(2)(85)(2)11311312-⨯⋅=-⋅-=--+⋅-=-=--i jk a b c i j i j k i j 2. （4）由（3）知85,()851120⨯=--+⨯⨯=--=-i jka b i j k a b c 221++i j k .习 题 6—31、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA =()()()222321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-=z y x化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则(,,)M x y z C MA z ∈⇔= 亦即z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .3、 求下列各球面的方程：（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-；（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222=-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+=R ，所以球面方程为49222=++z y x（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(21222=++++-=R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .4、将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解：222x y z +=(旋转抛物面) .5、将zOx 坐标面上的双曲线12222=-c z a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解： 绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得122222=-+cz a y x .6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）221x z += ；（4）22220x y z x ++-=； （5）222y x z +=；（6）22441x y z -+=；（7）221916x y z ++=；（8）222149x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2223122z y x +=+.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？ （1）1+=x y ；（2）422=+yx ；（3）122=-y x ；（4）22x y =.解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面； （2）422=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； （3）122=-y x 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）y x22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22149+=x z 绕x 轴旋转而成（2）xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线2214-=y z 绕y 轴旋转而成（3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成 （4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.9、 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42=+-=y x x z 及三坐标平面所围成； （3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围. 解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成； （4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.习 题 6—41、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）⎩⎨⎧==21y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=---=0422y x y x z ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222a z x ay x解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线； （2）上半球面z 与平面0x y -=的交线为14圆弧； （3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.2、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解：消去x 坐标得16322=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；消去y 坐标得：162322=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.3、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1122222z y z y x .4、试求平面20x -=与椭球面222116124x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程22211612420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩化简为：221932y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩； （2）⎩⎨⎧==+++-04)1()1(22z z y x解：（1）原曲线方程即：⎪⎩⎪⎨⎧=+=199222z x xy ，化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤==tz t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π；（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=z y x .6、求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：⎩⎨⎧==+0222z a y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ；⎪⎩⎪⎨⎧==0cosy b z a x .7、指出下列方程所表示的曲线（1）222253⎧++=⎨=⎩x y z x （2）⎩⎨⎧==++13094222z z y x ；（3）⎩⎨⎧-==+-3254222x z y x ； （4）⎩⎨⎧==+-+408422y x z y ； （5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0214922x z y . 解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.8、 求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：⎩⎨⎧=-=3922z x y ，是位于平面3=z 上的抛物线，在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧=-=0922z x y9、 求曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z 后得,4322=+y x 在xOy 面上的投影为,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 它是中心在原点，半径为23的圆周.（2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z （3）同理在yOz 面上的投影也为线段..23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z10、 求抛物面x z y =+22与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解： 交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0222z y x x z y ，（1）消去z 得投影,004522⎩⎨⎧==-++z x xy y x（2）消去y 得投影2252400x z xz x y ⎧+--=⎨=⎩，（3）消去x 得投影22200y z y z x ⎧++-=⎨=⎩.习 题 6—51、写出过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为()()()032212=-+-+-z y x .2、求过三点()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 的平面方程.解：设所求平面方程为0=+++d cz by ax ,将C B A ,,的坐标代入方程，可得d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .3、求过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{=n ,从而其方程为()()()0120403=-+-+-z y x 即 2243=++z y x .4、求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解：平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B -C =0, 或C =-3B . 将其代入所设方程并除以B (B 0), 便得所求的平面方程为y -3z =0.5、求过点)1,1,1(，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面方程.解：},1,1,1{1-=n }12,2,3{2-=n 取法向量},5,15,10{21=⨯=n n n所求平面方程为化简得:.0632=-++z y x6、设平面过原点及点)1,1,1(，且与平面8x y z -+=垂直，求此平面方程.解： 设所求平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过点)1,1,1(知平0,A B C D +++=由平面过原点知0D =，{1,1,1},n ⊥- 0A B C ∴-+=,0A C B ⇒=-=，所求平面方程为0.x z -=7、写出下列平面方程：（1）xOy 平面；（2）过z 轴的平面；（3）平行于zOx 的平面；（4）在x ，y ，z 轴上的截距相等的平面.解：（1）0=z ,（2）0=+by ax （b a ,为不等于零的常数）, （3）c y = (c 为常数), （4） a z y x =++ (0)a ≠.8、 求平行于0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.解: 设平面为,1=++c z b y a x ,1=V 111,32abc ∴⋅=由所求平面与已知平面平行得,611161c b a ==化简得,61161c b a ==令tc t b t a t c b a 61,1,6161161===⇒===代入体积式 11111666t t t ∴=⋅⋅⋅ 1,6t ⇒=±,1,6,1===∴c b a 或1,6,1,a b c =-=-=-所求平面方程为666x y z ++=或666x y z ++=-.9、分别在下列条件下确定n m l ,,的值：（1）使08)3()1()3(=+-+++-z n y m x l 和016)3()9()3(=--+-++z l y n x m 表示同一平面； （2）使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示二平行平面； （3）使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示二互相垂直的平面.解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：168339133-=--=-+=+-l n n m m l 即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+092072032n l m n l m ，解之得 97=l ，913=m ，937=n . （2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：6362-=-=m l ，所以4-=l ，3=m . （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：7230l ++=所以： 57l=-.10、求平面011=-+y x 与083=+x 的夹角； 解：设011=-+y x 与083=+x 的夹角为θ，则cos θ ∴ 4πθ=.11、 求点(2,1,1)到平面2240x y z +-+=的距离. 解：利用点到平面的距离公式可得933d ===.习 题 6—61、求下列各直线的方程：（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线； （2） 过点()1,1,1且与直线433221-=-=-z y x 平行的直线. （3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线； （4）一直线过点(2,3,4)-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程. （5）通过点)2,0,1(-M 且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线； （6）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线.解：（1）所求的直线方程为：015323-=-=++z y x 即：01553-=-=+z y x ，亦即01113-=-=+z y x . （2）依题意，可取L 的方向向量为{}4,3,2=s ，则直线L 的方程为413121-=-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=︒︒︒21,22,21120cos ,45cos ,60cos ，故直线方程为： 132511--=+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取{2,0,4},BA s −−→==所求直线方程.440322-=+=-z y x （5）所求直线的方向向量为：{}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-⨯-，所以，直线方程为：22111+==-z y x . （6）所求直线的方向向量为：{}5,3,6--，所以直线方程为： 235635x y z -++==--.2、求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程.解 在直线上任取一点),,(000z y x ,取10=x ,063020000⎩⎨⎧=--=++⇒z y z y 解2,000-==z y .所求点的坐标为)2,0,1(-,取直线的方向向量{}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i kji34312111--=-=,所以直线的点向式方程为：,321041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===--则所求参数方程: .3241⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz ty tx3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧--=+==212t z t y tx 与142475x y z --+==-. 解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：4343223z y x =-=--43227-=--=-z y x 234234-==-- ∴二直线平行.又点)0,43,23(与点（7，2，0）在二直线上，∴向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-，从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即0919225=++-z y x .（2）因为121475-≠≠-，所以两直线不平行，又因为0574121031=--=∆，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-⨯-，∴二直线所决定的平面的方程为：330x y z -++=.设两直线的夹角为ϕ，则cos ϕ==4、判别下列直线与平面的相关位置： （1）37423z y x =-+=--与3224=--z y x ；（2）723zy x =-=与8723=+-z y x ； （3）⎩⎨⎧=---=-+-01205235z y x z y x 与07734=-+-z y x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x .解（1） 0)2(3)2()7(4)2(=-⨯+-⨯-+⨯-，而017302)4(234≠=-⨯--⨯-⨯，所以，直线与平面平行.（2） 0717)2(233≠⨯+-⨯-⨯,所以，直线与平面相交，且因为772233=--=，∴直线与平面垂直. （3）直线的方向向量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--⨯-， 0179354=⨯+⨯-⨯，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为{}9,2,1-， 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯∴直线与平面相交但不垂直.5、验证直线l ：21111-=-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 相交，并求出它的交点和交角. 解： 032111)1(2≠-=⨯-⨯+-⨯∴直线与平面相交.又直线的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y tx 211设交点处对应的参数为0t ，∴03)21()1()(2000=-+-++-⨯t t t ∴10-=t ，从而交点为（1，0，-1）. 又设直线l 与平面π的交角为θ，则：21662111)1(2sin =⨯⨯-⨯+-⨯=θ，∴6πθ=.6、确定m l ,的值，使： （1）直线13241zy x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行； （2）直线⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=135422t z t y t x 与平面076=-++z my lx 垂直.解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：015334=⨯-⨯+l 即1l =-. （2）欲使所给直线与平面垂直，则须：3642=-=m l ，所以：8,4-==m l .7、求下列各平面的方程： （１）通过点)1,0,2(-p ，且又通过直线32121-=-=+z y x 的平面； （２）通过直线115312-+=-+=-z y x 且与直线⎩⎨⎧=--+=---052032z y x z y x 平行的平面； （３）通过直线223221-=-+=-z y x 且与平面0523=--+z y x 垂直的平面；（4）. 求过点(2,1,0)M 与直线2335x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩垂直的平面方程.解：（１）因为所求的平面过点)1,0,2(-p 和)2,0,1(-'p ，且它平行于向量{}3,1,2-，所以要求的平面方程为：03331212=--+-z y x , 即015=-++z y x .（２）已知直线的方向向量为{}{}{}2,1,11,2,13,1,5--⨯-=，∴平面方程为：2311510315x y z -++--=,即3250x y z +--= （３）所求平面的法向量为{}{}{}13,8,11,2,32,3,2-=-⨯-，∴平面的方程为：0)2(13)2(8)1(=--+--z y x ，即09138=+--z y x .（4）.所求平面的法向量为{}2,3,1，则平面的方程为：2(2)3(1)(0)0x y z -+-+-=, 即 2370x y z ++-=.8、求点(4,1,2)M 在平面1x y z ++=上的投影.解： 过点(4,1,2)M 作已知平面的垂线，垂线的方向向量就是已知平面的法向量(1,1,1)，所以垂线方程为412111x y z ---==，此垂线与已知平面的交点即为所求投影.为了求投影，将垂线方程化为参数方程412x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，代入平面方程求得2t =-，故投影为(2,1,0)-. 9、求点)1,3,2(-p 到直线⎩⎨⎧=++-=++-0172230322z y x z y x 的距离.解：直线的标准方程为：2251211-+==-z y x 所以p 到直线的距离 1534532025)2(1212392292421243222222===-++-+--+-=d .10、设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上一点，且直线的方向向量为s ，试证：点0M 到直线L 的距离为d =.证：设0M M 与L 的夹角为θ，一方面由于0sin d M M θ=；另一方面，00sin M M s M M s θ⨯=，所以d =.11、求通过平面0134=-+-z y x 和025=+-+z y x 的交线且满足下列条件之一的平面： （1）通过原点； （2）与y 轴平行；（3）与平面0352=-+-z y x 垂直. 解： （1）设所求的平面为：0)25()134(=+-++-+-z y x z y x λ 欲使平面通过原点，则须：021=+-λ，即21=λ，故所求的平面方程为 0)25()134(2=+-++-+-z y x z y x 即：0539=++z y x .（2）同（1）中所设，可求出51=λ.故所求的平面方程为 0)25()134(5=+-++-+-z y x z y x 即：031421=-+z x .（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面0352=-+-z y x 垂直，则须：0)3(5)51()4(2=-++--+λλλ从而3=λ，所以所求平面方程为05147=++y x .12、求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程．解：应用平面束的方法．设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束方程为0)1()1(=++-+--+z y x z y x λ即01)1()1()1(=-++-+-++λλλλz y x这平面与已知平面0=++z y x 垂直的条件是01)1(1)1(1)1(=⋅+-+⋅-+⋅+λλλ,解之得1-=λ代入平面束方程中得投影平面方程为10y z --=，所以投影直线为⎩⎨⎧=++=--001z y x z y .13、请用异于本章第五节例7的方法来推导点到平面的距离公式.证：设),,(0000z y x P 是平面π：0+++=Ax By Cz D 外的一点，下面我们来求点0P 到平面π的距离. 过0P 作平面π的垂线L ：000x x y y z z A B C---==，设L 与平面π的交点为(,,)P x y z ，则P 与0P 之间的距离即为所求.因为点(,,)P x y z 在L 上，所以000x x Aty y Bt z z Ct-=-=-=⎧⎪⎨⎪⎩，而(,,)P x y z 在平面π上，则000()()()0A x At B y Bt C z Ct D ++++++=000222Ax By Cz A B t DC ⇒=-+++++，故000222Ax By Cz Dd t A B C+++===++=.习 题 6—7飞机的速度：假设空气以每小时32公里的速度沿平行y 轴正向的方向流动，一架飞机在xoy 平面沿与x 轴正向成π6的方向飞行，若飞机相对于空气的速度是每小时840公里，问飞机相对于地面的速度是多少？解：如下图所示，设OA 为飞机相对于空气的速度，AB 为空气的流动速度，那么OB 就是飞机相对于地面的速度.840cos 840sin 4203420,3266OA i j i j AB j ππ=⋅+⋅=+=所以, 24203452,(420856.45OB i j OB =+=≈千米／小时.复习题A一 、判断正误:1、 若c b b a ⋅=⋅且≠0b ，则c a =； ( ⨯ )解析 c b b a ⋅-⋅=)(c a b -⋅=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，k c =，有⋅=⋅=0a b b c ，但c a ≠．2、 若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ )解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则k j i b a =⨯=⨯，k j i j c b =+-⨯=⨯)]([，c b b a ⨯=⨯，但c a ≠．3 、若0=⋅c a ，则=0a 或=0c ； ( ⨯ ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、 a b b a ⨯-=⨯． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律．二、选择题:1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ．解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；图6-1 空所流动与飞机飞行速度的关系(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．3 、在空间直角坐标系中，方程2221y x z --=所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面．解析 对于曲面2221y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线⎩⎨⎧=-+=5,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；(A)722=+y x ； (B)⎩⎨⎧==+5722z y x ； (C) ⎩⎨⎧==+0722z y x ；(D)⎩⎨⎧=-+=0222z y x z解析 曲线⎩⎨⎧==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0722z y x ．5 、直线11121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π4-．解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ⋅=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行．三、填空题:1、若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a 0 ； 解 =⨯b a b a sin()a,b π22=2，=⋅b a b a cos()a,b π22=0．2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{66-±； 解 平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0n =411++=6，所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{66-±．3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；解 已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有{20,50,B C D C D -+=+= ⇒ 7,51,5B D C D ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得 05157=+--D Dz Dy ，即 057=-+z y ．4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为z yx -==20； 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为z yx -==20 ．5、曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 ⎩⎨⎧==+.0,1222z y x解: 投影柱面为 1222=+y x ，故 ⎩⎨⎧==+0,1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、 已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ⨯； (b) ()()-⋅+2a b a b ； (c) 2b a -；解: (a) b a ⨯=211121-kj i 1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ， 所以()()-⋅+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-⋅-=．(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2b a -10)19(2=+=．2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位向量．解: (1) }2,6,3{}57),2(4,21{21-=-----=P P ；74926)3(222==++-=；(3) 21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos ,cos ,cos 777αβγ=-==；(4)k j i k j i 7276737263)(21++-=++-==P P．3、设向量{}1,1,1=-a ，{}1,1,1=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量.解： 令{}1110,2,2111=⨯=-=-i j kc a b，01⎧==⎨⎩c c c ，故与a 、b都垂直的单位向量为0⎧±=±⎨⎩c .4、向量d垂直于向量]1,3,2[-=a和]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，求向量d解： d垂直于a与b ，故d平行于b a⨯，存在数λ使()b a d⨯=λ⨯-=]1,3,2[λ]3,2,1[-]7,7,7[λλλ--=因6-=⋅c d，故6)7(1)7()1(72-=-⨯+-⨯-+⨯λλλ， 73-=λ]3,3,3[-=∴d.5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P；(2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为π3． 解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为0241003211201210=---------z y x ，即01345=+--z y x ． 解2：}1,1,1{-=}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为k j i kj in 452131113121--=--=⨯=P P P P ， 又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即01345=+--z y x ．解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可． 因为3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以{0,320,A B C A B C +-=-+=解得A C A B 4,5-=-=，于是所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为π1cos 32=≠=，所以0≠B ），令C B C'=，则有0='+z C y ，由题设得 22222212)5(10121503cos ++'++⨯'+⨯+⨯=πC C ， 解得3='C 或13C '=-，于是所求平面方程为03=+z y 或03=-z y ．6、 一平面过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 且与平面01284=+--z y x 垂直，求该平面方程；解法1： 直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 在平面上，令x =0，得 54-=y ，z =4，则（0，-54，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为n =},,{C B A ，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 1n ={1，5，1}，2n ={1，0，-1}，则直线的方向向量s =1n ⨯2n =101151-kj i ={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即⋅n s ={-5，2，-5}•},,{C B A =C B A 525-+-=0，因为所求平面与平面01284=+--z y x 垂直，则}8,4,1{},,{--⋅C B A =C B A 84--=0，解方程组{5250,480,A B C A B C -+=--= ⇒ 2,5,2A CBC =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所求平面方程为 0)4()54(25)0(2=-++---z C y C x C ，即012254=+-+z y x ．解法2： 用平面束（略）7、求既与两平面1:43x z π-=和2:251x y z π--=的交线平行，又过点(3,2,5)-的直线方程.解法1：{}11,0,4=-n ，{}22,1,5=--n ，{}124,3,1s =⨯=---n n ，从而根据点向式方程，所求直线方程为325431x y z +--==---，即325431x y z +--==. 解法2：设{},,s m n p =，因为1⊥s n ，所以40m p -=；又2⊥s n ，则250m n p --=，可解4,3m p n p ==，从而0p ≠．根据点向式方程，所求直线方程为32543x y z p p p +--==，即325431x y z +--==. 解法3：设平面3π过点(3,2,5)-，且平行于平面1π，则{}311,0,4==-n n 为3π的法向量，从而3π的方程为1(3)0(2)4(5)0x y z ⋅++⋅--⋅-=，即4230x z -+=．同理，过已知点且平行于平面2π的平面4π的方程为25330x y z --+=．故所求直线的方程为423025330x z x y z -+=⎧⎨--+=⎩．8、 一直线通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线11231:+==-z y x L ，又和直线z y x ==相交，求该直线方程；解： 设所求直线的方向向量为{,,}m n p =s ，因垂直于L ，所以320m n p ++=；又因为直线过点)1,2,1(A ，则所求直线方程为 p z n y m x 121-=-=-，联立121,①,②320,③x y z m n p x y z m n p ---⎧==⎪⎨==⎪++=⎩由①，令λ=-=-=-p z n y m x 121，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,1,2,1p z n y m x λλλ代入方程②有{12,11,m n m p λλλλ+=++=+ 可得p m =，代入③解得p n 2-=， 因此，所求直线方程为112211-=--=-z y x ．9、 指出下列方程表示的图形名称：(a) 14222=++z y x ；(b) z y x 222=+；(c) 22y x z +=；(d) 022=-y x ；(e) 122=-y x ； (f) ⎩⎨⎧=+=222z y x z ．解： (a) 绕y 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z 轴旋转的锥面． (d) 母线平行于z 轴的两垂直平面：y x =，y x -=． (e) 母线平行于z 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY 面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形．解： 将所给曲面方程联立消去z ，就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程122=+y x ，所以柱面与xOy 平面的交线⎩⎨⎧==+'01:22z y x C 所围成的区域221+≤x y 即为曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影(图略)．复习题B1、设4=a ，3=b ，()6π=a,b ，求以2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.解：(2)(3)326A =+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯a b a b a a a b b a b b325=-⨯-⨯=-⨯a b a b a b 15sin()543302=⋅=⨯⨯⨯=a b a,b .2、设(3)(75)+⊥-a b a b ，(4)(72)-⊥-a b a b ，求()a,b . 解： 由已知可得：(3)(75)0+⋅-=a b a b ，(4)(72)0-⋅-=a b a b 即 22715160-+⋅=a b a b ，2278300+-⋅=a b a b ．这可看成是含三个变量a 、b 及⋅a b 的方程组，可将a 、b 都用⋅a b 表示，即==a b 1cos()22⋅⋅===⋅a b a b a,b a b a b ，()3π=a,b .3、求与}3,2,1{-=a 共线，且28=⋅b a 的向量b ．解 由于b 与a 共线，所以可设}3,2,{λλλλ-==a b ，由28=⋅b a ，得28}3,2,{}3,2,1{=-⋅-λλλ， 即2894=++λλλ，所以2=λ，从而}6,4,2{-=b ．4、 已知}0,1,1{},2,0,1{=-=b a ，求c ，使b c a c ⊥⊥,且6=c ．解法1: 待定系数法．设},,{z y x =c ，则由题设知0,0=⋅=⋅b c a c 及6=c ，所以有①20②③6x z ⎧-=⎪=由①得2xz = ④，由②得x y -= ⑤，将④和⑤代入③得62)(222=⎪⎭⎫⎝⎛+-+x x x ，解得2,4,4±==±=z y x ，于是 }2,4,4{-=c 或}2,4,4{--=c ．解法2: 利用向量的垂直平行条件，因为b c a c ⊥⊥,，所以c ∥b a ⨯．设λ是不为零的常数，则k j i k j i b a c λλλλλ+-=-=⨯=22011201)(，因为6=c ，所以6]1)2(2[2222=+-+λ，解得2±=λ，所以}2,4,4{-=c 或{4,4,2}=--c ．解法3: 先求出与向量b a ⨯方向一致的单位向量，然后乘以6±．k j i kji b a +-=-=⨯22011201，31)2(2222=+-+=⨯b a ，故与b a ⨯方向一致的单位向量为}1,2,2{31-．于是}1,2,2{36-±=c ，即}2,4,4{-=c 或}2,4,4{--=c ．5、求曲线222x y R x y z ⎧+=⎨++=⎩的参数式方程.解： 曲线参数式方程是把曲线上任一点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 都用同一变量即参数表示出来，故可令cos ,sin x R t y R t ==，则(cos sin )z R t t =-+．6、求曲线22:2z L x y x⎧⎪=⎨+=⎪⎩xOy 面上及在zOx 面上的投影曲线的方程．解： 求L 在xOy 面上的投影的方程，即由L 的两个方程将z 消去，即得L 关于xOy 面的投影柱面的方程222x y x +=则L 在xOy 面上的投影曲线的方程为2220x y xz ⎧+=⎨=⎩． 同理求L 在zOx 面上的投影的方程，即由L 的两个方程消去y ，得L 关于zOx 面的投影柱面的方程z =L 在zOx面上的投影曲线方程为0z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．7、已知平面π过点0(1,0,1)M -和直线1211:201x y z L ---==，求平面π的方程． 解法1： 设平面π的法向量为n ，直线1L 的方向向量1(2,0,1)=s ，由题意可知1⊥n s ，(2,1,1)M 是直线1L 上的一点,则0(1,1,2)M M =在π上，所以0MM ⊥n ,故可取10MM =⨯n s (1,3,2)=--．则所求平面的点法式方程为1(1)3(0)2(1)0x y z ⋅-+⋅--⋅+=，即3230x y z +--=为所求平面方程．解法2： 设平面π的一般方程为0Ax By Cz D +++=，由题意可知，π过点0(1,0,1)M -，故有0A C D -+=, （1）在直线1L 上任取两点12(2,1,1),(4,1,2)M M ，将其代入平面方程，得20A B C D +++=, （2）420A B C D +++=, （3）由式（1）、（2）、（3）解得3,2,3B A C A D A ==-=-,故平面π的方程为3230x y z +--=.解法3： 设(),,M x y z 为π上任一点．由题意知向量0M M 、01M M 和1s 共面，其中()12,1,1M 为直线1L 上的点，1(2,0,1)=s 为直线1L 的方向向量．因此0011()0M M M M ⨯⋅=s ，故平面π的方程为1012110110201x y z --+--+=，即3230x y z +--=为所求平面方程．8、求一过原点的平面π，使它与平面0:π4830x y z -+-=成4π角，且垂直于平面1:π730x z ++=． 解： 由题意可设π的方程为0Ax By Cz ++=，其法向量为(,,)A B C =n ，平面0π的法向量为0(1,4,8)=-n ，平面1π的法向量为1(7,0,1)=n ，由题意得00||cos 4||||π⋅=⋅n n n n ，即=（1） 由10⋅=n n ，得70A C +=，将7C A =-代入（12=,解得20,B A =或10049B A =-，则所求平面π的方程为2070x y z +-= 或 491003430x y z --=．9、求过直线1L ：0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线2L ：23x y z ==的平面π的方程．解法1： 直线1L 的方向向量为1=s 111(4,1,3)213==---i j k，直线2L 的对称式方程为632x y z==，方向向量为2(6,3,2)=s ，依题意所求平面π的法向量1⊥n s 且2⊥n s ，故可取12=⨯n s s ，则413(7,26,18)632=--=-i j kn ，又因为1L 过原点，且1L 在平面π上，从而π也过原点，故所求平面π的方程为726180x y z -+=．解法2： 设所求平面π为 (23)0x y z x y z λ+++-+=，即(12)(1)(13)0x y z λλλ++-++=， 其法向量为(12,1,13)λλλ=+-+n ，由题意知2⊥n s ，故26(12)3(1)2(13)0λλλ⋅=++-++=n s ，得1115λ=-，则所求平面π的方程为726180x y z -+=．另外，容易验证230x y z -+=不是所求的平面方程．10、求过直线L ：⎩⎨⎧=+-+=+-+0185017228z y x z y x 且与球面1222=++z y x 相切的平面方程解： 设所求平面为 ()018517228=+-+++-+z y x z y x λ，即 (15)(288)(2)170x y z λλλλ+++-+++=，由题意：球心)0,0,0(到它的距离为1，即1)2()828()51(17222=--+++++λλλλ解得：89250-=λ 或 2-=λ 所求平面为：42124164387=--z y x 或 543=-y x11、求直线L ：11111--==-z y x 在平面π：012=-+-z y x 上投影直线0L 的方程，并求直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程.解： 将直线L ：11111--==-z y x 化为一般方程 ⎩⎨⎧=-+=--0101y z y x ，设过直线L 且与平面π垂直的平面方程为()011=-++--y z y x λ，则有02)1(1=+--λλ，即2λ=-，平面方程为0123=+--z y x ，这样直线0L 的方程⎩⎨⎧=-+-=+--0120123z y x z y x 把此方程化为：⎩⎨⎧--==)1(221y z yx ，因此直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程为：22221(2)(1)2x z y y ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭即 0124174222=-++-y z y x .12、求过点)1,0,3(-A 且平行于平面1π：3450x y z --+=，又与直线1:2x L =1111y z -+=-相交的直线L 的方程．解法1： 用点向式方程.因为直线L 平行于平面1π，故直线L 的方向向量},,{p n m =s 垂直于平面1π的法向量}1,4,3{--=n ，从而得043=--p n m ①，又直线1L 的方向向量为}1,1,2{-=s ，)1,1,0(-B 是直线1L 上一点，)1,0,3(-A 是直线L 上一点，根据题设：直线L 与直线1L 相交，所以1s,s 及AB 共面，因此1()2110312m n pAB ⨯⋅=-=-s s ，即0=-+-p n m ②，将①和②联立解得p n p m 4,5-=-=，由此得145p n m =-=-，于是所求直线方程为11453-=-=-+z y x ．。
部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案知识点总结(超全)
(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案知识点总结(超全)单选题1、已知向量AB →=(2,2)，AC →=(t,1)，若AB →⋅BC →=2，则t =（ ） A ．5B ．4C ．3D ．22、已知向量a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(−2,3)，那么|a ⃗−2b ⃗⃗|=（ ） A ．5B ．5√2C ．8D ．√743、在平行四边形ABCD 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，若BA⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=（ ） A ．2√3B ．3√3C ．4√3D ．34、我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．1225a +925b ⃗ B ．1625a +1225b⃗ C ．45a +35b ⃗ D ．35a +45b ⃗ 5、一个骑行爱好者从A 地出发向西骑行了2km 到达B 地，然后再由B 地向北偏西60°骑行2√3km 到达C 地，再从C 地向南偏西30°骑行了5km 到达D 地，则A 地到D 地的直线距离是（ ） A ．8B ．3√7C ．3√3D ．56、已知a ，b ⃗ 是不共线的向量，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b⃗ ，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（ ）A ．λ=μ−5B ．λ=μ+5C ．λ=μ−1D ．λ=μ+17、已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若AB =2，∠BAD =60°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（ ） A ．−2B ．−12C ．−72D ．128、若非零向量a ⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗|=3|b ⃗⃗|, (2a ⃗+3b ⃗⃗)⊥b ⃗⃗，则a ⃗与b ⃗⃗的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 多选题9、已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC,AB 上的点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗B ．AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C ．|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3D ．ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为7610、在下列向量组中，可以把向量a →=(3,2)表示出来的是（ ） A ．e 1→=(0,0),e 2→=(1,2)B ．e 1→=(−1,2),e 2→=(5,−2) C ．e 1→=(3,5),e 2→=(6,10)D ．e 1→=(2,−3),e 2→=(2,3)11、已知λ，μ∈R ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,μ)，那么（ ） A ．CB⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1,1−μ) B ．若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=2，μ=12C ．若A 是BD 中点，则B ，C 两点重合 D ．若点B ，C ，D 共线，则μ=1 填空题12、在直角坐标系中，O 为原点,O 、A 、B 不共线，xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =________部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(十三)参考答案1、答案：B分析：先根据已知条件计算BC →，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案. 解：根据题意得：BC →=AC →−AB →=(t,1)−(2,2)=(t −2,−1)， 所以AB →⋅BC →=2(t −2)+2×(−1)=2t −4−2=2，解得t =4. 故选：B.小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题. 2、答案：B分析：根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果. 因为向量a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(−2,3)，所以a ⃗−2b ⃗⃗=(5,−5) |a ⃗−2b ⃗⃗|=√52+(−5)2=5√2. 故选：B. 3、答案：B解析：由题意分析可知，四边形ABCD 为菱形且∠ABC =120∘，然后求解|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∵BA⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则BD 平分∠ABC ，则四边形ABCD 为菱形. 且∠ABC =120∘，由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√3, 故选：B.小提示：关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意a⃗ |a ⃗ |为a 上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题. 4、答案：B分析：根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC=a →，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗⃗，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(−34BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −916BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，解得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1625BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +1225BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1625a ⃗+1225b⃗⃗.故选：B 5、答案：B分析：根据给定信息作出图形，再利用三角形正弦定理、余弦定理计算作答. 如图，在△ABC 中，∠ABC =150∘，AB =2,BC =2√3，依题意，∠BCD =90∘，在△ABC 中，由余弦定理得：AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcos∠ABC =√2=2√7，由正弦定理得：sin∠ACB =ABsin∠ABCAC=2√7，在△ACD 中，cos∠ACD =cos(90∘+∠ACB)=−sin∠ACB =2√7，由余弦定理得：AD =√AC 2+CD 2−2AC ⋅CDcos∠ACD =√28+25+2×2√7×52√7=3√7，所以A 地到D 地的直线距离是3√7km. 故选：B 6、答案：B解析：根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 再由AB⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b⃗ ， 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 若A,B,C 三点共线，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B. 7、答案：B分析：根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.解：如图，以点O 为坐标原点，OD,OA 所在直线为x,y 轴建立平面直角坐标系， 由AB =2，∠BAD =60°，所以A(0,√3)，B(−1,0)，D(1,0)，E(0,√32)， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−√3),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√32)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1−32=−12. 故选：B小提示：本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题. 8、答案：C分析：设a ⃗与b ⃗⃗的夹角为θ, |b ⃗⃗|=t ，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得cosθ=−12，进而得答案.解：根据题意，设a ⃗与b ⃗⃗的夹角为θ, |b ⃗⃗|=t ，则|a ⃗|=3|b ⃗⃗|=3t ， 若(2a ⃗+3b ⃗⃗)⊥b ⃗⃗，则(2a ⃗+3b ⃗⃗)⋅b ⃗⃗=2a ⃗⋅b⃗⃗+3b ⃗⃗2=6t 2cosθ+3t 2=0，即cosθ=−12，又由0≤θ≤π，则θ=2π3，故选：C ． 9、答案：BD解析：可证明EO =CE ，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 因为△ABC 是边长为2的等边三角形，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以E 为AB 的中点，且CE ⊥AB ，以E 为原点如图建立直角坐标系，则E (0,0)，A (−1,0)，B (1,0)，C(0,√3)， 由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,2√33)，则D (−13,2√33)， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得GE//AD 且GE =12AD =DC ， 所以△CDO ≌△EGO ，EO =CO ，则O (0,√32)， 对于A ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故A 错误； 对于B ，由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故B 正确； 对于C ，OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√32)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,√36)，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,−√33)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23，故C 错误； 对于D ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,2√33)， 所以ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=13+22=76，故D 正确. 故选：BD.小提示：关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键. 10、答案：BD分析：根据a →=λe 1→+μe 2→， 选项A ：无解，故选项A 不能；选项B ： 解得λ=2，μ=1，故选项B 能． 选项C ：无解，故选项C 不能． 选项D ：解得λ=512，μ=1312，故选项D 能．解：根据a →=λe 1→+μe 2→，选项A ：(3，2)=λ(0，0)+μ(1，2)，则3=μ，2=2μ，无解，故选项A 不能；选项B ：(3，2)=λ(−1，2)+μ(5，−2)，则3=−λ+5μ，2=2λ−2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B 能． 选项C ：(3，2)=λ(3，5)+μ(6，10)，则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D ：(3，2)=λ(2，−3)+μ(2，3)，则3=2λ+2μ，2=−3λ+3μ，解得λ=512，μ=1312，故选项D 能． 故选：BD 11、答案：AC分析：根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. A 选项，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,1)−(1,μ)=(λ−1,1−μ)，A 选项正确.B 选项，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ⋅μ=1，故可取λ=3,μ=13，B 选项错误.C 选项，若A 是BD 的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(λ,1)=(−1,−μ)⇒λ=μ=−1，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)，所以B,C 两点重合，C 选项正确. D 选项，由于B,C,D 三点共线，所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ //BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)−(λ,1)=(−1−λ,0)， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,μ−1)， 则(−1−λ)×(μ−1)=0×(1−λ)⇒λ=−1或μ=1，所以D 选项错误. 故选：AC 12、答案：0解析：根据向量的线性运算求出(x +2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(y −2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗⃗，根据对应关系求出x +y 的值即可． ∵ xOA⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴(x +2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(y −2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗⃗， ∴x =−2，y =2，x +y =0. 所以答案是：0．。
微积分课后习题参考答案第六章
第六章 微分方程与差分方程§1微分方程的基本概念习 题 6 — 11.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型： ⑴03=+'y y x ，3-=Cx y ； 解：3-=Cx y 是03=+'y y x 的通解；⑵ax xyy +='，bx ax y +=2，其中a ，b 为常数； 解：bx ax y +=2是ax xy y +='的特解（因为b 不是任意常数）；⑶()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy ，()xy y ln =；解：()xy y ln =是()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy 的特解；⑷0127=+'-''y y y ，x xe C e C y 4231+=；解：x xe C eC y 4231+=是0127=+'-''y y y 的通解；⑸x y y y 2103=-'+''，50355221--+=-x e C e C y x x. 解：50355221--+=-x e C eC y x x是x y y y 2103=-'+''的通解. 知识点：，定义6.2（若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为微分方程的解）和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。
2.在曲线族()xex C C y 221+=中找出满足条件10==x y ，10='=x y 的曲线.解：由题意得：()xe x C C C y 222122++='，∵10==x y ，10='=x y ， ∴解得11=C ,12-=C ， 故所求曲线为()xex y 21-=（xxe y 2=）。
管理信息系统第六章课后习题部分答案
一、复习思考题6.2 按动态特性分,数据的属性可分为几类为什么要进行这种分类P121答：a.数据的属性按动态特性可以分为三类：1.固定值属性;2.固定个体变动属性;3.随机变动属性;b.因为固定值属性是指具有固定值属性的数据,其值基本上固定不变;固定个体变动属性是指数据项对总体来说具有相对固定的个体集,但是其值是变动的属性;随机变动属性是指数据项,它的个体是随机出现的,值也是变动;属性的意义不同多少都决定有所分类,这样的动态特性划分的目的是要确定数据和文件的关系,也就是确定把哪些数据应安排在哪种数据文件中;例如：通常是把固定属性的数据存放在主文件中,把固定个体变动属性的数据放在周转文件中,把随机变动属性的数据放在处理文件中;6.3 某工厂成品库管理的业务过程如下：成品库保管员按车间送来的入库单登记库存台账;发货时,发货员根据销售科送来的发货通知单将成品出库,并发货,同时填写三份出库单,其中一份交给成品库保管员,由他按此出库单登记库存台账,出库单的另外两联分别送销售科和会计科;按以上业务过程画出业务流程图;P110流程图存折、现金存折6.4 某银行储蓄所存取款过程如下：储户将填好的存取单及存折送交分类处理处;分类处理处按三种不同情况分别处理; 如果存折不符或存取单不合格,则将存折及存取单直接退还储户重新填写；如果是存款,则将存折及存款单送交存款处处理;存款处理处取出底账登记后,将存折退还给储户； 如果是取款,则将存折及取款单送交取款处理处,该服务台取出底账及现金,记账后将存折与现金退给储户,从而完成存取款处理过程;试按此画出数据流程图;P113～P114流程图：二、补充题下列是某超市的购物折扣政策,试用决策树和决策表表示该处理逻辑; 1购物500元以上、且为会员,折扣为5%； 2购物500元以上、非会员,折扣为3%； 3购物500元以下、无折扣;决策树：≥500元＜500元是会员不是会员折扣5%折扣3% 无折扣补充实践题学生成绩管理的系统分析;格式参照第十五章说明：从本章开始,第六、七、八章,以学生成绩管理系统为例,进行系统分析、设计和实施;格式参照第十五章P318;。
工程制图课后习题答案第六章
重点与难点
重点
组合体的组合形式、投影规律、 尺寸标注。
难点
如何正确判断组合体的组合形式 ，如何根据投影规律绘制视图， 如何进行正确的尺寸标注。
02 习题答案解析
习题一答案及解析
A. 两直线平行 B. 两直线相交 C. 一条直线 D. 以上都不对
根据平行线的定义，两直线平行时它们不相交，也不 重合。因此，选项A正确。
答案 解析
习题二答案及解析
答案 解析
A. 水平投影面 B. 垂直投影面 C. 侧投 影面 D. 正投影面
在三视图投影体系中，水平投影面是 观察者正对面的平面，用于反映物体 的水平方向尺寸。因此，选项A正确。
习题三答案及解析
答案
输标02入题
01
在三视图投影体系中，俯视图是观察者正下方的视图， 用于反映物体的垂直方向尺寸。因此，选项B正确。
在课程设计和毕业设计中，注重运用工程制图的知识，提高设
03
计的质量和效果。
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工程制图课后习题答案第六章
目录
• 第六章概述 • 习题答案解析 • 常见问题解答 • 总结与回顾
01 第六章概述
章节简介
01
第六章主要介绍了工程制图中组 合体视图的绘制方法和技巧，包 括组合体的组合形式、投影规律 、尺寸标注等内容。
02
通过学习第六章，学生可以掌握 组合体视图的绘制方法和步骤， 提高空间想象能力和分析能力， 为后续章节的学习打下基础。
问题三解答
问题三
如何标注机械零件图的尺寸？
解答三
标注机械零件图的尺寸是一项重要的工作，它关系到 零件的加工和组装。在标注尺寸时，首先要选择合适 的基准，以确保尺寸标注的准确性和合理性。其次， 要遵循尺寸标注的基本原则，如“完整、清晰、合理 ”等。同时，要注意尺寸的精度和公差要求，以确保 零件的加工制造能够达到预期的效果。最后，要通过 实践和不断积累经验，提高自己的尺寸标注能力。
(整理)遗传学第六章课后习题解答
第六章真菌类的染色体作图课后习题及答案1．在红色面包霉中，ab是任意两个基因。
杂交组合为ab*++,每个杂交分析了100个子囊，结果如下表：子囊包子的类型和数目ab a+ab ab ab a+a+ab a+a++b+++b+b+++b+++++++b+++++b+b a+ab a+ab 134******** 2841150000 3553400200 4711181801 596242281020 6310136104对每一个杂交，分析基因之间连锁关系和遗传距离，确定基因与着丝粒间的距离。
答：对上表进行分析如下：ab a+ab ab ab a+a+ab a+a++b+++b+b+++b+++++++b+++++b+b a+ab a+ab分类PD NPD TT TT PD NPD TTa基因分离MI MI MI MII MII MII MII b基因分离MI MI MII MI MII MII MII(1).对第一个杂交进行分析：要判断a与b之间是否发生连锁，即要比较PD和NPD类型的数目，若有连锁存在时，则不发生交换（PD类型）减数分裂细胞的数目应明显多于发生四线交换（NPD类型）的细胞数目，即PD>NOD时，表明有连锁存在。
对第一个杂交分析可知其PD=NPD,因此说a与b之间不存在连锁，a与b之间就不存在遗传距离。
由于基因-着丝粒距离是MII离子囊类型百分率的1/2，所以重组率=1/2重组型子囊数/总子囊数*100%。
a与着丝粒间的遗传距离=1/2*0/100*100=0cMb与着丝粒间的遗传距离=1/2*32+0/100*100=16 cM(2).对第二个杂交进行分析：由于PD类型远大于NPD类型，即PD>NOD，表明a与b连锁。
a与b之间的遗传距离=50*（TT+6NPD）=50*(15/100+6*1/100)=10.5 cMa与着丝粒间的遗传距离=1/2*0/100*100=0 cMb与着丝粒间的遗传距离=1/2*15/100*100=7.5 cM由此可知a与b位于着丝粒的两端。
大学物理第六章课后习题答案
第六章 静电场中的导体与电介质 6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。
由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。
6 －2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。
若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ）（A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地（C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关。
因而正确答案为（A ）。
6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。
设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ）（A ）d εq V E 0π4,0== （B ）dεq V d εq E 020π4,π4== （C ）0,0==V E（D ）R εq V d εq E 020π4,π4==分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。
点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。
因而正确答案为（A ）。
6 －4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。
下列推论正确的是( )（A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷（B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零（C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷（D ） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。
第六章课后练习题答案(1).docx
第六章账务处理程序课后练习答案一、单项选择题1［答案］:B［解析］:科目汇总表账务处理程序的优点：可以简化总分类账的登记工作，减轻了登记总分类账的工作量，并可以做到试算平衡，简明易懂，方便易学。
科目汇总表账务处理程序不能清晰地反映各科目的对应关系，这是它的缺点。
2答案］:B［解析］:3［答案］:A［解析］:本题的考点为汇总记账凭证账务处理的优缺点。
汇总记账凭证账务处理不利于会计核算工作的FI常分工。
4［答案］:C［解析］:本题的考点为在科目汇总表账务处理程序的一般程序。
科目汇总表账务处理程序下，期末现金日记账、银行存款日记账和明细分类账的余额同有关的总分类账进行核对。
5［答案］:C［解析］:本题的考点为汇总记账凭证账务处理程序的特点。
C属于记账凭证账务处理程序的步骤。
6［答案］:C［解析］:本题的考点为记账凭证账务处理程序的适用范围。
7［答案］:D［解析］:本题的考点为记账凭证账务处理程序的优缺点。
记账凭证账务处理程序的缺点是登记总分类账的工作量较大。
8［答案］:C9［答案］:A［解析］:应该根据各种记账凭证编制科li汇总表。
10［答案］:C［解析］: 一种账务处理程序区别于另一种账务处理程序，主要在于登记总分类账的程序和方法不同。
"［答案］:C［解析］:三种账务处理程序中，会计报表都是根据明细账和总分类账编制的。
12［答案］:C［解析］:记账凭证账务处理程序根据记账凭证登记总账，汇总记账凭证账务处理程序根据各种汇总记账凭证登记总账，科目汇总表账务处理程序根据科目汇总表登记总分类账。
13［答案］:A［解析］:记账凭证账务处理程序的优点：直接根据记账凭证登记总账，简单明了，易于理解，总分类账可以较详细地反映经济业务的发生情况。
14［答案］:D［解析］:15［答案］:D［解析］:记账凭证账务处理程序适用于规模较小、经济业务量较少的单位。
二、多项选择题1［答案］:ACD［解析］:本题的考点为科目汇总表账务处理程序的特点。
高一物理课后习题精准解析(新教材人教版必修第二册)第6章__圆周运动
高一物理课后习题精准解析(新教材人教版必修第二册)第6章__圆周运动高一物理课后习题精准解析(新教材人教版必修第二册)第6章圆周运动第一节引言圆周运动是物理学中一个重要的概念，它广泛应用于生活中的各个领域。
在高中物理教学中，掌握圆周运动的基本原理和相关习题解析是十分重要的。
本文将对高一物理课后习题中第6章圆周运动的题目进行精准解析和讲解。
第二节基本概念和公式在解析习题之前，我们首先回顾一下圆周运动的基本概念和公式。
圆周运动是指物体在作匀速运动的同时，沿着一个圆形轨道运动。
圆周运动涉及到的关键概念有圆的半径、圆周和角度。
圆的半径表示圆的大小，圆周是指沿着圆形轨道运动的总路径长度，而角度则表示物体在圆周上行进的程度。
对于圆周运动的速度和加速度，有着重要的公式。
其中，线速度（v）表示物体沿圆周的线速度大小，它是圆周的长度除以所需时间。
角速度（ω）则表示物体在圆周运动中单位时间内所转过的角度大小。
加速度（a）则表示物体在圆周运动中的加速度大小，它与线速度和半径的乘积成正比。
第三节习题解析1. 如图所示，一个半径为R的圆盘以角速度ω沿垂直于其平面的轴作圆周运动。
求圆盘边缘点A的线速度和加速度大小。
解答：根据题意，我们知道圆盘的半径为R，并且给出了角速度ω。
线速度（v）可以通过半径和角速度的乘积得到，即v = Rω。
所以点A的线速度大小为Rω。
加速度（a）可以通过线速度和半径的乘积得到，即a = vω，带入已知条件可得a = Rω²。
所以点A的加速度大小为Rω²。
2. 一个半径为4m的车轮以每秒5转的角速度转动。
求车轮上一个点的线速度和加速度大小。
解答：根据题意，我们知道车轮的半径为4m，并且给出了角速度ω=5转/秒。
线速度可以通过半径和角速度的乘积得到，即v = Rω。
所以点的线速度大小为4m × 5转/秒 = 20m/秒。
加速度可以通过角速度和半径的乘积得到，即a = Rω²，带入已知条件可得a = 4m × (5转/秒)² = 100m/秒²。
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第六章课后习题解答1. 设矩阵A 为231158011223-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求广义逆矩阵r --A ,A .解：用矩阵初等变换来求广义逆-A .231110012230015801010231110012230010000211--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 1223001108112030157102015710200002110000211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 412032311108111025801015721112230000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭PAQ E B .取110001000000-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭B ，则14100203203010102102000000211000000---⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪==-=⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A QB P E .再用最大秩分解来求r -A ：用初等行变换化A 为行标准形矩阵A2311108115801015712230070--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A A ，则231081158015712⎛⎫-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭A BD 为A 的一个最大秩分解.用初等行变换求B 的单边逆.由231001020358010011021200100211-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得1203102L --⎛⎫= ⎪-⎝⎭B . 容易看出110010000R -⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭D ，于是 1110203012031020********0000r R L ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A DB .2. 设n n⨯∈A C，证明：总有广义逆矩阵-A 存在.证：若m n ⨯=A 0，此时任给n m⨯∈X C，都有0X0=0，故-=X A .若m n ⨯≠A 0，设()0rank r =>A ，则存在m 阶可逆矩阵P 与n 阶可逆矩阵Q 使得r⎛⎫⎪⎝⎭E 0A =P Q 00. 设11--⎛⎫⎪⎝⎭r E X G =Q P Y Z ，其中()()()(),,r m r n r r n r m r ⨯--⨯-⨯-∈∈∈X CY C Z C 为任意矩阵。
则 11 r rr r r r r r r E 0E X E 0AGA =P QQ P P Q 00Y Z 00E 0E X E 0=P Q00Y Z 00E X E 0=P Q0000E 0 =P Q00 =A--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭故-G =A .3. 设m n⨯∈A C，证明(){1}T T-∈A A .证：因为{1}{,}T TTTm n⨯=∀∈A G A GA =A G C ，而()()T T T T --=A A A AA A ，故(){1}TT-∈A A .4. 设,m mn n ⨯⨯∈∈P CQ C 均为可逆矩阵，且有=B PAQ ，证明：11{1}---∈Q A P B .证：因为1111()-------B Q A P B =PAQQ A P PAQ =PAA AQ =PAQ =B ,所以11{1}---∈Q A P B .5. 证明：m n ⨯0的自反广义逆矩阵仅为n m ⨯0. 证：n m⨯∀∈G C，有m n m n m n ⨯⨯⨯0G0=0，可见G 为 m n ⨯0的广义逆矩阵.要使G 是m n ⨯0的自反广义逆矩阵，还需m n ⨯=G0G G 成立，但m n n m ⨯⨯=G0G 0，所以n m ⨯=G 0.6. 设,,m nn r r m ⨯⨯⨯∈∈∈A C Y C Z C ，且r ZAY =E ，则r -=A YZ 是A 的自反广义逆矩阵.证：()()()r YZ A YZ =Y ZAY Z =YE Z =YZ7. 设矩阵为102215,011131⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 求M-P 广义逆矩阵+A .解：容易验证()3rank =A ，为列满秩矩阵，所以1()HH+-=A A A A .121201651121501135111011251111131131H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭A A ，所以1165111201()5111011311131251185362927761111111111111120136654923141 011311444422211222511294941171251144442221122H H -+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ =-=-⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪ --- ⎪⎝⎭⎝A A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭8. 设{1}m n⨯∈∈A C,D,G A 试证明：{1,2}∈GAD A .证：由{1}∈D,G A 得,==ADA A AGA A ，故有()()A GAD A =AGA DA =ADA =A ，()()()()GAD A GAD =G ADA GAD =G AGA D =GAD .所以{1,2}∈GAD A .9. 设2H ==A A A ，试证明：+A =A . 证：由条件2H ==A A A 可得22=AAA =A A =A A ，()H H H ==AA A A AA .由以上两式易见矩阵A 与它本身满足M-P 广义逆定义的四个方程，所以+A =A .10. 设H =A A ，证明：22222222()(),,()()+++++++++=====A A AA A A,A A A A A A A A AA .证：(1)利用已知H =A A 和教材P203定理4(1)中结论有22()()()()H H +++++++====A AA A A A A A .(2) 由H =A A 和+A 的性质有()()()HHHH H+++++====AA AA A A A A A A .(3) 利用(2)的结论++=AA A A 有22+++++====A A A AA AA A AAA A A . (4) 由(1), (2)中结论得2222()()+++++++====A A A A AAA A AA AA AA ，同理可得22()++=A A AA .11. 若A 的最大秩分解为=A BC ，证明：+++=A C B . 证：m nr⨯∀∈A C ，由已知=A BC 为A 的最大秩分解，可得11()()H H H H +--=A C CC B B B . 由于B 是列满秩矩阵，则r B =BE 为B 的最大秩分解，于是1()HH+-=B B B B ，同理,由C 是行满秩矩阵得1()HH +-=C C CC ，所以+++=A C B .12. 证明：()++=A A .证：易知A 与+A 满足M-P 广义逆定义的四个方程,故有()++=A A .13. 试证明：()(),()(),()()()(),()()()().H H H H H H H H H H H H H ++++++++++++++=====A A A A AA A A A A A AA A =A AA A AA AA AA AA AA 证：略，见教材P203定理4.14. 设m m⨯∈U C与n n⨯∈V C均是酉矩阵，证明：()H H++UAV =VA U .证：利用U,V 为酉矩阵和+A 的运算性质，容易验证HUAV 和H+VA U 满足M-P 广义逆定义的四个方程：(1) HHHH H ++UAV VA U UAV=UAA AV =UAV ； (2) HHHH H +++++VA U UAV VA U=VA AA U =VA U ；(3) ()()()+H ++++UAVVA U =UAA U =U AA U =UAA U =UAV VA U HH H H H H H H H ；(4) 类似(3)可得()HHHHH++VA U UAV =VA U UAV . 所以()H H++UAV =VA U .15. 若A 是正规矩阵，证明：⑴++=A A AA ；⑵()()n n++=A A .证：设A 为m 阶正规矩阵，则存在酉矩阵U ，使得1H m λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦U AU ， 1H m λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A U U . 由14题结论知11H H m m λλλλ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A U U U U ，其中10,0.ii i i λλλλ+≠⎧=⎨=⎩，1,i m =. (1) 1111H H Hm m m m λλλλλλλλ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A U U U U U U ， 1111H H H m m m m λλλλλλλλ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA U U U U U U . 所以++=A A AA .(2) 111()n H H H m m m λλλλλλ++⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭A UU U U U U111111()()()nn n H H H n n m m m H H H n n n nλλλλλλλλλλλλ+++++++++++⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=== ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=U U U U U U U U U U U UA 16. 若()()HH==ABA =A,BA BA,AGA =A,AG AG ，则+BAG =A .证：由已知条件验证BAG 满足M-P 广义逆定义的四个方程： (1) ()()A BAG A =ABA GA =AGA =A ；(2) ()()()BAG A BAG =B AGA BAG =BABAG =BAG ； (3) ()()HHABAG =AG =AG =ABAG ；(4) ()()HHBAGA =BA =BA =BAGA .所以+BAG =A .17. 试证明：()+++⊗=⊗A B A B .证：根据Kronecker 乘积的性质有：()()()()()++++⊗⊗⊗=⊗=⊗A B A B A B AA A BB B A B ； ()()()()()++++++++++⊗⊗⊗=⊗=⊗A B A B A B A AA B BB A B ；[()()][()()]()() ()()()()H H H H ++++++++++⊗⊗=⊗=⊗=⊗=⊗⊗A B A B AA BB AA BB AA BB A B A B ；同理[()()]()()H++++⊗⊗=⊗⊗A B A B A B A B . 所以()+++⊗=⊗A B A B .18. 试用各种方法求+A ：⑴120024⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， ⑵121012-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ， ⑶0101i i ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A ， ⑷120002240⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， ⑸100011100211⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪-⎝⎭A .解：(1) 奇异值分解法:125010102000002042410020H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AA ， 由()235010025010020Hλλλλλλ---==-=--E AA 得H AA 的特征值1225,0λλ==.而对应于125λ=的单位特征向量为10,Tα=，故()11α=U. 1111201021252500,204242502525H Hr +-⎛⎫ ⎪⎛⎫=∆=⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭A A U U . (2) 最大秩分解法：显然A 是行满秩矩阵，1012164210124512H ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭AA ，易得()15414614H -⎛⎫= ⎪⎝⎭AA . 所以()11054541121624614141238H H -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A A AA .(3) 极限算法：010*******H i i i i i i ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭A A ，222222H ii δδδ⎡⎤++=⎢⎥-+⎣⎦A A E .容易算得221222221()(1)(3)2Hi i δδδδδ-⎡⎤+-+=⎢⎥+++⎣⎦A A E ，于是 22122220022222201021lim()lim 01(1)(3)221(2)11333lim 12(1)(3)1(1)2333HHi i i i i i i i i i δδδδδδδδδδδδδδ+-→→→-⎡⎤+-⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪-+++⎝⎭⎣⎦⎛⎫--⎪⎛⎫-++-== ⎪ ⎪++-++ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭A A A E A (4) 谱分解法：()3102120510020400210200,020*******10010200(4)250,04H H λλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---=--=--=-A A E A A故HA A 的特征值为1234,25,0λλλ===.于是12311,,0425λλλ---===. 设 123()()()(25),P λλλλλλλ=--=-213()()()(4),P λλλλλλλ=--=-312()()()(4)(25)P λλλλλλλ=--=--.可求得 1122()4(425)84,()25(254)525P P λλ=-=-=-=，1323()(25),()(4)H H H H H H =-=-P A A A A E A A P A A A A E A A .于是331202525(25)(4)112404842552525251002H H H HH +⎛⎫ ⎪ ⎪⎡⎤-- ⎪=⨯+⨯=⎢⎥ ⎪-⎣⎦⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A E A A A A E A A A A . (5) 最大秩分解法：容易得到A 的一个满秩分解表达式10011001001121⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭A BC ， 111062201111,,(),()022*******TT T T ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭CC B B CC B B .于是 1122221()()131181311T T T T+---⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭A C CCB B B . 19. 证明：方程组H H =A Ax A b 是相容的，其中,m nm ⨯∈∈A Cb C .证：方程H H=A Ax A b 相容的充要条件是()()HHHrank rank =A A A b A A ，显然()()H H H rank rank ≥A A A b A A ，同时有()(())()()H H H H H rank rank rank rank =≤=A A A b A A b A A A ，所以()()HHHrank rank =A A A b A A ，方程H H=A Ax A b 相容.20. 已知120024⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .求方程组=Ax b 的通解及最小范数解.解：显然()()2rank rank ==A b A ，方程组是相容的. 容易得到A 的一个最大秩分解为()10122⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A BD ，而()()11112()10201020552T T -+-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭B B B B ， ()111115()122225T T -+-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭D D DD .所以 11201252525022455052525+++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A DB . 方程组的通解为1221212()121211200102525252500024012400224252525251421555522125555u u u u u u ++⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝x A b E A A 12124255. , R 2155u u u u ⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪++∈⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭最小范数解为12[]55T +=A b . 21. 验证下列方程组是不相容的，并用+A 求它的最佳逼近解.⑴ 0021110100111111⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ； ⑵ 020********23102114611i i i i i i +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭x . 解：(1) 显然3()()2rank rank =≠=A b A ，故方程组不相容. 将矩阵A 通过初等行变换变为A002110110001001000111000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪=→= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A 可得A 的最大秩分解02101100100111⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A BC .11121206101,,(),()21601121101T T T T --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B B CC B B CC . 所以11()()10161010101102122011110101261512615228242T T T T+--=⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭A C CCB B B 最佳逼近解为0261514112615142211824216+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b . (2)22. 已知102,(0,1,0)204TT⎛⎫== ⎪⎝⎭A b ，求方程组=Ax b 的最小二乘解和最佳逼近解.解：因2()()1rank rank =≠=A b A ，故方程组不相容.易得A 的一个最大秩分解为()10122⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A BC ，所以()111102111()()10222045525TT TT+--⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A C CCB B B ，最佳逼近解为001020112040250+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭x A b .方程组的最小二乘解为12212()12120010252500001240242525u u u u ++⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b E A A11212242425555. , R 21215555u u u u u u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫==+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23. 设A 是对称矩阵，+=M A ，证明：22()+=M A .证：略，见第10题. 24. 设m m⨯∈A C 和n n⨯∈B C均可逆，证明：⑴ 若m n⨯∈D C 是左可逆的，则ADB 是左可逆的． ⑵ 若m n⨯∈D C是右可逆的，则ADB 是右可逆的．证：(1) 若D 左可逆，则存在1n m L -⨯∈D C ，使得1L n -=D D E ，由于,A B 均可逆，故111()L n ---=B D A ADB E .所以ADB 是左可逆的，且 1111()L L ----=ADB B D A .(2) 类似(1)可证得1111()R R ----=ADB B D A .25. 求1100000⎛⎫= ⎪⎝⎭A 和2100000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的1+A 和2+A .解：(1) 1A 的最大秩分解为()111000⎛⎫== ⎪⎝⎭A BC , 所以()111110()()0111000000T T T T +--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A C CCB B B .(2) 因为21T =A A ，所以()()211100000TT+++⎛⎫=== ⎪⎝⎭A A A . 26. 已知一组数据：(-3,9),(-2,6),(0,2),(1,1),求数据拟合的最佳二次抛物线，并计算误差.解：本题实际上是要求参数i β，使函数2012y x x βββ=++最佳拟合数据点(-3,9),(-2,6),(0,2),(1,1). 也即求方程组0121399124610021111ββββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b的最佳逼近解.因系数矩阵A 是列满秩的，求得15421151()21492090152010T ---⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A A ，故最佳逼近解 195421151111261()21492032014/329015201094011/31T T β+-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪===---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b A A A b .于是数据拟合的最佳二次抛物线为241233y x x =-+. 误差为222139902124604/30100201/311110b β-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=--== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A。