二次函数的图像信息问题

二次函数的图像知识讲义 一．例1. 画出y=x 2+x-2的图象

归纳小结

1.开口方向和大小：

2.顶点坐标：

3.对称轴;

4.与y 轴的交点：

5.与x 轴的交点：

练习1.求下列函数与坐标轴的交点

（1）y=3x 2

-2x-5 （2）y=-x 2

+6x-9 （3）y=x 2

+4x+8

练习2.选择题：

1.二次函数y=x 2

-3x 的图象与x 轴两个交点的坐标分别为（ ） A.(0，0)，(0，3) B.(0，0)，(3，0) C.(0，0)，(-3，0) D.(0，0)，(0，-3) 2.y=

14

x 2

-7x-5与y 轴的交点坐标为（ ）. A ．-5 B.(0，-5) C.(-5，0) D.(0，-20)

3．抛物线2

2

n mx x y --=)0(≠mn 的图象与x 轴交点为（ ） A ．二个交点 B ．一个交点

C ． 无交点

D ．不能确定

4．函数m x mx y 22

-+=（m 是常数）的图象与x 轴的交点有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．1个或2个

5．若抛物线c bx ax y ++=2

的所有点都在x 轴下方，则必有 （ ） A.04,02>-

>->ac b a C.04,02<-

<->ac b a

6.关于x 的二次函数2

2(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是( )

Ａ．116m <-

Ｂ．1

16m -

≥且0m ≠ Ｃ．1

16

m =-

Ｄ．1

16

m >-且0m ≠

7.下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点，这个函数是（ ）

Ａ．2

y x =

Ｂ．2

4y x =+ Ｃ．2325y x x =-+

Ｄ．2

351y x x =+-

8.抛物线2

321y x x =-+-的图象与坐标轴交点的个数是（

）

Ａ．没有交点

Ｂ．只有一个交点

Ｃ．有且只有两个交点

Ｄ．有且只有三个交点

9. 函数362

+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）

A ．3

B ．03≠

C ．3≤k

D ．03≠≤k k 且

例2.已知二次函数232)1(2-++-=a ax x a y 的图象的最低点在x 轴上，求a 的值

例3.已知二次函数1)2(2++-+-=m x m x y ，试说明：不论m 取任何实数，这个二次

函数的图象必与x 轴有两个交点。

Ｏ y

x

练习3.填空题：

1.抛物线m x x y +--=22

，若其顶点在x 轴上，则=m ．

2.二次函数y=x 2-2x-3与x 轴两交点之间的距离为

3.抛物线1422

++-=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ．

4.如图所示，函数2

(2)7(5)y k x x k =--+-的图像与x 轴只

有一个交点，则交点的横坐标0x =

．

5. 已知抛物线m x x y +-=42

的顶点在x 轴上，求这个函数的解析式及其顶点坐标。

例4.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标（1-，2.3-）及部分图象如图，

由图象可知关于x 的方程02

=++c bx ax 的两个根分别是3.11=x 和_______2=x .

例5. 已知抛物线21()3

y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x 轴上截得

的线段长是43h 和k 的值．

二次函数的图像信息题

例1.观察下图，回答下列问题

1、 如图所示的图像表示什么函数？它的解析式怎样表示？

2、 若二次函数2

y ax bx c =++图像如图所示。根据图像判断下列代数式的符号。 （1）a 0 （2）b 0 （3）c 0 （4）2

4b ac - 0

（5）a b c ++ 0 （6）a b c -+ 0 （7）2a b + 0 （8）2a b - 0

3

一、巩固练习

若二次函数2

y ax bx c =++图像如图所示。 1、根据图像判断下列代数式的符号。 （1）a 0 （2）b 0 （3）c 0

（4）2

4b ac - 0 （5）a b c ++ 0 （6）a b c -+ 0 （7）2a b + 0 （8）2a b - 0 （9）42a b c ++ 0

（10）2

44ac b a

- 0

2、根据图像写出满足下列条件的取值范围 （1）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？

当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？ （2）当x 取何值时，0y =？

当x 取何值时，0y 〉？ 当x 取何值时，0y 〈？

【拓展延伸1】若点C （0，3-）（1） 写出方程2

0ax bx c ++=的解 （2） 写出不等式20ax bx c ++<的解 （3） 写出不等式2

0ax bx c ++≥的解 （4） 写出方程2

3ax bx c ++=-的解

（5） 写出不等式23ax bx c ++<-

【拓展延伸2】若顶点D （1，4-）（1） 若方程2

ax bx c k ++=若该方程无解，则k （2） 若方程2

ax bx c k ++=（0k 〉）有两个不等的实数根1x 、2x ，且12x x 〈，则1x 、2x 的取值范围是

三、中考真题链接

1、二次函数2

y ax bx c =++图像如图所示

若方程2

ax bx c m ++=有两个相等的实数根，则m= 若该方程有两个不等的实数根，则m 的取值范围是 若该方程无解，则m 的取值范围是

2、已知二次函数2

1y ax bx c =++，一次函数2y mx n =+如图所示

（1）方程2

ax bx c mx n ++=+的解是 （2）不等式2

ax bx c mx n ++〈+的解是

3、已知13y x

=-

，()2

20y ax bx a =+≠（1）方程2

30ax bx x ++=的解是

（2）不等式2

3ax bx x

-〈+的解是