二次函数题型分类总结答案
二次函数求最值的六种考法(含答案)
二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值． 【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4， 可知函数顶点坐标为（3，﹣4）， 当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0， 即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0， 解得x 1＝1，x 2＝5． 如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5． 则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2， 解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38； 故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2， 又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4， 解得a =−14， 故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2． 故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8． 故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为 ．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值． 【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）． （2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）． 设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ， 则{−3m +n =0n =−3， 解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t， 解得{k =−12t =52， 故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152； （Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1， 故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4， 解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q， 解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t， 解得{a =1t =2， 故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为 ．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0）， 抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4． 故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是 ．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5， 故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）． 【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）． 【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ， 由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， 令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。
二次函数的实际应用六大压轴题型归纳总结(含答案)
二次函数的实际应用六大压轴题型归纳总结【题型1 利用二次函数解决几何图形问题】【例1】（2020春•萧山区月考）如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（π取3）（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围．（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）【解题思路】（1）根据2AB+7半径+弧长＝6列出代数式即可；（2）设面积为S，列出关于x的二次函数求得最大值即可．【解答过程】解：（1）根据题意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，整理得：AB＝3﹣5x；根据3﹣5x＞0，所以x的取值范围是：0＜x＜3 5；（2）设面积为S，则S＝2x（3﹣5x）+32x2=−172x2+6x=−172（x−617）2+1817，当x=617时，S最大=1817．【变式1-1】（2020•安徽模拟）如图，某住宅小区有一块矩形场地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花，②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼．（1）设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2，AG长为xm，求y与x之间的函数关系式；（2）求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值．【解题思路】（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，根据正方形AEFG和正方形JKCI 形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同，得到DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，根据矩形的面积公式即可得到结论；（2）根据二次函数的性质即可得到结论．【解答过程】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，∵正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状形状大小相同，AG＝x，∴DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，∵S矩形LJHF＝FL•LJ，∴y＝（2x﹣12）（16﹣2x）＝﹣4x2+56x﹣192；（2）由（1）得，y＝﹣4x2+56x﹣192＝﹣4（x﹣7）2+4，∵FL＝2x﹣12＞0，LJ＝16﹣2x＞0，∴6＜x＜8，∵a＝﹣4＜0，∴当x＝7时，y的最大值＝4；故矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4m2．【变式1-2】（2020•富顺县三模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．【解题思路】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值；（3）根据题意确定x的取值范围，利用二次函数增减性计算即可．【解答过程】解：（1）依题意得S＝x（28﹣x），当S＝192时，有S＝x（28﹣x）＝192，即x2﹣28x+192＝0，解得：x1＝12，x2＝16，答：花园的面积为192m2，x的值为12m或16m；（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，答：x为14m时，花园面积S有最大值，最大值为196m2；（3）依题意得：{28−x≥ax≥6，解得：6≤x≤28﹣a，S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，∵a＝﹣1＜0，当x≤14，y随x的增大而增大，又6≤x≤28﹣a，∴当x＝28﹣a时，函数有最大值，是y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196．【变式1-3】（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案： 方案甲中AD 的长不超过墙长；方案乙中AD 的长大于墙长． （1）若a ＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD 的长是多少米？ ②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a ＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．【解题思路】（1）①设AB 的长是x 米，根据矩形的面积公式列出方程； ②列出面积关于x 的函数关系式，再根据函数的性质解答；（2）设AB ＝x ，能围成的矩形花圃的面积为S ，根据题意列出S 关于x 的函数关系，再通过求最值方法解答．【解答过程】解：（1）①设AB 的长是x 米，则AD ＝20﹣3x ， 根据题意得，x （20﹣3x ）＝25， 解得：x 1＝5，x 2=53， 当x =53时，AD ＝15＞6， ∴x ＝5， ∴AD ＝5，答：AD 的长是5米；②设BC 的长是x 米，矩形花圃的最大面积是y 平方米，则AB =13[20﹣x ﹣（x ﹣6）]=263−23x ， 根据题意得，y ＝x （263−23x ）=−23x 2+263x =−23(x −132)2+1696（x ＞6）， ∴当x =132时，y 有最大值为1696．答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是1696平方米；（2）设BC ＝x ，能围成的矩形花圃的面积为S ，按图甲的方案，S ＝x ×20−x 3=−13x 2+203x =−13(x −10)2+1003， ∴在x ＝a ＜10时，S 的值随x 的增大而增大，∴当x ＝a 的最大值n 时，S 的值最大，为S =−13(n −10)2+1003；按图乙方案，S =13[20﹣x ﹣（x ﹣a ）]x =−23(x −a+204)2+(a+20)224，∴当x =a+204时，S 的值最大为S =(a+20)224，此时a 取最大值n 时，S 的值最大为S =(n+20)224； ∵(n+20)224−[−13（n ﹣10）2+1003]=9n 2−120n+40024＞0， ∴(n+20)224＞−13(n −10)2+1003，故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．【题型2 利用二次函数解决销售利润问题】【例2】2020年1月，全国爆发新型冠状病毒肺炎，2月某工厂购进某防护材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价但不高于成本价2倍，经试销，销售量y （千克）与销售单价x （元）的关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为多少元？【解题思路】（1）直接利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）利用销量×每件利润＝总利润，进而结合二次函数增减性得出答案． 【解答过程】解：（1）设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx +b （k ≠0），根据图象可得方程组{30k +b =14050k +b =100，解得：{k =−2b =200，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣2x +200，x 的取值范围是：30≤x ≤60； （2）设日利润为w ，则可以列出函数关系式为： w ＝（﹣2x +200）（x ﹣30）﹣450 ＝﹣2x 2+260x ﹣6450， 当x =−b2a=65， 又∵30≤x ≤60，∴当x ＝60时，w 取得最大值，w ＝1950，答：当销售单价为60元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为1950元．【变式2-1】某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表： 销售单价x （元） 85 95 105 115 日销售量y （个） 175 125 75 m 日销售利润w （元）87518751875875（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出x 的取值范围）及m 的值； （2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是 元，当销售单价x ＝ 元时，日销售利润w 最大，最大值是 元； （3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？【解题思路】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y 关于x 的函数解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w 的最大值； （3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本． 【解答过程】解；（1）设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx +b ， {85k +b =17595k +b =125，得{k =−5b =600，即y关于x的函数解析式是y＝﹣5x+600，当x＝115时，y＝﹣5×115+600＝25，即m的值是25；（2）设成本为a元/个，当x＝85时，875＝175×（85﹣a），得a＝80，w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000，∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝2000，故答案为：80，100，2000；（3）设科技创新后成本为b元，当x＝90时，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，解得，b≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元．【变式2-2】（2020•安徽二模）某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？【解题思路】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可；（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．【解答过程】解：（1）图①可得函数经过点（100，1000），设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，解得：a=1 10，故y与x之间的关系式为y=110x2．图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），设z＝kx+b，则{100k+b=20 b=30，解得：{k=−110 b=30，故z与x之间的关系式为z=−110x+30；（2）W＝zx﹣y=−110x2+30x−110x2=−15x2+30x=−15（x2﹣150x）=−15（x﹣75）2+1125，∵−15＜0，∴当x＝75时，W有最大值1125，∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）令y＝360，得110x2＝360，解得：x＝±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，由W=−15（x﹣75）2+1125的性质可知，当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，故当x＝60时，W有最大值1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元．【变式2-3】（2020•邢台二模）一家经营打印耗材的门店经销各种打印耗材，其中某一品牌硒鼓的进价为a 元/个，售价为x元/个（a≤x≤48）．下面是门店在销售一段时间后销售情况的反馈：①若每个硒鼓按定价30元的8折出售，可获20%的利润；②如果硒鼓按30元/个的价格出售，每月可售出500个，在此基础上，售价每增加5元，月销售量就减少50个．（1）求a的值，并写出该品牌硒鼓每月的销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）求该耗材店销售这种硒鼓每月获得的利润W（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求每月获得的最大利润；（3）在新冠肺炎流行期间，这种硒鼓的进价降低为n元/个，售价为x元/个（n≤x≤48）．耗材店在2月份仍然按照销售量与售价关系不变的方式销售，并决定将当月销售这种硒鼓获得的利润全部捐赠给火神山医院，支援武汉抗击新冠肺炎．若要使这个月销售这种硒鼓获得的利润G（元）随售价x（元/个）的增大而增大，请直接写出n的取值范围．【解题思路】（1）根据实际售价﹣进价＝进价×利润率建立关于a的方程，解之可得a的值；用原销售量﹣因价格上涨而减少的销售量可得答案．（2）根据“总利润＝每个硒鼓利润×销售量”列出关于x的函数，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得；（3）根据以上相等关系，并结合新进价列出关于x的二次函数，找到其对称轴，利用二次函数的增减性求解可得．【解答过程】解：（1）30×0.8﹣a＝20%a，解得a＝20．y＝500﹣10（x﹣30），即y＝﹣10x+800（20≤x≤48）．（2）根据题意，得W＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣50）2+9000．∵﹣10＜0，销售单价不能超过48元/个，即当20≤x≤48时，W随x的增大而增大，∴当x＝48时，W有最大值，最大值为8960．答：当售价为48元/个时，每月获得的利润最大，最大利润为8960元．（3）根据题意，得G＝（x﹣n）（﹣10x+800）＝﹣10x2+（800+10n）x﹣800n，对称轴x=80+n 2．∵a＝﹣10＜0，∵当n ≤x ≤48时，该商品利润G 随x 的增大而增大， ∴80+n 2≥48，解得n ≥16． ∵进价是降低的，∴n 的取值范围是16≤n ＜20．【题型3 利用二次函数解决抛物线形轨迹问题】【例3】（2020秋•渑池县期末）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30o ，O 、A 两点相距8√3米． （1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点，并说明理由．【解题思路】（1）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；（2）OA 与水平方向OC 的夹角为30°，OA ＝8√3米，解直角三角形可求点A 的坐标，把点A 的横坐标x ＝12代入抛物线解析式，看函数值与点A 的纵坐标是否相符． 【解答过程】解：（1）∵顶点B 的坐标是（9，12）， ∴设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣9）2+12， ∵点O 的坐标是（0，0）∴把点O 的坐标代入得：0＝a （0﹣9）2+12， 解得a =−427，∴抛物线的解析式为y =−427（x ﹣9）2+12 即y =−427x 2+83x ；（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝8√3，∴AC＝OA•sin30°＝8√3×12=4√3，OC＝OA•cos30°＝8√3×√32=12．∴点A的坐标为（12，4√3），∵当x＝12时，y=323≠4√3，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．【变式3-1】如图，运动员甲在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式．（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？（3）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3m，问：在（2）的条件下，运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？【解题思路】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．（3）当y＝3.3m，进而代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案．【解答过程】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得：a＝﹣0.2，∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，∴h＝0.2（m）．答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．（3）由题意可得出：y＝3.3，则3.3＝﹣0.2x2+3.5解得：x1＝1，x2＝﹣1，∴2.5﹣1＝1.5（m），1.5﹣1＝0.5（m）∴乙在距离甲1.5米以内或离篮板0.5米以内能在空中截住球．【变式3-2】（2021•嘉善县一模）已知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB＝0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD＝4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'（如图3），请直接写出m的取值范围．【解题思路】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求出当y＝2.44时，x的值，取正；（3）先求出y＝0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离．【解答过程】解：（1）抛物线的顶点坐标是（6，4.4），设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣6）2+4.4，把（0，0.4）代入得36a+4.4＝0.4，解得a=−1 9，则抛物线是y=−19（x﹣6）2+4.4；（2）∵球门高为2.44米，即y＝2.44，则有2.44=−19（x﹣6）2+4.4，解得：x1＝10.2，x2＝1.8，从题干图2中，发现球门在CD右边，∴x＝10.2，即足球运动的水平距离是10.2米；（3）不后退时，刚好击中横梁，∴往后退，则球可以进入球门，而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，当y＝0时，有0=−19（x﹣6）2+4.4，解得：x1＝6+35√110，x2＝6−35√110，取正值，x＝6+35√110，∴后退的距离需小于6+35√110−10.2＝（35√110−4.2）米故0＜m＜35√110−4.2．【变式3-3】（2020•绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）【解题思路】（1）求出抛物线表达式；再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；（2）当y＝0时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6√2=8.4，即可求解．【解答过程】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a=−1 50，故抛物线的表达式为：y=−150（x﹣7）2+2.88；当x＝9时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，−150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6√2=8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．【题型4 利用二次函数解决车过隧道问题】【例4】（2020秋•海淀区校级月考）小宇遇到了这样一个问题：如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN均为3m，今有宽2.4m的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）为解决这个问题，小宇以AB中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为y＝ax2+c．（1）写出M、C、N、F四个点的坐标；（2）求出抛物的表达式；（3）利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题．【解题思路】（1）根据题中信息直接写出M、C、N、F四个点的坐标即可；（2）将点M、C点的坐标代入抛物线的表达式为y＝ax2+c，利用待定系数法求解即；（3）在y=−14x2+4中，令x＝1.2，求得相应的y值，从而可得点D的坐标，结合卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，可得卡车载物最高点距地面的距离，然后精确到0.1m，即可得出答案．【解答过程】解：（1）由题意得：M（﹣2，3）、C（0，4）、N（2，3）、F（1.2，0）；（2）将M（﹣2，3）、C（0，4）代入y＝ax2+c，得：{4a+c=3c=4，解得：{a=−14 c=4，∴抛物的表达式为y =−14x 2+4；（3）在y =−14x 2+4中，令x ＝1.2，得：y =−14×1.22+4＝3.64，∴点D 的坐标为（1.2，3.64），即点D 与地面的距离为3.64m ，∵卡车载物后的最高点E 到隧道顶面对应的点D 的距离应不小于0.6m ，∴点E 离地面的距离不超过3.04m ，∴卡车载物后的限高应是3.0m ．【变式4-1】（2021•海城市模拟）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC 构成．矩形一边OA 的长是12m ，另一边OC 的长是1m ．抛物线上的最高点D 到地面OA 的距离为7m ．以OA 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线所对应的函数表达式．（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m ，求两排灯之间的水平距离．（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13m 的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m 处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．【解题思路】（1）设抛物线所对应的函数表达式为y ＝a （x ﹣6）2+7，将点C （0，1）代入所设解析式求出a 的值即可得出函数解析式；（2）将y ＝5代入解析式求出x 的值，将所求x 的值相减可得答案；（3）求出x ＝2时y 的值，再减去13可得答案． 【解答过程】解：（1）由题意设抛物线所对应的函数表达式为y ＝a （x ﹣6）2+7，将点C （0，1）代入上式，36a +7＝1，解得a =−16，∴该抛物线所对应的函数表达式为y =−16(x −6)2+7．（2）把y＝5代入y=−16(x−6)2+7中，−16(x−6)2+7=5，解得x1=6+2√3，x2=6−2√3，6+2√3−(6−2√3)=4√3，所以两排灯之间的水平距离为4√3m；（3）把x＝2代入y=−16(x−6)2+7中，y=−16(2−6)2+7=133，13 3−13=4，所以这辆货运汽车载物后的最大高度为4m．【变式4-2】（2020•武汉模拟）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？【解题思路】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．（2）把x＝5代入可求出支柱的长度，然后算出总造价即可．（3）先求出坦克方队的长，然后算出速度，从而求得通过隧道的时间即可．【解答过程】【解】（1）设y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入，得a=−350，c＝6．∴y=−350x2+6．（2）当x＝5时，y=−350×52+6=92，∴EF＝10−92=112，CD＝10﹣6＝4，支柱的总造价为2（2×112+2×10+4）＝70（万元）． （3）∵坦克的高为3米，令y ＝3时，−350x 2+6＝3，解得：x ＝±5√2，∵7＜5√2＜8，坦克宽为2米，∴可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120÷3×4＝160（米），坦克的行驶速度为24km /h ＝400米/分，∴通过隧道的最短时间为1000+160400=2.9（分）．【变式4-3】（2020秋•海州区校级期末）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM 为16米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A ．D 点在抛物线上．B 、C 点在地面OM 线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．【解题思路】（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y ＝a （x ﹣8）2+8，将点O （0，0）代入上式，即可求解；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x ＝7.5﹣3.5＝4，即可求解；（3）点A 、D 关于函数对称轴对称，则设AD ＝2m ，则AB ＝y =−18（x ﹣8）2+8＝8−18m 2，w ＝AB +AD +DC ＝2m +2AB =−14m 2+2m +16，即可求解．【解答过程】解：（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y ＝a （x ﹣8）2+8，将点O （0，0）代入上式得：0＝64a +8，解得：a =−18，故函数的表达式为：y =−18（x ﹣8）2+8，即y =−18x 2+2x （0≤x ≤16）；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x ＝7.5﹣3.5＝4，当x ＝4时，y ＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行；（3）设点B （m ，0），则点A （m ，−18m 2+2m ），由抛物线的表达式知，其对称轴为x ＝8，则BC ＝2（8﹣m ）＝16﹣2m ＝AD ，则AB =−18m 2+2m ，则设：w ＝AB +AD +DC ＝2m +2AB =−14m 2+2m +16，∵−14＜0，故w 有最大值，当m ＝4时，w 的最大值为20，故AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是20．【题型5 利用二次函数解决拱桥形问题】【例5】（2020秋•渝水区校级月考）某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5m 时，水面宽8m ．一木船宽4m ，高2m ，载货后，木船露出水面的部分为34m ．以拱顶O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，A 、B 为抛物线与水面的交点．（1）B 点的坐标为 ；（2）求抛物线解析式；（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？【解题思路】（1）当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，则B （4，﹣5）；（2）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，将点B 的坐标代入上式即可求解；（3）将x ＝2代入上式，得y =−516x 2=−54，则54+34=2，而1.8＜2，即可求解．【解答过程】解：（1）当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，则点B （4，﹣5），故答案为（4，﹣5）；（2）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，将点B 的坐标代入上式得﹣5＝a ×42，解得a =−516，∴该抛物线的解析式为y =−516x 2； （3）将x ＝2代入上式，得y =−516x 2=−54， ∵54+34=2，而1.8＜2，当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥．【变式5-1】（2020秋•泗阳县期末）河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽6m 时，水面离桥拱顶部3m ．（1）如图建立平面直角坐标系，试求抛物线的解析式；（2）一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m ，宽为4m ．现因暴雨河水水位上升了1m ，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．【解题思路】（1）根据题意可以知道A 、B 的坐标，在利用点C 得坐标从而求出抛物线的解析式．（2）代入x ＝2求出y 的值，用其减去1求出可通过船的做最高高度，与0.5比较大小从而得出答案．【解答过程】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．A （﹣3，0），B （3，0），C （0，3）．y ＝a （x +3）（x ﹣3）．在将点C （0，3）带入y ＝a （x +3）（x ﹣3）中的得a =−13，所以抛物线的解析式为y =−13x 2+3，（2）小船可以通过，理由：当x ＝2时，y =−13×22+3=53，∵53−1=23＞0.5，∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过．【变式5-2】（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m ．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【解题思路】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可；【解答过程】解：（1）根据题意可知点F 的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y 1═a 1x 2．将F （6，﹣1.5）代入y 1═a 1x 2有：﹣1.5═36a 1，求得a 1═−124，∴y 1═−124x 2，当x ═12时，y 1═−124×122═﹣6，∴桥拱顶部离水面高度为6m ．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y 2═a 2（x ﹣6）2+1， 将H （0，4）代入其表达式有：4═a 2（0﹣6）2+1，求得a 2═112， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y 2═112（x ﹣6）2+1，左边钢缆所在抛物线表达式为：y 3═112（x +6）2+1 ②设彩带的长度为Lm ，则L ═y 2﹣y 1═112（x ﹣6）2+1﹣（−124x 2）═18x 2−x +4═18(x −4)2+2， ∴当x ═4时，L 最小值═2，答：彩带长度的最小值是2m ．【变式5-3】（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA ＝8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处，有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x ≤9时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．【解题思路】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y ＝a （x ﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a 的值即可；（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y 的值，然后和1.68比较即可；（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m 各单位，根据二次函数的性质求出m 的取值范围．【解答过程】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA 是8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ，。
中考数学复习之二次函数常考66种题型专题7 与二次函数图象有关的八种考法(含答案及解析)
专题7 与二次函数图象有关的八种考法-重难点题型【题型1 根据条件确定二次函数的图象】【例1】（2020•镇平县一模）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2020秋•北仑区期中）若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2020秋•大连期中）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【变式1-3】（2020•浙江校级模拟）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，−12＜x＜13．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【题型2 根据抛物线特征确定其他函数的图象】【例2】（2020•南宁一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2021秋•和平区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2020秋•庐阳区期末）如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【题型3 确定一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象】【例3】已知一次函数y=ba x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-2】（2021•越秀区模拟）已知a，b是非零实数，|b|＞|a|，在同一平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝ax2﹣bx与一次函数y2＝ax﹣b的大致图象不大可能的是（）A．B．C．D．【变式3-3】（2021•广西模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b 的图象可能是（）A．B．C．D．【题型4 利用二次函数的图象解决不等式问题】【例4】（2020春•番禺区校级月考）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．x＞﹣1或x＜3【变式4-1】（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3【变式4-2】（2021•南山区校级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞5B．﹣1＜x＜5C．﹣3＜x＜7D．x＜﹣3或x＞7【变式4-3】（2020•梧州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4【题型5 利用二次函数的图象解决一元二次方程问题】【例5】（2020秋•松山区期末）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解为（）A．x1＝3，x2＝﹣2B．x1＝3，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣3【变式5-1】（2020•海珠区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【变式5-2】（2020•南宁二模）如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n （m≠0）的图象交于A，B两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为（）A．x1＝x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝x2＝2【变式5-3】（2021•开福区模拟）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个【题型6 利用二次函数的图象特征判断结论正误】（2021•福田区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下【例6】列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式6-1】（2021•铁岭模拟）数学课上老师出了这样一道题：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为（）A．100分B．70分C．40分D．10分【变式6-2】（2021•槐荫区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝4．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】（2021•肇源县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题型7 由几何动点问题确定函数图象】【例7】（2021•聊城）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB 向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【变式7-1】（2021•杭州模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B →C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【变式7-2】（2021•包河区二模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2√2，正方形EFGH中，EF＝2，AB和EF在同一直线上，将△ABC向右平移，则△ABC和正方形EFGH 重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【变式7-3】（2021•瑶海区二模）如图，直线a、b都与直线l垂直，垂足分别为E、F，EF ＝1，正方形ABCD的边长为√2，对角线AC在直线l上，且点C位于点E处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点F重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD 位于直线a、b之间部分（阴影部分）的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【题型8 由动点问题的函数图象获取信息】【例8】（2021春•西城区期末）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（）A．24√5B．16√5C．12√5D．36【变式8-1】（2021•花都区三模）如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E 是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（）A．7√3B．6√3+3C．8√3D．3√3+6【变式8-2】（2021春•郑州期末）如图①，E为长方形ABCD的边AD上一点，点P从点B 出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则a的值是（）A．32cm2B．34cm2C．36cm2D．38cm2【变式8-3】（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B 运动到点C，设B，P两点间的距离为x，P A﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7专题7 与二次函数图象有关的八种考法-重难点题型【题型1 根据条件确定二次函数的图象】【例1】（2020•镇平县一模）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．【解题思路】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x 和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答过程】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．【变式1-1】（2020秋•北仑区期中）若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据a＞0，判断抛物线开口向上，对称轴为直线x=−22a=−1a＜0，由抛物线解析式可知与y轴的交点为（0，﹣1），据此作出判断即可．【解答过程】解：∵a＞0∴抛物线开口向上，∵对称轴直线x=−22a=−1a＜0，∴对称轴在y轴的左侧，由y＝ax2+2x﹣1可知，抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），故选：D．【变式1-2】（2020秋•大连期中）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【解题思路】根据函数y＝ax2+ax+a（a≠0），对a的正负进行分类讨论，排除有错误的选项，即可得出正确选项．【解答过程】解：在函数y＝ax2+ax+a（a≠0）中，当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；故选：C．【变式1-3】（2020•浙江校级模拟）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，−12＜x＜13．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【解题思路】当y＞0时，−12＜x＜13，所以可判断a＜0，可知−ba=−12+13=−16，ca=−12×13=−16，所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1进而得出解析式，找出符合要求的答案．【解答过程】解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，−12＜x＜13所以可判断a＜0，可知−ba=−12+13=−16，ca=−12×13=−16所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6即y＝（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选：A．【题型2 根据抛物线特征确定其他函数的图象】【例2】（2020•南宁一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据函数图象与y轴的交点，可得m＞0，根据二次函数图象当x＝a时，y ＜0，可得a＞0，a﹣1＜0，根据一次函数的性质，可得答案．【解答过程】解：把x＝a代入函数y＝x2﹣x+m，得y＝a2﹣a+m＝a（a﹣1）+m，∵x＝a时，y＜0，即a（a﹣1）+m＜0．由图象交y轴的正半轴于点C，得m＞0，即a（a﹣1）＜0．x＝a时，y＜0，∴a＞0，a﹣1＜0，∴一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象过一二四象限，故选：A．【变式2-1】（2021秋•和平区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a、b、c的正负，从而可以得到一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c的图象，本题得以解决．【解答过程】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可得，a＞0，b＜0，c＞0，∴一次函数y＝ax的图象经过第一、三象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，故选：A．【变式2-2】（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax﹣+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答过程】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选：D．【变式2-3】（2020秋•庐阳区期末）如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象交点位置，即可判断函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴在交点的位置．【解答过程】解：∵一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象的交点在第二象限，∴两个交点的横坐标都是负数，∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的交点的横坐标都为负数，∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的负半轴有两个交点，故选：D．【题型3 确定一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象】【例3】已知一次函数y=ba x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据一次函数图象经过的象限，即可得出ba＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答过程】解：观察函数图象可知：ba＜0、c＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选：A．【变式3-1】（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．【解答过程】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x=−b2a，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（−b2a，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意；D 、由抛物线可知，对称轴为直线x =−b 2a ，直线经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意； 故选：A ．【变式3-2】（2021•越秀区模拟）已知a ，b 是非零实数，|b |＞|a |，在同一平面直角坐标系xOy 中，二次函数y 1＝ax 2﹣bx 与一次函数y 2＝ax ﹣b 的大致图象不大可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣bx 与一次函数y ＝ax ﹣b （a ≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的正负情况，从而可以解答本题．【解答过程】解：{y =ax 2−bx y =ax −b 解得{x =b a y =0或{x =1y =a −b ．故二次函数y ＝ax 2﹣bx 与一次函数y ＝ax ﹣b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（ba ，0）或点（1，a ﹣b ）．在A 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，ba＜0，a﹣b ＞0，故选项A 有可能；在B 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，ba ＞0，由|b |＞|a |，a ﹣b ＜0，故选项B 不可能；在C 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，ba ＞0，由|b |＞|a |，a ﹣b ＞0，故选项C 有可能；在D 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＜0，b ＞0，ba ＜0，a﹣b ＜0，故选项D 有可能；故选：B．【变式3-3】（2021•广西模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b 的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据y＝﹣ax+b的图象判断a、b与0的大小关系，进一步确定函数y＝ax2+bx+2b的图象即可作出判断．【解答过程】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b的图象开口向上，对称轴x＜0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+bx+2b＝﹣ax+b整理得ax2+（a+b）x+b＝0，由于△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，则两图象有交点，故A错误；B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故B错误；C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则﹣a＞0，即a＜0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向下，对称轴x＞0，故C错误；D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故D正确；故选：D．【题型4 利用二次函数的图象解决不等式问题】【例4】（2020春•番禺区校级月考）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．x＞﹣1或x＜3【解题思路】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．故选：C．【变式4-1】（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3【解题思路】y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解．【解答过程】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，如图所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2），∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故选：D．【变式4-2】（2021•南山区校级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞5B．﹣1＜x＜5C．﹣3＜x＜7D．x＜﹣3或x＞7【解题思路】由对称轴公式得直线x=−b2a=2，可得b＝﹣4a，与x轴右交点为(5,0)，代入抛物线得c＝﹣5a，把b＝﹣4a，c＝﹣5a，代入抛物线得ax2﹣4ax﹣5a＞16a，运用不等式的性质可得结果．【解答过程】解：∵y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，∴−b2a=2，b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax+c，∵与x轴右交点为(5,0)，∴25a﹣20a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，ax2﹣4ax﹣21a＞0，∵a＜0，∴x2﹣4x﹣21＜0（两边同除以a，不等号方向改变），∵y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，开口向上，当x2﹣4x﹣21＝0时，（x﹣7)(x+3)＝0（结合图象，可得﹣3＜x＜7），∴x1＝7，x2＝﹣3，∴﹣3＜x＜7，故选：C．【变式4-3】（2020•梧州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4【解题思路】联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，进而求解．【解答过程】解：联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示抛物线的值大于直线的值，此时，x＜2或x＞4，故选：D．【题型5 利用二次函数的图象解决一元二次方程问题】【例5】（2020秋•松山区期末）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解为（）A．x1＝3，x2＝﹣2B．x1＝3，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣3【解题思路】由题意可知交点（3，0）中的横坐标3是方程﹣x2+2x+k＝0的一个根，所以把x1＝3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴横坐标3是方程﹣x2+2x+k＝0的一个根，∴把x1＝3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0得，﹣9+6+k＝0，解得k＝3，∴原方程可化为：﹣x2+2x+3＝0，∴x1+x2＝3+x2＝2，解得x2＝﹣1．故选：B．【变式5-1】（2020•海珠区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解题思路】根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案．【解答过程】解：∵ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx＝2﹣m有两个不相等的实数根，令y1＝ax2+bx，y2＝2﹣m（表示与x轴平行的直线），∴y1与y2有两个交点，∴2﹣m＜2，∴m＞0∵m是整数，∴m＝1，故选：C．【变式5-2】（2020•南宁二模）如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n （m≠0）的图象交于A，B两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为（）A．x1＝x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝x2＝2【解题思路】结合函数图象得到两函数图象的交点的横坐标，则当x＝﹣1或x＝2时，两函数的函数值相等，从而得到一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解．【解答过程】解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n（m≠0）的图象的交点A、B的横坐标分别为﹣1，2，∴当x＝﹣1或x＝2时，ax2+bx+c＝mx+n，∴一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为x1＝﹣1，x2＝2．故选：C．【变式5-3】（2021•开福区模拟）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，且x 1≠x 2；则x 1+x 2＝1．则命题正确的个数为（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【解题思路】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断．【解答过程】解：①∵对称轴为直线x =−b2a =1， 则：2a +b ＝0正确；②∵对称轴是直线x ＝1，与x 轴的一个交点是B （4，0），则与x 轴的另一个交点是（﹣2，0）， 故②正确；③将抛物线y 1=ax 2+bx +c 向下平移3个单位，得到y ＝ax 2+bx +c ﹣3， ∴顶点坐标变为（1，0），∴此时抛物线与x 轴只有一个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根正确； ④当1＜x ＜4时，有图象可知y 2＜y 1正确； ⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2， 则ax 12+bx 1+c ＝ax 22+bx 2+c ， 即y 1＝y 2，∴x 1、x 2关于函数的对称轴对称， 由①知函数对称轴为直线x =−b2a =1， 故12（x 1+x 2）＝1，∴⑤不正确， 故选：B ．【题型6 利用二次函数的图象特征判断结论正误】【例6】（2021•福田区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解题思路】该函数开口方向向上，则a＞0，由对称轴可知，b＝﹣2a＜0，与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，再根据一些特殊点，比如x＝1，x＝﹣1，顶点等进行判断即可．【解答过程】解：∵函数开口方向向上，a＞0，∵对称轴为x＝1，则−b2a=1，∴b＝﹣2a＜0，∵与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①错；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即a+c＞b，故②正确；对称轴为x＝1，则−b2a=1，即b＝﹣2a，由上知，a﹣b+c＞0，则a+2a+c＞0，即3a+c＞0，∴4a+c＞a＞0，故③正确；由图象可得，当x＝1时，函数取得最小值，∴对任意m为实数，有am2+bm+c≥a+b+c，∴am2+bm≥a+b，即a+b≤m（am+b），故④正确．综上，正确的个数有三个．故选：B．【变式6-1】（2021•铁岭模拟）数学课上老师出了这样一道题：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为（）A．100分B．70分C．40分D．10分【解题思路】由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；由x＝﹣1时y＞0可判断③，由x＝﹣2时函数取得最大值可判断④；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．【解答过程】解：∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−2，∴4a﹣b＝0，所以②正确；∵由②知，x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，所以③正确；由函数图象知当x＝﹣2时，函数取得最大值，∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④正确；∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2，∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，∴y1＞y3＞y2，故⑤正确；∵写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分，∴小涛得到了70分，故选：B．【变式6-2】（2021•槐荫区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝4．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=−b2a=2可对②进行判断；由顶点M的坐标为（2，0）得到a+b+c＝4，即4a+b+c＝0，然后把4a＝﹣b代入得到b＝﹣c，再由判别式△＞0，则可对③进行判断；由a x12+bx1＝a x22+bx2得出x1，x2关于对称轴x ＝2对称，则可对④进行判断．【解答过程】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＞0，所以①不正确；②∵顶点M（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x =−b 2a=2， ∴4a +b ＝0，所以②不正确； ③∵抛物线的顶点M 的坐标为（2，0），∴4a +2b +c ＝0，又∵4a +b ＝0，∴b +c ＝0，即b ＝﹣c ，4a ＝c ，∵关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣t ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4a （c ﹣t ）＞0，即c 2﹣c （c ﹣t ）＞0，得ct ＞0，∵c ＞0，∴t ＞0，所以③正确；④∵ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，则a x 12+bx 1+c ＝a x 22+bx 2+c ，∵当x ＝x 1与x ＝x 2时，y 值相同，∴x 1，x 2关于对称轴x ＝2对称，则x 1+x 22=2，即x 1+x 2＝4，所以④正确．故选：B ．【变式6-3】（2021•肇源县模拟）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①abc ＞0；②4a +2b +c ＞0；③5a ﹣b +c ＝0；④若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1； ⑤若方程|ax 2+bx +c |＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解题思路】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答过程】解：∵抛物线的开口向上，则a ＞0，对称轴在y 轴的左侧，则b ＞0，交y 轴的负半轴，则c ＜0，∴abc ＜0，所以①结论错误；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a ），∴−b 2a =−2，4ac−b 24a=−9a ， ∴b ＝4a ，c ＝﹣5a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+4ax ﹣5a ，∴4a +2b +c ＝4a +8a ﹣5a ＝7a ＞0，所以②结论正确，5a ﹣b +c ＝5a ﹣4a ﹣5a ＝﹣4a ＜0，故③结论错误，∵抛物线y ＝ax 2+4ax ﹣5a 交x 轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1，正确，故结论④正确，若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，设方程ax 2+bx +c ＝1的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 22=−2，可得x 1+x 2＝﹣4，设方程ax 2+bx +c ＝﹣1的两根分别为x 3，x 4，则x 3+x 42=−2，可得x 3+x 4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误，故选：A ．【题型7 由几何动点问题确定函数图象】【例7】（2021•聊城）如图，四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB 与CD 之间的距离为4，AD ＝5，CD ＝3，∠ABC ＝45°，点P ，Q 同时由A 点出发，分别沿边AB ，折线ADCB 向终点B 方向移动，在移动过程中始终保持PQ ⊥AB ，已知点P 的移动速度为每秒1个单位长度，设点P 的移动时间为x 秒，△APQ 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．【解题思路】分点Q在线段AD上，点Q在线段CD上，点Q在线段BC上，三种情况讨论，由三角形面积公式可求解析式，即可求解．【解答过程】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，∴DE＝CF＝4，DE∥CF，∠CF A＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴DC＝EF＝3，∵AD＝5，DE＝4，∴AE=√AD2−DE2=√25−16=3，∵∠ABC＝45°，∴∠FCB＝∠ABC＝45°，∴CF＝BF＝4，∴AB＝AE+EF+BF＝10，AF＝AE+EF＝6，当点Q在线段AD上时，则0≤x≤3，y=12×x×43x=23x2，当点Q在线段CD上时，则3＜x≤6，y=12×x×4＝2x，当点Q在线段BC上，则6＜x≤10，如图，∵AP＝t，AB＝10，∴BP＝10﹣t，∵∠ABC＝45°，QP⊥AB，∴∠PBQ＝∠PQB＝45°，∴PQ＝PB＝10﹣x，∴y=12×x×（10﹣x）=−12x2+5x，故选：B．【变式7-1】（2021•杭州模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B →C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．【解答过程】解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如右图，∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，作QE⊥AB交AB于点E，则有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠EQB＝45°，∴BP＝5﹣x，QE=√22x，∴△BPQ的面积为：y=12BP•QE=12×(5−x)×√22x=−√24x2+5√24x（0＜x≤5），∴此时图象为抛物线开口方向向下；（2）点P在BC上运动时，5＜x≤5√2，如右图，∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，作QE⊥BC交BC于点E，则有AP+BP＝BQ＝x，∠EQB＝45°，∴BP＝x﹣5，QE=√22x，∴△BPQ的面积为：y=12BP•QE=12×（x﹣5）×√22x=√24x2−5√24x（5＜x≤5√2），∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；综上，只有选项B的图象符合，故选：B．【变式7-2】（2021•包河区二模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2√2，正方形EFGH中，EF＝2，AB和EF在同一直线上，将△ABC向右平移，则△ABC和正方形EFGH 重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】首先确定每段与x的函数关系类型，根据函数的性质确定选项．【解答过程】解：∵∠C＝90°，AC＝BC＝2√2，∴△ABC的底边AB边上的高为：AC•sin45°=2√2×√22=2．①当0＜x≤2时，y=12x2，故第一段函数图象为开口方向向上的抛物线，可排除选项A、D；②当2＜x≤4时，FB＝x﹣2，AE＝4﹣x，∴y=12×(2√2)2−12(x−2)2−12(4−x)2=−x2+6x﹣6，故第二段函数图象为开口方向向下的抛物线，可排除选项B；③当4＜x＜6时，y=12(6−x)2，故第二段函数图象为开口方向向上的抛物线，故选项C符合题意．故选：C．【变式7-3】（2021•瑶海区二模）如图，直线a、b都与直线l垂直，垂足分别为E、F，EF ＝1，正方形ABCD的边长为√2，对角线AC在直线l上，且点C位于点E处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点F重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD 位于直线a、b之间部分（阴影部分）的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解题思路】分0≤x＜≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．【解答过程】解：①当0≤x≤1时，如图1，设平移后的正方形交直线a于点G、H，则EC＝x，△GHC为等腰直角三角形，故GH＝2x，则y＝S△HGC=12×EC•GH=12•x•2x＝x2，为开口向上的抛物线；②当1＜x≤2时，如图2，。
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题( 附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题（附答案）1. 某网店经营一种品牌水果, 其进价为10元/千克, 保鲜期为25天, 每天销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x的函数关系式；(2)当该品牌水果定价为多少元时, 每天销售所获得的利润最大？(3)若该网店一次性购进该品牌水果3000千克, 根据(2)中每天获得最大利润的方式进行销售, 发现在保鲜期内不能及时销售完毕, 于是决定在保鲜期的最后5天一次性降价销售, 求最后5天每千克至少降价多少元才能全部售完？2. 特产店销售一种水果, 其进价每千克40元, 按60元出售, 平均每天可售100千克, 后来经过市场调查发现, 单价每降低2元, 则平均每天可增加20千克销量.（1）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元, 每千克水果应降多少元？（2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利最大, 每千克水果应降多少元？3．某文具店购进A, B两种钢笔, 若购进A种钢笔2支, B种钢笔3支, 共需90元；购进A种钢笔3支, B种钢笔5支, 共需145元．（1）求该文具店购进A.B两种钢笔每支各多少元？（2）经统计, B种钢笔售价为30元时, 每月可卖64支；每涨价3元, 每月将少卖12支, 求该文具店B种钢笔销售单价定为多少元时, 每月获利最大？最大利润是多少元？4．某公司可投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本）, 成功研发出一种产品, 公司按订单生产（产量＝销售量）, 第一年该产品正式投产后, 生产成本为8元/件, 此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝﹣x+28．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元, 那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年, 该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发, 使产品的生产成本降为6元/件, 为保持市场占有率, 公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价, 另外受产能限制, 销售量无法超过14万件, 请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.5．某实验器材专营店为迎接我市理化生实验的到来, 购进一批电学实验盒子, 一台电学实验盒的成本是30元, 当售价定为每盒50元时, 每天可以卖出20盒．但由于电学实验盒是特殊时期的销售产品, 专营店准备对它进行降价销售．根据以往经验, 售价每降低3元, 销量增加6盒．设售价降低了x（元）, 每天销量为y（盒）．（1）求y与x之间的函数表达式；日销售利润w875 1875 1875 875（元）（注: 日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价x为多少元时, 日销售利润w最大？最大利润是多少元？（3）当销售单价x为多少元时, 日销售利润w在1500元以上？（请直接写出x的范围）7. 某公司销售一批产品, 进价每件50元, 经市场调研, 发现售价为60元时, 可销售800件, 售价每提高1元, 销售量将减少25件.公司规定:售价不超过70元.(1)若公司在这次销售中要获得利润10800元, 问这批产品的售价每件应提高多少元?(2)若公司要在这次销售中获得利润最大, 问这批产品售价每件应定为多少元?8．某公司开发了一种新型的家电产品, 又适逢“家电下乡”的优惠政策．现投资万元用于该产品的广告促销, 已知该产品的本地销售量（万台）与本地的广告费用（万元）之间的函数关系满足．该产品的外地销售量（万台）与外地广告费用（万元）之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段来表示．其中点为抛物线的顶点.结合图象, 求出（万台）与外地广告费用（万元）之间的函数关系式；()2求该产品的销售总量y（万台）与本地广告费用x（万元）之间的函数关系式；如何安排广告费用才能使销售总量最大？9．某电子厂生产一种新型电子产品, 每件制造成本为20元, 试销过程中发现, 每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时, 厂商每月获得的利润为400万元？（3）根据相关部门规定, 这种电子产品的销售单价不能高于40元, 如果厂商每月的制造成本不超过520万元, 那么当销售单价为多少元时, 厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？10．某灯具厂生产并销售A, B两种型号的智能台灯共100盏, 生产并销售一盏A型智能台灯可以获利30元；如果生产并销售不超过20盏B型台灯, 则每盏B型台灯可以获利90元, 如果超出20盏B型台灯, 则每超出1盏, 每盏B型台灯获利将均减少2元．设生产并销售B型台灯x盏．（其中x＞20）（2）当A型台灯所获得的利润比B型台灯所获得利润少200元时, 求生产并销售A, B 两种台灯各多少盏？（3）如何设计生产销售方案可以获得最大利润, 最大的利润为多少元？11．某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件, 每件盈利40元, 为了扩大销售量, 增加盈利, 尽快减少库存, 商场决定采取适当的降价促销措施, 经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元, 那么平均每天就可多售出2件．（1）求出商场盈利与每件衬衫降价之间的函数关系式；（1）请直接写出a的值为；（2）从第21天到第40天中, 求q与x满足的关系式；（3）若该网店第x天获得的利润y元, 并且已知这40天里前20天中y与x的函数关系式为y＝﹣x2+15x+500i请直接写出这40天中p与x的关系式为: ；ii求这40天里该网店第几天获得的利润最大？13. 某工厂生产甲、乙两种产品, 已知生产1吨产品甲需要2吨原材料A；生产1吨产品乙需要3吨原材料A. 根据市场调研, 产品甲、乙所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间分别满足函数关系：产品甲：y＝ax2+bx且x＝2时, y＝2.6；x＝3时, y＝3.6产品乙: y＝0.3x（1）求产品甲所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间满足的函数关系；（2）若现原材料A共有20吨, 请设计方案, 应怎样分配给甲、乙两种产品组织生产, 才能使得最终两种产品的所获利润最大.14. 某商场销售一批衬衫, 平均每天可售出20件, 每件盈利40元. 为了扩大销售, 增加盈利, 商场采取了降价措施. 假设在一定范围内, 衬衫的单价每降1元, 商场平均每天可多售出2件, 设衬衫的单价降x元, 每天获利y元.（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件, 那么衬衫的单价应降多少元, 才能使得这批衬衫一天内售完, 且获利最大, 最大利润是多少？种成本为25元/件的新型商品．在40天内, 其销售单价n（元/件）与时间x（天）的关系式是：当1≤x≤20时, ；当21≤x≤40时, .这40天中的日销售量m（件）与时间x（天）符合函数关系, 具体情况记录如下表（天数为整数）:时间x（天）日销售量m(件）45 40 35 30 25 …（1）请求出日销售量m（件）与时间x（天）之间的函数关系式；（2）若设该同学微店日销售利润为w元, 试写出日销售利润w（元）与时间x（天）的函数关系式；16．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球, 规定试销期间单价不低于成本价, 且获利不得高于40%．经试销发现, 销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元, 试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时, 该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元, 请确定销售单价x的取值范围．销售单价q（元/件）与x满足: 当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+ . （1）请分析表格中销售量p与x的关系, 求出销售量p与x的函数关系．（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式.（1）请你根据表中的数据, 用所学知识确定与之间的函数表达式；（2）该商店应该如何确定这批文具盒的销售价格, 才能使日销售利润最大？（3）根据（2）中获得最大利润的方式进行销售, 判断一个月能否销售完这批文具盒, 并说明理由.20. 某工厂加工一种商品, 每天加工件数不超过100件时, 每件成本80元, 每天加工超过100件时, 每多加工5件, 成本下降2元, 但每件成本不得低于70元.设工厂每天加工商品x（件）, 每件商品成本为y（元）,（1）求出每件成本y（元）与每天加工数量x（件）之间的函数关系式, 并注明自变量的取值范围；（2）若每件商品的利润定为成本的20%, 求每天加工多少件商品时利润最大, 最大利润是多少？21．家用电器开发公司研制出一种新型电子产品, 每件的生产成本为18元, 按定价40元出售, 每月可销售20万件, 为了增加销量, 公司决定采取降价的办法, 经过市场调研, 每降价1元, 月销售量可增加2万件．（1）求出月销售利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式.（2）为了获得最大销售利润, 每件产品的售价定为多少元？此时最大月销售利润是多少？（3）请你通过（1）中函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围, 使月销售利润不低于480万元.22．城隍庙是宁波市的老牌商业中心, 城隍庙商业步行街某商场购进一批品牌女装, 购进时的单价是600元, 根据市场调查, 在一段时间内, 销售单价是800元时, 销售量是200件, 销售单价每降低10元, 就可多售出20件．(1)求出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求出销售该品牌女装获得的利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：x（10万元）y 1 1.5 1.8 …（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费, 试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10~30万元, 问广告费在什么范围内, 公司获得的年利润随广告费的增大而增大？24．绿色生态农场生产并销售某种有机产品, 每日最多生产130kg, 假设生产出的产品能全部售出, 每千克的销售价y1（元）与产量x（kg）之间满足一次函数关系y1＝﹣x+168, 生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数图象如图中折线ABC所示．（1）求生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）求日利润为W（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少kg时, 这种产品获得的日利润最大？最大日利润为多少元？25．新鑫公司投资3000万元购进一条生产线生产某产品, 该产品的成本为每件40元, 市场调查统计：年销售量y（万件）与销售价格x（元）（40≤x≤80, 且x为整数）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定售价才能使每年产品销售的利润W（万元）最大？（3）新鑫公司计划五年收回投资, 如何确定售价（假定每年收回投资一样多）？26. 某商品的进价是每件40元, 原售价每件60元. 进行不同程度的涨60 61 62 63 …价后, 统计了商品调价当天的售价和利润情况, 以下是部分数据:售价（元/件）利润（元）6000 6090 6160 6210 …（1）当售价为每件60元时, 当天售出件；（2）若对该商品原售价每件涨价x元（x为正整数）时当天售出该商品的利润为y元.①用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式：.②如何定价才能使当天的销售利润不等于6200元？27．服装厂批发某种服装, 每件成本为65元, 规定不低于10件可以批发, 其批发价y （元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．（1）求y与x之间所满足的函数关系式, 并写出x的取值范围；（1）由题意知商品的最低销售单价是元, 当销售单价不低于最低销售单价时, y是x的一次函数. 求出y与x的函数关系式及x的取值范围；（2）在（1）的条件下, 当销售单价为多少元时, 所获销售利润最大, 最大利润是多少元？29. 某店只销售某种进价为40元/kg的产品, 已知该店按60元kg出售时, 每天可售出100kg, 后来经过市场调查发现, 单价每降低1元, 则每天的销售量可增加10kg.（1）若单价降低2元, 则每天的销售量是_____千克, 每天的利润为_____元；若单价降低x元, 则每天的销售量是_____千克, 每天的利润为______元；（用含x的代数式表示）（2）若该店销售这种产品计划每天获利2240元, 单价应降价多少元？（3）当单价降低多少元时, 该店每天的利润最大, 最大利润是多少元？30. 某文具店出售一种文具, 每个进价为2元, 根据长期的销售情况发现：这种文具每个售价为3元时, 每天能卖出500个, 如果售价每上涨0.1元, 其销售量将减少10个. 物价局规定售价不能超过进价的240%.（1）如果这种文具要实现每天800元的销售利润, 每个文具的售价应是多少？（2）该如何定价, 才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？31．某制衣企业直销部直销某类服装,价格（元)与服装数量(件)之间的关系如图所示,现有甲乙两个服装店,计划在"五一”前到该直销部购买此类服装, 两服装店所需服装总数为件,乙服装店所需数量不超过件,设甲服装店购买件,如果甲、乙两服装店分别到该直销部购买服装,两服装店需付款总和为元.(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.(2)若甲服装店购买不超过100件,请说明甲、乙两服装店联合购买比分别购买最多可节约多少钱32. 某企业接到生产一批手工艺品订单, 须连续工作15天完成. 产品不能叠压, 需专门存放, 第x天每件产品成本p（元）与时间x（天）之间的关系为p＝0.5x+7（1≤x≤5, x 为整数）. 约定交付产品时每件20元. 李师傅作了记录, 发现每天生产的件数y（件）与时间X（天）满足关系:（1）写出李师傅第x天创造的利润W（不累计）与x之间的函数关系式．（只要结果, 并注明自变量的取值范围．）（2）李师傅第几天创造的利润最大？是多少元？（3）这次订单每名员工平均每天创造利润299元. 企业奖励办法是: 员工某天创造利润超过平均值, 当天计算奖金30元. 李师傅这次获得奖金共多少元？33. 某手机专营店, 第一期进了品牌手机与老年机各50部, 售后统计, 品牌手机的平均利润是160元/部, 老年机的平均利润是20元/部, 调研发现：①品牌手机每增加1部, 品牌手机的平均利润减少2元/部；②老年机的平均利润始终不变.该店计划第二期进货品牌手机与老年机共100部, 设品牌手机比第一期增加x部. （1）第二期品牌手机售完后的利润为8400元, 那么品牌手机比第一期要增加多少部？（2）当x取何值时, 第二期进的品牌手机与老年机售完后获得的总利润W最大, 最大总利润是多少？34．某公司经销一种水产品, 在一段时间内, 该水产品的销售量W（千克）随销售单价x（元/千克）的变化情况如图所示．（1）求W与x的关系式；（2）若该水产品每千克的成本为50元, 则当销售单价定为多少元时, 可获得最大利润？（3）若物价部门规定这种水产品的销售单价不得高于90元/千克, 且公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润, 则销售单价应定为多少元？35. 某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示, 成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段, 图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低, 此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜, 每千克的收益最大？简单说明理由.（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元, 且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克, 求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？36. 某商品的进价为每件20元, 市场调查反映, 若按每件30元销售, 每天可销售100件；若销售单价每上涨1元, 每天的销售就减少5件.(1)设每天该商品的销售利润为y元, 销售单价为x元(x≥30), 求y与x的函数解析式；(2)求销售单价为多少元时, 该商品每天的销售利润最大, 最大利润是多少？37. 数学兴趣小组几名同学到商场调查发现, 一种纯牛奶进价为每箱40元, 厂家要求售价在40～70元之间, 若以每箱70元销售平均每天销售30箱, 价格每降低1元平均每天可多销售3箱.（1）求出y 与x 之间的函数表达式（2）该新型“吸水拖把”每月的总利润为w （元）, 求w 关于x 的函数表达式, 并指出销售单价为多少元时利润最大, 最大利润是多少元？（3）由于该新型“吸水拖把”市场需求量较大, 厂家又进行了改装, 此时超市老板发现进价提高了m 元, 当每月销售量与销售单价仍满足上述一次函数关系, 随着销量的增大, 最大利润能减少1750元, 求m 的值.39．某花店用3600元按批发价购买了一批花卉.若将批发价降低10%, 则可以多购买该花卉20盆.市场调查反映, 该花卉每盆售价25元时, 每天可卖出25盆.若调整价格, 每盆花卉每涨价1元, 每天要少卖出1盆. （1）该花卉每盆批发价是多少元？（2）若每天所得的销售利润为200元时, 且销量尽可能大, 该花卉每盆售价是多少元？ （3）为了让利给顾客, 该花店决定每盆花卉涨价不超过5元, 问该花卉一天最大的销售利润是多少元？40. 某商店经营一种小商品, 进价为3元, 据市场调查, 销售单价是13元时平均每天销售量是400件, 而销售价每降低一元, 平均每天就可以多售出100件.(Ⅰ)假定每件商品降低x 元, 商店每天销售这种小商品的利润y 元, 请写出y 与x 之间的函数关系. (注：销售利润=销售收入-购进成本)(Ⅱ)当每件小商品降低多少元时, 该商店每天能获利4800元？40元, 根据市场调查：在一段时间内, 销售单价是50元时, 销售量是600件,而销售单价每涨2元, 就会少售出20件玩具.（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞50）, 请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润ω元, 并把结果填写在表格中：销售单价（元）销售量y（件）①销售玩具获得利润ω（元）②（2）在（1）问条件下, 若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于54元, 且商场要完成不少于400件的销售任务, 求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？42．如图，某工厂与两地有铁路相连，该工厂从地购买原材料，制成产品销往地.已知每吨进价为600元（含加工费），加工过程中1吨原料可生产产品吨，当预计销售产品不超过120吨时，每吨售价1600元，超过120吨，每增加1吨，销售所有产品的价格降低2元.设该工厂有吨产品销往地.（利润＝售价—进价—运费）（1）用的代数式表示购买的原材料有吨.（2）从地购买原材料并加工制成产品销往地后，若总运费为9600元，求的值，并直接写出这批产品全部销售后的总利润.（3）现工厂销往地的产品至少120吨, 且每吨售价不得低于1440元, 记销完产品的总利润为元, 求关于的函数表达式, 及最大总利润.43. 水产经销商以10元/千克的价格收购了1000千克的鳊鱼围养在湖塘中（假设围养期每条鳊鱼的重量保持不变）, 据市场推测, 经过湖塘围养后的鳊鱼的市场价格每围养一天能上涨1元/千克, 在围养过程中（最多围养20天）, 平均每围养一天有10千克的鳊鱼会缺氧浮水。
二次函数经典题型(含答案)
二次函数经典题型（启东教育）1.看图，解答下列问题．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象．2.已知函数y =x 2+bx -1的图象经过点（3，2） （1） 求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x >0时，求使y ≥2的x 的取值范围．3.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2．（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝5，试求m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值．4.如图，已知点A （tan α，0），B （tan β，0）在x 轴正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β 是以线段AB 为 斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角．（1）若二次函数y ＝－x 2－25kx ＋（2＋2k －k 2）的图象经过A 、B 两点，求它的解析式；（2）点C 在（1）中求出的二次函数的图象上吗请说明理由．5.已知抛物线2y x kx b =++经过点(23)(10)P Q --，，，． （1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线顶点为N ，与y 轴交点为A ．求sin AON ∠的值．（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M ，求四边形OANM 的面积．6.已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A ，B ，C 三点，当x≥0时，其图象如图所示．(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；(2)画出抛物线y=ax 2+bx+c 当x<0时的图象；(3)利用抛物线y=ax 2+bx+c,写出x 为何值时，y>0．7.已知抛物线c bx ax y ++=2与y轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 y=-x+2 并且线段CM 的长为22（1） 求抛物线的解析式。
初中数学《二次函数》十大题型汇编含解析
二次函数【十大题型】【题型1 辨别二次函数】 (1)【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 (3)【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】 (4)【题型4 二次函数的一般形式】 (6)【题型5 求二次函数的值】 (7)【题型6 判断函数关系】 (9)【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】 (11)【题型8 列二次函数关系式(增长率)】 (14)【题型9 列二次函数关系式(循环)】 (15)【题型10 列二次函数关系式(销售)】 (16)知识点1：二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．【题型1 辨别二次函数】【例1】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，yy一定是xx的二次函数的是（）A．yy=2aaxx2B．yy=2xx+aa2C．yy=2xx2−1D．yy=xx2+1xx【答案】C【分析】本题考查二次函数的识别，形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．【详解】解：A，当aa=0时，yy=2aaxx2=0，不是二次函数，不合题意；B，yy=2xx+aa2，yy是xx的一次函数，不合题意；C，yy=2xx2−1，yy一定是xx的二次函数，符合题意；D，yy=xx2+1xx中含有分式，不是二次函数，不合题意；故选C．【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（）A．yy=2xx−1B．yy=√xx2−1C．yy=xx2−1D．yy=12xx【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如yy=aaxx2+bbxx+cc （aa、b、c为常数，aa≠0）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A、函数yy=2xx−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B、函数yy=√xx2−1根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、函数yy=xx2−1是二次函数，故本选项符合题意；D、函数yy=12xx分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意．故选：C．【变式1-2】（23-24九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（）（1）yy=3(xx−1)2+1；（2）yy=1xx2−xx；（3）SS=3−2tt2；（4）yy=xx4+2xx2−1；（5）yy=3xx(2−xx)+3xx2；（6）yy=mmxx2+8．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa,bb,cc为常数，aa≠0)的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成yy=aaxx2+bbxx+cc(aa,bb,cc为常数，aa≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．【详解】解：（1）yy=3(xx−1)2+1是二次函数，故符合题意；（2）yy=1xx2−xx，不是二次函数，故不符合题意；（3）SS=3−2tt2是二次函数，故符合题意；（4）yy=xx4+2xx2−1不是二次函数，故不符合题意；（5）yy=3xx(2−xx)+3xx2=6xx不是二次函数，故不符合题意；（6）yy=mmxx2+8，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；综上所述，二次函数有2个．故选：B．【变式1-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①yy=5xx−5；②yy=3xx2−1；③yy=4xx3−3xx2；④yy=2xx2−2xx+1；⑤yy=1xx2．其中是二次函数的是．【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①yy=5xx−5为一次函数；②yy=3xx2−1为二次函数；③yy=4xx3−3xx3自变量次数为3，不是二次函数；④yy=2xx2−2xx+1为二次函数；⑤yy=1xx2函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．【题型2 由二次函数的定义求字母的值】【例2】（23-24九年级下·广东东莞·期中）已知函数yy=(mm−1)xx mm2+1是二次函数，则mm=．【答案】−1【分析】根据定义得：形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa、bb、cc是常数，且aa≠0)的函数是二次函数，列方程可求得答案．【详解】解：依题意得：mm2+1=2且mm−1≠0，解得mm=−1．故答案为：−1．【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc中，aa是常数，本题关键点为aa≠0．【变式2-1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果yy=2xx|mm|+3xx−1是关于xx的二次函数，则mm=．【答案】±2【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接利用二次函数的定义得出答案．【详解】解：∵yy=2xx|mm|+3xx−1是关于x的二次函数，∴|mm|=2，解得：mm=±2．故答案为：±2．【变式2-2】（23-24九年级上·湖北·周测）如果函数yy=(kk−1)xx kk2−kk+2+kkxx−1是关于x的二次函数，则kk=．【答案】0【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到kk−1≠0且kk2−kk+2=2，然后解不等式和方程即可得到k的值．【详解】解：根据题意，得kk−1≠0且kk2−kk+2=2，解得kk=0．故答案为：0．【变式2-3】（23-24九年级下·广东广州·期末）如果yy=(kk−3)xx�kk－1�+xx−3是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是．【答案】敏敏【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得|kk−1|=2，kk−3≠0，即可求解；理解定义：“一般地，形如yy=aaxx2+bbxx+cc（a、b、c是常数，aa≠0）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键．【详解】解：∵yy=(kk−3)xx�kk－1�+xx−3是二次函数，∴|kk−1|=2，解得kk1=3，kk2=−1，又∵kk−3≠0，即kk≠3，∴kk=−1，故敏敏正确．【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】【例3】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数yy=(kk−1)xx2+kkxx−1（kk是常数）是二次函数，那么kk的取值范围是．【答案】kk≠1【分析】根据：“形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)，这样的函数叫做二次函数”，得到kk−1≠0，即可．【详解】解：由题意，得：kk−1≠0，∴kk≠1；故答案为：kk≠1．【变式3-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数yy=(mm2−mm)xx2+(mm−1)xx−2（m为常数）．(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．【答案】(1)mm=0；(2)mm≠1且mm≠0．【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题．【详解】（1）解：依题意mm2−mm=0且mm−1≠0，所以mm=0；（2）解：依题意mm2−mm≠0，所以mm≠1且mm≠0．【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．【变式3-2】（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于xx的二次函数yy=(aa2−1)xx2+xx−2，则aa的取值范围是（）A．aa≠1B．aa≠−1C．aa≠±1D．为任意实数【答案】C【分析】根据二次函数定义可得aa2−1≠0，解出答案即可．【详解】因为关于xx的二次函数yy=(aa2−1)xx2+xx−2，∴aa2−1≠0，解得：aa≠±1．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)概念，熟练掌握二次函数定义是解题关键．【变式3-3】（23-24九年级下·四川遂宁·期中）已知函数yy=(mm2-2)xx2+(mm+√2)xx+8．若这个函数是二次函数，求mm的取值范围【答案】mm≠√2且mm≠-√2【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式mm2-2≠0，解不等式即可求得．【详解】解：∵函数yy=(mm2-2)xx2+(mm+√2)xx+8是二次函数，∴mm2-2≠0，解得mm≠±√2，故答案为：mm≠√2且mm≠-√2．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．【题型4 二次函数的一般形式】【例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数yy=xx2−3xx+5的二次项是，一次项系数是，常数项是．【答案】xx2−3 5【分析】根据二次函数的定义判断即可。
专题22.2二次函数的图象【八大题型】-2024-2025学年九年级数学上册举一反[含答案]
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专题22.2 二次函数的图象【八大题型】【人教版】【题型1 二次函数的配方法】【题型2 五点绘图法作二次函数的图象】【题型3 二次函数图象上点的坐标特征】【题型4 二次函数图象的平移】【题型5 二次函数图象的对称变换】【题型6 二次函数图象的旋转变换】【题型7 二次函数的图象与各项系数之间的关系】【题型8 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】知识点1：一元二次方程的定义()20y ax bx c a =++¹2b c a x x a a æö=++ç÷èø①提取二次项系数；22222b b b c a x x a a a a éùæöæö=++-+êúç÷ç÷èøèøêúëû②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方；222424b ac b a x a a éù-æö=++êúç÷èøêúëû③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项；222424b ac b a x a a -æö=++ç÷èø ④化简：去掉中括号．二次函数的一般形式()20y ax bx c a =++¹配方成顶点式222424b ac b y a x a a -æö=++ç÷èø，由此得到二次函数对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa æö--ç÷èø，．【题型1 二次函数的配方法】【例1】（23-24九年级·山东德州·阶段练习）1．将二次函数245y x x =-+化为()2y x h k =-+的形式，则h = ，k = ．【变式1-1】（23-24九年级·广东江门·期中）2．已知二次函数241y x x =--，用配方法化为()2y a x h k =-+的形式是 ．【变式1-2】（23-24九年级·广西贺州·期末）3．把二次函数2283y x x =-+用配方法化成2()y a x h k =++的形式应为（ ）A ．22(2)5y x =-+B ．22(2)1y x =--C ．22(2)5y x =--D ．22(2)7y x =-+【变式1-3】（23-24九年级·河北承德·期末）4．学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式2y ax bx c =++（a ≠0）化成2()y a x h k =-+的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式如下：两位同学做法正确的是（ ）A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都不正确知识点2：五点绘图法作二次函数的图象利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2，h c 、与x 轴的交点()10，x ，()20，x （若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．【题型2 五点绘图法作二次函数的图象】【例2】（23-24九年级·四川自贡·阶段练习）5．已知二次函数()214y x =--．(1)作出函数的图象；(2)求此函数图象与x 轴的交点坐标；(3)根据图象直接写出当0y >时和当0y <时，x 的取值范围．【变式2-1】（23-24九年级·福建漳州·期中）6．已知二次函数2=23y x x --．(1)用配方法将解析式化为2()y a x h k =-+的形式；(2)二次函数2=23y x x --中的x 和y 满足下表：x (1)-0123…y…3-4-3-m…求m 的值；(3)在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象．【变式2-2】（23-24九年级·全国·假期作业）7．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①2y x =；②22y x =；③2y x =-；④22y x =-．从图象对比，说出解析式中二次项系数a 对抛物线的形状有什么影响？【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）8．已知二次函数245y x x =-+．(1)用配方法将二次函数的表达式化为2()y x h k =-+的形式，并写出顶点坐标；(2)在平面直角坐标系xOy 中画出这个二次函数的图象；(3)结合图象直接回答：当03x <<时，则y 的取值范围是____________．【题型3 二次函数图象上点的坐标特征】【例3】（23-24九年级·全国·课后作业）9．若二次函数()22y mx x m m =++-的图象经过原点，则m 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0或2D ．1或2【变式3-1】（23-24九年级·广东湛江·期中）10．已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为()0m ,，则代数式22023m m -+的值为．【变式3-2】（23-24九年级·湖北咸宁·期末）11．下列各点中，一定不在抛物线222y mx mx =-+上的是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3）【变式3-3】（23-24九年级·吉林长春·期中）12．已知点(,)M m n ，(4,)N m n -是二次函数y ax bx ++2＝2图像上的两个不同的点，则当4x =时，其函数值等于 ．知识点3：二次函数图象的平移方法一：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．任意抛物线y =a （x -h ）2＋k 可以由抛物线y =ax 2经过平移得到，具体平移方法如下：方法二：（1）2y ax bx c =++沿y 轴平移：向上（下）平移m 个单位，2y ax bx c =++变成2y ax bx c m =+++（或2y ax bx c m =++-）（2）2y ax bx c =++沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，2y ax bx c =++变成2()()y a x m b x m c =++++（或2()()y a x m b x m c =-+-+）【题型4 二次函数图象的平移】【例4】（23-24九年级·山东淄博·期中）13．已知二次函数2y x mx n =-++．(1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标；(2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为y 轴，求m 的值．【变式4-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）14．已知二次函数22y x =，若其图象抛物线不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是 ．【变式4-2】（23-24九年级·福建厦门·期中）15．抛物线21y x x =++经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）A ．2y x =B ．24y x =-C ．23y x x =+-D ．271y x x =++【变式4-3】（23-24九年级·浙江宁波·期中）16．如图，将函数()21212y x =-+的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点()1,A m ，()4,B n 平移后的对应点分别为点A ¢、B ¢．若曲线段AB 扫过的面积为9（国中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）A ．()21222y x =-+B ．()21272y x =-+C ．()21252y x =-+D ．()21242y x =-+【题型5 二次函数图象的对称变换】【例5】（23-24九年级·四川达州·阶段练习）17．在平面直角坐标系中，抛物线2(1)2y x =-++关于y 轴对称的抛物线的解析式为( )A ．y =−(x−1)2+2B ．2(1)2y x =-+-C ．y =(x +1)2−2D ．2(1)2y x =-+【变式5-1】（23-24九年级·安徽淮北·阶段练习）18．求抛物线221y x x =--关于直线1x =-对称的抛物线的函数表达式．【变式5-2】（23-24九年级·黑龙江绥化·期中）19．将函数()2125y x =+的图像沿x 轴翻折后得到的函数解析式是 ；将函数()2125y x =+的图像沿y 轴翻折后得到的函数解析式是 ．【变式5-3】（23-24·湖北武汉·一模）20．直线y =m 是平行于x 轴的直线，将抛物线y =－12x 2-4x 在直线y =m 上侧的部分沿直线y =m 翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数图像，若新的函数图像刚好与直线y =－x 有3个交点，则满足条件的m 的值为 【题型6 二次函数图象的旋转变换】【例6】（23-24·广东中山·一模）21．如图，一段抛物线28(08)y x x x =-+££记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A 两点；将1C 绕点1A 旋转180°得到2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180°得到3C ，交x 轴于点3A ，¼，如此下去，得到一条“波浪线”．若点(2023,)M m 在此“波浪线”上，则m 的值为（ ）A ．―8B ．8C ．―7D ．7【变式6-1】（23-24九年级·山东济南·期中）22．将二次函数()221y x =-+的图象绕点()2,1旋转180°得到的图象满足的解析式为（ ）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =--+D ．()221y x =-+-【变式6-2】（23-24九年级·河南新乡·阶段练习）23．抛物线2112y x x =-++经过平移、旋转或轴对称后，不可能得到的抛物线是（ ）A ．212y x x=-+B ．2112y x x =--C ．21202120222=-+-y x x D ．21y x x =-++【变式6-3】（23-24·陕西榆林·二模）24．二次函数()233y m x =+-（m 为常数且0m ¹）的图象与y 轴交于点A ．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，旋转后的图像与y 轴交于点B ，若12AB =，则m 的值为（ ）A ．1或13-B ．1或3-C ．3D ．13知识点4：二次函数图象与各项系数之间的关系1、a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2、b 的符号的判定：对称轴2bx a=-在y 轴左边则0ab >，在y 轴的右侧则0ab <，概括的说就是“左同右异”3、c 决定了抛物线与y 轴交点的位置字母的符号图象的特征a >0开口向上aa ＜0开口向下b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧bab ＜0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交cc ＜0与y 轴负半轴相交【题型7 二次函数的图象与各项系数之间的关系】【例7】（23-24九年级·福建福州·期末）25．如图，抛物线()20y ax bx c a =++¹过点()1,0A -，与y 轴的交点C 在(0,3)，(0,4)之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线1x =，有以下结论：①0abc >；②30a c +=；③抛物线顶点的纵坐标大于4小于163；其中正确结论的个数是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【变式7-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）26．已知二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象如图所示，则点(),A a b c +所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式7-2】（23-24九年级·广东汕尾·期中）27．如图所示的二次函数²y ax bx c =++图象中，有以下信息：0c >①；0abc <②；0a b c -+>③；24b ac >④；22a b =-⑤．其中正确的有（填序号）【变式7-3】（23-24九年级·云南昭通·期末）28．如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴是直线=1x -，且过点()3,0-，下列说法：①0bc <；②2b 0a -=；③若()()124,,2,y y --是抛物线上两点，则12y y <；④420a b c ++>；⑤3c 0a +=，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【题型8 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】【例8】（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）29．一次函数y ax b =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式8-1】（23-24九年级·福建福州·期末）30．如图，已知抛物线 2y ax bx =+，则直线y ax b =+不经过的象限是 ．【变式8-2】（23-24·四川德阳·二模）31．二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y x b =+的图象一定不经过 象限．【变式8-3】（23-24·四川德阳·三模）32．在同一直角坐标系中，一次函数y ax b =+与二次函数()20y ax b a =-¹的大致图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．1． 2 1【分析】利用配方法将函数解析式化成顶点式即可解答．【详解】解：∵()()22245444521y x x x x x =-+=-+-+=-+，∴2,1h k ==．故答案为①2，②1．【点睛】本题主要考查了将二次函数的解析式化成顶点式，掌握配方法是解题关键．2．()225y x =--【分析】本题考查了二次函数的解析式化为顶点式，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，注意加了多少就要减去多少．【详解】解：241y x x =--24441x x =-+--()225x =--，故答案为：()225y x =--．3．C【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．利用配方法把二次函数一般式化为顶点式．【详解】解：2283y x x =-+228883x x =-+-+22(44)5x x =-+-22(2)5x =--，故选：C ．4．C【分析】此题根据配方的步骤结合利用到的等式性质判断即可．【详解】解：两位同学做法都正确，甲同学利用配方的要求只对函数式右边的整式同时加或者减同一个数原式结果不变进行配方；乙同学对利用等式的性质对函数式两边同时进行加减配方，故都正确；故答案选：C ．【点睛】此题考查了配方法的实际配方过程，涉及到等式性质，难度一般．5．(1)见解析(2)()1,0-和()3,0；(3)当0y >时，自变量x 的取值范围是1x <-或3x >；当0y <时，自变量x 的取值范围是13x -<<．【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点坐标，画二次函数图象等知识．利用数形结合的思想是解题关键．（1）根据五点法画出图象即可；（2）令0y =，求出x 的值，即得出该二次函数图象与x 轴的交点坐标；（3）由当0y >时，自变量x 的取值范围，即求该二次函数图象在x 轴上方时x 的取值范围，再结合图象即可解答；由当0y <时，自变量x 的取值范围，即求该二次函数图象在x 轴下方时x 的取值范围，再结合图象即可解答．【详解】（1）解：二次函数()214y x =--，∴该二次函数图象的顶点坐标为()1,4-；令0y =，则()2140x --=，解得：1213x x =-=，，∴该二次函数图象与x 轴的交点坐标为()1,0-和()3,0；令0x =，则=3y -；令2x =，则=3y -；∴该二次函数还经过点()0,3-和()2,3-，∴在坐标系中画出图象如下：；（2）解：令0y =，则()2140x --=，解得：1213x x =-=，，∴该二次函数图象与x 轴的交点坐标为()1,0-和()3,0；（3）解：当0y >时，自变量x 的取值范围，即求该二次函数图象在x 轴上方时x 的取值范围，∵该二次函数图象与x 轴的交点坐标为()1,0-和()3,0，∴当1x <-或3x >时，二次函数图象在x 轴上方，∴当0y >时，自变量x 的取值范围是1x <-或3x >；当0y <时，自变量x 的取值范围，即求该二次函数图象在x 轴下方时x 的取值范围，∵该二次函数图象与x 轴的交点坐标为()1,0-和()3,0，∴当13x -<<时，二次函数图象在x 轴下方，∴当0y <时，自变量x 的取值范围是13x -<<．6．(1)()214y x =--；(2)0m =；(3)见解析【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．（1）通过配方法求解；（2）将3x =代入解析式求解；（3）根据（2）的表格描点、连线作图．【详解】（1）解：()222314y x x x =--=--；（2）解：当3x =时，()23140y =--=，∴0m =；（3）解：描点、连线，作图如下：7．作图见解析，a 的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；a 越大，开口越小【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是正确的作图．根据描点法，可得函数图象，观察图象即可得出二次项系数a 对抛物线的形状有什么影响．【详解】解：列表如下：x 2-1-0122y x =4101422y x =820282y x =-4-1-01-4-22y x =-8-2-02-8-描点：见表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出，连线：用平滑的线连接，如图所示：由图象可知：a 的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；a 越大，开口越小．8．(1)22()1y x =-+，顶点坐标为(2,1)(2)见解析(3)15y £<【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；（2）利用描点法画出二次函数图象；（3）利用二次函数的图象求解．【详解】（1）解：2245(2)1y x x x =-+=-+Q ，∴抛物线顶点坐标为(2,1)；（2）解：列表：xL 01235L y L 52125L根据描点法画二次函数图象如下：；（3）解：由图象可知：当03x <<时，15y £<．故答案是：15y £<．9．A【分析】本题中已知了二次函数经过原点(00)，，即()20m m -=，由此可求出m 的值，结合二次项系数m 不能为0，即可求解．【详解】解：Q 二次函数()22y mx x m m =++-的图象经过原点，()20m m \-=，0m \=或2m =，Q 二次项系数不能为0，所以2m =．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键．10．2024【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，代数式求值，首先把点(,0)m 代入抛物线的解析式，可得21m m -=，再把21m m -=代入22023m m -+，即可求得．【详解】解：把点(,0)m 代入抛物线的解析式，得21m m -=，22023120232024m m \-+=+=，故答案为：2024．11．C【分析】分别计算出x=1或x=2时的函数值，从而求得m 的值，然后根据二次函数的定义【详解】解：当x=1时，2=1y m =-+，此时解得m=1，∴点（1，1）可以在抛物线222y mx mx =-+上，故选项A 不符合题意；当x=2时，4422y m m =-+=，∴点（2，2）在抛物线222y mx mx =-+上，故选项B 不符合题意；当x=1时，2=2y m =-+，此时解得m=0，此时抛物线解析式不成立，∴点（1，2）一定不在抛物线222y mx mx =-+上，故选项C 符合题意；当x=1时，2=3y m =-+，此时解得m=-1，∴点（1，3）可以在抛物线222y mx mx =-+上，故选项D 不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式并且理解二次函数解析式中二次项系数不能为零是解题关键．12．2【分析】根据M 、N 横坐标不同纵坐标相同，可得关于对称轴的等式()b m m x a +-=-=422，当4x =时，正好等于()b m m a +-=-4，即对称轴的一半，则()b x m m a==+-=-44，将b x a =-代入二次函数可得函数值为2，即当4x =时函数值也为2．【详解】解：Q 当x m =和4x m =-时，y 的值相等，\ 二次函数对称轴()4222m m b x a +-=-==， 当4x =时，即()b x m m a=+-=-4，则()()b b y a b a a=-+-+=222，\当4x =时，二次函数的值为2．故答案为：2．【点睛】此题考查二次函数图像上点的坐标特征，根据两点纵坐标相等得二次函数的对称轴，用对称轴表示x 的值代入二次函数是解题的关键．13．(1)二次函数的对称轴为2m x =，顶点坐标为2,24m m n æö+ç÷èø【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数的性质；（1）通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而求解；（2）根据平移的性质得出新抛物线的解析式为221224m m y x n æö=---++-ç÷èø，然后由平移后的函数的对称轴为y 轴得到102m +=，最后求解即可．【详解】（1）解：配方：()22y x mx n x mx n=-++=--+222222224m m m m x mx n x n éùæöæöæö=--+-+=--++êúç÷ç÷ç÷èøèøèøêúëû，所以二次函数的对称轴为2m x =，顶点坐标为2,24m m n æö+ç÷èø；（2）由题意得：平移后的二次函数表达式为221224m m y x n æö=---++-ç÷èø，所以对称轴为12m x =+，因为平移后的二次函数对称轴是y 轴，所以102m +=，解得2m =-．14．()2222y x =+-【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据平移确定出新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标，然后根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，根据顶点坐标写出解析式即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化解答抛物线的变化，准确找出新坐标系中顶点的坐标是解题的关键．【详解】解：抛物线22y x =的顶点坐标为()00，，∵x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为()22--，，∴新坐标系下抛物线的解析式是()2222y x =+-．故答案为()2222y x =+-．15．D【分析】本题考查了二次函数图像的平移，熟练通过配方法，将一般式化成顶点式是解答本题的关键．由平移的性质可知：抛物线经过平移后，a 的值不变．将21y x x =++化成顶点式21324y x æö=++ç÷èø，再通过各选项比较，得到各自平移方法，最后分析出271y x x =++无法通过平移抛物线21y x x =++得到．【详解】解：A ．Q 2213124y x x x æö=++=++ç÷èø，\抛物线21y x x =++向右平移12，再向下平移34得到抛物线2y x =，故不符合题意；B ．Q 2213124y x x x æö=++=++ç÷èø， \抛物线21y x x =++向右平移12，再向下平移194得到抛物线24y x =-，故不符合题意；C ．Q 2213124y x x x æö=++=++ç÷èø，22113324y x x x æö=+-=+-ç÷èø，\抛物线21y x x =++向下平移164得到抛物线23y x x =+-，故不符合题意；D ．271y x x =++，由平移的性质，a 的值变为7，无法通过平移得到，故符合题意．故选D ．16．D【分析】曲线段AB 扫过的面积()39B A x x AA AA ¢¢=-´==，则3AA ¢=，然后根据平移规律即可求解．【详解】解：曲线段AB 扫过的面积()39B A x x AA AA ¢¢=-´==，则3AA ¢=，故抛物线向上平移3个单位，则()21242y x =-+故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA ¢是解题关键．17．A【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，利用原抛物线上的关于y 轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答．【详解】解：抛物线2(1)2y x =-++关于y 轴对称的抛物线的解析式为，y =−(x ―1)2+2即解析式为：y =−(x−1)2+2．故选：A ．18．267y x x =++【分析】先求出抛物线221y x x =--的顶点坐标，从而得到它关于直线1x =-的对称点为()3,2--，进而即可求解．【详解】解：配方得()212y x =--．其顶点为()1,2-，它关于直线1x =-的对称点为()3,2--，所以，所求抛物线的函数表达式为()232y x =+-即：267y x x =++．【点睛】本题主要考查二次函数图像的轴对称变换，求出二次函数的图像的顶点坐标，是解题的关键．19． ()2125y x =-+ ()2125y x =-【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，根据关于x 轴和y 轴对称的点的坐标特点进行解答即可．解题的关键是抓住关于x 轴对称的点的坐标特点，即关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数．【详解】解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴函数()2125y x =+的图象沿x 轴翻折后得到的图象的解析式为()2125y x =-+；∵关于y 轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，∴函数()2125y x =+的图象沿y 轴翻折后得到的图象的解析式为()2125y x =-．故答案为：()2125y x =-+，()2125y x =-．20．6或254【分析】根据题意直线y =-x 与抛物线y =－12x 2-4x 相交，交点坐标为（-6，6），m =6时满足条件，当翻折后的抛物线与直线y =-x 只有一个交点时，也满足条件，根据Δ=0，构建方程即可解决问题；【详解】解：根据题意∵y =-12x 2-4x =-12（x +4）2+8，∴顶点为（-4，8），∴在直线y =m 上侧的部分沿直线y =m 翻折，翻折后的部分的顶点为（-4，-8+2m ），∵直线y =-x 与抛物线y =-12x 2-4x 相交∴2142y x y x x =-ìïí=--ïî解得，1166x y =-ìí=î，2200x y =ìí=î ∴交点坐标为（-6，6），（0，0）∴m =6时，新的函数图象刚好与直线y =-x 有3个交点翻折后的抛物线的解析式为y =12（x +4）2-8+2m ，由题意：()214822y x m y x ì+-+ïíï-î＝＝，消去y 得到：x 2+10x +4m =0，由题意Δ=0时，满足条件，∴100-16m =0，∴m =254，综上所述，m =6或254．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据翻折的特征求得翻折后的部分的顶点坐标是解题的关键．21．D【分析】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．从图象看，可以把016x ££当成一个周期，则202316126¸=余7，即可求解．【详解】解：Q 一段抛物线1:(8)(08)C y x x x =--££，\图象1C 与x 轴交点坐标为：(0,0)，(8,0)，Q 将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，交x 轴于点2A ，\抛物线2:(8)(16)(816)C y x x x =--££，从图象看，可以把016x ££当成一个周期，则202316126¸=余7，当7x =时，287y x x =-+=，即7m =，故选：D ．22．C【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．求出原抛物线的顶点坐标以及绕点(2,1)旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：Q 抛物线()221y x =-+的顶点坐标为(2,1)，开口向上\绕点(2,1)旋转180°后的抛物线的顶点坐标为(2,1)，开户口向下，\所得到的图象的解析式为()221y x =--+，故选：C ．23．D【分析】本题考查了二次函数图象的性质，通过了解经过平移、旋转或轴对称后过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小，所以a 不变，选出答案即可．【详解】解：抛物线2112y x x =-++经平移后，不改变开口大小，所以a 不变，而D 选项中a =―1，不可能是经过平移、旋转或轴对称得到，故选：D ．24．A【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，中心对称的性质，先求解A 的坐标，再求解旋转后的解析式及B 的坐标，再利用12AB =，再建立方程求解即可．【详解】解：∵二次函数()233y m x =+-（m 为常数且0m ¹）的图象与y 轴交于点A ．∴当0x =时，93y m =-，∴()0,93A m -，∵二次函数()233y m x =+-的图象以原点为旋转中心旋转180°，∴旋转后的解析式为：()233y m x -=-+-即()233y m x =--+，当0x =时，93y m =-+，∴()0,93B m -+，∵12AB =，∴()939312m m ---+=，即18612m -=，解得：1m =或13m =-；故选A25．B【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据所给函数图象可得出a ，b ，c 的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题．【详解】解：由所给二次函数图象开口向下，与y 轴交于正半轴，∴00a c <>，．又∵对称轴是直线12b x a=-=，∴20b a =->．∴0abc <，故①错误．又抛物线的对称轴为直线1x =，且过点()1,0A -，∴0a b c -+=，即()20a a c --+=，∴30a c +=，故②正确．∵抛物线对称轴为直线1x =，∴顶点坐标为()1,a b c ++，又2b a =-，30a c +=，∴3c a =-，23b c =，∴43a b c c ++=．∵34c <<，∴416433c <<，∴抛物线顶点的纵坐标大于4小于163．故③正确．故选：B ．26．B 【分析】此题考查了二次函数系数与图象的关系．注意二次函数()20y ax bx c a =++¹系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线确定的．由开口向下，可得0a <，由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，又由对称轴在y 轴右侧，即可得a ，b 异号，继而求得答案．【详解】解：∵开口向下，∴0a <，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴0c >，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号，即0b >，∴0b c +>，∴点(),A a b c +在第二象限．故选：B ．27．③④⑤【分析】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由抛物线交y 轴于负半轴，则0c <，故①错误；②由抛物线的开口方向向上可推出0a >；∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为b x 02a =->，又∵0a >，∴0b <；故0abc >，故②错误；③结合图象得出=1x -时，对应y 的值在x 轴上方，故0y >，即0a b c -+>，故③正确；④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出240b ac ->，故④正确；⑤由图象可知：对称轴为122b x a =-=，则22a b =-，故⑤正确；故正确的有：③④⑤．故答案为：③④⑤．28．D【分析】本题考查了二次函数2y ax bx c =++的图象与系数的关系，以及二次函数的对称性．开口向上，则0a >；反之，0a <．对称轴在y 轴左侧，则,a b 同号；反之，则,a b 异号；图象与y 轴交点在x 轴上方，则0c >；反之，则0c <；据此即可进行判断．【详解】解：∵二次函数对称轴是直线=1x -，且过点()3,0-，∴二次函数还过点(1,0)，补全二次函数的图象，如图所示：∵图象开口向上，则0a >，∵对称轴是直线=12b x a-=-，∴20b a =>即：2b 0a -=，故②正确；∵图象与y 轴交点在x 轴下方，∴0c <，∴0bc <，故①正确；∵421-<-<-，由图象可知，当1x <-时，y 随x 的增大而减小．∴12y y >，故③错误；由图象可知：当2x =时，420y a b c =++>，故④正确；∵当1x =时，0y a b c =++=，又∵2b a=∴3c 0a +=，故⑤正确；故选：D29．D【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定a ，b 的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出a ，b 的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．【详解】解：Q 一次函数y ax b =+的图象经过一、三、四象限，0a \>，0b <，02b a\->，\二次函数2y ax bx =+的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在y 轴右侧，故选：D ．30．第二象限【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该熟记一次函数y kx b =+在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．先由二次函数图象得到字母系数的正负，再根据一次函数的图象的象限进行判断．【详解】解：由二次函数的图象可知0a >，对称轴在y 轴的右侧，可知a 、b 异号，0b <，由直线y ax b =+应经过一、三、四象限，故直线y ax b =+不经过第二象限．故答案为：第二象限．31．四【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y 轴右侧得到0a <，0b >，据此可得一次函数y x b =+的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．【详解】解：∵二次函数开口向下，∴0a <，∵对称轴在y 轴右侧，∴02b a->，∴0b >，∵10>，∴一次函数y x b =+的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故答案为：四．32．C【分析】本题可先由一次函数y ax b =+图象得到字母系数的正负，再与二次函数2y ax b =-的图象相比是否一致．【详解】解：A ．由抛物线可知，00a b >-<，，即0,0a b >>，由直线可知，00a b <<，，故本选项不符合题意；B ．由抛物线可知，00a b >-<，，即0,0a b >>，由直线可知，00a b >>，，∵抛物线与y 轴的交点为()0,b -，直线与y 轴的交点为()0,b ，∴抛物线与y 轴的交点与直线与y 轴的交点关于x 轴对称，而图中两个点明显不关于x 轴对称，故本选项符合题意；C ．由抛物线可知，00a b <->，，即0,0a b <<，由直线可知，00a b <<，，且图中抛物线与y 轴的交点与直线与y 轴的交点关于x 轴对称，故本选项符合题意；D ．由抛物线可知，00a b >-<，，即0,0a b >>，由直线可知，00a b <>，，故本选项不符合题意．。
初中数学二次函数题型精讲(含答案和解析)
初中数学二次函数题型精讲一,填空题1, （2018•乌鲁木齐•4分）把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为．【分析】将原抛物线配方成顶点式,再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1.∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1.故答案为：y=2x2+1．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”．2,（2018•江苏淮安•3分）将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是y=x2+2 ．【分析】先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0,﹣1）,再根据点平移的规律得到点（0,﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0,2）,然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0,﹣1）,把点（0,﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0,2）,所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．故答案为：y=x2+2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式．3,（2018•江苏苏州•3分）如图,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P,C,E 在一条直线上,∠DAP=60°．M,N分别是对角线AC,BE的中点．当点P 在线段AB上移动时,点M,N之间的距离最短为2（结果留根号）．【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°设PA=2a,则PB=8﹣2a,PM=a,PN=（4﹣a）,构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：连接PM、PN．∵四边形APCD,四边形PBFE是菱形,∠DAP=60°.∴∠APC=120°,∠EPB=60°.∵M,N分别是对角线AC,BE的中点.∴∠CPM=∠APC=60°,∠EPN=∠EPB=30°,∴∠MPN=60°+30°=90°.设PA=2a,则PB=8﹣2a,PM=a,PN=（4﹣a）.∴MN===.∴a=3时,MN有最小值,最小值为2.故答案为2．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构建二次函数解决最值问题．4, （2018•乌鲁木齐•4分）把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为．【分析】将原抛物线配方成顶点式,再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1.∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1.故答案为：y=2x2+1．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”．5, （2018•湖州•4分）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形,则b的值是﹣2 ．【分析】根据正方形的性质结合题意,可得出点B的坐标为（﹣,﹣）,再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程,解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABOC是正方形.∴点B的坐标为（﹣,﹣）．∵抛物线y=ax2过点B.∴﹣=a（﹣）2.解得：b1=0（舍去）,b2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质,利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征,找出关于b的方程是解题的关键．6, （2018·黑龙江哈尔滨·3分）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为（﹣2,4）．【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．【解答】解：∵y=2（x+2）2+4.∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2,4）.故答案为：（﹣2,4）．【点评】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．7,（2018•福建A卷•4分）如图,直线y=x+m与双曲线y=相交于A,B 两点,BC∥x轴,AC∥y轴,则△ABC面积的最小值为 6 ．【分析】根据双曲线y=过A,B两点,可设A（a,）,B（b,）,则C （a,）．将y=x+m代入y=,整理得x2+mx﹣3=0,由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A,B两点,所以A,b是方程x2+mx﹣3=0的两个根,根据根与系数的关系得出a+b=﹣m,ab=﹣3,那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再根据三角形的面积公式得出S△ABC=AC•BC=m2+6,利用二次函数的性质即可求出当m=0时,△ABC的面积有最小值6．【解答】解：设A（a,）,B（b,）,则C（a,）．将y=x+m代入y=,得x+m=.整理,得x2+mx﹣3=0.则a+b=﹣m,ab=﹣3.∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．∵S△ABC=AC•BC=（﹣）（a﹣b）=••（a﹣b）=（a﹣b）2=（m2+12）=m2+6.∴当m=0时,△ABC的面积有最小值6．故答案为6．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点．也考查了函数图象上点的坐标特征,根与系数的关系,三角形的面积,二次函数的性质．8．（2018•贵州黔西南州•3分）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3,0）．x …﹣1 0 1 2 …y …0 3 4 3 …【分析】根据（0,3）、（2,3）两点求得对称轴,再利用对称性解答即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0,3）、（2,3）两点.∴对称轴x==1；点（﹣1,0）关于对称轴对称点为（3,0）.因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3,0）．故答案为：（3,0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,关键是熟练掌握二次函数的对称性．9,（2018•贵州遵义•4分）如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP、PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为．【分析】直接利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置,再求出AO,CO的长,进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：连接AC,交对称轴于点P.则此时PC+PB最小.∵点D,E,F分别是BC,BP、PC的中点.∴DE=PC,DF=PB.∵抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.∴0=x2+2x﹣3解得：x1=﹣3,x2=1.x=0时,y=3.故CO=3.则AO=3,可得：AC=PB+PC=3.故DE+DF的最小值为：．故答案为：．10, （2018•乌鲁木齐•4分）把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为．【分析】将原抛物线配方成顶点式,再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1.∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1.故答案为：y=2x2+1．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”．二,解答题1, （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·10分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品,假设生产出的产品能全部售出．如图,线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时,这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（2）显然,当0≤x≤50时,y2=70；当130≤x≤180时,y2=54；当50＜x＜130时,设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n,利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用：总利润=每千克利润×产量,根据x的取值范围列出有关x的二次函数,求得最值比较可得．【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b.∵经过点（0,168）与（180,60）.∴,解得：.∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=﹣x+168（0≤x≤180）；（2）由题意,可得当0≤x≤50时,y2=70；当130≤x≤180时,y2=54；当50＜x＜130时,设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n.∵直线y2=mx+n经过点（50,70）与（130,54）.∴,解得.∴当50＜x＜130时,y2=﹣x+80．综上所述,生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y2=；（3）设产量为xkg时,获得的利润为W元.①当0≤x≤50时,W=x（﹣x+168﹣70）=﹣（x﹣）2+. ∴当x=50时,W的值最大,最大值为3400；②当50＜x＜130时,W=x[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]=﹣（x﹣110）2+4840.∴当x=110时,W的值最大,最大值为4840；③当130≤x≤180时,W=x（﹣x+168﹣54）=﹣（x﹣95）2+5415. ∴当x=130时,W的值最大,最大值为4680．因此当该产品产量为110kg时,获得的利润最大,最大值为4840元．【点评】本题考查了二次函数的应用,待定系数法求二次函数的解析式,解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．2, （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A,B,D的坐标分别为（,0）, （3,0）, （,）；（2）如图①,抛物线翻折后,点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时,求t的取值范围；（3）如图②,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A,B的坐标,再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标,根据点B,C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组,解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在,设点P的坐标为（m,0）,则点Q的横坐标为m,分m ＜或m＞3及≤m≤3两种情况,利用勾股定理找出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,进而可找出点P的坐标,此题得解．【解答】解：（1）当y=0时,有﹣x2+x﹣1=0.解得：x1=,x2=3.∴点A的坐标为（,0）,点B的坐标为（3,0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+.∴点D的坐标为（,）．故答案为：（,0）；（3,0）；（,）．（2）∵点E,点D关于直线y=t对称.∴点E的坐标为（,2t﹣）．当x=0时,y=﹣x2+x﹣1=﹣1.∴点C的坐标为（0,﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b.将B（3,0）、C（0,﹣1）代入y=kx+b.,解得：.∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界）.∴.解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时,y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时,y=x2﹣x+1．假设存在,设点P的坐标为（m,0）,则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时,点Q的坐标为（m,﹣x2+x﹣1）（如图1）. ∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P.∴CP⊥PQ.∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2. 整理,得：m1=,m2=.∴点P的坐标为（,0）或（,0）；②当≤m≤3时,点Q的坐标为（m,x2﹣x+1）（如图2）.∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P.∴CP⊥PQ.∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2. 整理,得：11m2﹣28m+12=0.解得：m3=,m4=2.∴点P的坐标为（,0）或（1,0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,点P的坐标为（,0）、（,0）、（1,0）或（,0）．【点评】本题考查了一次（二次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理以及解一元二次方程,解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A,B的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征结合点E在△ABC内,找出关于t 的一元一次不等式组；（3）分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况,找出关于m的一元二次方程．3, （2018·湖北随州·11分）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”,某工厂接到一批纪念品生产订单,按要求在15天内完成,约定这批纪念品的出厂价为每件20元,设第x天（1≤x≤15,且x为整数）每件产品的成本是p元,p与x之间符合一次函数关系,部分数据如表：天数（x） 1 3 6 10每件成本p（元）7,5 8,5 10 12任务完成后,统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x （天）满足如下关系：y=设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x,W与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值,则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得p与x,W与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围：（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题．【解答】解：（1）设p与x之间的函数关系式为p=kx+b.,解得,.即p与x的函数关系式为p=0,5x+7（1≤x≤15,x为整数）.当1≤x＜10时.W=[20﹣（0,5x+7）]（2x+20）=﹣x2+16x+260.当10≤x≤15时.W=[20﹣（0,5x+7）]×40=﹣20x+520.即W=；（2）当1≤x＜10时.W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324.∴当x=8时,W取得最大值,此时W=324.当10≤x≤15时.W=﹣20x+520.∴当x=10时,W取得最大值,此时W=320.∵324＞320.∴李师傅第8天创造的利润最大,最大利润是324元；（3）当1≤x＜10时.令﹣x2+16x+260=299,得x1=3,x2=13.当W＞299时,3＜x＜13.∵1≤x＜10.∴3＜x＜10.当10≤x≤15时.令W=﹣20x+520＞299,得x＜11,05.∴10≤x≤11.由上可得,李师傅获得奖金的月份是4月到11月,李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160（元）.即李师傅共可获得160元奖金．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用,解不等式,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用二次函数的性质解答．4, （2018·湖北随州·12分）如图1,抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a ＜0）与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1,0）,点O为坐标原点,OC=3OA,抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式,并写出点G的坐标；（2）如图2,将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位,得到抛物线C2,设C2与x轴的交点为A′、B′,顶点为G′,当△A′B′G′是等边三角形时,求k的值：（3）在（2）的条件下,如图3,设点M为x轴正半轴上一动点,过点M 作x轴的垂线分别交抛物线C1,C2于P、Q两点,试探究在直线y=﹣1上是否存在点N,使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等,若存在,直接写出点M,N的坐标：若不存在,请说明理由．【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标,将A,C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k,′作G′D⊥x轴于点D,设BD′=m,由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1,0）,点G′的坐标为（1,m）,代入所设解析式求解可得；（3）设M（x,0）,则P（x,﹣x2+2x+3）、Q（x,﹣x2+2x+2）,根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN,延长PQ交直线y=﹣1于点H,证△OQM≌△QNH,根据对应边相等建立关于x的方程,解之求得x 的值从而进一步求解．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1,0）.∴OA=1.∴OC=3OA.∴点C的坐标为（0,3）.将A,C坐标代入y=ax2﹣2ax+c,得：.解得：.∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.所以点G的坐标为（1,4）．（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k.过点G′作G′D⊥x轴于点D,设BD′=m.∵△A′B′G′为等边三角形.∴G′D=B′D=m.则点B′的坐标为（m+1,0）,点G′的坐标为（1,m）.将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k,得：.解得：（舍）,.∴k=1；（3）设M（x,0）,则P（x,﹣x2+2x+3）、Q（x,﹣x2+2x+2）. ∴PQ=OA=1.∵∠AOQ、∠PQN均为钝角.∴△AOQ≌△PQN.如图2,延长PQ交直线y=﹣1于点H.则∠QHN=∠OMQ=90°.又∵△AOQ≌△PQN.∴OQ=QN,∠AOQ=∠PQN.∴∠MOQ=∠HQN.∴△OQM≌△QNH（AAS）.∴OM=QH,即x=﹣x2+2x+2+1.解得：x=（负值舍去）.当x=时,HN=QM=﹣x2+2x+2=,点M（,0）. ∴点N坐标为（+,﹣1）,即（,﹣1）；或（﹣,﹣1）,即（1,﹣1）；如图3.同理可得△OQM≌△PNH.∴OM=PH,即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1.解得：x=﹣1（舍）或x=4.当x=4时,点M的坐标为（4,0）,HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6.∴点N的坐标为（4+6,﹣1）即（10,﹣1）,或（4﹣6,﹣1）即（﹣2,﹣1）；综上点M1（,0）、N1（,﹣1）；M2（,0）、N2（1,﹣1）；M3（4,0）、N3（10,﹣1）；M4（4,0）、N4（﹣2,﹣1）．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．5, （2018·湖北襄阳·10分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓,今年正式上市销售．在销售的30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,采取了降价措施,以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克,y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克,第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克,每天的利润是W元（利润=销售收入﹣成本）．（1）m= ﹣,n= 25 ；（2）求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中,当大利润不低于870元的共有多少天？【分析】（1）根据题意将相关数值代入即可；（2）在（1）的基础上分段表示利润,讨论最值；（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数,注意天数为正整数．【解答】解：（1）当第12天的售价为32元/件,代入y=mx﹣76m得32=12m﹣76m解得m=﹣当第26天的售价为25元/千克时,代入y=n则n=25故答案为：m=﹣,n=25（2）由（1）第x天的销售量为20+4（x﹣1）=4x+16当1≤x＜20时W=（4x+16）（﹣x+38﹣18）=﹣2x2+72x+320=﹣2（x﹣18）2+968 ∴当x=18时,W最大=968当20≤x≤30时,W=（4x+16）（25﹣18）=28x+112∵28＞0∴W随x的增大而增大∴当x=30时,W最大=952∵968＞952∴当x=18时,W最大=968（3）当1≤x＜20时,令﹣2x2+72x+320=870解得x1=25,x2=11∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下∴11≤x≤25时,W≥870∴11≤x＜20∵x为正整数∴有9天利润不低于870元当20≤x≤30时,令28x+112≥870解得x≥27∴27≤x≤30∵x为正整数∴有3天利润不低于870元∴综上所述,当天利润不低于870元的天数共有12天．【点评】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用,应用了分类讨论的数学思想．6, （2018·湖南郴州·10分）如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x 轴交于A（﹣1,0）,B（3,0）两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．（3）如图2,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标．【分析】（1）由点A,B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC,交抛物线对称轴l于点E,由点A,B的坐标可得出对称轴l为直线x=1,分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时,由抛物线的对称性可得出此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时,不存在,利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴,交BC于点F,由点B,C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,根据点P的坐标可得出点F的坐标,进而可得出PF的长度,再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值,利用勾股定理可求出线段BC 的长度,利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值,再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解答】解：（1）将A（﹣1,0）、B（3,0）代入y=﹣x2+bx+c.,解得：.∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中,连接PC,交抛物线对称轴l于点E.∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1,0）,B（3,0）两点.∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时,点C,P关于直线l对称,此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3.∴点C的坐标为（0,3）,点P的坐标为（2,3）.∴点M的坐标为（1,6）；当t≠2时,不存在,理由如下：若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE.∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为0.∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2.∴不存在．（3）①在图2中,过点P作PF∥y轴,交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）.将B（3,0）、C（0,3）代入y=mx+n.,解得：.∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t,﹣t2+2t+3）.∴点F的坐标为（t,﹣t+3）.∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t.∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0.∴当t=时,S取最大值,最大值为．∵点B的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,3）.∴线段BC==3.∴P点到直线BC的距离的最大值为=,此时点P的坐标为（,）．【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质,解题的关键是：（1）由点的坐标,利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．7, （2018·湖南怀化·14分）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1,0）B（3,0）两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3）,展开得到﹣2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0,3）,然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1,4）,作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′（﹣3,0）,利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小,则此时△BDM的周长最小,然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣x+b,把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=﹣x+3,再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时,利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）.即y=ax2﹣2ax﹣3a.∴﹣2a=2,解得a=﹣1.∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C（0,3）.设直线AC的解析式为y=px+q.把A（﹣1,0）,C（0,3）代入得,解得.∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.∴顶点D的坐标为（1,4）.作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′（﹣3,0）.∵MB=MB′.∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此时MB+MD的值最小.而BD的值不变.∴此时△BDM的周长最小.易得直线DB′的解析式为y=x+3.当x=0时,y=x+3=3.∴点M的坐标为（0,3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2.∵直线AC的解析式为y=3x+3.∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b.把C（0,3）代入得b=3.∴直线PC的解析式为y=﹣x+3.解方程组,解得或,则此时P点坐标为（,）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=﹣x+b.把A（﹣1,0）代入得+b=0,解得b=﹣.∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣.解方程组,解得或,则此时P点坐标为（,﹣）.综上所述,符合条件的点P的坐标为（,）或（,﹣）.【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
二次函数专题-含答案
二次函数专题——线段最值问题方法总结：1、利用参数表示出两动点的坐标；2、再利用参数表示出线段的长度；3、最后利用二次函数的性质求出线段的最大值.4、特殊线段长度表示①平行（在坐标轴上）线段表示：竖直线段：12AB y y y y =-=-下上 水平线段：21AB x x x x =-=-右左 ②两点间距离公式：AB =抛物线与线段最值一，问题引入：问题1： “牵牛从点A 出发，到河边l 喝水，再到点B 处吃草，走哪条路径最短？” 即在l 上找一点P ，使得PA+PB 和最小。
（1）A ，B 两点在直线异侧时,连接AB 交l 于P ，则PA+PB 和最小。
（2）A ，B 两点在直线同侧时，作B 点关于l 的对称点B ′，连接ＡＢ′交l 于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点，使PA+PB 和最小。
（３）变式讨论：在l 上找一P 点，使得△PAB 周长最小问题2：在l 上找一点P ，使得∣PA －P B ∣最大（1）A ，B 两点在直线同侧时，连接AB 并延长交l 于P ，则∣PA －P B ∣最大（2）A ，B 两点在直线异侧时，作B 点关于l 的对称点B ′，连接ＡＢ′并延长交l 于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点，使∣PA －P B ∣最大。
问题3：（1）在直线1l 、2l 上分别求点M 、N 使PMN 周长最小.l A · B · l A · B ·l A · B · l B · A ·A · lB ·做法：分别作点P 关于直线1l ,2l 的对称点1P ,2P 连接1P ,2P 与1l ,2l 交点即为M ,N(2)变式：在直线1l 、2l 上分别求点M 、N 使四边形PMQN 周长最小.做法: 分别作点P ,Q 关于直线1l ,2l 的对称点//,Q P ,连接//,Q P ,与1l ,2l 交点即为M ,N问题4:点P 在锐角AOB ∠内部，在OB 边上求作一点D ,在OA 边上求作一点C ，使最小CD PD +做法：作点P 关于直线OB 的对称点/P ,过/P 向直线OA 作垂线与OB 的交点为所求点D ，垂足即为点C问题5：（1）直线21//l l ，并且1l 与2l 之间的距离为d ，点A 和点B 分别在直线1l 、2l 的两PQl 2l 1l 2侧，在直线1l 、2l 上分别求一点M 、N ，使AM 、MN 、NB 的和最小.作法： 将点A 向下平移d 个单位到1A ，连结B A 1交2l 于点N ，过N 作NM ⊥1l ，垂足为M ，连结AM ，则线段AM 、MN 、NB 的和最小，点M 、N 即为所求.(2)直线l 的同侧有两点A 、B ，在直线l 上求两点C 、D ，使得AC 、CD 、DB 的和最小，且CD 的长为定值a ，点D 在点C 的右侧.作法：将点A 向右平移a 个单位到1A ,作点B 关于直线l 的对称点1B ,连结1A ,1B 交直线l 于点D ,过点A 作AC ∥1A D 交直线l 于点C ，连结BD ，则线段AC 、CD 、DB 的和最小。
自己总结很经典二次函数各种题型分类总结
二次函数题型分类总结题型 1、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为 0，且二次函数的表达式一定为整式）1、以下函数中，是二次函数的是.①y=x 2－ 4x+1； ② y=2x 2；③y=2x 2+4x ； ④ y=－ 3x ；⑤y=－ 2x －1 ； ⑥ y=mx 2+nx+p ； ⑦ y =(4,x) ； ⑧y=－ 5x 。
s=5t 2+2t ，则 t ＝ 4 秒时，该物体所经过的行程 2、在必定条件下，若物体运动的行程 s （米）与时间 t （秒）的关系式为 为 。
3、若函数 y=(m 2 +2m － 7)x 2+4x+5 是对于 x 的二次函数，则 m 的取值范围为 。
4、若函数 y=(m － 2)x m－ 2m 的值为。
+5x+1 是对于 x 的二次函数，则5、已知函数 y=(m － 1)xm 21+5x － 3 是二次函数，求m 的值。
题型 2、二次函数的对称轴、极点、最值4ac-b 2（技法：假如分析式为极点式y=a(x － h)2+k ，则最值为 k ；假如分析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为 4a1．抛物线 y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则 m 的值为。
2．抛物 y=x 2+bx+c 线的极点坐标为（ 1，3），则 b ＝， c ＝.3．抛物线 y ＝ x 2＋ 3x 的极点在 ()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线 y ＝ ax 2－ 6x 经过点 (2， 0)，则抛物线极点到坐标原点的距离为 ()A. 13B. 10C.15D. 145．若直线 y ＝ ax ＋ b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ ax 2＋ bx ＋ c( ) A.张口向上，对称轴是 y 轴 B.张口向下，对称轴是 y 轴C.张口向下，对称轴平行于y 轴D.张口向上，对称轴平行于 y 轴6．已知抛物线 y ＝x 2＋ (m －1)x －1的极点的横坐标是2，则 m 的值是 _.47．抛物线 y=x 2+2x －3 的对称轴是。
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题6(附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题6（附答案）1．某种正方形合金板材的成本y (元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ） A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．36cm2．用长8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）.A ．28425m B ．243m C ．283mD ．24m3．某校的围墙上端由- -段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，栅栏的跨径AB 间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC 为0.6米，以O 为原点，OC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据以上的数据，则这段栅栏所需立柱的总长度（精确到0.1米）为（ ）A ．1.5米B ．1.9米C ．2.3米D ．2.5米4．某种正方形合金板材的成本y (元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为( ) A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．36cm5．长方形的周长为24cm ，其中一边长为xcm （0x >），面积为ycm 2，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A ．2yx B ．212y x =-C ．y=（12-x ）xD ．212y x =-（）6．矩形一边长为x ，周长为8，则当矩形面积最大时，x 的值为（ ） A ．4B ．2C ．6D ．57．在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上.若AB 所在的直角边为8m ，AD 所在的直角边为6m ，则矩形的面积y （m 2）与AB 边的长x （m ）的函数关系及y 的最大值为（ ）A ．2364y x x =-+，12 B ．2364y x x =--，12 C ．2364y x x =-+，16D ．2364y x x =--，168．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y =﹣14x 2，当水位线在 AB 位置时，水面宽 12m ，这时水面离桥顶的高度为（ ）A ．3mB ．26mC ．43mD ．9m9．一块边缘呈抛物线形的铁片如图放置，测得20AB cm =，抛物线的顶点到AB 边的距离为25cm .现要沿AB 边向上依次截取宽度均为4cm 的矩形铁皮，如图所示.已知截得的铁皮中有一块是正方形，则这块正方形铁皮是（ ）.A ．第七块B ．第六块C ．第五块D ．第四块10．如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝4，D 为AB 的中点，点E ，F 分别在线段AD ，BC 上，且BF ＝2AE ，连结EF 交中线AD 于点G ，连结BG ，设AE ＝x （0＜x ＜2），△BEG 的面积为y ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．38y =x 2+32x B ．234y x =3x C ．23y x =+23x D ．23y x =+3x11．已知抛物线()2210y ax ax a a =+++≠过点(),3Am ，(),3B n 两点，若线段AB 的长不大于2，则代数式22a a --的最小值是_______.12．如图，某水渠的横截面呈抛物线形，当水面宽8m 时，水深4m ，当水面下降1m 时，水面宽为_____m ．13．如图，已知正方形OBCD 的三个顶点坐标分别为B(1,0),C(1,1), D(0,1). 若抛物线2()y x h =-与正方形OBCD 的边共有3个公共点，则h 的取值范围是___________.14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3），D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为__________15．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x= -2，点C 在抛物线上，且位于点A 、B 之间（C 不与A 、B 重合）.若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为_________ .（ 用含a 的式子表示）.16．某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为103m ，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动（如图），在离中心水平距离4m 处达到最高，高度为6m ，之后落在水池边缘，那么这个喷水池的直径AB 为____m ．17．如图，平行于y 轴的直线l 被抛物线y ＝12x 2+1、y ＝12x 2﹣1所截．当直线l 向右平移3个单位时，直线l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为_____平方单位．18．如图，抛物线与轴正半轴交于点A （3，0）．以OA 为边在轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF ，则= ，点E 的坐标是 ．19．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y 轴对称．AB ∥x 轴，AB=4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH=1cm ，BD=2cm ．则右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式为__________________________________．20．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3,3)，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.21．关于x 的二次函数y=-x 2+bx+c 经过点A （-3，0），点C （0，3），点D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在x 轴上.（1）求抛物线的解析式；（2）DE 上是否存在点P 到AD 的距离与到x 轴的距离相等？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22．如图，利用一面墙（墙的长度为15 m ），用篱笆围成一个矩形花园ABCD ，中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，共用去篱笆42 m.设平行于墙的一边BC 长为x m ，花园的面积为S m 2．（1）求S 与x 之间的函数解析式；（2）问花园面积可以达到120平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由.23． 已知：直线y=-x-4分别交x 、y 轴于A 、C 两点，点B 为线段AC 的中点，抛物线y=ax 2+bx 经过A 、B 两点， （1）求该抛物线的函数关系式；（2）以点B 关于x 轴的对称点D 为圆心，以OD 为半径作⊙D ，连结AD 、CD ，问在抛物线上是否存在点P ，使S △ACP =2S △ACD ？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若E为⊙D上一动点(不与A、O重合)，连结AE、OE，问在x轴上是否存在点Q，使∠ACQ：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；25．如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF＝2，BF＝1，为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．26．已知:ABC中，边AB及AB边上的高CD的和为40cm．()1请直接写出ABC的面积()2x cm之间的函数关系式(不要求S cm与边AB的长()写出自变量x的取值范围)；()2当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？27．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求出△BCD的面积.ABCD，饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为28．某农场要建一个饲养场（长方形)27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处ABCD的宽各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长60米，设饲养场（长方形)为x米．（1）求饲养场的长BC（用含x的代数式表示）．270m，求x的值．（2）若饲养场的面积为2（3）当x为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少2m？29．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m，就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．参考答案1．A 【解析】 【分析】设y 与x 之间的函数关系式为y=kx 2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论． 【详解】解：设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx 2，由题意，得 18＝9k ， 解得：k ＝2， ∴y ＝2x 2，当y ＝72时，72＝2x 2， ∴x ＝6． 故选：A ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 2．C 【解析】 【分析】设窗的高度为xm ，宽为823x-m ，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可． 【详解】解：设窗的高度为xm ，宽为（823x-）m ， 故S=()823x x -． ∴S=22833x x -+ =()228233x --+ ． ∴当x=2m 时，S 最大值为83m 2．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，根据矩形面积公式列出函数表达式是解题的关键．3．C【解析】【分析】由题意可知，A点坐标为（0.6，0.6），代入y=ax2，可求出解析式．由于OC左右两边四根栅栏的底端横坐标已知，根据所求解析式，可计算出纵坐标，高度也就可以表示出来，计算即可．【详解】解：抛物线顶点在原点，设抛物线解析式为y=ax2，把点A（0.6，0.6）代入解析式得a=53，∴y=53x2，∴（0.2，115），（0.4，415）是该抛物线的两点，∴这段栅栏所需立柱的总长度=（0.6-115+0.6-415）×2+0.6≈2.3（米）．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的应用，得出抛物线上点的坐标是解题关键．4．A【解析】设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由题意，得18=9k，解得：k=2，∴y=2x2，当y=72时,72=2x2，∴x=6.故选A.5．C【解析】【分析】先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积=长×宽列出函数关系式．【详解】∵长方形的周长为24cm,其中一边为x(其中x>0)，∴长方形的另一边长为12−x ，∴y=(12−x)⋅x.故选C.【点睛】本题考查二次函数的关系式，解题的关键是掌握长方形的面积公式.6．B【解析】【分析】根据矩形面积公式列出函数关系式，用配方法化成顶点式求解即可.【详解】 解：由题意得：矩形面积221=(82)=4(2)42S x x x x x ，所以当x=2时，矩形面积S 有最大值4，故选：B.【点睛】本题考查的是二次函数的应用，根据题意表示出另一边长是根本，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是关键．7．A【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质先用含x 的式子表示出AD ，然后根据矩形面积公式列出函数关系式，用配方法化成顶点式求解即可.【详解】解：∵AB ∥CD ，∴△NDC ∽△NAM ，∴ND CD NA AM ，即68ND x ， ∴ND=34x ， ∴AD=(6-34x )， ∴y=(6-34x )x=22336(4)1244x x x -+=--+， 所以当x=4时，y 有最大值12，故选：A.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用，根据题意表示出另一边长是根本，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是关键．8．D【解析】试题解析：由已知12m AB =知：点B 的横坐标为6.把6x =代入214y x =-， 得9.y =-即水面离桥顶的高度为9m.故选D.9．B【解析】试题分析：依题意设抛物线函数关系式为2y=ax bx c ++，则设顶点为（0,25）；A 为（-10,0）B 为（10,0）把顶点坐标代入解析式得：c=25.则2y=ax bx 25++，分别把A ，B 两点坐标代入求得a=14-，b=0. 所以21y=-x 254+ 则所求矩形底边2x =4．则x=±2.把x=2代入解析式，求出y=24．则24÷4=6（块） 选B考点：抛物线点评：本题难度中等，主要考查学生结合抛物线图像解决实际问题．分析铁皮边长关系是解题关键．10．B【解析】【分析】过点F 作FH ⊥AB ，在Rt △FBH 中，∠FBH ＝60°，HB ＝x ，FH ，利用中位线求出GD x ，则y ＝1(4)2x x ⨯-； 【详解】过点F 作FH ⊥AB ，∵AE ＝x ，BF ＝2AE ，∴BF ＝2x ，在Rt △FBH 中，∠FBH ＝60°，∴HB ＝x ，FH ，∵AB ＝4，D 为AB 的中点，∴DE ＝2﹣x ，DH ＝2﹣x ，∴GD x ，∴y ＝21(4)2x x x ⨯-=+ 故选B ．【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质；掌握三角形中位线的性质，30°角的直角三角形边角关系是解题的关键．11．0【解析】【分析】根据二次函数的性质求出对称轴，然后结合线段AB 的长不大于2，求出a 的取值范围，再根据22a a --的增减性，求出最小值.【详解】 解：如图：∵抛物线()2210y ax ax a a =+++≠过点(),3A m ，(),3B n 两点， ∴对称轴为：2122+=-=-m n a a， ∴顶点为()1,1-，∴由题意可知a>0，∵线段AB 的长不大于2，∴a+1≥3，∴a≥2，∵当a≥2时22a a--随着a的增大而增大．∴当a=2时，22a a--有最小值，最小值为0；故答案为0．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出a+1≥3，求出a 的取值范围是解题的关键．12．43【解析】【分析】建立适当的平面直角坐标系求出函数解析式，进而得出答案．【详解】如图所示：建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：y＝ax2，∵A（4，4），故4＝16a，解得：a＝14，则y＝14x2，当水面下降1m时，y＝3，则3＝14x2，解得：x＝±3故当水面下降1m时，水面宽为3．故答案为：3【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出函数函数解析式是解题关键．13．0<h<1【解析】【分析】分别画出h 不同取值时函数图象,由图直观得出与正方形有3个交点时h 的取值范围.【详解】图(1) 图(2) 图(3)图(1)当h=0时,抛物线与正方形有2个公共点,图(2)当 0<h<1时, 抛物线与正方形有3个公共点,图(3) 当h=1时,抛物线与正方形有2个公共点,所以当 0<h<1时符合要求.【点睛】本题考查函数图象的特点,数形结合是解答此题的关键.14．15【解析】试题解析：∵D 是抛物线26y x x =-+上一点，∴设2(,6)D x x x ，-+∵顶点C 的坐标为(4,3)，22435OC ，∴+= ∵四边形OABC 是菱形，5,BC OC BC x ∴==轴，22155(63)(3)1522S BCD x x x ，∴=⨯⨯-+-=--+ 502，-< BCD S ∴有最大值，最大值为15，故答案为15.15．a+4【解析】∵抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，∴OB ＝4.由抛物线的对称性知AB ＝AO ，∴四边形AOBC 的周长为AO ＋AC ＋BC ＋OB ＝△ABC 的周长＋OB ＝a ＋4.故答案为a ＋4.点睛: 本题考查了二次函数的性质．此题利用了抛物线的对称性，解题的技巧性在于把求四边形AOBC 的周长转化为求（△ABC 的周长＋OB ）是值．16．20【解析】【分析】根据题意在离中心水平距离4m 处达到最高，高度为6m ，设顶点式解析式，求出解析式，再求出与x 轴的交点坐标即可求出这个喷水池的直径AB ．【详解】∵喷出的水柱中心4m 处达到最高，高度为6m ，∴抛物线的顶点坐标为(4,6)或(−4,6)，设抛物线解析式为21(4)6y a x =-+或22(4)6y a x =++，即这个喷水头应设计的高度为103m . 把100,3⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线解析式，解得：1216a a ==-， 所以,函数解析式为21(4)66y x =--+或21(4)66y x =-++， 当0y =时, 抛物线与x 轴的交点坐标为(10,0)或(−10,0)，∴圆形喷水池的直径为20m，故答案为20.【点睛】考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 17．6【解析】【分析】由于抛物线y＝12x2+1是y＝12x2-1向上平移2个单位长度得到的，平行于y轴的直线l与2个函数图象的交点纵坐标是个定值2，通过截补法可知阴影部分的面积是6平方单位．【详解】解：抛物线y＝12x2+1是y＝12x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，即|y1﹣y2|＝2．当直线l向右平移3个单位时，阴影部分的面积是，2×3＝6．故答案为：6.【点睛】本题主要考查了函数图象动态变化中的不变的量，本题的关键点是在能否看出阴影部分的面积通过截补法是个平行四边形，直接2×3=6即可求出．18．12；（1+10，1+10）【解析】【分析】把点A（3，0）代入抛物线,即可求得a的值，正方形OABC可得点C坐标，代入函数解析式求得点D坐标，可知点E横坐标，再利用正方形BDEF的性质得出点E纵坐标问题得解．【详解】把点A（3，0）代入抛物线，解得a=12；∵四边形OABC为正方形，∴点C的坐标为（0，3），点D的纵坐标为3，代入y=12x2-x-32，解得x110，x210，因此正方形BDEF的边长B为1010-2，所以1010由此可以得出点E的坐标为（10，10）．故答案为12；（10，10）．19．y= 14（x﹣3）2【解析】【分析】由B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），于是得到右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．【详解】解：∵高CH=1cm，BD=2cm，AB∥x轴，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x-3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1-3）2，解得a=14，故右边抛物线的解析式为y=14（x-3）2．故答案为：y=14（x-3）2．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题时利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．20．5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，22(30)(32)-+-=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．故答案为5.【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键.21．（1）y=-x2-2x+3，（2）存在；（-1，5-1）或（-1，-5-1）.【解析】试题分析：（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标.试题解析：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），∴3{930 cb c=--+=，解得2 {3bc=-=，∴抛物线的解析式y=-x2-2x+3，（2）存在，当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，设P（-1，m），则PM=PD•sin∠5（4-m），PE=m，∵PM=PE，5（4-m）=m，5，∴P点坐标为（-15）；当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，设P （-1，n ），则PN=PD•sin ∠5（4-n ），PE=-n ， ∵PN=PE ， 5（4-n ）=-n ，5-1， ∴P 点坐标为（-1，5）；综上可知存在满足条件的P 点，其坐标为（-15）或（-1，5）.考点：二次函数综合题．22．（1）S 21143x x =+；（2）花园面积可以达到120平方米，此时花园的长为12 m ，宽10 m ． 【解析】【分析】(1) 根据矩形的面积公式，即可得出关于S 与x 之间的函数解析式;(2)假设能，当S=120时，可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；【详解】解：（1）S ＝423x x - ＝21143x x -+； （2）由21141203x x -+=得 242360x x -+＝0，解得x 1＝12，x 2＝30．∵墙的长度为15 m ，∴x ＝30不合题意，舍去．当x＝12时，423x-＝10．答：花园面积可以达到120平方米，此时花园的长为12 m，宽10 m．【点睛】考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出函数关系式是解题的关键．23．（1）y=12x2+2x；（2）P坐标为，或；（3）Q坐标为，0)、，0)、(4，0)．【解析】【分析】（1）求直线y=-x-4与坐标轴交点A、C坐标，求AC中点B坐标，即能用待定系数法求抛物线的函数关系式；（2）根据点B坐标(-2，-2)，可得D坐标为(-2，2)，所以△ADO、△ACO均为等腰直角三角形，连接AD并延长交y轴于点F，可知使S△ACP=2S△ACD的点P在过点F且平行于直线y=-x-4的直线上，求出直线与抛物线交点即使所求点P；（3）由（2）可知，∠AEO度数有两种情况，当点E在优弧AO上时，∠ACQ=23∠AEO=30°．构造直角三角形列方程即可求出Q坐标，当点E在劣弧AO上时，∠AEO=135°，∠ACQ=90°．由等腰直角三角形性质和对称即可求出点Q．【详解】解：（1）∵直线y=-x-4中，y=0时，x=-4；x=0时，y=-4，∴A(-4，0)，C(0，-4)，∵点B为AC中点，∴B(-2，-2)，∵抛物线y=ax2+bx经过A、B两点，∴1640 422a ba b-=⎧⎨-=-⎩，解得：122ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的函数关系式为y=12x 2+2x ． （2）在抛物线上存在点P 使S △ACP =2S △ACD ．如图1，连接AD 并延长交y 轴于点F ，∵y=12x 2+2x=12(x-2)2-2， ∴点B 为抛物线的顶点，∵点D 为点B 关于x 轴的对称点，∴D(-2，2)在抛物线的对称轴上，∴DA=DO ，∠DAO=∠DOA=45°，∵OA=OC=4，∠AOC=90°，∴∠OAC=45°，∴∠DAC=∠DAO+∠OAC=90°，∴S △ACD =12AC•AD ， ∵∠AOF=90°，∴AF 为⊙D 直径，即点F 在⊙D 上，∴AF=2AD ，OF=OA=4即F(0，4)，∵S △ACP =2S △ACD =2•12AC•AD=12AC•2AD=12AC•AF ， ∴点P 在过点F 且平行于直线y=-x-4的直线上，∴直线PF 解析式为y=-x+4， ∵24122y x y x x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：1137x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩；2237x y ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩∴点P 坐标为)或；（3）在x轴上存在点Q使∠ACQ：∠AEO=2：3．∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ADO=90°，∵点E在⊙D上且不与A、O重合，∠ACQ：∠AEO=2：3．①如图2，当点E在优弧AO上时，∠AEO=12∠ADO=45°，∴∠ACQ=23∠AEO=30°，过点Q作QG垂直直线AC于点G，设QG=t，∴Rt△CQG中，CQ=2QG=2t，33．∴∠GAQ=∠OAC=45°，∴Rt△AGQ中，AG=QG=t，22t．i)若点Q在线段AO上时，如图2：则32，解得：6-22，∴(22622434=，∴x Q33；ii)若点Q 在线段OA 延长上时，如图3：则AC=CG-AG=3t-t=42， 解得：2622t =+，∴AQ=()22622434⨯+=+，∴x Q =-4-(43+4)=-43-8，②当点E 在劣弧AO 上时，∠AEO=12(360°-∠ADO)=135°， ∴∠ACQ=23∠AEO=90°． ∵∠CAO=45°，△ACO 是等腰直角三角形，∴Q 点与A 点对称，A (-4，0)∴x Q =4．综上所述：满足条件的点Q 有三个，坐标分别为3，0)、3-8，0)、(4，0)【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．24．（1）12（2）当x=11时，y 最小=88平方米【解析】（1）根据题意得方程解即可；（2）设苗圃园的面积为y ，根据题意得到二次函数的解析式y=x （30-2x ）=-2x 2+30x ，根据二次函数的性质求解即可.解： (1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x )米．依题意可列方程x (30－2x )＝72，即x 2－15x ＋36＝0．解得x 1＝3（舍去），x 2＝12．(2)依题意，得8≤30－2x ≤18．解得6≤x ≤11．面积S ＝x (30－2x )＝－2(x －152)2＋2252(6≤x ≤11)． ①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252； ②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.25．80%【解析】【分析】根据题意画图分析．用含表示某一边的字母的代数式表示面积，关键是表示另一边的长．借助三角形相似建立关系．【详解】解：如图所示，为了表达矩形MDNP 的面积，设DN ＝x ，PN ＝y ，则面积S ＝xy ①，∵点P 在AB 上，由△APQ ∽△ABF 得，()41242y x -=--， 即x ＝10﹣2y ，∴代入①，得S ＝（10﹣2y ）y ＝﹣2y 2+10y ，即2525222y y⎛⎫=--+⎪⎝⎭，因为3≤y≤4，而52y=不在自变量的取值范围内，所以52y=不是最值点，当y＝3时，S＝12；当y＝4时，S＝8，故面积的最大值是S＝12，此时，钢板的最大利用率是80%．【点睛】本题结合三角形相似考查了二次函数的实际应用中的图形面积与最值问题，分析题意作出取得最值时的图形，转化为二次函数求最值问题是解答关键.26．（1）21202S x x=-+；（2）当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是2200cm 【解析】【分析】（1）S=12x×这边上的高，把相关数值代入化简即可；（2）结合（1）得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可．【详解】解：（1）由题意可得：()21114020222S AB CD x x x x=⨯=⨯⨯-=-+；（2）12a=-<，S∴有最大值，当2bxa=-=20122-⎛⎫⨯-⎪⎝⎭=20时，S有最大值为212020202002S=-⨯+⨯=，∴当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是2200cm．本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的最值求法是解决本题的关键．27．（1）223y x x =--+ ；（2）3【解析】【分析】（1）利用待定系数法把两已知点代入即可求；（2）求出顶点D 坐标后连接BD ，CD ，BC 用中垂高与水平宽乘积一半的面积公式计算即可.【详解】解:(1)把点A(1,0),B(-3,0)代入y=-x 2+bx+c 中,得10930b c b c -++=⎧⎨--+=⎩ , 解得23b c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为223y x x =--+(2)如图，连接BD,CD,BC,过点D 作DE ⊥x 轴,交BC 于点E.∵2223(1)4y x x x ,∴D(- 1,4),C(0,3).∵B(-3,0),∴直线BC 的解析式为y=x +3,OB=3.当x=-1时,y=-1+3=2.∴DE =2.∴S △BCD =S △BED 十S △DEC =12⋅DE OB =1232⨯⨯ =3【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，正确选用面积公式是解答此题的关键.28．（1）(633)x -米；（2）15；（3）当x 为12时，饲养场的面积最大，最大面积为2324m ．【解析】【分析】（1）根据题意和图形，可以用含x 的代数式表示出BC 的长；（2）根据长方形的面积计算公式可以得到相应的方程，从而可以得到x 的值，注意墙最大可用长度为27米；（3）根据题意可以得到S 与x 的函数关系式，然后根据二次函数的性质和x 的取值范围，解答即可．【详解】解：（1）由图可得，BC 的长是60312(633)x x -++=-（米)，即BC 的长是(633)x -米；（2）令(633)270x x -=，解得，16x =，215x =，63327x -，得12x ，15x ∴=，即x 的值是15；（3）设饲养场的面积是2Sm ，则2211323(633)3()24S x x x =-=--+， 63327x -，得12x ，∴当12x =时，S 取得最大值，此时324S =，答：当x 为12时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为2324m ．【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，灵活利用二次函数的性质和方程的知识解答．29．（1）y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）P 的坐标(1，2)．（3）存在．点M 的坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)．【解析】【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可．（2）由图知：A 、B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC ，那么BC 与直线l 的交点即为符合条件的P 点．（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA ＝AC 、②MA ＝MC 、②AC ＝MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解【详解】（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，∴可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）．又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a （0＋1）（0－3），即a=－1．∴抛物线的解析式为y ＝－（x ＋1）（x －3），即y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ． 则此时的点P ，使△PAC 的周长最小．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的函数关系式y ＝－x ＋3．当x －1时，y ＝2，即P 的坐标(1，2)．（3）存在．点M 的坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)．∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)．∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2＝10．①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得：m 2＋4＝m 2－6m ＋10，得：m ＝1．②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得：m 2＋4＝10，得：m ＝±6．③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得：m 2－6m ＋10＝10，得：m ＝0，m ＝6，当m ＝6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点，且坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)． 30．5小时．【解析】试题分析；首先在图中建立合适的坐标系（这里选择AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，也可另外建立），然后根据题目中的已知条件可得A 、B 、C 、D 四点的坐标，设出解析式，代入相应点的坐标建立方程（组），解方程（组）求得待定系数的值得到解析式，由解析式可得顶点E 的坐标，再结合题中条件可解得答案；试题解析：如上图，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则由已知得A （4，0），D （2，3），设抛物线解析式为：2y ax c =+，把A 、D 坐标代入解析式可得：16043a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得：144a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，∴抛物线解析式为：2144y x =-+，∴顶点E的坐标为（0，4），设CD与y轴的交点为点F，∴EF=4-3=1（m），∵1 0.2=5（小时），∴水过警戒水位后5小时淹到桥拱顶.。
二次函数几种题基本题型及答案
二次函数二次函数求解析式【类型一：万能型】【1】已知二次函数的图像如图所示，求其函数解析式. 解：利用两点式,设y=a （x+1）（x-3） 再把（0,3）带入，解得a=-1 所以y=-x 2+2x+3【2】（2011武汉）抛物线23y ax bx =++经过点(3,0)A -，(1,0)B -两点.求抛物线的解析式； 解：把A,B 两点带入，解二元一次方程组得，a=1，b=4， 所以y=x 2+4x+3【3】（2008年 黄石）如图，已知抛物线与x 轴交于点(20)A -，，(40)B ，，与y 轴交于点(08)C ，．求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；解：利用两点式,设y=a （x+2）（x-4） 再把（0,8）带入，解得a=-1所以y=-x 2+2x+8【类型二：顶点式】【4】已知二次函数在3-=x 处有最大值1，且其图像经过)8,2(-，求此二次函数的解析式. 解：利用顶点式，设y=a （x+3）2+1， 在把（2，-8）代入，解得a=-925，所以y=-925（x+3）2+1（一般式：y=-925x 2-5425x-56255】已知二次函数的图像交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -,且函数有最大值2，求此函数的解析式.解：利用顶点式，先通过A,B 两点求出对称轴x=1/2,设y=a （x-1/2）2+2，在把（3，0）代入，解得a=-825，所以y=-825（x-1/2）2+2（一般式：y=-825x 2+825x+4825，本题也可以用两点式） 【6】已知抛物线的对称轴为1=x ，经过点)0,2(A 、)11,5(B ，求函数解析式. 解：利用顶点式，设y=a （x-1）2+k ，代入A,B 两点，解二元一次方程组得，a=1115，k=-1115， 所以y=1115（x-1）2-1115【7】已知二次函数的顶点坐标为(1,4)，二次函数与x 轴的两交点为,A B ，且4AB =，求二次函数的解析式.解：利用顶点式，设y=a （x-1）2+4，然后利用对称轴x=1及4AB =求出两交点为（-1，0），（3,0），选择一点代入解得a=-1， 所以y=-（x-1）2+4.（本题也可以用两点式）【8】已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的顶点P 的横坐标是4,图像交x 轴于点(,0)A m 和点B ，且4m >，那么AB 的长是（ C ）（另一点横坐标为8-m ，AB=m-（8-m ）=2m-8.） A. 4m + B. m C. 28m - D.82m - 【9】（2011广东中山）已知抛物线212y x x c =++与x 轴有两个不同的交点． 抛物线212y x x c =++与x 轴两交点的距离为2，求c 的值． 解：本题运用韦达定理，设两根为x 1，x 2,x 1+x 2=-2, x 1x 2=2c,|x 1-x 2|=2, 列方程整理后得4-8c=4，c=0.（本题也可以直接用交点距离公式|x 1-x 2【类型三：综合求解析式】【10】（ 2011重庆江津）已知双曲线xk y =与抛物线2y ax bx c =++交于 (2,3)A ，(,2)B m ，(3,)C n -三点，求双曲线与抛物线的解析式;解：先利用双曲线解析式求出k=6，m=3，n=-2，在把三点分别代入抛物线解析式，成立一个三元一次方程组，解方程得 a=13-，b=23，c=3，所以y=13-x 2+23x+3 【11】（2011湖南湘潭市）直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点， 过,A B 两点的抛物线交x 轴于另一点(3,0)C ，求抛物线的解析式;解：先利用直线解析式求出A （-1,0），B （0,3），设抛物线为y=a （x+1）（x-3），代入C 点，解得a=-1， 所以y=-x 2+2x+3【12】（2011四川凉山州）抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，与y 轴交于点()0,4C -，其中12x x ，是方程24120x x --=的两个根，求抛物线的解析式； 解：解方程得x 1=-2，x 2=6，设抛物线为y=a （x+2）（x-6） 代入C 点，解得a=1/3,所以y=13x 2-43x-4 【13】（2009年 天水）如下图，在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于,A B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为(3,0)，OB OC =，3OC OA =，求这个二次函数的表达式．解：由B 点坐标和OB,OC,OA 三条线段的关系得出A （-1,0），C （0，-3）设抛物线为y=a （x+1）（x-3），在代入C 点， 解得a=1，所以y=x 2-2x-3【14】（2007武汉）如图①，在平面直角坐标系中，Rt △AOB ≅Rt △CDA ，且(1,0)A -、(0,2)B ，抛物线22y ax ax =+-经过点C ,求抛物线的解析式； 解：由两三角形全等得出C （-3,1）， 再把C 点代入，解得a=1/2, 所以y=12 x 2+12x-2【15】（2008年 大连）如图，直线y x m =+和抛物线2y x bx c =++都经过(1,0),(3,2)A B . （1）求m 的值和抛物线的解析式； （2）求不等式2x bx c x m ++>+的解集.解:（1）在A,B 中选择一点代入直线解析式，解得m=-1 把A,B 两点代入抛物线，解二元一次方程组得 b=-3,c=2,所以y=x 2-3x+2（2）利用图像的性质可以解得x<1或x>3.【16】（2011广东肇庆）已知抛物线2243m mx x y -+=（m >0）与x 轴交于A 、B 两点． （1）求证：抛物线的对称轴在y 轴的左侧； （2）若3211=-OA OB （O 是坐标原点），求抛物线的解析式； 解：（1）对称轴x=-1/2m<0,所以…（2）设x 1，x 2为两点的横坐标，一直x 1x 2=234m -<0, 令x 1<0，x 2>0，由3211=-OA OB >0，得OA>OB,又有（1）中的结论，可知OA=- x 1，OB= x 2，代入3211=-OA OB通分，化简，然后利用韦达定理代入解得m=2 所以y=x 2+2x-3【17】已知一次函数2y x =的图象与反比例函数ky x =的图象交于M 、N 两点，且MN =（1）求反比例函数的解析式；（2）若抛物线2y ax bx c =++经过M 、N 两点，证明此抛物线与x 轴必有两个交点；（3）设⑵中的抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，若tan tan 3CAB CBA ∠+∠=，求此抛物线的解析式．（定义：在直角三角形中，θ的对边为a ，邻边为b ，则tan abθ=） 解：（1）先由两图像关于原点对称易知,设M 为（x ，2x ），那么k=2x 2，又由两点距离公式得x 2+4x 2=5，所以k=2.即2y x=（2）由（1）可求得两点为（1,2）（-1,-2），代入抛物线解析式得：22a b ca b c=++⎧⎨-=-+⎩ 两式相减得b=2，代入上式，得c=-a 所以y=ax 2+2x-a ，∆=4+4a 2>0,所以必有两交点. （3）由（2）知y=ax 2+2x-a ，且C （0，-a ）设A （x 1，0），B （x 2，0），又x 1x 2=-1，则x 1<0,x 2>0211212tan tan 3a a x x CAB CBA a a x x x x -∠+∠=+=⋅==--即4+4a 2=9，所以a =±，所以22y x x =+-或者22y x x =++【目标二：二次函数的平移】【18】将抛物线221x y =向上平移4个单位会得到哪条抛物线？向下平移2.5个单位呢？ 解：1、2142y x =+ 2、21 2.52y x =-【19】（2008年 烟台）如图，抛物线1L ：223y x x =--+交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于M 点．将抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C ，D 两点，求抛物线2L 对应的函数表达式。
二次函数知识点及重点题练习答案解析
答案
基础训练
1
3
1.函数 y= 的大致图象是( B ).
【解析】取值验证可知,函数
1
y= 3 的大致图象是选项
B 中的图象.
答案
解析
2
2.若二次函数 y=-2x -4x+t 的图象的顶点在 x 轴上,则 t 的值是( C ).
A.-4
B.4
C.-2
D.2
【解析】∵二次函数的图象的顶点在 x 轴上,∴Δ=16+8t=0,可
2.五种常见幂函数的图象
答案
3.幂函数的性质
(1)当 α>0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (0,0) 和 (1,1) ,在(0,+∞)上
是 增函数 .在第一象限内,当 α>1 时,图象下凹,当 0<α<1 时,图象上凸.
(2)当 α<0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (1,1) ,在(0,+∞)上是 减函数 .
4
2
∴h(m)=
-2m +
2
17 3
4
, < m ≤ 1,
4
3
-3 + 4m + 2,0 < m ≤ .
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
当 a≠0 时,f(x)图象的对称轴为直线
3-
x= ,
二次函数中考常考题型(含答案)
二次函数中考常考题型1，函数在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）2，函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）3，如果反比例函数y＝k x 的图象如图3所示，那么二次函数y ＝kx 2－k 2x －1的图象大致为（ ）4、某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图9所示的长方体游泳池，培育不同品种的鱼苗，他已备足可以修高为1.5m ，长18m 的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm ，即AD ＝EF ＝BC ＝x m.（不考虑墙的厚度）（1）若想水池的总容积为36m 3，x 应等于多少？（2）求水池的容积V 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（3）若想使水池的总容积V 最大，x 应为多少？最大容积是多少？2y ax b y ax bx c =+=++和A ． B ． C ． D ．1111x o y y o x y o xx o y图9y x O 图3 y x O A ． y x O B ． y x O C ． y x O D ． 图55，我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P 与x之间的函数关系式．（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）6、如图10，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m 时，水面CD的宽是10m.（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）.货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）.试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由.若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？图107，已知：m、n是方程x2－6x+5＝0的两个实数根，且m＜n，抛物线y＝－x2+bx+c的图像经过点A(m，0)、B(0，n).（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积[注：抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为24(,)24b ac ba a--].（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH△x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2∶3的两部分，请求出P点的坐标.26，如图11－①，有两个形状完全相同的Rt△ABC和Rt△EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG 斜边上的中点.如图11－②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移.设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）.（1）当x为何值时，OP∥AC ?（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.（参考数据：1142＝12996，1152＝13225，1162＝13456或4.42＝19.36，4.52＝20.25，4.62＝21.16）图114，（1）因为AD ＝EF ＝BC ＝x m ，所以AB ＝18－3x .所以水池的总容积为1.5x (18－3x )＝36，即x 2－6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，所以x 应为2或4.（2）由（1）可知V 与x 的函数关系式为V ＝1.5x (18－3x )＝－4.5x 2+27x ，且x 的取值范围是：0＜x ＜6.（3）V ＝－4.5x 2+27x ＝－92(x －3)2+812.所以当x ＝3时，V 有最大值812.即若使水池有总容积最大，x 应为3，最大容积为40.5m 3.5，答案：△由题意得y 与x 之间的函数关系式30y x =+（1160x ≤≤，且x 整数） △由题意得P 与x 之间的函数关系式2(30)(10003)391030000P x x x x =+-=-++△由题意得2(391030000)301000310W x x x =-++-⨯-23(100)30000x =--+∴当x 100=时，30000W =最大100160<天天∴存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．6，（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，桥拱最高点O 到水面CD 的跳高为h 米，则D （5，h ），B （10，－h －3），所以25,100 3.a h a h =-⎧⎨=--⎩解得1,251.a h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩即抛物线的解析式为y ＝－125x 2.（2）水位由CD 处涨到点O 的时间为：1÷0.25＝4（小时），货车按原来速度行驶的路程为：40×1+40×4＝200＜280，所以货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高x 千米/时，当4x +40×1＝280时，x ＝60.即要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时.7，（1）解方程x 2－6x +5＝0得x 1＝5，x 2＝1，由m ＜n ，有m ＝1，n ＝5，所以点A 、B 的坐标分别为A （1，0），B （0，5）.将A （1，0），B （0，5）的坐标分别代入y ＝－x 2+bx +c .得10,5.b c c -++=⎧⎨=⎩解这个方程组，得45b c =-⎧⎨=⎩所以，抛物线的解析式为y ＝－x 2－4x +5.（2）由y ＝－x 2－4x +5，令y ＝0，得－x 2－4x +5＝0.解这个方程，得x 1＝－5，x 2＝1，所以C 点的坐标为（－5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D （－2，9）.过D 作x 轴的垂线交x 轴于M .则S △DMC ＝12×9×(5－2)＝272，S 梯形MDBO ＝12×2×(9+5)＝14，S △BOC ＝12×5×5＝252，所以S △BCD ＝S 梯形MDBO + S △DMC －S △BOC ＝14+272－252＝15.（3）设P 点的坐标为（a ，0）因为线段BC 过B 、C 两点，所以BC 所在的直线方程为y ＝x +5.那么，PH 与直线BC 的交点坐标为E (a ，a +5)，PH 与抛物线y ＝－x 2－4x +5的交点坐标为H (a ，－a 2－4a +5).由题意，得△EH ＝32EP ，即(－a 2－4a +5)－(a +5)＝32(a +5). 解这个方程，得a ＝－32或a ＝－5（舍去）；△EH ＝23EP ，即(－a 2－4a +5)－(a +5)＝23(a +5). 解这个方程，得a ＝－23或a ＝－5（舍去）；即P 点的坐标为 (－32，0)或 (－23，0). 26，（1）因为Rt △EFG ∽Rt △ABC ，所以EG AC ＝FG BC ，即684FG =.所以FG ＝864⨯＝3cm.因为当P 为FG 的中点时，OP ∥EG ，EG ∥AC ，所以OP ∥AC .所以x ＝121FG ＝21×3＝1.5（s ）.即当x 为1.5s 时，OP ∥AC .（2）在Rt △EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm.因为EG ∥AH ，所以△EFG ∽△AFH .所以EG AH ＝EF AF ＝FG FH.即FH x AH 3554=+=.所以AH ＝54(x ＋5)，FH ＝53(x ＋5).过点O 作OD ⊥FP ，垂足为 D .因为点O 为EF 中点，所以OD ＝21EG ＝2cm.因为FP ＝3－x ，S 四边形OAHP ＝S △AFH －S △OFP ＝21·AH ·FH －21·OD ·FP ＝21×54(x ＋5)×53(x ＋5)－21×2×(3－x )＝256x 2＋517x ＋3(0＜x ＜3).（3）假设存在某一时刻x ，使得四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24.则S 四边形OAHP ＝2413×S △ABC ，所以256x 2＋517x ＋3＝2413×21×6×8，即6x 2＋85x －250＝0.解得x 1＝25，x 2＝－350（舍去）.因为0＜x ＜3，所以当x ＝25（s ）时，四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24.。
二次函数压轴题题型总结有答案
二次函数压轴题解题思路一、基本知识1会求解析式以及一些关键点的坐标如函数图像与坐标轴的交点、两函数图像的交点等;2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程;图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直;一些方法：如相似、三角函数、解方程;一些转换：如轴对称、平移、旋转;二、典型例题：一、求解析式可参考一下部分试题的第一问;二、二次函数的相关应用第一类：面积问题例题. 2012莱芜如图,顶点坐标为2,﹣1的抛物线y=ax2+bx+ca≠0与y轴交于点C0,3,与x轴交于A、B两点．1求抛物线的表达式；抛物线的解析式：y=x﹣22﹣1=x2﹣4x+3．2设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积；练习：1. 2014兰州如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A﹣1,0,C0,2． 1求抛物线的表达式；2在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形如果存在,直接写出P点的坐标；如果不存在,请说明理由；3点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．第二类：.构造问题1构造线段2014枣庄如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x 轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC,点D为抛物线的顶点,点P是第四象限的抛物线上的一个动点不与点D重合．1求∠OBC的度数；2连接CD、BD、DP,延长DP交x轴正半轴于点E,且S△OCE =S四边形OCDB,求此时P点的坐标；3过点P作PF⊥x轴交BC于点F,求线段PF长度的最大值．2构造相似三角形2013莱芜如图,抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点A﹣3,0、B1,0、C﹣2,1,交y轴于点M．1求抛物线的表达式；2D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标；3抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由．3构造平行四边形2014莱芜如图,过A1,0、B3,0作x轴的垂线,分别交直线y=4﹣x 于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点． 1求抛物线的表达式；2点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形若存在,求此时点M的横坐标；若不存在,请说明理由；3若△AOC沿CD方向平移点C在线段CD上,且不与点D重合,在平移的过程中△AOC 与△OBD重叠部分的面积记为S,试求S的最大值．x2+bx+c与y轴交于点C0,-4,与x轴4构造等腰三角形2013泰安如图,抛物线y=12交于点A,B,且B点的坐标为2,0 1求该抛物线的解析式．2若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值．3若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标．5构造直角三角形2014四川内江如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A﹣、C0,4,点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO．1求抛物线的解析式；2线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值；3抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM是以AB为直角边的直角三角形如果存在,求出点M的坐标；如果不存在,说明理由．6构造角相等2014娄底如图,抛物线y=x2+mx+m﹣1与x轴交于点Ax1,0,Bx2,0,x1＜x2,与y轴交于点C0,c,且满足x12+x22+x1x2=7．1求抛物线的解析式；2在抛物线上能不能找到一点P,使∠POC=∠PCO若能,请求出点P 的坐标；若不能,请说明理由．7构造菱形2013枣庄如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为3,0,与y轴交于C0,-3点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点．1求这个二次函数的表达式．2连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形若存在,请求出此时点P的坐标；若不存在,请说明理由．3当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．8构造对称点11莱芜如图,在平面直角坐标系中,已知点A－2,－4,OB＝2,抛物线y ＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．1求抛物线的函数表达式；2若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM＋OM的最小值；3在此抛物线上,是否存在点P ,使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在,求点P 的坐标；若不存在,请说明理由．9构造平行线：2014山东烟台如图,在平面直角坐标系中,Rt △ABC 的顶点A ,C 分别在y 轴,x 轴上,∠ACB =90°,OA =,抛物线y =ax 2﹣ax ﹣a 经过点B 2,,与y 轴交于点D ．1求抛物线的表达式；2点B 关于直线AC 的对称点是否在抛物线上请说明理由； 3延长BA 交抛物线于点E ,连接ED ,试说明ED ∥AC 的理由．10构造垂直：2014宜宾市如图,已知抛物线y = x 2+bx +c 的顶点坐标为M 0,–1,与x 轴交于A 、B 两点. 1求抛物线的解析式； 2判断△MAB 的形状,并说明理由； 3过原点的任意直线不与y 轴重合交抛物线于C 、D 两点,连结MC 、MD ,试判断MC 、MD 是否垂直,并说明理由．11构造圆2014年淄博如图,点A 与点B 的坐标分别是1,0,5,0,点P 是该直角坐标系内的一个动点．1使∠APB=30°的点P 有 个；2若点P 在y 轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P 的坐标；yxO MDCBA3当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值若有,求点P的坐标,并说明此时∠APB 最大的理由；若没有,也请说明理由．参考答案：一、求解析式二、二次函数的相关应用第一类：面积问题2012莱芜解：1y=x﹣22﹣1=x2﹣4x+3．2S△ACD=ADCD=××2=2．32+,1﹣、2﹣,1+、1,2或4,﹣1．2014兰州解1y=﹣x2+x+2；2y=﹣x﹣2+,P 1,4,P2,,P3,﹣；3S四边形CDBF =S△BCD+S△CEF+S△BEF=﹣a﹣22+∴a=2时,S四边形CDBF的面积最大=,∴E2,19．第二类：.构造问题1构造线段2014枣庄1△OBC 为等腰直角三角形∠OBC=45°． 2P2,﹣3．3线段PF 长度=﹣x P 2+3x P =﹣x P ﹣2+,1＜x P ≤3,当x P =时,线段PF 长度最大为．2构造相似三角形2013莱芜 1y=．2DF 的最大值为．此时D 的坐标为．3存在点P,使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似．设Pm,．在Rt△MAO 中,AO=3MO,要使两个三角形相似,由题意可知,点P 不可能在第一象限．①设点P 在第二象限时,∵点P 不可能在直线MN 上,∴只能PN=3NM,故此时满足条件的点不存在．②当点P 在第三象限时,∵点P 不可能在直线MN 上,∴只能PN=3NM, P 的坐标为﹣8,﹣15． ③当点P 在第四象限时,若AN=3PN 时,此时点P 的坐标为2,﹣．若PN=3NA,此时点P 的坐标为10,﹣39．综上所述,满足条件的点P 的坐标为﹣8,﹣15、2,﹣、10,﹣39．3构造平行四边形 2014莱芜解：1y=﹣x 2+x ．2存在． 或或．3∴S=S △OFQ ﹣S △OEP =OFFQ ﹣OEPG=1+t +t ﹣t t=﹣t ﹣12+当t=1时,S 有最大值为．∴S的最大值为．4构造等腰三角形PBE ABCSS=PBE S 12=x×4-1323x+835构造直角三角形2014四川内江 1y=﹣x 2+x+4．2当t=1时,PQ 取到最大值,最大值为． 3①当∠BAM=90°时,MH=11．M ,﹣11． ②当∠ABM=90°时,M ,9．综上所述：符合要求的点M 的坐标为,9和,﹣11．6构造角相等2014娄底解1依题意：x 1+x 2=﹣m,x 1x 2=m ﹣1,∵x 1+x 2+x 1x 2=7,∴x 1+x 22﹣x 1x 2=7,∴﹣m 2﹣m ﹣1=7,即m 2﹣m ﹣6=0,解得m 1=﹣2,m 2=3,∵c=m ﹣1＜0,∴m=3不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3；2能如图,设p 是抛物线上的一点,连接PO,PC,过点P 作y 轴的垂线,垂足为D ．若∠POC=∠PCO 则PD 应是线段OC 的垂直平分线∵C 的坐标为0,﹣3∴D 的坐标为0,﹣∴P 的纵坐标应是﹣令x 2﹣2x ﹣3=,解得,x 1=,x 2=因此所求点P 的坐标是,﹣,,﹣7构造菱形2013枣庄 解：1.2此时P 点的坐标为,. 3 S 四边形ABPC =++==. 易知,当x=时,四边形ABPC 的面积最大．此时P 点坐标为,,四边形ABPC 的最大面积为. 8构造对称点11莱芜1212y x x =-+;2MO+MA 的最小值为42;3①若OB ∥AP P4,－4,则得梯形OAPB;②若OA ∥BP,点P 412--，,则得梯形OAPB;③若AB ∥OP,此时点P 不存在;综上所述,存在两点P4,－4或P 412--，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形;2=23y x x --2232-AOC S ∆POB S ∆POC S ∆239622x x -++23375()228x --+3232154-7589构造平行线：2014山东烟台解： y=x2﹣x﹣．2连接CD,过点B作BF⊥x轴于点F,则∠BCF+∠CBF=90°∵∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCF=90°,∴∠ACO=∠CBF,∵∠AOC=∠CFB=90°,∴△AOC∽△CFB,∴=,设OC=m,则CF=2﹣m,则有=,解得m=m=1,∴OC=OF=1,当x=0时y=﹣,∴OD=,∴BF=OD,∵∠DOC=∠BFC=90°,∴△OCD∽△FCB,∴DC=CB,∠OCD=∠FCB,∴点B、C、D在同一直线上,∴点B与点D关于直线AC对称,∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．3过点E作EG⊥y轴于点G,设直线AB的表达式为y=kx+b,则,解得k=﹣,∴y=﹣x+,代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．解得x=2或x=﹣2,当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×﹣2+=,∴点E的坐标为﹣2,,∵tan∠EDG===,∴∠EDG=30°∵tan∠OAC===,∴∠OAC=30°,∴∠OAC=∠EDG,∴ED∥AC．10构造垂直：2014宜宾市解：1y=x 2﹣1．2OA=OB=OC=1,∴AM=BM,∴△MAB 是等腰直角三角形．3=,即=解得m=﹣,∵==﹣n,==,∴=,∵∠CGM=∠MHD=90°,∴△CGM∽△MHD,∴∠CMG=∠MDH,∵∠MDH+∠DMH=90°∴∠CMG+∠DMH=90°,∴∠CMD=90°,即MC⊥MF． 11构造圆2014年淄博解：1∵抛物线y=﹣x 2+mx+n 经过A ﹣1,0,C0,2．解得：,∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+x+2；2∵y=﹣x 2+x+2,∴y=﹣x ﹣2+,∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C0,2,∴OC=2．在Rt △OCD 中,由勾股定理,得CD=．∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形, ∴CP 1=CP 2=CP 3=CD ．作CH ⊥x 轴于H,∴HP 1=HD=2,∴DP 1=4．∴P 1,4,P 2,,P 3,﹣；3当y=0时,0=﹣x 2+x+2∴x 1=﹣1,x 2=4,∴B4,0．设直线BC 的解析式为y=kx+b,由图象,得,解得：,∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+2．如图2,过点C 作CM ⊥EF 于M,设Ea,﹣a+2,Fa,﹣a 2+a+2,∴EF=﹣a 2+a+2﹣﹣a+2=﹣a 2+2a0≤x≤4．∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =BDOC+EFCM+EFBN,=+a ﹣a 2+2a+4﹣a ﹣a 2+2a,=﹣a 2+4a+0≤x≤4．=﹣a ﹣22+∴a=2时,S 四边形CDBF 的面积最大=,∴E2,1．。
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二次函数的定义
（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）
1、下列函数中，是二次函数的是 ①②③ . ①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ；
⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =； ⑧y=－5x 。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝
4秒时，该物体所经过的路程为 88m 。
3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于m 的二次函数，则m 的取值范围为
___ 。
4、已知函数
是二次函数，则m ＝ -3 。
5、若函数
是关于x 的二次函数，则m 的值为 -2 。
6、已知函数y=(m －1)x
m +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
-1
二次函数的对称轴、顶点、最值
（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2
+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c
则最值为4ac-b 24a
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 0或-1 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ -2 ，c ＝ -2 .
3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( C )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
（1）4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( B )©
1310 1514 5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( A )
A.开口向上，对称轴是y 轴
B.开口向下，对称轴是y 轴
C.开口向下，对称轴平行于y 轴
D.开口向上，对称轴平行于y 轴
6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14
的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ -3 . 7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 x=-1 。
8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ -6 。
9．当n ＝___2___，m ＝__2____时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点
在原点，此抛物线的开口____向上____.
10．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a 3或-1 时，该函数y 的最小值为0？
12．(易错题)已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ 1 。
13．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 10 。
函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质
1．抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 x=2 。
2．抛物线y=2x 2－12x+25的开口方向是 向上 ，顶点坐标是 （3，7） 。
3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛
物线的解析式 。
4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2+8x －2； （3）y=－14
x 2+x －4 开口方向： 向上 向下 向下
对称轴： x=2 x= x=2
顶点坐标： (2,-1) (2，-3)
5．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析
式是y=x 2－3x+5，试求b 、c 的值。
6．把抛物线y=－2x 2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的
抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。
解：有最大值
平移后得：
∴b=3，c=7.
7．某商场以每台2500元进口一批彩电。
如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？
解：设每台的定价为X元。
利润为Y元
由题意得：
答：当每台定价为3000元时。
利润最大为125000元。