初中数学:整式的乘法(二)-教师版
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整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分,是学生今后掌握平方差公式及
完全平方公式基础,通过学习我们可以简化某些整式的运算,而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运算,因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验.探索与认识,有利于学生知识的迁移,形成新的知识结构.
1、单项式与单项式相乘的法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数.同底数幂分别相乘的积作为积的因式.
注:单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算,应按“先乘方、再乘法”的顺序进行.例如:
()()()2
2224245234312xy x y x y x y x y ⋅-=⋅-=-.
2、单项式与多项式相乘法则:单项式与多项式相乘,用单项式乘以多项式的每一项.再把所得的积相加.例如:()m a b c ⋅++=ma mb mc ++.
3、多项式乘以多项式法则:多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
用公式表示为:()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++.
整式的乘法(二)
知识结构
知识精讲
内容分析
一、填空题:
1. 下列计算正确的是( )
A .()4
37x x =
B .()2
35x x x -⋅=
C .()4
3x x x -⋅=-
D .()2
2
22x x -=
【难度】★ 【答案】B
【解析】A 应该为()4
312x x =;C 应该为()4
5x x x -⋅=;D 应该为()2
224x x -=.
【总结】本题主要考查学生对幂的运算以及积的乘方法则的理解. 2. ()
2
2
55
x xy -⋅的运算结果是( )
A .310x y
B .310x y -
C .22x y -
D .22x y
【难度】★ 【答案】A
【解析】()2232
25251055x xy x xy x y -⋅=⋅=.
【总结】本题主要考查学生对幂的运算以及积的乘方法则的运用.
3. 化简:()()2212x x x x ---的结果是( )
A .3x x --
B .3x x -
C .21x --
D .31x -
【难度】★ 【答案】B
【解析】()()2223321222x x x x x x x x x x ---=--+=-.
【总结】本题主要考查学生对幂的运算以及积的乘方法则的理解及运用.
4. 化简()()()a b c b c a c a b ---+-的结果是(
)
A .222ab bc ac ++
B .22ab bc -
C .2ab
D .2bc -
【难度】★ 【答案】B
【解析】()()()22a b c b c a c a b ab ac bc ab ac cb ab bc ---+-=--++-=-. 【总结】本题主要考查单项式乘以多项式法则的运用以及合并同类项的运用.
5. 下列各式中计算错误的是(
)
A .()3422231462x x x x x x ⋅+-=+-
B .()
2321b b b b b b -+=-+ C .()231
222x x x x --=--
D .342232312323x x x x x x ⎛⎫
-+=-+ ⎪⎝⎭
【难度】★ 【答案】C
【解析】C 应该为()231
222
x x x x --=-+.
【总结】本题主要考查对单项式乘以多项式法则的运用,在计算时注意系数的符号变化. 6.
()22116623ab a b ab ab ⎛⎫
--⋅- ⎪⎝⎭
的结果为(
)
A .2236a b
B .3222536a b a b +
C .2332223236a b a b a b -++
D .232236a b a b -+
【难度】★
【答案】C
【解析】()222332221166323623ab a b ab ab a b a b a b ⎛⎫
--⋅-=-++ ⎪⎝⎭
【总结】本题主要考查对单项式乘以多项式法则的运用.
7. 若,M N 分别是关于x 的2次多项式与3次多项式,则MN ( )
A .一定是5次多项式
B .一定是6次多项式
C .一定是2次或3次多项式
D .无法确定次数
【难度】★ 【答案】A
【解析】设232(0);(0)M ax bx c a N ex dx fx g e =++≠=+++≠,
则关于x 的降次排列可得:5MN aex cg =++L . ∵0ae ≠,∴MN 一定是5次多项式.
【总结】本题一方面考查多项式乘以多项式的运算,另一方面考查对多项式的次数的理解.
8. 计算:()()
2223469x y x xy y -++的正确结果是( )
A .()2
23x y - B .()2
23x y +
C .33827x y -
D .33827x y +
【难度】★★ 【答案】C
【解析】()()
22322223332346981218121827827x y x xy y x x y xy x y xy y x y -++=++---=- 【总结】本题主要考查学生对多项式乘以多项式法则的运用.
9. 若()
()28x x m x -+-中不含x 的一次项,则m 的值为( )
A .8
B .-8
C .0
D .8或-8
【难度】★★ 【答案】B
【解析】原式展开后可得一次项为:8mx x +,不含x 的一次项,则80m +=,8m =-. 【总结】本题主要考察多项式与多项式相乘的乘法法则,计算时注意待定系数法的运用.
二、填空题
10. ()3
23233x y x y ⋅-=__________.
【难度】★ 【答案】11781x y -
【解析】()()3
2322961173332781x y x y x y x y x y ⋅-=⋅-=-
【总结】本题主要考查学生对单项式乘以单项式的法则的应用.
11. ()()3
23
21224c abc ac ⎛⎫
⋅--= ⎪⎝⎭
__________.
【难度】★ 【答案】53111
8
a b c -
【解析】()()3
23
2333622531111122244648c abc ac c a b c a c a b c ⎛⎫⎛⎫
⋅--=⋅-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【总结】本题主要考查学生对单项式乘以单项式的法则的应用.
12. 计算:()3212482x x x ⎛⎫
---⋅-= ⎪⎝⎭
__________.
【难度】★
【答案】53224x x x -+-
【解析】()323253211248(248)2422x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
---⋅-=-++⋅-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【总结】本题主要考查学生对单项式乘以多项式法则的运用,注意前面的符号.
13. 计算:()
()222131a b ab ab ab -++-=__________. 【难度】★
【答案】222a b ab -++
【解析】()
()222222222131222332a b ab ab ab a b ab ab a b a b ab -++-=-++-=-++ 【总结】本题主要考查学生对单项式乘以多项式法则的运用,在合并同类项时注意符号.
14. 计算:()221
19643
2x y x xy y ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=____________.
【难度】★★
【答案】322355
3223x x y xy y +
-+ 【解析】 ()223222231
14996432323232x y x xy y x x y xy x y xy y ⎛⎫++=-++-+ ⎪⎭-⎝
322355
3223
x x y xy y =+-+.
【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的理解.
15. 计算:()()()()
2222a b a ab b a b a ab b +-+-++=________________. 【难度】★★ 【答案】66a b -
【解析】原式322223322223()()a a b ab a b ab b a a b ab a b ab b =-++-+++---
333363333666
()()a b a b a a b a b b a b =+-=+--=-
【总结】本题在计算时注意观察每项的特征,需要简便运算.
16. 若()()225x a x x x b ++=-+,则a =__________,b =__________. 【难度】★★
【答案】7a =-,14b =-.
【解析】∵()()222(2)25x a x x a x a x x b ++=+++=-+,
∴可得:25
2a a b
+=-⎧⎨=⎩,
解得:7
14
a b =-⎧⎨=-⎩.
【总结】本题主要考查学生对多项式乘以多项式法则的应用,以及乘积中各项系数与因式中常数项之间的关系.
17. 如果三角形的底边为()32a b +,高为()
22964a ab b -+,则面积=__________. 【难度】★★
【答案】3327
42
a b -
【解析】()()223333127
32964(278)42122a b a ab b a b b S a ∆+⋅-+=-=-=.
【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘在几何图形中的应用.
18. 212a a ++=,则()()56a a -+=__________. 【难度】★★ 【答案】29
【解析】由212a a ++=可得21a a +=,则()()22563030()29a a a a a a -+=--=-+=. 【总结】在计算本题时要注意整体代入思想的运用.
19. 当k =__________时,多项式1x -与2kx -的乘积不含一次项. 【难度】★★ 【答案】-2
【解析】∵()()()21222x kx kx k x -⋅-=-++-,且乘积中不含一次项,∴20k +=,2k =-. 【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法法则的应用以及对“不含一次项”的具体理解.
20. 求()()
32234123x x x x x ++--+的展开式中,4x 的系数是__________. 【难度】★★ 【答案】1
【解析】原式中乘积可得4x ,有3224(2)3x x x x x ⋅-+⋅=.
【总结】计算时注意由于结论只涉及4x 的系数,因此没有必要全部乘出来.
21. 若()()2283x ax x x b ++-+的乘积中不含2x 和3x 项,则()()()
22a b a b a b +-+
=___________. 【难度】★★★ 【答案】80
【解析】原式中乘积可得2x 的项有:222283(83)bx x ax b a x +-=+-,
原式中乘积可得3x 的项有:3333(3)x ax a x -+=-.
∵不含2x 和3x 项,∴31a b ==,,则()()()
224480a b a b a b a b +-+=-=. 【总结】本题主要考查学生对乘积中不含2x 和3x 项的具体理解和运用.
三、简答题
22. 计算:()321
84xy xy z -⋅.
【难度】★ 【答案】252x y z -
【解析】原式=232251
(8)()24
x y y z x y z -⋅⋅=-.
【总结】本题主要考查学生对单项式乘以单项式的法则的应用.
23. 计算:()3
2235131215x y xy xy ⎛⎫
⎛⎫-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【难度】★
【答案】910
25576
x y .
【解析】原式()()6236910125
12591441215576x x x y y y x y ⎛⎫=⋅⋅=
⎪⋅⎝⎭. 【总结】本题主要考查学生对单项式乘以单项式的法则的应用.
24. 计算:()()()()222
335364a b b ab ab ab a ⋅-+-⋅--⋅-. 【难度】★ 【答案】337a b -
【解析】原式=()322232333333335936164536167a b b a b ab ab a a b a b a b a b ⋅+⋅--⋅=--=- 【总结】本题主要考查学生对单项式乘以单项式的法则以及合并同类项法则的应用.
25. 计算:()()
232231xy xy y x y -⋅-++. 【难度】★
【答案】223432262x y xy x y xy -+--. 【解析】原式=223432262x y xy x y xy -+--.
【总结】本题主要考查学生对单项式乘以多项式法则的运用,在合并同类项时注意符号.
26. 计算:3
2112312
3a a a a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.
【难度】★ 【答案】226a a -
【解析】原式=332161263a a a a a a ⎛⎫
-+-=- ⎪⎝⎭
.
【总结】本题在计算时一方面注意单项式乘以多项式法则的应用,一方面注意去括号时符号的变化.
27. 计算:()()
22556x x x +-+. 【难度】★
【答案】32251330x x x --+.
【解析】原式=322322101252530251330x x x x x x x x -++-+=--+. 【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则的理解.
28. 计算:()()
32225231x x x x -+--+. 【难度】★★
【答案】54322778155x x x x x -+--+-
【解析】原式=54343222346210155x x x x x x x x -+-+-+-+-
54322778155x x x x x =-+--+-.
【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则的理解,计算时注意符号.
29. 计算:()()()()2
2x y x y x y x x y +-+--+. 【难度】★★ 【答案】4xy -
【解析】原式=222222224x y x xy y x xy xy -+-+--=-
【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则以及合并同类项法则的运用.
30. 计算:()()a b c d c a d b -+----. 【难度】★★
【答案】2222222a b c d bd dc bc -++++--
【解析】原式=2222ac a ad ab bc ab bd b c ac dc bc dc ad d bd ----++++----+++
2222222a b c d bd dc bc =-++++--
【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则以及合并同类项法则的运用.
31. 计算:()()()
422422816x y x y x x y y +--+. 【难度】★★
【答案】642246124864x x y x y y -+- 【解析】原式=224224(4)(816)x y x x y y --+ 642244224681643264x x y x y x y x y y =-+-+-
642246124864x x y x y y =-+-
【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则以及合并同类项法则的运用.
32. 计算:
(1)()()
22
321231x x x x +++-;
(2)()()()()3223334x y x y x y x y ++--+.
【难度】★★
【答案】(1)432613+51x x x x ++-;(2)2231818x xy y ++.
【解析】(1)原式=432322432693462231613+51x x x x x x x x x x x x +-++-++-=++-
(2)原式=22222269463491231818x xy xy y x xy xy y x xy y +++--++=++
【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则以及合并同类项法则的运用.
33. 计算:()()()()
242422325235333x x x x x x +++-+++. 【难度】★★ 【答案】4223x x -+-
【解析】原式=64242644221569104615153399x x x x x x x x x x +++++------
4223x x =-+-
【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则以及合并同类项法则的运用.
34. 求()()2
2
4a b a b ab +---的值,其中2002a =,2001b =. 【难度】★★ 【答案】0
【解析】()()2
2
222242240a b a b ab a ab b a ab b ab +---=++-+--=
【总结】本题主要考查学生对多项式与多项式相乘的法则以及合并同类项法则的运用.
35. 先化简,再求值:()()()()1213125x x x x x x -++---,其中2x =. 【难度】★★ 【答案】19
【解析】原式=222222615253185x x x x x x x x x -++-++-=-+-
把2x =代入,可得1236519-+-=
【总结】本题主要考查单项式乘以多项式法则的运用以及代入求值的问题.
36. 先化简,再求值:
()()()252212153442x x x x y x x y ⎛
⎫-+--++-- ⎪⎝
⎭,其中1,2x y =-=.
【难度】★★ 【答案】77
【解析】原式=223322(41)51516101613252x x xy x xy x x xy -+---=-+--
把1,2x y =-=代入可得:161350277++-=
【总结】本题主要考查单项式乘以多项式法则的运用以及代入求值的问题.
37. 根据()()()2
x a x b x a b x ab ++=+++,直接计算下列题:
(1)1149x x ⎛
⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭;
(2)()()82xy a xy a -+.
【难度】★★
【答案】(1)2131
3636
x x -+
;(2)222616x y axy a -- 【解析】(1)原式=22111131
(49363636x x x x +--+=-+
(2)原式=222222(82)16616x y a a xy a x y axy a +-+-=--
【总结】本题类似于给出一个新算法根据新算法直接进行求值.
38. 解方程:()()()()322365115x x x x --=+-+. 【难度】★★
【答案】1
3
x =-
【解析】解:2261366515x x x x -+=--+;124x =-;1
3x =-
【总结】本题主要考查整式的乘法在方程计算中的运用.
39. 解方程组:()()()()
()()121211264x y x y x y y x ⎧-+=+-⎪⎨+-=-⎪⎩.
【难度】★★★
【答案】1
1x y =⎧⎨=⎩
【解析】解:2212222
264xy x y xy x y x xy xy y +--=-+-⎧⎨+-=-⎩
;
34102460x y x y -+=⎧⎨+-=⎩;1
1x y =⎧⎨
=⎩
. 【总结】本题主要考查整式的乘法在求方程组的解中的运用.
40. 如果442215,3x y x y xy +=-=-,那么4422242323x y xy x y xy y --+++的值. 【难度】★★★ 【答案】12
【解析】()()
44222444224422232312x y xy x y xy y x y xy x y x y xy x y --+++=+-+=+--= 【总结】本题在计算时注意整体代入思想的运用.
四、解答题
41. 在长为32a +,宽为23b +的长方形铁片上,挖去长为1b +,宽为1a -的小长方形铁片,
求剩余部分的面积. 【难度】★★
【答案】5857ab a b +++
【解析】12(32)(23)(1)(1)5857S S S a b b a ab a b =-=++-+-=+++
【总结】本题主要考查长方形面积公式,割补法的简单运用以及多项式的乘法法则.
n
m
42. 画出长方形,用长方形的面积分别表示下列各式及运算结果.
(1)()a b c d ++;
(2)()()a b c m n +++.
【难度】★★
【答案】长方形参考【解析】(1)ab ac ad ++;(2)am an bm bn cm cn +++++ 【解析】
(1)
(2)
【总结】本题主要考查长方形面积公式,割补法的简单运用以及整式的乘法法则.
43. 说明:对于任意的正整数,代数式()()()732n n n n +-+-的值是否总能被6整除. 【难度】★★
【答案】证明步骤参考【解析】
【解析】原式=2276666(1)n n n n n n +--+=+=+,∵n 为任意正整数,∴总能被6整除. 【总结】本题主要考查数的整除以及整式的乘法法则.
44. 若()()
22231x ax b x x +--+的积中,3x 的系数为5,2x 的系数为-6,求a ,b . 【难度】★★
【答案】452
a b =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
【解析】其乘积中含3x 的项为:3332x ax -+,其乘积中含2x 的项为:22223bx x ax -+-
根据系数的值可得:3252136a b a -+=⎧⎨-+-=-⎩;解得:4
52a b =⎧⎪
⎨=-⎪⎩.
【总结】本题主要考查学生对乘积中不含2x 和3x 项的具体理解和运用.
a
45. 已知:多项式2x ax b ++与31x +的积中含2x 项的系数为10,且积中不含x 项,求ab 的
值. 【难度】★★ 【答案】3ab =-
【解析】其乘积中含2x 的项为:223ax x +,而含x 的项为:3bx ax +,
根据系数的值可得:311030a b a +=⎧⎨+=⎩,解得:3
1a b =⎧⎨=-⎩
,所以3ab =-.
【总结】本题主要考查学生对乘积中不含x 项的具体理解和运用.
46. 设()()
3254326356107133212ax x x x b x x x x x -+++=+-++-,求a 与b 的值. 【难度】★★ 【答案】2,2a b ==-
【解析】根据待定系数法,求最高次数项和常数项的值可得:5536ax x =,612b =-
即:2,2a b ==-
【总结】本题只要考查多项式与多项式的乘法法则的具体应用.
47. 求展开式()()
3223225372323a a b ab b a ab b -+-+-中32a b 和23a b 的系数. 【难度】★★ 【答案】0和17
【解析】其展开式中含32a b 的项为:
322223232325(3)(3)273156210a b a b ab ab a a b a b a b ⋅-+-⋅+⋅=--+=
其展开式中含23a b 的项为:
22232232323233(3)7223914617a b b ab ab b a a b a b a b a b -⋅-+⋅-⋅=+-=
【总结】本题在计算时注意不要全部乘出,只要找出与所求项有关的即可.
48. 整式的乘法运算()()4x x m ++,m 为何值时,乘积中不含x 项?m 为何值时,乘积中x
项的系数为6?你能提出哪些问题?并求出你提出问题的结论. 【难度】★★
【答案】4m =-;2m =;答案不唯一.
【解析】2(4)()(4)4x x m x m x m ++=+++;当40m +=时,不含x 项;当乘积中x 项的系数为6时,46m +=,2m =;(提示:对一次项系数和常数项提问都可以). 【总结】这是一个开放题,再讲解时注意引导.
49. 已知a 、b 、m 均为正整数,且()()215x a x b x mx ++=++,则m 可能取的值有多少个?
【难度】★★ 【答案】8,16m =
【解析】2()()()x a x b x a b x ab ++=+++;待定系数法可得:15ab a b m =⎧⎨+=⎩
,∵a 、b 、m 均
为正整数,∴53a b =⎧⎨=⎩或151a b =⎧⎨=⎩或3
5a b =⎧⎨=⎩
,即得8m =或16m =.
【总结】本题主要考查学生对多项式乘以多项式法则的应用,以及乘积中各项系数与因式中常数项之间的关系.
50. 若()2
2133x px x x q ⎛⎫+--+ ⎪⎝
⎭的积中不含x 项与3x 项:
(1)求p 、q 的值.
(2)求代数式()()2
1
22015201623p q pq p q --++的值.
【难度】★★★
【答案】(1)1
3,3
p q ==-;(2)36
【解析】乘积中含有x 的项有:(1)pqx x pq x +=+;含有3x 的项有:3333(3)x px p x -+=-
根据题意可得:1
3,3
p q ==-,代入可得:
()()212
2015201621201520161
23(23)(3)3(363
p q pq p q ---++=-⋅-+-+⋅-= 【总结】本题一方面涉及幂的运算以及积的乘方,另一方面注意对乘积中不含x 项与3x 项的理解和应用.
51. 如果()()
2233y ay y y b ++-+的展开式中不含2y 和3y 项,求代数式:
()()3
2
2122a a b a ab b ⎛⎫
--+-+
⎪⎝
⎭
的值. 【难度】★★★ 【答案】-5832
【解析】乘积中含2y 的项有:222233(33)ay y by a b y -++=-++;
乘积中含3y 的项有:333ay y -; ∵不含有2y 和3y 项,∴3,6a b ==;
把a 、b 代入可得()()322312(6)3(91818)58322a a b a ab b ⎛
⎫--+-+=-⋅⋅-+=- ⎪⎝
⎭
【总结】本题一方面涉及幂的运算以及积的乘方,另一方面注意对乘积中不含2y 和3y 项的理解和应用.
52. 设x y z 、、为实数,且:
()
()()2
22y z x y z x -+-+-()()()222
222y z x x z y x y z =+-++-++-,
求
()()()
()()()
2
22111111yz zx xy x
y z ++++++的值.
【难度】★★★ 【答案】1 【解析】
222222
2222222222()()()()()()()()()2()2()2()2()()2()()2()()0()()()2()()2()()2()()
0()y z x y z x y x z x x y z y x z y z y z x y z x x y z x y z y x z x x y z y x z y z y z x y z x x y z x y z z x y z x y y z -+-+-=-+-+-+-+-+--+-+-=-+-+-+--+--+--=-+-+----------=-+[]22222222
222
()()()()()()()()0()()()()()()02()()()x y z x x y z x y z z x x y y z y z z x x y y z x y z x x y z x y z y z x y z x -+----+-+--+-+--+-=-+-+-+-+-+-⎡⎤=-+-+-⎣⎦
可得x y z ==,所以
()()()
()()()
2
2
2
1111111yz zx xy x
y z +++=+++
【总结】本题主要考查如何合理运用整式的乘法,适当拆项便于整体计算.。