矩阵理论在通信的应用

矩阵理论在通信网络中的应用

——利用幺模矩阵分析最小费用流问题

摘要

将通信网络中节点间的业务看作是一个流，假设一对节点间存在v个流量的业务需求，怎样使得最终达到满足要求且费用最小。通过线性规划建模，利用矩阵理论中完全幺模矩阵以及幺模矩阵的知识，保证求得的最优解为整数解，使得最小费用流问题得以解决。

关键字：最小费用流，完全幺模矩阵，幺模矩阵，整数解

ABSTRACT

View the business communication between nodes in the network as a stream, a v of the flow between nodes business needs, how to make the end meet the requirements and minimum cost. The linear

programming model, by using matrix theory totally unimodular matrix and knowledge unimodular matrix, guarantee to obtain the optimal solution for the integer solution, so that the minimum cost flow problem can be solved.

Key Words: Minimum Cost Flow ,Totally Unimodular ,Unimodular , integer solution

第一章矩阵理论简介

根据世界数学发展史的记载，矩阵理论概念剩余19世纪50年代，是为了解决线性方程组的需要而诞生的。1855年，英国数学家Caylag在研究线性变换下的不变量时，为了简介、方便而引入了矩阵的概念。矩阵的理论发展非常的迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已经基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它已近发展成为在物理、控制论、经济学、等学科有大量应用的分支。

用矩阵的理论与方法来处理通信网络技术中的各种问题已越来越普遍。在通信工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容置疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景，也使通信网络技术的研究发生新的变化，开拓了崭新的研究途径，例如网络中的最小费用

流问题、最短分离路径对问题、多商品流问题等，无不与矩阵理论发生紧密结合。因此矩阵的理论与方法已成为研究通信工程技术的数学基础。

第二章最小费用流问题

1、最小费用流简介

通信网络的主要作用是将业务从源端发送到宿端。为了充分利用网络的资源，包括线路、转接设备等，总是希望合理地分配流量，以是从源端到宿端的流量尽可能的大，传输的代价尽可能的小。但网络内流量分配并不是任意的，它受限于网络的拓扑结构，边和端的容量及费用，另外可能还有各种别的限制。

在通信网络中，如果将网络中节点间的业务看作是一个流的话，为满足一对节点对之间的业务需求而涉及业务流路径带宽分配被称作为单商品流问题。现假设一对节点间存在v个流量的业务需求，即需要在通信网络拓扑中通过利用其他一些中间节点并且合理的分配路径来搬运v个单位的流，使得最终达到满足要求时的总费用代价最小。

2、最小费用流问题的描述

通信网络中的各个交换机或者路由器通常可以看做是网络拓扑图中的一个个节点，它们之间的链路可以描述为各个节点间相连的线段。通过这样的转换就可以将网络拓扑通过图的形式描绘出来，以便进一步分析。给定一个通信网络拓扑图G(V,E)，其中V表示的是所有节点的集合，E

表示的是所有链路的集合，G(V,E)表示所有的点与边之间的通过一定连接

关系所构成的图。除了源、宿端点外的其他节点，比如节点i，用v

i

表示；

l

ij 表示节点i和j之间的链路边； l

ij

边上的流量用x

ij

表示。另外，给定

网络拓扑中每条边上的单位流量的代价为c

ij ，边的带宽即容量为u

ij

。

接下来给定一对节点对之间的业务流量需求的理论描述：(1)源点s到宿点t之间需要v个流量的业务，即源点s需要流出v个单位的流量，宿点t需要流入v个单位的流量；并且假设流入为正，流出为负 (2)网络中除了源点s和宿点t之外的其他节点i∈i−{i,i}流入的流量和流出

的流量应该守恒，即相加为0 (3)每条链路边上的流量x

ij

应该满足大于等

于0且小于等于这条边l

ij 上对应的带宽容量u

ij

(4)优化目标是最小化总

的链路流量与单位流量代价的乘积的和。

第三章矩阵理论分析最小费用流

1、最小费用流的矩阵形式

通过上面的分析，我们可以通过线性规划建模得到以下结果：

上面的线性规划建模结果是在确定的源点到宿点存在v个单位流的情况。

实际情况下，我们考虑从源节点到宿节点，图中每个节点i 的需求等于b(i)，而不再是单一值v 或者0。这种情况下，上面的表达式需要做一点儿改变：

对比这两个表达式，我们可以看到只有约束条件的等式右端从v 或者0变为了b(i)，b(i)表示顶点i 的需求量或者供应量。需求量为负整数，供应量为正整数；所有的需求量之和等于供应量之和，即∑i (i )=0i i =1。b(i)>0，则顶点i 为供应节点；b(i)<0，则顶点i 为需求节点；b(i)=0，则顶点i 为转运节点。

为了书写方便，我们可以将约束条件及约束目标写为矩阵形式。这里定义m 维矢量c={c ij }、x={x ij }、u={u ij }，n 维矢量b={b(i)}；将第一行的所

有约束条件写为n ×m维的矩阵N ，矩阵N 中的元素取值只为1或者-1；当顶点i 是边j 的起点时，N ij =1；当顶点i 是边j 的终点时，N ij =1；我们将

矩阵N 成为点边关联矩阵。这样线性规划表达式可以这样描述：