人教版八年级数学讲义勾股定理逆定理(含解析)(2020年最新)

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人教版初二数学八年级下册勾股定理的逆定理优秀PPT课件

问题4：命题1和命题2的题设和结论有着什么的关系？两个命题的题设和结论正好相反，象这样的两个命题叫做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫做它的逆命题.
归纳概念
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
勾股定理逆定理的证明
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形.
证明:画一个△A’B’C’,使
∠ C’=90°,B’C’=a, C’A’=b ∵ ∠ C/=900 ∴ A’B’2= a2+b2
A
ac
Cb B
A′
a
C′ b B′
∵ a2+b2=c2
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
∴ A’B’ =c
勾股定理逆定理的证明
在△ ABC和△ A’B’C’中 BC=a=B’C’ CA=b=C’A’ AB=c=A’B’
∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS） ∴ ∠ C= ∠ C/=90° 则 △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
定理与逆定理
斜边为c，那么有a2 + b2 = c2
• 问题5 :请同学们举出一些互逆命题，并思考：是否原命题正确，它的逆命题也正确呢？举例说明．
• 追问1：在我们大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成吗？ • 问题6 : 原命题正确，它的逆命题不一定正确.那么勾股定理的逆命题正确吗？如果你认为是真确的，你能证明这个命题 “如果三角形的三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形”吗？

八年级-人教版-数学-下册-第3课时-勾股定理及其逆定理的综合应用

∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形．
∴S△ABC＝
1 2
AC·BC＝
1 2
CD·AB，
∴150×200＝250·CD，
∴CD＝150 200 ＝120（m）．
C
250
∵拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域，
B D
∴学校 C 会受噪声影响．
A
（2）若拖拉机的行驶速度为 50 m/min，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
解：（2）当 a2＋b2＞c2 时，△ABC 为锐角三角形；当 a2＋b2＜c2 时，△ABC 为钝角三角形．
在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设 c 为最长边，当 a2＋b2＝c2 时，△ABC 是直角三角形；当 a2＋b2≠c2 时，利用代数式 a2＋b2 和 c2 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．
分析：（2）利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而可得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．
B
C
F
D
E
A
解：（2）如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当拖拉机在 EF
上时学校会受噪声影响．
∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，
∴ED＝50（m）， ∴EF＝100（m）．
（1）当△ABC 三边分别为 6，8，9 时，△ABC 为__锐__角___三角形；当△ABC 三边分别为 6，8，11 时，△ABC 为__钝__角___三角形．
6
9
8
6
10
8
6
11
8
解：（1）直角三角形两直角边分别为 6，8 时，斜边＝ 62＋82 ＝10，

人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理课件 (共15张PPT)

知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,

人教版八年级数学下册课件：17.2 勾股定理的逆定理(共18张PPT)

课堂小结
1．什么是勾股定理的逆定理？如何表述？ 2．什么是命题？什么是原命题？什么是逆命题？
名校讲坛
例1 (教材P32例1)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形． (1)a＝15，b＝8，c＝17； (2)a＝13，b＝14，c＝15.
名校讲坛
【解答】 (1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形． (2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，所以132＋142≠152，这个三角形不是直角三角形．【点拨】根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方．大边对的是大角，即大边对的角是直角．
17．2 勾股定理的逆定理
学习目标
1．理解勾股定理逆定理的具体内容及原命题、逆命题、勾股数的概念． 2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形． 3．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力．
预习反馈
阅读教材P31～33，体会例1、例2的解答过程，并完成下列预习内容： 1．古埃及人画直角的方法是：在一根绳子上打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，然后用木桩钉成一个三角形，其中一个角是直角． 2．互逆命题：在一对命题中，第一个命题的题设恰好为第二个命题的结论，而第一个命题的结论恰好是第二个命题的题设，像这样的两个命题叫做互逆命题．我们把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．
名校讲坛
【解答】对．因为a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝ (m2＋1)2，而c2＝(m2＋1)2，所以a2＋b2＝c2，即a，b，c是勾股数． m＝2时，勾股数为4，3，5；m＝3时，勾股数为6，8，10；m＝4 时，勾股数为8，15，17.

人教版数学八年级下册《勾股定理的逆定理》ppt课件

a
在△ABC 和△A′B′C′ 中
AC AC = b，
BC
BC
=
a，
AB AB = c，
探究新知
方法点拨
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.
探究新知
考点 1 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是, 那么哪一个角是直角？
90 120
150
6
60
6.530
180
0
2.5
7.5 8.5 4
(3) 想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想.
这些三角形是直角三角形！
猜想命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
证一证：已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC 是直角三角形．
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
我觉得这个猜想不准确，因为测量结
果可能有误差.
探究新知
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，
并且 a2 b2 c.2
理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
巩固练习
D
下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( D )

人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理-逆定理(有答案)

人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理－逆定理（有答案）第6讲勾股定理－逆定理第一部分知识梳理知识点一：勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 .①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点二：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三：勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整例4、已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形.例5、三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？举一反三：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，402、下列各组线段中的三个长度：①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（）A 、5组B 、4组C 、3组D 、2组3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A 、30厘米B 、40厘米C 、50厘米D 、以上都不对4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

第02讲勾股定理的逆定理(解析版)-八年级数学

第02讲勾股定理的逆定理1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与逆定理的联系与区别.2.能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题.3.初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定理就解决一些几何问题.4.通过具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.知识点1：勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.注意：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.知识点2：勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数考点一：直角三角形的判断例1．（2023八下·怀集期中）下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（）A．、、7B．5、4、8C．3、5、4D．、3、【答案】C【解答】解：A、，不能构成直角三角形，故不合题意；B、，不能构成直角三角形，故不合题意；C、，能构成直角三角形，故符合题意；D、，不能构成直角三角形，故不合题意．故答案为：C．【变式1-1】（2023八下·定州期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．9，12，15B．6，8，10C．，2，3D．1.5，2.5，3.5【答案】D【解答】解：A、92+122=152，是直角三角形，故不符合题意；B.62+82=102，是直角三角形，故不符合题意；C．（）2+22=32，是直角三角形，故不符合题意；D.1.52+2.52≠3.52，故不是直角三角形，故符合题意．故答案为：D．【变式1-2】（2023八下·会昌期中）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（）A．1，，B．4，7，5C．5，13，12D．2，3，【答案】B【解答】A．，是直角三角形，故本选项不符合题意；B．，不是直角三角形，故本选项符合题意；C．，是直角三角形，故本选项不符合题意；D．，是直角三角形，故本选项不符合题意；故答案为：B．【变式1-3】（2023八上·开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．2、3、4B．4、5、6C．5、11、12D．8、15、17【答案】D【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.故答案为：D.例2.（2023八上·达川期末）在中，的对边分别为，下列所给数据中，能判断是直角三角形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、∵，，∴，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵，∴，∴，∴是直角三角形，故此选项符合题意；C、∵，设，则，，∴，解得，，，，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵，设，，，∴，解得，∴，，，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；故答案为：B.【变式2-1】（2023八上·内江期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（）A．B．，，C．D．【答案】D【解答】解：∵，∴，∴是直角三角形，故A不符合题意；∵，，∴，∴是直角三角形，故B不符合题意；∵，，∴，∴，∴是直角三角形，故C不符合题意；∵，，∴，∴不是直角三角形，故D符合题意；故答案为：D.例3．（2023八下·咸宁期中）如图，每个小正方形的边长为1（1）求四边形的周长；（2）是直角吗？说明理由.【答案】（1）解：∵每个小正方形的边长为1∴，，，∴四边形的周长为（2）解：如图所示，连接，∵，，，∴，∴，∴是直角三角形，是直角.【变式3-1】2023八上·鄞州期末）如图：的三个顶点坐标分别是，，.（1）在平面直角坐标系中画出；（2）判断的形状，并说明理由.【答案】（1）解：如图，为所作；（2）解：为等腰直角三角形.理由如下：∵，，，∴，，，，∴为直角三角形，，，∴为等腰直角三角形.【变式3-2】（2022八上·历城期中）如图，正方形网格的每个小正方形边长都是1，的顶点在格点上．（1）判断的形状，并说明理由．（2）面积是，边上的高是．【答案】（1）解：为直角三角形，理由：由题意得：，，，∴，∴为直角三角形，∴；（2）13；【解答】（2）设边上的高为h，由（1）得：，，，∴的面积=，∵的面积=，∴，∴．∴的面积为13，边上的高为．考点二：勾股数的应用例4.（2021八上·灵石期中）设三角形的三边分别是下列各组数，则不是直角三角形勾股数的一组是（）A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13D．6，8，10【答案】B【解答】本题设三角形三边分别为，，，三边不确定而分别试求：是否符合直角三角形三边关系：，A、，故A选项符合；B、，故B选项不符合；C、，故C选项符合；D、，故D选项符合．故答案为：B．【变式4-1】（2021八上·城阳月考）下列各组数中不是勾股数的是（）A．9，15，12B．11，60，61C．6，8，10D．0.3，0.4，0.5【答案】D【解答】根据勾股数的含义知，A、B、C三个选项的三组数均是勾股数，选项D中的三个数都不是整数，故不是勾股数．故答案为：D．【变式4-2】（2021八上·惠来期中）下列各组数中，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．5，12，13C．6，8，10D．7，13，18【答案】D【解答】A、32+42=52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B、52+122=132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；C、62+82=102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；D、72+132≠182，不能构成直角三角形，故不是勾股数，故答案为：D．【变式4-3】（2020八上·昌平期末）下列是勾股数的有()13、4、5；②5、12、13；③9、40、41；④13、14、15；⑤；⑥11、60、61A．6组B．5组C．4组D．3组【答案】B【解答】解：①，故3、4、5是勾股数；②，故5、12、13是勾股数；③，故9、40、41是勾股数；④，故13、14、15不是勾股数；⑤，故是勾股数；⑥，故11、60、61是勾股数是勾股数的共5组故答案为：B考点三：勾股定理的逆定理应用例5.（2022八上·北仑期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪.（1）是直角三角形吗？为什么？（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？【答案】（1）解：是直角三角形，理由：连接，在中，，米，米，由勾股定理得：米，，，，，是直角三角形；（2）解：该空地面积平方米，即铺满这块空地共需花费元.【变式5-1】（2022八上·大丰期中）如图所示四边形，已知，，，，，求：（1）的长；（2）该四边形的面积.【答案】（1）解：∵△ABC中，，，，∴；（2）解：，∵在中，，，，∴，∴是直角三角形，，∴.∴.【变式5-2】（2021八上·嵩县期末）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得，，，且．（1）试说明；（2）求四边形展区（阴影部分）的面积．【答案】（1）解：∵中，BC=16m，CD=12m，BD=20m，∴，，∴，∴是直角三角形，；（2）解：过点A作于点E，∴，∵，∴，在中，AB=26m，∴，∴，∵，∴．1．（南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．5，11，12B．2，3，4C．4，6，7D．3，4，5【解答】解：A、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误；B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；C、42+62≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误；D、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项正确．故选：D．2．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．3．（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．4．（北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45．5．（贵阳）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC 是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为三角形．（2）猜想，当a2+b2c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2c2时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．【解答】解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边＝＝10，∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；故答案为：＞；＜；（3）∵c为最长边，2+4＝6，∴4≤c＜6，a2+b2＝22+42＝20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；②a2+b2＝c2，即c2＝20，c＝2，∴当c＝2时，这个三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．6．（河北）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣12n B 勾股数组Ⅰ/817勾股数组Ⅱ35/37【解答】解：尝试：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，发现∵n4+2n2+1＝（n2+1）2，A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．故答案为：17；37．1．（2023八下·咸宁期中）以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（）A．6，12，13B．6，8，9C．3，4，5D．5，12，15【答案】C【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故答案为：C.2．（2023八下·洪山期中）下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是（）A．，，B．C．D．【答案】A【解析】【解答】解：A.∵，∴是直角三角形，故此选项符合题意；B.∵，设，则，则，不能构成三角形，故此选项不符合题意；C.∵，∴，∴是等边三角形，故此选项不符合题意；D.∵，，∴，∴不是直角三角形，故此选项符合题意；故答案为：A.3.下面各组数中，是勾股数的是（）A．9，16，25B．0.3，0.4，0.5 C．1，3，2D．7，24，25【答案】D【解答】解：A．∵92+162≠252，∴不是勾股数，不符合题意；B．∵0.3，0.4，0.5不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；C．∵12+22≠32，∴不是勾股数，不符合题意；D．∵72+242＝252，∴是勾股数，符合题意．故选：D．4．我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，，；…【答案】60；61【解析】【解答】勾股数的第一个数是奇数，第三个数比第二个数大1，且第二个数是偶数，注意到4=2×1×2；12=2×2×3，24=2×3×4；40=2×4×5；60=2×5×6，60+1=61.故答案为(1).60；(2).615．（2020八上·柯桥期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如，，，等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么与这两个整数构成一组勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加l得到两个整数，那么与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由生成的勾股数”.若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为，则.【答案】142【解析】【解答】解：∵92=81，81=40+41∴“由9生成的勾股数”的“弦数“记为41，即A=41，∵，∴“由20生成的勾股数”的“弦数“记为101，即B=101，∴.故答案为：142.6．（2023八上·榆林期末）如图，在中，是上一点，若，，，.（1）求证：；（2）求的面积.【答案】（1）证明：∵，，，∴，，∴，∴是直角三角形，∴.（2）解：∵，∴，∵，，∴∴的面积为.∴的面积为60.7．（2023八下·洪山期中）如图，在四边形中，，求四边形的面积.【答案】解：连接，在中，∴，在△ACD中，，∴是直角三角形，且，∴四边形的面积.故四边形的面积为8．（2021八上·六盘水月考）如图所示，六盘水市某中学有一块不规则四边形的空地ABCD，学校计划在空地上铺悬浮地板，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m.（1）求空地ABCD的面积.（2）若每铺1平方米悬浮地板需要120元，问总共需投入多少元？【答案】（1）解：如图，连接AC，在直角三角形ABC中，∵∠ABC=90°，BC=6m，AB=8m，∴m，∵AC2+CD2=102+242=676=AD2，∴∠ACD=90°，=S△ABC+S△ACD=＝144，∴S四边形ABCD答：空地ABCD的面积是144m2.（2）解：144×120=17280（元），答：总共需投入17280元.9．（2022八上·太原期中）为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．【答案】解：该材料符合设计要求，理由如下：在中，，，，∴，∴，在中，，，，∴，∴，∴，∴，∴该材料符合设计要求．10．（2022八上·衢州期中）如图，一个零件的形状如图所示，∠A=90°，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．（1）求证：BC⊥BD（2）求这个四边形的面积．【答案】（1）证明：∵∠A=90°，∴AD2+AB2=DB2即122+92=DB2，解之：DB=15；∵DB2+BC2=152+82=289，DC2=172=289，∴DB2+BC2=DC2，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD+S△DBC=+=114（2）解：S四边形=S△ADB。

人教版八年级数学勾股定理逆定理讲义 (含解析)

第17讲勾股定理逆定理知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习勾股定理的逆定理。

它是初中几何中及其重要的一个定理，是今后判断某三角形是直角三角形的证明方法之一，有着广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，因此本节内容至关重要。

知识梳理讲解用时：20分钟勾股定理逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.勾股定理与勾股定理逆定理是互逆的关系3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理.4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5.勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.熟记几组常见的勾股数：（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）（7，24，25）、（9、40、41）等等.注意：一组勾股数同时扩大或缩小相应的倍数，仍满足勾股定理的逆定理.课堂精讲精练【例题1】在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（）A．4、7、9 B．5、12、13 C．6、8、10 D．7、24、25【答案】A【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、82+62=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不符合题意．故选：A．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．教学建议：掌握勾股定理的逆定理，只要满足最长的边的平方等于另外两边的平方和即可.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2 B．a：b：c=3：4：5C．∠A：∠B：∠C=9：12：15 D．∠C=∠A﹣∠B【答案】C【解析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．解：A、由b2﹣a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由∠A：∠B：∠C=9：12：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°，故不是直角三角形．D、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A﹣∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；故选：C．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．教学建议：通过勾股定理逆定理或者三角形内角和判断出直角即可.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：金堂县期末年份：2017【练习1.2】下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，13【答案】C【解析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．解：A、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；C、∵72+242=252，∴是勾股数，此选项正确；D、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了勾股数，说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…教学建议：熟记基本的勾股数同时扩大或缩小相应的倍数仍然满足勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2017【例题2】已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．【答案】24【解析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．解：∵62+82=102，∴此三角形为直角三角形，∴此三角形的面积为：×6×8=24．故答案为：24．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．教学建议：通过勾股定理逆定理判断出直角三角形，然后求面积.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：牡丹区期末年份：2017【练习2.1】三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．【答案】直角【解析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2=c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．教学建议：化简之后通过勾股定理的逆定理证明直角.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4=，12=，24=…请写出第5个数组：．【答案】11，60，61【解析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．解：∵①3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；②5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；③7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；④9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；⑤11=2×5+1，60=2×52+2×5，61=2×52+2×5+1，故答案为：11，60，61．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．教学建议：学会探索勾股数的规律.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：永城市期中年份：2017【练习3.1】若8，a，17是一组勾股数，则a= ．【答案】【解析】分a为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．解：①a为最长边，a=，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a==15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．讲解用时：3分钟解题思路：考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．教学建议：本题要分两种情况考虑，熟记勾股数都是正整数.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：通州区校级期中年份：2017【例题4】如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为单位1．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）求点B到AC的距离．【答案】（1）△ABC为直角三角形；（2）【解析】（1）根据勾股定理以及逆定理解答即可；（2）根据三角形的面积公式解答即可．解：（1）由勾股定理得，AB=，BC=2，AC=AB2+BC2=65=AC2△ABC为直角三角形；（2）作高BD，由得，解得，BD=点B到AC的距离为．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查勾股定理问题，关键是根据勾股定理以及逆定理解答．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】计算图中四边形ABCD的面积．【答案】246【解析】首先利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明三角形BDC是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求出答案．解：∵∠A=90°，∴BD2=AD2+AB2=400，∴BD2+CD2=625=BC2，∴△BCD为直角三角形，∴S四边形ABCD=AD•AB+CD•BD=246．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了勾股定理的逆定理以及勾股定理的知识，解题的关键是证明△BCD为直角三角形，此题难度不大．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：阜宁县期末年份：2017【例题5】如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．【答案】+6【解析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．解：连接BD．∵∠A=90°，AB=2cm，AD=，∴根据勾股定理可得BD=3，又∵CD=5，BC=4，∴CD2=BC2+BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD=90°，∴S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD=AB•AD+BC•BD=×2×+×4×3=+6（cm2）．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键．解题时注意：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．【答案】2+【解析】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理逆定理在△BCD中，证明△BCD是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积即可求出答案．解：连接BD，在Rt△BAD中，∵AB=AD=2，∴BD==2，在△BCD中，DB2+CD2=（2）2+12=9=CB2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC=90°，∴四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积=2×2÷2+1×2÷2=2+．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解本题的关键．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，AD是△ABC的中线，AD=12，AB=13，BC=10，求AC长．【答案】13【解析】首先利用勾股定理逆定理证明∠ADB=90°，再利用勾股定理计算出AC 的长即可．解：∵AD是△ABC的中线，且BC=10，∴BD=BC=5．∵52+122=132，即BD2+AD2=AB2，∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，又∵CD=BD，∴AC=AB=13．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，根据题意证明∠ADB=90°是解决问题的关键．教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：滨海县期末年份：2017【练习6.1】如图，有一块耕地ACBD，已知AD=24m，BD=26m，AC⊥BC，且AC=6m，BC=8m．求这块耕地的面积．【答案】96m2【解析】连接AB，先根据勾股定理求出AB的长，再由勾股定理的逆定理，判断出△ABD的形状，根据S四边形ADBC =S△ABD﹣S△ABC即可得出结论．解：连接AB，∵AC⊥BC，AC=6m，BC=8m，∴Rt△ABC中，AB==10m，∵AD=24m，BD=26m，∴AD2=242=576，BD2=262=676，AB2=102=100，∴AB2+AD2=BD2，∴△ABD是直角三角形，∴S四边形ADBC =S△ABD﹣S△ABC=AB•AD﹣AC•BC=×10×24﹣×8×6=120﹣24=96m2．答：这块土地的面积是96m2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是勾股定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习6.2】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，小鸟至少需飞行多少米？【答案】10【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10m，故小鸟至少飞行10m．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．教学建议：将实际问题转化为具体的几何问题，通过勾股定理进行计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：高安市期中年份：2018【例题7】如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C 处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．【答案】沿南偏东60°方向【解析】首先根据勾股定理逆定理得出∠ABC=90°，然后再判断AD∥NM，可得∠NBA=∠BAD=30°，再根据平角定义可得∠MBC=180°﹣90°﹣30°=60°，进而得到答案．解：∵AB=60，BC=80，AC=100，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴AD∥NM，∴∠NBA=∠BAD=30°，∴∠MBC=180°﹣90°﹣30°=60°，∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：灵石县期中年份：2018【练习7.1】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】沿西北方向航行【解析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．解：根据题意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里），∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远洋号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AD=9，BD=16，CD=12．（1）求△ABC的周长；（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．【答案】（1）60；（2）是【解析】（1）由勾股定理求出BC、AC，即可得出结果；（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴BC==20，AC==15，∵AB=AD+BD=25，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60；（2）△ABC是直角三角形；理由如下：∵BC2+AC2=202+152=252=AB2，∴△ABC是直角三角形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：东海县校级期中年份：2017【作业2】如图，四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=12，CD=9，AB=25，BC=20，求四边形ABCD的面积．【答案】204【解析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．解：连结AC，在△ADC中，∵∠D=90°，AD=12，CD=9，∴AC==15，S△ABC=AD•CD=×12×9=54，在△ABC中，∵AC=15，AB=25，BC=20，∴BC2+AC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴S△ACB=AC•BC=×15×20=150．∴四边形ABCD的面积=S△ABC +S△ACD=150+54=204．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：岱岳区期中年份：2017【作业3】如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么三角形吗？请说明理由．【答案】直角三角形【解析】根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长，再由勾股定理的逆定理即可作出判断．解：△ABC是直角三角形．在直角△ABF、直角△BCD、直角△ACE中，根据勾股定理即可得到：AB==；BC==；AC==5；则AC2=BC2+AB2∴△ABC是直角三角形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：成都期中年份：2017【作业4】如图，在四边形ABCD中，AB=BC=3，CD=，AD=，且∠B=90°，∠D=60°，求∠BCD的度数．【答案】75°【解析】连接AC，由于∠B=90°，AB=BC=3，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=，AD=，易得AC2+AD2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，根据直角三角形的性质可求∠DCA，从而易求∠BCD．解：连接AC，∵∠B=90°，AB=BC=3，∴AC===3，∠BAC=∠BCA=45°，又∵CD=，AD=∴AC2+AD2=18+6=24，CD2=24，∴AC2+AD2=CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DCA=90°﹣∠D=30°，∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=75°．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．【答案】直角【解析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．解：∵a+b=10，ab=18，c=8，∴（a+b）2﹣2ab=100﹣36=64，c2=64，∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

八年级数学下册17.2勾股定理的逆定理

17.2
勾股定理的逆定理
1.互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反,那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个叫做 ,那么另一个叫做它的 . 原命题逆命题 2.互逆定理一般地,如果一个定理的经过证明是正确的,那么它也是一个 ,称这两个定理互为 . 逆命题 3.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形. 定理逆定理 4.勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个 ,称为勾股数. a2+b2=c2
D 1.(2016宜城市模拟)下列命题的逆命题一定成立的个数是( ) ①对顶角相等;②同位角相等,两直线平行;③若a=b,则|a|=|b|;④若x=3 ,则x2=18. (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 2.(2016沂水县期中)以下各组数不能作为直角三角形的边长的是( ) B
2
(A)5,12,13
(1)证明:在△ABD中, 因为AB=13,AD=12,BD=5,52+122=132, 所以BD2+AD2=AB2, 所以△ABD是直角三角形, 所以∠ADB=90°. 所以AD⊥BC.
(2)解:因为 AD=12,AC=15, 所以 CD= AC 2 AD 2 = 152 12 2 =9, 所以 S△ACD=
探究点二:勾股定理的逆定理【例2】已知:如图,△ABC中,CD⊥AB于D点,AC=4,BC=3,DB= . (1)分别求出DC,AD,AB的长;
9 5
【导学探究】 1.在Rt△CDB中,CD2=
,在Rt△ACD中,AD2= BC2-BD2
.
AC2-CD2
解:(1)因为 CD⊥AB 于 D 点,所以∠CDB=∠CDA=90°,
(2)猜想:△ABC是什么特殊三角形,并证明你的猜想. 【导学探究】 2.当AC2+BC2= 时 2 ,△ABC是直角三角形. AB

八年级数学下册教学课件-17.2 勾股定理的逆定理2-人教版

5.甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以
15 2 km/h的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以
15km/h的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C
处时发现渔具丢在乙船上，于是快速（匀速）沿北偏
东75°方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是多少千米/时？
解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°，
D
∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13，
∴ AC2+CD2=52+122=169．
又∵ AD2=132=169，
A
即 AC2+CD2=AD2，
∴ △ACD是直角三角形． B
C
∴ 四边形ABCD的面积为 1 3 4+ 1 5 12=36 ．
2
2
6、在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处，求:（1）此时快艇航行了多少米（即AB 的长）？（2）距离哨所多少米（即OB的长）？
小汽车在城市街路上行驶的速度不得超过70千米/时，
一辆小汽车在一条城市街路的直道上行驶，某一时刻
刚好行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处
，过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与车速检测
仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的
哪个方向?这辆小汽车超速了吗?
小汽车在车速检测仪的2秒后
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck （k为正整数)也是一组勾股数．
例2、某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航 ”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距 30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

勾股定理逆定理2勾股定理的逆定理课件人教新课标版

人教版八年级（下册）
第十八章勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和
等于斜边的平方。
如图：a2+b2=c2
B
或BC2+AC2=AB2
思考： 1.这个定理的题设与
a
c
结论是什么？
2.你能写出它的逆命 C b
A
题吗？
它的逆命题是否正确？
?古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结 ,把一根绳子分成等长的 12段,然后以3个结， 4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
(4)全等三角形的对应角相等．
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
感悟: 原一命个题命成题立是时真, 命逆题命,题它有的时逆成命立题,却有不时一不定成是立真命题.
A'
A
c b
B
a
C
b
B'
a
C'
勾股定理的逆命题
已知:在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b ，且a2+b2=c2，
求证:△ ABC是直角三角形。
证明:画一个△A'B'C', 使∠ C'=900,B'C'=a, C'A'=b 。
A
A'
c b
在△ ABC和△ A'B'C'中，
b
BC=a=B'C' ，
那么这个三角形是直角三角形。

人教数学八下《勾股定理的逆定理》勾股定理PPT精品课件

D．∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股数，故D错误．
D．7、8、9
新知讲解
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三
角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长
的平方.
例2：某港口P位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各
自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile。它们
命题2是正确的吗？你能试着证明吗？
利用勾股定理逆定理判断直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
1）a=15 ，b=8 ，c=17
2）a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24
PR=12×1.5=18
QR=30
∵ 242 + 182 = 302 ，即PQ2 + PR2 = QR2
∴∠RPQ=90°
而根据题意∠1=45°
∴∠2=∠RPQ - 45°=45°
N
R
2
Q
1
P
E
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
新知讲解
证一证: 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
∠C是直角

人教版初中数学八年级下册17.2 第1课时勾股定理的逆定理

人教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！人教版初中数学和你一起共同进步学业有成！17.2 勾股定理的逆定理第1课时勾股定理的逆定理学习目标：1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程；2、理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形. 学习重点：勾股定理的逆定理。

学习难点：勾股定理的逆定理的证明。

学习过程一、自学导航1、勾股定理：直角三角形的两条_________的平方____等于______的_______，即___________.2、填空题（1）在Rt △ABC ，∠C=90°，8，15，则。

=a =b =c （2）在Rt △ABC ，∠B=90°，3，4，则。

（如图）=a =b =c 3、直角三角形的性质（1）有一个角是；（2）两个锐角，（3）两直角边的平方和等于斜边的平方：（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的边是边的一半．二、合作交流1、怎样判定一个三角形是直角三角形？2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c 5、12、13 7、24、25 8、15、17 （1）这三组数满足吗？222c b a =+（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？猜想命题2：如果三角形的三边长、、，满足，那么这个三角形是 a b c 222c b a =+三角形问题二：命题1：命题2：命题1和命题2的和正好相反，把像这样的两个命题叫做命题，如果把其中一个叫做，那么另一个叫做由此得到勾股定理逆定理：命题2：如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角a b c 222c b a =+形.已知：在△ABC 中，AB =c ，BC =a ，CA =b ，且 222c b a =+求证：∠C =90°A C a b c思路：构造法——构造一个直角三角形，使它与原三角形全等，利用对应角相等来证明．证明：三、展示提升1、判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：a b c （1）；（2）． 17,8,15===c b a 15,14,13===c b a2、说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? （1）两条直线平行，内错角相等．（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．（3）全等三角形的对应角相等．（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．四、达标检测1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________，能构成直角三角形的是____________．（填序号）①3，4，5 ② 1，3，4 ③ 4，4，6 ④ 6，8，10 ⑤ 5，7，2 ⑥ 13，5，12 ⑦ 7，25，242、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（） A ．5，6，7B ．1，4，9C ．5，12，13D ．5，11，123、在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（） A 、a=9，b=41，c=40 B 、a=b=5，c= C 、a ∶b ∶c=3∶4∶5 D a=11，b=12，25C B Ab ac C'B'A'abc=154、若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（）A．42B．52C．7 D．52或75、命题“全等三角形的对应角相等”（1）它的逆命题是。