46边际分析与弹性分析

定义4.5 设函数 y f ( x)在点 x x0处可导，函数的
相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 ) ，与自变量的相对改
y0
f ( x0 )
变量 x 之比 y / y0 ，
x0
x / x0
称为函数 f ( x)从 x x0到 x x0 x两点间的相对变化率，
或称为两点间的弹性．
所以符合最大利润原则．
例7 某工厂生产某种产品，固定成本20 000元，每生产
一单位产品，成本增加100 元．已知总收益 R 是年产量Q 的函数
R
R(Q)
400Q
1 2
Q2
0 Q 400
80 000
Q 400
问每年生产多少产品时，总利润最大?此时总利润是多少?
解 根据题意，总成本函数为C C(Q) 20 000 100Q
x 20%, y 44%
x
y
这表示当 x 10改变到 x 12时， x 产生了20%的改变， y 产生了44%的改变．而
y / y 44% 2.2 x / x 20% 表示在(10,12)内，从 x 10时起， x 改变1%时， 则相应 y 的改变2.2%。我们称它为从 x 10到 x 12， 函数 y x2的平均相对变化率．
即生产60个单位产品与生产80个单位产品时的总成本 分别为380、520； 平均成本分别为6.33、6.5； 边际成本分别为6、8．
注意：平均成本、平均变化率、边际成本三个概念 虽然都反映一定意义下的平均值，但是又有本质的区别．
平均成本C(Q) 是生产一定数量产品时的成本平均值， Q
它只与产量范围Q 有关．
Q Q0
Q0
Q
边际成本是总成本函数C (Q ) 关于产量Q 的导数。 其经济含义是: 当产量为Q时，
再生产一个单位(即Q 1)所增加的总成本C(Q)．
设C 为总成本，C0为固定成本，C1为可变成本， C 为平均成本，C为边际成本，Q为产量，则有
总成本函数C C(Q) C0 C1(Q) 平均成本函数C C(Q) C(Q) C0 C1(Q)
因此，取得最大利润的充分条件是：
边际收益的变化率小于边际成本的变化率．
例6 已知某产品的需求函数为P 10 Q ，成本函数为 5
C 50 2Q，求产量为多少时总利润L最大?
并验证是否符合最大利润原则．
解 已知 则有
P(Q) 10 Q , C(Q) 50 2Q 5
R(Q) 10Q Q2 ， 5
因Q f (P)单调减少，所以有反函数P f 1(Q) （Q为自变量，P 为因变量)，也称为需求函数．
如右图所示．
根据观察可得到一些价格与需 Q
求的数据( P , Q) ，常用下列一些 简单初等函数来拟合需求函数， 建立经验曲线：
线性函数 Q b aP ，a,b 0 O
反比函数 Q k ， k 0, P 0 P
总收益与边际收益的关系为：
R(Q) d R(Q)， R(Q) Q R(t)dt （参见第六章定积分）
dQ
0
例5 某企业某种产品的收入R (单位：元)是产量Q (单位：吨)的函数R(Q) 600Q 1 Q2(Q 0)，
2 求生产150吨时的总收益、平均收益与边际收益．
解 R(Q) 600Q 1 Q2(Q 0), R(150) 78750 2
此时 L(300) 25 000，即当年产量为300个单位时，总利润最大， 此时总利润为25 000元．
五、函数的相对变化率一一函数的弹性
前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与 绝对变化率，但仅仅研究函数的绝对改变量与绝对变化率 还是不够的．还有必要研究函数的相对改变量与相对变化率．
例如， y x2，当 x 由10改变到12时， y 由100改变到144， 此时自变量与因变量的绝对改变量分别为x 2, y 44， 而相对改变相对改变量分别为：
例 1 函数 y x2, y 2x在点 x 10处的边际函数值，
y(10)20 它表示当 x 10时， x 改变一个单位，
y (近似)改变20个单位．
二、成本
某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部 经济资源投入(劳动力、原料、设备等)的价格或费用总额． 它由固定成本与可变成本组成．
解 由C 200 0.05Q2，有C 200 0.05Q, C 0.1Q Q
当Q 60时，总成本为C(60) 380， 平均成本为C(60) 6.33， 边际成本为C(60) 0.1 60 6.
当Q 80时，总成本C(80) 520，平均成本C(80) 6.5， 边际成本为C(80) 0.1 80 8．
与边际成本类似，边际收益定义为 R(Q )， 即边际收益是总收入函数 R(Q) 关于销售量Q 的导数．
其经济含义是：当销售量为Q 时．再销售一个单位
(即Q 1)所增加的收入R(Q)．
总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数．
设 P 为商品价格，Q为商品数量，R为总收益， R为平均收益， R 为边际收益，则有
多种因素决定的，商品的价格是影响需求的一个主要因素， 但还有许多其他因素，如消费者收入的增减，其他替代品 的价格等都会影响需求．现在不考虑价格以外的其他因素 (把其它因素对需求的影响看作是不变的)，只研究需求与 价格的关系．
设 P 表示商品价格，Q表示需求量，那么有Q f (P) （ P 为自变量，Q为因变量）称为需求函数． 一般说来，商品价格低，需求大；商品价格高，需求小． 因此，一般需求函数Q f (P)是单调减少函数．
R(Q) P(Q) 600 1 Q, R(150) 525 2
R(Q) (600Q 1 Q2 ) 600 Q, R(150) 600 150 450 2
此时，边际收益的经济含义是：
当销售量为150吨时，再销售一吨（即Q 1）所增加的
收入为450元，低于平均收益525元．
四、利润
当x
0时
y x
/ /
y0 x0
的极限称为
f
(
x)在
x0
处的相对变化率
或弹性，记作 Ey Ex
或E x x0 Ex
f ( x0 )，
即
Ey lim y / y0 Ex x x0 x0 x / x0
y lim
x0 x
x0 y0
f ( x0 )
x0 f ( x0 )
当 x0为定值时，
Ey Ex
为定值．
总利润是指总收益减去总成本． 设总利润为L，则 L L(Q) R(Q) C(Q)，L(Q) R(Q) C(Q)
L(Q)取得最大值的必要条件为： L(Q) 0，即 R(Q) C(Q)
于是可得取得最大利润的必要条件是： 边际收益等于边际成本．
L(Q)取得最大值的充分条件为： L(Q) 0，即 R(Q) C(Q)
x x0
对一般的 x ，若 f ( x)可导，则
Ey lim y / y lim y x y x
Ex x0 x / x x0 x y
y
是 x 的函数，称为 f ( x)的弹性函数．
函数 f ( x)在点x的弹性 E f ( x)反映了随着 x 的变化
Ex f ( x)变化幅度的大小，也就是 f ( x)对 x 的变化反应的强烈
需求(价格)函数
总收益函数
P P(Q)
R R(Q)
平均收益函数 边际收益函数
R R(Q) R R(Q)
需求与收益的关系是：
R R(Q) P(Q) Q， R R(Q) R(Q) P(Q) Q P(Q)
Q
Q
R R(Q) QP(Q) P(Q)
总收益与平均收益的关系为：
R(Q) R(Q) , R(Q) R(Q) Q Q
幂函数Q
k， Pa
a,k 0, P 0
指数函数Q aebP， a,b 0
Q(P)
Q f(P) P
2. 边际需求
需求函数Q f (P)的边际函数Q f (P)称为边际需求． 例如，若已知需求函数为Q 12 P2 ，则边际需求函数为
从而可得总利润函数为
L L(Q) R(Q) C(Q)
300Q
Q2 2
20
000,
60 000 100Q,
0 Q 400 Q 400
L(Q)
300 Q, 100,
0 Q 400 Q 400
令 L(Q) 0，得Q 300, L(300) 0，所以Q 300时 L最大.
Ex 及函数在点 x 2的弹性．
解
y aex， Ey
Ex
ae
x
x ae
x
x ，即指数函数的
弹性为线性函数. Ey 3 2 6 Ex x2
例 10 求幂函数 y axb（a ，b为常数且a,b 0)的弹性x
abxb1
x ax b
b，即幂函数的弹性是
其幂指数b .
平均成本是生产一定量的产品，平均每单位产品的成本． 边际成本是总成本的变化率． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下， 产品的总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数．
设生产某种产品Q 单位时所需要的总成本函数C (Q)
可导。则其边际成本定义为：
lim C lim C(Q Q) C(Q) C(Q)，
当b 0时，幂函数 y axb退化为常数函数 y a ，
因 y 0故 Ey 0，即常数函数的弹性恒为零. Ex
可以看出，幂函数的弹性函数为常数，即在任意点处
弹性不变，所以称为不变弹性函数．
六、需求函数与供给函数
1．需求函数
“需求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并 且有支付能力购买的商品量．消费者对某种商品的需求是
、程度或灵敏度．
例8 求函数 y a x （b a,b为常数)的弹性函数．