高斯定理
高斯定理的数学表达式
高斯定理的数学表达式为：∮E·dA = Q/ε0。
该公式表达的是在闭合曲面S上的电场E的通量，与该闭合曲面内的总电荷量Q与真空介电常数ε0的比值相等。
换句话说，电场的总通量等于在闭合曲面S内的总电荷量与真空介电常数之比。
这个定理表明，电场通量的大小与所选取的闭合曲面无关，只与该曲面内的电荷量有关。
因为电场线从正电荷流出，流入负电荷，因此正电荷和负电荷的电场线互相抵消，而只有闭合曲面内的电荷对电场通量产生贡献。
高斯定理在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
高斯定理和环路定理
高斯定理和环路定理高斯定理和环路定理是电磁学中两个重要的基本定律。
它们描述了电场和磁场的分布和变化规律，是理解电磁现象的基础。
本文将对高斯定理和环路定理进行详细介绍。
一、高斯定理高斯定理又称为高斯电场定理，它是描述电场分布的基本原理之一。
高斯定理表明，电场通过一个闭合曲面的通量等于该曲面内部电荷的代数和与真空介电常数的乘积。
具体来说，如果一个闭合曲面内部有正电荷和负电荷，那么通过这个曲面的电场通量将等于正电荷和负电荷的代数和除以真空介电常数。
高斯定理的数学表达式为：∮E·dA = Q/ε0其中，∮E·dA表示曲面上的电场通量，Q表示曲面内部的电荷总量，ε0为真空介电常数。
高斯定理的应用非常广泛。
例如，在计算电场分布时，可以通过选择适当的高斯曲面来简化计算。
通过高斯定理，可以快速得到电场在各个位置的大小和方向。
高斯定理也被用于推导其他电场分布的公式，如电偶极子和球壳电场的公式。
二、环路定理环路定理又称为安培环路定理，它是描述磁场分布的基本原理之一。
环路定理表明，磁场沿着一个闭合回路的线积分等于该回路内部电流的代数和乘以真空磁导率。
具体来说，如果一个闭合回路内部有电流通过，那么沿着这个回路的磁场线积分将等于电流的代数和除以真空磁导率。
环路定理的数学表达式为：∮B·dl = μ0I其中，∮B·dl表示回路上的磁场线积分，μ0为真空磁导率，I表示回路内部的电流。
环路定理的应用也非常广泛。
例如，在计算磁场分布时，可以通过选择适当的环路来简化计算。
通过环路定理，可以快速得到磁场在各个位置的大小和方向。
环路定理也被用于推导其他磁场分布的公式，如长直导线和环形线圈的磁场公式。
三、高斯定理与环路定理的关系高斯定理和环路定理是电磁学中两个基本定理，它们描述了电场和磁场的分布与变化规律。
虽然它们描述的是不同的物理量，但在某些情况下，它们是相互关联的。
例如，在静电场中，高斯定理可以推导出库仑定律，即电荷间的相互作用力与它们之间的距离成反比。
高斯定理公式
高斯定理公式
高斯定理数学公式是：∮F·dS=∫(▽·F)dV。
高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
扩展资料：
高斯定理指出：穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的位置分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。
在真空的情况下，Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。
当存在介质时，Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
1.3高斯定理
S，两底面到带电平面距离相同。
E dS E dS E dS E dS 2ES
s
左底
右底
側
圆柱形高斯面内电荷 q S
由高斯定理得
E
S
E
2ES S / 0
E 2 0
σ
33
E 20
0 场强方向指离平面; / 20 / 20
§1.3 高斯定理
/ 2 0 / 2 0
§1.3 高斯定理
ห้องสมุดไป่ตู้
一、 电场线（E 线）
1 电场线的 定义：
为定量的描述电场而人为的引入的一些曲线，
E3
目的是使电场形象化、直观化。
(1)方向: 电场线上各点的切线方向 表示电场中该点场强的方向。
E2
(2) 大小: 穿过垂直于该点场强方向的
E1
单位面积上的电场线的条数（电场线
的面密度）等于该点场强的大小。
E dN dS
E
电场线越密集,场强越大
dS
1
2. 电场线示例
几
+
种
电
荷
分
布
的
+
电
场
线
+
图
§1.3 高斯定理
-
+
-
2
3. 电场线的性质：
§1.3 高斯定理
1）电场线起于正电荷，终止于负电 荷；电荷是电场线的“源”和“尾闾 ”2）电场线不会在无电荷的地方中断；
3）电场线不会在无电荷的地方相交； q
（2）半径为R的均匀带电体密度为ρ
的长圆柱体。
R2
E
2 0 r
r
2 0
(r R) (r R)
高斯定理内容总结
高斯定理内容总结1. 高斯定理的概念高斯定理，也称为“散度定理”或“高斯-奥斯特罗格拉茨基定理”，是一个基本的数学定理，用来描述矢量场在一个闭合曲面上的整体特性。
它是物理中应用广泛的定理之一，可以用来求解电场、磁场和流体力学问题。
2. 高斯定理的表述高斯定理可以表述为：对于一个闭合曲面S，其向外法向量为n，矢量场F，高斯定理给出了矢量场在S上的通量与该矢量场在S包围的体积的关系。
具体表述如下：∮S F·n dS = ∭V ∇·F dV其中，∮代表闭合曲面S上的曲面积分，∭代表闭合曲面S包围的体积积分，F为矢量场，n为曲面S的向外法向量，·表示内积运算，∇表示梯度运算，∇·F表示矢量场的散度。
3. 高斯定理的推导与理解高斯定理可以通过对体积积分进行数学推导得到。
假设有一个闭合曲面S，体积为V，如下图所示：________/ // //_______ /根据高斯定理的表述，我们需要计算矢量场F在曲面S上的通量。
我们将曲面S分成许多小面元，每个小面元上的通量为F·n，其中n为该小面元的法向量。
当我们把曲面S分割为无数个小面元时，可以将曲面S视为由这些小面元组成的连续曲面。
在极限情况下，当每个小面元的面积无限接近于0时，我们可以将曲面S视为无限小的曲面。
此时，我们可以对矢量场F在曲面S上的通量进行积分，得到：∮S F·n dS = lim(S→0) ∑(F·n)dS通过将曲面S分割为无数个小面元，并将每个小面元的通量求和，我们可以得到矢量场F在整个曲面S上的通量。
同时，根据散度的定义，我们知道散度可以表示为矢量场的微分运算。
因此，我们可以将散度运算应用到上述积分中，得到：∮S F·n dS = ∑(∇·F)dV其中，∇·F表示矢量场F的散度，∑表示对整个体积V进行求和。
为了获得正确的结果，我们需要取极限，将小面元的面积趋近于0，体积元的体积趋近于0，从而得到公式的最终形式：∮S F·n dS = ∭V ∇·F dV这就是高斯定理的推导过程。
高斯定理及应用
物理学方法概论
目录 §2.1 高斯定理与运动电荷 §2.2 在无磁场情况下电场旳变换 §2.3 匀速直线运动点电荷旳电场 §2.4 电场对运动电荷旳作用力
物理学方法概论
§2.1 高斯定理与运动电荷 静止点电荷旳电场 运动点电荷旳电场
球对称
轴对称
库仑定律成立
库仑定律不成立！
+
+v
1、横向场强增大到 倍。
v
S系
E
E
v
静电场 E 0
S系
E
0
0
E
2、纵向场强不变
E
物理学方法概论
E
v
S系
S系
E E
物理学方法概论
§2.3 匀速直线运动点电荷旳电场
z
S系
E ?
？
P(x, y, z,t)
r
vt
x
OQv
物理学方法概论
电荷系S' 中 P( x, y, z, t)点电场(静电场)：
S
E
各类点电荷旳电场线 +
物理学方法概论
+
++
2q
q
+++++++
电场线特征
物理学方法概论
1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无 穷远,去向无穷远)，在没有电荷旳地方 电场线不会中断
2） 静电场电场线不闭合
3） 电场线不相交 +
4） 电场线密集处,电场强度较大, 电场线稀疏处电场强度较小。
注意：电场线是为了描述电场分布而引 入旳曲线,不是电荷旳运动轨迹
场点旳变换：
物理学方法概论
高斯定理数学
高斯定理数学高斯定理，又称为高斯-奥斯特罗格雷定理（Gauss-Ostrogradsky theorem），是描述向量场通过曲面的流量密度与该曲面边界上环绕该曲面沿法向量方向的一圈线积分之间的关系的定理，是矢量分析的重要内容之一，也是工程中常用的理论。
$$\oint_S \textbf{F} \cdot \textbf{n} dS = \iiint_V \nabla \cdot \textbf{F} dV$$$\textbf{F}$ 表示某个向量场，$S$ 表示一个逐片光顺的曲面，$V$ 为该曲面所包围的立体。
$\textbf{n}$ 表示曲面上某一点的法向量，$\nabla \cdot \textbf{F}$ 为向量场 $\textbf{F}$ 的散度。
该式中左边表示 $\textbf{F}$ 向外通过曲面 $S$ 的流量密度。
左侧积分的意思是，对于曲面 $S$ 的每一点，对由该点到曲面外侧的垂直方向的投影所围成的小面积$dS$ 进行积分，得到整个曲面通过的总流量密度。
右边表示 $\textbf{F}$ 在立体$V$ 中的散度。
右侧积分的意思是，对于立体 $V$ 中的每一点，计算该点的散度，然后对整个立体进行积分，得到散度在整个立体中的总量。
高斯定理适用于任意的向量场，包括电场、磁场等。
它可以用来推导一些物理方程，并在基础数学领域中起到重要作用。
对于电场，高斯定理可以用来计算电通量，即电场向外通过一个立体的总电量。
对于静电场和恒定电场来说，高斯定理可以推导出库仑定律。
对于磁场，高斯定理可以用来推导出安培环路定理。
高斯定理在物理学和工程学中有非常广泛的应用，是理解和解决问题的重要工具之一。
高斯定理的证明可以通过追踪微小体积元素上的向外流量来完成。
假设该体积元素为$\Delta V$，体积元素表面上带有一小片面积为 $\Delta S$，该片面积的法向量表示为$\textbf{n}$。
向量场 $\textbf{F}$ 在该面积上的流量为 $\textbf{F} \cdot\textbf{n} \Delta S$，如果对所有该体积元素上的面积进行累计，则构成了整个曲面的流量，并得到了高斯定理的左侧积分：$$\oint_S \textbf{F} \cdot \textbf{n} dS$$接下来，可以通过施加散度定理来将该定理转化为该向量场的散度在这个立方体中的积分：证明中还需要使用到一些高等数学的知识，如积分中值定理等，具体证明过程相对复杂。
高斯定理(电磁学)
证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。
高斯定理公式物理
高斯定理公式物理高斯定理是物理学中一个非常重要的定理，它在电磁学等领域有着广泛而深刻的应用。
咱们先来说说啥是高斯定理。
简单来讲，高斯定理说的是通过一个闭合曲面的电通量等于这个闭合曲面所包围的电荷量的代数和除以真空中的介电常数。
哎呀，这听起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢捋一捋。
想象一下，有一个封闭的气球，气球里面放了一些电荷。
那从这个气球表面“流”出去的电场线的数量，就和气球里面的电荷量有关系。
这就好像气球是个神奇的口袋，装的电荷越多，从口袋表面“跑”出去的电场线就越多。
我给您讲讲我之前遇到的一件事儿吧。
有一次我在课堂上讲高斯定理，一个学生就特别迷糊，皱着眉头问我：“老师，这高斯定理到底有啥用啊？感觉好抽象。
”我笑了笑，拿起一个装满水的杯子，然后在杯子的侧面扎了几个小孔。
水从小孔里喷出来，形成了一些水流。
我就跟他说：“你看，这杯子就好比是一个带有电荷的物体，这些水流就像是电场线。
杯子里水越多，水流就越猛，这不就和高斯定理里电荷越多，电场线越多一个道理嘛。
”这学生听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然就明白了。
那高斯定理的公式是啥呢？它可以写成Φ = ∑q/ε₀，其中Φ 表示通过闭合曲面的电通量，∑q 表示闭合曲面内所包含的电荷量的代数和，而ε₀是真空中的介电常数。
这个公式看起来简单，可里面的学问大着呢！比如说在计算一个均匀带电球体的电场分布时，咱们就可以巧妙地运用高斯定理。
假设这个球体带的电荷是均匀分布的，那我们就可以根据对称性选取一个合适的高斯面，通过计算通过这个高斯面的电通量，就能得出球体内外的电场强度啦。
再比如在处理平行板电容器的时候，高斯定理也是个大帮手。
通过选取合适的高斯面，就能很方便地得出电容器内部的电场强度和电容之间的关系。
总之啊，高斯定理就像是物理学中的一把神奇钥匙，能帮我们打开很多看似复杂的电磁学问题的大门。
它虽然有点抽象，但只要我们多琢磨、多联系实际，就能发现它的妙处。
希望通过我上面的这些讲解，能让您对高斯定理公式有一个更清晰的认识。
电介质中的高斯定理
电介质中的高斯定理
高斯定理，也称为高斯定律或高斯定律，是电磁学中的一个重要定理，描述了电场在电介质中的性质。
其表达式为：
∮S E · da = Q / ε₀
其中，S表示闭合曲面，E表示电场强度，da表示曲面元素的面积矢量，∮表示对整个闭合曲面求面积分，Q表示闭合曲面内的电荷总量，ε₀表示真空介电常数。
高斯定理的意义是，通过对闭合曲面内的电场强度的面积分，可以得到在该闭合曲面内的电荷总量。
具体来说，如果电场强度在闭合曲面上是均匀的且垂直于曲面，那么由闭合曲面边界形成的面积矢量积分等于该电场强度乘以闭合曲面的面积。
当电场强度不均匀或者不垂直于曲面时，可以把曲面细分为小面元，在每个小面元上计算电场强度和面积矢量的点积，再对所有小面元的点积求和，得到整个曲面上电场强度和面积矢量的积分。
高斯定理的应用非常广泛，它不仅可以用于求解电场强度在特定几何形状的闭合曲面上的面积分，还可以用于确定电场强度分布以及计算电荷的总量等问题。
高斯定理
λ
∑q
r
∑ q = λh
φ = ∫∫S EdS cosθ =
φ左底 = φ右底 = 0
φ = φ左底 + φ侧 + φ右底
ε0
h
Q E⊥dS , cosθ = 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ = φ侧 = ∫∫侧 EdS cosθ
侧面上各点的场强 E 大小相等，方向 大小相等， 与法线相同。 与法线相同。
E = E+ − E− = 0
+σ
−σ
E+ E− E+
极板右侧
E = E+ − E− = 0
E+
E−
E−
两极板间
σ σ σ + = E = E+ + E− = 2ε 0 2ε 0 ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
E
n
r
λ
φ = E ∫∫侧 dS
= E 2πrh =
∑q
ε0
λh = ε0
λ E= 2πε 0r
h
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
例3：无限大带电平面，面电荷密度为 σ， ：无限大带电平面， 求平面附近某点的电场强度。 求平面附近某点的电场强度。 解：作底面积为 S ， 高为 h 的闭合圆柱面， 的闭合圆柱面， σ
S
r
ε0 σS 2ES = ε0 σ E= 2ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ=
∑q
例4：两无限大带电平面（平行板电容 ：两无限大带电平面（ 器），面电荷密度分别为 +σ 和 −σ ， ），面电荷密度分别为 电容器内、外的电场强度。 求：电容器内、外的电场强度。 解：极板左侧
高斯定理
1
4π0
q r3
rdS
e
S de
q
q
dS
S 4π0r 2
4π0r 2
dS q
S
0
Φe 与r 无关q ，也就是说，无论高斯面多大，总 电通量都为 0 ，即通过各球面的电力线总条数相 等。 说明点电荷的电力线可以延伸到无限远处。 9
2. 点电荷在任意封闭曲面内
穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿 过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲
e ES cos 或 e E S
S cos
(3) 非均匀电场强度电通量
de E dS
通过任一曲面S 的电通量：
e de EdS
S
S
5
思考题：电场线与电通量的区别
(4) 任意闭合曲面的电通量：
e d e E dS
S
S
一个闭合曲面把整个空间分割成两部分： 内部空间和外部空间
外法线矢量：指向曲面外部空间的法线矢量 内法线矢量：指向曲面内部空间的法线矢量
S2
S
E
面 S的电通量必然为q/ 0 ，即
q S1
Φe
s
Ev dSv
q
0
• 点电荷为-q时，通过任意闭合曲面的电通量
Φe
S
Ev
dSv
q
0
电场线是穿入闭合曲面的。
10
3. 任意闭合曲面S包围多个点电荷q1、q2、…、qn 根据电通量的定义和电场强度的叠加原理，其电通
量可以表示为
Φe
E
S
dS
(E1
其实高斯定理不仅适用于静电场，还可用于变化的电 场，比库仑定律更广泛，是Maxwell方程组之一
16
5-3 高斯定理
q
高斯面
r
4 3 pR 3
可见，球体内场强随 线性增加 线性增加。 可见，球体内场强随r线性增加。 均匀带电球体电场强度曲线如 上图。 上图。
+ q + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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例2
均匀带电无限大平面的电场. 均匀带电无限大平面的电场. 高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 底面积为S，两底面到带电平面距离相同。 底面积为 ，两底面到带电平面距离相同。
r E=
lr v e 2 r 2pe0R
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（2）当r>R 时，
λ E= 2 0r πε
r E=
E λ 2πε0R
∑q = λl
矢量式为： 矢量式为：
r l er 2pe0r
Er 关系曲线
r
均匀带电圆柱面的电场分布
l
−1
∝r
R
0
r
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均匀带电球体空腔部分的电场， 例4 均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为R， 在球内挖去一个半径为r（ 在球内挖去一个半径为 （r<R）的球体。 ）的球体。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 证明： 用补缺法证明。 证明： 用补缺法证明。 在空腔内任取一点p, 在空腔内任取一点 , 设该点场强为 E E r1 设想用一个半径为r且体电荷密度与大球相 设想用一个半径为 且体电荷密度与大球相 c 同的小球将空腔补上后， 同的小球将空腔补上后，p点场强变为 E 1 u r v o pE r uu
高斯定理
同 学 们 好§8-3 高斯定理德国数学家和物理学家。
长期从事于数学并将数学应用 于物理学、天文学和大地测量 学等领域的研究.著述丰富，成 就甚多。
他一生中共发表323篇 （种）著作，提出404项科学创 见。
在CGS电磁系单位制中磁感应强 高斯（德 ） 度的单位定为高斯，便是为了 （ 1777-1855） 纪念高斯在电磁学上的卓越贡 献。
一.电场强度通量 通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通 过该面的电通量。
1.匀强电场，规则面积下的电通量Sθ ESΨe = ES⊥SSΨe = ES⊥ = ES cosθ2.非匀强电场或不规则面积下的通量 r v 面积元矢量： dS = dS e n r 面积元范围内 E 视为均匀 微元分析法：以平代曲； 以不变代变。
dSr dSθr ES（1）通过面元的电通量：r r dΨe = EdS⊥ = E (dS cosθ ) = E ⋅ dS（1） 通过面元的电通量：πr r dΨe = EdS⊥ = E(dS cosθ ) = E ⋅ dSθ < θ > θ = π π2 2 2 dΨe > 0 dΨe < 0 dΨe = 0r dSθdSr ESr r （2）通过曲面 S 的电通量 Ψe = ∫s d Ψe = ∫s E ⋅ d S(3) 通过封闭曲面的电通 量r r Ψe = ∫ E ⋅ dSs通过封闭曲面的电通量r r Ψe = ∫ E ⋅ dSsr n规定：封闭曲面外法向为正 穿入的电场线 穿出的电场线r n rEΨe < 0 Ψe > 0r nS二、 高斯定理 高斯定理的导出 库仑定律 高斯 定理电场强度叠加原理 1.点电荷电场中电通量与电荷的关系 （1）曲面为以电荷为中心的球面E=Sq 4 π ε 0rS2r2v dSv v Ψe = ∫ E ⋅ dS = ∫qΨe =q4 πε 0 rdS+ε0(2)曲面为包围电荷的任意封闭曲面dΨe =q 4 πε 0 r2dS cos θq dS＇ = 2 4π ε0 r其中立体角dS＇ = dΩ 2 r q q Ψe = ∫ dΨ = ε 0 4 πε 0v v dS＇ dS+rθv dS＇v dS（3）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面r v d Ψ1 = E 1 ⋅ d S 1 > 0v v dΨ2 = E 2 ⋅ dS 2 < 0v E2qv dS 2v dS 1 vE1d Ψ1 + d Ψ 2 = 0 v v ∫ E ⋅ dS = 0S2.点电荷系电场中通量 与电荷的关系v v Ψe = ∫ E ⋅ dS = ∫Sv v v E = E1 + E2 + LS iq1q2v EvdSv v ∑ Ei ⋅ dSsSqi=i (内）∑∫eSv v Ei ⋅ dS +i （外）∑ ∫v Eiv v Ei ⋅ dSQ∴ Ψ =i （外）∑∫Sv ⋅ d S = 01i （内）∑ ∫Sv v E i ⋅dS =ε0i ( 内）∑qi曲面上各点处电场强度：nE E E E r L r r r +++=21(包括S 内、S 外，所有电荷的贡献)只有S 内的电荷对穿过S 的电通量有贡献。
高斯定理的解释和公式
高斯定理的解释和公式
高斯定理，也称为散度定理，是数学中的一个重要定理。
它描述了一个向量场通过一个封闭曲面的总量。
高斯定理在物理学和工程学的许多领域中都有广泛的应用，如电磁学、流体力学和热传导等。
高斯定理的数学表达形式如下：
对于一个平滑的三维矢量场F=(Fx,Fy,Fz)，定义一个封闭曲面S来围绕一个具有体积V的区域D。
那么，高斯定理可以写作：
∬S F·dS = ∭D ∇·F dV
其中，F·dS表示向量场F在曲面元dS上的点积积分，∇·F表示向量场F的散度，dV表示体积元。
这个定理的物理解释是，对于一个流经封闭曲面的流体量，其发散性（流出和流入区域的总和）等于其在包围该区域的体积中的源和汇的总量。
高斯定理的应用非常广泛。
在电磁学中，它可以用来计算通过一个闭合曲面的电场强度和磁场强度的总量。
在流体力学中，它可以用来计算液体或气体通过一个封闭曲面的流量。
在热传导中，它可以用来计算热量通过一个封闭曲面的扩散量。
总之，高斯定理提供了一个非常强大的工具，用于计算向量场通过封闭曲面的总量。
它在物理和工程学中的应用使得我们能够更好地理解和分析各种自然现象和工程问题。
高斯定理
dE
以 O 为中心，r 为半径的球面 S 上各点彼此等价
E 大小相等
以 O 为中心的球面 S 上各点
E
方向沿径向
确定高斯面
R dq
以半径 r 的同心球 S q
o
dq
面 S为高斯面
r
P
dE ' dE dE'
dE
通过S的电通量： E dS E cos0dS E 4r2
s
s
由高斯定理：
E E1
r
o
1
0
q内
L 0
r
E 2 0 r
讨论：
R
oo
E o
1. 无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析：视
为无限长均匀带
电直线的集合；
选高斯面；同轴
圆柱面
rr
P
dE
P
dE '
dE
dE '
由高斯定理计算
r R: E0 r R:
Rr
E
2 0r
讨论：
2.求无限长、 均匀带电柱体的电场分布时，高斯面如 何选取？
电场相互抵消： E 0
NP
L o L x
NP
x L : 选如图高斯面
E
S
L o x L xq内源自dVLx
ax Sdx
aS 1 (L2 x2 ) 2
E dS 左 E dS 右 E dS 侧E dS E S
E0
cos 0 穿入
由高斯定理：
1
E dS
高
高
r
斯 面
r
斯 面
l
l
3.当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，
高斯定理表达式及其物理意义
高斯定理表达式及其物理意义
高斯定理是18世纪德国数学家卡尔高斯提出的一个重要定理，它对于计算物体表面积和空间容积具有极大的意义。
高斯定理的表达式为：
S = 2λπr^2 V =/2πr^2
其中，S表示物体的表面积，V表示物体的容积，λ表示表面张力，r表示物体的半径。
高斯定理的定理推导是以表面张力和表面张力作为基础，表明物体表面积与物体容积之间存在联系。
因为表面张力是以米为单位的，所以用高斯定理可以用来测量物体的表面面积和容积。
物体的表面积指的是物体的外表面的投影面积大小。
物体的表面系数是指物体的表面积与物体体积的比值，用高斯定理可以很容易求出表面系数的大小。
由高斯定理可以推出：
S = 2λπr^2
∴A = S/V = 2λπr^2/ (λ/2πr^2) = 4πr
从上面的结果可以看出，表面系数A与物体的半径r有关。
物体的容积指的是物体内积的大小，用高斯定理可以求出物体的容积：
V =/2πr^2
从上面的结果可以看出，物体的容积与物体的表面张力以及半径有关。
高斯定理的物理意义在于它可以将物体的表面积和容积联系起
来，用高斯定理可以很容易求出物体的表面系数，从而得出物体的表面积和容积。
因此，高斯定理在测量物体表面积和容积以及应用面及润滑学、汽车工程等领域都有重要的意义。
总之，高斯定理表达式是描述物体表面积和容积之间关系的一个重要定理，对于测量物体表面积和容积以及应用于润滑学和汽车工程等领域都有重要的意义。
高 斯 定 理
1.3 高斯定理
静电场是由电荷所激发的，通过电场空间某一给定闭合 曲面的电通量与激发电场的场源电荷必定有确定的关系。德 国科学家高斯通过缜密运算论证了这个关系，并提出了著名 的高斯定理。该定理给出了通过任何曲面S的电通量φe与闭 合曲面内部所包围的电荷之间的关系。下面就以点电荷为例 来讨论。
（3）利用高斯定理解出场强E。
【例7-4】求点电荷Q的电场强度的分布情况。
S
0
由此可见，通过此球面的电通量等于球面内的电荷量q除以 真空电容率ε0 ，与球面半径无关。
（2）一个正点电荷q，被任意闭合曲 面S′和球面S同时包围，如下图所示。根 据电力线的连续性可知，凡是通过球面S 的电力线都一定通过曲面S′。所以通过闭 合曲面S′的电通量等于通过球面S的电通 量，均为 q/ε0 。
物理学
高斯定理
1.1 电场线
电场线是空间中一系列假想的曲线，主要反映电场的特
征，描述电场中各点场强E的大小和方向。为此，对电场线作
如下规定：
（1）电场线上每一点的切线方向与该点场强E的方向一
致。这样，电场线的方向就反映了场强方向的分布情况。
（2）在任一场点，使通过垂直于场强E的单位面积的电
场线数目（称为电场线密度），正比于该点处场强E的大小。
2．非均匀电场的电通量
在非均匀电场中，为了求出通过任意曲面S的电通量φe， 可以把曲面S分成无限多个面元dS，如下图所示。此时，面元 dS可以近似看成一个平面，并且在面元的范围内电场强度可 以近似看成大小相等、方向相同的匀强电场。
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§4 高斯定理一、电力线1、引入目的：形象化、直观性地描写电场，作为一种辅助工具。
2、引入方法：电场是矢量场，引入电力线要反映场的两个方面方向大小，在电场中人为地作出许多曲线，作法如下：（1）反映电场方向——曲线上每点切向与该点场方向一致；（2）反映电场大小——用所画电力线的疏密程度表示，电力线数密度与该点场的大小成正比⊥∆∆∝S N E其中⊥∆∆S N 表示通过垂直场方向单位面积的电力线条数——电力线数密度，参见图1-15。
(a) 垂直时：SN ∆∆ (b) 非垂直时：θcos S N S N ∆∆=∆∆⊥图1-15在SI 制中，比例系数取1，则⊥∆∆=S N E ，即S E S E N ∆=∆⋅=∆θcos。
更精确地有：ds E s d E dN θcos =⋅=。
例：点电荷Q 均匀辐射N 条电力线，各向同性，半径为r 的球面上电力线数密度为24rN π；而场强204rQ E πε=，两者一致，且0εQN =，球面立体角Ωd 中EEΔSΔSnθ占有（N d π4Ω）条。
3、电力线的普遍性质(1) 电力线起自正电荷（或来自无穷远处）、止于负电荷（或伸向无穷远处），不会在没有电荷的地方中断——不中断；(2) 对于正、负电荷等量的体系，正电荷发出的电力线全部集中到负电荷上去——不多余；(3) 无电荷空间任两条电力线不相交——不相交（否则，场则不唯一）； (4) 电力线不能是自我闭合线——不闭合。
4、说明(1) 电力线非客观存在，是人为引入的辅助工具； (2) 电力线可用实验演示；(3) 展示几种带电体电力线的分布（图略）。
二、电通量静电场是用E描述的矢量场。
一般地，研究矢量场时常引入矢量的通量概念，如：流体力学中的流量θcos s v s v ∆=∆⋅等，静电场中虽无什么在流，但可藉此研究静电场。
1、定义电通量E Φ在电场中通过一曲面元s ∆的电通量E ∆Φ定义为：)(c o s N s E s E E∆=∆⋅=∆=∆Φθ式中n s s∆=∆。
因θ可锐角、钝角，故E ∆Φ可正、可负。
对于非无限小的曲面，有⎰⎰⋅==ΦSSE sd E dsEcos其中，任意曲面S 的法向有两种取法，对于不闭合的曲面，其法向n取何方向无关紧要。
对于闭合曲面，其电通量定义为：⎰⎰⋅==ΦSSE s d E ds Eθcos并规定：取闭合曲面S 的外法向矢为正，则电力线穿出S 处，90<θ，E ∆Φ为正（出正）；进入S 处，90>θ，E ∆Φ为负（入负）。
2、点电荷场中电通量示例r rq E ˆ420πε=（使用库仑定律）(1)面元s d的电通量E d Φ对应的立体角为s d：22cos rds rds d ⊥==Ωθ（球面度），如图1-16(a)所示，故20204cos 4ˆr qds ds n r rq s d E d Eπεθπε=⋅=⋅=ΦΩ==⊥d q rds q2044πεπε(2) 任意曲面s的电通量E Φ划分S 成为许多面元ds ，则∆Ω=Ω=⋅=Φ⎰⎰044πεπεq d qs d E E其中，∆Ω为S 对q 点所张开的立体角，如图1-16(b)所示。
nds s d=图1-16(a)(3) 任意闭合曲面s 的电通量E Φ虽然E 为矢量，但E的通量E Φ为标量，可代数和。
以闭合面外法向为正参考，则⎪⎩⎪⎨⎧=Ω=⋅=Φ⎰⎰0400επεqd q s d E SSE与r 无关。
具体解释如图1-17，其中① 当q 在S 内：处处πθ4,0,0=Ω>Ω≥⎰sd d ，故0εqE =Φ。
② 当q 在S 外：21πθ<，22πθ>且22222111Ω-=-==Ω⊥⊥d r ds r ds d ，0=Ω⎰sd ，故0=ΦE。
sd 图1-16(b)1n 2n2ˆr 1ˆr图1-17(a)[说明](1) 电场对任曲面的E Φ在数值上等于通过该曲面电力线的条数。
例如，图1-18 (a)中，q 共发出εq条力线，通过立方体表面081εq⋅=Φ条；图1-18(b)中，半球面的E Φ可用圆面的E Φ代之。
(a) (b)图1-18(2) 如图1-19，q 在S 内，E Φ的有效性相当于只一次穿过闭合面；q 在S 外，电力线与S 面相交偶数次，穿进、穿出相消。
2ˆrs1θ1ˆr图1-17(b)(a) (b)图1-19三、高斯定理1、单个点电荷情况上述在一个点电荷的电场中已证得⎰⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=ΦSEs q s q q s d E )(0)(0外在内在ε 且注意其中已运用了库仑定律（如rrq E ˆ420πε=）。
2、多个点电荷情况现结合场强叠加原理，给出多个点电荷存在时场中任意闭面S 的电通量结果——高斯定理。
设空间有一组点电荷n i q q q q 、、、、 21，则任一点的场为∑==ni i E E 1（场叠加原理）又令一任意形状的闭曲面S 包围电荷i q q q 、、、....21，而另外n i q q 、、...1+电荷在S 之外。
则s d E E E s d E Sn SE⋅+++=⋅=Φ⎰⎰)...(21sd E E s d E E E n Si Si ⋅+++⋅+++=⎰⎰+)...()...(121q qSS12 31234∑=++=)(02101)...(1内s ii qq q q εε即分立电荷时，有3、电荷连续分布情况若S 内的电荷非分立分布，而是连续体分布，作变换⎰∑→vi dv q ρ，则有其中S 与V 对应。
上述即高斯定理的数学表述，它表明：通过任一闭合曲面S 的电通量E Φ等于该闭合曲面所围所有电荷电量的代数和)(⎰∑dv q i ρ或除以0ε，与闭合曲面外的电荷无关。
此处的闭合面S 称为高斯面。
4、高斯定理的几点认识与说明(1) 高斯定理是静电场基本定理之一，反映了静电场是有源场。
高斯定理所述是矢量场E之闭面通量，其结果可用闭面内电量代数和表述。
静电场的电力线是有头有尾的，发于正、止于负电荷。
(2)高斯定理给出了场E与场源q 间的一种联系，这种联系非直接。
由高斯定理内q s d E sE1ε=⋅=Φ⎰知，内q 与E 之间是积分关系，非直接的；而E Φ与内q 是直接的关系。
若内q =0，则E Φ=0，但不意味着S 面上处处E=0。
内q 仅指S 内电荷电量的代数和（可正、可负），而E则指空间所有电荷激发场之合贡献，S 面上的E 随点而异，E 当然在S 面上取值，且与面元s d间夹角关系十分重要。
封闭面S 之外的电荷分布并不影响封闭面的E Φ，但这不意味S 外的电荷分布不影响S 面上各点的场E的大小、方向；同样，内q 一定的电荷在S 内的分布情况也不影响E Φ，但不是说S 内电荷分布变化时不影响S 上各点E的大小、方向，例：(a) s 相同，q 在s 外移位（分布变）， (b) s 相同，q 在s 内移位（分布变），虽Φ不变，但s 上各点E变。
虽Φ不变，但s 上E变。
图1-20(3) 高斯定理积分形式是对一个区域而言（S ，V ），仅反映该区域整体面貌，是粗糙地提供信息。
一般地，不能用此求得每个场点的场强，仅当电荷分布乃至场分布具有某种对称性时，才能仅用此求得场。
但求不出时切不可误作该定理不成立（因为完全确定矢量场需要通量、环流两方面性质）。
(4) 高斯定理是从库仑定律导出的，主要反映平方比律，即21rf ∝。
若库仑定律不服从平方反比律，则得不出高斯定理。
因而，证明此定理正确与否，即是证明库仑定律正确性的一种间接方法，此法精度比库仑扭称法高得多。
(5) 认为高斯定理与库仑定律完全等价或从高斯定理出发可导出库仑定律的看法是欠妥的，这因为此定理并未反映静电场是有心力场这一特性。
在静电范围，库仑定律比高斯定理包含更多信息。
四、高斯定理的应用1、应用高斯定理说明电力线的性质。
(1) 说明电力线的起点和终点。
(2) 说明电力线的疏密与E的大小关系。
电力线管两截面21,s s ∆∆处通量相等：2211s E s E ∆=∆。
SqqSqqSS2、解题示例(1) 电荷分布乃至场E分布具有一定对称性时，可用此定理解答。
(2) 解题步骤① 分析场的对称性，明确E的方向；② 设计（取）通过场点的高斯面（简单几何面），使E与S 的各部分平行，或垂直，或夹恒角； ③ 计算⎰⋅=Φsd E E；④ 计算内q ；⑤ 应用定理求E 的大小，结合方向得出E。
(3) 典型问题：已知电荷分布),,(),,,(z y x E E z y x==求ρρ。
例1：求均匀带电q ，半径为R 的球壳内、外之场。
电荷球面均匀分布：24Rq πσ=，如图1-21(a)分析对称性，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=Φ⎰)(,0)(,402在壳内场点在壳外场点P P q r E s d E SEεπ 所以⎪⎩⎪⎨⎧<>=)(0)(,ˆ420R r R r r r q E πεdSEd rGs 面图1-21(a)场强大小分布如图1-21 (b)所示。
P 点在壳外时相当于在球心O 点置q 点电荷之场。
例2：均匀带正电q ，半径为R 的球体内、外之场。
电荷均匀体分布，334334Rq Rq ππρ==。
同于例1分析场的球对称性，取高斯面为球面，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==⋅=Φ<==⋅=⋅=Φ。
，点在球外：；，点在球内：)(ˆ4,14)(4ˆ3,34142002300302R r rrq E q r E P R r Rr q r E r r E P E EπεεππεερρπεπE ~ r 曲线如图1-22。
图1-22图1-21(b)平方反比0 R r[拓展](1) 例2也可在例1基础上，视为多层厚为dr 的球形面电荷分布的场进行叠 加求解。
(2) 可推广至)(r ρρ=，方法同上，只是内q 的计算稍繁。
例3：均匀带电线密度为λ的无限长细棒之场。
电荷均匀线分布。
对称分析，取高斯面为圆柱面，如图1-23。
02ελπl rl E E =⋅=ΦrrE ˆ20πελ=该结果与前述积分法令∞→l 的结果相一致（参见图1-11）。
例4：均匀面密度为σ的无限大平面薄板之场。
电荷均匀面分布，取平板上对称的两面元dq ds 上电荷之场进行分析，如图1-24(a)；取合适高斯面，如图1-24(b)所示 ，两侧场反向，大小与场点到板的距离无关。
2εσs s E E ∆=∆=Φ2εσ=E注意：考察分母中因子2的来源（与以后带电无限大导体平板情况比较不同）。
PEdrdlλlS图1-23(a) (b)图1-24[拓宽知识](1) 半径为R 的均匀带电体密度为ρ的长圆柱体。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=)(2)(2002R r r R r rR E ερερ半径为R 的均匀带电面密度为σ的长圆柱面。