立体几何小题练习

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立体几何练习题

E立体几何练习题1．在直四棱住1111D C B A ABCD -中，12AA =，底面是边长为1的正方形，E 、F 、G 分别是棱B B 1、D D 1、DA 的中点.(Ⅰ)求证：平面E AD 1//平面BGF ; (Ⅱ)求证：1D E ⊥面AEC .2．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 为AB 的中点． (1)求证： 1BDD AC 平面⊥（2）求点B 到平面EC A 1的距离.3.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,90ABCACB ∠=，2AB =1BC =1AA =．（Ⅰ）求三棱锥111A AB C -的体积；（Ⅱ）若D 是棱1CC 的中点，棱AB 的中点为E ，证明:11//C AB DE 平面4．如图，在棱长均为2的三棱柱ABC DEF -中，设侧面四边形FEBC 的两对角线相交于O ，若BF ⊥平面AEC ，AB AE =.(1) 求证：AO ⊥平面FEBC ； (2) 求三棱锥B DEF -的体积.FEABD CG 1C 1A1B 1D 1B 1C ED CBA1D 1A5.如图，在体积为1的三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB AC ⊥， 11==AA AC ，E 为线段AB 上的动点.（Ⅰ）求证： CA 1C CA 11⊥C 1E ；（2）线段AB 上是否存在一点E ，使四面体E-AB 1C 1的体积为61若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.6．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示，其主视图BB 1A 1A 和侧视图A 1ACC 1均为矩形，其中AA 1=4。

俯视图ΔA 1B 1C 1中，B 1C 1=4，A 1C 1=3，A 1B 1=5，D 是AB 的中点。

（1）求证：AC ⊥BC 1；（2）求证：AC 1∥平面CDB 1；（3）求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值。

立体几何专题

立体几何专题一．选择题（共6小题）1．L一个几何体的三视图如图所示（单位：m），其正视图、侧视图均有一个角为60°的菱形，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A．m3B．m3C．m3D．m32．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x=（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体积是，则三视图中圆的半径为（）A．2 B．3 C．4 D．64．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．24+πB．24﹣3πC．24﹣πD．24﹣2π6．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中的最大面积是（）A．6 B．8 C．2 D．3二．解答题（共10小题）7．如图，在三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=1，，∠ABC=60°．（1）证明AB⊥A1C；（2）求异面直线AB1和BC1所成角的余弦值；（3）求二面角A﹣A1C﹣B的平面角的余弦值．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点，G是CC1的中点．（I）求异面直线AE与A1C所成的角；（II）求证EG⊥A1C；（III）求二面角C﹣AG﹣E的正切值．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．10．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．11．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．12．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，且AA1=2AB=2BC=2，E，M分别是CC1，AB1的中点．（Ⅰ）证明：EM∥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1E与平面AEB1所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B﹣EM﹣B1的余弦值．13．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．14．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．15．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=AB=AC=BC=SC，0为BC的中点．（I）求证：SO⊥面ABC；（II）求异面直线SC与AB所成角的余弦值；（III）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B﹣SC﹣E的平面角的余弦值为；若存在，求BE：BA的值；若不存在，试说明理由．16．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．立体几何专题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．L一个几何体的三视图如图所示（单位：m），其正视图、侧视图均有一个角为60°的菱形，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A．m3B．m3C．m3D．m3【解答】解：由三视图知几何体为两个大小相同的正四棱锥的组合体，∵正视图、侧视图均有一个角为60°的菱形，俯视图为边长为1m的正方形，∴正四棱锥的高是正视图、侧视图中边长为1m的正三角形的高（m），∴该几何体的体积V=2×=（m3），故选：C．2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：C．3．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体积是，则三视图中圆的半径为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由三视图可知：该几何体为球去掉，余下的几何体．设三视图中圆的半径为r，则=，解得r=2．故选：A．4．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π，故选：C．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．24+πB．24﹣3πC．24﹣πD．24﹣2π【解答】解：几何体为棱长为2的正方体挖去半径为2的球，所以几何体的表面积为：=24﹣π；故选：C．6．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中的最大面积是（）A．6 B．8 C．2 D．3【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：×4×=2．两个侧面面积为：×2×3=3，前面三角形的面积为：×4×=6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选：A．二．解答题（共10小题）7．如图，在三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=1，，∠ABC=60°．（1）证明AB⊥A1C；（2）求异面直线AB1和BC1所成角的余弦值；（3）求二面角A﹣A1C﹣B的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AA1⊥ABC，∴AA1⊥AB，在△ABC中，AB=1，，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，∴∠BAC=90°，即AB⊥AC．且AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，∴AB⊥平面ACC1A1，又A1C⊂ACC1A，∴AB⊥A1C．解：（2）如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），，，，∴，，∴，∴异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（3）可取为平面AA 1C的法向量，设平面A 1BC的法向量为，则，又∵，，∴，不妨取y=1，则，因此有∴二面角A﹣A1C﹣B的平面角的余弦值为．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点，G是CC1的中点．（I）求异面直线AE与A1C所成的角；（II）求证EG⊥A1C；（III）求二面角C﹣AG﹣E的正切值．【解答】解：（I）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，E1C1，则AE∥A1E1，所以∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．设AC=AB=AA 1=2a，则，，.．在△A1E1C中，．所以异面直线AE与A1C所成的角为．（II）由（I）可知，A1E1⊥B1C1，又因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以A1E1⊥面BCC1B1，得A1E1⊥EG；又由△E1CC1与△GEC相似，得又由A1E1∩CE1=E1，所以EG⊥面A1E1C，EG⊥A1C．（III）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC．又由平面ABC⊥平面ACC1A1，所以EP⊥平面ACC1A1．∠PQE是二面角C﹣AG﹣E的平面角，由，得所以二面角C﹣AG﹣E的平面角正切值是．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．【解答】解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，，0）．（1）易得=（0，，1），=（0，2，﹣4）．于是cos＜，＞==．所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为．（2）证明：连接ED，易知=（1，2，1），=（﹣1，，4），=（﹣1，，0），于是=0，=0．因此，AF⊥EA1，AF⊥ED．又EA1∩ED=E，所以AF⊥平面A1ED．（3）设平面EFD的一个法向量为u=（x，y，z），则即不妨令x=1，可得u=（1，2，﹣1）．由（2）可知，为平面A1ED的一个法向量．于是cos＜u，＞==，从而sin＜u，＞=．二面角A1﹣ED﹣F的正弦值是10．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈[0，1]，∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，∴cos＜，＞===，整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），∴线段A1E的长为﹣2．11．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．12．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，且AA1=2AB=2BC=2，E，M分别是CC1，AB1的中点．（Ⅰ）证明：EM∥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1E与平面AEB1所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B﹣EM﹣B1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥AB，BB1⊥BC，又∵AB⊥BC，∴AB⊥平面BCC1B1．…（1分）如图，以点B为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（1，0，0），B1（0，2，0），A（0，0，1），C1（1，2，0），A1（0，2，1）．…（3分）∵E，M分别是CC1，AB1的中点，∴E（1，1，0），M（0，1，），∴=（﹣1，0，）．平面ABC的法向量为=（0，2，0），∵•=0，∴⊥．又∵EM⊄平面ABC，∴EM∥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）=（0，2，﹣1），=（﹣1，1，0），=（﹣1，1，1）．设=（x1，y1，z1）为面AEB1的法向量，则•=•=0，即取y1=1，则x1=1，z1=2，从而=（1，1，2），设直线A1E与平面AEB1所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，即直线A1E与平面AEB1所成角的正弦值为．…（10分）（Ⅲ）=（1，1，0），=（0，1，）．设=（x2，y2，z2）为面BEM的法向量，则•=•=0，即取z2=2，则x2=1，y2=﹣1，从而=（1，﹣1，2），∴cos＜，＞==，由图形可知所求二面角的平面角为钝角，∴二面角B﹣EM﹣B1的余弦值为﹣．…（13分）13．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，又∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB=EF，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB，又BE⊂平面EFCB，∴AO⊥BE．（Ⅱ）取CB的中点D，连接OD，则OD⊥EF，以O为原点，分别以OE、OA、OD为坐标轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），E（a，0，0），F（﹣a，0，0），，，，∴，=（a，﹣a，0），设平面AEB的一个法向量，则，∴，令y=1，得=（，1，﹣1）．平面AEF的一个法向量为，∴=﹣1，||=，||=1，∴，由二面角F﹣AE﹣B为钝二面角，∴二面角F﹣AE﹣B的余弦值为﹣．（Ⅲ），∴=4，||=，||=，∴cos＜，＞=，∴6a2﹣12a+16=10，解得a=1．14．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则，A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，1，0），O（，，0），P（，，1）…（2分）=（，，1），=（1，，0），，∴PA⊥BO．…（5分）（2）证明：=（，，1），=（，﹣1，0），设平面APB法向量为=（x0，y0，z0）可得，令x°=1，则=（1，，）…（7分）．=（，，0），，DO∥平面PAB…（9分）（3）=（，，1），=（，0，0）设平面DPC法向量为，可得，令y°=1，则=（0，1，）…（11分）．平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为 (13)15．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=AB=AC=BC=SC，0为BC的中点．（I）求证：SO⊥面ABC；（II）求异面直线SC与AB所成角的余弦值；（III）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B﹣SC﹣E的平面角的余弦值为；若存在，求BE：BA的值；若不存在，试说明理由．【解答】解：（Ⅰ）连接SO，显然∴SO⊥BC，设SB=a，则SO=，AO=，SA=a∴SO2+OA2=SA2，∴SO⊥OA，又∴BC∩OA=0，∴SO⊥平面ABC．（Ⅱ）以O为原点，以OC所在射线为x轴正半轴，以OA所在射线为y轴正半轴以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系．则有O（0，0，0），，，，，∴∴，∴，∴异面直线SC与AB所成角的余弦值为，（Ⅲ）假设存在E满足条件，设（0≤λ≤1），则，．设面SCE的法向量为=（x，y，z），由，得，．因为OA⊥面ABC，所以可取向量=（0，1，0）为面SBC的法向量．所以，，解得，．所以，当BE：BA=1：2时，二面角B﹣SC﹣E的余弦值为．16．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB ⊥AD∴AB⊥平面PAD，（2分）又∵EF∥AB∴EF⊥平面PAD，（3分）（Ⅱ）取AD中点O，连结PO∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD∴PO⊥平面ABCD，（4分）如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系：∴O（0，0，0）A（0，﹣2，0）B（4，﹣2，0）C（4，2，0），D（0，2，0），G（4，0，0），，E（0，﹣1，），设平面EFG的法向量为，，∴，（6分）又平面ABCD的法向量为，（7分）设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ∴，∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为．（9分）（Ⅲ）设，，∴，（10分），∴=，（12分）即2λ2﹣3λ+2=0，无解，∴不存在这样的M．（13分）。

立体几何基础题题库(360道附详细解析)

立体几何基础题题库（360道附详细解析）1、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，那么〔A 〕∠1+∠2=900〔B 〕∠1+∠2≥900〔C 〕∠1+∠2≤900〔D 〕∠1+∠2＜900解析：C分别作两条与二面角的交线垂直的线，那么∠1和∠2分别为直线AB 与平面,αβ所成的角。

依照最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内通过斜足的直线所成的一切角中最小的角2ABO ∴∠>∠1902190ABO ∠+∠=∴∠+∠≤o o Q2. 以下各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共．．面．的一个图是PPQQRSSPPPQQRR RSSSPP PQQQR RS SS PP Q QR RRSS〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕 D解析： A 项：PS P 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形B 项：如图C 项：是个平行四边形D 项：是异面直线。

〔A 〕假设α，β，γ两两相交，那么有三条交线〔B 〕假设α⊥β，α⊥γ，那么β∥γ〔C 〕假设α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，那么a ⊥b 〔D 〕假设α∥β，β∩γ=∅，那么α∩γ=∅ D解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。

B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。

C 项：如图4.如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，那么动点P 所在曲线的形状为AP A 1B PA 1BPA 1O BP A O ABDP A C 1D 1C解析：11B C ⊥平面AB 111,B C PB ∴⊥，如图：PCD C'D'BB'AA'P 点到定点B 的距离与到定直线AB 的距离相等，建立坐标系画图时能够以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。

高中数学立体几何小题100题(含答案与解析)

立体几何小题100例一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（）A ．5B ．4C ．42．5【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面11AA D D ,2244()52PE =+=选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,217BD cm CD cm ==，则这个二面角的度数为（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】B 【解析】试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,BD AC θ<>=，因为CD DB BA AC =++，所以22222()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅CA DB而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=所以2222||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯所以1cos 2θ=，而[0,]θπ∈，所以60θ=︒，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是（）112222侧视图俯视图主视图A ．343cmB ．383cmC ．33cmD ．34cm【答案】B ．【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312=⨯⨯==Sh V ．考点：空间几何体的体积计算．4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（）【答案】A 【解析】试题分析：设AC 与BD 交于点O ,连接OP .易证得BD ⊥面11ACC A ,从而可得BD OP ⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC ∆中126cos 33C AC ∠==.在AOP ∆中 22OA =,设(),03AP x x =≤≤,由余弦定理可得2222226231222362OP x x x x ⎛⎫=+-⋅⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以223162OP x x =-+.所以()22231262f x x x =-+.故选A. 考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.5．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x=12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；（4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数；以上命题中假命题．．．的序号为（） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4）【答案】C 【解析】试题分析：（1）由于AC EF //，B B AC BD AC '⊥⊥,，则D D B B ''⊥平面AC ，则D D B B EF ''⊥平面，又因为EMFN EF 平面⊂，则平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）由于四边形MENF 为菱形，MN EF S MENF ⋅=21，2=EF ，要使四边形MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小；（3）因为1)21(2+-=x MF ，1)21(4)(2+-=x x f ，)(x f 在]1,0[上不是单调函数；（4）NE C F EC M F MENF C V V V '-'--'+=，ME C S '∆=41121=⋅'E C ，F 到平面ME C '的距离为1，1214131=⋅='-ME C F V ，又41121=⋅'⋅='∆E C S NE C ，1214131=⋅='-NE C F V ，61)(=x h 为常函数.故选（3）考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（）（A）4 （B ）4 （C ）4 （D ）34【答案】D. 【解析】试题分析：连接B A 1；11//CC AA ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，设11=AA ，则21,231==D A AD ；在1BDA Rt ∆中，2121=B A ；在1ABA ∆中，431122111cos 1=⨯⨯-+=∠AB A ；即面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为34. 考点：异面直线所成的角.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积.8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（）A ．11DC D P ⊥B ．平面11D A P ⊥平面1A APC ．1APD ∠的最大值为90 D ．1AP PD +22+ 【答案】C 【解析】试题分析：111DC D A ⊥ ，11DC B A ⊥，1111A B A D A = ，⊥∴1DC 平面11BCD A ，⊂P D 1平面11BCD A 因此P D DC 11⊥，A 正确；由于⊥11A D 平面11ABB A ，⊂11A D 平面P A D 11，故平面⊥P A D 11平面AP A 1 故B 正确，当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，C 错；将面B AA 1与面11BCD A 沿B A 1展成平面图形，正视图侧视图俯视图线段1AD 即为1PD AP +的最小值，利用余弦定理解221+=AD ，故D 正确，故答案为C ．考点：棱柱的结构特征． 9．下列命题中，错误的是（）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线【答案】B 【解析】试题分析: 由直线与平面的位置关系右知A 正确;平行于同一个平面的两条直线可以相交、平行或异面，故B 错，所以选B.考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.10．已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）【答案】A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ，则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2，即R 2=（4-R ）2+（32）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）【答案】C 【解析】试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1AF 上,由图可知，选C.考点：空间想象能力13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r , 则2286862r r r -+-+⇒=,故选B. 考点：三视图内切圆球三棱柱14．已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 A ．14 B ．24 C ．34 D ．12【答案】B. 【解析】试题分析：如图作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作AG ∥CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则.BG AG ⊥设2AB a =．在ABE ∆中，60,90,2,.BAE AEB AB a AE a ∠=︒∠=︒=∴=在Rt AEG ∆中，29045,90,cos 45.2GAE CAG AGE AG a a ∠=︒-∠=︒∠=︒∴=︒=在Rt ABG∆中，222cos 24AG BAG AB a ∠===∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B ．βαElBDACG考点：1.三垂线定理及其逆定理；2. 空间角（异面直线所成角）的计算．15．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ，故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（） A ．13B 523 D ．23【答案】B【解析】试题分析：解：因为90,DPE DPF ∠=∠=所以,DP PE DP PF ⊥⊥又因为PE ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,且PE PF P =,所以DP ⊥平面PEF在PEF ∆中，22223151,,1222PE PF EF EB BF ⎛⎫===+=+= ⎪⎝⎭所以222351222cos 33212EPF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,225sin 133EPF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭ 所以11355sin 122234PEF S PE PF EPF ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 115523346PEF P DEF D PEF V V DP S ∆--==⋅⋅=⨯⨯=三棱锥三棱锥所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17．高为的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离．解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：=故选A点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．18．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB ．5aC ．aD ．3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++± ，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．19．长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（）．Ａ．14 B ．4 C ．32 D ．23【答案】B【解析】试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度．考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.20．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ , 由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF 与面MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为//EF l ，M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项D 不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．21．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D【解析】试题分析：由于',A G DE FG DE ⊥⊥．所以DE ⊥平面'A FG ．经过点'A 作平面ABC 的垂线垂足在AF上．所以A 选项正确．由A 可知B 选项正确．当平面'A DE 垂直于平面BCDE 时，三棱锥EFD A -'的体积最大，所以C 正确．因为BD EF ，设2AC a =．所以'EF A E a ==，当'2A F a =时，32'(')2a A G GF A G GF a <+==．所以异面直线E A '与BD 可能垂直．所以D 选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．22．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ ,由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；EF l，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选因为//项D不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．23．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选A．24．如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.则棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值是（）A. 2:1B. 1:1C. 1:2D. 1:3【答案】C。

立体几何专题

立体几何专题1. (北京文) (18) (本小题 14 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD ， PA⊥ PD ， PA=PD ， E ， F 分别为 AD ， PB 的中点.( Ⅰ ) 求证： PE ⊥BC ； (Ⅱ)求证：平面 PAB ⊥平面 PCD ； (Ⅲ) 求证： EF∥平面 PCD.2. (北京理) (16) (本小题 14 分)如图，在三棱柱 ABC- A 1B 1C 1 中， CC 1 」平面 ABC ， D ， E ， F ， G 分别为 AA 1，AC ， A 1C 1，BB 1 的中点， AB=BC= 5， AC= AA 1 =2．( Ⅰ ) 求证： AC⊥平面 BEF ； ( Ⅱ ) 求二面角B-CD-C 1 的余弦值； (Ⅲ) 证明：直线 FG 与平面 BCD 相交．3. (江苏) (15) (本小题满分 14 分)在平行六面体ABCD 一 A B C D 中，AA = AB, AB 」B C ．求证： (1) AB∥平面A B C； (2) 平面ABB A 」平面A BC．4. (浙江) (19) (本题满分 15 分)如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A， B1B， C1C均垂直于平面 ABC，∠ABC=120°， A1A=4， C1C=1， AB=BC=B1B=2．(Ⅰ)证明：AB1 ⊥平面A1B1C1；(Ⅱ)求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值．1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1第 2 页共 10 页5. (天津文) (17)(本小题满分 13 分)如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥平面 ABD，点 M 为棱AB 的中点， AB=2， AD= 2 3 ，∠BAD=90°．( Ⅰ )求证：AD⊥BC；( Ⅱ ) 求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；(Ⅲ)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值．6. (天津理) (17)(本小题满分 13 分)如图，AD∥BC 且 AD=2BC，AD 」CD , EG∥AD且 EG=AD，CD∥FG 且 CD=2FG，DG 」平面ABCD， DA=DC=DG=2.(I)若 M 为 CF 的中点， N 为 EG 的中点，求证：MN∥平面CDE；(II)求二面角E BC F 的正弦值；(III)若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为60°，求线段 DP 的长.7. (全国卷一文)(18)(12 分)如图，在平行四边形 ABCM 中， AB = AC = 3， ∠ACM = 90，以 AC 为折痕将△ ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA． (1)证明：平面 ACD ⊥平面 ABC ；(2) Q 为线段 AD 上一点， P 在线段 BC 上，且 BP = DQ = DA ，求三棱锥3Q ABP 的体积．8. (全国卷一理)(18)(12 分)如图，四边形 ABCD 为正方形， E, F 分别为 AD, BC 的中点，以 DF 为折痕把 △DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF 」BF . (1)证明：平面 PEF 」平面 ABFD ； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 .29. (全国卷二文)( 19) (12 分)如图，在三棱锥P ABC 中，AB = BC = 2 2，PA = PB = PC = AC = 4，O为AC 的中点．(1)证明：PO 」平面ABC；(2)若点M 在棱 BC 上，且MC = 2MB，求点C 到平面POM 的距离．10. (全国卷二理)(20)(12分)如图，在三棱锥P ABC 中，AB = BC = 2 2，PA = PB = PC = AC = 4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO 」平面ABC；(2) 若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C 为30，求PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．POA CMB11. (全国卷三文)(19)(12分)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C， D 的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM 上是否存在点 P ，使得MC∥平面PBD ？说明理由．12. (全国卷三理)(19)(12分)如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C， D 的点．(1)证明：平面 AMD⊥平面BMC；(2) 当三棱锥M ABC 体积最大时，求面 MAB 与面MCD所成二面角的正弦值．13． (12 分)如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，1AB = BC = AD, 三BAD = 三ABC = 90o , E 是 PD 的中点.2(1) 证明：直线CE/ / 平面 PAB(2) 点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为45o ，求二面角 M-AB-D 的余弦值14． (12 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB//CD，且三BAP = 三CDP = 90(1)证明：平面 PAB⊥平面PAD；(2)若 PA=PD=AB=DC, 三APD = 90 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.15. (12 分)如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD= ∠CBD，AB=BD．(1) 证明：平面ACD⊥平面 ABC；(2) 过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D –AE –C 的余弦值．16．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面PAD⊥平面 ABCD，点 M在线段 PB 上， PD//平面 MAC， PA=PD= 6， AB=4．(I)求证： M 为 PB 的中点；(II)求二面角 B-PD-A 的大小；(III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值．17．如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，三BAC = 90o .点 D， E， N 分别为棱PA， PC， BC 的中点， M 是线段 AD 的中点， PA=AC=4， AB=2.(Ⅰ)求证： MN∥平面BDE；(Ⅱ)求二面角 C-EM-N 的正弦值；7(Ⅲ) 已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为，求线段 AH21的长.18.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形为旋转轴旋转得到的，是的中点.(Ⅰ)设是(Ⅱ)当上的一点，且，求的大小；，，求二面角的大小.(及其内部) 以边所在直线19． (本题满分 15 分)如图，已知四棱 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，D⊥AD， PC=AD=2DC=2CB， E 为 PD 的中点.(Ⅰ)证明：CE∥平面PAB；(Ⅱ)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.。

2024年数学七年级上册立体几何基础练习题(含答案)

2024年数学七年级上册立体几何基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 下列哪个图形是正方体？（）A. 长方体B. 正六面体C. 圆柱体D. 球体2. 一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，它的对角线长度是多少cm？（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 9cm3. 下列哪个图形的表面积最小？（）A. 正方体B. 长方体C. 球体D. 圆柱体4. 一个正方体的体积是64立方厘米，它的棱长是多少厘米？（）A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm5. 下列哪个图形有6个面？（）A. 三棱锥B. 四棱锥C. 圆锥D. 球体6. 一个圆柱的底面半径为3cm，高为5cm，它的侧面积是多少平方厘米？（）A. 45πcm²B. 54πcm²C. 75πcm²D. 90πcm²7. 下列哪个图形的体积最大？（）A. 长方体（长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm）B. 正方体（棱长为3cm）C. 球体（半径为2cm）D. 圆柱体（底面半径为2cm，高为3cm）8. 一个圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，它的体积是多少立方厘米？（）A. 48πcm³B. 64πcm³C. 72πcm³D. 96πcm³9. 下列哪个图形可以展开成一个长方形？（）A. 正方体B. 球体C. 圆锥D. 圆柱体10. 一个正方体的棱长为x，它的表面积是多少？（）A. 6x²B. 8x²C. 12x²D. 24x²二、判断题：1. 正方体的六个面都是正方形。

（）2. 圆柱体的底面和顶面都是圆形。

（）3. 球体的表面积和体积相等。

（）4. 长方体的对角线长度等于其长、宽、高的和。

（）5. 圆锥的体积等于底面积乘以高。

（）6. 正方体的体积是棱长的三次方。

（）7. 两个相同体积的正方体，它们的表面积也相同。

高考必刷小题立体几何

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11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M， N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是 A.MN＝12EF
√B.MN≠12EF √C.MN与EF异面
D.MN与EF平行
1 A.4
dm2
C.
3 4
dm2
√B.
2 4
dm2
D.34 2
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根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于点F，E，在平面VBC内，过点E作EQ∥VB交BC于点Q，在平面VAB内，过点F作FD∥VB交AB于点D，连接DQ，如图所示，因为EF∥AC，所以△VEF∽△VCA，设其相似比为k，则VVAF＝VVCE＝AECF＝k，0<k<1，因为 VA＝VB＝VC＝1，且两两垂直，所以 AC＝ 2，
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因为EF⊂平面VAC，所以FD⊥EF，所以四边形 FEQD 是矩形，即 S 矩形 FEQD＝
FD·EF＝(1－k)· 2k＝－ 2k－122＋ 42，
所以当
k＝12时，S
矩形 FEQD
有最大值
2 4.
故该截面面积的最大值是
对于A，如图(1)，α∩β＝l，m⊥l，n∥l，则满足m∥α，n∥β，m⊥n，平面α与β不一定垂直，故A错误；对于B，如图(2)，α∩β＝l，n∥l，m⊥α，则满足n∥β，m⊥n，平面 α与β不一定垂直，故B错误；
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立体几何小题

立体几何小题 1、（原创）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线互相平行但不重合的概率等于（ D ）（A ）751 （B ）752 （C ）251 （D ）7542. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ D ）A ．2B ． 3C ．1D ．2 求正四面体内切球半径直径为正方体体对角线3．在平行四边形ABCD 中，22,60BC AB B ==∠=o ，点E 是线段AD 上任一点（不包含点D ），沿直线CE 将△CDE 翻折成△E CD '，使'D 在平面ABCE 上的射影F 落在直线CE 上，则'AD 的最小值是(A)A ．43-B ．42-C ．2D ．34.如图2，正方体D C B A ABCD ''''-中，M 为BC 边的中点，点P 在底面D C B A ''''和侧面C D CD ''上运动并且使C PA C MA '∠='∠，那么点 P 的轨迹是（ C ）（A ）两段圆弧（B ）两段椭圆弧（C ）两段双曲线弧（D ）两段抛物线弧5．半径为R 的球内部装4个有相同半径r 的小球，则小球半径r 的最大值是（ B ）（A ）323R + （B ）636R + （C ）113R + （D ）535R + 6.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是AA 1，CC 1的中点，P 是 CC 1 上的动点(包括端点)，过点E 、D 、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则P 的轨迹是( Ｃ ) A ．线段C 1F B ．线段CF C ．线段CF 和一点C 1 D ．线段C 1F 和一点CA BCDA 'B 'C 'D 'PM图27．（引用：浙江省考试院2013届高三测试卷（理）试题）在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2．若存在各棱长均相等的四面体P 1P 2P 3P 4，其中P 1，P 2，P 3，P 4分别在棱AB ，A 1B 1，C 1D 1，CD 所在的直线上，则此长方体的体积为 4 ．（命题意图：考查立体几何的体积及推理，属较难题）8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列四个命题： ①若P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②若P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成的角的大小不变； ③若P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与1A D 所成的角的大小不变；④若M 是平面A 1B 1C 1D 1上到直线A 1D 1与直线1CC 距离相等的点，则点M 的轨迹是抛物线．其中真命题的编号是_____①③④ ________．（写出所有真命题的编号） 9.四面体ABCD 中，有如下命题：①若AC ⊥BD ，AB ⊥CD 则AD ⊥BC ；②若E 、F 、G 分别是BC 、AB 、CD 的中点，则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小；③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在平面ABD 上的射影是△ABD 的外心； ④若四个面是全等的三角形，则四面体ABCD 是正四面体。

专题23立体几何中的压轴小题-3

面所转化成侧面 CDD1C1 与平面 HC1 D1 所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值.
【详解】由题意知，水的体积为 4 ´ 4 ´ 2 = 32 ，如图所示，
设正方体水槽绕 CD 倾斜后，水面分别与棱 AA1 , BB1 , CC1 , DD1 , 交于 M , N , P, Q,
由题意知 PC = 3 ，水的体积为 S BCPN × CD = 32
A．
π
3
B．
2π
3
C． π
D．
）
4π
3
（2022·福建厦门·高一期末）
7．如图（1）平行六面体容器 ABCD - A1B1C1D1 盛有高度为 h 的水， AB = AD = AA1 = 2 ，
ÐA1 AB = ÐA1 AD = ÐBAD = 60° .固定容器底而一边 BC 于地面上，将容器倾斜到图（2）时，
C．3 个
试卷第 3 页，共 3 页
D．4 个
{#{QQABJ0I9wmgYlA7wiKYaQWeAiykx0IQyL6xOlQYC+UdNvktADIA=}#}
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面 N 到底
面 B 的距离 BN = 1 ，再由边长关系可得四边形 NPC1 H 是平行四边形，从而侧面 CDD1C1 与桌
专题 23 立体几何中的压轴小题
题型七：立体几何装液体问题
（2022·全国·高二期中）
1．如图，水平桌面上放置一个棱长为 4 的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，
在该正方体侧面 CDD1C1 上有一个小孔 E ， E 点到 CD 的距离为 3，若该正方体水槽绕 CD 倾

高中数学立体几何小题100题(含答案与解析)

立体几何小题精选

立体几何小题精选
1. 一条铁链上有10个环，每个环都可以通过一根木棍穿过，
每根木棍能穿过的环数不限。

现在，你需要将这10个环连接
起来，使得链条成为一个闭环。

请问，最少需要几根木棍？
答案：最少需要9根木棍。

首先可以将第一个环穿上一根木棍，然后将这根木棍的另一端穿过第二个环，依此类推，直到第九个环。

然后将第九个环和第十个环通过第一根木棍连接起来，形成闭环。

2. 一个长方体的边长为2cm，从这个长方体的一个角剪去一个小立方体，边长为1cm。

请问，剩下的立方体体积是多少？
答案：剩下的立方体体积为7cm³。

原长方体的体积为8cm³，
剪去的小立方体体积为1cm³，所以剩下的立方体体积为8cm³- 1cm³ = 7cm³。

3. 在一个正方体的八个顶点上贴上八个相等的小立方体，八个小立方体的底面都与正方体的底面相切，顶面都与正方体的顶面相切。

请问，这八个小立方体的体积之和等于正方体的体积的多少倍？
答案：这八个小立方体的体积之和等于正方体体积的4倍。

正方体的体积为边长的立方，假设正方体边长为1，那么正方体
的体积为1³ = 1。

而每个小立方体的体积为 (1/2)³ = 1/8，所以
八个小立方体的体积之和为 8 × (1/8) = 1。

所以这八个小立方
体的体积之和等于正方体的体积的4倍。

专题12 立体几何小题拔高练(解析版)

【一专三练】专题12 立体几何小题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）一、单选题1．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知直线,l m 和平面,αβ，若,l ααβ⊂⊥且m αβ= ，则“l m ⊥”是“l β⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由面面垂直的性质、线面垂直的定义结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】当l m ⊥时，由,l ααβ⊂⊥且m αβ= ，得l β⊥；当l β⊥时，因为m αβ= ，所以m β⊂，所以l m ⊥.即“l m ⊥”是“l β⊥”的充要条件.故选：C2．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是线段11B D 上的动点，则三棱锥1P A BD -的体积为（）A ．18B ．16C ．15D ．14.3．（2023·广东广州·统考一模）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，4PB PC AB AC ====，2PA BC ==，则球O 的表面积为（）A ．316π15B ．79π15C ．158π5D ．79π5而,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ，因此在等腰ABC V 中，4,2AB AC BC ===，则215sin 1cos 4ABC ABC ∠=-∠=，故选：A4．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知正四面体A BCD -，12AM MC =，点N 为线段BC 的中点，则直线MN 与平面BCD 所成角的正切值是（）ABCD由题意可知：//MG AO 且MG 因为AO ⊥平面BCD ，所以则MNG ∠即为直线MN 与平面设正四面体的棱长为2，则所以222AO AN ON =-=5．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，π2ACB ∠=，11AC AA ==，2BC =，点M 是BC 的中点，点P 是线段1A B 上一动点，点Q在平面1AMC上移动，则P，Q两点之间距离的最小值为（）A B．12C．23D．16．（2023·湖南·校联考模拟预测）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底-（如图），PA⊥平面面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马P ABCDAB BC上，当空间四边形PEFD的周长,1,2,3===，点E，F分别在,ABCD PA AB AD最小时，三棱锥P ADF-外接球的表面积为（）A．9πB．11πC．12πD．16πOO，则设三棱锥P ADF-外接球的半径为R，球心为O，连接17．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）如图，已知正四棱台1111ABCD A B C D -中，6AB =，114A B =，12BB =，点,M N 分别为11A B ，11B C 的中点，则下列平面中与1BB 垂直的平面是（）A ．平面11AC DB ．平面DMNC ．平面ACNMD ．平面1AB C因为正四棱台1111ABCD A B C D -，所以因为6AB =，114A B =，12BB =所以111A B PB AB PB=，即11462PB PB =+所以6PB PA AB ===，即PAB V8．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（）()3.14π≈A ．1895秒B ．1896秒C ．1985秒D ．2528秒9．（2023·广东湛江·统考一模）元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm 和20cm ，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm 和60cm，则该花灯的体积为（）A ．3B ．3C ．3D ．310．（2023·浙江·模拟预测）在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵111ABC A B C -中，1,2⊥=AC BC AA ，鳖臑111B A C B -的外接球，则阳马11B ACC A -体积的最大值为（）A ．23B ．43C ．83D ．4二、多选题11．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则下列结论正确的是（）A ．113P AA D V -=B ．点P 在线段1BC 上C ．1BD ⊥平面11AC DD ．直线AP 与侧面11BCC B 所成角的正弦值的范围为⎫⎪⎪⎭则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B 01z ≤≤，所以()1,1,AP x z =- ，(11,BD =-- 因为1AP BD ⊥，所以11AP BD x ⋅=- 所以1CP xB C =-，即1B ，C ，P 三点共线，故点12．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足111(01)B P B D λλ=≤≤，则（）A ．若1λ=，则AP 与BD 所成角为4πB ．若AP BD ⊥，则12λ=C ．AP P 平面1BC D D ．1A C AP⊥对选项B ：如图建立空间直角坐标系，令(,1,1)AP λλ=-- ，(1,1,0)DB =对选项C ：11D B BD ∥，11D B ⊄平面1BDC ， BD ⊂平面1BDC ，故11D B P 平面1BDC ，同理可得1AD P 平面1C BD ，1111AD B D D ⋂=，故面11AD B P 面1C BD ，AP ⊂平面11AD B ，AP P 平面1C BD ，正确；对选项D ：1(1,1,1)A C =--，1110AC AP λλ⋅=+--= ，1A C AP ⊥，正确．故选：BCD13．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且120ABC ∠=︒，则该圆台（）A B ．表面积为34π9C D ．上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9:24【答案】BCD【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A ；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B ，C ；进而求得上底面14．（2023·江苏·统考一模）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，E ，F 分别是棱11B C ，11C D 上的动点，满足11D F C E =，则（）A ．BF 与DE 垂直B ．BF 与DE 一定是异面直线C ．存在点E ，F ，使得三棱锥F A BE -的体积为154D ．当E ，F 分别是11B C ，11C D 的中点时，平面AEF 截正方体所得截面的周长为【答案】ACD【分析】设[]110,3C E D F a ==∈，利用坐标法可判断A ，利用特值法可判断B ，根据体积公式表示出三棱锥1F A BE -的体积可判断C ，作出截面结合条件可得周长判断D.【详解】如图建立空间直角坐标系，设[]110,3C E D F a ==∈，则()()()()0,0,0,3,3,0,,3,3,0,,3D B E a F a A ：由题可得()(3,3,3,,3,3BF a DE a =--= 所以BF DE ⊥，即BF DE ⊥，故A 正确；B ：当E ，F 为中点时，()3,3,0,DB FE = F ，E 四点共面，此时BF 与DE 不是异面直线，故C ：由[]110,3C ED F a ==∈，可得19A EF S =-△111⎛4因为1B MG BMA V :V ，所以1B M BM =可得1112B M MB ==，同理可得1D15．（2023·江苏·二模）已知A BCD -是棱长均为1的三棱锥，则（）A ．直线AB 与CD 所成的角90B ．直线BC 与平面ACD 所成的角为60C ．点C 到平面ABDD ．能容纳三棱锥A BCD -所以,AE CD BE CD ⊥⊥，AE 又AB ⊂面ABE ，故AB CD ⊥B ：若F 为面ACD 中心，连接所以直线BC 与平面ACD 所成的角为3CF 16．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A ．BPB ．PA PC +的最小值为C ．三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 1AB C BP ∴的最小值为1BA D V 的高，对于B ，将1AA D △与矩形11111132B ACP A B CP B CP V V S AD --∴==⋅V 即三棱锥1B ACP -的体积不变，对于D ，设点B 到平面1AB C 的距离为11B AB C B ABC V V --= ，113AB C S d ∴⋅=V 得：233d =，17．（2023·湖北·统考模拟预测）如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱AD ，AB ，BC 的中点，点P 为线段1D F 上的动点，则（）A ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为45︒B ．存在点P ，使得1//C G 平面BEP C ．对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEPD ．点1B 到直线1D F 的距离为4对于B ，当点P 与点1D 重合时，由题可知所以1111//,EG D C EG D C =，四边形又1C G ⊄平面BEP ，1DE ⊂平面又,,AE BF AB CB A CBF ==∠=∠90EBA CFB ∠+∠= ，故CF ⊥又1,CF CC 相交，1,CF CC ⊂平面意点P ，平面1FCC ⊥平面BEP 对于D ，由正方体的性质可得B 故选：BCD ．18．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）如图，在已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为平行四边形，E ，M ，N ，P 分别是BC ，1BB ，1A D ，1AA 的中点，以下说法正确的是（）A ．若1BC =，1AA =，则1DP BC ^B ．//MN CDC ．//MN 平面1C DED ．若AB BC =，则平面11AA C C ⊥平面1A BD所以//MN 平面1C DE ，选项C 正确．若AB BC =，则四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥．又1CC BD ⊥，1AC CC C = ，1,AC CC ⊂平面11ACC A ∴BD ⊥平面11ACC A ，BD ⊂平面1A BD ，∴平面1A BD ⊥平面11ACC A ，选项D 正确．故选：ACD.19．（2023·湖南·模拟预测）已知正四棱锥P ABCD -的所有棱长均为E ，F 分别是PC ，AB 的中点，M 为棱PB 上异于P ，B 的一动点，则以下结论正确的是（）A ．异面直线EF 、PD 所成角的大小为3πB ．直线EF 与平面ABCDC ．EMF V +D ．存在点M 使得PB ⊥平面MEF设正方形ABCD 的中心为O ，连接OC ，PO ，则PO ⊥平面ABCD ，2OC OP ==，设OC 的中点为H ，连接EH ，FH ，则EH OP P ，且EH ⊥平面ABCD ，所以EFH ∠为直线EF 与平面ABCD 所成角，所以112EH PO ==，20．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）如图，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为3，点M 是侧面ADD A ''上的一个动点（含边界），点P 在棱CC '上，且1PC '=，则下列结论正确的有（）A ．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为B ．保持PM 与BD '垂直时，点M 的运动轨迹长度为C ．若保持PM =M 的运动轨迹长度为4π3D ．当M 在D ¢点时，三棱锥B MAP '-的外接球表面积为99π4连接AP ，则AP 对于B ，因为DD ,DD BD D DD '= 所以AC ⊥平面DD 所以AC ⊥BD '，同理可得由点P 在棱CC '上，且PC '=过点P 作PQ ⊥平面ADD '所以点M 在以Q 为圆心，点M 的运动轨迹长度为23对于D ，以D 为坐标原点，则()()(0,0,3,0,3,2,3,3,3M P B '(),,N x y z ，由22||||NM NP ==22222(3)(3)x y z x y ++-=+-解得：75,44x z y ===，21．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱1DD 上的动点（不含端点），则（）A ．过点M 有且仅有一条直线与AB ，11BC 都垂直B ．有且仅有一个点M 到AB ，11BC 的距离相等C ．过点M 有且仅有一条直线与1AC ，1BB 都相交D ．有且仅有一个点M 满足平面1MAC ⊥平面1MBB连接AC 、BD 交于点O ，连接11BDB D ，又因为M ∈面1BDB D 点G ，即：过点M 有且仅有一条直线与对于选项D ，设正方体的边长为则(2,0,0)A ，1(0,2,2)C ，(2,2,0)B ，设(0,0,)M m ，(02)m ≤≤，则(2,0,)MA m =- ，1(2,2,2)AC =- ，设面1MAC 的一个法向量为11(,n x = 111020n MA x mz ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨22．（2023·广东湛江·统考一模）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱BC 与11D C 的中点，则下列选项正确的有（）A ．1//AB 平面1AEC B ．EF 与1BC 所成的角为30°C ．EF ⊥平面1B ACD ．平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为23．（2023·广东·统考一模）在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，若SD AD =，则（）A ．AC SD⊥B ．AC 与SB 所成角为60︒C ．BD 与平面SCD 所成角为45︒D ．BD 与平面SAB 【答案】ACD【分析】对于选项A ，利用线面垂直的判定定理得到AC ⊥平面SBD ，进而可判定选项A 正确；对于选项B ，由AC ⊥平面SBD ，知AC SB ⊥，故可选项B 错误；对于选项C 和D ，利用线面的定义，找出线面角，从而转化成平面角，在相应的三角形中进行求解，即可判断选项的正误.【详解】选项A ，因为SD ⊥底面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以AC SD ⊥,因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又BD SD D ⋂=，,BD SD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD ，又SB ⊂面SBD ，所以AC SB ⊥，选项A 正确．选项B ，因为AC ⊥平面SBD ，又SB ⊂面SBD ，所以AC SB ⊥，故选项B 错误．选项C ，因为SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以BC SD ⊥,故选：ACD24．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB BC ===，E ，F ，N 分别为AC ，1CC 和BC 的中点，D 为棱11A B 上的一动点，且11BF A B ⊥，则下列说法正确的是（）A ．BF DE⊥B ．三棱锥F DEN -的体积为定值C ．13FD AA ⋅=D ．异面直线1A C 与1B N 则()()(11,0,2,0,,2,0,A a B b B b -()()11,,1,,0BF A B a b a b a ⋅=-⋅= 对于A ，()(112,0,2,0,A B -()1112,2,0,A D A B λλλλ== 则()112,0,2DE A E A D =-=- ()(2,2,12BF DE ⋅=-⋅-25．（2023·浙江·模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -，若点M 在线段1BC 上运动，则下列结论正确的为（）A ．三棱锥1M ACD -的体积为定值B ．直线DM 与平面11BCC B 所成角的最大值为π3C ．1AM A D⊥D ．点M 到平面1CD D 与到平面ACD 的距离之和为定值【答案】ACD【分析】根据正方体中的直线与平面的关系，判断选项正误.【详解】对于选项A ，点M 在线段1BC 上运动，而11//BC AD ，1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ，点M 到平面1ACD 的距离为定值，三棱锥1M ACD -的体积为定值，A 正确；26．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为AB ，1CC 的中点，且MN 与正方体的内切球O （O 为球心）交于E ，F 两点，则下列说法正确的是（）A．线段EFB ．过O ，M ，N 三点的平面截正方体1AC 所得的截面面积为C ．三棱锥O DEF -D ．设P 为球O 上任意一点，则AP 与11A C 所成角的范围是π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BC【分析】过O ，M ，N 三点的截面为正六边形MGNHIJ ，球心O 为其中心，作出图形在正六边形中求出EF 判断A ，求出正六边形面积判断B ，由等体积法求出三棱锥体积判断C ，分析AP 与11A C 所成角的最大最小值判断D.【详解】过O ，M ，N 三点的截面为正六边形MGNHIJ ，球心O 为其中心，如图，三、填空题27．（2023·浙江·校联考三模）将两个形状完全相同的正三棱锥底面重合得到一个六面体，若六面体存在外接球，且正三棱锥的体积为1，则六面体外接球的体积为_____________．【分析】根据正三棱锥的几何性质，确定其形成六面体的外接球球心的位置及半径的长，从而列式求得半径，即可得六面体外接球的体积.【详解】如图所示，记两个形状完全相同的正三棱锥为三棱锥A BCD -和三棱锥A BCD-'设点A 在面BCD 上的投影为点O ，则A '、O 、A 三点共线．在三棱锥A BCD -和A BCD -'中，到几何体各顶点距离相等的点分别在AO 和A O '上若28．（2023·江苏南通·二模）已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为1.5m ，下边长为1m ，且下边距地面1 m ．若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5 m 2，则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为_______m 3．29．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.【答案】163##153【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为2464V R ππ==球，所以正三棱锥外接球半径4R =，如图所示，设外接球圆心为O ，过PO 向底面作垂线垂足为D ，(04)OD a a =≤<，要使正三棱锥体积最大，则底面ABC 与P 在圆心的异侧，因为-P ABC 是正三棱锥，所以所以4,OP OA AD OA ===又因为23ADB π∠=，所以AB 1sin 23ABC S AB AC π=⨯⨯⨯△130．（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥-P ABC 的棱长均为4，先在三棱锥-P ABC 内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及三棱锥-P ABC 的三个侧面都相切，则球2O 的表面积为__________.【答案】2π3##23π【分析】由等体积法求得内切球1O 半径，再根据比例求得球2O 的半径，则问题可解．【详解】如图所示：依题意得144sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=V 底面ABC 的外接圆半径为12sin r =点P 到平面ABC 的距离为24d =146162。

专题12 立体几何小题基础练(解析版)

【一专三练】专题12 立体几何小题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）一、单选题1．（2023·广东·统考一模）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）A ．12BC D2．（2023·山东济南·一模）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）A B C ．D ．3．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中a αβ⋂=，b βγ= ，c γα= ，且a b P = ，则下列结论一定成立的是（）A ．b 与c 是异面直线B ．a 与c 没有公共点C ．//b cD ．b c P= 故选：D ．4．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（）A ．8B ．6C ．4D ．3【答案】B【分析】根据柱体和锥体体积公式求得正确答案.【详解】如图所示，原长方体1111ABCD A B C D -，设矩形11BCC B 的面积为S ，11C D h =，鳖臑11D BCC -的体积为1，5．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知矩形ABCD 中，AB =8，取AB 、CD 的中点E 、F ，沿直线EF 进行翻折，使得二面角A EF B --的大小为120°，若翻折后A 、B 、C 、D 、E 、F 都在球O 上，且球O 的体积为288π，则AD =（）A ．45B ．25C ．4D ．2记三角形CDF 外接圆的圆心为因为二面角A EF B --的大小为且,EF DF EF CF ⊥⊥，所以所以30DCF ∠=o ，由正弦定理可得sin DFDCF∠6．（2023·山东日照·统考一模）红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积=.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为S Rh2π14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（）A．21940πcm B．22540πcm2350πcm C．22400πcm D．27．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知圆锥的侧面积为，高为，若圆锥可在某球内自由运动，则该球的体积最小值为（）A．B．8πC．9πD．【答案】D【分析】由圆锥侧面积公式及勾股定理可得圆锥半径r与母线l长，求该圆锥的外接球8．（2023·山东威海·统考一模）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则该圆锥的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．20π9．（2023·山东聊城·统考一模）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线m 、n 分别在平面ABCD 和11ABB A ，且m n ⊥，则下列命题中正确的是（）A ．若m 垂直于AB ，则n 垂直于AB B ．若m 垂直于AB ，则n 不垂直于ABC ．若m 不垂直于AB ，则n 垂直于ABD ．若m 不垂直于AB ，则n 不垂直于AB【答案】C【分析】根据线面垂直的判定定理及直线位置关系来判定选项即可.【详解】如图所示：A 选项，若m 垂直于AB ，则面11ABB A 内的所有直线均与m 垂直，无法证明,AB n 的关系，故A 选项错误，B 选项与A 同理；C 选项，若m 不垂直于AB ，因为1BB m ⊥，所以当m n ⊥时，1//BB n ，又因为1BB AB ⊥，所以n 垂直于AB ；D选项与C 同理.故选：C10．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）则三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面π,6,3,6ABC PA BC CAB ==∠=，则三棱锥-P ABC 的外接球半径为（）A ．3B ．C ．D ．611．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm ，高10cm ，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为（）A ．BC ．4D ．5【答案】D【分析】表示出表面积后，根据二次函数性质可得.【详解】大圆柱表面积为2215π10215π750π⨯+⨯⨯=小圆柱侧面积为102πr ⨯，上下底面积为22πr 所以加工后物件的表面积为2750π20π2πr r +-，当=5r 时表面积最大.故选：D12．（2023·湖北·统考模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（）A．BC D．13．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲、S乙，体积分别为V甲、V乙，若2SS=甲乙，则VV甲乙等于（）A B C D14．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知,,A B C为球O球面上的三个点，若3AB BC AC===，球O的表面积为36π，则三棱锥O ABC-的体积为（）A BC D15．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（）A ．175π3B ．75πC ．238π3D ．259π3因为圆台上､下底面的半径分别为所以4OB OA ==，1O B 所以2211OO OB O B =-所以127O O =，16．（2023·广东茂名·统考一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m ；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为2的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（）A ．321πmB ．318πm C ．(318πm+D ．(320πm+因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为()2211sin 23sin 3l αα=⨯⨯=17．（2023·广东茂名·统考一模）已知菱形ABCD 的各边长为2，=60B ∠︒.将ABC V 沿AC 折起，折起后记点B 为P ，连接PD ，得到三棱锥P ACD -，如图所示，当三棱锥P ACD -的表面积最大时，三棱锥P ACD -的外接球体积为（）A 3B 3C ．D 3【答案】D4【点睛】结论点睛：若三棱锥有两个面为共斜边的直角三角形，则三棱锥的外接球的球心为该斜边的中点.18．（2023·江苏·统考一模）已知正四面体-P ABC 的棱长为1，点O 为底面ABC 的中心，球О与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O 的半径为（）A B C D 【答案】B【分析】由题可知球O 与该正四面体的其余三个面都相切，然后利用P ABC O PABC O PBC O PAC V V V V ----=++，即得.【详解】因为正四面体-P ABC 的棱长为1，则正四面体-P ABC 的高为二、多选题19．（2023·浙江·统考一模）已知三棱柱ABC DEF -的棱长均相等，则（）A ．AB CF ⊥B ．AE BD ⊥C ．60ABC ∠=︒D ．60ADE ∠=︒20．（2023·江苏泰州·统考一模）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于点O ，则（）A ．1AD //平面1BOC B ．BD ⊥平面1COC C ．1C O 与平面ABCD 所成的角为45D ．三棱锥1C BOC -的体积为23因为,BD CO ⊥又1CC ⊥平面所以11,BD CC CD CC ⊥ BD ∴⊥平面1COC ，B 对；因为1C C ⊥平面,ABCD C 21．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知a ，b 为空间中两条不同直线，α，β为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（）A ．αβ∥，a α⊂，b a b β⊥⇒⊥B ．αβ∥，a α⊥，b a b β⊥⇒∥C ．αβ⊥，a αβ⋂=，b a b β⇒∥∥D ．αβ⊥，a α⊥，b a b β⊥⇒⊥【答案】ABD【分析】利用面面平行的性质及线面垂直的性质，面面垂直的性质即可求解.【详解】对于A ，由αβ∥，a α⊂，得a β∥，又因为b β⊥，所以a b ⊥r r，故A 正确；对于B ，由αβ∥，a α⊥，得a β⊥，因为b β⊥，所以 a b ∥，故B 正确；对于C ，由αβ⊥，a αβ⋂=，b β∥，得a 与b 异面或平行，故C 错误；对于D ，由αβ⊥，a α⊥，得a β∥或a β⊂，又因为b β⊥，所以a b ⊥r r，故D 正确；故选：ABD.22．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -侧面11BB C C （包含边界）上一点，下列说法正确的是（）A ．存在唯一一点P ，使得DP //1AB B ．存在唯一一点P ，使得AP //面11AC D C ．存在唯一一点P ，使得1A P ⊥1B D D ．存在唯一一点P ，使得1D P ⊥面11AC D23．（2023·山东青岛·统考一模）下列说法正确的是（）A ．若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B ．若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C ．设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充要条件D ．若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补【答案】AB【分析】对于选项ABC ，可根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理进行判定；对于选项D ，可在长方体中寻找特殊平面进行排除.【详解】选项A ，若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线a 与平面α平行，与条件相矛盾，故选项A 正确；选项B ，由面面平行的判定定理可知选项B 正确；选项C ，当直线,m n 不相交时，由线面垂直的判定定理知：l m ⊥且l n ⊥时，得不到l α⊥，故选项C 错误；选项D ，当11//αβ，αβ⊥时，可满足题设条件，此时平面α与平面β所成的二面角为90︒,平面1α与平面1β所成的二面角为0︒，故选项D 错误.故选：AB24．（2023·湖南常德·统考一模）已知平面α，β，直线l ，m ，则下列命题正确的是（）A ．若αβ⊥，,,m l m l αβα⋂=⊥⊂，则l β⊥B ．若l αβα⊂∥，，m β⊂，则//l mC ．若m α⊂，则“l α⊥”是“l m ⊥”的充分不必要条件D ．若m α⊂，l α⊄，则“l α∥”是“l m P ”的必要不充分条件25．（2023·广东茂名·统考一模）已知空间中三条不同的直线a 、b 、c ，三个不同的平面αβγ、、，则下列说法中正确的是（）A ．若a b ∥，a α⊥，则b α⊥B ．若a αβ⋂=，b βγ= ，c αγ⋂=，则a b c ∥∥C ．若αβ⊥，a α⊄，a β⊥，则a αP D ．若c β⊥，c γ⊥，则βγ∥【答案】ACD【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系，结合图形判断求解.【详解】对于A ，a b ∥，a α⊥，则b α⊥一定成立，A 正确；对于B ，如图，正方体两两相交的三个平面ABCD ,平面11ABB A ,平面11ADD A ,平面ABCD ⋂平面11ABB A AB =，平面ABCD ⋂平面11ADD A AD =,平面11ABB A 平面111ADD A AA =，但1,,AB AD AA 不平行，故B 错误；对于C ，若αβ⊥，a β⊥，则a αP 或a α⊂，但a α⊄，所以a αP ，C 正确；对于D ，c β⊥，c γ⊥，则βγ∥，D 正确. 故选:ACD.三、填空题26．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为20cm ，10cm ，侧棱长为10cm ，忽略其壁厚，则该升斗的容积为_________3cm ．【详解】上下底面对角线的长度分别为：202,10上底面的面积2120400S == ()2cm ，下底面的面积四棱台的体积27．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，22AB DC ==，E 为AD 的中点.将EAB V 和ECD V 分别沿,EB EC折起，使得点A ，D 重合于点F ，构成四面体FBCE .若四面体FBCE 的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为_________.故答案为：324.28．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，12AM AD =，平面11A BC ⋂平面1CC M l =，则直线l 与1D M 所成角的余弦值为__________．延长DC 至E ，使得DC CE =，则1A AB △≌1C CE △，111D A C V ≌CBE △，故11A B C E =，11A C BE =，故四边形11A C EB 为平行四边形，连接BE ，延长MC ，BE 交于点G ，连接1C G ，则1C G 即为直线l ．以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AD =，过点G 作GN ⊥y 轴于点N ，则MDC △∽GNC △，且相似比为1:2，故24CN CD ==，22GN DM ==，则()10,2,2C ，()2,6,0G -，()1,0,0M ，()10,0,2D ，29．（2023·湖北·校联考模拟预测）葫芦是一种爬藤植物，在我国传统文化中，其枝密集繁茂，象征着儿孙满堂、同气连枝；其音近于“福禄”，寓意着长寿多福、事业发达；其果口小肚大，代表着心胸开阔、和谐美满．如图，一个葫芦的果实可以近似看做两球相交所得的几何体Ω，其中Ω的下半部分是半径为1O 的一部分，Ω的上半部分是半径为3的球2O 的一部分，且126O O =，则过直线12O O 的平面截Ω所得截面的面积为__________．30．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知圆台的侧面积与轴截面的，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为__________．。

高中数学立体几何小题练习与答案

一、单选题1．（2023高一下·湖南长沙·百强名校期末）在空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC 高中数学立体几何小题练习与答案⊥AD ，则对角线AC 与BD 的位置关系为（） A ．相交但不垂直 B ．垂直但不相交C ．不相交也不垂直D ．无法判断【答案】B【分析】由题意可得A 在平面BCD 的射影O 是△BCD 的垂心，借助线面垂直可得线线垂直.【详解】如图，作⊥AO 平面BCD ，由⊥AB CD ，知⊥CD 平面ABO ，∴⊥BO CD .同理可证⊥DO BC ，∴O 为△BCD 的垂心，∴⊥OC BD ,又⊥⋂=OA BD OA OC O ,，∴⊥BD 平面ACO ，故⊥BD AC . 故选：B.2．（2023·全国·百强名校期末）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，⊄αl ,⊄βl ,则（）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D【详解】试题分析：由⊥m 平面α，直线l 满足⊥l m ，且⊄αl ，所以αl //，又⊥n平面β，⊥⊄βl n l ,，所以βl //，由直线m n ,为异面直线，且⊥m 平面⊥αn ,平面β，则α与β相交，否则，若αβ//则推出m n //，与m n ,异面矛盾，所以αβ,相交，且交线平行于l ，故选D ．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．3．（2023高一下·湖南·百强名校期末）已知两条直线l ，m 与两个平面α，β，下列命题正确的是（）A ．若αl //，⊥l m ，则⊥αmB ．若αβ//，αm //，则βm //C ．若αl //，αm //，则l m //D ．若⊥αl ，βl //，则⊥αβ 【答案】D【分析】A.利用线面的位置关系判断；B.利用线面的位置关系判断； C.利用直线与直线的位置关系判断； D.由βl //，过l 作平面γ，有m γβ=，利用线面平行的性质定理得到得到l m //，再利用面面垂直的判定定理判断.【详解】A.若αl //，⊥l m ，则⊂ααm m //,或αm ,相交，故错误； B.若αβ//，αm //，则βm //或⊂βm ，故错误； C.若αl //，αm //，则l m //，l ，m 相交或异面，故错误； D.若βl //，过l 作平面γ，有m γβ=，则l m //，因为⊥αl ，所以⊥αm ，又⊂βm ，则⊥αβ，故正确. 故选：D4．（2023高一下·重庆沙坪坝·百强名校期末）将ABC 按斜二测画法得到A B C '''，如图所示，=''B C 2，=''A B 2，︒∠='''A B C 30，则ABC 的面积（）A ．2B ．C ．4D ．【答案】D【分析】利用正弦定理求出''A O ，即可得到平面图形中AO 的长度，即可求出面积.【详解】因为=''B C 2，=''A B 2，︒∠='''A B C 30，则∠='︒''A O B 135，由正弦定理'''∠''∠'=''''C A B O A B O A B A sin sin ，即=''A O 212，解得''A O则在平面图形ABC 中=BC 2，=AO所以2212ABCB SC AO .故选：D5．（2023高一下·湖北武汉·百强名校期末）如图，A O B '''是水平放置的AOB 的直观图，但部分图像被墨汁覆盖，已知'O 为坐标原点，顶点'A 、'B 均在坐标轴上，且AOB 的面积为9，则''O B 的长度为（）A ．43B ．2C ．23D 【答案】C【分析】先求得原图形三角形OB 的值，根据斜二测画法的规则进而求得''O B . 【详解】因为在直观图中，=''O A 6，所以原图形是一个底边长为=OA 6，高为OB 的直角三角形，故原图形的面积为⨯⨯=∴=OB OB 269,31．根据斜二测画法的规则,所以==''O B OB 2213.故选：C.6．（2023高一下·湖南长沙·百强名校期末）设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线.下列说法正确的是（） ①若∥αβ ，∥αa ，则aβ或⊂βa ；②若⊥αa ，⊥αb ，则a b ；③若⊥αa ，⊥βa ，则αβ；④若⊥αβ，b αβ=，a b ⊥，则⊥βa .A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④【答案】A【分析】根据直线和平面的位置关系可判断A;由线面垂直的性质可判断B,C;根据面面垂直的性质可判断D.【详解】①若∥∥αβαa ,，可得∥βa 或⊂βa ，故①正确； ②若⊥⊥ααa b ,，由直线与平面垂直的性质可得ab ，故②正确；③若⊥⊥αβa a ,，由直线与平面垂直的性质可得∥αβ，故③正确；④若⊥⋂=⊥αβαβb a b ,,，当⊂αa 时，一定有⊥βa 成立，当⊄αa 时，⊥βa 不一定成立，故④不正确.∴说法正确的是①②③.，故选：A .7．（2023高一下·四川成都·百强名校期末）如图，已知长方体''''−ABCD A B C D ，==AB AD 2，='AA 1，则直线'BD 与DC 所成角的余弦值为（）A BC ．43D ．32【答案】D【分析】数形结合，找到直线'BD 与DC 所成角∠ABD '，然后简单计算即可. 【详解】连接AD '，如图直线'BD 与DC 所成角为∠ABD '由题可知：⊥AB AD '，由==AB AD 2，='AA 1所以==BD '3，所以∠==BD ABD AB 3cos '2' 故选：D8．（2023高一下·吉林长春·百强名校期末）如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的表面积为π54，则球的体积为（）A ．π27B ．π36C ．π54D ．π108【答案】B【分析】利用圆柱的表面积求出球的半径R ，再根据球的体积公式可求出结果. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的表面积为+⋅=πππR R R R 222622，所以=ππR 6542，得=R 3，所以球的体积为==⨯=πππV R 332736443.故选：B9．（2023高一下·重庆沙坪坝·百强名校期末）在棱长为2的正方体−ABCD A B C D 1111中，M 为AB 的中点，过点M 的平面α截正方体−ABCD A B C D 1111的外接球的截面面积的最小值为（）A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π【答案】C【分析】根据题意分析可知：当OM 与截面垂直时，截面半径r 最小，结合正方体与球的性质运算求解.【详解】正方体−ABCD A B C D 1111的外接球的球心O 为正方体的中心（对角线BD 1的中点），设球O 的半径为R ，可得==R BD 211连接OM AD ,1，则O M ,分别为AB BD ,1的中点，可得==OM AD 211，根据球的对称性可知：当OM 与截面垂直时，截面半径r 最小，此时==r 1，截面面积的最小值为=r ππ2. 故选：C.10．（2023·全国·百强名校期末）某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为6cm ，上､下底面圆的半径分别为4cm 和2cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯32高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（）A ．3cm π682 B ．cm π242 C ．3cm π762 D ．π25cm 2【答案】C【分析】先根据题意得到杯套的形状可看作一个圆台，求出该圆台的母线长及上、下底面圆的半径，然后结合圆台的侧面积公式、圆的面积公式求解即可.【详解】根据题意，杯套的形状可看作一个圆台，且该圆台的母线长是圆台形水杯的母线长的32，即4cm ，下底面圆的半径为圆台形水杯的下底面圆的半径，即2cm ，上底面圆的半径是3cm 10，所以杯套的表面积⎝⎭ ⎪=⨯+⨯+⨯=⎛⎫S 33cm π24π2π107622)(. 故选：C.11．（2023高一·贵州贵阳·开学考试）如图甲，在梯形ABCD 中，AB CD //，CD ＝2AB ，E 、F 分别为AD 、CD 的中点，以AF 为折痕把△ADF 折起，使点D 不落在平面ABCF 内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（） ①AF //平面BCD ；②BE //平面CDF ；③CD //平面BEF ．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】利用线面平行判定定理即可证明AF //平面BCD ，进而得到①正确；求得BE 与平面CDF 相交，进而得到②错误；利用线面平行判定定理即可证明CD //平面BEF ，故③正确．【详解】对于①，由题意得AB CF AB CF //,=，∴四边形ABCF 是平行四边形， ∴AF //BC ，∵⊄AF 平面BCD ，BC ⊂平面BCD ， ∴AF //平面BCD ，故①正确；对于②，取DF 中点G ，连接EG ，CG ， ∵E 是AD 中点，AF //BC ，AF =BC ， ∴EG =21BC ，EG //BC∴四边形BCGE 为梯形， ∴直线BE 与直线CG 相交， ∴BE 与平面CDF 相交，故②错误；对于③，连接AC ，交BF 于点O ，连接OE ， ∵四边形ABCF 是平行四边形， ∴O 是AC 中点， ∴OE //CD ，∵OE ⊂平面BEF ，⊄CD 平面BEF ， ∴CD //平面BEF ，故③正确．故选：C ．12．（2023高一下·四川成都·百强名校期末）如图，三棱锥P ABC −中，⊥PC 平面ABC ，⊥CH PB ，⊥AB BC ，=PA 4，点C 到P A 的距离=CD 2，若BH 和平面CDH 所成角的正弦值为43，则BC 长度为（）A．1 BC D ．2【答案】A【分析】利用线面垂直的判定定理证明⊥CH 平面PAB ，再由⊥CD PA ，进而证明⊥PD 平面CDH ，进而可证明∠PHD 为BH 和平面CDH 所成的角，则∠==PH PHD PD 4sin 3，求出PH ，设=BC a ，由⋅=⋅PB CH PC CB ，解方程即可得出答案.【详解】因为⊥PC 平面ABC ，则⊂AB AC ,平面ABC ，所以⊥⊥PC AB PC AC ,，又因为⊥AB BC ，且⋂=PC BC C ，⊂PC BC ,平面PBC ，所以⊥AB 平面PBC ，因为⊂CH 平面PBC ，所以⊥AB CH ，因为⊥CH PB ，且⋂=AB PB B ,⊂AB PB ,平面PAB ，所以⊥CH 平面PAB ，⊂PA 平面PAB ，所以⊥CH PA ，因为=PA 4，=CD 2，⊥PC AC ，所以点D 是PA 的中点，又因为⊥CD PA ，所以△PAC 是等腰直角三角形，由⋂=⊂CH CD C CH CD ,,平面CDH ，所以⊥PA 平面CDH ，所以∠PHD 为BH 和平面CDH 所成的角，因为=PA 4, 则=PD 2，所以∠===PH PH PHD PD 4sin 23，则=PH 38，因为△PAC 是等腰直角三角形，所以==PC AC ，设=BC a ，所以==PB ，又=CH又因为⋅=⋅PB CH PC CB =，解得：=a 1. 故选：A.13．（2023高一下·吉林长春·百强名校期末）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵、在堑堵111ABC A B C 中，若===AB BC AA 41，若P 为线段BA 1中点，则点P 到平面A B C 11的距离为（）A ．1B ．CD ．4【答案】C【分析】利用等积法可求B 到平面A B C 11的距离，进而可求点P 到平面A B C 11的距离. 【详解】因为ABC 为直角三角形，且=AB BC ，易知⊥AB BC ，而⊥AA 1平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，故⊥AA BC 1，同理⊥AA AC 1，⊥BB BC 1，而⋂=⊂AA AB A AA AB ,,11平面ABB 1，故⊥BC 平面ABB 1，故1113323C AB B A B BV BC S=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=−44411132，又==AC ==A C 1，而==B C 1+=B C B A AC 1111222，所以⊥A B B C 111，故11113323B A BC A B CV d Sd d =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=−411132，其中d 为B 到平面A B C 11的距离，故=d而P 为线段BA 1中点，故P 到平面A B C 11.故选：C.14．（2023高一下·重庆沙坪坝·百强名校期末）我国南北朝时的数学家祖暅提出了计算体积的原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个等高几何体，如果作任意高度为h 的水平截面截两个几何体所得截面面积相同，则两个几何体体积相同．如图是个红酒杯的杯体部分，它是由抛物线2yx 在∈−x 2,2][的部分曲线以y 轴为轴旋转而成的旋转体，其上口半径为2，高度为4，那么以下几个几何体做成的容器与该红酒杯的容积相同的是（）．A ．如图一是一个底面半径为2，高为4的圆锥B ．如图二是一个横向放置的直三棱柱，高为π，底面是一个两直角边均为4的直角三角形C ．如图三是一个底面半径为2，高为4的圆柱挖去了同底等高的圆锥D ．如图四是一个高为4的四棱锥，底面是长宽分别为π和4的矩形【答案】B【分析】先求得红酒杯在高度为h 处的截面面积，再分别求得选项A 、B 、C 、D 中几何体在高度为h 处截面的面积，结合祖暅原理，即可得答案.【详解】由题意得，该红酒杯上口径为2，则上面圆的面积为⋅=ππ242，设A 点的纵坐标=y h A ，如图所示：因为A 点在抛物线2yx 上，所以=x A h 处，红酒杯水平截面圆半径为所以截面圆的面积为：⋅=ππh 2.对于A ：底面圆的半径为2，面积为⋅=ππ242，在高度为<<h h (04)处作圆锥的水平截面圆，半径为CD ，再作出圆锥的轴截面，如图所示：所以=CO h ，AB 为圆锥底面直径，所以=BE 2，=EO 4，根据OCD OEB ∽可得：=EB EO CD CO ，解得=CD h2，所以高度为h 处，圆锥的截面圆半径为h2，所以截面圆的面积为≠ππh h 42，故A 不符合题意.对于B ：直三棱柱上面''BCC B 面积为π4，在高度为<<h h (04)处作棱柱的水平截面DEFG ，如图所示：所以=AD h ，因为==AB BC 4，根据ADG ABC △∽△，可得==DG AD h ，所以高度为h 处的截面DEFG 的面积为πh ，符合题意；对于C ：圆柱上底面圆的面积为⋅=ππ242，在高度为<<h h (04)处作该几何体的水平截面圆，作出该几何体的轴截面，如图所示，所以=GF h ，GH 为圆锥截面圆的半径，==FB EF 2,4，根据EGH EFB ∽可得：=EF FBEG GH，所以=−GH h24，所以截去圆锥的截面面积为⎝⎭⎪⨯⎛⎫−πh 242，则所剩几何体的截面面积为⎝⎭⎪⨯−⨯=≠⎛⎫−−ππππh h h h 2424(8)222，故C 不符合题意；对于D ：底面的面积为π4，在高度为<<h h (04)处作棱锥的水平截面EFGH ，如图所示：所以三棱锥−P EFGH 的高为h ，−P ABCD 的高为4，==πAB AD ,4，根据△∽△PEF PAB 可得：==AB BC EF FG h4，所以==πEF FG h h 4,，所以截面EFGH 的面积为⨯=≠πππh h h h 442.故D 不符合题意.故选：B【点睛】解得的关键是理解祖暅原理，即作任意高度为h 的水平截面截两个几何体所得截面面积相同，根据圆锥、圆柱、棱柱、棱锥的性质，逐一求得截面面积，即可得答案，考查分析理解，空间想象，计算求值的能力，属中档题.15．（2023高一下·重庆沙坪坝·百强名校期末）如图，在长方体−ABCD A B C D 1111中，1AM AB =3，1D N D C =3111，=AB 3，=AD 1，=AA 21，则直线DM 与BN 所成角的余弦值为（）A B C ．31D【答案】B【分析】取D C 11上靠近C 1的三等分点F ，取DC 上三等分点H E ,，可知直线DM 与BN 所成角即为直线BE 与BN 所成角，求出NE EB NB ,,，在NEB 中，由余弦定理求解即可. 【详解】取D C 11上靠近C 1的三等分点F ，取DC 上三等分点H E ,，连接NH EF NB BH EN BE ,,,,,，因为==DE BM DE BM //,2，所以四边形DMBE 是平行四边形，所以DM BE //，所以直线DM 与BN 所成角即为直线BE 与BN 所成角，=DM BE ，由正方体的性质可得：⊥NH 平面ABCD ，⊥EF 平面ABCD ，所以⊂HB BE ,平面ABCD ，所以⊥NH BH ，⊥EF BE ，===HB ==NB 3，===NE在NEB 中，⋅∠===+−NB BE NBE NB BE NE 22cos 222，所以直线DM 与BN . 故选：B.16．（2023高一下·辽宁·百强名校期末）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C 中，棱柱的侧面均为矩形，=AA 11，==AB BC ∠=ABC 3cos 1，P 是线段A B 1上的一动点，则+AP PC 1最小值为（）A B C ．1D ．2【答案】B【分析】连接BC 1，得11A BC ，以A B 1所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面ABB A 11，设点C 1的新位置为'C ，连接'AC ，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理，余弦定理等求解'AC 即可.【详解】连接BC 1，得11A BC ，以A B 1所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面ABB A 11，设点C 1的新位置为'C ，连接'AC ，则有=≥'++'A AP PC AP PC C 1，如图，当'A P C ,,三点共线时，则'AC 即为+AP PC 1的最小值.在三角形ABC 中，==AB BC ∠=ABC 3cos 1，由余弦定理得：==AC 2,所以=AC 211，即='AC 21,在△A AB 1中，=AA 11，=AB由勾股定理可得：===A B 21,且∠=︒AA B 601. 同理可求：=C B 21，因为===A B BC AC 21111，所以11A BC 为等边三角形，所以∠=︒BAC 6011，所以在1AAC '中，∠=∠+∠=︒''AAC AA B BAC 120111,=='AA AC 1,211,由余弦定理得：='AC故选：B.17．（2023高一·全国·对口高考）正四棱锥−S ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持⊥PE AC ，则动点P 的轨迹的周长为（）A B C ．4D 1【答案】A 【分析】由题意，动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥−S ABCD 的交线，再根据线面垂直的性质求解即可.【详解】如图，设AC BD ,交于O ，连接SO ，由正四棱锥的性质可得，⊥SO 平面ABCD ，因为⊂AC 平面ABCD ，故⊥SO AC .又⊥BD AC ，⋂=SO BD O ，，⊂SO BD 平面SBD ，故⊥AC 平面SBD .由题意，⊥PE AC 则动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥−S ABCD 的交线，即如图EFG ，则⊥AC 平面EFG .由线面垂直的性质可得平面SBD //平面EFG ，又由面面平行的性质可得EG SB //，GF SD //，EF BD //，又E 是边BC 的中点，故EG GF EF ,,分别为,,SBC SDC BCD 的中位线.由题意====BD SB SD ++==EG EF GF 21即动点P故选：A18．（2023高一下·安徽合肥·百强名校期末）木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形，且ADE ，△BCF 均为正三角形，EF CD //，=EF 2，则该木楔子的体积为（）A．3B C ．3D ．3【答案】D【分析】如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG CH ,，取AD 的中点O ，连接GO ，求出4ADGBCHSS==2，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可. 【详解】如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG CH ,，则由题意等腰梯形ABEF 全等于等腰梯形CDEF ，则=======−EG HF AG GD BH HC 22,211 取AD 的中点O ，连接GO ，因为=AG GD ，所以⊥GO AD ，则GO∴12ADGBCHSS==⨯=1 因为AB EF //，⊥AG EF ，所以⊥AB AG ，因为四边形ABCD 为正方形，所以⊥AB AD ，又因为ADAG A =，⊂AD AG ,平面ADG ，所以⊥AB 平面ADG ，所以⊥EF 平面AGD ，同理可证⊥EF 平面BCH ，∴多面体的体积柱棱三锥棱三柱棱三锥棱三锥棱三=++=+−−−−−V V V V V V E ADG F BCH AGD BHC E ADG AGD BHC 2=⨯=322111，故选：D.19．（2023·山东济南·百强名校期末）已知正四面体ABCD 的表面积为E 为棱AB 的中点，球O 为该正四面体的外接球，则过点E 的平面被球O 所截得的截面面积的最小值为 A ．π49B ．π3C ．π4D ．π29【答案】B【分析】本题首先可以将正四面体放入正方体中，然后借助正方体的性质得出外接球的球心，通过正四面体ABCD 的表面积为AB 长，从而求得外接球的半径=R 【详解】如图所示，将正四面体放入正方体中，则正方体的中心即为其外接球的球心O ，因为正四面体ABCD 的表面积为所以1123334ABDS，因为∆ABD 是正三角形，所以21sin 60332ABDSAB ，=AB设正方体的边长为a ==a所以正四面体ABCD 的外接球直径为==R ，设过点E 的截面圆半径为r ，球心O 到截面圆的距离为d ，正四面体ABCD 的外接球半径为R ，由截面圆的性质可得：=+=R r d 29222当d 最大时，r 最小，此时对应截面圆的面积最小.又≤d OE ，所以d 的最大值为=a 2r 2最小为3 所以过点E 的最小截面圆的面积为22ππ33πS r ，故选B ．【点睛】本题考查截面圆的相关性质，主要考查几何体与球的外接问题，可将几何体放入正方体中并借助正方体的相关性质得出球心，考查推理能力，是难题．20．（2023高一下·河南·百强名校期末）如图，在三棱锥P ABC −中，⊥PA 平面ABC ，==PA AB 3，=BC 4，︒∠=ABC 90，则点A 到平面PBC 的距离为（）．A B ．23C ．3D 【答案】A【分析】根据线面垂直的性质可得⊥PA BC ，再根据线面垂直的判定定理可得⊥BC 平面P AB ，则有⊥BC PB ，再利用等体积法即可得出答案.【详解】解：因为⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以⊥PA BC ，又因为︒∠=ABC 90，即⊥AB BC ，因为PAAB A =，所以⊥BC 平面P AB ，又⊂PB 平面P AB ，所以⊥BC PB ，因为==PA AB 3，=BC 4，所以==PBPBC 的面积△=⋅=S PB BC PBC 21设点A 到平面PBC 的距离为h ，则三棱锥P ABC −的体积△△=⋅=⋅V S h S PA PBC ABC 3311，即⨯=⨯⨯⨯⨯332343111，解得=h即点A 到平面PBC . 故选：A.21．（2023高一下·湖北武汉·百强名校期末）已知一个长方体的封闭盒子，从同一顶点出发的三条棱长分别为3，4，5，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子随意翻动，则小球达不到的空间的体积是（） A ．−3π3620 B ．−3π3222 C ．−π6012 D ．−3π6040 【答案】B【分析】分别计算小球在8个顶点和12条棱不能到达的空间体积，然后进行相加即可. 【详解】小球在8个顶点不能到达的空间相当于棱长为2的正方体挖去一个半径为1的球，其体积为−3π84，小球在AB ，CD ，A B 11，C D 11这4条棱不能到达的空间相当于一个长为3，宽为2，高为2的长方体挖去一个底面半径为1，高为3的圆柱，其体积为⨯⨯−=−π123π3223，小球在BC ，AD ，B C 11，A D 11这4条棱不能到达的空间相当于一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆柱，其体积为⨯⨯−=−π82π2222，小球在AA 1，BB 1，CC 1，DD 1这4条棱不能到达的空间相当于一个长为2，宽为2，高为1的长方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆柱，其体积为⨯⨯−=−π4π221，所以小球不能到达的空间的体积为−+−+−+−=−33π32π4π82π123π8422，故选：B.22．（2023高一下·安徽合肥·百强名校期末）如图，在棱长为2的正方体−ABCD A B C D 1111中，Q 为AD 的中点，P 为正方体内部及其表面上的一动点，且⊥PQ BD 1，则满足条件的所有点P 构成的平面图形的周长是（）AB ．C ．D ．+4【答案】C【分析】证明出⊥BD 1平面AB C 1，⊥BD 1平面AC D 11，确定过点Q 的截面与正方体各棱的交.【详解】连接A D 1、C D 1、A C 11、AC 、AB 1、B C 1、BD ，如下图所示：因为四边形ABCD 为正方形，则⊥AC BD ，1DD ⊥平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴⊥AC DD 1， 1D DD BD =，∴⊥AC 平面BDD 1，1BD ⊂平面BDD 1，∴⊥BD AC 1，同理可得⊥BD AB 11， 1ACAB A =，∴⊥BD 1平面AB C 1，同理可证⊥BD 1平面AC D 11，设过点Q 且垂直于BD 1的平面为平面α，则α与平面AB C 1、平面AC D 11都平行，//α平面ACB 1，平面⋂ABCD 平面=αQN ，平面⋂ABCD 平面=ACB AC 1，∴QN AC //，Q 为AD 的中点，则N 为CD 的中点，同理可知，平面α分别与棱CC 1、B C 11、A B 11、AA 1交于中点，易知六边形EFGHNQ 为正六边形，且其边长为=AC 21因此，满足条件的所有点P 构成的平面图形的周长是故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查正方体截面周长的计算，解题的关键在于利用正方体的几何性质，找出体对角线的垂面，进而确定截面与垂面平行，并以此作出截面.23．（2023高一下·河南安阳·百强名校期末）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD 为正方形，EF //底面ABCD ，四边形ABFE ，CDEF 为两个全等的等腰梯形，===EF AB AE 22,1甍的外接球的体积为（）A．3B ．π32C ．3D ．【答案】A【分析】根据给定条件，求出点E 到平面ABCD 的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答.【详解】取AD ，BC 中点N ，M ，正方形ABCD 中心O ，EF 中点O 2，连接EN MN FM OO ,,,2，如图，依题意，⊥OO 2平面ABCD ，EF AB MN ////，点O 是MN 的中点，==MN AB 4，等腰△AED 中，⊥AD EN ，==EN =FM ，因此，等腰梯形EFMN 的高=OO 2 刍甍的外接球球心O 1在直线OO 2上，连O E O A OA ,,11，正方形ABCD 外接圆半径=OA则有⎩=+⎨=+⎧O E O E O O O A OA OO 122122211222，而===O A O E O E EF 2,11112，当点O 1在线段O O 2的延长线（含点O ）时，视OO 1为非负数，若点O 1在线段O O 2（不含点O ）上，视OO 1为负数，即有=+=O O O O OO OO 21211，即+=+OO OO 1)11222，解得=OO 01，因此刍甍的外接球球心为O ，半径为=OA所以刍甍的外接球的体积为⨯=33π43. 故选：A【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.二、多选题24．（2023高一下·四川成都·百强名校期末）对于两个平面α，β和两条直线m ，n ，下列命题中假命题是（） A ．若⊥αm ，⊥m n ，则αn // B ．若αm //，⊥αβ，则βm // C ．若αm //，βn //，⊥αβ，则⊥m n D ．若⊥αm ，⊥βn ，⊥αβ，则⊥m n【答案】ABC【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，结合判定定理和性质定理对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，若⊥αm ，⊥m n ，则αn //或⊂αn ，故A 是假命题；对于B ，若αm //，⊥αβ，有可能出现⊂βm ，故B 是假命题；对于C ，若αm //，βn //，⊥αβ，有可能出现m n //，故C 是假命题；对于D ，⊥αm ，⊥αβ，则⊂βm 或βm //，若⊂βm ，则由⊥βn 得⊥n m ，若βm //，则β内有直线c m //，而易知⊥c n ，从而⊥m n ，D 是真命题. 故选：ABC.25．（2023高一下·重庆沙坪坝·百强名校期末）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角ABC 沿BC 向上翻折，得三棱锥，−A BCD 设=CD 2，点E ，F 分别为棱BC ，BD 的中点，M 为线段AE 上的动点.下列说法正确的是（）A ．存在某个位置，使⊥AB CD B ．存在某个位置，使⊥AC CDC ．当三棱锥−A BCD 体积取得最大值时，AD 与平面ABCD ．当=AB AD 时，+CM FM 【答案】ABCD【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可判断AB ，由三棱锥−A BCD 体积取得最大值时知面面垂直，得出线面垂直，即可求出线面角判断C ，再由侧面展开图及余弦定理可判断D.【详解】解：当平面ABC 与平面BCD 垂直时，CD BC ⊥，平面ABC 与平面BCD 的交线为BC ，CD 平面ABC ，⊂AB AC ,平面ABC ，∴⊥CD AB ，⊥CD AC ，故AB 正确；当三棱锥−A BCD 体积取得最大值时，顶点A 到底面距离最大，即平面ABC 与平面BCD 垂直时，由上面可知，⊥CD 平面ABC ，故AD 与平面ABC 成角为∠CAD ，因为=CD 2，所以=BC =BD 4，==AB AC∴∠==AC CAD DC tan ，故C 正确；当=AB AD 时,因为F 为BD 的中点，所以⊥AF BD ，则==AF又因E 为BC 的中点，所以==EF CD 211，又=AE +=EF AF AE 222，所以⊥AF EF ，如图将△AEF 沿AE 旋转，使其与△ACF 在同一平面内，则当C M F ,,三点共线时，+CM FM 最小，即+CM FM 的最小值为CF ，在△Rt AEF 中，∠==AE AEF AF sin ，则∠=∠+∠=−∠=−CEF AEF AEC AEF 3cos cos sin )(所以==CF所以+CM FM D 正确. 故选：ABCD.26．（2023高一下·重庆沙坪坝·百强名校期末）如图，正方体−ABCD A B C D 1111的棱长为4，F 是侧面ADD A 11上的一个动点（含边界），点E 在棱CC 1上，且=C E 11，则下列结论正确的有（）A ．平面AD E 1被正方体−ABCD ABCD 1111截得截面为等腰梯形 B ．若DF FD =1，直线⊥AF DE 1C ．若F 在DD 1上，+BF FED ．若⊥DF BD 1，点F 的轨迹长度为【答案】ACD【分析】在BC 上取点G ，使得=BG 1，则AD EG 1即为截面，从而判断A ，F 为DD 1的中点，在棱CC 1上取点M ，使得=CM 1，得到AF 与FM 不垂直，即可判断B ，将平面翻折，化折线为直线，结合两点之间线段最短判断C ，根据线面垂直得到线线垂直，即可判断D.【详解】对于A ：在BC 上取点G ，使得==C E BG 11，连接EG 、BC 1、AD 1、D E 1、AG ，则BC EG //1，又=AB D C 11且AB D C //11，所以ABC D 11为平行四边形，则AD BC //11，所以AD EG //1，所以A 、D 1、E 、G 四点共面，即平面AD E 1被正方体−ABCD A B C D 1111截得截面即为梯形AD EG 1，又==D E AG 1AD EG 1为等腰梯形，故A 正确；对于B ：因为DF FD =1，所以F 为DD 1的中点，在棱CC 1上取点M ，使得=CM 1，则EM //D F 1且=EM D F 1，所以D FME 1为平行四边形，所以FM D E //1，又=AF ==FM ==AM ，显然+≠AF FM AM 222，即AF 与FM 不垂直，则AF 与D E 1不垂直，故B 错误；对于C ：如图将平面CC D D 11展开到与平面BB D D 11共面，连接BE 交DD 1于点F ，则BE 即为+BF FE 的最小值，又=BE +BF FE C 正确；对于D ：连接B C 1、BC 1、AD 1、DA 1，则⊥B C BC 11，又⊥AB 平面C B BC 11，⊂B C 1平面C B BC 11，所以⊥AB B C 1，又1ABBC B =，⊂AB BC ,1平面ABC D 11，所以⊥B C 1平面ABC D 11，⊂BD 1平面ABC D 11，所以⊥B C BD 11，又DA B C //11，所以⊥DA BD 11，因为⊥DF BD 1，所以线段DA 1（不含点D ）即为点F 的轨迹，又==DA 1F 的轨迹长度为，故D 正确. 故选：ACD27．（2023高一下·四川成都·百强名校期末）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知等腰四面体ABCD中，三组对棱长分别是==AD BC 4，==AB CD ==AC BD 体的叙述正确的是（）A ．该四面体ABCDB ．该四面体ABCD 的外接球表面积是32πC ．∠+∠+∠<BAC DAC DAB πD ．一动点P 从点B 出发沿四面体ABCD 的表面经过棱AD 到点C 的最短距离是【答案】ABD【分析】将等腰四面体放入长方体中，即可由长方体的性质求解AB,利用三角形全等即可判断C ，由展开图，利用两点距离最小即可判断D. 【详解】如图，将等腰四面体ABCD 补成长方体，设该长方体的长、宽、高分别是a ，b ，c ，则===4,解得=a ，=b 2，=c 4，则该等腰四面体的体积为：=⨯−⨯⨯⨯⨯=V 322424411．故A 正确，由于==AD BC 4，==AB CD ==AC BD ，所以△△≅ABD BAC ,ABC CDA ≅,故∠=∠∠=∠DAC BCA DAB CBA ,所以∠+∠+∠=∠+∠+∠=BAC DAC DAB BAC BCA CBA π,故C 错误，由于等腰四面体的三条棱分别是长方体的三条面对角线，所以长方体的外接球即为等腰四球的半径为=2⨯=π32π42(，故B 正确，将平面ABD 和平面ACD 沿着AD 翻折到一个平面'ABDC 内，连接'BC ,则'BC 即为最短距离，由于AD =4，=='AB C D =='AC BD 'ABDC 为平行四边形，设'BC 与DA 交于点O ,则O 为'BC 与DA 的中点，在△ABD 中，=⋅∠=+−AD AB BAD AD AB BD 2cos 222 故在△'ABC 中，==='BC BO 2故D 正确，故选：ABD ．28．（2023高一下·河南商丘·百强名校期末）如图，四棱锥−P ABCD 的底面为正方形，⊥PD 底面ABCD ，==PD AD 1，点E 是棱PB 的中点，过A ，D ，E 三点的平面α与平面PBC 的交线为l ，则（）A ．直线l 与平面P AD 有一个交点B ．⊥PC DEC ．直线P A 与l 所成角的余弦值为2D ．平面α截四棱锥−P ABCD 所得的上下两个几何体的体积之比为53【答案】BD【分析】根据所给图像，作PC 中点F ，连接EF ，则EF 为交线l ，然后根据线面平行的基本定理可判断A ；结和线面垂直的判定及性质可判断B ；结合异面直线所成角的定义可判断C ；结和棱锥的体积公式可判断D.【详解】如图，取棱PC 的中点F ，连接EF ，DF ，因为E 是棱PB 的中点，则AD EF //，即A ，D ，E ，F 四点共面，则l 为直线EF ，又⊂AD 平面P AD ，/⊂EF 平面P AD ，所以EF //平面P AD ，即l //平面P AD ，故A 错误；由⊥PD 底面ABCD ，⊂AD 平面ABCD ，所以⊥PD AD ，由=PD AD ，可得△PDC 为等腰直角三角形，而斜边PC 的中点为F ，所以⊥PC DF ，再由底面ABCD 是正方形，易得⊥AD CD ，又⋂=PD CD D ，且⊂PD CD ,平面PDC ，所以⊥AD 平面PDC ，又⊂PC 平面PDC ，所以⊥AD PC ，又⋂=AD DF D ，且⊂AD DF ,平面ADFE ，所以⊥PC 平面ADFE ，又⊂DE 平面ADFE ，所以⊥PC DE ，故B 正确；由AD EF //，则直线P A 与l 所成的角，即P A 与AD 所成的角，由⊥PD AD ，则∠==AP PAD AD 2cos ，即P A 与AD 所成的角的余弦值为2，故C 错误；=⋅=⨯⨯=−V PD S P ABCD ABCD 33311111，⎝⎭ ⎪=⋅=⨯⨯+⨯=⎛⎫−V PF S P AEFD AEFD 3322228111111，所以=−=−=−−V V V ABCDFE P ABCD P AEFD 3824115，所以==−V V ABCDFEP AEFD 2455831，故D 正确. 故选：BD.。

立体几何测试题(8套)

(A)若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
(B)若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交
(C)若a//b，b//c，则a//c
(D)若a与b异面，b与c异面，则a与c也是异面直线
4．已知异面直线a、b分别在平面α、β内，且α∩β=c，那么直线c( )
(A)一定与a、b交于同一点
(B)至少与a、b中的一条相交
(C)至多与a、b中的一条相交
4．若a,b是两条平行直线，且都不垂直与平面，那么a,b在平面内的射影为（）。
（A）两条平行线（B）相交的两直线
（C）两条平行线或同一直线（D）相交的两直线或同一直线
5．相交的两直线都是平面的斜线，那么这两斜线在平面的设影是（）。
（A）同一直线（B）相交的两直线
（C）两条平行直线（D）一直线或两相交直线
三、解答题
12、已知正方体ABCD-A`B`C`D`中，E，F分别是A`B`，B`C`的中点。
求证：EF∥面AD`C。
13、已知PA⊥正方形ABCD，PA=AB=2，M，N为BC，CD中点，
⑴求C到面PAM的距离，⑵求BD到面PMN的距离。
立体几何测试1
参考答案
一、选择题ADBCDCDC
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．和两条异面直线都相交的两条直线是( )
(A)平行直线(B)异面直线(C)相交直线(D)异面直线或相交直线
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，12条棱互成异面直线的对数有( )
(A) 48对(B) 36对(C) 24对(D) 12对
8．分别平行于两条异面直线的两条直线的位置关系是( )
(A)异面直线(B)平行直线
21．夹在直二面角－MN－内的线段PQ（P，Q MN）与，所成的角分别为 ,则应满足的条件是。

小学生数学习题练习立体几何练习篇

小学生数学习题练习立体几何练习篇小学生数学习题练习立体几何练习篇一、选择题1.下图是一个长方体，其中四周边长相等的是：A. AB, AD, EF, FGB. AB, AE, EH, OHC. AE, EF, FH, OHD. AD, DE, EH, FG2.一个长方体有多少个顶点？A. 6B. 8C. 10D. 123.下图是一个立方体，标号的边长分别是a和b，求a和b之间的关系。

A. a = bB. a > bC. a < bD. 无法确定二、填空题1.一个正方体共有 ______ 个面。

2.一个棱长为5cm的正方体的体积为 ______ cm³。

3.一个棱长为6cm的立方体表面积为 ______ cm²。

三、计算题1.一个长方体的长为4cm，宽为3cm，高为5cm，求其体积和表面积。

2.一个正方体的体积为125cm³，求其棱长。

3.一个长方体的表面积为54cm²，长为3cm，高为2cm，求其宽。

四、解答题1.下图是一个长方体，已知AB=3cm，BC=4cm，求立体的体积和表面积。

2.一个立方体的体积是343cm³，求其棱长和表面积。

答案：一、选择题1. A2. B3. D二、填空题1. 62. 1253. 216三、计算题1. 体积：4cm × 3cm × 5cm = 60cm³表面积：2 × (4cm × 3cm + 3cm × 5cm + 4cm × 5cm) = 94cm²2. 棱长：³√125cm³ = 5cm表面积：6 × (5cm × 5cm) = 150cm²四、解答题1. 体积：3cm × 4cm × 5cm = 60cm³表面积：2 × (3cm × 4cm + 4cm × 5cm + 3cm × 5cm) = 94cm²2. 棱长：³√343cm³ = 7cm表面积：6 × (7cm × 7cm) = 294cm²通过以上习题练习，相信小学生对立体几何的概念和计算能力有了更深入的理解和提升。

立体几何题库100题

立体几何题库100题1. 一个正方体的棱长扩大到原来的3 倍，它的体积扩大到原来的（）倍。

A. 3B. 9C. 27D. 812. 长方体的长、宽、高分别是6cm、4cm、5cm，它的棱长总和是（）cm。

A. 60B. 48C. 30D. 153. 一个圆柱的底面半径是2 厘米，高是5 厘米，它的侧面积是（）平方厘米。

A. 62.8B. 31.4C. 12.56D. 25.124. 一个圆锥的底面直径是6 分米，高是3 分米，它的体积是（）立方分米。

A. 28.26B. 84.78C. 169.56D. 56.525. 用同样大小的正方体摆成的物体，从正面和左面看到的图形都是，那么从上面看到的图形是（）。

A. B. C. D.6. 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是48 立方分米，圆锥的体积是（）立方分米。

A. 12B. 16C. 32D. 367. 把一个棱长为6 分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（）立方分米。

A. 169.56B. 113.04C. 216D. 56.528. 一个长方体的长、宽、高分别是a 米、b 米、h 米，如果高增加3 米，体积增加（）立方米。

A. 3abB. 3abhC. ab(h + 3)D. 3h9. 一个圆锥的底面半径扩大到原来的2 倍，高不变，它的体积扩大到原来的（）倍。

A. 2B. 4C. 8D. 1610. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（）。

A. 1 : πB. 1 : 2πC. π: 1D. 2π: 111. 有一个长方体容器，从里面量长5 分米，宽4 分米，高6 分米，里面注有水，水深3 分米。

如果把一块边长 2 分米的正方体铁块浸入水中，水面上升（）分米。

A. 0.4B. 0.8C. 1.6D. 3.212. 一个圆柱的底面周长是12.56 分米，高是5 分米，它的表面积是（）平方分米。

立体几何测试题(共10篇)

立体几何测试题(共10篇)立体几何测试题（一）: 立体几何问题立体几何试题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点,则P、Q、R三点共线.1.EF平行于B1D1,B1D1平行于BD,所以EF平行于BD,EFBD四点共面2.F,D,A,C1属于平面A1ACC1,且AC1与PQ不平行,所以AC1与PQ相交A1C交平面DBFE于R点,又因为PQ属于平面DBFE,所以AC1与PQ相交于R 所以R属于PQ,PQR共线立体几何测试题（二）: 几个书后练习题立体几何1.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.是否正确2.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.为什么不对谢不对,因为a有可能在经过b的面上,不是平行关系立体几何测试题（三）: 一道数学基本的立体几何的题目~在正方形ABCD-A"B"C"D"中,P、Q分别为A"B"、BB"的中点.（1）求直线AP与CQ所成的角的大小（2）求直线AP与BD所成的角的大小我还没学过空间向量,1.取DC中点E,连EC,证明EC平行AP,用余弦定理算2.取AB中点F,连接FB,用余弦定理算【立体几何测试题】立体几何测试题（四）: 求大量立体几何难题!立体几何综合试题（自己画图）1、已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都相等,D、E分别为AC1,BB1的中点.（1）求证：DE‖平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小.2、已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB＝AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1＝2∶1,BF ＝BC＝2a.（I）若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1；（II）试问：若AB＝2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么证明你的结论3、在底面是直角梯形的四棱锥中,AD‖BC,∠ABC＝90°,且 ,又PA⊥平面ABCD,AD＝3AB＝3PA＝3a.（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求点A到平面PBC的距离.4、在直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F分别是BA、BC的中点,G是AA1上一点,且AC1⊥EG.（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.5、已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是菱形,平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值6.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P 在棱CC1上,且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.7、在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.(I)证明平面；(II)证明平面EFD；(III)求二面角的大小.8、已知在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D 1E⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.9、直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB‖CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P、Q分别是CC1、C1D1的中点.点P到直线AD1的距离为⑴求证：AC‖平面BPQ⑵求二面角B-PQ-D的大小10、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心.（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；这些题应该还可以!你来试试吧!题不要求多就精就可以了!不懂的或不会做的,我来帮你解答!立体几何测试题（五）: 立体几何初步练习题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱B1C1,C1D1,A1B1,D1A1的中点,求证（1）MN平行于DEF,(2)平面AMN平行于平面CEF(1)连接B1D1因为MN、EF为三角形A1B1D1、B1C1D1的中位线,所以MN平行于EF因为MN不属于面DEF,EF属于面DEF所以MN平行于面DEF(2)这题题目错了吧,应该是DEF吧立体几何测试题（六）: 解析几何基础知识练习题靠!一楼的那么多废话那么多选择题：集合,函数（图像）,立体几何,圆锥一、数学命题原则 1．普通高等学校招生数学科的考试,按照“考查基础知识的【立体几何测试题】立体几何测试题（七）: 高一必修二立体几何习题1-7的题仓库的房顶呈正四棱锥形,量的地面的边长为2.6m,侧棱长2.1m,先要在房顶上铺一层油毡纸,问：需要油毡纸的面积多少运用海伦公式房顶为4个相同的三角形海伦公式a=2.6 b=2.1 c=2.1 p=a+b+c/2=3.4S=根号下p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=2.1444S=2.144*4=8.576平方米立体几何测试题（八）: 怎么根据题目画数学的立体几何图形搞懂了题目的要求,就照那意思去画,立体几何记住透视很重要.立体几何测试题（九）: 求立体几何判断题的解题方法.①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直⑤……等等,诸如此类.见到很多这样的题目,但是却总找不到解题的方法,概念定理也经常记混.本人感激不尽!记一些模型,例如墙角模型什么的这个很重要.遇见不熟悉的题,用书本和笔（手指也可以）比划一下.这种题目主要是找反例!想象力也很重要啦……立体几何测试题（十）: 一道高中立体几何的题目.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,O1是底面A1B1C1D1的中心.E 是CO1上的点,设CE等于X,四棱锥E-ABCD的体积为y,求y关于X的函数关系式..图只有自己画一下了,做EF垂直于平面ABCD 垂足为F易得出CEF相似于O1CC1因为C1O1=根号2 CC1=4 得CO1=3根号2CE/CO1=EF/CC1 得出EF=4X/3根号2Y=底面积*EF/3=4*4X/9根号2Y=8根号2*X/9职高立体几何测试题空间立体几何测试题。

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