无穷级数练习题

∞
nx n 7 求幂级数 ∑ 的和函数， 的和函数，并求 n =1 ( n − 1)!
( n + 1)( n − 1) 的和. ∑ n! n =1
∞
π−x 在( −π ,π )上展成以 2 π 为周期的傅立叶 8. 2 5π 级数， ). 级数，分别画出 f ( x )以及 级数的和函数 s( x ) 的图形 .并求 s( − 4 将函数 f ( x ) =
n =1
∞
6 若∑ un 发散, ∑ v n 发散, 则∑ ( un + v n )可以 收敛 .（
2 7 o 若∑ un收敛 , 则∑ un 收敛 . n =1 n =1 n =1 ∞ n =1 n =1 ∞
（
2 8 o 若∑ un 收敛 , 则∑ un收敛 .
∞
.
∞
（ （ （ （
.
） ） ） ） ） ） ）
三 计算题 ∞ 1 判断级数 ∑
∞
1 的敛散性 ( a > 0). n n =1 a + 1
2
sin( nα ) 1 − 判断级数 ∑ 的敛散性 . 2 n n n =1
3 4.
1 1 用级数理论证明： 用级数理论证明：当n → ∞时， n = o ( ) . n! n
π 设a n > 0 ( n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅ ) ，且 ∑ a n收敛 . 常数 λ ∈ (0, ), 判断 2 n =1 级数 ∑ ( −1) n un = ∑ ( −1) n ntan
第十一部分：无穷级数 练习题
后者请举反例. 一 判断是非 （是：√；非：×, 后者请举反例.）
1 若级数 ∑ un收敛，则 lim un = 0. 收敛，
o n =1 n→ ∞ ∞
∞
（ （ （ （ （
） ） ） ） ） ） ）
.
2 若 lim un = 0，则级数 ∑ un收敛 .
o n→ ∞ ∞ n =1
3 若∑ | un | 收敛，则∑ un收敛 . 收敛，
o
∞
4 o 若∑ un收敛，则∑ | un | 收敛 . 收敛， 收敛， 5 若∑ un收敛， v n 发散, 则∑ ( un + v n )发散. ∑
o n =1 ∞ n =1 ∞ n =1 ∞ o n =1 ∞ n =1 ∞ ∞
n =1 ∞
o
∞
∞
（ （
13 若∑ a 收敛 , ∑ b 收敛 , 则∑ a n bn 绝对收敛 .
o n =1 2 n n =1 ∞ 2 n n =1 o
n =1 ∞
n = 10
∞
∞
un+1 14 若正项级数 ∑ un 满足 < 1，则此级数收敛 . （ un n =1
二、填空题 1
f ( x ) = x 3 , x ∈ [ − π , π ].若它的付立叶级数的和 函数为 s ( x ),
5π 则 s( ) = _________, 2
s ( − 3 π ) = _________ .
. . . . .
2
x, 0 ≤ x ≤ 1 正 f ( x) = 2 ， f ( x )在[ 0，]的余(正)弦级数的和函数 设 1, 1 < x ≤ 2 7 为 s ( x ), 则 s ( ) = _________, s ( 6 ) = _________ . 2
1 9 若∑ un收敛 , 则∑ 必发散 . n =1 n =1 u n ∞ ∞ 1 o 10 若∑ un 发散， ∑ 必收敛 . 发散， 则 n =1 n =1 u n ∞ 1 11o ∑ ( 2 + 0.0001) 收敛 . n =1 n
o
n =1 ∞
n =1 ∞ຫໍສະໝຸດ 12 若∑ un收敛 , 则 ∑ un 收敛 , 且和不变 .
n =1 ∞ ∞ ∞
. . .
λ
n
5
求级数 ∑
n =1
∞
x 的收敛域， 的收敛域，并求其和函 数 . n n2
n −1
n =1
a 2 n 的敛散性 .
6
设 f ( x) =
4x − 3 试求： ，试求： 2 x + x−6 (1) f ( x ) 的麦克劳林级数； ( 2) f ( x ) 在 x = 1 处的泰勒级数 . 的麦克劳林级数；