插值数据函数实例讲解学习
用MATLAB作函数插值
1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲面图. 输入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; mesh(x,y,temps) 2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.
figure(5) subplot(1,3,1),contour(xi,yi,z1i,10,'r'); subplot(1,3,2),contour(xi,yi,z2i,10,'r'); subplot(1,3,3),contour(xi,yi,z3i,10,'r');
用MATLAB作散点数据的插值计算
例
已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。
X Y
0 3 5 7 9 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 0 12 17 20 21 20 18 12 10 16 . . . . . . . . .
机翼下 轮廓线 y
x
x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ]; x=0:0.1:15; y1=lagr1(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); subplot(3,1,1) plot(x0,y0,'k+',x,y1,'r') grid title('lagrange') subplot(3,1,2) plot(x0,y0,'k+',x,y2,'r') grid title('piecewise linear') subplot(3,1,3) plot(x0,y0,'k+',x,y3,'r') grid title('spline')
函数插值法
(xk ,
yk
),(xk+1 ,
yk+1
)
,求一条
由直线的点斜式公式可知：
P
1
( x ) =
y
k
+
y x
k + 1 k + 1
− y − x
k k
( x − x
k
)
把此式按照
yk
和
yk+1
写成两项：
P
1
(x) =
x − xk+1 x − xk yk + yk+1 xk − xk+1 xk+1 − xk
。
yk = f ( xk )
求 一 个 次 数 不 超 过 二 次 的 多 项 式
P2 ( x )
, 使 其 满 足 ,
P2 ( x k − 1 ) = y k − 1
P2 ( x k + 1 ) = y k + 1
。
,
P2 ( x k ) = y k
其几何意义为:已知平面上的三个点
(x k−1
, y
f (x)
在 区 间
[ xk , xk+1 ]
的 端 点 上 的 函 数 值
y k = f ( x k ), y k + 1 = f ( x k + 1 )
，求一个一次函数 。
y = P1 ( x )
使得
y k = P1 ( x k ), y k + 1 = P1 ( x k + 1 )
其几何意义是已知平面上两点 直线过该已知两点。 2.插值函数和插值基函数
要证明插值多项式存在唯一，只要证明参数 其系数行列式不为零即可。 系数行列式为：
插值与拟合应用举例
插值与拟合1. 插值与拟合的基本概念插值与插值函数：已知由()g x (可能未知或非常复杂)产生的一批离散数据(,),0,1,,i i x y i n = ，且n+1个互异插值节点011n n a x x x x b -=<<<<= ，在插值区间内寻找一个相对简单的函数 ()f x ，使其满足下列插值条件：再利用已求得的 ()f x 计算任一非插值节点的近似值，这就是插值。
其中()f x 称为插值函数， ()g x 称为被插函数。
最小二乘拟合： 已知一批离散的数据 (,),0,1,,i i x y i n = ，i x 互不相同，寻求一个拟合函数 ()f x ，使()i f x 与i y 的误差平方和在最小二乘意义下最小。
在最小二乘意义下确定的 ()f x 称为最小二乘拟合函数。
温度问题在12小时内，每隔1小时测量一次温度。
温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。
(单位:℃)（1） 试估计在3.2h ，6.5h ，7.1h ，11.7h 的温度值，并画出其图形。
（2） 每隔1/10h 估计一次温度值，并画出其图形。
请你找出跟上述12个数据拟合的最好的一条曲线,请分别用分段线性插值、三次样条插值方法（至少用两条不同的曲线，并比较它们拟合好坏的程度）hours=1:12;temps=[5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24];t=interp1(hours,temps,[3.2,6.5,7.1,11.7]) %线性插值 T=interp1(hours,temps,[3.2,6.5,7.1,11.7],'spline') %三次样条插值 计算结果为 t =10.2000 30.0000 30.9000 24.9000 T =9.6734 30.0427 31.1755 25.3820每隔1/10h 估计一次温度值并画出其图形： hours=1:12;temps=[5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24]; h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:') xlabel('时间'),ylabel('温度')三次多项式拟合： hours=1:12;temps=[5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24]; a=polyfit(hours,temps,3) temps1=polyval(a,hours);plot(hours,temps,'ro',hours,temps1,'b.')得到320.00650.32837.1281 4.4343y x x x =--+-，图形如下：四次多项式拟合：得到4320.02730.7158 5.770712.225112.5884y x x x x =-+-+比较拟合的好坏：设ˆi y为拟合函数的值，i y 为测量值，则残差2ˆ()iiie y y=-∑ 。
数值分析第五章插值法精品PPT课件
故 R n ( x ) K ( x ) x x ( 0 ) x x ( 1 ) ( x x n ).
其中 K (x)是与 x有关的待定函数.
如何求 K (x) ?
8
现把x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数
x22
x2n
a2
f
(x2
)
1 xn xn2 xnnan f (xn)
系数矩阵A的行列式是Vandermonde行列式，其值为
n
deA t() (xj xi)
i,j0,ij
当插值节点xi (i=0, 1, 2, …, n)互不相同时，此行列
式不为0, 即系数矩阵A可逆. 因此ai (i=0, 1, 2, …, n),
11 2181.031 3 03.
抛物线插值. 取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多项式为
L2(x)2.39((1 7x 1 91 1))2 21 x (( 111)3 )32.48((1 4x 2 91 1))1 11 x (( 211)3 )3 2.56(4x 91)1x (1)2 (1 31)11 ( 31)2
xx0xx11y0xx1xx00y1
x0
x1
l0 ( x)
xi x0 x1
1次多项式
10
l0 (x )y 0 l1 (x )y 1
l1( x)
xi x0 x1
1次多项式
01
13
➢ 二次插值多项式
已知
xi
x0 x1 x2
yi f(xi) y 0 y 1 y 2
求 L2(x)
(1) 至多2次多项式; (2) L 2 ( x i ) f ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 ).
实验一---函数插值方法报告
实验一 函数插值方法报告一、问题提出对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n ==。
试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange 插值多项式。
数据如下：（1）求五次Lagrange 多项式5L ()x ，和分段三次插值多项式，计算(0.596)f ,(0.99)f 的值。
（提示：结果为(0.596)0.625732f ≈, (0.99) 1.05423f ≈ ）（试构造Lagrange 多项式6，计算的(1.8)f ,(6.15)f 值。
（提示：结果为(1.8)0.164762f ≈, (6.15)0.001266f ≈ ）二、要求1、 利用Lagrange 插值公式00,()n ni n kk i i k k i x x L x y x x ==≠⎛⎫-= ⎪-⎝⎭∑∏编写出插值多项式程序； 2、 给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；3、 根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；4、 对此插值问题用Newton 插值多项式其结果如何。
Newton 插值多项式如下： 10010,()()[,,]()k n n j k k j j k N x f x f x x x x -==≠=+•-∑∏其中：0,()() [,,]k ikii jj j ikf xx x f x x==≠-=∑∏三、目的和意义1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、熟悉插值方法的程序编制；4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。
四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C或matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果.解：一、编写插值函数结构程序Lagrange插值多项式M文件：lagrange1.mfunction [A1,LN,L1,B1]=lagrange1(X,Y)m=length(X); LN=ones(m,m);for k=1: mx1=1;for i=1:mif k~=ix1=conv(x1,poly(X(i)))/(X(k)-X(i));endendL1(k,:)=x1; B1(k,:)=poly2sym (x1)endA1=Y*L1;LN=Y*B1分段三次艾尔米特插值多项式的M文件：Hermite3.mfunction [f,ff] = Hermite3(x,y,y1)syms t;f = 0.0;if(length(x) == length(y))if(length(y) == length(y1))n = length(x);elsedisp('y和y的导数的维数不相等');return;endelsedisp('x和y的维数不相等！');return;endfor i=1:nh = 1.0;a = 0.0;for j=1:nif( j ~= i)h = h*(t-x(j))^2/((x(i)-x(j))^2);a = a + 1/(x(i)-x(j));endendf = f + h*((x(i)-t)*(2*a*y(i)-y1(i))+y(i));endff = subs(f,'t');L()x，和分段三次插值多项式。
数值分析第六章插值法PPT学习教案
l0 (x) 9l1(x) 23l2 (x) 3l3 (x)
11 x3 45 x 2 1 x 1
4
4
2
为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式(6.8)改写成
Ln (x)
n k 0
yk
n
i0 ik
x xi xk xi
第16页/共81页
例6.5 已知f(x)的观测数据 x 1234
1 3
3 1
2
f (1.5) p(1.5) 1.25
第13页/共81页
例6.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值,
7
用抛物插值公式, (x–x1)(x–x2)
(x–x0)(x–x2)
p2(x) =
y0
+
y1
求
(x0–x1)(x0–x2) (x–x0)(x–x1)
(x1–x0)(x1–x2)
+
第4页/共81页
这惟是一一性个说关明于，待不定论参用数何种a0方, a法1, 来构, a造n 的，n也+不1阶论线用性何方种 程组形,式其来系表数示矩插阵值行多列项式式为,只要满足插值条件(6.1)其结
果都是相互恒等的。
1 x0 x02 x0n
1 V
x1
x12
x1n
n i 1
i 1
(xi x j )
P(x) l0 (x) y0 l1(x) y1 ln (x) yn 事实上，由于每个插值基函数 lk (x)(k 0,1,, n) 都是n次值多项式,所以他们的线性组合
n
P(x) lk (x) yk k 0
（6.8）
是次数不超过n次的多项式 , 称形如（6.8）式的插
值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为 Ln (x)
excel拉格朗日插值函数
excel拉格朗日插值函数Excel拉格朗日插值函数是一种常用的数据插值方法，在很多领域都有应用，比如工程建模、生物信息学、金融分析等。
本文将从介绍插值方法的基本原理、数学公式和Excel计算方法方面进行讲解，希望使读者能够更好地掌握Excel拉格朗日插值函数的使用方法。
一、插值方法的基本原理插值方法是一种基于已知数据点推导出未知数据点值的数学方法。
在实际应用过程中，很多情况下我们只知道若干个数据点的取值，但是我们需要获得数据点之间的中间值或者在这些数据点之外的其他值。
这时候，插值方法就可以发挥作用。
插值方法的基本思路是，利用已知点之间的最高次多项式函数将数据点连接起来，然后求出函数在某个未知点的取值。
一般来说，如果已知数据点越多，则插值计算得到的结果越准确。
在拉格朗日插值方法中，我们使用拉格朗日多项式来计算未知点的取值。
拉格朗日多项式的原理是，将已知点看作多个线性项的积，然后通过一系列复杂的运算，得到一个关于自变量x的多项式函数。
二、拉格朗日插值法的数学公式假设我们有n个数据点{(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)}，其中x1<x2<...<xn。
我们需要在这些数据点之间插值计算出某个未知点x的函数值y。
y = Σ(yi * Li(x))i从1到n，Li(x)为拉格朗日多项式（Lagrange polynomial），表达式为：Li(x) = Π(j ≠ i)((x - xj)/(xi - xj))j从1到n。
三、Excel计算方法Excel中可以使用插值函数进行插值计算。
要使用拉格朗日插值函数，可以先使用X轴和Y轴的数据点构建一个散点图，然后使用趋势线功能来生成拉格朗日插值函数的公式。
1. 创建散点图在Excel中选中所需要插值的数据点，然后点击插入菜单中的散点图选项。
这时候，Excel将在新的工作表中创建一个散点图，并根据数据点自动添加X轴和Y轴的标签。
2. 添加趋势线在散点图中，我们需要生成一条趋势线来表示拉格朗日插值函数。
excel插值法的计算步骤
excel插值法的计算步骤嘿，朋友们！咱今儿来聊聊 Excel 插值法的计算步骤，这可真是个超有用的东西呢！咱先得明白啥是插值法呀。
就好比你知道了几个关键点上的数据，然后想在这些点之间猜猜其他地方大概是啥数，这就是插值法在干的事儿。
在 Excel 里用插值法，第一步，那肯定得有数据呀！把你知道的那些关键数据整整齐齐地放在表格里。
就像盖房子得先有砖头一样，这数据就是咱的砖头。
然后呢，咱得找到合适的函数。
Excel 里有好些个函数能帮忙，就看你要用哪种插值法啦。
比如说线性插值，那咱就找对应的线性函数。
接下来，按照函数的要求，把数据填进去。
这就好比是搭积木，得把合适的积木放在合适的位置上。
哎呀，你想想，这就好像走在一条有好多标记的路上，咱通过这些标记来推测中间那些没标记的地方大概啥样。
再之后，计算一下。
Excel 就会像个聪明的小助手一样，帮你算出那些你想知道的中间值。
举个例子哈，假如你知道了几个温度点的数据，然后想知道中间某个时间的温度大概是多少。
用插值法，就能大概估摸出来啦！你说这是不是很神奇？就好像咱有了个魔法棒，可以在已知和未知之间搭起一座桥。
其实啊，生活中很多地方都能用得上插值法。
比如你想知道自己体重的变化趋势，或者是某个时间段的股票价格走势。
所以呀，学会 Excel 插值法的计算步骤，那可真是给自己的技能库又加了个厉害的法宝呢！咱可以用它来解决好多问题，让自己变得更厉害。
总之呢，不要觉得它很难，只要一步一步来，就像走楼梯一样，踏踏实实地走，肯定能掌握。
加油吧，朋友们！让我们一起把这个插值法玩转起来！。
第2章 插值法(演示)
第二章 插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。
此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数()f x 的一些样点，选定一个便于计算的函数()x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。
这类方法称为曲线（数据）拟合法。
设已知区间[,]a b 上的实值函数f 在1n +个相异点[,]i x a b ∈处的函数值(),0,1,,i i f f x i n == ，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈使得()(),0,1,,i i i x f x f i n ϕ=== (2-1)这类问题称为插值问题。
称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；0,,nx x 为插值节点；(2-1)为插值条件。
若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。
若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。
若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f在1n +个相异点01,,,n x x x 上的值(),0,1,i i f f x i n == 是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()n L x 使得(),0,1,,n i i L x f n n == (2-2)定理1 存在惟一的多项式n nL P ∈满足插值条件(2-2)。
插值法举例说明
插值法举例说明第一篇嗨呀，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊插值法，这可是个很有趣的东西哟！比如说，咱们想象一下，你知道了几个点的数值，就像你有三个好朋友，他们的身高分别是 150cm、160cm 和 170cm。
但是呢，你特别想知道身高在 155cm 左右的人大概是啥情况。
这时候插值法就派上用场啦！咱们假设这几个点是在一条直线上，那通过简单的计算就能估计出 155cm 对应的情况。
比如说，咱们可以算一下相邻两个点之间的差距，然后根据这个差距来推测 155cm 时的情况。
再比如说，你在做实验的时候，记录了不同时间点的温度。
但你想知道中间某个时间点的温度大概是多少，这也能用插值法哟！想象一下，你 1 点的时候温度是 20 度，2 点的时候温度是 25 度，那 1 点半的时候温度大概是多少呢？咱们就可以用插值法来算算。
插值法就像是在这些已知的点之间搭起了一座小桥，让我们能猜到那些不知道的地方大概是啥样。
是不是很神奇呀？好啦，今天就先说到这儿，下次咱们再一起探索更多有趣的数学知识！第二篇嘿，朋友们！咱们又见面啦，今天来好好讲讲插值法。
你看啊，比如说你在做市场调查，知道了几个月的销售额，像 1 月是 1 万，2 月是 2 万，3 月是 3 万。
那要是你想知道 1 月半的时候销售额大概是多少呢？这时候插值法就能帮忙啦！我们可以把这几个月的销售额当成是在一条线上的点，然后通过计算它们之间的变化趋势来推测 1 月半的情况。
就好像是在这些点之间连起了一条线，然后在中间找我们想要的那个值。
再举个例子，你在研究股票的价格，知道了某几天的收盘价，想猜猜中间某一天的价格，插值法就可以登场咯！总之呢，插值法就像是个神奇的小工具，能在我们只有部分数据的时候，帮我们估计出那些没直接告诉我们的值。
是不是很厉害呀？好啦，今天关于插值法就聊到这儿，咱们下次见哟！。
插值数据函数实例讲解学习
插值数据函数实例讲解学习一、interp1：格式：i y =interp1)'',,,(method x y x i例：给出y x ,等不同的数据，求出对应i x 的i y 。
1，i y =interp1),,(i x y xi y =interp1),,(i x y x 是简单的线性插值，即将),(y x 对应的点一一与图形上的位子对应起来，然后连接各自对应点，i y 即i x 的所对应的点，本例题令i x =0.35，求出i y =0.3748。
一维数据插值 12，用指定算法计算插值。
i y =interp1)'',,,(method x y x i :（1）‘nearest ’：最近邻点插值，直接完成计算；即i x 最靠近给定的x 的最近的点0x ，即0y y i =。
同样选取i x =0.35，得==3.0y y i 0.3814一维数据插值 2（2）‘linear ’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；此与1相同，（3）‘spline ’：三次样条函数插值。
即针对每个相邻两个),(i i y x 分别建立不同三次多项式，332210)(x a x a x a a x f i +++=且要求每个节点上连续，即⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=-+=-)0('')0('')0(')0(')0()0(i i i i i i x f x f x f x f x f x f 关于三次样条函数这里不细描述，（文章最后有关于三次样条函数的具体讲解）会用即可。
选取i x =0.35，得i y =0.3752一维数据插值 3（4）‘pchip ’：分段三次Hermite 插值。
同样需满足⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=-+=-)0('')0('')0(')0(')0()0(i i i i i i x f x f x f x f x f x f 但其根据节点建立的函数为：∑∏∑===-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+--=nj ji i nj j i j i i i i i ni i i x x a x x x x f y y y a x x f x F 12111])'2()[()(该方法保留单调性与数据的外形；一维数据插值 4（5）‘cubic ’：与’pchip ’操作相同；cubic 是立方插值，而spline 是三次样条插值。
(完整版)数值分析插值法
第二章插值法2.在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙哥函数f(x)=1/(1+25*x^2)做多项式插值及三次样条插值，对每个n值，分别画出插值函数及f（x）的图形。
（1）多项式插值①先建立一个多项式插值的M-file；输入如下的命令（如牛顿插值公式）：function [C,D]=newpoly(X,Y)n=length(X);D=zeros(n,n)D(:,1)=Y'for j=2:nfor k=j:nD(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));endendC=D(n,n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)))m=length(C);C(m)= C(m)+D(k,k);end②当n=10时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clf,hold on;X=-1:0.2:1;Y=1./(1+25*X.^2);[C,D]=newpoly(X,Y);x=-1:0.01:1;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,'.');grid on;xp=-1:0.2:1;z=1./(1+25*xp.^2);plot(xp,z,'r')得到插值函数和f（x）图形：③当n=20时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clf,hold on;X=-1:0.1:1;Y=1./(1+25*X.^2);[C,D]=newpoly(X,Y);x=-1:0.01:1;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,'.');grid on;xp=-1:0.1:1;z=1./(1+25*xp.^2);plot(xp,z,'r')得到插值函数和f（x）图形：（2）三次样条插值①先建立一个多项式插值的M-file；输入如下的命令:function S=csfit(X,Y,dx0,dxn)N=length(X)-1;H=diff(X);D=diff(Y)./H;A=H(2:N-1);B=2*(H(1:N-1)+H(2:N));C=H(2:N);U=6*diff(D);B(1)=B(1)-H(1)/2;U(1)=U(1)-3*(D(1));B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2;U(N-1)=U(N-1)-3*(-D(N));for k=2:N-1temp=A(k-1)/B(k-1);B(k)=B(k)-temp*C(k-1);U(k)=U(k)-temp*U(k-1);endM(N)=U(N-1)/B(N-1);for k=N-2:-1:1M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2))/B(k);endM(1)=3*(D(1)-dx0)/H(1)-M(2)/2;M(N+1)=3*(dxn-D(N))/H(N)-M(N)/2;for k=0:N-1S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1))/(6*H(k+1));S(k+1,2)=M(k+1)/2;S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2))/6;S(k+1,4)=Y(k+1);end②当n=10时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clcX=-1:0.2:1;Y=1./(25*X.^2+1);dx0= 0.0739644970414201;dxn= -0.0739644970414201; S=csfit(X,Y,dx0,dxn)x1=-1:0.01:-0.5;y1=polyval(S(1,:),x1-X(1));x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X(2));x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3-X(3));x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X(4));plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.')结果如图：②当n=20时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clcX=-1:0.1:1;Y=1./(25*X.^2+1);dx0= 0.0739644970414201;dxn= -0.0739644970414201; S=csfit(X,Y,dx0,dxn)x1=-1:0.01:-0.5;y1=polyval(S(1,:),x1-X(1));x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X(2));x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3-X(3));x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X(4));plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.')结果如图：第三章函数逼近与快速傅里叶变换2. 由实验给出数据表x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0y 1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。
常见插值法
常见插值法【摘 要】插值方法在数值分析中起着非常重要的作用。
在此介绍一些常见的插值方法及 其应用范例。
【关键字】数值分析；插值方法；应用；1. 插值法定义插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些表(1) 插值点点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
2.常见的插值法及其构造Lagrange 插值法（a).公式推导：表（1）的Lagrange 插值的插值多项式∑==ni i i x l x f x 0n )()()(L ,(j=0,1,2....n)。
其中插值基函数是其插值余项为(b).matlab 实现方法：Matlab 没有直接求解的相关函数，现编译如下： function yi = Lagarange_chazhi(x,y,xi)% 求拉格朗日插值,并返回一个输入为xi 时的函数值 % x 为插值点向量，至少有三项 % y 为插值点值的向量，项数与x 相同 m = length(x); %求插值个数 m1 = length(y); if m<=2error('项数不足!'); end if m~=m1error('!!!y 的项数应与x 相同!!!'); end %对参数的判断 lag_hanshu = 0; syms X ;for (l = 1:m) %构造插值基函数 la = y(l); for a = (1:l-1)la = la*(X-x(a))/(x(l)-x(a)); endfor a = (l+1:m)la = la*(X-x(a))/(x(l)-x(a)); endformat longlag_hanshu = lag_hanshu+la;%求解出插值函数 endyi = subs( lag_hanshu,'X',xi);%返回插值函数输入为xi 时的值 End(c).方法缺陷：当插值点个数7n ≥时，将产生龙格现象：0x 1x 2x ....... 1-n x n x 0y 1y 2y ....... 1-n y n y),(!)1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ0x a =bx n =1x 2x 1-n x 值图（1）中从左到右，从上到下，n 分别为图(1) Lagarange 插值法的龙格现象4,5...11，可以看出，当7n≥后，它的\插值函数在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差。
拉格朗日插值法例题
拉格朗日插值法例题
拉格朗日插值法是一种用于在给定数据点处插值的方法,其基本思想是通过最小二乘法在每个数据点处找到一组合适的插值值。
下面是一些拉格朗日插值法例题:
1. 插值函数在某个区间上的图像:
给定一个连续的插值函数 $y(x)$,例如二次函数 $y(x) =
frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x + 1$,求其在某个区间 $[a,b]$ 上的图像。
2. 需要在某个区间内进行平滑过渡:
给定一个连续的插值函数 $y(x)$,例如二次函数 $y(x) =
frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x + 1$,需要将其平滑过渡到一个连续的曲线上。
求平滑过渡的曲线。
3. 需要将一个离散点映射到连续点:
给定离散点 $x_0$ 和 $x_1$,需要将其映射到连续点 $y_0$ 和$y_1$,使得 $y(x_0) = y_0$,$y(x_1) = y_1$。
例如,如果离散点$x_0$ 是 1 和 2,$y_0$ 和 $y_1$ 分别是 2 和 3,需要将其映射到连续点 $y_0 = 3$,$y_1 = 4$。
这些例题只是拉格朗日插值法的一些典型应用。
拉格朗日插值法是一种非常有用的工具,可以用于解决许多实际问题。
Excel线性内插值计算实例
Excel线性内插值计算实例excel插值，通常通过函数公式完成。
如果手工计算插值，N多烦琐。
excel插值函数有trend和forecast函数。
通过这两个excel插值函数来写相关的插值公式。
下面是两个相关excel 插值资料和案例，供学习者使用。
第一：线性内插值计算实例excel附件中包括四个工作表：一维插值、二维插值(1)、二维插值(2)、三维插值。
第二：Excel画平滑曲线散点图excel附件详细说明了Excel画平滑曲线散点图的算法，并提供了一个自定义函数BezierInt() ,让用户可以随时查找曲线上任意点的坐标(函数值)。
附件的.mht文件，是一个简单介绍贝塞尔三次插值的文档，可以用IE打开，更多贝塞尔插值的算法，可以用搜索引擎插值。
附件的.xls文件，打开以后，会看见三个工作表，分别演示了：找一个数值在曲线上的一组对应点，找一个数值在曲线上的所有对应点，和贝塞尔曲线是怎样在通过每两个节点的（每一对输入的X-Y数值代表平面坐标系的一个点，称为节点,Excel的平滑曲线通过每一个节点）。
如果需要在其他Excel文档使用BezireInt() 函数，需要按Alt+F11,双击模块一复制所有代码，然后打开其他Excel文档按Alt+F11,插入－模块，然后粘贴代码。
自定义函数的使用方法是:在空白单元格输入=BezierInt(X坐标的范围,Y坐标的范围,待查的数值)，函数就会返回一个包含六个元素的数组，分别是三个点的X,Y坐标。
如:根据a1:a4的数值作为X值,b2:b4的数值作为Y值，画了一个平滑线散点图。
想查找c1的数值是不是在这条曲线上。
可以输入：=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,1) 得到曲线上第一个X值=C1数值的点的X坐标=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,2) 得到曲线上第一个X值=C1数值的点的Y坐标=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,3) 得到第2个X值=C1数值的点的X坐标=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,4) 得到第2个X值=C1数值的点的Y坐标=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,5) 得到第3个X值=C1数值的点的X坐标=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,6) 得到第3个X值=C1数值的点的Y坐标如果有多段曲线上的点包含C1的数值，那么可以增加输入参数，指定从哪个节点开始查找。
拉格朗日插值函数matlab例题
拉格朗日插值函数是一种常用的数学工具，它可以用于拟合数据、逼近函数和插值等多种数学问题。
在本文中，我将通过介绍拉格朗日插值函数的原理和应用，以及使用Matlab进行实例演示，帮助你更好地理解这一主题。
1. 拉格朗日插值函数的原理拉格朗日插值函数是通过拉格朗日插值多项式来实现插值的过程。
拉格朗日插值多项式是由一组互不相同的节点和函数值得到的，并且满足通过这些节点的所有函数值。
它的数学表达式如下所示：\[P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i l_i(x)\]其中 \(P(x)\) 是拉格朗日插值多项式，\(n\) 是节点数，\(y_i\) 是函数在节点 \(x_i\) 处的函数值，\(l_i(x)\) 是拉格朗日基函数。
2. 拉格朗日插值函数的应用拉格朗日插值函数广泛应用于各种领域，包括数值分析、数值计算和工程应用等。
它可以用于曲线拟合、图像处理、信号处理等多种领域，并且在实际问题中具有重要的作用。
3. 使用Matlab进行拉格朗日插值函数的实例演示接下来，我将使用Matlab进行一个简单的拉格朗日插值函数的实例演示，以便更直观地理解这一主题。
```matlab% 拉格朗日插值函数的实例演示x = [1, 2, 3, 4]; % 设定节点y = [1, 4, 9, 16]; % 对应的函数值xx = 1:0.1:4; % 生成插值点yy = zeros(size(xx)); % 初始化插值结果for i = 1:length(x)L = ones(size(xx));for j = 1:length(x)if j ~= iL = L.*(xx-x(j))/(x(i)-x(j));endendyy = yy + y(i)*L; % 计算插值结果endplot(x,y,'o',xx,yy,'-'); % 绘制插值结果xlabel('x'); ylabel('y');legend('节点','插值结果');```在这个实例中，我们首先定义了一组节点\(x\) 和对应的函数值\(y\)，然后生成了插值点 \(xx\)，利用拉格朗日插值多项式计算了插值结果\(yy\)，最后使用Matlab进行了绘图展示。
mysql 插值 方法
mysql 插值方法MySQL插值方法在MySQL数据库中，插值是一种将变量或表达式插入到字符串中的方法。
插值可以用于创建动态的SQL语句、生成报告或构建用户自定义消息等场景。
本文将介绍MySQL中常用的插值方法，帮助读者更好地理解和应用这一技术。
1. 使用CONCAT函数CONCAT函数是MySQL中常用的字符串连接函数，可以将多个字符串连接成一个字符串。
在插值中，我们可以使用CONCAT函数将变量或表达式与固定字符串连接起来，形成需要的字符串。
示例：```SET @name = 'Tom';SET @age = 25;SET @message = CONCAT('我的名字是', @name, '，今年', @age, '岁。
');SELECT @message;```输出结果：```我的名字是Tom，今年25岁。
```2. 使用CONCAT_WS函数CONCAT_WS函数是CONCAT with separator的缩写，它可以在连接字符串时指定一个分隔符。
在插值中，我们可以使用CONCAT_WS函数将变量或表达式与分隔符和固定字符串一起连接起来。
示例：```SET @name = 'Tom';SET @age = 25;SET @message = CONCAT_WS('，', '我的名字是', @name, '今年', @age, '岁。
');SELECT @message;```输出结果：```我的名字是，Tom，今年，25岁。
```3. 使用字符串模板字符串模板是一种使用特定标记或占位符来表示变量或表达式的字符串。
在插值中，我们可以使用字符串模板来定义包含变量或表达式的字符串，并通过替换占位符的方式生成最终的字符串。
示例：```SET @name = 'Tom';SET @age = 25;SET @message = '我的名字是%s，今年%d岁。
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插值数据函数实例讲解学习一、interp1：格式：i y =interp1)'',,,(method x y x i例：给出y x ,等不同的数据，求出对应i x 的i y 。
1，i y =interp1),,(i x y xi y =interp1),,(i x y x 是简单的线性插值，即将),(y x 对应的点一一与图形上的位子对应起来，然后连接各自对应点，i y 即i x 的所对应的点，本例题令i x =0.35，求出i y =0.3748。
一维数据插值 12，用指定算法计算插值。
i y =interp1)'',,,(method x y x i :（1）‘nearest ’：最近邻点插值，直接完成计算；即i x 最靠近给定的x 的最近的点0x ，即0y y i =。
同样选取i x =0.35，得==3.0y y i 0.38140.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5一维数据插值 2（2）‘linear ’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；此与1相同，（3）‘spline ’：三次样条函数插值。
即针对每个相邻两个),(i i y x 分别建立不同三次多项式，332210)(x a x a x a a x f i +++=且要求每个节点上连续，即⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=-+=-)0('')0('')0(')0(')0()0(i i i i i i x f x f x f x f x f x f 关于三次样条函数这里不细描述，（文章最后有关于三次样条函数的具体讲解）会用即可。
选取i x =0.35，得i y =0.3752 一维数据插值 30.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5（4）‘pchip ’：分段三次Hermite 插值。
同样需满足⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=-+=-)0('')0('')0(')0(')0()0(i i i i i i x f x f x f x f x f x f 但其根据节点建立的函数为：∑∏∑===-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+--=nj ji i nj j i j i i i i i ni i i x x a x x x x f y y y a x x f x F 12111])'2()[()(该方法保留单调性与数据的外形；一维数据插值 4（5）‘cubic ’：与’pchip ’操作相同；cubic 是立方插值，而spline 是三次样条插值。
spline 的要求要比cubic 的要求更高一点,效果也更好一点。
（6）‘v5cubic ’：在MATLAB 5.0 中的三次插值。
（我不会）二、interp2：格式：i z =interp2（method y x z y x i i ,,,,,）例： 在一丘陵地带测量高程，x 和 y 方向每隔100米测一个点，得高程如表1，试插 值一曲面，确定合适的模型。
表格 10.050.10.150.20.250.30.350.40.450.51，i z =interp2（i i y x z y x ,,,,）：与i y =interp1),,(i x y x 一样的原理，只不过是将二维运算换成三维运算而已，都是线性运算。
选取150=i x ，150=i y ，得7500.685=i z 。
二维数据插值 12，用指定算法计算插值。
i z =interp2（method y x z y x i i ,,,,,）（1）linear ：双线性插值算法（缺省算法），与1想同。
（2）nearest ：最临近插值；与一，2，（1）原理相同，选取150=i x ，150=i y ，得712)200,200()150,150(==z z二维数据插值 2（3）spline ：三次样条插值；与一，2，（3）原理相同，选取150=i x ，150=i y ，得)150,150(z =713.5273二维数据插值 3（4）cubic ：双三次插值（立方插值）。
与一，2，（3）原理相同，选取150=i x ，150=i y ，得)150,150(z =708.2500二维数据插值 4三、lagrane 插值法例：根据给出y x ,等不同的数据，用lagrane 插值法求出对应i x 的i y 。
lagrane 插值多项式表示))...()()...(())...()()...(()()()(1101100n i i i i i i n i i i ni i i x x x x x x x x x x x x x x x x x l x l y x F --------==+-+-=∑令i x =3，求出i y =1.3828。
lagrange 插值2345678910四、newton （牛顿）插值法例题，我们就用与拉格朗日插值法相同的例题。
newton （牛顿）插值法函数表示为：)()](,,,[)](,[)()(],,,[],,,[],,,[],[],[],,[,)()(],[0100100102111010102110210101010n n n n n x x x x x x x f x x x x f x f x F x x x x x f x x x f x x x f x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f --+-+=--=--=--=-令i x =3，求出i y =1.3828。
newton 插值matlab 代码：一维数据插值 1x=[0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5];y=[0.39849 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206]; yi=interp1(x,y,0.35) plot(x,y,'-kd') hold onplot(0.35,yi,'o')一维数据插值 2x=[0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5];y=[0.39849 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206]; yi=interp1(x,y,0.35,'nearest')2345678910plot(x,y,'-kd')hold onplot(0.35,yi,'kd')一维数据插值3x=[0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5];y=[0.39849 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206]; xi=0:0.001:0.5;x1=0.35;yi=interp1(x,y,xi,'spline');y1=interp1(x,y,x1,'spline')plot(x,y,'o',xi,yi,'-k')hold onplot(x1,y1,'rd'一维数据插值4x=[0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5];y=[0.39849 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206]; xi=0:0.001:0.5;x1=0.35;yi=interp1(x,y,xi,'pchip');y1=interp1(x,y,x1,'pchip')plot(x,y,'o',x1,y1,'rd',xi,yi,'-k')二维数据插值1x=100:100:500;y=100:100:400;z=[636 697 624 478 450698 712 630 478 420680 674 598 412 400662 626 552 334 310];zi=interp2(x,y,z,150,150)mesh(x,y,z)hold onplot3(150,150,zi,'rd')二维数据插值2clcclear[x,y]=meshgrid(100:100:500,100:100:400);z=[636 697 624 478 450698 712 630 478 420680 674 598 412 400662 626 552 334 310];xi=150;yi=150;zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'neareat')mesh(x,y,z)hold onplot3(xi,yi,zi,'kd')二维数据插值3[x,y]=meshgrid(100:100:500,100:100:400); z=[636 697 624 478 450698 712 630 478 420680 674 598 412 400662 626 552 334 310];[xi,yi]=meshgrid(100:10:500,100:10:400); x1=150;y1=150;zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');z1=interp2(x,y,z,x1,y1,'spline');mesh(xi,yi,zi);hold onplot3(x,y,z,'bo');hold onplot3(x1,y1,z1,'kd');lagrange插值x=[2,4,6,8,10];y=[0,3,5,4,1];xi=[2:0.1:10];n=length(xi);for i=1:nz=xi(i);s=0.0;for k=1:5m=1.0;for j=1:5if j~=km=m*(z-x(j))/(x(k)-x(j));endends=m*y(k)+s;endyi(i)=s;endq=find(xi==3)x1=xi(q),y1=yi(q)plot(xi,yi,x1,y1,'kd')newton插值x=[2,4,6,8,10];y=[0,3,5,4,1];xi=[2:0.1:10];q=length(xi);for j=1:qp=xi(j);n=length(x);m=length(y);Y=zeros(n);Y(:,1)=y';for k=1:n-1for i=1:n-kY(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k))/(x(i+k)-x(i)); endendg=0;for i=1:nz=1;for k=1:i-1z=z*(p-x(k));endg=g+Y(1,i)*z;endyi(j)=gendh=find(xi==3);x1=xi(h);y1=yi(h);plot(xi,yi,x1,y1,'rd')。