Ross的套利定价模型

第四节 Ross 的套利定价模型
由Stephen Ross 在1976年创立的套利定价理论（The Arbitrage Pricing Theory ，APT ）提供了另外一种资产定价模型。

我们已经知道CAPM 预测所有证券的收益率都与唯一的公共因子——市场证券组合的收益率存在着线性关系。

APT 拓展了这一结果，该模型是以收益率形成的多因素模型为基础，用套利的概念来定义均衡。

如果把市场的收益率作为唯一因子，APT 导出的风险－收益率关系与CAPM 完全相同．所以CAPM 可以看作是APT 的一种特例。

我们先来APT 的假设基础：
⑴ 资本市场是完全竞争的，无摩擦的。

⑵ 投资者是风险厌恶的，且是非满足的。

当具有套利机会时，他们会构造套利证券组合来增加自己的财富，从而追求效用最大化。

⑶ 所有投资者有相同的预期。

任何证券i 的收益率都是一个线性函数，其中包含k 个影响该证券收益率的因素，函数表达式为：
i k ik i i i i F b F b F b R E R ε+++++=~~~)~(~2211
其中，i R ~
－证券i 的实际收益率，它是一个随机变量； )~(i R E －证券i 的期望收益率；
k F ~－第k 个影响因素的指数
ik b －证券i 的收益对因素k 的敏感度；
i ε－影响证券i 的收益率的随机误差，0)(=i E ε。

⑷ 市场上的证券品种n 必须远远超过模型中影响因素的种类k 。

⑸ 误差项i ε用来衡量证券i 收益中的非系统风险部分，它与所有影响因素及证券i 以外的其它证券的误差项是彼此独立不相关的。

一、套利原则
套利是利用同一种实物资产或证券的不同价格来获取无风险收益的行为。

根据定义套利收益是没有风险的，所以投资者一旦发现这种机会就会设法利用，并随着他们的买进和卖出消除这些获利机会。

在因素模型中，所有具有相同的因素敏感性的证券或组合除了非因素风险以外，将以相同的方式行动，因此它们必然要求有相同的预期回报率，否则，就会出现套利机会。

投资者将利用这些套利机会，最终导致套利机会消失，市场达到均衡。

这就是APT 的实质。

二、套利组合
根据套利定价理论，投资者将尽力发现并构造一个套利组合的可能性，以便在不增加风险的情况下，提高组合的预期收益率。

那么，如何才能构造一个套利组合呢？
【定义】如果一个证券组合同时满足下列三个条件：⑴ 初始价格为0；⑵ 组合的风险为零；⑶ 期望收益率为正。

我们称这种证券组合为套利组合。

下面依次介绍上述三个条件。

㈠ 初始价格为0， 是指套利组合是一个不需要投资者追加任何额外投资的组合；
令i i w ∆=ω表示某投资者投资证券i 占其总投资比例的变化值。

要满足证券i 所占投资比例变化而总投资不变的条件，可以通过以卖出某些证券的收益来买进其它一些证券的方式来解决，而不需要追加投资。

即01=∑=n i i ω。

（*）
其中n 表示该投资者持有证券的种类数。

此时该组合的收益变化为：i n i i A R R ~~1
∑==ω
∑∑∑∑====++=n i i i j ij k j n i i i n
i i F b R E 1111~)~(εωωω
当市场达到均衡时，组合的预期收益率为0。

㈡ 组合的风险为零，即该组合既没有系统性风险，又没有非系统性风险。

为了得到无风险的证券组合，我们必须消除系统性风险（因素风险）和非系统性风险（非因素风险）。

满足下面三个条件的证券组合符合这一要求：⑴ 选择的投资比例i ω充分小；⑵ 所包括的证券种类尽量多，以分散风险；⑶ 选择特定的投资比例i ω，使得各影响因素的系数ik b ，即证券收益率对该因素的敏感度，与投资比例的加权平均数等于零。

用数学式子表示，这三个条件是：⑴ n
i 1≈ω；⑵ n 很大；⑶ 对每个因素而言， 01=∑=ik n i i b
ω。

(**)
因为随机变量是独立的，根据大数定律，当n 增大时，随机项的加权和会趋向于0，即通过分散化，不需要花任何成本就能消去组合中的非系统风险。

因此我们得到：
j ij k j n i i i n i i n i i i A F b R E R R ~)~(~~11
11∑∑∑∑====+==ωωω。

在形式上看，这是一个随机量，但是由于01=∑=ik n i i b
ω，所以所有的因素风险为零，由于
我们选择的权数（各证券的变化量）消除了所有的风险，最后证券组合的收益率变为一个常数，即
)~(~1
i n i i A R E R ∑==ω。

㈢ 组合的收益为正。

根据条件㈠、㈡可知，该组合既不需要追加投资，又没有任何风险，如果该组合的收益不为零时，它就是一个套利组合。

当资本市场达到均衡时，这是不可能的。

因此满足㈡中三个条件的证券
组合其收益率一定为零，即0)~(~1
==∑=i n i i A R E R ω。

(***)
根据线性代数的知识，式01=∑=n i i ω
和式01=∑=ik n i i b ω表示一组正交条件，而式
0)~(~1
==∑=i n i i A R E R ω又产生了i ω必须满足的另一个正交条件。

由于i ω已经满足式(*)和式(**)，所以只需)~(i R E 为这1+k 个向量的线性组合就可以了。

由Farkas 引理，存在1+k 个常数k λλλ ,,10，使得 ik k i i b b R E λλλ+++= 110)~(。

当证券i 是一种无风险资产时，表示它不受任何因素的影响，即k j b ij ,2,1,0==，令该种无风险资产的收益率为f R ，则：0λ=f R 。

我们得到
ik k i f i b b R R E λλ+++= 11)~
(。

三、套利定价理论模型
㈠ 单因素模型
如果影响证券i 收益率的因素只有一种因素k 时， ik k f i b R R E λ+=)~(，考虑一个对因素k 有单位敏感度的资产组合，此时1=ik b ，令该组合的期望收益率为i δ，则k f i R λδ+=，所以f i k R -=δλ,它是单位敏感度的资产组合的预期超额回报率，也称为因素风险酬金。

因此证券收益率的单因素模型可以表示为ik f k f i b R R R E )()~
(-+=δ。

㈡ 多因素模型
若影响证券i 收益率的因素1>k ，此时的k δ表示对第k 个因素有单位敏感度但对别的因素敏感度为零的证券组合的期望收益率，k λ表示对第k 个因素有单位敏感度但对别的因素敏感度为零的证券组合的风险酬金，所以
ik f k i f f i b R b R R R E )()()~(11-++-+=δδ ，
这就是套利定价理论的一般表达式。

四、APT 与CAPM 的区别与联系
㈠ 两者的区别
主要表现在以下四个方面：
⑴ CAPM 是一种均衡定价模型，APT 不是均衡定价模型，这是二者最本质的区别。

⑵ CAPM 对证券收益率的分布以及个体的效用函数作出假设，APT 并没有这方面的假设。

⑶ APT 认为资产的收益率受到多种因素风险的影响，而CAPM 认为资产的收益只取决于市场组合一种因素。

APT 并不特别强调市场组合的作用，而CAPM 则强调市场组合必须是一个有效的组合。

⑷ CAPM 是一个一期时间模型，它建立在Markowitz 的有效组合基础之上，投资者根据预期收益和方差选择资产组合，均衡的导出是一个静态的过程；APT 理论中，资产均衡的得出是一个动态的过程，它是建立在一价定理的基础之上。

㈡ 两者的联系
⑴ APT 与CAPM 相同的假设包括：①投资者有相同的预期；②投资者最求效用最大化；③资本市场是完备的。

⑵ 如果把市场的收益率作为唯一因子，APT 导出的风险——收益率关系与CAPM 完全相同．因此，CAPM 可以看作是APT 的一个特例。

五、套利定价理论的应用。