工程力学第三章静力平衡问题
工程力学(静力学与材料力学)-3-静力学平衡问题
z
O
y
∑ Fx = 0, ∑ Fy = 0, ∑ MO= 0
其中矩心O 其中矩心O为力系作用面内的任 意点. 意点. 通常将上述平衡方程中的第1 两式称为力的平衡方程; 通常将上述平衡方程中的第1,2两式称为力的平衡方程; 式称为力矩平衡方程. 第3式称为力矩平衡方程. 上述平衡方程表明,平面力系平衡的必要与充分条件是: 上述平衡方程表明,平面力系平衡的必要与充分条件是: 力系中所有的力在直角坐标系Oxy的各坐标轴上的投影的代 力系中所有的力在直角坐标系 Oxy的各坐标轴上的投影的代 数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零. 数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零.
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程-例题 1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程-
解: 1.分析受力 建立Oxy坐标系 建立Oxy坐标系. 坐标系. A处约束力分量为FAx和FAy ;钢 处约束力分量为F 索的拉力为F 索的拉力为FTB. 因为要求电动机处于任意位 置时的约束力, 所以假设力F 置时的约束力 , 所以假设力 FW 作 用在坐标为x 于是, 用在坐标为 x 处 . 于是 , 可以画出 吊车大梁AB的受力图 的受力图. 吊车大梁AB的受力图. 在吊车大梁AB 的受力图中 在吊车大梁 AB的受力图中 , 的受力图中, Fax , FAy 和 FTB 均为未知约束力与 已知的主动力F 已知的主动力FW和FQ组成平面力 因此,应用平面力系的3 系.因此,应用平面力系的3个平 衡方程可以求出全部3 衡方程可以求出全部3个未知约束 力.
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
例题1 例题1
悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁 悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁, 为吊车大梁, BC 为钢索 , A , 处为固定铰链支座 , BC为钢索 为钢索, 处为固定铰链支座, B 处为铰链约束 . 已知起重电动电动 处为铰链约束. 与重物的总重力为F 机 E 与重物的总重力为 FP( 因为两滑轮 之间的距离很小, 之间的距离很小 , FP 可视为集中力作 用在大梁上) 梁的重力为F 用在大梁上),梁的重力为FQ.已知角 30 度θ=30. 求:1. 电动机处于任意位置时, 电动机处于任意位置时, 钢索BC 所受的力和支座 处的约束力; 所受的力和支座A 钢索 BC所受的力和支座A处的约束力 ; 2. 分析电动机处于 什么位置时,钢索受力的最大, 什么位置时 , 钢索受力的最大 , 并确 定其数值. 定其数值.
第3章 静力学平衡问题 (2)
例题
（2）再研究轮
FOx FOy FʹB
M
O
(F ) 0
FB cos R M 0
F
F
解得：
x
0
0
FOx FB sin 0
FB cos FOy 0
y
M FP R
FOx FP tg
FOy FP
【负号表示力的方向与图中所设方向相反】
由图示几何关系，在Rt△BFE和 Rt△EDA中
BD=BE+DE=1.2 2+
1.8 2
≈2.97(m)
∑ MA(F) =0 M-FA×BD=0
解得 FA=M/BD=269.36（N） FC=FA=269.36N
B
解法二：以整体作为研究对象， 画出受力图。
C
M FCy
FAx
FCx
列平衡方程
∑ Fx=0 ∑ Fy=0
§3-1 平面力系的平衡条件与平衡方程
例题
M A (F ) 0 : MB (F ) 0 MC (F ) 0
解得：
2 3M FA 3a 3P 3
FC
3 aM 0 2
3 a FA aP M 0 2 2 3 a FB a P M 0 2 2
FAx=FCx=190.48kN
【3-5】为了测定飞机螺旋桨所受的空气阻力偶，可将飞机水平放
置，其一轮搁置在地秤上。当螺旋桨未转动时，测得地秤所受的压
力为4.6 kN；当螺旋桨转动时，测得地秤所受的压力为6.4 kN。已 知两轮间的距离l＝2.5 m。试求螺旋桨所受的空气阻力偶的力偶矩 M 的数值。
B
α
FNC
∑ MB(F) =0
4-第三章 静力学平衡问题
a
a
再回到原系统，可建立3个平衡 方程解得：
5 2M FOX 0 , FAY 2 F qa , 2 a M FOY F qa a
FOX
O A
F
B
a
a
M
q
FCY qa
C D
FOY FAY FBY
FBX
B
x
D M
a a FCY
[例3-3]图示一结构由AB、BC 与CE 三个构件构成。E 处有一滑轮，细绳 通过该轮悬挂一重为 12 kN 的重物。A为固定铰支座，B 为滑动铰支座， C、D 与E 为圆柱铰。AD = BD = l1= 2m，CD = DE = l2= 1.5m。不计杆件 与滑轮的重量，求支座处的反力。
• 上述第一种情况称为静滑动摩擦力（静摩擦力）
• 第二种情况称为极限摩擦力 • 第三种情况称为动滑动摩擦力（动摩擦力） • 可见极限摩擦力与维持平衡的静摩擦力的关系为： 1、（静）滑动摩擦力的计算、干摩擦与粘性摩擦
Fmax
Fmax F f 0
由大量实验，库仑给出一近似公式：
Fmax f s FN
如果是平面问题（设为xy平面），则平 衡方程简化为 3 个：
X 0 , Y 0 , mO F 0
上式称为平衡方程一矩式，而二矩式和三矩式分别为：
X 0 或 Y 0 mA F 0 mB F 0 m A F 0 mB F 0 m F 0 C
如图 a 所示建立参考基 分析： 系统主动力只有重力 G 约束反力有4个显然无法直接求解
FT
y
C
q FAy A D B
《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第3章 力系的平衡
工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答第3章 力系的平衡3－1 试求图示两外伸梁的约束反力FRA 、FRB ，其中（a ）M = 60kN ·m ，FP = 20 kN ；（b ）FP = 10 kN ，FP1 = 20 kN ，q = 20kN/m ，d = 0.8m 。
知识点：固定铰支座、辊轴支座、平面力系、平衡方程 难易程度：一般 解答：图（a-1） 0=∑x F ，FAx = 00=∑A M ，05.34R P =⨯+⨯--B F F M 05.342060R =⨯+⨯--B F FRB = 40 kN （↑）=∑y F ，0P R =-+F F F B Ay20-=Ay F kN （↓）图（b-1），M = FPd 0=∑A M ，03221P R P =⋅-⋅++⋅d F d F d F dqd B即 032211P R P =-++F F F qd B 02032108.02021R =⨯-++⨯⨯B FFRB = 21 kN （↑）=∑y F ，FRA = 15 kN （↑）3－2 直角折杆所受载荷，约束及尺寸均如图示。
试求A 处全部约束力。
A MB Ay F B R F CAx F PF(a) M A B B R F A R F P 1F C qdBD(b)（a ）（b ） 习题3－1图FMB习题3－3图sF W A F ABF BF AN F(a)知识点：固定端约束、平面力系、平衡方程 难易程度：一般 解答： 图（a ）： 0=∑x F ，0=Ax F=∑y F ，=Ay F （↑）0=∑A M ，0=-+Fd M M AM Fd M A -=3－3 图示拖车重W = 20kN ，汽车对它的牵引力FS = 10 kN 。
试求拖车匀速直线行驶时，车轮A 、B 对地面的正压力。
知识点：固定端约束、平面力系、平衡方程 难易程度：一般解答： 图（a ）：0)(=∑F A M 08.214.1NB S =⨯+⨯-⨯-F F W6.13NB =F kN=∑y F ，4.6NA =F kN3－4 图示起重机ABC 具有铅垂转动轴AB ，起重机重W = 3.5kN ，重心在D 。
第3章工程构件静力学平衡问题优秀课件
为 和 ，活塞气体总压力为P。求压板受到滚轮
的压力有多大？
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 -例题
解：作用在活塞上的压力通过销钉A推动杆AB，AD, 使滚轮B,D压紧压板，故可首以销钉A为研究对象，再取 取B或D为研究对象。
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 -例题
Xi 0 ， F B C F Ac B3 o 0 s T 1 c4 o 5 s 0 （1）
Yi 0 ， F As B 3 i n 0 T 1 s4 i n 5 T 2 0 （2）
T1 T2 G
（3）
由式（1）（2）（3）解得：
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 -例题
FABG (1sis3 ni4 n 05 )5.1k 2N
解得：
FNAFNB62N5
3.2 力偶系的平衡条件和平衡方程 -例题
例题 3-4 已知: 结构受力如图所示, 图中M, r均为已知,且 l = 2r. 求: 画出AB和BDC杆的受
力图;并求A, C处的约束力. 解：
1. 取AB杆为研究对象;
AB杆为二力杆，受 力如图。
2. 取BDC杆，
B 处受力的方位可
例3-3 如图所示的减速箱的输入轴 Ⅰ上受到一主动力偶的作用，力偶 矩的大小为 M112N5m，输出轴 Ⅱ上受到一阻力偶作用，力偶 矩的大小为 M250N 0m；轴Ⅰ和 轴Ⅱ互相平行，减速箱的重 量不计，并于A,B处用螺栓和 支承面固联。求A,B处所受 铅直约束力。（设螺栓无 预紧力）
3.2 力偶系的平衡条件和平衡方程 -例题
F B C F Ac B3 o 0 s G c4 o 5 s 5 .4 k9 N
由于FAB和FBC均为正值，说明受力途中假定的各力 的指向正确，即AB杆受拉，BC杆受压。
《工程力学》工程构件的静力学平衡问题
3.2 简单的刚体系统平衡问题
➢刚体系统静定与静不定的概念 ➢刚体系统的平衡问题的特点与解法
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3.2 简单的刚体系统平衡问题
----刚体系统静定与静不定的概念
作用在刚体上未知力的个数正好等于独立的平衡方程个数， 应用平衡方程，可以解出全部未知量，这类问题称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
l
M＝0
M
＝
A
5 2
ql
2
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3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
平衡方程的其他形式——二矩式
Fx＝0或 Fy＝0 M A(F)＝0 M B (F)＝0
非平衡力系
F
A
B
x
注意：A、B两点连线不能垂直于x(或y)轴
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3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
平衡方程的其他形式——三矩式
2/62
关于平衡的重要概念：整体平衡，局部必然平衡
整体
整体
对于刚体----由二个或二 对于变形体----单个物体，或者由二
个以上刚体组成的系统。 个以及二个以上物体组成的系统。
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局部 对于刚体----组成系统 的单个刚体或几个刚体
组成的子系统。
局部 对于变形体组成物体
的任意一部分。
FR1 ´ FR1 ´
一力偶M的作用。已知F＝ql，M=ql2；l为梁的长度。
试求固定端处的约束力。
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3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
解：1．研究对象、受力图
2．均布载荷简化为集中力
3．建立平衡方程
ql
Fx＝0 RAx＝0
Fy＝0 RAy ql F＝0 RAy＝2ql
第3章 静力学平衡问题
FQ Cx FN
习题 3－11b 解图
取节点C为研究对象，见习题3－11b解图，
∑ Fy = 0 : F'BC cosα = FN
∴ FN
=
FP cosα 2 sin α
=
FP 2 tan α
=
3 × 15 2×2
= 11.25kN
3－12 蒸汽机的活塞面积为0.1m2，连杆AB长2m，曲柄BC长0.4m。在图示位置时， 活塞两侧的压力分别为p0=6.0×105Pa, p1=1.0×105Pa， ∠ABC=90D 。试求连杆AB作用于曲柄 上 的 推 力 和 十 字 头 A对 导 轨 的压力(各部件之间均为光滑接触)。
图（b）：ΣMi = 0
∴ 由对称性知
FRB
=
M d
（←）
FRA
=
M d
（→）
FBy = FAy = 0
FBx
=
M d
M
FB
3－10 固定在工作台上的虎钳如图所示，虎钳丝杠将一铅垂力 F=800N 施加于压头上， 且沿着丝杠轴线方向。压头钳紧一段水管。试求压头对管子的压力。
习题 3－10 图
FNB
FNC FN
10
由几何关系得 cosα = 4500 = 0.9 ， 5000
列平衡方程
sin α = 0.436
∑ MO (F ) = 0 : 2FA × 4500 −F Wcosα × 5000 +F Wsinα ×1250 = 0
解得 FA = 27.25 kN
∑ Fx = 0 : FOx = FW sin α = 27.03kN ∑ Fy = 0 : FOy = FW cosα − 2FA = 1.3kN
第3章 静力学平衡问题 理论力学
FP
FP
F2
F1
F3
(a)
F2 F1
F4 F3
(b) 图3-8
如图 3-8（a）所示的三脚凳， FP 为人和凳的总重，F1、F2、F3 为地对凳的约束力，以 上 4 个力组成空间平行力系，而空间平行力系有三个独立的平衡方程，因此 3 个未知的约束
力都可以通过独立的平衡方程加以求解，所以这是一个静定问题。
3.1.4 平衡方程的几种特殊形式
式（3-2）的 6 个平衡方程都是相互独立的，可以求解 6 个未知量。这 6 个平衡方程是 针对空间一般力系给出的，对于不同的特殊情形，例如力偶系、平行力系等，并不一定都有 6 个独立的平衡方程，其中的某些方程是自然满足的，因此独立的平衡方程数是有所不同。 下面介绍几种特殊的情况。
看作集中力 F ，如图 3-5（a）。柱子轴线到墙面的距离为 l 。求梁固定端的约束力。
q
l (a)
F
y
q
F
MA
x
FAx
A
B
FAy
(b)
图3-5
解：（1）取梁为研究对象。
（2）受力分析如图 3-5（b）所示。
梁 AB 用直线代替， A 端视为固定端约束。建立图 3-5（b）所示的直角坐标系。
（3）列平衡方程有
第 3 章ΣM z (F ) 0 自然满足。于是，平衡方程为
ΣFz 0
ΣM x (F ) 0
ΣM
y
(
F
)
0
（3-5）
可以求解三个未知量。
对于平面平行力系，若各力位于 Oxy 平面内且与 y 轴平行，则式（3-2）的 6 个平衡方
程中的 ΣFx 0 ， ΣFz 0 ， ΣM x (F ) 0 ， ΣM y (F ) 0 自然满足，注意平面上 ΣM z (F )
工程力学03章静力学平衡问题
FP
l
l
FP
l
l
M
q
M
q
2l l
2l l
A
FAx A MA
解：1.选择研究对象。
FAy
2 受力分析,画出受力图如图所示。
8
2l l
FP
l
l
M
FAx
A MA
FAy
3. 建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程
Fx = 0, FAx ql 0
q Fy = 0, FAy FP 0
MA= 0，
B
C
M1
A 60o
M2
60o D
20
解: 取杆AB为研究对象画受力图。
杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A 处约束反力的方位可定。
B
B FA = FC = F,
M1
A 60o
C
C AC = a
FC
Mi = 0
M2 M1
60o D A
FA
a F - M1 = 0
M1 = a F (1)
的各坐标轴上投影的代数和及所有力对
各轴之矩的代数和均等于零
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M M
x y
(F ) (F )
0 0
M
z
(F
)
0
26
§3-3 简单的刚体系统平衡问题
一、刚体系统静定与静不定的概念
1、静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量 的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就 能解出全部未知量。
y
4. 联立求解，得
FAB 54.5KN FBC 74.5KN
工程力学第三章 静力学平衡问题
选取投影轴如图，列平衡方程：
Fy 0
F FB cos 0
FB
F
cos
FL L2 R 2
Fx 0 FN FB sin 0
FN FB sin F tan
FR L2 R 2 返回
目录
（2）取飞轮为研究对象，列平衡方程：
目录
2．最大静滑动摩擦力 F max=fSFN
f S，静滑动摩擦因数，和物体的材料以及接触表面的状态有关。 静滑动摩擦力最大时，物体临界平衡。
3．动摩擦力
Fd＝fd FN
fd，动摩擦因数，当vr不大时，可认为是常数。和物体的材 料以及接触表面的状态有关。
目录
二、摩擦角与自锁现象
支承面全约束力 FR ＝ FN ＋FS
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（1）取鼓轮为研究对象
MO1(F ) 0 W r FSC R 0
解得
FSC
rW R
FSC f s FN C
解得
FN C
r Rf s
W
目录
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（2）取曲杆OAB为研究对象；
MO(F) 0
F1 a F 'SC c F 'NC b 0
F1
rW
F'Cx FCx 0.375 kN (3)再考虑ACE，写出其第三个平衡方程，
Fx 0
解得
FCx FEx FT 0 FEx FCx FT 1.375 kN
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例3-10
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第三节 考虑摩擦的平衡问题
两接触物体之间有相对运动或相对运动趋势时，接触面 上产生阻碍称为摩擦。 1. 摩擦的两重性 摩损；有用。 2. 摩擦的分类 静摩擦与动摩擦；滑动摩擦滚动摩擦；干摩 擦与湿摩擦。
工程力学中的静力学平衡与结构平衡问题
工程力学中的静力学平衡与结构平衡问题工程力学是研究物体静止或运动状态下受力和变形的学科。
而静力学平衡和结构平衡问题是工程力学的重要内容之一。
本文将探讨静力学平衡的基本原理和结构平衡的相关概念。
一、静力学平衡问题静力学平衡问题是指研究物体在不发生运动的情况下的受力平衡情况。
在静力学平衡问题中，物体所受外力和外力对物体的作用点位矢量之和为零，即∑F = 0。
这是基于牛顿第一定律的，物体处于静止或匀速直线运动状态时，所受合力为零。
在解决静力学平衡问题时，常使用力的合成与分解原理以及受力分析的方法。
通过分析物体所受的各个力的作用方向和大小，可以确定物体所处的平衡状态。
静力学平衡问题的应用很广泛，比如在建筑工程中，我们需要确保建筑物的稳定性。
通过分析各个构件所受的力和力矩，可以确定建筑物的结构是否平衡，从而保证其安全性。
二、结构平衡问题结构平衡问题是指研究物体内部各个构件的受力平衡情况。
在解决结构平衡问题时，需要考虑物体内部的各个节点和构件之间的相互作用关系。
结构平衡问题可以通过静力学平衡的原理来解决。
对于一个构件而言，其受力平衡要求总力合为零。
在力的合成与分解原理的帮助下，可以确定每个节点上的力的大小和方向，从而得到整个结构的受力平衡状况。
在实际工程中，结构平衡问题是保证建筑物和桥梁等工程结构稳定性的重要问题。
通过分析结构的受力平衡情况，可以确定结构的合理设计，并且预测结构在受到外力作用时的变形情况，从而确保结构的安全性。
三、应用实例为了更好地理解工程力学中的静力学平衡与结构平衡问题，我们举一个简单的桥梁的实例。
考虑一座桥梁，桥上有一辆汽车在通过。
我们需要确保桥梁的结构平衡以保证安全。
首先，我们可以将桥梁简化为若干个构件，比如桥墩、桥面等。
通过静力学平衡原理，我们可以分析每个构件所受的受力情况。
以桥墩为例，桥墩受到来自桥面和汽车的作用力。
通过力的合成与分解原理，我们可以确定桥墩所受力的大小和方向。
类似地，我们可以对桥面和其他构件进行受力分析。
第3章 静力学平衡问题
第3章 静力学平衡问题 §3.1 平衡与平衡条件一、平衡的概念物体的平衡，在工程上是指物体相对于地面保持静止或作匀速直线运动的状态。
平衡是相对于确定的参考系而言的。
静力学所讨论的平衡问题可以是单个刚体，也可以是由若干个刚体组成的刚体系统。
刚体或刚体系统是否平衡取决于作用在其上的力系。
二、平衡条件要使物体保持平衡状态，作用在其上的力必须满足一定的条件，这种条件我们称为力的平衡条件。
从效应上看，物体保持平衡应是既不移动，又不转动。
因此，力系的平衡条件是，力系的主矢和力系对任一点的主矩等于零。
其解析表达式称为平衡方程。
§3.2 平面力系的平衡方程一、平面力系的平衡方程1）基本形式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(000F M Y X2）二矩式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0F F B A M M X 附加条件为：A 、B 两点连线不垂直于x 轴3）三矩式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0)(F F F C B A M M M 附加条件为：A 、B 、C 三点不共线特殊力系的平衡方程 1）共线力系：=∑i F2）平面汇交力系：⎩⎨⎧=∑=∑00Y X3）平面力偶系： 0i m =∑4）平面平行力系： )//( 0)(0轴y M Y i o F F ⎩⎨⎧=∑=∑§3.3 空间力系的平衡方程一、空间力系的平衡方程其基本形式的平衡方程为：ΣX=0 ΣM x(F)=0ΣY=0 ΣM y(F)=0ΣZ=0 ΣM z(F)=0必须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。
具体应用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以简化计算。
此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。
使计算更为简便。
几种特殊力系的平衡方程1）空间汇交力系ΣX=0ΣY=0ΣZ=02）空间力偶系ΣM x(F)=0ΣM y(F)=0ΣM z(F)=03）空间平行力系（若各力//z轴）ΣZ=0ΣM x(F)=0ΣM y(F)=04）平面任意力系（若力系在Oxy平面内）∑X==∑YM(=∑F)z§3.4 平衡方程的应用一、一般应用举例例3-1，例3-3，例3-4，例3-5（改求起重机不翻平衡块的重量就应是多少？），例3-6，例3-7 补充：已知：带轮D ：D1=400 mm ，FT=2000 N ，Ft=1000 N ；齿轮C ：D2=200 mm ，a=20° 求：齿轮C 的啮合力Fn ，轴承A 、B 的约束力FA 、FB轴承A 、B 的约束力FA 、FB 就是圆轴受支座中圆孔的约束力，圆孔销钉就是固定铰链两个分力 为说明两分力方向，建立空间直角坐标系Ｏxyz ？y 轮轴线，z 轴铅直，Ｏxy 是水平面，三轴垂直 轴承支座表示方法(下图)，其约束两分力为xz 方向，用F Ax 、F Az 和F Bx 、F Bz ，或X A 、Z A 和X B 、Z B 侧视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxz 平面上)受力图，没有画轴承A 、B 的约束力，因为没有解除这两个轴承约束=B M ∑02cos 2221t 1T =⨯⨯⨯D F D F D F n a --2000×200-1000×200-Fncos20°×100=0 Fn=2130 N主视图(将轮轴及其受力投影到Ｏyz 平面上)受力图，其中Fnz=Fncos20°=2130×0.9396=2000 N因主动力Fnz=2000 N 作用点到A 、B 两个支座距离相同，方向向上显然,与之平衡的两支座约束力大小相等，实际方向向下，和受力图所画的方向相反，所以N10002N 20002-====--nzB A F Z Z俯视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxy 平面上) 受力图，其中Fnx=Fnsin20°=2130×0.3420=729 NΣMA=0 -(FT+Ft)×0.15+Fnx ×0.25-XB ×0.5=0 -(2000+1000)×0.15+729×0.25-XB ×0.5=0 XB=-536 NΣFx=0 -FT-Ft+XA-Fnx+XB=0 -2000-1000+XA-729+(-536)=0 XA=4265 N 结论：Fn=2130 NXA=4265 N ； XB=-536 N ZA=-1000 N ； ZB=-1000 N 小结：①轮轴类部件平面解法：1.侧视图求未知主动力 2.主视图求铅直向约束力 3.俯视图求水平向约束力在每一视图上，使用平面力系力的投影方程和力矩平衡方程求解未知力 ②皮带拉力，无论倾斜与否，总是和轮缘相切，对轮轴的力矩等于拉力乘以半径齿轮啮合力一定和其分度圆不相切，对轮轴的力矩=啮合力×cosa ×半径（啮合力×cosa=圆周方向分力）③侧视图上没有画轴承A 、B 的约束力，因为没有解除两个轴承约束（若画有XA 、ZA 和XB 、ZB 四力） 不能用ΣFx=0，-FT-Ft-Fnsina=0求Fn ，因为在x 方向，实际上还有XA 、XB 两力的投影 二、重心1、物体的重心物体的重量（力）：物体每一微小部分地球引力的合力。
工程力学中的静力平衡问题解决方法探究
工程力学中的静力平衡问题解决方法探究工程力学作为一门基础学科，研究的是物体在受力作用下的平衡与运动规律。
其中，静力平衡问题是工程力学的一个基本概念。
本文将探究工程力学中的静力平衡问题解决方法，帮助读者更好地理解和应用。
一、平衡概念和条件在开始探究解决方法之前，我们首先了解一下平衡的概念和条件。
工程力学中，平衡指的是物体处于静止状态或者匀速直线运动状态，不受任何力的影响。
要使物体达到平衡状态，必须满足以下两个条件：1. 力合为零：物体所受的所有力的合力必须等于零，即ΣF = 0。
2. 力矩合为零：物体所受的所有力的力矩合必须等于零，即ΣM = 0。
只有同时满足力合为零和力矩合为零的条件，物体才能达到静力平衡状态。
二、静力平衡问题解决方法为了解决工程力学中的静力平衡问题，我们可以采用以下几种方法：1. 图解法图解法是解决静力平衡问题最常用的方法之一。
该方法通过绘制物体所受力的受力图，将力的大小和方向用矢量表示，以帮助我们分析和求解平衡状态。
在使用图解法时，我们需要按照力的大小和方向绘制受力图，并通过矢量相加法求出力的合力和力矩。
通过比较合力和力矩是否为零，判断物体是否处于静力平衡状态。
2. 分解法分解法是另一种解决静力平衡问题的常用方法。
该方法可以将力分解成两个或多个分力，使得每个分力的合力和合力矩等于原来的力和力矩。
通过分解法，我们可以将复杂的平衡问题简化为几个较为简单的子问题。
将物体所受力进行逐一分解，并分别求解每个分力的合力和合力矩，最终判断物体是否处于静力平衡状态。
3. 代数法除了图解法和分解法外，代数法也是解决静力平衡问题的一种有效方法。
该方法通过建立方程组，将平衡条件转化为求解方程的问题，进而求得物体所受力和力矩的解。
在使用代数法时，我们需要根据平衡条件建立方程组，并通过求解方程组得到未知力和力矩的数值。
通过比较计算结果是否满足平衡条件，判断物体是否处于静力平衡状态。
三、实际应用举例工程力学中的静力平衡问题经常应用于实际工程中。
工程力学03-工程构件的静力学平衡问题
相应的结构——超静定结构
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
3.2 简单的刚体系统问题
3.2.1 刚体系统静定与超静定的概念
MO O1
B F
A
A
B
C
D
O2
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 当力系的主矢和对任一点的主矩同时为零时， 力系既不能使物体发生移动，也不能使物体发生转 动——物体处于平衡状态 1）力系的平衡条件 力系平衡的充分与必要条件是： 力系的主矢和对任一点的主矩同时等于零。 即：
FR = SFi = 0
该式使用条件：A、B、C三点不能在同一条直线上
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
应用举例 例3-5 图示结构，A、C、D三处均为铰链约束。横 梁AB的B端受一集中力F。尺寸如图，若F、l为 已知，求：撑杆CD的受力和A处的约束力 l l 2 F 2 解： 取AB研究对象,画受力图 A B C 建立坐标系，列平衡方程(三矩式） 45° SMA (F) = 0 l - F×l + FRC× 2 sin45°= 0 D l y l 2 F SMC (F) = 0 2 FAy A l l Bx – F× 2 –FAy× 2 = 0 FAx C 45° FRC SMD (F) = 0 l –F×l –FAx× 2 = 0 D # 解得：FAx= – 2F FAy= –F FRC= – 2 2 F
第三章 静力平衡问题(7学时)
W
A
P
C
B
本题作用于小车的是 平行于Y轴的平行力系， 系统 三个物体8个平衡方程； 约束 固定端3；中间铰2；活动铰、车轮接触 处各1共8个反力， 是静定问题。
2）静不定问题或超静定问题
完全约束的物体或系统，若约束力数>独立平衡方程 数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称静不定问题。
约束反力数 m 系统中物体数 n <3n 未完全约束 m =3n 静定问题 >3n 静不定问题 静不定的次数为： k=m-3n
解物系问题的一般方法：
由整体 局部（常用），由局部 整体（用较少）
[例3.1] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？ 解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
X 0
由①得
T2cos T10 ①
②
Y 0T2 sin Q N D 0
1 cos T P 1 T2 2P 2
3n=3; m=4 一次静不定 3n=3; m=6 三次静不定 3n=3; m=4 一次静不定
讨论：试判断下列问题的静定性。
A
A
B
Ｃ
M
F2 F1 60
C D
A
B
B
C D
F
约束力数 m=8 物体数 n=3 m<3n 未完全约束
m=6 n=2 m=3n 静定结构
n=3 m=1+2+2+4=9 m=3n 静定结构
F0
直径 D
O
A B
工件
e
d D D
3. 破碎机轧辊D=500mm，匀速转动 破碎球形物料。f=0.3, 求能破碎的最大 物料直径d。（物重不计）
512
3.1-静力的平衡
第三章 静力平衡问题
2019年9月2日
平衡与平衡条件
平衡的必要条件
力系的平衡是刚体和刚体系统平衡的必 要条件。
力系平衡的条件是，力系的主矢和力系 对任一点的主矩都等于零。因此，如果刚体 或刚体系统保持平衡，则作用在刚体或刚体 系统的力系主矢和和力系对任一点的主矩都 等于零。
第3章 力系的平衡
M
E F
FDy
FEy
FDy FEy 0
FDy
M a
FDy
M a
返回AB件：
Y 0
FDy FAy FBy 0
M FAy 2a
FBy
M 2a
yA
a
E
M
Da
F
x
A
FAy
FAx
B
z
FBx
aa
FBy
C FC
FDy
D
FDx
FBx
MA(F) 0
6m q
M A FCx 3 FCy 3 P 1 q 6 3 0
A
M A 23 KNm
X 0 FAx FCx P sin 450 q 6 0
Y 0
FAx 5 KN FAy FCy P cos450 0
FCy
FCx
P
FE
FCx ( 2 1) 2.414KN
对于AB件 F=1KN, r=a=1m，P=2KN, q=1KN/m
5）列平衡方程解未知量
FCx FCx ( 2 1) 2.414KN
B
FCy FCy (2 2) 3.414 KN
理论力学-第3章 静力学平衡问题
平衡方程的应用
例题2
平面刚架的所有外力的作用线都 位于刚架平面内。A处为固定端约束。 若图中q、FP、M、l等均为已知，试 求: A处的约束力。
平衡方程的一般形式
对于作用在刚体或刚体系统上的任意力系，平衡条件的 投影形式为
z F2
FRx Fix 0
M2
FRy Fiy 0
F1
FRz Fiz 0
M1
x
y O
Mn
Fn
MOx MOx Fi 0 MOy MOy Fi 0 MOz MOz Fi 0
任意力系的平衡方程
Mx F 0 My F 0 Mz F 0
任意力系的平衡方程
平衡方程的一般形式
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx F 0 My F 0 Mz F 0
上述方程表明，平衡力系中的所有力在直角坐标系各轴 上投影的代数和都等于零；同时，平衡力系中的所有力对各 轴之矩的代数和也分别等于零。
平面力系平衡方程的其他形式
zO
Fx = 0,
y
Fy = 0,
MO= 0
上述平面力系的3个平衡方程中的
Fx = 0 Fy = 0
可以一个或两个都用力矩式平衡方程代替，但 所选的投影轴与取矩点之间应满足一定的条件。
任意力系的平衡方程
平面力系平衡方程的其他形式
平面一般力系平衡方程的其他形式：
q(x)
q(x)
FP2
FP5
M(x)
M1
x
FQ(x) dx dx
FP1
FP3
M2
FP4
FP6
平衡与平衡条件
平衡的概念
局部 对于变形体：组成物体的任意一部分。
平衡与平衡条件 平衡的必要条件
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平面一般力系平衡方程还可表达为下列二种形式：
M
Fx A(F )
0
0
M B (F ) 0
M M
A B
(F (F
) )
0 0
MC (F ) 0
二力矩式
三力矩式
（AB不垂直于x轴) (A、B、C三点不共线)
注意：平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可 写出无数个平衡方程。但只要满足了其中一组，其 余方程均应自动满足，故独立平衡方程只有三个。
矩心取在二未知力交点A 解处：，1力）矩画方整程体中受只力有图一。个未 知量F注C，意可B直C为接二求力解杆。。 2）取坐标，列平衡方程。
Fx=FAx-FCcos30=0
Fy=FAy+FCsin30-F-Fq=0
MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0
FC
y
C
Fq=2q=1 kN
FAy
x
FAx 30
26
讨论：判断下述分析的正误。
FACy FAy
FACx
2a
M
3a
P
F
aA
MA
FAyFAx
FAx
B
B FABy
FABx
C
CP
A
FAx FAy
P
A
FFABAyy
A
FFAABxxFFAACyy
FACxx
FAx =F ; FAy =P ;
MA = M ？
MA = M+Fa-2Pa
固定铰的约束力作用于销钉上。 多杆用同一销钉连接，讨论某杆时， 须考虑各杆与销钉间作用的不同。
5
平面力系的平衡条件
平面一般力系处于平衡，充分和必要条件为力系
的主矢F R和主矩MO都等于零。
故平面一般力系的平衡方程为：（基本形式）
Fx 0 Fy 0
M O (F ) 0
（x轴不平行于y轴）
第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必过O点；
1、2式指出：若有合力。必垂直于x轴且垂直于y轴。
D
问题2: 三铰拱受力偶M作用，
不计拱的重量，求A、 B处的约束力。
问题3：试求图示双跨梁A端
的约束力。
b
c
Ｃ
M
a
A
B
q
F
C
A
B
45
2a a a
18
问题1. 不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时
F1、 F2之关系。
ME(F)=F2·AE-F1sin60·BE=0
注意： BE=AB；AE= 2AB 可解得：
但B、C处约束力未知量也减少了2个。
30 B
F
23
未被完全约束住的物体及系统 约束力未知量
数少于独立的平衡方程数，有运动的可能。
如例3 系统三个物体9个方程，
反力只有8个。 小车可能发生水平运动。
W
A
C
P
B
本题作用于小车的是 平行于y轴的平行力系，
系统 三个物体8个平衡方程； 约束 固定端3；中间铰2；活动铰、车轮接触
27
问题讨论：试求图示A、B、C处的约束力。
l
lF
A lC
B 第一种情形
FAy
l
lF
FAx A d
B
D
FB
C
MA ( F )l= 0 l
FB A d - F 2Bl = 0
l
M=FFBl=22F
MB ( FC) = 第0 二种情形
FAy l +Fl = 0
Fx = 0
FAy=-F
FAx+FBcos = 0
处各1共8个反力， 是静定问题。
24
2）静不定问题或超静定问题
完全约束的物体或系统，若约束力数>独立
平衡方程数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，
称静不定问题。
约束反力数 m 系统中物体数 n
<3n 未完全约束 m =3n 静定问题
>3n 静不定问题
静不定的次数为：
k=m-3n
3n=3; m=4 一次静不定
解：逐一讨论A、B，可解。
F
y
研究整体，受力如图。 需要求的是FC。 列平衡方程：
A
FA
Ox
B FC
C
Fy=FB-F=0 FB=F
FB
MA(F)=FB·ABcos-FC·ABsin=0 FC=Fcot。 越小，夹紧力越大。
讨论：F若将矩心FBA取在FA、FB二未知力交点O， FA 则由A 力矩方程直接可得:
F2=......F1
E
A 45
B
60
F2 F1
C
D
FC
FD
19
问题2: 三铰拱受力偶M作用，不计拱的重量，
求A、B处的约束力。
解: BC为二力杆;
外力只有力偶M, 以AC为轴
写投影方程可知， A处反力为
FAy=0 , 整体受力如图所示。
A
b
c
Ｃ
M a
B
FA FB
又由 MA (F)0
有 - M + FB ×d 0 可解得 FB
MA FAxW
A
1m C
P
B
=MA+12FBy-4W-8P=0
4m 1m 8m
---(3)
由(1)知，FAx=0。 剩余两个方程中含3个未知约束反力，不足以求解。
14
2)小车为研究对象，列平衡方程：
4m
MD(F)=2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN
W
P
D
E
Fy=FD+FE-W-P=0 FD=10kN
例 求图中分布力系的合力。
解： FR1=2q1=1 kN; FR2=3q2/2=6 kN;
合力的大小： FR=FR2-FR1=5 kN
方向同FR2 ，如图。
FR1
q1=0.F5 KR N/m
A
x
q2=4 KN/m
2m
3m
FR2
合力作用位置(合力矩定理): FR•x=3×FR2-1×FR1 ; x=(18-1)/5=3.4m
B
A
q=0.5kN/m
Fq
1.5m
F=2kN
L=2m
3）解方程得到; FC=4kN; FAy=1kN; FAx=2kN
验算，再写一个不独立平衡方程，看是否满足。如
MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0 结果正确。 12
例3.2 夹紧装置如图。设各处均为光滑接触， 求F力作用下工件所受到的夹紧力。
b FC cFC Ｃ
MM Ｃ
d
a
A A FAy=0
B
B
FAxFA
FB
FB
20
问题2再论: 不计拱重，分析三铰拱的约束力。
Ｃ
MＣ
A
B
d
A
B
FA
FB
F
A FA
Ｃ
B
FB
Ｃ
A
F
B
FA
FB
三力平衡，若有二力汇交，则第三力必过其交点。
三力平衡，若有二力平行，则第三力与其平行。
21
问题3：试求图示双跨梁A端的约束反力。
解： 1）研究整体： 一般力系，3个方程，
4个未知量。不足以求解
FAy q
MA A FAx B 2a a
F
C
45
a FC
2）研究BC，受力如图。 求出FC即可。
MB(F)=2aFCcos45-Fa-qa2/2=0
先分离研究ห้องสมุดไป่ตู้象，再处理其上 的分布载荷。
qF
FBx
C
B
FBy FC
22
二、 静不定问题的概念
FD
1m 1m
FE
3)取BC梁为研究对象，有：
MC(F)=8FBy-FE=0
FCy
F E
FBy
FCx=0
FBy=FE/8=6.25kN
C 1m
B
8m
将FBy代入(2)、(3)式，求得： FAy=P+W-FBy=53.75 kN
有时需要综合研 究整体及部分的
MA=4W+8P-12FBy=205 kN·m 平衡，联立求解
FAx=-2F
28
l
l
A l
B M=F l
FAy l
FBy
l
FAx A
B
D
C 第二种情形 考察BC杆的平衡:
FBx
分析BC 和ABD杆
第三章 静力平衡问题
3.1 平面力系的平衡问题 3.2 含摩擦的平衡问题 3.3 平面桁架 3.4 空间力系的平衡问题
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回 三个基本概念 ：
顾力
力偶 约束
三种基本能力：
力的投影 力对点之矩 约束反力分析 三类基本定理：
合力投影定理 合力矩定理 力的平移定理 三组平衡方程：（力系简化后的结论）
0.2 2
x
FR3=0.9kN; 作用线距O点3m。
2m
3m
合力 FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。
设合力FR距O点为x，由合力矩定理有： -FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN·m
得到 x=6.4/3.1=2.06m
故合力为3.1kN，作用在距O点2.06m处，向下。 4
满足任一力矩平衡方程，则不可能有合力偶； 满足任一投影平衡方程，若有合力则必垂直于投影轴。 由此，用反证法判断。
9
讨论2： 二力平衡必共线 讨论3： 三力平衡必共点