微积分(下册)总复习

隐函数存在定理 2 设 F ( x, y, z) 在点
P0 ( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内有连续的偏导数，且
F ( x0 , y0 , z0 ) 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程
F(x, y,z) 0
在某一邻域U (P0 )内恒能唯一确定一个具有连续
偏导数的 z f ( x, y)，它满足 z0 f ( x0 , y0 ),
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
(2) 方程组情形
隐函数的个数=方程的个数
隐函数的自变量个数=总自变量个数
方程的个数
* 5. 多元函数微分学的几何应用
(1) 空间曲线的切线与法平面(三种情形)
(2) 空间曲面的切平面与法线(三种情形)
* 6. 方向导数与梯度
方向导数 f lim f (P) f (P0 ) .
第八章 重积分
1. 理解二重积分、三重积分的概念, 了解 重积分的性质.
2. 掌握二重积分的计算法(直角坐标、极 坐标)，了解三重积分的计算法（直角坐标、 柱面坐标、球面坐标).
3. 会用重积分求一些几何量与物理量.
二重积分
1. 定义 平面上有界闭区域D上二元有界函数
z = f (x, y)的二重积分 n
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
d
r2 ( ) dr z2 (, ) f (r cos , r sin , z)rdz
r1 ( )
z1 ( , )
注 通常是先积z、再积 r、后积 .
(３) 球面坐标
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
其中函数 ( )在区间[ , ]上连续.
( )
f ( x, y)d d 0 f (r cos ,r sin )rdr;
D
r ( )
D
O
A
D {( xΒιβλιοθήκη Baidu y)0 2π,0 r ( )} 其中函数 ( )在区间[ , ]上连续.
f ( x, y)d
D
2π
( )
0 d 0 f (r cos ,r sin )rdr
其中函数 1( )、2( )在区间[ , ]上连续. r 2( )
f ( x, y)d
D
r 1( )
D
f (r cos ,r sin )r drd θ
D
d
2( )
f
O
(r cos ,r sin )rdr;
1( )
A
rdrd 极坐标系中的面积元素
D {( x, y) ,0 r ( )}
l P0
PP0
P0 P与l同向
PP0
梯度
gradf P0
fx ',
fy'
.
P0
f
l
(gradf ) .
l P0
P0 | l |
fx '(P0 ) cos f y '(P0 ) cos
方向导数与梯度的关系
函数沿梯度方向的方向导数最大(即增长最 快)，且方向导数的最大值为梯度的模。
*7. 多元函数的极值与最值
r ( )
D
θ
o
A
极坐标系下区域的面积 rdrd .
D
三重积分
1、三重积分的定义
n
f
( x,
y, z)dv
lim
0
f (i ,i , i )vi .
i 1
2、三重积分的几何意义
当 f ( x, y, z) 1时,
dv V 表示空间区域的体积．
3、三重积分的性质
类似于二重积分的性质．
其中 I是各D 小f (闭x,区y)域d的直li径m0中i1的f最(大i ,值i ). i
2. 几何意义 当连续函数 z f ( x, y) 0时,
二重积分I表示以D为底, z =f (x, y)为曲顶, 侧面是
以D的边界为准线, 母线平行于z轴的柱面的曲顶
柱体的体积. 一般情形,
f ( x, y)d xOy平面上方的曲顶柱体体积
则复合函数 z f [( x, y), ( x, y)]
zx zu ux zv vx z
u
x
zy zu uy zv vy
v
y
4、隐函数的求导法
(1) 一个方程情形(二元方程、三元方程) 隐函数存在定理1 设 F ( x, y) 在点 P( x0 , y0 )
的某一邻域内满足: (1) 具有连续偏导数;
D
柱体体积. 又可看成是D的面积.
性质4(比较性质) 设f ( x, y) g( x, y), ( x, y) D, (保序性)
则
f ( x, y)d g( x, y)d
D
D
特殊地 f ( x, y)d f ( x, y) d
D
D
性质5(估值性质) 设m f ( x, y) M ,
(2)F ( x0 , y0 ) 0; (3)Fy ( x0 , y0 ) 0,
则方程 F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
y y( x),它满足条件 y0 y( x0 ), 并有 dy Fx ( x, y) dx Fy ( x, y)
(1) 极值的必要条件 f x ( x0 , y0 ) 0, 极值的充分条件
f y ( x0 , y0 ) 0.
(2) 求条件极值的方法 代入法，Lagrange乘数法
L( x, y) f ( x, y) ( x, y)
(3) 求最值的方法
1. 求D内所有的驻点和不可导点； 2. 用求条件极值的方法(Lagrange乘数法或 代入法)求D的边界上的条件极值点； 3. 求D的边界的边界点； 4. 计算上面三步求出的所有点的函数值，最 大者即为D上的最大值，最小者即为最小值。
5、对称区域上奇偶函数的积分性质 (1)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若D关于
x轴对称, f (x, y)对y为奇函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则
f ( x, y)dxdy 0,
D
f (x, y)对y为偶函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
D
d
dy
2( y)
f ( x, y)dx
c
1( y)
y
d D
x 1( y)
c
x 2( y)
先对x 后对y的二次积分. O
x
交换积分次序的步骤
(1) 利用已给的二次积分的积分限得出 相应的二重积分的积分区域,并画出草图;
(2) 按相反顺序写出相应的二次积分.
(2) 极坐标系
D {( x, y) ,1( ) r 2( )}
(1) 判定f x ( x0 , y0 )、f y ( x0 , y0 )是否存在，
若不存在，则不可微， 否则转下一步；
(2) 判定lim z f x ( x0, y0 )x f y ( x0, y0 )y 是否为0，
0
若为0，则可微，否则不可微。
3、复合函数求导法
z f (u,v), u ( x, y)及v ( x, y)
)( x0
,
y0
)
f
( x,
y)不存在．
2、偏导数与全微分 z f ( x, y)
z
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x ( x0, y0 ) x0
x
lim f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x x0
x x0
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0)
三重积分
若域 关于 yOz坐标面对称, 则 f ( x, y, z)dv
0
2 f ( x, y, z)dv
Ω1
f为 x的奇函数
f为 x的偶函数
其中1为在yOz 坐标面的前半部区域.
三重积分
若域 关于 zOx坐标面对称, 则 f ( x, y, z)dv
0
2 f ( x, y, z)dv
f ( x, y)d
D
b
dx
2( x) f ( x, y)dy
a
1( x )
先对y 后对x的二次积分
y
y 2(x)
D
y 1(x)
Oa
bx
D {( x, y) c y d ,1( y) x 2( y)},
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
f ( x, y)d
σ为D的面积, 则
m f ( x, y)d M
D
性质6(二重积分中值定理) 设f (x, y)在闭区
域D上连续,σ为D的面积, 则在D上至少存在一点 ( ,), 使得
f ( x, y)d f ( , )
D
几何意义 设f ( x, y) 0,( x, y) D, 则曲顶柱
体体积等于以D为底以f ( , )为高的平顶柱体体积.
总复习
第七章 多元函数微分学
1、多元函数的定义、极限及连续性
确定极限不存在 的方法 (1)找两种不同趋近方式,使 lim f ( x, y)存在,
x x0 y y0
但两者不相等,此时即可断言极限不存在。
（2）找一条特殊的路径，使 P( x, y)沿此路径趋向
于 P0 ( x0 ,
y0
)
时
(
x
,
y
lim
三重积分对称性质
f ( x, y,z) f ( x, y, z) ( f ( x, y,z) f ( x, y, z)) 则称f关于变量z的奇(偶)函数.
若域 关于xOy坐标面对称,则 f ( x, y, z)dv
0
2 Ω1
f
( x,
y, z)dv
f为z的奇函数 f为z的偶函数
其 中 1为在xOy 坐标面的上半部区域.
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
注 通常是先积r、再积、后积 .
5、二重积分的应用
(1) 体积 在曲面 z f ( x, y) 与区域 D 之间直柱体
的体积为
V f ( x, y)dxdy. D
D
f (x, y)对x为偶函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy,
D
D1
其中 D1 D { x 0};
6、二重积分计算
(1) 直角坐标系
D {( x, y) a x b,1( x) y 2( x)}, 其中函数1( x)、2( x)在区间[a, b]上连续.
D
减xOy平面下方的曲顶柱体体积.
3. 物理意义
若平面薄片占有平面内有界闭区域D, 它的面
密度为连续函数( x, y), 则它的质量M为:
M ( x, y)d .
D
4、二重积分的性质
(重积分与定积分有类似的性质)
性质1(线性运算性质) 设、 为常数, 则
[f ( x, y) g( x, y)]d
z Ax By o( ) ( 0),
dz
(x)2 (y)2
dz P0
z
z
x y
x P0
y P0
f x ( x0 , y0 )dx
f y ( x0 , y0 )dy
z f ( x, y)在点P0 ( x0 , y0 )处
连续
偏导存在
可微 偏导数连续
判定z f ( x, y)在( x0, y0 )处可微的步骤：
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy,
D
D1
其中 D1 D { y 0};
(2)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若D关于 y轴对称, f (x, y)对x为奇函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则
f ( x, y)dxdy 0,
Ω1
f为 y的奇函数 f为 y的偶函数
其中1为在zOx 坐标面的右半部区域.
4、三重积分的计算
(１) 直角坐标
: z1( x, y) z z2( x, y); y1( x) y y2( x); a x b.
f ( x, y, z)dv
b
dx
dy y2 ( x )
z2( x,y) f ( x, y, z)dz.
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
{(x, y, z)( x, y)Dz , c1 z c2}.
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy.
c1 Dz
(２) 柱面坐标
x r cos ,
y
r
sin
,
z z.
dv rdrddz,
f ( x, y, z)dv
D
f ( x, y)d g( x, y)d
D
D
性质2 将区域D分为两个子域 D1, D2 ,
( D D1 D2 )
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d
D
D1
D2
对积分区域的可加性质.
性质3(几何应用) 若 为D的面积
1 d d
D
D
注 d 既可看成是以D为底, 以1为高的