小学奥数之重叠问题

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(小学奥数)容斥原理之重叠问题(二)

1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)．二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-2.容斥原理之重疊問題（二）1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．模組一、三量重疊問題【例 1】一棟居民樓裏的住戶每戶都訂了2份不同的報紙。

小学奥数容斥原理之重叠问题(二) 精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次；图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．模块一、三量重叠问题【例 1】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。

二年级奥数重叠问题

图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了39－36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。
1
2
例
160厘米
90厘米
？厘米
90+90-160=20（厘米）答：中间钉在一起的部分长20厘米。
把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长8米，中间重叠部分是2米，这两块木板各长多少米？
【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是2米，所以这两块木板的总长度是8+2＝10米，每块木板的长度是10÷2=5米。
重
叠
问
题
两块木板各长80厘米，如下图，钉在一起。中间钉在一起的地方是15厘米。这两块钉起来的木板长多少厘米？
例
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
15厘米
80厘米
80厘米
80+80-15=145（厘米）答：这两块钉起来的木板长145厘米。
两块各长90厘米的木板钉成一块长160厘米的木板，中间钉在一起的部分长多少厘米？
39+42=81（人） 81-50=31（人）答：有31人语文、数学都得了100分。
50个同学参加期末考试，每个同学至少有一门是100分。语文得100分的39人，数学得100分的是42人，请问有多少人语文、数学都得了100分？
例
一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？【思路导航】根据题意，画出下图：

三年级奥数4种重叠问题

三年级奥数4种重叠问题三年级奥数4种重叠问题随着奥数热潮的兴起，越来越多的家长将孩子送进了奥数班。

而在奥数学习中，涉及到的重叠问题一直是让小学生头疼的难点之一。

下面，我们来分别介绍四种常见的重叠问题及其解法。

问题1：中国古代的皇帝有哪些名字？这是一道典型的排列组合重叠问题，因为存在不同的朝代和不同的皇帝名称，所以我们可以分类讨论。

假设有n个皇帝姓名，m个朝代，则总共可能的情况数为m的n次方。

例如，如果有2个朝代、3个不同的皇帝姓名，则总共可能的组合数为2的3次方，即8种。

问题2：小明手里有红、黄、蓝三个颜色的球各若干个，从中取出2个球，可能出现几种不同的颜色组合？这是一道组合问题，可以通过简单的计算得出答案。

假设红、黄、蓝三种颜色球的数量分别为a、b、c，则不同颜色组合的数量为ab+ac+bc。

问题3：在10个人中随机选取4个人，其中小明和小红不能同时被选中，有多少种可能？这是一道容斥原理的问题。

首先得出在10个人中任意选取4个人的可能组合数，即C(10,4)，然后减去小明和小红都不在其中的可能组合数，即C(8,4)，最后再加上小明和小红都在其中的组合数，即C(8,2)。

计算公式为C(10,4) - C(8,4) + C(8,2)。

问题4：现有红、黄、蓝、白四个颜色的球各m个，从中选取n个球，求使得四种颜色的球都被选中的组合数。

这是一道比较复杂的组合问题，需要采用容斥原理。

首先计算四个颜色都被选中的组合数，即C(m,1)^4，然后减去三个颜色被选中的组合数，即C(4,1)×C(m,1)^3。

但是这样计算仍然会有重复的情况，例如每个颜色都选中了两个球的情况，需要再次修正。

最终的计算公式为C(m,1)^4 - C(4,1)×C(m,1)^3 + C(4,2)×C(m,1)^2 - C(4,3)×C(m,1)。

综上所述，重叠问题在奥数中是十分常见的，但只要我们掌握了相应的解法，便能够轻松解决这些难点问题。

奥数重叠问题ppt课件

题一
例：如图所示：把12张图片用图钉钉在橱窗里一共用多少颗图钉
1张纸用几个？
4
4+2=6
2张纸用几个？
6
4张纸用几个？
10
6
4+2+2+2=10
4+2+2=8
3张纸用几个？
8
我们看到每增加1张纸图钉要增加 2 个
为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
题一：方法一
例：如图所示：把12张图片用图钉钉在橱窗里一共用多少颗图钉
11
题目中的几个量：一、重叠数量 11
二、重叠部分的量 2
三、未重叠部分的量 4
解：重叠数量×重叠部分的量+未重叠部分的量 11×2+4=26
为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
题二
思路一
例：有4块各长80厘米的木板，钉成一块长木板，中间钉在一起重叠部分是10厘米。钉成的长木板的长度长多少厘米
80
70
70
70
题目中的几个量：一、重叠个数 3
二、未重叠部分的量 70
三、单个物品的量
80
解：重叠数量×重叠部分的量+单个物品的量 3 ×70+80=290
为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
方法二
例：如图所示：把12张图片用图钉钉在橱窗里一共用多少颗图钉

小学奥数：容斥原理之重叠问题(一).专项练习

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：教学目标知识要点7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．两量重叠问题【例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。

六年级奥数-重叠问题

第十二讲重叠问题姓名容斥原理就是：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

公式法：运用容斥原理一：C＝A＋B－AB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题（C表示两个集合的并集，A、B表示两个集合，AB表示两个集合的交集）。

运用容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，这一公式可计算出三个集合的有关问题。

（D表示三个集合的并集，A、B、C表示三个不同的集合，AB、AC、BC表示两个不同集合的交集，ABC表示三个集合的交集）图象法：根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题。

例1：某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？例2：某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛。

那么（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）参加竞赛的一共有多少人？（3）没有参加竞赛的一共有多少人？例3：某校有三个兴趣小组，体育、书法和美术。

已知参加这三个兴趣小组的学生人数分别是25人、24人和30人。

同时参加体育、书法兴趣小组的有5人，同时参加体育、美术兴趣小组的有2人，同时参加书法、美术兴趣小组的有4人，有1人同时参加了这三个兴趣小组，问：共有多少人参加兴趣小组？例4：某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。

而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人，喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。

问有多少同学只喜欢语文？例5：分母是1001的最简真分数有多少个？它们的和是多少？例6：某商店调查该商店出售的A、B两种商品销售情况，在被调查的家庭对象中，有1/3不用A商品，有4/7不用B商品，另外有22家既用A商品也用B商品，有1/6的家庭则两种产品都没有用，问该商店共调查了多少户家庭？例7：某班学生中78%喜欢游泳，80%喜欢玩游戏机，84%喜欢下棋，88%喜欢看小说。

五年级奥数题及答案：重叠问题

15．如果买 3 盒水彩笔和 5 个书包，需要 259 元，如果买 2 盒水彩笔和 3 个书包，需要 161 元， 2 个书包和 2 盒水彩笔共要多少元？
16．一个两位数，十位数字与个位数字之和是这个两数是多少？
10，数字之差是 4，且个位数字小于十位数字，
17．一群公猴、母猴、小猴共 38 只，每天摘桃 266 个．已知 1 只公猴每天摘桃 10 个， 1 只母猴每天摘桃 8 个， 1 只小猴每天摘桃 5 个．又知公猴比母猴少 4 只，那么这群猴子中，小猴有多少只？
4．一个水池，单开进水管， 6 分钟可将空水池注满，单开出水管若同时打开进、出水管，多少分钟可将水池注满？
8 分钟可将满池水放完，
5．甲、乙两人修路队共有 76 人，甲队增加本队人数的两队共增加了 384 人，求甲、乙两队原有各有多少人？
4 倍，乙队增加本队人数的
6 倍后，
6．一个食堂买来面粉是大米的 2 倍，每天吃 30 千克大米， 40 千克面粉，几天后大米全部吃完，面粉还剩余 160 千克，这个食堂买来大米和面粉各多少千克？
6．一个食堂买来面粉是大米的 2 倍，每天吃 30 千克大米， 40 千克面粉，几天后大米全部吃完，面粉还剩余 160 千克，这个食堂买来大米和面粉各多少千克？
考点：列方程解含有两个未知数的应用题。分析：由题意得出：大米吃的总天数和减去 160 千克之后的面粉吃的天数相等，即等量关系
式：（面粉的重量﹣ 160）÷40=大米的重量 ÷30，设出买来大米 x 千克，则买来面粉 2x 千克，据此列出方程并解方程即可．解答：解：设买来大米 x 千克，则面粉为 2x 千克，（ 2x﹣ 160） ÷40=x ÷30，
考差倍问题。点：分从 “如果从甲筐中拿出 18 个放进乙筐，两筐的苹果就同样多 ”，可知甲筐比乙筐多析： 18×2=36 个，先设乙筐有 x 个，则甲筐有 x+36 个，再根据如果从乙筐拿出 13 个放进甲

三年级奥数重叠问题教案

第三次课重叠问题一．历史回顾1脑筋急转弯：两个妈妈和两个女儿一起去动物园游玩,可她们只买了3张票,便顺利地进园了,这是为什么2某校三1班一起去上海世博园旅游,以下是团体预约名单：去中国馆林洁王江杨明丁一刘方去台湾馆叶子于丽林西林洁何冰杨明数一数,一共有几位学生参加二．新手上路解答重叠问题时要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理,即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复的计数,应从它们的和中排除重复部分;另外,必须从条件入手认真分析,有时可以根据条件画一画图来帮助我们思考,找出哪些是重复的,重复了几次明确求的是哪一部分,从而找出解题的方法;例1：小朋友排队做操,小明从前数起排在第4个,从后数起排在第7个;这队小朋友共有多少人○○○●○○○○○○如图得出以下算式：4＋7－1 = 10人例2：同学们排队跳舞,每行、每列人数同样多;小红的位置无论从前数从后数,从左数还是从右数起都是第4个;跳舞的共有多少人每排列有：人共有：7×7 =49人例3：把两段一样长的纸条粘合在一起,形成一段更长的纸条;这段更长的纸条长30厘米,中间重叠部分是6厘米,原来两段纸条各长多少厘米30＋6÷2 = 18厘米答：原来两段纸条各长18厘米;例4：三1班有学生55人,每人至少参加跳绳和踢毽子比赛的一种,已知参加跳绳的有36人,参加踢毽子的有38人;两项都参加的有几人三．小头目通关1.学校组织看文艺演出,冬冬的座位从左数起是第12个,从右数起是第21个;这一行座位有多少个2.为庆祝六一,小朋友们排成方形的鲜花队,无论从前、从后数,还是从左、从右数,李丽都在第5个,鲜花队一共有多少个小朋友3.把两块一样长的木板钉在一起,钉成一块长35厘米的木板;中间重合部分长11厘米,这两块木板各长多少厘米4.三4班做完语文作业的有37人,做完数学作业的有42人,两种作业都完成的有31人,每人至少完成一种作业;三4班共有学生多少人5. 两根木棍放在一起如图,从头到尾共长66厘米,其中一根木棍长48厘米,中间重叠部分长12厘米;另一根木棍长多少厘米6.两块木板各长75厘米,像下图这样钉成一块长130厘米的木板,中间重合部分是多少厘米7.两块木板各长50厘米,连接成一块长90厘米的木块;中间重叠部分是多少厘米终极大BOSS8.把两块一样长的木板钉在一起,钉成了一块长50厘米新木板,中间重叠部分是10厘米,每块木板原来长多少厘米9. 三5班有42名同学,会下象棋的有21名同学,会下围棋的有17名两种棋都不会的有10名;两种棋都会下的有多少名10.三6班有学生55人,参加学校绘画比赛的有20人,既参加绘画比赛又参加书法比赛的有12人,两项比赛没参加的有14人;参加书法比赛的有多少人11. 三4班有学生56人,做对第一道思考题的有29人,两道思考题都做对的有7人;做对第二道思考题的有多少人。

(完整版)小学奥数重叠问题1

知识要点：前面已学过排队问题，从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。

[ 例1 ] 洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用3个夹子。

三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此8块手帕就要用9个夹子。

[ 例2 ] 把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。

可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。

[ 例3 ] 有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在长木板有多长？分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。

现在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。

算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长45厘米。

[ 例4 ] 张老师出了两道题，做对第一题的有13人，做对第二题的有22人，两道题都做对的有8人，这个班一共有多少人？22人8人分析：做对第一题的13个人里，有8个人也做对第二题，那么做对第二题的22个人里这8个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8个人。

算式：13+22-8=27（人）所以这个班一共有27人。

[ 例5 ] 四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。

一个结用去1+1=2厘米，那么三个结用去2+2+2=6厘米，绳子总长8+8+8+8=32厘米，减去打结的6厘米，32-6=26，现在这根长绳是26厘米。

小学奥数专题-重叠问题(精华版)

小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。

重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。

学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。

下面小编给大家分享解决重叠的方法。

1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。

明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。

3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的部代表集合和集合之间的关系。

这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。

4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。

这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。

5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。

..容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。

..一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

三年级奥数4种重叠问题

三年级奥数4种重叠问题
以下是三年级奥数中的 4 种重叠问题:
1. 鸡兔同笼问题：假设有若干只鸡和若干只兔子，它们共有若干只脚。

如果假设其中的一些鸡变成了兔子，那么脚的总数会增加;如果假设其中的一些兔子变成了鸡，那么脚的总数会减少。

问有多少只鸡和兔子？
2. 重叠盒子问题：有若干个盒子，每个盒子都可以容纳若干只小动物。

现在要根据每个盒子的容量，将小动物平均分到每个盒子中。

问有多少个盒子和小动物？
3. 重叠蛋糕问题：有若干个蛋糕，每个蛋糕都可以切成若干份。

现在要根据每个蛋糕的切块数，将蛋糕平均分到每个小朋友手中。

问有多少个蛋糕和小朋友？
4. 重叠排队问题：有若干个小朋友，每个小朋友都可以排在若干种位置。

现在要根据每个小朋友的位置，将小朋友排队。

问有多少个小朋友和排队方式？。

小学奥数教程：容斥原理之重叠问题（二）全国通用（含答案）

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标例题精讲知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．模块一、三量重叠问题【例 1】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。

重叠问题(教案)四年级上册奥数人教版

教案：重叠问题年级：四年级上册教材：奥数人教版教学目标：1. 让学生理解重叠问题的概念，能够识别和解决重叠问题。

2. 培养学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力。

3. 培养学生运用重叠问题的方法解决实际问题的能力。

教学重点：1. 理解重叠问题的概念和解决方法。

2. 解决重叠问题的实际应用。

教学难点：1. 重叠问题的解决方法的理解和运用。

2. 解决实际问题中的重叠问题。

教学准备：1. 教学课件或黑板、粉笔。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生观察教室里的物品，如书本、文具等，让学生发现重叠现象。

2. 提问：你们在生活中还见过哪些重叠现象？让学生举例并说明。

二、新课导入（10分钟）1. 引入重叠问题的概念，解释重叠问题是指在图形、物体或数据中存在部分相同或重复的情况。

2. 通过举例，让学生理解重叠问题的含义和特点。

三、解决重叠问题的方法（15分钟）1. 介绍解决重叠问题的方法，如排除法、画图法、列表法等。

2. 通过具体的例子，引导学生运用这些方法解决重叠问题。

四、实际应用（10分钟）1. 提供一些实际问题，让学生运用重叠问题的方法解决。

2. 引导学生观察、分析和解决实际问题，培养学生的应用能力。

五、巩固练习（10分钟）1. 提供一些练习题，让学生独立完成。

2. 引导学生分析和解决练习题，巩固所学知识。

六、总结和拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，让学生明确重叠问题的概念和解决方法。

2. 提供一些拓展问题，让学生思考和探索。

教学反思：本节课通过引入生活中的重叠现象，让学生理解重叠问题的概念和解决方法。

在教学过程中，注重培养学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力。

通过实际问题的解决，让学生将所学知识运用到实际中，培养学生的应用能力。

在巩固练习环节，提供一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

最后，通过总结和拓展，让学生对重叠问题有更深入的理解和思考。

需要重点关注的细节是“解决重叠问题的方法”。

(完整版)二年级奥数重叠问题

知识重点：前方已学过排队问题，以前方数，从后边数，丽丽都排第 6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这种问题叫重叠问题。

[例1 ]洗好的8块手帕夹在绳索上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？剖析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用 3 个夹子。

三块手帕有两边重叠，用 4 个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，所以 8 块手帕就要用 9 个夹子。

[例2 ]把图画每两张重叠在一同钉在墙上，此刻有 5 张画要多少个图钉呢？剖析：每排两张画要 6 个图钉，每排三张画要 8 个图钉，每排四张画要 10 个图钉。

能够看出，图画每增添一张，图钉就要增添 2 颗，那么 5 张画要 12 个图钉。

[例3 ]有两块相同长的木板，钉在一同，假如每块木板长25 厘米，中间钉在一同的长 5 厘米，此刻长木板有多长？剖析：把两块木板钉起来，钉在一同的地方的长度就是重叠的部分。

现在的总长就是本来两个总长的和减去重叠的部分。

算式：25+25-5=45（厘米）所以此刻木板长 45 厘米。

[ 例 4 ] 张老师出了两道题，做对第一题的有 13 人，做对第二题的有 22人，两道题都做对的有 8 人，这个班一共有多少人？剖析：做对第一题的 13 个人里，有 8 个人也做对第二题，那么做对第二题的 22 个人里这 8 个人就又重复数了一次，所以把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8 个人。

算式： 13+22-8=27（人）所以这个班一共有 27 人。

[ 例 5 ] 四根长都是 8 厘米的绳索，把它们打结连在一同，成为一根长绳，打结处每根绳用去 1 厘米，绳结长度不计，此刻这根长绳长多少厘米？剖析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。

一个结用去 1+1=2 厘米，那么三个结用去 2+2+2=6厘米，绳索总长 8+8+8+8=32厘米，减去打结的 6 厘米， 32-6=26，此刻这根长绳是 26 厘米。

小学奥数几何中的重叠问题

小学奥数几何中的重叠问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．7-7-3.几何中的重叠问题教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．【例 1】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【答案】57厘米【例 2】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米【巩固】如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答图32厘米4厘米图3例题精讲【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B+圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．=30，=6，=8，=5，=73，而=.有73=30×3-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(⑧)，乙与丙(⑧)，甲与丙(⑧)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(⑧、⑧、⑧部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】阴6412CBA10A B C ==A B I B C I A C I A B C U U A B C U U A B C +--A B B C A C A B C --+I I I I I A B C I I A B C I I叠部分的面积60310040220（）(平方厘米)．=⨯--÷=【答案】20平方厘米【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答Array【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑧ 先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑧ 再“排除”：5687x---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑧ 再“包含”：56873x---+，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687338xx=．---+=，解得：6【答案】6。

三年级奥数重叠问题

三年级奥数重叠问题重叠问题例1、同学们排队做操，从前数丁丁是第6个，从后数他排在第8个，这一队一共有多少个同学？同类练习：1、同学们排队做操，从前数小王是第8个，从后来数小王是第9个，这一队一共有多少个同学？2、同学们排队，从前数小明是第9个，从后数乐乐是第7个，小明和乐乐中间还有5个人，这一队可能是多少个同学？还可能是多少个同学？例2、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相等的鲜花队，小华的位置是从左边是第2个，从右边是第4个，从前数是第3个，从后面数是第5个，鲜花队有多少人？同类练习：1、三（4）班排成每行人数相同的队伍参加学校运动会，梅梅位置从前数是第6个，从后数是第4个，从左边、从右边数都是第3个，三（4）班共有多少人？2、小朋友排成方阵跳集体舞，笑笑不管从前数，从后数，还是从左数、从右数，都是第5个，这个方阵中一共有多少个小朋友？例3、有两块木板，一块长80cm，另一块长70cm，把它们钉在一起，中间重叠的部分是10cm，这块钉在一起的木板全长多少厘米？同类练习：1、小张把两根长20cm的彩色纸条粘贴成一根长纸条，黏贴部分长3cm，贴好后的长纸条长多少厘米？2、王师傅把两根木条钉成一根长木条，这两根木条，一根长50cm，另一根比第一根短10cm，钉成的木条重叠部分长10cm，钉成的木条全长多少厘米？例4、把两块一样长的木板钉在一起，成一块长木板，这块钉成的木板长14分米，中间重叠部分长2分米，这两块木板分别长多少分米？同类练习：1、把两条一样长的纸条粘贴成一根长16分米的纸条，中间粘贴部分长2分米，这两根纸条的长多少分米？2、把两块木板钉成一条较长的木板，钉成的木板长8分米，中间重叠部分长1分米，已知一块长3分米，另一块长是多少分米？例5、有一块长5分米的木板和一块长7分米的木板钉在一起，得到一块长10分米的木板，中间重叠部分有多长？同类练习：1、把两根长度分别是60cm和40cm的绳子打一个结，结成一根长90cm的绳子，打结部分的长度是多少？2、把3块长度都是5dm的木板钉成一块木板，每个重叠处的长度都是一样，钉成的这块木板总长度为13dm，每个重叠处长度分别是多少分米？例6、自习课商，做完语文作文的有35人，做完数学作业的有28人，全班总人数是50人，每人至少完成一项作业，有多少同学两项作业都做完？同类练习：1、三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少带一种，三年级既带矿泉水，又带水果的小朋友有多少人？2、在一次数学测试中，三（3）班50人中有12人两道思考题都没有做对，有32人做对第一道，有20人做对第二道，有多少人两道题都做对？例7、上美术课，三（6）班同学每人都带一种彩色笔，有18人带水彩笔，有37人带油画棒，还有6人两种笔都带，三（6）班一共有多少人？同类练习：1、同学们去图书室借文艺书和科技书，每人都借了书，有27人借文艺书，有32人借科技书，其中5人两类书都借了，去图书室借书一共有多少人？2、三（5）班的同学参加跳绳和踢毽子比赛，有8人没有参加，有21人参加踢毽子比赛，有24人参加跳绳比赛，还有6人两项都参加，三（5）班一共有多少名同学？例8、朝阳小学有50人参加象棋比赛和围棋比赛，参加象棋比赛的有38人，有12人既参加象棋比赛，又参加围棋比赛，参加围棋比赛的有多少人？同类练习：1、50个同学报名参加文体活动，每人至少参加体育组和文娱组中的一个，其中参加体育组的有29人，既参加体育组又参加文娱组的有8人，参加文娱组有多少人？2、40人参加智力比赛，答对第一题的有28人，答对第二题的有21人，两题都答对的有15人，两题都没答对的有多少人？综合练习1、同学们做早操，从前数小刚是第7个，从后数他是第4个，这一队一共有多少个同学？2、同学们排成方阵跳舞，从前数小玉是第5人，从后面数她是第4人，从左数她是第4个，从右数她是第2个，这个方阵一共有多少人？3、同学们排队跳舞，每行，每列人数同样多，小红的位置无论从前数、从后数、从左数还是右数都是第3个，一共有多少个同学跳舞？4、王师傅把两根长度都是25cm的铁丝焊接在一起，焊接部分长5cm，焊接部分长5cm，焊接好的铁丝共长多少厘米？5、张师傅把两块一样长的木板钉成一块木板，钉好的木板长9分米，中间重叠部分长1分米，这两块木板分别长多少分米？6、把一块长45cm和一块长50cm的木板钉在一起，得到一块长85cm的木板，中间重叠部分是多长？7、三（2）班同学每人至少订一份《英语学习报》或《中国少年报》，其中30人订《英语学习报》，有21人订《中国少年报》，全班40人，有多少人两份报纸都订了？8、三（2）班有学生46人，做对第一道思考题的有29人，两道思考题都做对的有5人，两道题都做错的有5人，做对第二道思考题的有多少人？9、三（2）班有学生46人，做对第一道题思考题的有29人，做对第二道思考题的有17人，两道题都做错的有5人，两道题都做对的有多少人？10、三（5）班43人上美术课，有2人没带画笔，带油画笔的有25人，带水彩笔的有23人，两种笔都带的有多少人？11、五（1）班同学排成5条队做操，每队人数一样多，小华的位置是：从前面数第6个，从后面数第4个。

小学奥数之重叠问题

十三、重叠问题一、知识要点：在生活中，我们常常会碰到有关重叠的问题。

什么是重叠呢？请看下面的图：A,B 两个圆圈重叠放在一起，两个圆圈重叠放在一起，C C 是它们的重叠部分。

基本关系：联合体AB=A+B-C重叠体：重叠体：C=A+B-AB C=A+B-AB对这类题目，我们要从信息入手，可以借助作图来分析，找出解题方法。

二、例题学习：例1：老师出了两道题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一题，两道题都做对的有几人？分析：如图所示：圆A 表示做对第1题的人数，圆B 表示做对第二题的，两个圆的重叠部分表示两道题都做对的人数，的重叠部分表示两道题都做对的人数，3131人与28人的和中包含了两道题都做对的人数，一共是（的人数，一共是（32+28=5932+28=59人），比40人多出（人多出（59-40=1959-40=19人），这就是两道题都做对的人数。

解：解：31+38=5931+38=5931+38=59（人）（人）59-40=19 59-40=19（人）（人）试一试：教工运动会，参加跳绳比赛的有38人，参加踢毽子比赛的有39人，因病请假的有3人，如果全校教工有55人，那么既参加跳绳比赛又参加踢毽子比赛的老师有多少人？例2：校运动会上，四个年级共有118人参加了跑步比赛。

其中一、二年级共有70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加，问：四年级有多少学生参加跑步比赛？分析：在（分析：在（70+65+59=19470+65+59=194人）中，一、二、三年级的参赛人数均重复出现了两次，因此一、二、三年级的参赛人数应是总人数的一半，这样四年级的参赛人数也就可以算出来了。

解：（解：（70+65+5970+65+5970+65+59）÷）÷）÷2=972=972=97（人）（人）118-97=21118-97=21（人）（人）试一试：某校三年级共有三个班级128名学生，一班和二班共有89人，二班和三班共有87人。

小学奥数之重叠问题

(小学奥数)容斥原理之重叠问题(二)

小学奥数 容斥原理之重叠问题(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

二年级奥数重叠问题

三年级奥数4种重叠问题

奥数重叠问题ppt课件

小学奥数：容斥原理之重叠问题(一).专项练习

六年级奥数-重叠问题

五年级奥数题及答案：重叠问题

三年级奥数重叠问题教案

(完整版)小学奥数重叠问题1

小学奥数专题-重叠问题(精华版)

三年级奥数4种重叠问题

小学奥数教程：容斥原理之重叠问题（二）全国通用（含答案）

重叠问题(教案)四年级上册奥数人教版

(完整版)二年级奥数重叠问题

小学奥数几何中的重叠问题

三年级奥数重叠问题

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小学奥数容斥原理之重叠问题(二) 精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)