高等代数试题及答案3

高等代数试题及答案3
中国海洋大学 2009-2010学年第1学期期末考试试卷
数学科学学院《高等代数》课程试题(A卷) 共 2 页第 1 页考试说明:本
课程为闭卷考试～满分为:100 分。

题号一二三四五六七总分得分一(判断题(20分)
1.任何向量组都有极大线性无关组. ( )
2.一向量组线性无关的充要条件是其中任意两个向量线性无关. ( )
n3.设A,B均为级矩阵，则可逆的充要条件是A,B均可逆. ( ) AB
4.任一整系数多项式能分解成两个次数较低的本原多项式的乘积. ( )
5.与所有n级方阵可交换的矩阵是数量矩阵. ( )
6.实对称阵半正定的充要条件是顺序主子式均大于或等于零. ( )
----------------7.有理数域与实数域之间存在无穷多个数域. ( ) ----------------线线8.对换行列式中两行的元素,行列式值不变. ( ) 9. 可逆的上三角
矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵. ( ) 10.正定二次型经过线性替换化为正定二次型. ( ) 二.选择题 (15分)
,,(1,1,2),,(0,3,4),,(0,0,1),,(1,2,3),,(4,0,5)1.向量组,,,,的秩12345--------------------------------订为 ( ) 订
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
2.设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有( ) (A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。

(B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关。

(C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关。

(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。

--------------------------------装装**AA,3. 设5级方阵的伴随矩阵为，且，则( ) AA,2 1(A) 2 (B) (C) 16 (D)32 2
授课教师命题教师或院系负责人签 --------------------------------
命题负责人签字年月日字年月日
优选专业年级应数与信息计算09 学号姓名授课教师座号
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4. 设A,B为n级矩阵，则下列结论成立的是 ( ) (A) AB?O当且仅当A?O且B?O (B) A=E 当且仅当| A |=1 (C)| AB | = | BA | (D) | A+B | = | B|+|A |
5.设A,B,C为n级矩阵，且ABC=E，则必有 ( ) (A) CAB=E (B) BAC=E (C) CBA=E (D) ACB=E
(，)axxx10，，,,123,2(2)20xaxx，，，,a三.(20分)取何值时,齐次线性方
程组有非零解,,123
,33(3)0xxax，，，,123,
并求通解。

32fxxxxk()1247,,，,四(10分)(设多项式的三个根均为正实数，且为一直角三角形的边长，求这三个根及值. k
,,(2,4,2),,(1,1,0),,(2,3,1),,(3,5,2)五(10分)求向量组,,,的秩及其一1234个极大线性无关组，并把其余向量用它们线性表示。

六(15分)设n级方阵，满足=，. ABABAB
(1) 证明，均为可逆矩阵，且. A,EB,EABBA,
130,,,
,,B,210(2)已知,求矩阵. A,,,,002,,
2AB,七(10分) 设为n级正定矩阵，为n级实反对称矩阵。

证明为正定矩阵. AB
中国海洋大学 2009-2010学年第1学期期末考试
数学科学学院《高等代数》试题(A卷)答案一(判断题(20分)
1. ×.
2. ×.
3.?.
4. ×.
5. ?
6. ×.
7. ?.
8. ×.
9. ?. 10. ×. 二. 选择题 (15分)
1. B
2. A
3. C
4. C
5. A
1111111，a0111，a63 三.(20分) ||222(1)Aaa,，,,，0222，aa333，a0333，a
xkk,,，,(1,1,0)(1,0,1)a=0时,通解为. 12
a=-6时,通解为xk,(1,2,3)，为任意常数。

k
222,,,,，,,,四. (10分)解:设的三个正实根为，，. 由假设有 fx()123312 ,,,，，,12,,,,,,，，,47,,,,k由根与系数的关系知,, 123121323123
,,,解得=5, =3, =4. 故fx()的三个正实根为3,4,5, =60. k312
五((10分)解:
121232123101,,,,,,2,,,,,,(',',',')41350111,,,,,,,,,,0111 1234,,,,,,,,,,,,20120111,,,0000,,,,,,
1,,,,,,,,所以秩为2. ，为一个极大无关组. =+, =+. 123241212
(A,E)(B,E),E六((15分) (1) 证明:，所以 ,均为可逆矩阵，
A,EB,E()()BEAEE,,,且,故. ABABBA,，,
1,,10,,2,, (2) ,11,,,,，,,ABEE()10,,3,,002,,,,,,
AABB',',,,七(10分)证明:正定,故.从而 A
22222()''(')()ABABABAB,,,,,,,,AB,,,X0,即为实对称阵. 对,
有
2XABXXAXXBBXXAXXBBXXAXBXBX'()''''''()'0,,,,，,，,. 2所以为正定矩阵. AB,。