第8章 大气运动的稳定性

由前两式可得如下扰动涡度方程：
v' u' 2u （ u )( ) v' ( 2 ) 0 t x x y y
引入扰动流函数:
u' ' y
t
' v' x
x y x
2 则涡度方程可改写为 （ u ) 2 '( u ) ' 0 2
[Q( y, z) exp(kCit )]exp[ ( x Cr t )] ik
于是, 波的振幅A和传播速度Cr可分别表为:
A Q( y, z) exp( i t ) Q( y, z) exp(kCi t )
Cr
r
k
因此，由于振幅因子 exp( i t ) 的出现, 波的振幅将有三种 可能的变化趋势: (1) 当i 0（ Ci 0 ）时，振幅将随时间呈指数增长，称 此为不稳定(增长)波。 (2) 当 i （ Ci 0）时，振幅将随时间呈指数衰减, 此为稳 0 定波的情形。 (3) 当时 i Ci 0 ，振幅将不随时间变化，属于中性稳 定或边际（marginal）稳定的情形。
1

其中：
yD

y D
0
u ' ' d 2 u dy2
C*
考虑稳定性问题，波速C 和振幅函数 都可能是复数：
C Cr iCi
C * Cr iCi
* r ii 其中，C*和*分别为C和的复共轭，它们也满足本征值方程：
r ii
d 2 * （u c * )( 2 k 2 * ) ( u ' ' ) * 0 dy
q' ( x, y, z, t ) Q( y, z) exp[i(kx t )] Q( y, z) exp[ik ( x Ct )]
一般地，频率和波速可以分别表为：
r ii
C Cr iCi
q' ( x, y, z, t ) [Q( y, z) exp( i t )]exp[ (kx r t )] i
考虑y介于D与-D之间、x方向无界的通道区域（右图）， 边界条件可表为： ' v' 0 当 y D x 设扰动涡度方程的任一单波解为
' ( y ) exp[ ( x Ct )] ik
代入方程，可得关于振幅的本征值问题
水平通道模式
d 2 （u c)( 2 k 2 ) ( u ' ' ) 0 dy
u u ( y, z )
d dt 0
u
1 f y
（2）运动是绝热的且满足静力平衡，即
dw dt 0
当起始位于 A( y0 , z0 ) 点的气块沿等位温面倾斜上升到 B( y 点时，基本流可表为：
0
y, z 0 z)
u u u ( y 0 y, z 0 z ) u 0 y z y z
位温垂横向（y方向）直剖面
因为，根据基本态气流满足地转和静力平衡，由热成风公式 （或静力学公式）有
u u p 1 g 1 g ( ) z p z p f y f y
dv 故： dz f u2 z 于是y方向方程： f ( f a )y dy N dt Ri
“气块法”着眼于考虑一定背景场（介质）中的气块受扰离 开平衡位置后的运动趋势。在某些特定的情况下，例如讨 论静力稳定度或浮力振动时，采用气块法非常简便明了。 在讨论大气波动稳定性时，另一种常用方法是所谓的“正规 模方法”或“标准波型法”。即将稳定性问题归结为微分 方程初值问题的解是随时间增长（不稳定）还是趋于定常 （稳定）的问题。 设微小扰动量q’的单波特解是x方向传播的波：
第八章 大气运动稳定性
前一章，我们考虑的是振幅不变、波动的频率或相速都是实 数的波动。
实际上更常见的是，大气中的运动或扰动是此消彼长，有的 在发展兴旺，有的则趋衰减消亡，永无停息。即波动的振 幅常常是不断变化（发展或衰减）的 。 实际大气中已经充分发展的有限振幅扰动可以看作是叠加在 某种基本气流上的小扰动在一定条件下不稳定发展的结果。
dv u u f (u u ) f ( y z fy ) dt y z
f [ ( f
u u dz ) ( ) ]y y z dy
另外，在等熵面上，有 ：
dz y dy z
此即等熵面坡度。
在北半球, f >0 , 故惯性稳定度的判据可表为: 当
u a f 0 y
时，有
d v ( ) 0 dt 2
2

惯性稳定 中 性 惯性不稳定
在北半球, 通常有 a 0 , 即大尺度运动通常是惯性稳定的。 但是，在急流轴右侧区域，有 u y 0 ，若气流水平切 变足够大，以致于负值相对涡度（ u y 0 ）超过了 行星涡度时，绝对涡度会出现负值 （ a f ) 0 ）， 即惯性不稳定的情形。这时，空气南北运动的发展将导致 水平动量的南北交换（混合），从而使急流右侧的反气旋 式切变减小。所以，急流轴右侧不可能长时间维持很大的 反气旋式切变。急流轴左侧则不同，风速水平切变为气旋 式切变，即，所以绝对涡度恒为正，即急流轴左侧的区域 总是惯性稳定的。
或
d v2 f ( ) f( a )v 2t dt 2 Ri
N2 Ri u 2 ( ) z
里查孙数 （Richardson）
在北半球， f 0 ，上式表明,对称不稳定条件（判据）可 表为：
f a 0 Ri
或
a Ri
f
1
显然，在惯性稳定（ a 0 ）和静力稳定（ N 0 ）的条 件下，仍然可能满足对称不稳定判据，即仍然可以出现对 称不稳定现象。而且，小的绝对涡度、强的垂直风切变和 弱的静力稳定度更有利于出现对称不稳定。
§8.3 大气长波的正压稳定性
1 正压不稳定的必要条件-郭晓岚判据 大气长波是大尺度运动中的主要波动。从波动观点看， 大气长波的不稳定增长是大尺度天气系统发生发展的重要 机制。在无切变的平行基流（ u 常数 ）中，大气长波的频 率（或波速）为实数，即波动是稳定的。当基本气流存在 水平或铅直切变时，大气长波则可能出现不稳定。 本节先考虑只有水平切变的基本气流中的大气长波的稳 定性问题，即所谓大气长波的正压稳定性问题。 假定： （1）基本气流为只与y有关纬向流，即 u u ( y ) （2）扰动为无辐散的纯水平运动：
§ 8.2 惯性稳定度与对称稳定度
1、惯性稳定度
考虑在地转平衡的背景场中, 气块在水平气压梯度力 和折向力作用下水平位移的稳定性——惯性稳定性（度）
问题。 （1）假定基本气流为满足地转平衡、具有水平切变的纬向 u 流： u ( y ) ； 基本位势场也只与y (指向北)有关， 即 ( y) 。 1 0 u x f y
i 或
kC称为不稳定波的“增长率” i
因为如果出现复的特征频率或特征波速，它们通常总是 成对（大小相等但符号相反）出现的，所以只要频率 或波速的虚数部分不为零（ i 0 , Ci 0 ），就总 会有一个单波解是随时间增长的，即波动总会是不稳 定的。 因此，波动的稳定性问题就归结为波的频率或波速的虚 部是否为零以及在什么条件下不为零的问题。
2
*
yD
*
y D
0
2
*（1）- （2）得： d d d * u '' * ( ) 2iC i Biblioteka 2 dy dy dy u C0
从 y D 积分到
y D 并利用边界条件得
D
Ci
D

u ''
u C
2
| |2 dy 0
u u ( y) u'
v v'
w w' 0
于是，无摩擦的线性化扰动方程组可表为：
u ' u )u 'v' fv' t x y x ' ( u )v' fu ' t x y u ' v' 0 x y (
2
成立，即基本气流的绝对涡度在区间（-D，D）上至少存在 一个极值点。 若在（ D, D ）上,处处有 2u y 2 0 ，则必是
本章将要讨论的大气运动的稳定性问题。大气长波 （ Rossby 波） 的正压稳定性与斜压稳定性、惯性稳定性 和对称稳定性等 。
§8.1 运动稳定性的基本概念
1、运动稳定性问题要研究的是叠加在给定基本气流上的小 扰动的运动趋势问题。 当给定的基本气流受到微小扰动时： （1）扰动将保持其小振幅不变或者趋于衰减消亡。这时， 称基本流对这种扰动是稳定的，或者说扰动是稳定的。有 时称扰动振幅保持不变的情形为中性或中性稳定； （2）扰动将随时间不断增长。这时称扰动是不稳定的。 2、研究稳定性问题的方法 “气块法”、“正规模（Normal Mode）法”和“整体方 法”等。“整体方法”包括“能量学方法”及“李雅谱洛 夫方法”。本章将只限于用气块法和正规模法。
不计摩擦的影响，则扰动气块的水平运动方程组可表为： du fv dt x dv fu dt y
假定气块的水平运动不改变位势场的分布，即气块的重力位 势与环境位势场满足： fu 0 y y x x
则扰动气块方程组可改写为：
2 对称稳定度 静力稳定度是气块垂直运动时的稳定性, 惯性稳定度是 气块水平运动时的稳定性。如果大气既是静力稳定的又是 惯性稳定的，则它在作垂直运动或作水平运动时，运动都 是稳定的。但是，当气块沿倾斜等熵面（位温为常数）作 倾斜运动（既有铅直运动又有水平运动）时，其运动仍然 可能是不稳定的，这时的不稳定称为“对称不稳定”。 假定：（1）基本状态是满足地转平衡和静力平衡的无粘绝 热纬向运动（与x无关）。基本流可表为：
2
有些中尺度系统表现为一种线状对流系统，如锋前飑线。其 环流可看成是二维的，其轴线与基本气流切变矢的方向一 致，扰动相对于轴线是对称的。上述中尺度不稳定可能是 这类对流系统如飑线或中尺度对流复合体（MCC）的一 种重要激发机制。由于这种中尺度环流的轴对称性，所以 这种不稳定称为“对称不稳定”。（由于在早期的研究中， 认为这是一种由对称环状涡旋中的径向扰动所引起的不稳 定现象，故称为对称不稳定）
du u ( y 0 y ) u 0 t u 0 fvt dt
y
dv u f (u u ) f ( f )vt dt y
y
d v2 ( ) f a v 2t dt 2
a
u f y
基本气流 的绝对涡 度
南北位移的气块是受抑制而返回其平衡位置(稳定)? 还 是加速远离其平衡位置(不稳定)? 或是随遇平衡(中性)? 取决于背景场的绝对涡度。
du fv 0 dt
dv f (u u ) dt
假定气块起始（t=0）位于 y0, 其速度为 u u0 ( y0 ) 。 该气块受扰后向北移：
水平位移气块的惯性稳定性
经过 t 时间后，它移动到 y0 y 处，此时，其经向位移 和纬向速度可分别表为：
y vt
在 y0 y 处的基本流为： ( y 0 y ) u 0 u y u 0 u vt u
要有不稳定波,须 C 0 ,于是,必须 i
D D

u ''
u C
2
dy 0
2
因
恒大于零，则要求 u ' ' 在 区间（-D，D）上改变符号，即至少存在一个点 y y k ， 使得 a d 2u ( ) 0 3 2 y yk dy y k
(
u C )