广东省广州市第二中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

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2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|x＞1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A.（1，3]B.[1，3]C.[-1，1）D.[-1，+∞）2.（单选题，5分）函数f（x）= √1−x +log2（3x-1）的定义域为（）A. (13，1]B. (0，13)C. (−∞，13)D.（0，1]3.（单选题，5分）已知命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，则p是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.（单选题，5分）设x，y为正数，则（x+y）（1x + 4y）的最小值为（）A.6B.9C.12D.155.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A.f（x）=3sin（x+ π3）B.f（x）=3sin（2x+ π3）C.f（x）=3sin（2x- π3）D.f（x）=3sin（2x+ π6）6.（单选题，5分）三个数a=log30.3，b=log32，c=12的大小顺序是（）A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.b＜c＜a7.（单选题，5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A.（-2，2）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-∞，-2）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）8.（单选题，5分）对于a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b={a2−ab，a≤bb2−ab，a＞b，设f（x）=（2x-1）⊗（x-1），且关于x的方程f（x）=t（t∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A. (5−√34，1)B. (1，5+√34)C. (12，1)D.（1，2）9.（多选题，5分）下面选项中正确的有（）A.集合{1，2，3}的子集个数为7个B.“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”D.∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立10.（多选题，5分）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若a2+b2=1，则a+b≤√2C.若a＞b，c＞d，则a-d＞b-cD.若a＞0，则a+1a≥211.（多选题，5分）已知函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，则（）A.函数f（x+ π12）为奇函数B.函数f（x）在[ π12，π3]上单调递增C.若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为π3D.函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象12.（多选题，5分）函数f（x）= xx2+a的图象可能是（）A.B.C.D.13.（填空题，5分）cos225°=___ ．14.（填空题，5分）设函数f（x）= {4x−1，x≤0log2x，x＞0，则f（f（12））=___ ．15.（填空题，5分）已知sin（α−π12）= 13，则cos（α+17π12）=___ ．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≥f（x1）成立，则实数a的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）（1）计算：8 23 +lg5+lg2-log216-e0；（2）已知tanα= 34，求2sin(π−α)+3cos(−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)的值．18.（问答题，12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+π)(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个6条件中的两个：① 函数f（x）的最大值为2；② 函数f（x）的图像可由y=√2sin(x−π)的图像平移得到；4．③ 函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）≥1的解集．)−1．20.（问答题，12分）已知函数f(x)=2cos2x−cos(2x+π2（1）求函数f（x）的最小正周期；)上的值域；（2）求f（x）在(0，π2得到函数g（x）的图象，若h（x）=g（x）-lnx，探究h（x）（3）将f（x）的图象向右平移π8)上是否存在零点．在(1，π221.（问答题，12分）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用x单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数．f(x)=22+x2（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）（a＞0且a≠1）．（1）当a=12，求f（2）的值；（2）当a=12时，若方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，求实数p的取值范围；（3）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的值范围．2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|x＞1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A.（1，3]B.[1，3]C.[-1，1）D.[-1，+∞）【正确答案】：A【解析】：可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞1}，B={x|-1≤x≤3}，∴A∩B=（1，3]．故选：A．【点评】：本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）函数f（x）= √1−x +log2（3x-1）的定义域为（）A. (13，1]B. (0，13)C. (−∞，13)D.（0，1]【正确答案】：A【解析】：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】：解：由题意可知{1−x≥03x−1＞0，解得13＜x≤1，∴函数f（x）的定义域为（13，1]，【点评】：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．3.（单选题，5分）已知命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，则p是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：B【解析】：直接利用不等式的解法和充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】：解：命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，整理得：-1＜x＜1，则p是q成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：必要条件和充分条件，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.（单选题，5分）设x，y为正数，则（x+y）（1x + 4y）的最小值为（）A.6B.9C.12D.15【正确答案】：B【解析】：函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值【解答】：解：x，y为正数，（x+y）（1x +4y）= 1+4+yx+4xy≥1+4+2 √yx×4xy=9当且仅当yx =4xy时取得“=”∴最小值为9【点评】：利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”5.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A.f（x）=3sin（x+ π3）B.f（x）=3sin（2x+ π3）C.f（x）=3sin（2x- π3）D.f（x）=3sin（2x+ π6）【正确答案】：B【解析】：根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．【解答】：解：由图象知A=3，函数的周期T= 5π6 -（- π6）=π，即2πω=π，即ω=2，则f（x）=3sin（2x+φ），由五点对应法得2×（- π6）+φ=0，即φ= π3，则f（x）=3sin（2x+ π3），故选：B．【点评】：本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．6.（单选题，5分）三个数a=log30.3，b=log32，c=12的大小顺序是（）B.c＜a＜bC.a＜c＜bD.b＜c＜a【正确答案】：C【解析】：结合指数与对数函数的单调性确定各数范围，即可比较大小．【解答】：解：因为a=log30.3＜0，b=log32∈（12，1），c= 12，所以b＞c＞a．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数与对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题．7.（单选题，5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A.（-2，2）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-∞，-2）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）【正确答案】：B【解析】：由题意可知f（x）在[0，+∞）上是减函数，再根据对称性和f（2）=0得出f（x）在各个区间的函数值符号，从而得出答案．【解答】：解：∵ f(x2)−f(x1)x2−x1＜0在∈[0，+∞）上恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，又f（2）=0，∴当x＞2时，f（x）＜0，当0≤x＜2时，f（x）＞0，又f（x）是偶函数，∴当x＜-2时，f（x）＜0，当-2＜x＜0时，f（x）＞0，∴xf（x）＜0的解为（-2，0）∪（2，+∞）．故选：B．【点评】：本题考查了函数单调性与奇偶性的性质，属于中档题．8.（单选题，5分）对于a ，b∈R ，定义运算“⊗”： a ⊗b ={a 2−ab ，a ≤b b 2−ab ，a ＞b，设f （x ）=（2x-1）⊗（x-1），且关于x 的方程f （x ）=t （t∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是（） A. (5−√34，1) B. (1，5+√34) C. (12，1) D.（1，2）【正确答案】：A【解析】：根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m 的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之和，并判断出函数的单调性，求出函数的值域，得到结果．【解答】：解：∵2x -1≤x -1时，有x≤0， ∴根据题意得f （x ）= {(2x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ≤0(x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ＞0，即f （x ）= {2x 2−x ，x ≤0−x 2+x ，x ＞0 ，画出函数的图象，如下图所示：从图象上观察当关于x 的方程为f （x ）=t （t∈R ）恰有三个互不相等的实数根时，t 的取值范围是（0， 14 ），当-x2+x=t时，有x1+x2=1，当2x2-x=t时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到x3= 1−√1+8t4，∴x1+x2+x3=1+ 1−√1+8t4 = 5−√1+8t4，t∈（0，14），令y= 5−√1+8t4，t∈（0，14），则函数是减函数，又由t=0时，y=1，t= 14时，y= 5−√34，故x1+x2+x3的取值范围是(5−√34，1)，故选：A．【点评】：本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，难度中档．9.（多选题，5分）下面选项中正确的有（）A.集合{1，2，3}的子集个数为7个B.“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”D.∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立【正确答案】：CD【解析】：选项A，元素个数为n个的集合的子集个数为2n；选项B，若xy＞0，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，再根据充分必要条件的概念可得解；选项C，根据存在命题的否定形式，即可得解；选项D，由两角和的正弦公式推出cosβ=1，cosα=1，显然存在α，β满足．【解答】：解：选项A，元素个数为3个的集合有23=8个子集，即A错误；选项B，若xy＞0，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，所以应是“必要不充分条件”，即B错误；选项C，命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”，即C正确；选项D，因为sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，若sin（α+β）=sinα+sinβ成立，则cosβ=1，cosα=1，所以β=2k1π（k1∈Z），α=2k2π（k2∈Z），即D正确．故选：CD．【点评】：本题考查命题的真假判断，主要包含子集个数，充分必要条件，命题的否定，两角和的正弦公式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.（多选题，5分）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若a2+b2=1，则a+b≤√2C.若a＞b，c＞d，则a-d＞b-cD.若a＞0，则a+1a≥2【正确答案】：BD【解析】：直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：当a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bd，故A错误；对于B：由于若a2+b2=1，则（a+b）2≤2a2+2b2=2，所以a+b≤√2，故B正确；对于C：若a＞b，c＞d，则a-d＞b-c，故C错误；对于D：由于a＞0，所以a+1a≥2，当且仅当a=1时，等号成立．故选：BD．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）已知函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，则（）A.函数f（x+ π12）为奇函数B.函数f（x）在[ π12，π3]上单调递增C.若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为π3D.函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象【正确答案】：AC【解析】：使用代入法先求出φ的值，得函数解析式；再根据三角函数的性质逐一判断．【解答】：解：∵函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，∴3× π4+φ= π2+kπ，k∈Z；∵- π2＜φ＜π2，∴φ=- π4；∴f（x）=sin（3x- π4）；对于A，函数f（x+ π12）=sin[3（x+ π12）- π4]=sin（3x），根据正弦函数的奇偶性，所以f（-x）=-f（x）因此函数f（x）是奇函数，故A正确．对于B，由于x∈[ π12，π3]，3x- π4∈[0，3π4]，函数f（x）=sin（3x- π4）在[ π12，π3]上不单调，故B错误；对于C，因为f（x）max=1，f（x）min=-1又因为|f（x1）-f（x2）|=2，f（x）=sin（3x- π4）的周期为T= 2π3，所以则|x1-x2|的最小值为π3，C正确；对于D，函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数f（x- π4）=sin[3（x- π4）- π4]=-sin3x，故D错误．故选：AC．【点评】：本题考查了三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴，属于基础题．12.（多选题，5分）函数f（x）= xx2+a的图象可能是（）A.B.C.D.【正确答案】：ABC【解析】：分类讨论，根据函数的单调性即可判断．【解答】：解：当a=0时，f（x）= 1x，则选项C符合；当a＞0，f（0）=0，故排除D；当x＞0时，f（x）= 1x+ax ≤2√ax= √a时取等号，则函数f（x）在（-∞，√a）上为减函数，在（√a，+∞）为增函数，故选项B符合；当a＜0时，函数的定义域为{x|x≠± √−a }，当x＞0，f（x）= 1x+ax ，由于y=x+ ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为增函数，则f（x）= 1x+ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为减函数，故A符合，故选：ABC．【点评】：本题考查了函数图象的识别和应用，关键掌握函数的单调性，属于基础题．13.（填空题，5分）cos225°=___ ．【正确答案】：[1]- √22【解析】：利用诱导公式把cos225°化为-cos45°，从而求得结果．【解答】：解：cos225°=cos（180°+45°）=-cos45°=- √22，故答案为：−√22．【点评】：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．14.（填空题，5分）设函数f（x）= {4x−1，x≤0log2x，x＞0，则f（f（12））=___ ．【正确答案】：[1]- 34【解析】：根据题意，由函数的解析式求出f（12）的值，进而计算可得答案．【解答】：解：根据题意，f（x）= {4x−1，x≤0 log2x，x＞0，则f（12）=log212=-1，则f（f（12））=f（-1）=4-1-1= 14-1=- 34；故答案为：- 34．【点评】：本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．15.（填空题，5分）已知sin（α−π12）= 13，则cos（α+17π12）=___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：直接由已知利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】：解：由sin（α−π12）= 13，得cos（α+17π12）=cos（α+3π2−π12）=sin（α−π12）= 13，故答案为：13．【点评】：本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≥f（x1）成立，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-3]∪[3，+∞）【解析】：依题意得g（x2）max≥f（x1）max，x∈[0，2]，可求出f（x）=-x2+2x+1的最大值，分a＞0和a＜0两种情况，由函数的单调性可求解g（x）的最大值，列式求解即可．【解答】：解：因为f（x）=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，x∈[0，2]，所以f（x）的最大值为f（1）=2，①又函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，当a＞0时，g（x）在[-1，1]上单调递增，所以g（x）max=g（1）=a-1；②当a ＜0时，g （x ）在[-1，1]上单调递减，所以g （x ）max =g （-1）=-a-1； ③因为对于∀x 1∈[0，2]，∃x 2∈[-1，1]，使得g （x 2）≥f （x 1）成立，则g （x 2）max ≥f （x 1）max ，所以，当a ＞0时，a-1≥2，解得a≥3；当a ＜0时，-a-1≥2，解得a≤-3；综上所述，实数a 的取值范围为（-∞，-3]∪[3，+∞）．故答案为：（-∞，-3]∪[3，+∞）．【点评】：本题考查了函数恒成立问题，考查函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．17.（问答题，10分）（1）计算：8 23+lg5+lg2-log 216-e 0；（2）已知tanα= 34，求 2sin (π−α)+3cos (−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据指数和对数的性质或运算法则，即可得解；（2）先利用诱导公式化简所求式子，再根据“同除余弦可化切”的思想，即可得解．【解答】：解：（1）原式= (23)23 +lg （5×2）- log 224 -1=22+lg10-4-1=0；（2） 2sin (π−α)+3cos (−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)= 2sinα+3cosα3sinα+cosα = 2tanα+33tanα+1 = 2×34+33×34+1 = 1813 ．【点评】：本题考查指数和对数的化简与求值，诱导公式的应用，同角三角函数商数关系的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18.（问答题，12分）已知函数 f (x )=x +1x ．（1）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（2）判断f （x ）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）先求函数的定义域，然后利用奇偶性进行判断；（2）利用函数单调性的定义判断．【解答】：解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：因为函数f(x)=x+1x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f（-x）=-x- 1x =-（x+ 1x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．（2）f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+（1x1 - 1x2）=（x1-x2）+ x2−x1x1x2= (x1−x2)(x1x2−1)x1x2，因为1＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1x2-1＞0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个：① 函数f（x）的最大值为2；② 函数f（x）的图像可由y=√2sin(x−π4)的图像平移得到；③ 函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）≥1的解集．【正确答案】：【解析】：（1）分别根据三个条件求出A和ω的值，得到矛盾，从而可判断出所选条件；然后根据所选条件即可求出函数的解析式；（2）结合正弦函数的图象即可求解三角不等式．【解答】：解：函数 f（x）满足的条件为① ③ ，理由如下：若满足条件① ，则 A=2；若满足条件② ，则 A=2，ω=1，所以① ② 相互矛盾；若满足条件③ ，则T=π，所以ω=2，所以② ③ 也相互矛盾，所以函数 f（x）满足的两个条件只能为① ③ ，此时f(x)=2sin(2x+π6)．（2）由f(x)=2sin(2x+π6)≥1，得sin(2x+π6)≥12，所以π6+2kπ≤2x+π6≤5π6+2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，所以不等式 f（x）≥1 的解集为{x|kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z}．【点评】：本题考查三角函数的解析式，考查学生的运算能力，属于中档题．20.（问答题，12分）已知函数f(x)=2cos2x−cos(2x+π2)−1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在(0，π2)上的值域；（3）将f（x）的图象向右平移π8得到函数g（x）的图象，若h（x）=g（x）-lnx，探究h（x）在(1，π2)上是否存在零点．【正确答案】：【解析】：（1）利用辅助角公式进行化简，利用周期公式进行计算即可．（2）求出角的范围，根据值域进行求解即可．（3）求出g（x）和h（x）的解析式，根据函数定理判断条件进行判断即可．【解答】：解：（1）f（x）=cos2x+sin2x= √2 sin（2x+ π4），则最小正周期T= 2π2=π．（2）当x∈ (0，π2)时，2x∈（0，π），2x+ π4∈（π4，5π4），即2x+ π4 = 5π4时，f（x）取得最小值，最小值为f（x）= √2 sin 5π4= √2×(−√22) =-1，当2x+ π4 = π2时，f（x）取得最大值，最大值为f（x）= √2 sin π2= √2，即函数的值域为（-1，√2 ]．（3）将f（x）的图象向右平移π8得到函数g（x）的图象，则g（x）= √2 sin[2（x- π8）+ π4]= √2 sin2x，则h（x）=g（x）-lnx= √2 sin2x-lnx，h（1）= √2 sin2＞0，h（π2）= √2sinπ-ln π2=-ln π2＜0，则h（1）h（π2）＜0，由根的存在性定理知h（x）在(1，π2)上存在零点．【点评】：本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．21.（问答题，12分）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用x单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数f(x)=22+x2．（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）（i）根据已知条件，将x=0，x=1，分别代入函数f（x），即可求解．（ii）结合已知条件，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，即可求解．（2）根据已知条件，分别求出两种情况残留的污渍量，再结合作差法，即可求解．【解答】：解：（1）（i）f（0）=1，表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变，f（1）= 23，表示用一个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的13．（ii）函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（0，1]，在（0，+∞）上单调递减．（2）设清洗前衣服上的污渍为1，用a单位量的水清洗后，残留的污渍为W1，则W1=1×f(a)=22+a2，用a2单位的水清洗1次，残留的污渍为1×f(a2)=88+a2，W2=f2(a2)=64(8+a2)2，∵W1-W2= 22+a2−64(8+a2)2= 2a2(a2−16)(2+a2)(8+a2)2，∴W1-W2的符号由a2-16 决定，当a＞4时，W1＞W2，则把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的污渍较少，当a=4时，W1=W2，则两种清洗方法效果相同，当a＜4时，W1＜W2，则用a单位的水清洗一次，残留的污渍较少．【点评】：本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）（a＞0且a≠1）．（1）当a=12，求f（2）的值；（2）当a=12时，若方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，求实数p的取值范围；（3）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入化简f（2）= log12（2-1）+ log12（2- 32），从而求得；（2）代入a= 12化简得f（x）= log12（x-1）（x- 32），将方程转化为（x-1）（x- 32）=p-x在（3，4）上有解，即x2- 32 x+ 32=p在（3，4）上有解，构造函数g（x）=x2- 32x+ 32，从而利用函数的单调性求得；（3）先确定函数的定义域，再化简f（x）=log a（x2-5ax+6a2），结合题意知函数y=x2-5ax+6a2在[a+3，a+4]上是增函数，再利用复合函数的单调性分类讨论函数的最值，并将恒成立问题转化为最值问题即可．【解答】：解：（1）当a= 12时，f（x）= log12（x-1）+ log12（x- 32），故f（2）= log12（2-1）+ log12（2- 32）= log12 1+ log1212=1；（2）当a= 12时，f（x）= log12（x-1）+ log12（x- 32）= log12（x-1）（x- 32），∵方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，∴ log12（x-1）（x- 32）= log12（p-x）在（3，4）上有解，即（x-1）（x- 32）=p-x在（3，4）上有解，即x2- 32 x+ 32=p在（3，4）上有解，令g（x）=x2- 32 x+ 32，则g（x）在（3，4）上单调递增，故g（3）＜g（x）＜g（4），即6＜g（x）＜232，即6＜p＜232，故实数p的取值范围为（6，232）；（3）函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）的定义域为（3a，+∞），f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）=log a（x-2a）（x-3a）=log a（x2-5ax+6a2），∵f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，∴a+3＞3a，即a＜32，故函数y=x2-5ax+6a2在[a+3，a+4]上是增函数，① 当0＜a＜1时，由复合函数的单调性可得，f（x）在[a+3，a+4]上是减函数，故f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立可化为f（a+3）≤1，即log a（2a2-9a+9）≤1，即2a2-9a+9≥a，解得，a≥ 5+√72或a≤ 5−√72，故0＜a＜1；② 当1＜a＜32时，由复合函数的单调性可得，f（x）在[a+3，a+4]上是增函数，故f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立可化为f（a+4）≤1，即log a（2a2-12a+16）≤1，即2a2-12a+16≤a，解得，13−√414≤a≤ 13+√414，∵ 13−√414＞32，故无解；综上所述，实数a的值范围为（0，1）．【点评】：本题考查了复合函数的单调性的判断与应用，利用了分类讨论的思想及转化思想，同时考查了恒成立问题及存在性问题，属于中档题．。

2022-2023学年广东省广州市第二中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年广东省广州市第二中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}{}1,0,1,0,2A B =-=，则集合A B ⋃中元素的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】求得A B ⋃，由此判断出A B ⋃中元素的个数. 【详解】依题意{}1,0,1,2A B ⋃=-，有4个元素. 故选：D【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题. 2．与角330-终边相同的最小正角是（） A ．30- B ．330 C ．30 D ．60【答案】C【解析】利用终边相同的角的关系，求得与角330-终边相同的最小正角. 【详解】与角330-终边相同的最小正角为33036030-+=. 故选：C【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.3．若)11f x =+，则()3f 的值为（）A ．4B ．5C ．9D ．10【答案】B【解析】13=计算出x 的值，由此求得()3f 的值.【详解】13=由解得4x =，所以()3415f =+=. 故选：B【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.4．已知幂函数()()23mf x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（）AB ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.5．若()()(0)f x tan x ωω=>的周期为1，则1()3f 的值为（）A．B．CD【答案】D【解析】根据()f x 的周期求得ω，由此求得13f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】依题意()()π1,π,tan πT f x x ωω====，所以1πtan 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本小题主要考查正切函数的周期性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.6．已知实数x ，y ，z 满足04x =，5log 3y =，πsin 22z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．z x y <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．x z y <<【答案】C【分析】根据指数、对数、三角函数的知识确定正确答案. 【详解】041x ==，55log 3log 51y =<=，πsin 2cos 22z ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，而π2π2<<，所以0z <，所以z y x <<. 故选：C7．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为（）2cm A ．2π B ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为π4π4=，所以扇形面积为1π42π2⋅⋅=.故选：C【点睛】本小题主要考查扇形半径、面积有关计算，属于基础题.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对于1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，若实数m 满足()()()12120mf m m f m +-->，则m 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()1,-+∞【答案】C【分析】构造函数()()F x xf x =，根据()F x 的单调性和奇偶性化简不等式()()()12120mf m m f m +-->，进而求得m 的取值范围.【详解】依题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x -=，构造函数()()F x xf x =，则()()()()F x xf x xf x F x -=--=-=-，所以()F x 是奇函数，图象关于原点对称. 由于1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，即()()12120F x F x x x -<-，所以()F x 在[)0,∞+上递减，所以()F x 在R 上递减.由()()()12120mf m m f m +-->，即()()120F m F m +->，()()12F m F m >--，即()()21F m F m >-，所以21,1m m m <->，所以m 的取值范围是()1,+∞. 故选：C二、多选题9．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．()()22,f t t g x x ==B ．()()cos ,sin 2f x x g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭C ．()()()20,(0)x x f x g x x x ⎧≥==⎨-<⎩D ．()()4lo ,log f x g x g x ==【答案】ABD【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.【详解】()()22,f t t g x x ==对应关系和定义域显然相同，故A 正确；B 选项中，因为()sin cos 2g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以B 正确；C 选项中，()2f x =的定义域为[0,)+∞，()g x 的定义域为R ，故C 不正确；D 选项中，显然()(),f x g x 的定义域都为(0,)+∞，又()24221lo log log 2f x g x x x ===，()12221log log l 2og x x g x ==，故D 正确. 故选：ABD10．下列说法正确的是（）A ．“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件B ．“0xy >”是“0x y +>”的必要不充分条件C ．“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题D ．命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠” 【答案】AD【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B 选项；利用特殊值法可判断C 选项；利用存在量词命题的否定可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若22ac bc >，则20c >，由不等式的性质可得a b >，即“22ac bc >”⇒“a b >”，若a b >，取0c ，则22ac bc =，即“22ac bc >”⇐/“a b >”，故“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件，A 对；对于B 选项，若0xy >，不妨取=1x -，1y =-，则0x y +<，即“0xy >”⇒“0x y +>”，若0x y +>，取=1x -，2y =，则0xy <，即“0xy >”⇐/“0x y +>”，所以，“0xy >”是“0x y +>”的既不充分也不必要条件，B 错；对于C 选项，取x =22x =为有理数，C 错；对于D 选项，命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠”，D 对. 故选：AD.11．已知函数()2π2sin 12f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>，的最小正周期为π，若m ，[]2π,2πn ∈-，且()()4f m f n ⋅=，则下列结论正确的是（）A ．ω的值为1B ．()()2f m f n ==-C ．5π,16⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．m n -的最大值为3π 【答案】ACD【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，再结合()f x 的最值、对称中心对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】()2ππ2sin 1cos 2126f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 的最小正周期为π，所以2ππ,12T ωω===，A 选项正确. 所以()π1cos 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于ππ1cos 21,1cos 2166x x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤-≤--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π01cos 226x ⎛⎫≤--≤ ⎪⎝⎭，当[],2π,2πm n ∈-时，要使()()4f m f n ⋅=，则()()2f m f n ==，B 选项错误. 5ππ3πcos 2cos 0662⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，5π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以5π,16⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，C 选项正确. 当()2f x =时，πcos 216x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π3π5π22π,π,Z 626x k x k k -=+=+∈，由5π2ππ2π6k -≤+≤，解得17766k -≤≤，所以2,1,0,1k =--，所以m n -的最大值为5π5ππ2π3π66⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD12．已知函数()[]πcos 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列说法正确的是（）A ．函数12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数B ．()f x 的值域为{}1,0,1-C ．()f x 为周期函数，且最小正周期4T =D ．()f x 与7log 1y x =-的图像恰有一个公共点【答案】BCD【分析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确.【详解】对于A ，由于()110cos 0122f f ⎛⎫-+=== ⎪⎝⎭，()11π1cos 0222f f ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭所以1122f ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭1122f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数，故A 错；对于B ，由于[]x 为整数，[]()πππZ sin 222x k k k ⎛⎫=⋅∈∴⋅ ⎪⎝⎭的值有0,1,1-三种情况，所以()f x 的值域为{}0,1,1-故B 正确；对于C ，由于[][]44x x +=+，所以()[][][]()πππ4cos 4cos 2πcos 222f x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，由B 得(){}0,1,1f x ∈-，令7log 10x -=，得2x =或0x =，而()()2cos π1,0cos01f f ==-==不是公共点的横坐标. 令7log 10x -=，得8x =或6x =-，而()()()8cos4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-，所以()8,1是两个函数图像的一个公共点. 令7log 11x -=-，得87x =或67x =，而8π6cos 0,cos 01727f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点()8,1，故D 正确. 故选：BCD三、填空题13．已知a<0，则关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集是______.【答案】5{|}2x x a -<<-【分析】将不等式的左边进行因式分解，然后比较a -和52-的大小，再利用一元二次不等式的解法即可求解.【详解】因为关于x 的不等式()225250x a x a +++<可化为：(25)()0x x a ++<，又因为a<0，所以52a ->-，所以不等式(25)()0x x a ++<的解集为5{|}2x x a -<<-，则关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集是5{|}2x x a -<<-，故答案为：5{|}2x x a -<<-.14．1cos80︒______. 【答案】4【分析】根据三角恒等变换的知识进行化简，从而求得正确答案.【详解】1cos80︒==12sin802cos80cos10⎛⎫︒︒ ⎪⎝⎭︒=︒ ()2sin 8060cos80cos10︒-︒=︒︒ 2sin 20cos80cos10=︒︒︒22sin10cos104sin10cos10⨯⨯︒︒=︒︒=.故答案为：415．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位后得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是______. 【答案】π12##112π 【分析】求得平移后的函数解析式，然后根据对称性求得m 的取值范围，进而求得m 的最小值. 【详解】函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位后，得到()ππsin 2sin 2233y x m x m ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其图像关于y 轴对称，所以ππππ2π,,Z 32212k m k m k +=+=+∈，由于0m >，所以m 的最小值为π12. 故答案为：π1216．已知函数()21xf x -=-，()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩，当01m <<时，关于x 的方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦解的个数为______.【答案】4【分析】令()t f x =，得到()g t m =，由()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩的图象得到根t 的分布，再由()21x f x -=-的图象，得到()t f x =的根的个数即可. 【详解】解：令()t f x =，则()g f x m =⎡⎤⎣⎦，化为()g t m =，()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩的图象如图所示：因为01m <<，所以()g t m =有三个不同的根123,,t t t ，其中()()()1230,1,1,2,2,3t t t ∈∈∈，函数()21xf x -=-的图象如图所示：由图象知：()1t f x =有2个不同的根，()2t f x =有1个根，()3t f x =有1个根，所以当01m <<时，关于x 的方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦解的个数为4，故答案为：4四、解答题17．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2120B x x x =+-≥．(1)当2a =时，求()R A B ⋃； (2)若RA B ⊆，求a 的取值范围．【答案】(1)(){}44R A B x x ⋃=-<< (2)3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】（1）解一元二次不等式求得集合B ，由补集和并集的定义可运算求得结果；（2）分别在A =∅和A ≠∅两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤-或}3x ≥，{}43RB x x =-<<，(){}44R A B x x ⋃=-<<.（2）RA B ⊆，当0a ≤时，A =∅，符合题意，当0a >时，由23a ≤，得302a <≤，故a 的取值范围为3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦．18．已知sin 24sin 3cos 24cos 1αααα-=-+，π0.2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， (1)求tan α和sin2α的值;(2)若πsin 2sin 2ββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求αβ+的大小．【答案】(1)tan 3α=，3sin 25α=；(2)3π4【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得tan 3α=，以及22tan sin2tan 1ααα=+求值；（2）条件等式由诱导公式可得sin 2cos tan 2βββ=⇒=，即可由和差公式求得()tan αβ+，结合αβ+范围即可.【详解】（1）()()2sin cos 2sin 24sin sin cos 4sin tan 3cos 24cos 12cos 4cos 2cos cos 2αααααααααααααα---====-+--２２，2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===++；（2）πsin 2sin 2cos tan 22ββββ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--，∵()0,παβ+∈，∴3π4αβ+=.19．已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】(1)()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)最大值为12，最小值为1-【分析】（1）由三角恒等变换化简函数为()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由整体法求单调递减区间即可；（2）由整体法求得函数值域，即可得最值.【详解】（1）()1cos 211π2cos 22cos 22223x f x x x x x +⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭，令π22π,π2π3xk k kZ ，解得πππ,π63xk k kZ ，故()f x 的单调递减区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故()π1cos 21,32f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，最小值为1-.20．已知函数()()2R 2x x af x a =+∈为定义在[]1,1-上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)设()()sin 2g x f x =，当π,12x θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（π12θ>）时，函数()g x ，求θ的取值范围.【答案】(1)1a =- (2)π5π1212θ<≤【分析】（1）由()00f =求得a 的值.（2）求得()g x 的表达式，利用换元法，结合三角函数、函数的单调性、最值等知识求得θ的取值范围.【详解】（1）由于函数()22x xa f x =+是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()()010,1,22x x f a a f x -=+==-=-，经检验符合题意.（2）()()sin2sin2sin 222x x g x f x -==-， ππ,22126x x θθ≤≤≤≤，令sin 2t x =，()22t t h t -=-，则()()22t t h t h t --=-=-，所以()h t 是奇函数，且()h t 在R 上单调递增，当π1sin 62t ==时，112212222h -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，要使()g x，则1sin 22t x =≥，所以π5π266x ≤≤，所以π5ππ5π2,661212θθ<≤<≤. 21．生产A 产品需要投入年固定成本5万元，每年生产x 万件()N x *∈，需要另外投入流动成本()g x 万元，且()214,072501135,7x x x g x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，每件产品售价为10元，且生产的产品当年能全部售完. (1)写出利润()p x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）(2)年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)()2165,0725030,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当年产量为30-.【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得()p x .（2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.【详解】（1）依题意，()()2165,0721055030,7x x x p x x g x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=--=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.（2）由（1）得()()21613,0725030,7x x p x x x x ⎧--+<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，当07x <<，所以()p x 的最大值为()613p =；当7x ≥时，50303030x x ⎛⎫-+≤-- ⎪⎝⎭当且仅当50,x x x==.由于3013-，所以当年产量为30-.22．已知函数()()2211f x x a x a =-+-+，R a ∈.(1)若()f x 在区间[]1,1-上不单调，求a 的取值范围；(2)已知关于x 的方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()2,0-(2)91,5⎫⎪⎭【分析】（1）结合二次函数的对称轴及其性质即可求解；（2）令()()22h x f x x x =++，方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，等价于函数()h x 在1,2上存在两个零点，结合二次函数的实根分布讨论即可求解.【详解】（1）函数()()2211f x x a x a =-+-+的对称轴为1x a =+，由()f x 在区间[]1,1-上不单调，所以111a -<+<，解得20a -<<，所以a 的取值范围为()2,0-.（2）令()()22h x f x x x =++，方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，等价于函数()h x 在1,2上存在两个零点，因为()()()22221,102221,02a x a x h x f x x x x ax a x ⎧-+-+-<<=++=⎨--+≤<⎩，且()h x 在0x =处图像不间断，当2a =-时，()23,10243,02x h x x x x -<<⎧=⎨++≤<⎩无零点；当2a ≠-时，由于()()221h x a x a =-+-+在()1,0-上单调，所以()h x 在()1,0-内最多只有一个零点，不妨设()h x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，若()h x 有一个零点为0，则1a =，于是()26,1022,02x x h x x x x --<<⎧=⎨-≤<⎩，零点为0或1，所以1a =满足题意，若0不是函数()h x 的零点，则函数()h x 在1,2上存在两个零点有以下两种情形：（i ）若110x -<<，202x <<，则()()()()100020h h h h ⎧-⋅<⎪⎨⋅<⎪⎩，即()()()()1501950a a a a ⎧-+<⎪⎨--<⎪⎩，解得915a <<. （ii ）若1202x x <<<，则()()()()()()()2Δ4810022010295010150a a a h a h a h h a a ⎧=-->⎪⎪<<⎪⎨=->⎪⎪=->⎪-=-+>⎩11a <<. 综上所述，a的取值范围为91,5⎫⎪⎭.。

2020-2021学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 2．sin（﹣1380°）的值为（）A．B．C．D．3．方程e x+8x﹣8＝0的根所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．函数f（x）＝x sin x，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．6．已知角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．7．已知函数在（3，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[﹣3，0）C．[﹣2，0）D．（﹣3，0）8．基本再生数R0与世代间隔T是病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天二、多选题（共4小题）.9．下列各式中，值为的有（）A．sin7°cos23°+sin83°cos67°B．C．D．10．有如下命题，其中真命题的标号为（）A．若幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（3）＞B．函数f（x）＝a x﹣1+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，2）C．函数有两个零点D．若函数f（x）＝x2﹣2x+4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1，2]11．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）的最小正周期是πB．函数f（x）的图象关于点成中心对称C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的图象向右平移个单位长度后关于原点成中心对称12．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有（）A．B．f（x）＝e xC．f（x）＝lg（x2+2）D．f（x）＝cosπx三、填空题：本小题共4个小题，每小题5分，共20分.13．如果cosθ＜0，且tanθ＜0，则|sinθ﹣cosθ|+cosθ的化简为．14．命题p：∀x≥0，x2﹣ax+3＞0，则￢p为．15．已知tan（α+）＝2，则＝．16．已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足g（x）+h（x）＝e x+sin x﹣x，则函数g（x）的解析式为；若函数f（x）＝3|x﹣2020|﹣λg（x﹣2020）﹣2λ2有唯一零点，则实数λ的值为．四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设集合A＝{x|≤≤4}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m+1}．（1）若m＝3，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝B，求m的取值范围；18．（10分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，π），f（）＝，求sin（α+）的值．19．（12分）因病毒疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n（n∈N+）年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f（n）万元．（1）写出f（n）关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由．20．（12分）若函数f（x）满足f（log a x）＝•（x﹣）（其中a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．21．（12分）已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于y轴对称且经过坐标原点．（1）求f（x）的解析式；（2）若对任意，[f（x）]2﹣af（x）+a+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．22．（14分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝2﹣f（x），则称“局部中心函数”．（1）已知二次函数f（x）＝ax2+2x﹣4a+1（a∈R），试判断f（x）是否为“局部中心函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝4x﹣m•2x+1+m2﹣3是定义域为R上的“局部中心函数”，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}解：∵全集U＝{x∈N*|x≤4}＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，∴∁U B＝{1，3}，则A∪（∁U B）＝{1，2，3}．故选：C．2．sin（﹣1380°）的值为（）A．B．C．D．解：sin（﹣1380°）＝sin（﹣1440°+60°）＝sin（﹣4×360°+60°）＝sin60°＝．故选：D．3．方程e x+8x﹣8＝0的根所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【分析】令函数f（x）＝e x+8x﹣8，则方程e x+8x﹣8＝0的根即为函数f（x）的零点．再根据函数零点的判定定理可得函数f（x）零点所在区间．解：令函数f（x）＝e x+8x﹣8，则方程e x+8x﹣8＝0的根即为函数f（x）的零点，再由f（0）＝1﹣8＝7＜0，且f（1）＝e＞0，可得函数f（x）在（0，1）上有零点．故选：C．4．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log45＞log44＝1，∴a＞1，∵＝，∴b＝，∵，∴，即，∴b＜c＜a，故选：A．5．函数f（x）＝x sin x，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），所以f（x）为偶函数，即图象关于y轴对称，则排除B，C，当x＝时，f（）＝sin＝＞0，故排除D，故选：A．6．已知角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．【分析】推导出x＝，y＝，r＝＝3，再由＝tanα﹣sinα，求出结果．解：∵角α的终边经过点，∴x＝，y＝，r＝＝3，∴＝tanα﹣sinα＝＝﹣＝﹣．故选：D．7．已知函数在（3，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[﹣3，0）C．[﹣2，0）D．（﹣3，0）【分析】由外层函数y＝log0.5t为减函数，把问题转化为内层函数t＝在（3，+∞）上单调递增且恒大于0，进一步得到关于a的不等式组求解．解：∵外层函数y＝log0.5t为减函数，∴要使在（3，+∞）上单调递减，则需要t＝在（3，+∞）上单调递增且恒大于0，即，解得﹣2≤a＜0．∴a的取值范围为[﹣2，0）．故选：C．8．基本再生数R0与世代间隔T是病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【分析】根据所给模型求得r＝0.38，令t＝0，求得I，根据条件可得方程e0.38t＝2，然后解出t即可．解：把R0＝3.28，T＝6代入R0＝1+rT，可得r＝0.38，∴I（t）＝e0.38t，当t＝0时，I（0）＝1，则e0.38t＝2，两边取对数得0.38t＝ln2，解得t＝≈1.8．故选：B．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)

2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。

高中试卷-专题4.3 对数(含答案)

专题4.3 对数1对数的概念(1)概念一般地，如果a x=N(a>0 , 且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N. (a底数，N真数，log a N对数)解释对数log a N中对底数a的限制与指数函数y=a x中对a的限制一样.(2)两个重要对数常用对数以10为底的对数，log10N记为lgN；自然对数以无理数e为底的对数的对数，log e N记为ln N．(3)对数式与指数式的互化x=log a N⟺a x=N对数式指数式如43=64⇔log464=3；log525=2⇔52=25.(4)结论①负数和零没有对数②log a a=1，log a1=0.特别地，lg10=1，lg1=0，lne=1，ln1=0.解释∵a x=N>0，∴log a N中N>0，如log2(−3)没意义；由对数式与指数式的互化得a1=a⇒log a a=1，a0=1⇒log a1=0.2 对数的运算性质如果a>0，a≠ 1，M>0，N>0 , 有①log a(MN)=log a M+log a N②log a MN=log a M−log a N③log a M n=n log a M(n∈R)④a log a M=M(每条等式均可证明)比较对数的运算法则与指数的运算法则的联系指数对数a m⋅a n=a m+n log a(MN)=log a M+log a Na m a n =a m−n log aMN=log a M−log a N(a m)n=a mn log a M n=n log a M特别注意：log a MN ≠ log a M ⋅ log a N ，log a (M ±N )≠ log a M ± log a N .一、单选题1．若1log 327x =-，则x =（）A ．81B ．181C ．13D ．3【答案】D【解析】解：因为1log 327x =-，所以3127x -=，即327x =，所以3x =，故选：D.2．已知()2350a a =>，则log 5a =（）A ．2B ．3C ．32D ．23【答案】D【解析】因为()2350a a =>，所以2log 53a =.故选：D3．已知函效()2222,4()log 12,4x e x f x x x -ì<ï=í-³ïî则((4))f f =（）A ．1B ．2C ．e D ．2e【来源】吉林省长春市十一高中2021-2022学年高一上学期第二学程考试数学试题【答案】B【解析】由题意知，222(4)log (412)log 42f =-==，22((4))(2)22f f f e -===.故选：B4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ³时，()42xf x m =++（m 为常数），则4(log 8)f -的值为（）A ．4B ．4-C ．7D ．7-【来源】广东省广州市八校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ³时，()42x f x m =++，必有(0)120f m =++=，解可得:3m =-，则当0x ³时，()41=-x f x ，有()4log 8817f =-=，又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()44log 8log 87f f -=-=-.故选：D5．计算：0ln 221.1e 0.5lg 252lg 2-+-++=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【来源】山西省长治市第四中学校2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】解：0ln 221.1e 0.5lg 252lg 2-+-++1242lg 52lg 2=+-++()12lg 52121=-+´=-+=；故选：B6．已知函数()31,02log ,0xx f x x x ìæö£ïç÷=íèøï>î，则12log 3f f éùæö=êúç÷êúèøëû（）A ．18B ．1-C ．1D ．3【来源】云南省昆明市2021-2022学年高一下学期期末质量检测数学试题【答案】C【解析】因为12221log 3log log 313==-<-，所以12log 3121log 323æöæö=ç÷ç÷èøèø=f ，()3log 313==f ，则12log 31éùæö=êúç÷êúèøëûf f.故选：C ．7．设3log 6a =，5log 20b =，则2log 15(= )A ．()()311a b a b +---B ．()()211a b a b +---C ．()()2311a b a b +---D ．()()2311a b a b +---【答案】D【解析】33log 61log 2a ==+Q ，512log 2b =+，21log 31a \=-，22log 51b =-，则222log 15log 3log 5=+=()()12231111a b a b a b +-+=----.故选D.8．设25a b m ==，且111a b +=，则m =（）AB ．10C ．20D ．100【来源】陕西省西安市雁塔区第二中学2021-2022学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】B【解析】因为25a b m ==，所以25log ,log a m b m ==，所以11log 2log 5log 101m m m a b+=+==，又0m >Q ，10m \=.故选：B.9．若()()()2log 1,01,0x x f x g x x ì--<ï=í-³ïî是奇函数，则()7g =（）A ．2B ．2-C ．3D ．5【来源】河南省豫北名校2021-2022学年高一下学期第一次联考数学试题【答案】B【解析】依题意得：()()()()2788log 812g f f ==--=--=-．故选：B10．函数()()()22log 2log 4f x x x =×的最小值为（）A ．1B ．13C ．12-D ．14-【来源】河北省保定市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】D【解析】由题意得()()()()222222231log 1log 2log 3log 2log 24f x x x x x x æö=++=++=+-ç÷èø，当23log 2x =-时，()f x 的最小值为14-.故选：D11．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足()012tha a T T T T æö-=-ç÷èø，h 称为半衰期，其中a T 是环境温度．若25a T =℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：lg 30.48»，lg 50.70»，lg11 1.04»）（）A ．3.5分钟B ．4.5分钟C ．5.5分钟D ．6.5分钟【来源】陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】：由题意，25a T =℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得()11752580252hæö-=-ç÷èø，所以11501025511hæö==ç÷èø，又水温从75℃降至55℃，所以()1552575252h t æö-=-ç÷èø，即13032505th æö==ç÷èø，所以11110322115tt t hh éùæöæöæöêú===ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû，所以10113lg3lg 3lg 50.480.75log 5.51051lg111 1.04lg 11t --===»=--，所以水温从75℃降至55℃，大约还需要5.5分钟.故选：C.12．正数a ，b 满足1+log 2a ＝2+log 3b ＝3+log 6（a +b ），则11a b+的值是A ．112B ．16C ．13D ．12【答案】A【解析】依题意，设1+log 2a ＝2+log 3b ＝3+log 6（a +b ）＝k ，则a ＝2k ﹣1，b ＝3k ﹣2，a +b ＝6k ﹣3，所以33312121211666611223232323k k k k k k a b a b ab ---------++=====×××××.故选：A ．13．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，若对于0x ³时，都有()()2f x f x +=-，且当[)0,2x Î时，()()2log 1f x x =+，则()()20212022f f -+等于（）A ．1B ．-1C ．2log 6D ．23log 2【来源】四川省自贡市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】A【解析】当0x ³时，(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以当0x ³时，(4)()f x f x +=，所以(2021)(2017)(1)f f f ===L又()f x 是偶函数，(2)(0)f f =-，所()()20212022(2021)(2022)(1)(2)f f f f f f -+=+=+22log (11)(0)1log (01)1f =+-=-+=．故选：A ．14．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：32.4420lg 20lg L D F =++，其中D 为传输距离，单位是km ，F 为载波频率，单位是MHz ，L 为传输损耗（亦称衰减）单位为dB ．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了18dB ，则载波频率变为原来约（）倍（参考数据：lg 20.3,lg30.5»»）A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍【来源】广东省广州市华南师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】设L ¢是变化后的传输损耗，F ¢是变化后的载波频率，D ¢是变化后的传输距离，则18L L ¢=+，4D D ¢=，1820lg 20lg 20lg 20lg 20lg20lg D F L L D F D F D F¢¢¢¢¢=-=+--=+，则20lg1820lg 1840lg 26F D F D ¢¢=-=-»，即lg 0.3lg 2F F¢»»，从而2F F ¢»，即载波频率变为原来约2倍.故选：B ．二、填空题15．已知函数(),()log xa f x a g x x ==（0a >且1a ¹），且()f M N =，则()g N =___________.【答案】M【解析】因为()f M N =，则M a N =,化为对数式，可得log a N M =,所以()g N M =，故答案为：M .16．计算：()()1132540282.25+9.621log log 572-æö--+çèø×÷=_________．【来源】四川省泸州市泸县第一中学2021-2022学年高一下学期开学考试数学试题【答案】34【解析】原式12(25232111log 2log 52322´-æö=+--´´´ç÷èø2211334=+--34=.故答案为：3417．若1a >，1b >且lg 1lg b b a æö+=ç÷èø，则()()lg 1lg 1a b -+-的值___．【答案】0【解析】1a >Q ，1b >且lg 1lg b b a æö+=ç÷èø，1bb a\+=，a b ab \+=，()()()()()lg 1lg 1lg 11lg 1lg10a b a b ab a b éù\-+-=--=--+==ëû．故答案为：0．18．()220231lg2lg5lg200.0273--æö+´++´=ç÷èø___．【答案】102【解析】()220231lg2lg5lg200.0273--æö+´++´ç÷èø＝()()()2233lg2lg52lg2lg510.3-éù+´+++´ëû9()21lg2lg5190.09=+++´11100=++102=．故答案为：102.1900.53(2(0.01)5--= ________【来源】第11讲对数-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）【答案】212-()00.52332122log 5log 7320.01110125log 53log 7-×æö+-=+-ç÷èø-×32323log 5log 7132199log 5log 7222×æö×--=--=-ç÷×èø故答案为：212-20．|1lg 0.001|lg 6lg 0.02+-=__________.【来源】河南省信阳市信阳高级中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学（理科）试题【答案】621．如果关于x 的方程()()2lg lg 3lg 5lg lg 3lg 50x x +++×=的两根分别是,a b ，则a b ×的值是__________.【来源】第4章指数与对数综合测试-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）【答案】115【解析】∵,a b 是关于x 的方程()()2lg lg 3lg 5lg lg 3lg 50x x +++×=的两根∴lg ,lg a b 是一元二次方程()2lg 3lg 5lg 3lg 50x x +++×=的两根∴()1lg lg lg 3lg 5lg15lg 15a b +=-+=-=，()1lg lg 15a b ×=∴115a b ×=.故答案为：11522．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[0,2]x Î时，()22x f x =-，若对任(,]x m Î-¥都有()6f x £，则m 的取值范围是_________．【来源】河南省信阳市信阳高级中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学（理科）试题【答案】(-¥，274log ]2+．【解析】：因为()f x 满足(2)2()f x f x +=，即1()(2)2f x f x =+；又由(2)2()f x f x +=，可得()2(2)f x f x =-，画出当[0x Î，2]时，()|22|x f x =-的图象，将()f x 在[0，2]的图象向右平移2(N*)k k Î个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍），再向左平移2(N*)k k Î个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的12倍），由此得到函数()f x 的图象如图：当[4x Î，6]时，4[0x -Î，2]，4(4)|22|x f x --=-，又11(4)(2)()24f x f x f x -=-=，所以4()4|22|(46)x f x x -=-……，令()6f x =，由图像可得56x <<，则44(22)6x --=，解得274log 2x =+，所以当274log 2m +…时，满足对任意的(x Î-¥，]m ，都有()6f x …，故m 的范围为(-¥，274log ]2+．故答案为：(-¥，274log ]2+．23．已知函数()21x f x =-，函数()g x 满足(1)()g x g x +=．当[0,1)x Î时，()()g x f x =，则()2log 20g =________．【来源】浙江省“新高考名校联盟”2021-2022学年高一下学期5月检测数学试题【答案】14##0.25【解析】：因为函数()g x 满足(1)()g x g x +=，又2224log log 20log 32516=<<=，则20log 2041<-<，又[0,1)x Î时()2()1x f x g x ==-所以()()224log 204log 20221log 20log 20421212016142g g -=-=-=--¸=¸=；故答案为：1424．19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值19的3倍，并提出本福特定律，即在大量b 进制随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b b n P n n +æö=ç÷èø，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，若()1012i 3ni P =£∑，则n 的最大值为______．【来源】河南省许昌市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题【答案】3【解析】由()1log b b n P n n +æö=ç÷èø可得，()()10101log lg 1lg i P i i i i +æö==+-ç÷èø，所以()()101i lg 1ni P n ==+∑，又()1012i 3ni P =£∑，所以，()2lg 13n +£，即()31100n +£ 所以，1,2,3n =则n 的最大值为3.故答案为：3.。

2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一(下)期末数学试卷

2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|x2+x-2＜0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A.{-2，-1，0}B.{-1，0，1}C.{-1，0}D.{0，1}2.（单选题，5分）已知复数z满足（z-1）i=1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，5分）设a⃗、b⃗⃗都是非零向量，下列四个条件中，使a⃗⃗|a⃗⃗|=b⃗⃗|b⃗⃗|成立的充分条件是（）A. a⃗=−b⃗⃗B. a⃗∥b⃗⃗C. a⃗=2b⃗⃗D. a⃗∥b⃗⃗且|a⃗|=|b⃗⃗|4.（单选题，5分）在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A.11πC.13πD.14π5.（单选题，5分）已知函数y=x a，y=b x，y=log c x的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.b＜c＜a6.（单选题，5分）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）A.65，280B.68，280C.65，296D.68，2967.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=x2-6x+8，则函数f（x）的所有零点之和是（）A.2B.4C.6D.8个单位长度得到函数g 8.（单选题，5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移π12]上是单调增函数，则实数ω的最大值为（）（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，π2A. 23B.1C. 659.（多选题，5分）若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是（） A. √a ＞√b B.1a 2＞1b2 C.ac 2＞bc 2 D. a −1a ＞b −1b10.（多选题，5分）口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出的2球中至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A.事件A 与D 为对立事件B.事件B 与C 是互斥事件C.事件C 与E 为对立事件D.事件P （C∪E ）=111.（多选题，5分）△ABC 中，A= π2 ，AB=AC=2，则下列结论中正确的是（） A.若G 为△ABC 的重心，则 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.若P 为BC 边上的一个动点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 为定值4 C.若M 、N 为BC 边上的两个动点，且 MN =√2，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 32D.已知Q 是△ABC 内部（含边界）一点，若AQ=1，且 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值是112.（多选题，5分）已知三棱锥P-ABC 的每个顶点都在球O 的球面上，AB=BC=2，PA=PC= √5 ，AB⊥BC ，过B 作平面ABC 的垂线BQ ，且BQ=AB ，PQ=3，P 与Q 都在平面ABC 的同侧，则（）A.三棱锥P-ABC 的体积为 23 B.PA⊥AB C.PC || BQD.球O 的表面积为9π13.（填空题，5分）已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ=- 15 ，则tanθ=___ ．14.（填空题，5分）某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为 ___ ．15.（填空题，5分）已知函数f（x）=|x+1|-|x-3|，若对∀x∈R，不等式f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是 ___ ．16.（填空题，5分）已知正数a，b满足a+b−1a −4b=8，则a+b的最小值是 ___ ．17.（问答题，10分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c=23b，sinB b =√3cosAa，（1）求A的值；（2）若b=3，求△ABC外接圆的面积．18.（问答题，12分）为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数x和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）．19.（问答题，12分）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．20.（问答题，12分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，−π2＜φ＜0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，−√3)，当|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）求函数f（x）在x∈(π9，4π9)内的值域；（3）若方程3[f（x）]2-f（x）+m=0在x∈(π9，4π9)内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．21.（问答题，12分）如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD̂所在的平面垂直，AB=2，AD= √22，M是CD̂上异于C，D的动点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）设BM和平面ABCD所成角为θ，求sinθ的最大值．22.（问答题，12分）已知f（x）=x2+x+a2+a，g（x）=x2-x+a2-a，且函数f（x）和g（x）的定义域均为R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）=max{f（x），g （x）}，（1）若a=1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|x2+x-2＜0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A.{-2，-1，0}B.{-1，0，1}C.{-1，0}D.{0，1}【正确答案】：C【解析】：可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|-2＜x＜1}，B={-2，-1，0，1，2}，∴A∩B={-1，0}．故选：C．【点评】：本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）已知复数z满足（z-1）i=1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：D【解析】：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，求出z的坐标得答案．【解答】：解：由（z-1）i=1+i，得z-1= 1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z=2-i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，-1），位于第四象限．故选：D．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.（单选题，5分）设a⃗、b⃗⃗都是非零向量，下列四个条件中，使a⃗⃗|a⃗⃗|=b⃗⃗|b⃗⃗|成立的充分条件是（）A. a⃗=−b⃗⃗B. a⃗∥b⃗⃗C. a⃗=2b⃗⃗D. a⃗∥b⃗⃗且|a⃗|=|b⃗⃗|【正确答案】：C【解析】：利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件【解答】：解：a⃗⃗|a⃗⃗|=b⃗⃗|b⃗⃗|⇔ a⃗=|a⃗⃗|b⃗⃗|b⃗⃗|⇔ a⃗与b⃗⃗共线且同向⇔ a⃗=λb⃗⃗且λ＞0，故选：C．【点评】：本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题．4.（单选题，5分）在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A.11πB.12πC.13πD.14π【正确答案】：B【解析】：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】：解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，∵BC=4，∠ABC=120°，∴CO=2 √3，•π•OC2•AB=12π，∴几何体的体积V= 13故选：B．【点评】：本题考查的知识点是旋转体的体积和表面积，其中分析出几何体的形状及底面半径和高之差等几何量是解答的关键．5.（单选题，5分）已知函数y=x a，y=b x，y=log c x的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.b＜c＜a【正确答案】：A【解析】：分别利用幂函数、指数函数、对数函数的性质，结合特殊点，即可判断出a，b，c的大小关系．【解答】：解：根据幂函数的性质可知：a＞0，又∵幂函数y=x a，当x=2时，y＜2，即2a＜2，∴0＜a＜1，根据指数函数的性质可知：b＞1，又∵指数函数y=b x，当x=1时，y＜2，即b＜2，∴1＜b＜2，根据对数函数的性质可知：c＞1，又∵对数函数y=log c x，当x=2时，y＜1，即log c2＜1，∴c＞2，故：a＜b＜c，故选：A．【点评】：本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的性质，是基础题．6.（单选题，5分）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）A.65，280B.68，280C.65，296D.68，296【正确答案】：D【解析】：先求出甲、乙两队队员所有队员中所占权重，然后利用平均数与方差的计算公式求解即可．【解答】：解：由题意可知甲队的平均数为60，乙队体重的平均数为70，甲队队员在所有队员中所占权重为11+4=15，乙队队员在所有队员中所占权重为41+4=45，则甲、乙两队全部队员的平均体重为x=15×60+45×70=68，甲、乙两队全部队员体重的方差为s2=15[200+(60−68)2]+45[300+(70−68)2] =296．故选：D．【点评】：本题考查了特征数的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．7.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=x2-6x+8，则函数f（x）的所有零点之和是（）A.2B.4C.6D.8【正确答案】：B【解析】：根据题意，分析可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，由函数的解析式求出x ＞1时函数的零点，分析可得x＜1时f（x）的零点，相加即可得答案．【解答】：解：根据题意，f（x+1）为奇函数，函数f（x+1）的图象关于（0，0）对称，则函数f（x）的图象关于（1，0）对称，当x＞1时，f（x）=x2-6x+8，此时若f（x）=x2-6x+8=0，解可得x1=2，x2=4，又由函数f（x）的图象关于（1，0）对称，则当x＜1时，f（x）=0有两解，为x3=0，x4=-2，则函数f（x）的所有零点之和为2+4+0+（-2）=4；故选：B．【点评】：本题考查函数与方程的关系，涉及函数的对称性以及函数的零点，属于基础题．8.（单选题，5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移π12个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，π2]上是单调增函数，则实数ω的最大值为（）A. 23B.1C. 65D.2【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】：解：函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移π12个单位长度得到函数g（x）=sin[ω（x- π12）]的图象，由于x ∈[0，π2]，所以ω(x−π12)∈[−ωπ12，5ωπ12]，由于函数g（x）在区间[0，π2]上是单调增函数，所以[−ωπ12，5ωπ12]⊆[−π2，π2]，故5ωπ12≤π2，且−ωπ12≥−π2，解得ω ≤65故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.（多选题，5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A. √a＞√bB. 1a2＞1b2C.ac2＞bc2D. a−1a ＞b−1b【正确答案】：AD【解析】：由不等式的性质逐一判断即可．【解答】：解：由a＞b＞0，可得√a＞√b，故A正确；由a＞b＞0，可得a2＞b2，所以1a2＜1b2，故B错误；若c=0，则ac2=bc2，故C错误；由a＞b＞0，可得1a ＜1b，所以- 1a＞- 1b，所以a- 1a＞b- 1b，故D正确．故选：AD．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．10.（多选题，5分）口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出的2球中至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A.事件A与D为对立事件B.事件B与C是互斥事件C.事件C与E为对立事件D.事件P（C∪E）=1【正确答案】：AD【解析】：由对立事件与互斥事件的定义及事件的运算依次求解判断即可．【解答】：解：∵事件A=“取出的两球同色”，D=“取出的两球不同色”，∴件A 与D 为对立事件，故A 对，事件BC=“取出的2球为一个黄球，一个白球”，故事件B 与C 不是互斥事件，故B 错，事件CE=“取出的2球有且只有一个白球”，故事件C 与E 不是对立事件，故C 错，事件C∪E 为必然事件，故P （C∪E ）=1，故D 对，故选：AD ．【点评】：本题考查了事件的运算及对立事件与互斥事件的定义，属于基础题． 11.（多选题，5分）△ABC 中，A= π2 ，AB=AC=2，则下列结论中正确的是（） A.若G 为△ABC 的重心，则 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.若P 为BC 边上的一个动点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 为定值4 C.若M 、N 为BC 边上的两个动点，且 MN =√2，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 32D.已知Q 是△ABC 内部（含边界）一点，若AQ=1，且 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值是1【正确答案】：BC【解析】：以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，由重心坐标公式结合向量的数乘与坐标运算判断选项A ；设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （0≤t≤1），把 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 用含有t 的代数式表示即可判断选项B ；不妨设M 靠近B ，|BM|=x ，则0≤x≤ √2 ，求得M 与N 的坐标，得到 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于x 的函数，利用二次函数求最值即可判断选项C ；由向量模的运算及基本不等式即可求解λ+μ的最大值，从而判断选项D ．【解答】：解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系．则A （0，0），B （2，0），C （0，2）． AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0）， AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2）．对于A ，由重心坐标公式，可得G （ 23 ， 23 ），则 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 23 ， 23 ）， 23 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 23 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 43 ， 43）， ∴ AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 23 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 错误；对于B ，设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （0≤t≤1），则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t （ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=t AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-t ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =[t AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-t ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]•（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=t AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t| AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |²+（1-t ）| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |²+（1-t ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4t+4（1-t ）=4，故B 正确；对于C ，不妨设M 靠近B ，|BM|=x ，则0≤x≤ √2 ，得M （2- √22 x ， √22 x ），N （2- √22 （x+ √2 ）， √22 （x+ √2 ））=（1- √22 x ，1+ √22 x ）．则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2- √22 x ， √22 x ）（1- √22 x ，1+ √22 x ） =（2- √22 x ）（1- √22 x ）+ √22 x （1+ √22 x ）=x²- √2 x+2．当x= √22 时， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为 32，故C 正确；对于D ，由 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2λ，2μ），Q 是△ABC 内部（含边界）一点，由AQ=1，可得4λ2+4μ2=1，即λ2+μ2= 14，所以（λ+μ）²=λ2+μ2+2λμ≤λ2+μ2+λ2+μ2= 12 ，当且仅当λ=μ= √24 时等号成立，所以λ+μ≤ √22 ，则λ+μ的最大值为 √22 ，故D 错误．故选：BC ．【点评】：本题主要考查平面向量的数乘与坐标运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于难题．12.（多选题，5分）已知三棱锥P-ABC 的每个顶点都在球O 的球面上，AB=BC=2，PA=PC= √5 ，AB⊥BC ，过B 作平面ABC 的垂线BQ ，且BQ=AB ，PQ=3，P 与Q 都在平面ABC 的同侧，则（）A.三棱锥P-ABC 的体积为 23 B.PA⊥ABC.PC || BQD.球O的表面积为9π【正确答案】：ABD【解析】：把三棱锥放置在长方体中，画出图形，由棱锥体积公式求三棱锥P-ABC的体积判断A；利用勾股定理证明PA⊥AB；由反证法思想说明C错误，求出长方体的外接球的表面积判断D．【解答】：解：如图，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，满足AB=BC=2，PA=PC= √5，AB⊥BC，三棱锥P-ABC的体积为13×12×2×2×1=23，故A正确；PB= √PD2+BD2=√PD2+AB2+AD2 = √22+22+12=3，满足PA2+AB2=PB2，可得PA⊥AB，故B正确；BQ⊥平面ABC，PD⊥平面ABC，则BQ || PD，假设PC || BQ，则PC || PD，与PD与PC相交于P矛盾，故C错误；三棱锥P-ABC的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R，则2R= √22+22+12=3，即R= 32，可得球O的表面积为4π×(32)2=9π，故D正确．故选：ABD．【点评】：本题考查多面体外接球表面积的求法，考查几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.（填空题，5分）已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ=- 15，则tanθ=___ ．【正确答案】：[1]- 34【解析】：由sinθ+cosθ=- 15，平方可由此求得sinθ•cosθ 的值，由sinθ•cosθ以及sin2θ+cos2θ=1 可得cosθ和sinθ的值，从而求得tanθ的值．【解答】：解：∵sinθ+cosθ=- 15 ，…（1）， ∴两边平方得1+2sinθcosθ= 125 ， ∴sinθcosθ=- 1225＜0，又0＜θ＜π，可知：sinθ＞0，cosθ＜0， ∴sinθ-cosθ＞0，∵（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=1+ 2425 = 4925 ， ∴sinθ-cosθ= 75 ， (2)由（1），（2）可得sinθ= 35，cosθ=- 45， ∴tanθ=- 34 ．故答案为：- 34 ．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．14.（填空题，5分）某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] 110【解析】：求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．【解答】：解：由题意，设2张一等奖分布为A ，B ，其余3张为1，2，3，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，分别为：AB ，BA ，A1，1A ，A2，2A ，A3，3A ，B1，1B ，B2，2B ，B3，3B ，12，21，13，31，23，32，共20种，其中甲先抽1张（不放回），乙再抽1张为AB ，BA 共两种，故甲中一等奖乙中一等奖的概率P= 220=110．故答案为： 110．【点评】：本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．15.（填空题，5分）已知函数f （x ）=|x+1|-|x-3|，若对∀x∈R ，不等式f （x ）≤m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][4，+∞）【解析】：去掉绝对值符号，化简函数f （x ）的解析式，结合函数的图象，求解函数的最大值，然后求解m 的范围即可．【解答】：解：（1）函数f （x ）=|x+1|-|x-3|= {−4，x ≤−12x −2，−1＜x ＜34，x ≥3，作出f （x ）的图象如图所示，由图象可得函数f （x ）的最大值为4，若对∀x∈R ，不等式f （x ）≤m 恒成立，则m≥4，即实数m 的取值范围是[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题． 16.（填空题，5分）已知正数a ，b 满足 a +b −1a−4b=8 ，则a+b 的最小值是 ___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：设a+b=x ，则 1a+4b=x −8 ，然后利用基本不等式的结论，构造关于x 的一元二次不等式，求解即可得到a+b 的最小值．【解答】：解：a ＞0，b ＞0，则a+b ＞0，设a+b=x ，则 1a +4b =x −8 ，由基本不等式的结论可得， 1a+4b ≥(√1+√4)2a+b=9a+b ，即（x-8）≥ 9x，即x 2-8x-9≥0，所以x≤-1（舍）或x≥9，即a+b≥9，当且仅当b=2a ，即a=3，b=6时取等号，所以a+b 的最小值为9．故答案为：9．【点评】：本题考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键在于构造，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．17.（问答题，10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知 c =23b ，sinB b=√3cosAa，（1）求A 的值；（2）若b=3，求△ABC 外接圆的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理化简已知等式可得tanA= √3 ，结合范围A∈（0，π），可得A 的值．（2）由题意可求c 的值，根据余弦定理可得a 的值，利用正弦定理可求△ABC 外接圆的半径，进而根据圆的面积公式即可求解．【解答】：解：（1）因为sinB b=√3cosAa，所以由正弦定理可得 sinBsinB =√3cosAsinA，即tanA= √3 ，因为A∈（0，π），所以A= π3 ．（2）因为b=3，c= 2b 3 =2，A= π3 ，所以由余弦定理可得a= √b 2+c 2−2bccosA = √9+4−2×3×2×12 = √7 ，所以△ABC 外接圆的半径R= a2sinA = √72×√32= √213，可得△ABC 外接圆的面积S=πR 2= 7π3 ．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.（问答题，12分）为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数x和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）．【正确答案】：【解析】：（1）设组距为a，利用频率之和为1，建立关于a的等式，求出a，然后得到横轴的数据，然后利用百分位数的计算方法求解即可；（2）利用频率分布直方图中平均数和方差的计算方法求解即可．【解答】：解：（1）设组距为a，则有（0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02）×a=1，解得a=2，所以横轴的数据依次为0，2，4，6，8，10，12，因为10～12所占频率为2×0.02=0.04，8～10所占频率为2×0.04=0.08，故8～12所占频率为0.12＞0.10，×2=8.5；故第90百分位数在[8，10]之间，即为10- 0.1−0.040.08（2）由频率分布直方图可得， x =（1×0.08+3×0.10+5×0.14+7×0.12+9×0.04+11×0.02）×2=5；s 2=[（1-5）2×0.08+（3-5）2×0.10+（5-5）2×0.14+（7-5）2×0.12+（9-5）2×0.04+（11-5）2×0.02]×2=7.04．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用，频率之和为1的应用，频率分布直方图中平均数、方差以及百分位数的求解，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．19.（问答题，12分）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．【正确答案】：【解析】：（1）设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”，则P （A ）= 1220 = 35 ，P （B ）= 820 = 25 ，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P （A B + AB ）=P （A ）P （ B ）+P （ A ）P （B ），由此能求出结果．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为P （ AB ）=P （ A ）P （ B ）．由此能求出结果【解答】：解：（1）设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”，则P （A ）= 1220 = 35 ，P （B ）= 820 = 25 ， ∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P （A B + AB ）=P （A ）P （ B ）+P （ A ）P （B ）= 35×(1−25) +（1- 35 ）× 25 = 1325 ．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为： P （ AB ）=P （ A ）P （ B ）=（1- 35 ）（1- 25 ）= 625 ．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.（问答题，12分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，−π2＜φ＜0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，−√3)，当|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）求函数f（x）在x∈(π9，4π9)内的值域；（3）若方程3[f（x）]2-f（x）+m=0在x∈(π9，4π9)内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数的定义求出φ的值，由当|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3，求出函数的周期，从而求出ω的值，由此得到函数的解析式，利用整体代换以及正弦函数的单调性求解即可；（2）利用x的范围，求出3x−π3∈[0，π]，利用由正弦函数的性质求解即可；（3）令t=f（x），则t∈（0，2]，将问题转化为y=-m与y=3t2-t的图象在t∈（0，2]上只有一个交点，利用数形结合法求解即可．【解答】：解：（1）由题意，角φ的终边经过点P(1，−√3)，则有tanφ=−√3，又−π2＜φ＜0，则φ=−π3，因为当|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3，则T=2π3=2πω，所以ω=3，故f（x）=2sin（3x- π3），令π2+2kπ≤3x−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，解得5π18+2kπ3≤x≤11π18+2kπ3，k∈Z，所以函数f（x）的单调减区间为[5π18+2kπ3，11π18+2kπ3]，k∈Z；（2）因为x∈(π9，4π9)，则3x−π3∈(0，π)，所以sin(3x−π3)∈(0，1]故f（x）∈（0，2]，所以函数f（x）在x∈(π9，4π9)内的值域为（0，2]；（3）由（2）可知，函数f（x）在x∈(π9，4π9)内的值域为（0，2]，令t=f（x），则t∈（0，2]，问题转化为方程3t2-t+m=0在（0，2]上仅有一个根或两个相等的根，① 当t=2，即m=-10，此时方程f（x）= 2sin(3x−π3)=2只有一解，② 当t∈（0，2），-m=3t2-t，则y=-m与y=3t2-t的图象在t∈（0，2）只有一个交点，即方程3[f（x）]2-f（x）+m=0在x∈(π9，4π9)内有两个不相等的实数解，故当-m= −112或0≤-m＜10 图象只有一个交点，故实数m的取值范围为{112}∪(−10，0]．【点评】：本题考查了函数与方程的综合应用，三角函数解析式的求解，三角函数性质的应用以及三角函数值域的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD̂所在的平面垂直，AB=2，AD= √22，M是CD̂上异于C，D的动点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）设BM和平面ABCD所成角为θ，求sinθ的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用面面垂直的性质定理证明BC⊥平面CMD，进一步证明DM⊥平面BMC，由面面垂直的判定定理证明即可；（2）过点M作MH⊥CD，交CD于点H，连接HB，MC，由面面垂直的性质定理可得MH⊥平面ABCD，则由线面角的定义，∠MBH为MB与平面ABCD所成角，即∠MBH=θ，设HC=x，（0＜x＜2），利用边角关系求出sin2θ=MH2MB2=2x−x22x+12，然后利用换元法2x+12=y∈(12，92)，结合基本不等式求解最值即可．【解答】：（1）证明：由题意可知，平面CMD⊥平面ABCD，且平面CMD∩平面ABCD=CD，又BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，故BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，所以BC⊥DM，因为M是CD̂上异于C，D的动点，且CD为直径，所以DM⊥CM，又BC∩CM=C，BC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC，又DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC；（2）解：过点M作MH⊥CD，交CD于点H，连接HB，MC，由平面DMC⊥平面ABCD，且平面CMD∩平面ABCD=CD，所以MH⊥平面ABCD，则∠MBH为MB与平面ABCD所成角，即∠MBH=θ，不妨设HC=x，（0＜x＜2），所以DH=2-x，则由射影定理可得，MH2=x（2-x）=2x-x2，又HB2=x2+(√22)2=x2+12，所以MB2=MH2+HB2=2x+12，故sin2θ=MH2MB2=2x−x22x+12，令2x+12=y∈(12，92)，故sin2θ=(y−12)(y−122)2y= 54−(y4+916y)≤54−2√y4•916y=12，当且仅当x= 12时取等号，所以sinθ的最大值为√22．【点评】：本题考查了面面垂直的性质定理和判定定理的应用，线面角定义的应用，利用基本不等式求解最值的应用，解题的关键是找到线面对应的角，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知f（x）=x2+x+a2+a，g（x）=x2-x+a2-a，且函数f（x）和g（x）的定义域均为R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）=max{f（x），g （x）}，（1）若a=1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．【正确答案】：【解析】：作差化简f（x）-g（x）=2（x+a），从而根据正负得M（x）= {f(x)，x≥−ag(x)，x＜−a，（1）当a=1时，M（x）= {x2+x+2，x≥−1x2−x， x＜−1，讨论求最小值，（2）根据函数f（x）和g（x）的对称轴分三类讨论求最值．【解答】：解：∵f（x）-g（x）=x2+x+a2+a-（x2-x+a2-a）=2（x+a），∴当x≥-a时，f（x）≥g（x），当x＜-a时，f（x）＜g（x），故M（x）=max{f（x），g（x）}= {f(x)，x≥−ag(x)，x＜−a，（1）当a=1时，M（x）= {x2+x+2，x≥−1x2−x， x＜−1，当x≥-1时，M（x）min=f（- 12）= 74，当x＜-1时，M（x）=g（x）＞g（-1）=2，故M（x）min= 74，（2）函数f（x）和g（x）的对称轴分别为x=- 12、x= 12，① 当-a≤- 12，即a≥ 12时，M（x）在（-∞，- 12）上单调递减，在（- 12，+∞）上单调递增，故M（x）min=f（- 12）=3，即a2+a- 134=0，解得a= √14−12或a=- 1+√142（舍去），② 当- 12＜-a≤ 12，即- 12≤a＜12时，M（x）在（-∞，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增，故M（x）min=f（-a）=3，即2a2=3，解得a=± √62（舍去），③ 当-a＞12，即a＜- 12时，M（x）在（-∞，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增，故M（x）min=g（12）=3，即a2-a- 134=0，解得a=- √14−12或a= 1+√142（舍去），综上所述，a=± √14−12．【点评】：本题考查了分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想方法应用及转化思想的应用，属于中档题．。

期末考试综合检测试卷-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题(人教A版2019必修第二册)

高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。

2020-2021学年广东省实验中学高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|1≤x+1＜5}，B＝{x|x≤2}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0≤x＜4}B．{x|0≤x≤2}C．{x|2＜x＜4}D．{x|x＜4}2．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A．y＝|x|，u＝B．y＝，s＝（）2C．D．3．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x+2）＝2x+x﹣2，则f（x）＝（）A．2x﹣2+x﹣4B．2x﹣2+x﹣2C．2x+2+x D．2x+2+x﹣26．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（2x﹣）D．y＝sin（2x﹣）8．方程cos x＝log8x的实数解的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、多项选择题（共4小题）.9．下列各式中，值为的是（）A．cos2﹣sin2B．C．2sin195°cos195°D．10．已知a，b为正实数，则下列判断中正确的是（）A．B．若a+b＝4，则log2a+log2b的最大值为2C．若a＞b，则D．若a+b＝1，则的最小值是811．已知函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，下列说法正确的是（）A．若x∈[﹣π，π]，则f（x）有2个零点B．f（x）的最小值为C．f（x）在区间上单调递减D．π是f（x）的一个周期12．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x，其中a，b∈R，且ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则（）A．B．C．是偶函数D．是奇函数三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数（ω＞0）的最小正周期是π，则ω＝，单调递增区间是．14．命题“所有三角形都有内切圆”的否定是．15．已知角θ的终边在直线y＝﹣3x上，则＝．16．已知函数，若a、b、c、d、e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），则M＝af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算下列各式的值：（1）；（2）．18．已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）x m+2，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若（3﹣a）m＞（a﹣1）m，求a的取值范围．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期、对称轴和对称中心；（2）若锐角α满足，且β满足，求cosβ的值．20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．21．已知定义域为R的函数，是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）单调性并证明；（3）若∀t∈[﹣1，4]，不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．22．已知函数为f（x）的零点，为f（x）图象的对称轴．（1）若f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，求f（x）；（2）若f（x）在上单调，求ω的最大值．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A＝{x|1≤x+1＜5}，B＝{x|x≤2}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0≤x＜4}B．{x|0≤x≤2}C．{x|2＜x＜4}D．{x|x＜4}解：因为集合A＝{x|1≤x+1＜5}＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴∁R B＝{x|x＞2}，∴A∩（∁R B）＝{x|2＜x＜4}，故选：C．2．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A．y＝|x|，u＝B．y＝，s＝（）2C．D．解：A．y＝|x|和的定义域都是R，对应关系也相同，是同一函数；B.的定义域为R，的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；C.的定义域为{x|x≠1}，m＝n+1的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；D.的定义域为{x|x≥1}，的定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，定义域不同，不是同一函数．故选：A．3．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a解：∵，∴a＜0，∵ln3＞lne＝1，∴b＞1，∵0＜2﹣0.99＜20＝1，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：D．4．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：在△ABC中，A∈（0，π），考虑充分性，“”推不出“”，如当A＝时，sin A＝，所以“”不是“”的充分条件；再考虑必要性，“”⇒A∈（）⇒“”，所以“”是“”的必要条件；故选：C．5．已知函数f（x+2）＝2x+x﹣2，则f（x）＝（）A．2x﹣2+x﹣4B．2x﹣2+x﹣2C．2x+2+x D．2x+2+x﹣2解：设t＝x+2，则x＝t﹣2，∴f（t）＝2t﹣2+t﹣2﹣2＝2t﹣2+t﹣4，∴f（x）＝2x﹣2+x﹣4．故选：A．6．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由函数y＝，y＝log a（x+），当a＞1时，可得y＝是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝log a（x+），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y＝是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝log a（x+），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选：D．7．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（2x﹣）D．y＝sin（2x﹣）解：由函数图象知，A＝，＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，所以函数f（x）＝sin（2x+φ）；因为f（）＝sin（+φ）＝﹣sin（+φ）＝﹣，所以+φ＝+2kπ，k∈Z；解得φ＝+2kπ，k∈Z；又0＜φ＜，所以φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）；将函数的图象向右平移个单位长度后，得y＝sin[2（x﹣）+]的图象，即y＝sin（2x﹣）．故选：C．8．方程cos x＝log8x的实数解的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：方程cos x＝log8x的实数解的个数，即函数y＝cos x的图象和函数y＝log8x的图象交点的个数．数形结合可得函数y＝cos x的图象和函数y＝log8x的图象（图中红色曲线）交点的个数为3，故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．下列各式中，值为的是（）A．cos2﹣sin2B．C．2sin195°cos195°D．解：对于A，cos2﹣sin2＝cos＝；对于B，＝tan45°＝；对于C，2sin195°cos195°＝sin390°＝sin30°＝；对于D，＝＝．故选：BC．10．已知a，b为正实数，则下列判断中正确的是（）A．B．若a+b＝4，则log2a+log2b的最大值为2C．若a＞b，则D．若a+b＝1，则的最小值是8解：已知a，b为正实数，（a+）（b+）＝ab+++≥2+2＝4，当且仅当a＝b ＝1是取等号，故，所以A正确；因为正实数a，b满足a+b＝4，∴4≥2，化为：ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，则log2a+log2b＝log2（ab）≤log24＝2，其最大值是2．则log2a+log2b的最大值为2，所以B正确；若a＞b，a，b为正实数，有不等式性质有，所以C正确；若a+b＝1，+＝（+）•（a+b）＝1+4++≥5+2＝9，所以D不正确；故选：ABC．11．已知函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，下列说法正确的是（）A．若x∈[﹣π，π]，则f（x）有2个零点B．f（x）的最小值为C．f（x）在区间上单调递减D．π是f（x）的一个周期解：根据函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，整理得f（x）＝2cos2x+|cos x|﹣1，对于A：若x∈[﹣π，π]，当x＝±π或时，满足函数f（x）＝0，则f（x）有4个零点，故A错误；对于B：由于t∈[0，1]，当t＝0时，f（x）的最小值为﹣1，故B错误；对于C：利用函数的关系式转换为f（x）＝g（x）+h（x），由于函数g（x）＝|cos x|在（0，）上单调递减，函数h（x）＝|cos2x|在（0，）上单调递减，故f（x）在区间上单调递减，故C正确；对于D：因为f（x+π）＝f（x），所以f（x）的周期T＝π，故D正确；故选：CD．12．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x，其中a，b∈R，且ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则（）A．B．C．是偶函数D．是奇函数解：由题意函数f（x）＝a sin x+b cos x＝sin（x+φ），其中a，b∈R，ab≠0．因为＝1，对一切x∈R恒成立，可知f（）＝±1，所以+φ＝kπ+，k∈Z，可得φ＝kπ+，k∈Z，可得φ＝，f（）＝sin（+），f（）＝sin（+），故f（）＞f（），或f（）＜f（），故A错误；因为f（x﹣）＝sin（x﹣+）＝sin x，所以f（x）为奇函数，故C错误；因为f（x+）＝sin（x++）＝sin（x+）＝cos x，又因为cos x是偶函数，所以f（x）为偶函数，故D错误；f（﹣x）＝sin（﹣x）＝sin（x﹣），故B正确；故选：B．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数（ω＞0）的最小正周期是π，则ω＝2，单调递增区间是．解：由周期的求解方法可知；π＝，可得ω＝2；可得函数f（x）＝2sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ∴+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）即函数f（x）的递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z），故答案为2，[+kπ，+kπ]（k∈Z）14．命题“所有三角形都有内切圆”的否定是“存在一个三角形没有内切圆”．解：全称命题“所有三角形都有内切圆”，它的否定是特称命题：“存在一个三角形没有内切圆”．故答案为：“存在一个三角形没有内切圆”．15．已知角θ的终边在直线y＝﹣3x上，则＝．解：∵角α的终边在直线y＝3x上，∴tanα＝3，∴＝＝＝＝．故答案为：．16．已知函数，若a、b、c、d、e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），则M＝af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）的取值范围为（0，9）．解：函数f（x）的图象如图所示：由图可得a+d＝2，b+c＝2，5＜e＜6，所以M＝（a+b+c+d+e）f（e）＝（4+e）（6﹣e）＝﹣e2+2e+24＝﹣（e﹣1）2+25，因为5＜e＜6，所以函数M在（5，6）上单调递减，又e＝5时，M＝9，e＝6时，M＝0，所以M的取值范围为（0，9），故答案为：（0，9）．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）原式＝；（2）原式＝3+lg100+2＝3+2+2＝7．18．已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）x m+2，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若（3﹣a）m＞（a﹣1）m，求a的取值范围．解：（1）∵函数是幂函数，∴m2+2m﹣2＝1，即m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或m＝﹣3，∵幂函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴m+2＜0，即m＜﹣2，∴m＝﹣3，∴f（x）＝x﹣1，（2）令g（x）＝x﹣3，因为g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，∵（3﹣a）﹣3＞（a﹣1）﹣3，∴3﹣a＜a﹣1＜0或0＜3﹣a＜a﹣1或3﹣a＞0＞a﹣1，解得2＜a＜3或a＜1，故a的取值范围为：{a|2＜a＜3或a＜1}．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期、对称轴和对称中心；（2）若锐角α满足，且β满足，求cosβ的值．解：f（x）＝sin2x﹣×（1+cos2x）+＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），则（1）f（x）的最小正周期T＝，由2x﹣＝kπ+得2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，即函数的对称轴为{x|x＝+，k∈Z}．由2x﹣＝kπ得2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，即函数的对称中心为（+，0），k∈Z．（2）若锐角α满足，且β满足，则sin[2（α+）﹣]＝﹣，得sin（2α+）＝cos2α＝﹣，即2cos2α﹣1＝﹣，得2cos2α＝，即cos2α＝，则cosα＝，sinα＝，∵，∴cos（α+β）＝±，当cos（α+β）＝时，cosβ＝cos（α+β﹣α）＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝×+×＝，当cos（α+β）＝﹣时，cosβ＝cos（α+β﹣α）＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝．20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．解：（1）函数y＝ka x（k＞0，a＞1）与在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y＝ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1）符合要求．根据题意可知x＝2时，y＝24；x＝3时，y＝36，∴，解得．故该函数模型的解析式为，1≤x≤12，x∈N*；（2）当x＝0时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是m2，由＞10•，得＞10，∴x＞＝≈5.9，∵x∈N*，∴x≥6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．21．已知定义域为R的函数，是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）单调性并证明；（3）若∀t∈[﹣1，4]，不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．解：（1）由于定义域为R的函数是奇函数，则即，解得，即有f（x）＝，经检验成立；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．证明：设任意x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，由于x1＜x2，则2x1＜2x2，即有＞0，则有f（x1）＞f（x2），故f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；（3）不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0，由奇函数f（x）得到f（﹣x）＝﹣f（x），f（2t2﹣kt）＜﹣f（2+t2）＝f（﹣t2﹣2），再由f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则2t2﹣kt＞﹣t2﹣2，即有3t2﹣kt+2＞0对t∈[﹣1，4]恒成立，当t＝0时，2＞0，显然成立；当0＜t≤4时，k＜＝3t+，3t+≥2，当且仅当t＝时，取得等号，则k＜2；当﹣1≤t＜0时，k＞＝3t+，又3t+＝﹣[（﹣3t）+]≤﹣2，当且仅当t＝﹣∈[﹣1，0）时，取得等号，则k＞﹣2；综上可得k的范围是（﹣2，2）．22．已知函数为f（x）的零点，为f（x）图象的对称轴．（1）若f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，求f（x）；（2）若f（x）在上单调，求ω的最大值．解：（1）因为f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，则6个零点间有周期，所以①，又8个零点间的一定比[0，2π]的区间长度大，即②，由①②可得，又为f（x）的零点，所以，k1∈Z③，为f（x）图象的对称轴，则，k2∈Z④，④﹣③可得，即ω＝2（k2﹣k1）+1，因为k1∈Z，k2∈Z，所以ω为奇数，故ω＝3，由③可得φ＝，k1∈Z，又|φ|，所以φ＝﹣，故；（2）由（1）可知，ω＝2（k2﹣k1）+1，k1，k2∈Z，故ω为奇数，因为f（x）在上单调，则，解得ω≤12，所以ω的最大值可能为11，9，7，…，当ω＝11时，φ＝k1π，又|φ|，所以φ＝﹣，故，此时函数f（x）在上不单调；当ω＝9时，φ＝k1π，又|φ|，所以φ＝，故，此时函数f（x）在上单调递减，符合题意．综上可得，ω的最大值为9．。

2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)

2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8；（3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个．故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确；对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确；对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确；对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =，所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥，所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤，所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞．故选：B【点睛】关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=，解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <，即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确；由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确．故选：ABCD ．【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误；最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--，则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点，又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集；（3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立，当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ，综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根，即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===；（2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=；（3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0．【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0，即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0；（2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦，由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>，当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π，所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+，又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=，可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈，因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元．【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可．（2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =．所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3．答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。

2020-2021学年广东省广州市天河区高一(下)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1．已知复数z＝a2+（a+1）i，若z是纯虚数，则z的共轭复数＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．把颜色分别为红、黄、白、紫的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．事件“甲分得红色球”与事件“乙分得红色球”是（）A．对立事件B．相互独立事件C．互斥但非对立事件D．以上都不对3．某校高一甲、乙两个班分别有男生24名、15名，现用比例分配的分层随机抽样方法从两班男生中抽取样本量为13的样本，对两个班男生的平均身高进行评估．已知甲班、乙班男生身高的样本平均数分别为175cm、177.6cm，以所抽取样本的平均身高作为两个班男生的平均身高，则两个班男生的平均身高为（）A．176cm B．176.3cm C．176.6cm D．176.9cm4．复平面内的平行四边形OABC的项点A和C（O是坐标原点）对应的复数分别为4+2i 和﹣2+6i，则点B对应的复数为（）A．2+6i B．2+8i C．6+2i D．8+2i5．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则EF 与平面ABCD所成角的正切值是（）A．B．C．D．6．某运动队为了对A、B两名运动员的身体机能差异进行研究，将A、B两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分绘成折线图，并提出下列四个结论，其中错误的结论是（）A．第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分B．第2天至第7天B运动员的得分逐日提高C．第2天至第3天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量D．A运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差7．关于空间两条不同直线a，b和两个不同平面α，β，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊥β，a⊥b，b⊂α，则α∥βC．若a∥α，α⊥β，则a⊥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b8．如图，在△ABC中，∠CAB＝，AB＝3，AC＝2，，，则||＝（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年广东省广州市天河区高一上学期期末数学试题及答案解析

绝密★启用前2020-2021学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，4}D．{﹣1，4}2．已知角α的终边经过点（x，﹣3），且，则x＝（）A．±4B．4C．﹣4D．3．已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+2＜6B．∀x∈R，x2+2≥6C．∃x0∈R，x02+2＜6D．∃x0∈R，x02+2≥64．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．5．设函数f（x）＝x+log2x﹣m，若函数f（x）在上存在零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．6．x2＞y2的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．|x|＞|y|C．x＞|y|D．7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（）A．B．C．10s D．8．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n 的最小整数值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．6B．7C．8D．9二、选择题（共4小题）.9．下列命题中错误的是（）A．当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，的最小值是4B．当x＜0时，的最大值是﹣2C．当0＜x＜1时，的最小值是2D．当时，的最小值是210．关于函数，下列结论正确的是（）A．该函数的其中一个的周期为﹣πB．该函数的图象关于直线对称C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到y＝3cos2x+1的图象D．该函数在区间上单调递减11．下列几种说法中，正确的是（）A．面积相等的三角形全等B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件C．若a为实数，则“a＜1”是“”的必要不充分条件D．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题12．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且对任意的x∈R，恒有f（x+2）＝f（2﹣x），已知当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x，则有（）A．函数f（x）是周期函数，且周期为2B．函数f（x）的最大值是4，最小值是1C．当x∈[2，4]时，f（x）＝22﹣xD．函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f（x）＝log5（8﹣3x）的定义域为．14．求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝．15．已知函数f（x）＝2x2+ax﹣1（a∈R），若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则a的取值范围是．16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，，若对于任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）求不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3的解集；（2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．18．（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求cos（α+β）．19．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x（a∈R）．（1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；（2）当a＝﹣2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（2）当时，解不等式f（x）的值域；（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式f（x）≥0．21．5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润．22．已知函数f（x）＝log2（x2+1）．（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3；（2）设函数g（x）＝2f（x）+，若g（x）在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，4}D．{﹣1，4}解：∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x＜0或x＞4}，∴A∩B＝{﹣1}．故选：A．2．已知角α的终边经过点（x，﹣3），且，则x＝（）A．±4B．4C．﹣4D．解：∵角α的终边经过点（x，﹣3），且＝，则x＝﹣4，故选：C．3．已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+2＜6B．∀x∈R，x2+2≥6C．∃x0∈R，x02+2＜6D．∃x0∈R，x02+2≥6解：命题是全称命题，则否定是：∃x0∈R，x02+2＜6，故选：C．4．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．解：由函数f（x）的图象知A＝2，T＝2×（+）＝4π，∴ω＝＝，由五点法作图可得×+φ＝π，且|φ|＜π，∴φ＝，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．故选：D．5．设函数f（x）＝x+log2x﹣m，若函数f（x）在上存在零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x+log2x﹣m在区间（0，+∞）上为增函数，由函数f（x）在上存在零点，∴f（）＝﹣2﹣m＜0，f（8）＝8+3﹣m＞0，解得﹣＜m＜11，故函数f（x）在上存在零点时，m∈．故选：B．6．x2＞y2的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．|x|＞|y|C．x＞|y|D．解：x2＞y2等价于|x|＞|y|，若x＝1，y＝﹣2，则x＞y，但|x|＜|y|，故选择A错误；|x|＞|y|是x2＞y2的充要条件，故选项B错误；当x＞|y|时，则有x2＞y2，但x2＞y2不能得到x＞|y|，比如x＝﹣2，y＝1，故选项C正确；当x＝1，y＝2时，，但是x2＜y2，故选项D错误．故选：C．7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（）A．B．C．10s D．解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，∴T＝，则ω＝，振幅A为筒车的半径，即A＝4，K＝，由题意，t＝0时，d＝0，∴0＝4sinφ+2，即sinφ＝﹣，∵＜φ＜，∴φ＝．则+2，由d＝6，得6＝4sin（）+2，∴sin（）＝1，∴，k∈Z，得t＝，k∈Z．∴当k＝0时，t取最小值为（s）．故选：D．8．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n 的最小整数值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．6B．7C．8D．9解：∵0.8×100＝80，∴喝酒后驾驶员100mL血液中酒精含量为80mg，则n小时后的血液中酒精含量为80×（1﹣20%）n＝80×0.8n，由80×0.8n＜20，解得，因为他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，所以n≥7，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题中错误的是（）A．当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，的最小值是4B．当x＜0时，的最大值是﹣2C．当0＜x＜1时，的最小值是2D．当时，的最小值是2解：对于A，当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，y＝2﹣x＞2，＝＝＝∈（﹣∞，0），所以A错；对于B，当x＜0时，＝﹣（）≥﹣＝﹣2，x＝﹣1时“＝“成立，所以B对；对于C，当0＜x＜1时，，而函数f（t）＝t+在（0，1）上单调递减，无最小值，所以C错；对于D，当时，0＜sin x≤1，而函数f（t）＝t+在（0，1]上单调递减，≥1，x＝时“＝“成立，所以D对；故选：BD．10．关于函数，下列结论正确的是（）A．该函数的其中一个的周期为﹣πB．该函数的图象关于直线对称C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到y＝3cos2x+1的图象D．该函数在区间上单调递减解：令f（x）＝；对于A，因为f（x+（﹣π））＝＝＝＝fx），所以A对；对于B，因为f（）＝＝＝＝fx），所以B对；对于C，f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数f（）＝＝，函数f（）与函数y＝3cos2x+1不同，所以C错；对于D，⇒⇒f（x）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，⊂，所以D对；故选：ABD．11．下列几种说法中，正确的是（）A．面积相等的三角形全等B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件C．若a为实数，则“a＜1”是“”的必要不充分条件D．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题解：对于A，因为同底等高三角形未必全等，所以A错；对于B，当x＝0，y＝4时，x（y﹣3）＝0，但，x2+（y﹣3）2＝1≠0，所以B错；对于C，当a＜1，未必有，如a＝﹣1，所以不充分；反之，⇒a＞0⇒a＜1，则“a＜1”是“”的必要条件，所以C对；对于D，先求出命题“若a＞b＞0，则”的否命题，￢（a＞b＞0）⇔￢（（a＞b）∧（b＞0））⇔￢（a＞b）∨￢（b＞0）⇔（a≤b）∨（b≤0），￢（）⇔，所以命题“若a＞b＞0，则”的否命题是：“若a≤b或b≤0，则”，分情况说明：①若b＝0，无意义，所以不成立，②若b＜0，取a＝b＞b，则不成立，③若a≤b，取b＞0，a＜0，则不成立，由①②③知，否命题为假，所以D对；故选：CD．12．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且对任意的x∈R，恒有f（x+2）＝f（2﹣x），已知当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x，则有（）A．函数f（x）是周期函数，且周期为2B．函数f（x）的最大值是4，最小值是1C．当x∈[2，4]时，f（x）＝22﹣xD．函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，即f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，又由f（x+2）＝f（2﹣x），则f（﹣x）＝f（4+x），则有f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，A错误，对于B，当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x＝，在区间[0，2]上为减函数，则其最大值为f（0）＝4，最小值为f（2）＝1，又由f（x）为偶函数，则区间[﹣2，0]上，其最大值为f（0）＝4，最小值为f（﹣2）＝f（2）＝1，又由f（x）是周期为4的周期函数，函数f（x）的最大值是4，最小值是1；B正确，对于C，当x∈[2，4]，则4﹣x∈[0，2]，f（x）是周期为4的偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝f（4﹣x）＝22﹣（4﹣x）＝2x+2，C错误，对于D，f（x）是偶函数且在区间[0，2]上为减函数，则f（x）在[﹣2，0]上为增函数，f（x）是周期为4的周期函数，则函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减，D正确，故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f（x）＝log5（8﹣3x）的定义域为（﹣∞，）．解：由题意得8﹣3x＞0，解得x＜，故函数的定义域是（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．14．求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝﹣1．解：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝sin25°cos（90°+25°）+cos（180°﹣25°）cos25°＝﹣sin25°sin25°﹣cos25°cos25°＝﹣sin225°﹣cos225°＝﹣1．故答案为：﹣1．15．已知函数f（x）＝2x2+ax﹣1（a∈R），若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则a的取值范围是（﹣∞，﹣]．解：若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则∀x∈（1，2），a≤恒成立，只需a≤（）min，x∈（1，2），令g（x）＝，x∈（1，2），所以g′（x）＝＝＜0，所以g（x）在（1，2）上单调递减，所以g（x）＞g（2）＝＝﹣，所以a≤﹣，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣]．故答案为：（﹣∞，﹣]．16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，，若对于任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣]．解：当x≥0时，f（x）＝﹣，∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝，∴f（x）＝，∴f（x）在R上是单调递减函数，且f（x）可化为f（x）＝﹣，且满足2f（x）＝f（﹣4x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）＝f（﹣4x）在x∈[t，t+1]恒成立，∴x+t≤﹣4x在[t，t+1]恒成立，即5x≤﹣t在[t，t+1]恒成立，∴5t+5≤﹣t，解得t≤﹣，即t的取值范围是（﹣∞，﹣]．故答案为：（﹣∞，﹣]．四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）求不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3的解集；（2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．解：（1）不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3可化为x2﹣3x+2＜0，即（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，所以该不等式的解集为（1，2）；（2）x≥1时，x﹣1≥0，所以（2x3+1）﹣（2x+x4）＝（2x3﹣2x）﹣（x4﹣1）＝2x（x2﹣1）﹣（x2﹣1）（x2+1）＝（x2﹣1）（2x﹣x2﹣1）＝﹣（x+1）（x﹣1）3≤0，所以2x3+1≤2x+x4．18．（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求cos（α+β）．解：（1）∵，∴tanα＝＝＝，＝＝＝＝＝．（2）∵，，∴+β∈（，），则cos（+β）＝﹣＝﹣，﹣α∈（﹣，﹣），则﹣α∈（﹣，0），则sin（﹣α）＝﹣，则cos（α+β）＝cos[（+β）﹣（﹣α）]＝cos（+β）cos（﹣α）+sin（+β）sin （﹣α）＝×+（﹣）×＝．19．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x（a∈R）．（1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；（2）当a＝﹣2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明．解：（1）显然f（x）的定义域为R，若f（x）为奇函数，则f（0）＝1+a＝0，∴a＝﹣1，经检验a＝﹣1时，f（x）为奇函数，∴a＝﹣1时，函数f（x）为奇函数．（2）当a＝﹣2时，f（x）＝e x﹣2e﹣x，此时f（x）在R上单调递增，证明如下：证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝∵x1，x2∈R且x1＜x2，∴，，∴＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在R上单调递增．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（2）当时，解不等式f（x）的值域；（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式f（x）≥0．解：（1）f（x）＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+2×＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．由2x+＝kπ，得2x＝kπ﹣，得x＝﹣，即函数的对称中心为（﹣，），k∈Z．（2）当时，2x∈（﹣，），2x+∈（﹣，），则sin（2x+）∈（sin（﹣），sin]，即sin（2x+）∈（﹣，1]，2sin（2x+）∈（﹣1，2]，则2sin（2x+）+∈（﹣1，2+]，即函数f（x）的值域为（﹣1，2+]．（3）由f（x）≥0得2sin（2x+）+≥0，得sin（2x+）≥﹣，得2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴当k＝0时，≤x≤，当k＝1时，≤x≤π，当k＝﹣1时，﹣π≤x≤﹣，即不等式的解集为[﹣π，﹣]∪[，]∪[，π]．21．5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润．解：（Ⅰ）当0＜x＜70时，y＝100x﹣（），当x≥70时，y＝100x﹣（101x+﹣2060）﹣400＝1660﹣（x+）．∴；（Ⅱ）当0＜x＜70时，y＝﹣＝，当x＝60时，y取最大值1400万元；当x≥70时，y＝1660﹣（x+），当且仅当，即x＝80时y取最大值1500．综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大约利润为1500万元．22．已知函数f（x）＝log2（x2+1）．（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3；（2）设函数g（x）＝2f（x）+，若g（x）在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．解：（1）∵f（x）＝log2（x2+1）≥0．∴由方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3可得f（x）＝2，∴log2（x2+1）＝2，∴，∴方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3的解集为{，﹣}；（2）∵2f（x）＝x2+1，∴函数g（x）＝2f（x）+＝＝（x+）2﹣2b（x+）+b2﹣2，令t＝x+，（1≤x≤2），则t，g（x）＝h（t）＝t2﹣2bt+b2﹣2＝（t﹣b）2﹣2，t∈[2，]，①当b时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（）＝2，整理可得4b2﹣20b+9＝0，解答b＝或（舍）②当b≤2时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（2）＝2，整理可得4b2﹣4b＝0，解答b＝0或4（舍）③当2时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（b）＝﹣2≠2，综上，b的值为0或．。

2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二(上)期末数学试卷

2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）在空间直角坐标系下，点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A.（3，-6，2）B.（-3，-6，-2）C.（3，6，-2）D.（3，-6，-2）2.（单选题，5分）若椭圆x2p +y24=1的一个焦点为（0，-1），则p的值为（）A.5B.4C.3D.23.（单选题，5分）双曲线x2m2+12−y24−m2=1的焦距是（）A.4B. 2√2C.8D.与m有关4.（单选题，5分）在数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），则a2020的值为（）A. −14B.5C. 45D.以上都不对5.（单选题，5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A.4B.5C.6D.76.（单选题，5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（）A.78石B.76石C.75石D.74石7.（单选题，5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+1=0D.2x-4y+1=08.（单选题，5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2= 34，则椭圆的离心率e=（）A. 12B. √22C. 14D. √249.（多选题，5分）已知递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=S11，则（）A.a10＞0B.当n=9时，S n最大C.S17＞0D.S19＞010.（多选题，5分）已知双曲线C过点(3，√2)且渐近线方程为y=±√3x，则下列结论正3确的是（）A.C的方程为x2−y2=13B.C的离心率为√3C.曲线y=e x-2-1经过C的一个焦点D.直线x−√3y−1=0与C有两个公共点11.（多选题，5分）已知直线l：（a+1）x+ay+a=0（a∈R）与圆C：x2+y2-4x-5=0，则下列结论正确的是（）A.存在a，使得l的倾斜角为90°B.存在a，使得l的倾斜角为135°C.存在a，使直线l与圆C相离D.对任意的a直线l与圆C相交，且a=1时相交弦最短12.（多选题，5分）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD与直线C1M始终是异面直线B.存在点M，使得B1M⊥AEC.四面体EMAC的体积为定值D.当D1M=2MB时，平面EAC⊥平面MAC13.（填空题，5分）等轴双曲线的离心率为___ ．14.（填空题，5分）若a n=（-1）n•（2n-1），则数列{a n}的前21项和S21=___ ．15.（填空题，5分）将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（2，3），（4，5，6），⋯，则第22组中的第一个数是 ___ ．16.（填空题，5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（1）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n-1a n，类比4课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n-4n a n=___ ．17.（问答题，10分）已知各项均为正数的等差数列{a n}中，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．18.（问答题，12分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，点M为棱A1B1的中点．（1）求证：C1M || 平面DB1E；（2）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．19.（问答题，12分）已知点P（1，m）是抛物线C：y2=2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l：y=k（x-1）与抛物线C相交于不同的两点A，B．（1）求抛物线C的方程；（2）若|AB|=8，求k的值．20.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=3a1=3，且当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n．（1）证明：数列{a n+1-a n}是等比数列；，求数列{b n}的前n项和T n．（2）设b n=a n+1a n+1a n21.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD || BC，AD⊥CD，且AD=CD=1，BC=2，PA=1．（1）求证：AB⊥PC；，求三棱锥M-ACP体积．（2）点M在线段PD上，二面角M-AC-D的余弦值为√3322.（问答题，12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？（2）若l过点（m3若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）在空间直角坐标系下，点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A.（3，-6，2）B.（-3，-6，-2）C.（3，6，-2）D.（3，-6，-2）【正确答案】：C【解析】：直接利用点的对称的应用求出结果．【解答】：解：点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为N（3，6，-2）；故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：点的对称，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2.（单选题，5分）若椭圆x2p +y24=1的一个焦点为（0，-1），则p的值为（）A.5B.4C.3D.2【正确答案】：C【解析】：由题意得到关于p的方程，解方程即可确定p的值．【解答】：解：由题意可知椭圆的焦点在y轴上，则a2=4，b2=p，c2=1，从而4=p+1，p=3．故选：C．【点评】：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，属于基础题．3.（单选题，5分）双曲线x2m2+12−y24−m2=1的焦距是（）A.4B. 2√2C.8D.与m有关【正确答案】：C【解析】：由双曲线的方程可先根据公式c2=a2+b2求出c的值，进而可求焦距2c【解答】：解：由题意可得，c2=a2+b2=m2+12+4-m2=16∴c=4 焦距2c=8故选：C．【点评】：本题主要考查了双曲线的定义的应用，解题的关键熟练掌握基本结论：c2=a2+b2，属于基础试题4.（单选题，5分）在数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），则a2020的值为（）A. −14B.5C. 45D.以上都不对【正确答案】：A【解析】：求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．【解答】：解：数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），a2=1+4=5，a3=1- 15 = 45，a4=1- 54=- 14，•••，所以数列的周期为3，a2020=a673×3+1=a1= −14．故选：A．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．5.（单选题，5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A.4B.5C.6D.7【正确答案】：A【解析】：求得抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，可得点P到抛物线的焦点F的距离．【解答】：解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则P（3，±2√3），∴P到抛物线的准线的距离为：4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4．故选：A．【点评】：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题．6.（单选题，5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（）A.78石B.76石C.75石D.74石【正确答案】：A【解析】：由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差d=a3−a13−1 = −362=-18，再由S3=3a1+3×22×(−18) =180，能求出甲应该分得78石．【解答】：解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，∴ d=a3−a13−1 = −362=-18，S3=3a1+3×22×(−18) =180，解得a1=78（石）．∴甲应该分得78石．故选：A．【点评】：本题考查等差数列的首项的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（单选题，5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+1=0D.2x-4y+1=0【正确答案】：D【解析】：由三角形的重心、垂心和外心的定义与性质，推出△ABC的欧拉线就是线段AB的中垂线，再求得中垂线的斜率和线段AB的中点，即可得解．【解答】：解：因为AC=BC，所以点C在线段AB的中垂线上，设该中垂线为直线l，取BC的中点D，连接AD，则AD与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的重心，过点A作AE⊥BC于E，则AE与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的垂心，因为外心到△ABC的三个顶点的距离相等，所以外心也在直线l上，故△ABC的欧拉线就是直线l，由A（2，0），B（1，2），知AB的中点坐标为（32，1），直线AB的斜率为2−01−2=-2，所以直线l的斜率为12，其方程为y-1= 12（x- 32），即2x-4y+1=0．故选：D．【点评】：本题考查直线方程的求法，两条直线的垂直关系，理解三角形的重心、垂心和外心的定义与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.（单选题，5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2= 34，则椭圆的离心率e=（）A. 12B. √22C. 14D. √24【正确答案】：D【解析】：由题意可得|AF1|=|AF2|=a，|F1F2|=2c，在三角形中由余弦定理可得a，c之间的关系，进而求出离心率．【解答】：解：由题意可得|AF1|=|AF2|=a，|F1F2|=2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1AF2= |PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|•|PF2| = a2+a2−4c22a2= 34，可得a2=8c2，即离心率e= ca = √24（0＜e＜1），故选：D．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查余弦定理的应用，是基础题．9.（多选题，5分）已知递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=S11，则（）A.a10＞0B.当n=9时，S n最大C.S17＞0D.S19＞0【正确答案】：BC【解析】：由递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=S11，列出方程，求出a1=−172d＞0，再逐一判断各选项．【解答】：解：∵递减的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=S 11，∴ {d ＜07a 1+7×62d =11a 1+11×102d，解得 a 1=−172d ＞0， ∴a 10=a 1+9d=- 172d +9d = 12d ＜0，故A 错误；S n =na 1+ n (n−1)2d =- 17d 2n + d 2n 2 - d 2n = d 2 （n-9）2- 812d ． ∴当n=9时，S n 最大，故B 正确；S 17=17a 1+17×162d =17×（- 172 d ）+136d=-8.5d ＞0，故C 正确； S 19=19a 1+ 19×182 d=19×（- 172d ）+171d=9.5d ＜0，故D 错误．故选：BC ．【点评】：本题考查命题真假的判断，等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．10.（多选题，5分）已知双曲线C 过点 (3，√2) 且渐近线方程为 y =±√33x ，则下列结论正确的是（）A.C 的方程为 x 23−y 2=1B.C 的离心率为 √3C.曲线y=e x-2-1经过C 的一个焦点D.直线 x −√3y −1=0 与C 有两个公共点【正确答案】：AC【解析】：由双曲线的渐近线为 y =±√33x ，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A ；再求出双曲线的焦点坐标判断B ，C ；直线与双曲线的渐近线的关系判断D ．【解答】：解：由双曲线的渐近线方程为 y =±√33x ，可设双曲线方程为 x 23−y 2=λ ，把点 (3，√2) 代入，得 93 -2=λ，即λ=1．∴双曲线C 的方程为 x 23−y 2=1 ，故A 正确；由a 2=3，b 2=1，得c= √a 2+b 2 =2，∴双曲线C √3 = 2√33 ，故B 错误；取x-2=0，得x=2，y=0，曲线y=e x-2-1过定点（2，0），故C 正确；双曲线的渐近线 x ±√3y =0，直线 x −√3y −1=0 与双曲线的渐近线平行，直线 x −√3y −1=0 与C 有1个公共点故D 不正确．故选：AC．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的简单性质，是中档题11.（多选题，5分）已知直线l：（a+1）x+ay+a=0（a∈R）与圆C：x2+y2-4x-5=0，则下列结论正确的是（）A.存在a，使得l的倾斜角为90°B.存在a，使得l的倾斜角为135°C.存在a，使直线l与圆C相离D.对任意的a直线l与圆C相交，且a=1时相交弦最短【正确答案】：AD【解析】：对于AB选项，根据倾斜角可判断直线的位置以及斜率，进而可以求出a的值，而C选项根据直线与圆相离满足的条件可求出a的值是否存在，而D选项，先求出直线过的定点，可判断直线与圆的位置，且定点与圆心连线与直线垂直时弦长最短可求出a的值．【解答】：解：选项A：当a=0时，直线方程为x=0，此时倾斜角为90°，A正确，选项B：当倾斜角为135°时，直线斜率为-1，即- a+1a=-1，解得a为空集，B错误，选项C：圆C的圆心为C（2，0），半径r=3，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为|(a+1)×2+a|√(a+1)2+a2＞3，整理得：9a2+6a+5＜0，不等式无解，C错误，选项D：经分析直线过定点M（0，-1），此点在圆内，所以直线与圆恒相交，当直线CM与直线l垂直时，直线CM和直线l的斜率之积等于-1，即：−a+1a ×0−(−1)2−0=-1解得a=1，此时弦长最短，D正确，故选：AD．【点评】：本题考查了直线与圆的位置关系以及直线倾斜角和直线过定点的问题，考查了学生的运算能力，推理能力，属于基础题．12.（多选题，5分）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD与直线C1M始终是异面直线B.存在点M，使得B1M⊥AEC.四面体EMAC 的体积为定值D.当D 1M=2MB 时，平面EAC⊥平面MAC【正确答案】：BCD【解析】：当M 为BD 1的中点时可知A 错误，证明BD 1 || 平面EAC 可知C 正确；建立空间坐标系，利用向量判断BD 即可．【解答】：解：（1）当M 为BD 1的中点时，直线AD 与直线C 1M 是相交直线，交点为A ，故A 错误；（2）以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间坐标系D-xyz ，设正方体棱长为1，则A （1，0，0），E （0，0， 12 ），B （1，1，0），D 1（0，0，1），B 1（1，1，1），∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，0， 12）， B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，-1）， BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-1，1）． BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （0≤λ≤1），则 B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，-λ，λ-1），若B 1M⊥AE ，则 B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即λ+ 12 （λ-1）=0，解得λ= 13， ∴当M 为线段BD 1的靠近B 的三等分点时，B 1M⊥AE ，故B 正确；（3）连接BD ，取BD 的中点O ，连接EO ，则O 也是AC 的中点，由中位线定理可知BD 1 || EO ，∴BD 1 || 平面ACE ，故V E-MAC =V M-ACE =V B-ACE ，故C 正确；（4）∵AC⊥BD ，AC⊥DD 1，BD∩DD 1=D ，∴AC⊥平面BDD 1，∴AC⊥OE ，AC⊥OM ，故∠EOM 为二面角E-AC-M 的平面角，当D 1M=2BM 时，M （ 23 ， 23 ， 13 ），又O （ 12 ， 12 ，0），∴ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 16 ， 16 ， 13 ）， OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 12 ，- 12 ， 12）， ∴ OE ⃗⃗⃗⃗⃗ •OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- 112 - 112 + 16 =0，∴OE⊥MO ，故平面EAC⊥平面MAC ，故D 正确．故选：BCD ．【点评】：本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，可适当选用平面向量法解决几何问题，属于中档题．13.（填空题，5分）等轴双曲线的离心率为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：根据等轴双曲线的定义，可得a=b，从而可得离心率．【解答】：解：∵等轴双曲线中a=b∴c= √a2+b2 = √2 a= √2∴e= ca故答案为：√2【点评】：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）若a n=（-1）n•（2n-1），则数列{a n}的前21项和S21=___ ．【正确答案】：[1]-21【解析】：直接利用数列的通项公式和组合法的应用求出结果．【解答】：解：由于a n=（-1）n•（2n-1），则S21=（-1+3）+（-5+7）+（-9+11）+…+（-41）=2×10-4=-21．故答案为：-21．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式，组合法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．15.（填空题，5分）将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（2，3），（4，5，6），⋯，则第22组中的第一个数是 ___ ．【正确答案】：[1]232【解析】：根据已知可得，第n组中最后一个数即为前n组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，进而求得第22组中的第3个数【解答】：解：由条件，可得第21组的最后一个数为1+2+3+4+5+6+⋯⋯+21= 21(1+21)2=231，所以第22组的第1个数为232．【点评】：本题考查了归纳推理，等差数列前n项和公式的应用，找到数字的规律是解题的关键，属于中档题．16.（填空题，5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（14）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n-1a n，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n-4n a n=___ ．【正确答案】：[1]n【解析】：先对S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n-1两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S n-4n a n的表达式．【解答】：解：由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n-1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n-1•4n-1+a n•4n②① + ② 得：5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n-1•（a n-1+a n）+a n•4n=a1+4× 14 +42•（14）2+…+4n-1•（14）n-1+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n-4n•a n=n，故答案为：n．【点评】：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，关键点在于对课本中推导等比数列前n 项和公式的方法的理解和掌握．17.（问答题，10分）已知各项均为正数的等差数列{a n}中，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）通过等数列中项的性质求出a2=5，等比数列中项性质求出d=2，然后分别求出数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）分组求和即可．【解答】：解：（1）设等差数列的公差为d，则由已知得，a1+a2+a3=3a2=15，即a2=5，又（5-d+2）（5+d+13）=（a 2+5）2=100，解得d=2或d=-13（舍去），所以a 1=a 2-d=3，∴a n =a 1+（n-1）×d=2n+1，又b 1=a 1+2=5，b 2=a 2+5=10，∴q=2，∴ b n =5⋅2n−1 ．（2）由（1）知，a n +b n =2n+1+5×2n-1，所以T n = n (3+2n+1)2 + 5−5×2n 1−2=5×2n +n 2+2n-5．【点评】：本题考查了等差数列等比数列的综合，分组求和，属于基础题．18.（问答题，12分）如图所示，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC⊥BC ，AC=BC=2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD=1，CE=2，点M 为棱A 1B 1的中点．（1）求证：C 1M || 平面DB 1E ；（2）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）只要证明C 1M 与平面DB 1E 的法向量数量积为零即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角正弦值．【解答】：（1）证明：建系如图，C （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C 1（0，0，3），A 1（2，0，3），B 1（0，2，3），D （2，0，1），E （0，0，2），M （1，1，3），C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，−2，−2) ， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-1），令 n ⃗ =(1，−1，2) ，因为 B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n⃗ =0， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0 ，所以 n ⃗ =(1，−1，2) 为平面DB 1E 的法向量，因为 C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0，C 1M⊄平面DB 1E ，所以C 1M || 平面DB 1E ．（2）解：由（1）知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，2，0) ， n ⃗ =(1，−1，2) 为平面DB 1E 的一个法向量，设AB 与平面DB 1E 所成角为θ，所以 sinθ=|cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |=√33，所以直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为 √33 ．【点评】：本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．19.（问答题，12分）已知点P （1，m ）是抛物线C ：y 2=2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l ：y=k （x-1）与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ．（1）求抛物线C 的方程；（2）若|AB|=8，求k 的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用已知条件求出p，即可得到抛物线方程．（2）设出AB坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】：解：（1）抛物线C：y2=2px的准线为x=p2，由|PF|=2得：1+p2=2，得p=2．所以抛物线的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由{y=k(x−1)y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，Δ=16k2+16＞0，∴ x1+x2=2k2+4k2，∵直线l经过抛物线C的焦点F，∴ |AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=8，解得：k=±1，所以k的值为1或-1．【点评】：本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是基本知识的考查，中档题．20.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=3a1=3，且当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n．（1）证明：数列{a n+1-a n}是等比数列；（2）设b n=a n+1a n+1a n，求数列{b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）将条件中的递推式整理为a n+1-a n=2a n-2a n-1=2（a n-a n-1），从而可证数列{a n+1-a n}是等比数列；（2）化简数列{b n}的通项公式，利用裂项相消法求和．【解答】：（1）证明：因为当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n，所以a n+1+2a n-1=3S n-3S n-1=3a n，所以a n+1-a n=2a n-2a n-1=2（a n-a n-1），即a n+1−a na n−a n−1=2，（n≥2，n∈N*），又a2-a1=3-1=2，所以数列{a n+1-a n}是首项为2，公比为2的等比数列；解：（2）由（1）知，a n+1−a n=2⋅2n−1=2n，则a1=1，a2−a1=21，a3−a2=22，…… a n−a n−1=2n−1，各项相加，可得a n=1+21+22+⋯+2n−1=1−2n1−2=2n-1，所以b n=a n+1a n+1a n =2n(2n+1−1)(2n−1)= 12n−1−12n+1−1，故 T n=b1+b2+…+b n= 121−1−122−1+122−1−123−1+…+12n−1−12n+1−1= 121−1−12n+1−1= 1−12n+1−1．【点评】：本题考查了等比数列的证明以及数列的求和问题，属于中档题．21.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD || BC，AD⊥CD，且AD=CD=1，BC=2，PA=1．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M-AC-D的余弦值为√33，求三棱锥M-ACP体积．【正确答案】：【解析】：（1）可证△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，可得PA⊥AB，进而AB⊥平面PAC，可证结论；（2）过点M作MN⊥AD于N，则MN || PA，过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥NG，cos∠MGN= √33，则√2 NG=MN，又AN= √2 NG=MN，设MN=x，△MND是等腰直角三角形，可解得x，从而可求体积．【解答】：（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=1，BC=2，∴AC= √2，AB= √(BC−AD)2+CD2 = √2，∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，又PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，（2）解：过点M作MN⊥AD于N，则MN || PA，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC，过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥NG，∴∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，若cos∠MGN= √33，则√2 NG=MN，又AN= √2 NG=MN，设MN=x，则AN=x，ND=1-x，∵△MND是等腰直角三角形，解得x=1-x，所以MN= 12，所以M是PD的中点，所以V P-ACM= 12 V P-ACD= 12× 13× 12×1×1×1= 112．【点评】：本题考查线线垂直的证明，以及空间几何体的体积，属中档题．22.（问答题，12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（m3，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】：解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M （x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，则判别式△=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，则x1+x2= −2kb9+k2，则x M= x1+x22= −kb9+k2，y M=kx M+b= 9b9+k2，于是直线OM的斜率k OM= y Mx M = −9k，即k OM•k=-9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（m3，m），∴由判别式△=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，即k2m2＞9b2-9m2，∵b=m- k3m，∴k2m2＞9（m- k3m）2-9m2，即k2＞k2-6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y= −9kx，设P的横坐标为x P，由{y=−9kx9x2+y2=m2得x P2=k2m29k2+81，即x P=3√9+k2，将点（m3，m）的坐标代入l的方程得b= m(3−k)3，即l的方程为y=kx+ m(3−k)3，将y= −9k x，代入y=kx+ m(3−k)3，得kx+ m (3−k )3 = −9kx 解得x M =k (k−3)m 3(9+k 2) ，四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P =2x M ，于是 3√9+k 2 =2× k (k−3)m 3(9+k 2) ，解得k 1=4- √7 或k 2=4+ √7 ，∵k i ＞0，k i ≠3，i=1，2，∴当l 的斜率为4- √7 或4+ √7 时，四边形OAPB 能为平行四边形．【点评】：本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。

广东省清远市2020-2021学年高一上学期期末教学质量检测数学试题(Word解析版)

广东省清远市2020~2021学年度第一学期期末教学质量检测高一数学考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容:人教A 版必修第一册。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f (x )=x-log 527的零点所在的区间为A .(2,3)B .(1,2)C .(0,1)D .(3,4)2.下列各角中,与735°终边相同的角是A .5°B .15°C .25°D .35°3.已知函数f (x )={2x ,x <0,x 2+2x -4,x ≥0,则f (f (1))=A .-1B .-4C .1D .44.某幼儿园满天星班开设“小小科学家”、“小小演说家”兴趣小组,假设每位学员最少参加一个小组,其中有13位学员参加了“小小科学家”兴趣小组,有16位学员参加了“小小演说家”兴趣小组,有8位学员既参加了“小小科学家”兴趣小组,又参加了“小小演说家”兴趣小组,则该幼儿园满天星班学员人数为A.19B.20C.37D.215.已知a=log312,b=3-0.2,c=log35,则A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a6.函数f(x)=sin x·ln|x|的部分图象大致为7.已知角θ的终边经过点P(tan 225°,2sin 225°),则sin θ-cos θ=A.-√6+√33B.√3-√63C.√6-√33D.√6+√338.若函数f(x)=log2(ax2+4x+2)的值域为R,则实数a的取值范围是A.[0,2]B.(0,2]C.[0,+∞)D.[2,+∞)二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.已知α为第一象限角,则A.α+π为第三象限角B.α-π2为第二象限角C.sin 2α>0D.cos 2α>010.下列结论中正确的有A.“∃x∈R,sin x+1<0”是真命题B.“log3x<2”是“x2-9x-10<0”的充分不必要条件C .命题“∀x>0,2x+3x >1”的否定为“∃x>0,2x+3x≤1” D .“x>0”是“2x>1”的必要不充分条件11.已知函数y=f (x )是R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2+x+a-2,则A .a=2B .f (2)=2C .f (x )是R 上的增函数D .f (-3)=-1212.已知函数f (x )=2sin (2x+π3),g (x )=2cos (2x+π6),则A .直线x=π12是f (x )图象的一条对称轴B .将g (x )图象上所有的点向右平移π6个单位长度即可得到f (x )的图象C .g (x )在区间(π3,2π3)上单调递减 D .函数h (x )=f (x )+g (x )的最大值为2√3第Ⅱ卷三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知集合M={1,2x },N={x },若N ⊆M ,则x= ▲ . 14.已知M=a 2+4a+1,N=2a-12,则M ▲ N.(填“>”或“<”)15.已知函数f (x )对于任意的实数x ,y 满足f (x+y )=f (x )·f (y ),且f (x )恒大于0,若f (1)=3,则f (-1)= ▲ .16.已知α,β∈(0,π2),且sin α=2√23,sin (α+β)=23,则cos β= ▲ .四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)(1)化简:(3a13b-12)2·√a43÷(ab)-1(a>0,b>0).(2)计算:log53×(log325+lo g135)-lg 4-lg 250.18.(本题满分12分)在①角α的终边经过点P(1,2),②α∈(0,π2),sin α=√55,③α∈(0,π2),sin α+2cos α=√102这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.问题:已知,且tan(α+β)=4,求tan β的值. 注:如果选择多个条件解答,按第一个解答计分.19.(本题满分12分)已知幂函数y=f(x)的图象经过点P(5,25).(1)求f (x )的解析式; (2)用定义法证明函数g (x )=f(x)+4x在区间(2,+∞)上单调递增.20.(本题满分12分)已知函数f (x )=log a x (a>0,且a ≠1)在区间[1,4]上的最小值为-2. (1)求a 的值;(2)若函数g (x )=f (3x+18)+m 存在零点,求m 的取值范围.21.(本题满分12分)已知函数f (x )=2a x-2-1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点(m ,n ).(1)若正数b ,c 满足b+2c=m+n ,求2b +1c 的最小值; (2)求关于x 的不等式x m-(a+n )x+a>0的解集.22.(本题满分12分)已知函数f (x )=√32cos (2ωx+π6)+sin 2(ωx+π3)-12(0<ω<2),且f (π4)=0.(1)求f (x )的解析式;(2)先将函数y=f (x )图象上所有的点向右平移π6个单位长度,再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,得到函数y=g (x )的图象.若g (x )在区间(π4-α,π4+α)上有且只有一个x 0,使得g (x 0)取得最大值,求α的取值范围.清远市2020~2021学年度高一第一学期期末教学质量检测数学参考答案1.A 因为2<log 527<3,所以f (x )的零点所在的区间为(2,3).2.B 735°=15°+2×360°.3.C f (f (1))=f (-1)=12.4.D 由题可知,该幼儿园满天星班学员人数为13+16-8=21.5.B 因为log 312>log 35>1,3-0.2<1,所以b<c<a.6.D 因为f (x )=sin x ·ln |x|(x ≠0),所以f (-x )=sin (-x )·ln |-x|=-sin x ln |x|=-f (x ),所以f (x )为奇函数,排除A ,C .当0<x<1时,f (x )<0,排除B ,故选D .7.A 因为tan 225°=tan 45°=1,sin 225°=-sin 45°=-√22,所以sin θ-cos θ=√2√1+(-√2)-√1+(-√2)=-√6+√3.8.A 由题可知,函数y=ax 2+4x+2的值域包含(0,+∞).当a=0时,符合题意;当a>0时,则Δ=42-4×2a ≥0,解得0<a ≤2;当a<0时,显然不符合题意.故实数a 的取值范围是[0,2].9.AC α+π表示将α的终边逆时针旋转180°后所得的角,α-π2表示将α的终边顺时针旋转90°后所得的角.因为α为第一象限角,所以α+π为第三象限角,α-π2为第四象限角.sin 2α=2sin αcos α>0,cos 2α=2cos 2α-1的正负符号不确定.故选A ,C .10.BC 因为-1≤sin x ≤1,所以sin x+1≥0,A 错误.由log 3x<2得0<x<9,由x 2-9x-10<0解得-1<x<10,所以“log 3x<2” 是“x 2-9x-10<0”的充分不必要条件,B 正确.全称量词命题的否定为存在性量词命题,C 正确.由2x >1解得x>0,所以“x>0”是“2x>1”的充要条件,D 错误.11.ACD 由题可知,f (0)=a-2=0,所以a=2,f (2)=22+2=6,f (-3)=-f (3)=-(32+3)=-12,A ,D 正确,B 错误.当x ≥0时,f (x )=x 2+x 单调递增,又f (x )是R 上的奇函数,所以f (x )是R 上的增函数,C 正确.12.ABD 2×π12+π3=π2,故A 正确;g (x-π6)=2cos [2(x-π6)+π6]=2cos [(2x+π3)-π2]=2sin (2x+π3),B 正确;因为x ∈(π3,2π3),所以2x+π6∈(5π6,3π2),g (x )不单调,C 错误;h (x )=2sin (2x+π3)+2cos (2x+π6)=2√3cos 2x ,故h (x )的最大值为2√3,D 正确. 13.0或1 若x=1,则M={1,2},N={1},符合条件;若2x=x ,即x=0,则M={1,0},N={0},符合条件. 14.> M-N=a 2+4a+1-2a+12=a 2+2a+32=(a+1)2+12>0,故M>N.15.13令x=y=0,则f (0)=f 2(0),解得f (0)=1或f (0)=0(舍去).令x=1,y=-1,则f (0)=f (1)·f (-1),因为f (1)=3,所以f (-1)=1.16.4√2-√59 因为α,β∈(0,π2),所以α+β∈(0,π),又因为sin (α+β)=23<sin α=2√23,所以α+β∈(π2,π),故cos α=1,cos (α+β)=-√5,cos β=cos [(α+β)-α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=-√53×13+23×2√23=4√2-√59. 17.解:(1)原式=9a 23b -1·a43÷(a -1b -1)................................................... 2分=9a 23+43-(-1)b-1-(-1) ................................................................ 4分=9a 3. ......................................................................... 5分(2)原式=log 53×(2log 35-log 35)-(lg 4+lg 250) ........................................... 2分=log 53×log 35-lg 1000 ........................................................... 3分 =1-3 ......................................................................... 4分 =-2. ......................................................................... 5分18.解:选择①,因为角α的终边经过点P (1,2),所以tan α=21=2. ............................................................... 3分又tan (α+β)=4,所以tan β=tan [(α+β)-α] ........................................... 5分=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα................................................................ 8分 =4-21+4×2...................................................................... 10分 =29. ......................................................................... 12分选择②,因为α∈(0,π2),sin α=√55,所以cos α=√1-sin 2α=2√55,tan α=sinαcosα=12. ............................................ 3分又tan (α+β)=4,所以tan β=tan [(α+β)-α] ........................................... 5分=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα ................................................................ 8分 =4-121+4×12...................................................................... 10分 =76. ......................................................................... 12分选择③,因为sin α+2cos α=√102,所以(sin α+2cos α)2=sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α=52, .................................. 1分所以4tanα+3tan 2α+1=32,解得tan α=3或tan α=-13(舍去). ....................................... 3分又tan (α+β)=4,所以tan β=tan [(α+β)-α] ........................................... 5分=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα................................................................ 8分 =4-31+4×3...................................................................... 10分 =1. ........................................................................ 12分19.(1)解:设f (x )=x a, .............................................................. 1分因为f (x )的图象经过点P (5,25),所以f (5)=5a=25,解得a=2, ................................... 3分所以f (x )=x 2. ................................................................... 4分(2)证明:由(1)可知g (x )=x 2+4x =x+4x,任取x 1,x 2∈(2,+∞),令x 1>x 2, ................................ 5分则g (x 1)-g (x 2)=x 1+4x 1-x 2-4x 2=(x 1-x 2)x 1x 2-4x 1x 2. ............................................... 7分因为x 1>x 2>2,所以x 1-x 2>0,x 1x 2>4, ..................................................... 8分所以(x 1-x 2)x 1x 2-4x 1x 2>0,即g (x 1)>g (x 2), ................................................... 10分故g (x )在区间(2,+∞)上单调递增. ................................................... 12分 20.解:(1)若a>1,则f (x )=log a x 在区间[1,4]上单调递增,则f (x )min =f (1)=0,不符合条件; ................ 2分若0<a<1,则f (x )=log a x 在区间[1,4]上单调递减,则f (x )min =f (4)=log a 4=-2,解得a=12. ................. 5分综上,a=12. ..................................................................... 6分(2)由题可知,g (x )=f (3x+18)+m=lo g 12(3x+18)+m , .............................................. 7分因为3x+18>18,所以lo g 12(3x+18)<lo g 1218=3. ................................................ 9分因为g (x )=f (3x+18)+m 存在零点,所以3+m>0, ............................................. 11分故m 的取值范围为(-3,+∞). ....................................................... 12分 21.解:(1)因为a 0=1(a>0,且a ≠1),所以m=2,n=1, ........................................... 1分则b+2c=3,且b>0,c>0, ............................................................. 2分所以2b +1c =13(b+2c )(2b +1c )=13(2+b c +4c b+2)≥83, ................................................ 5分当且仅当b=32,c=34时取等号. ........................................................ 6分 (2)由题可知,x m-(a+n )x+a=x 2-(a+1)x+a=(x-a )(x-1),故原不等式等价于(x-a )(x-1)>0. ..................................................... 8分当0<a<1时,不等式的解集为(-∞,a )∪(1,+∞); ........................................... 10分当a>1时,不等式的解集为(-∞,1)∪(a ,+∞). ............................................ 12分22.解:(1)f (x )=√32cos (2ωx+π6)+1-cos(2ωx+2π3)2-12........................................... 1分 =√32cos (2ωx+π6)+12sin (2ωx+π6) ...................................................... 2分=cos 2ωx. .................................................................... 3分因为0<ω<2,f (π4)=cosωπ2=0,所以ω=1,f (x )=cos 2x. ....................................... 4分 (2)由题可知,g (x )=2cos 2(x-π6)=2cos (2x-π3). ............................................. 5分因为g (x )在区间(π4-α,π4+α)上有且只有一个x 0,使得g (x 0)取得最大值,所以0<2α≤2π,即0<α≤π. ...................................................... 7分因为x ∈(π4-α,π4+α),所以2x-π3∈(π6-2α,π6+2α),则π6-2α∈[-11π6,π6),π6+2α∈(π6,13π6].................................................... 8分当π6-2α<0,即α>π12时,π6+2α≤2π,故π12<α≤11π12; ....................................... 10分当π6-2α≥0,即α≤π12时,2π<π6+2α≤13π6,故α∈⌀; ..................................... 11分综上,α的取值范围为(π12,11π12]. ..................................................... 12分。

2020-2021学年广东省广州市白云区、海珠区高一(下)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年广东省广州市白云区、海珠区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．5D．2．已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且⊥，则x＝（）A．﹣9B．9C．﹣4D．43．高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100．则在男生中抽取的样本量为（）A．48B．51C．50D．494．如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A'B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A'B′＝6，则△ABC的面积是（）A．9B．9C．18D．185．已知||＝6，||＝4，与的夹角为60°，则（+2）•（﹣3）＝（）A．﹣72B．72C．84D．﹣846．某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本．现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）A．B．C．D．7．如图，已知＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量＝（）A．（+）B．2（+）C．（﹣）D．2（﹣）8．已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形F′A′E′﹣C′B′D′，其中A′E′＝，则空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A．这组数据的平均数是8B．这组数据的极差是4C．这组数据的中位数是8.5D．这组数据的方差是210．已知复数z＝cosα+（sinα）i（α∈R）（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A．当α＝﹣时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B．当α＝时，z为纯虚数C．|z|最大值为D．z的共轭复数为＝﹣cosα+（sinα）i（α∈R）11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A．该圆台轴截面ABCD面积为3cm2B．该圆台的体积为cm3C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC所在平面内点，满足x+y+z＝0，下列说法正确的有（）A．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的重心B．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的外心C．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的内心D．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的垂心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为．14．天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是．15．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝4，VC＝2，则二面角A﹣VC﹣B的余弦值为．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别为线段AC，AB上一点，满足AM：MC＝1：2，AN：NB＝1：3，CN与BM的交点为P，则线段AP的长度为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．现有两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球．（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率．18．已知角A是△ABC的内角，若＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）．（1）若，求角A的值；（2）设f（x）＝，当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）．19．如图，直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，D是AB的中点．（1）求证：直线BC′∥平面A'CD；（2）若AC＝CB，求异面直线AB'与CD所成角的大小．20．2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），[115，120]，得到如图的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间[90，100）的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率；（3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间[115，120]的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全．假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？21．如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AC为⊙O的直径，AB＝3，BC＝4，PA＝3，AE ⊥PB，点F为线段BC上一动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）当点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值．22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．5D．解：∵z＝，∴|z|＝||＝，故选：A．2．已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且⊥，则x＝（）A．﹣9B．9C．﹣4D．4解：∵，∴，解得x＝9．故选：B．3．高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100．则在男生中抽取的样本量为（）A．48B．51C．50D．49解：高一年级共有510+490＝1000人，所以男生抽取的人数为人．故选：B．4．如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A'B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A'B′＝6，则△ABC的面积是（）A．9B．9C．18D．18解：在斜二测直观图中，由△A'B′C′为等腰直角三角形，A'B′＝6，可得A'C′＝，还原原图形如图：则AB＝6，AC＝6，则＝．故选：D．5．已知||＝6，||＝4，与的夹角为60°，则（+2）•（﹣3）＝（）A．﹣72B．72C．84D．﹣84解：∵||＝6，||＝4，与的夹角为60°，∴＝，则（+2）•（﹣3）＝＝36﹣12﹣6×16＝﹣72．故选：A．6．某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本．现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）A．B．C．D．解：从6本书中随机抽取2本，共有种取法，若两本书来自同一类书籍则有种取法，所以两本书恰好来自同一类书籍的概率是．故选：C．7．如图，已知＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量＝（）A．（+）B．2（+）C．（﹣）D．2（﹣）解：∵＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，∴AB是△MNS的中位线，∴＝2＝2（﹣）＝2（﹣）．故选：D．8．已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形F′A′E′﹣C′B′D′，其中A′E′＝，则空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为（）A．B．C．D．解：如图，过A′作A′G⊥C′F′，垂足为G，连接E′G，则E′G⊥C′F′，过B′作B′H⊥C′F′，垂足为H，连接D′H，则D′H⊥C′F′，可得平面A′GE′∥平面B′HD′，即三棱柱A′GE′﹣B′HD′为直三棱柱．∵A′F′＝1，∠A′F′G＝60°，可得，，同理求得，，又A′E′＝，∴A′G2+E′G2＝A′E′2，∴空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为V＝＝．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A．这组数据的平均数是8B．这组数据的极差是4C．这组数据的中位数是8.5D．这组数据的方差是2解：对于A，这组数据的平均数是（7+8+9+10+6+8）＝8，故A正确；对于B，这组数据的极差是10﹣6＝4，故B正确；对于C，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10，∴这组数据的中位数是8，故C错误；对于D，这组数据的方差是S2＝[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2]＝，故D错误．故选：AB．10．已知复数z＝cosα+（sinα）i（α∈R）（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A．当α＝﹣时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B．当α＝时，z为纯虚数C．|z|最大值为D．z的共轭复数为＝﹣cosα+（sinα）i（α∈R）解：对于A，当α＝﹣时，z＝cos（）+[sin（）]i＝﹣，复平面内表示复数z的点位于第四象限，故A错误；对于B，当α＝时，z＝cos+（sin）i＝，为纯虚数，故B正确；对于C，，最大值为，故C正确；对于D，z的共轭复数为＝cosα﹣（sinα）i，故D错误．故选：BC．11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A．该圆台轴截面ABCD面积为3cm2B．该圆台的体积为cm3C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm解：由AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，可得CD＝4，高O1O2＝＝，则圆台轴截面ABCD面积为（2+4）×＝3cm2，故A正确；圆台的体积为V＝π（1+4+2）×＝πcm3，故B正确；圆台的母线AD与下底面所成的角为∠ADO1，其正弦值为，所以∠ADO1＝60°，故C错误；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，侧面展开图的圆心角为θ＝＝π，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝4，OP＝2+1＝3，则CP＝＝5，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确．故选：ABD．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC所在平面内点，满足x+y+z＝0，下列说法正确的有（）A．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的重心B．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的外心C．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的内心D．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的垂心解：若x＝y＝z＝1则，∴．取AC中点D，连接OD，∴．∴O在△ABC的中线BD上，同理可得O在其它两边的中线上，∴O是△ABC的重心．若x＝a，y＝b，z＝c，则有，延长CO交AB于D，则，，∴a（）+b（）+c＝，设＝k，则（ka+kb+c）+（a+b）＝，∵与共线，与，不共线，∴ka+kb+c＝0，a+b＝，∴，∴CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线．∴O是△ABC的内心．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为212．解：根据题意，将10个数据从小到大排列：100，120，125，165，175，190，234，310，425，430；10×60%＝6，则该组数据的第60百分位数为＝212，故答案为：212．14．天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是0.38．解：根据题意，设事件A表示甲地下雨，事件B表示乙地下雨，P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，甲，乙两地只有一个地方降雨的概率P＝P（A）+P（B）＝0.2×（1﹣0.3）+（1﹣0.2）×0.3＝0.38；故答案为：0.38．15．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝4，VC＝2，则二面角A﹣VC﹣B的余弦值为．解：取VC的中点D，连接AD、BD，因为VA＝VB＝AC＝BC＝4，所以AD⊥VC，BD⊥VC，所以∠ADB即为二面角A﹣VC﹣B的平面角，因为VA＝VB＝AC＝BC＝4，VC＝2，所以AD＝BD＝，而AB＝4，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB＝＝，故答案为：．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别为线段AC，AB上一点，满足AM：MC＝1：2，AN：NB＝1：3，CN与BM的交点为P，则线段AP的长度为．解：以A为原点，AB为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（，），M（，），N（，0），所以直线BM的方程为y＝（x﹣1），即x+5y﹣＝0，直线CN的方程为y＝（x﹣），即4x﹣4y﹣＝0，联立，解得，即P（，），所以AP＝＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．现有两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球．（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率．解：（1）两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，则试验的样本空间Ω＝{（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2）}．（2）试验的样本空间Ω＝{（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2）}，包含6个样本点，其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，∴恰好抽到一个红球一个白球的概率P＝＝．18．已知角A是△ABC的内角，若＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）．（1）若，求角A的值；（2）设f（x）＝，当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）．解：（1）∵角A是△ABC的内角，∴0＜A＜π，又＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）且，∴﹣，即2（sin A+）＝0，∴sin（A+）＝0，∵0＜A＜π，∴＜A+＜，则A+＝π，即A＝；（2）f（x）＝＝＝，∵＜A﹣＜，∴要使f（x）取得最大值，则，即A＝．∴＝（，cos）＝（，﹣），∴在上的投影向量为＝•（1，﹣1）＝（2，﹣2）．19．如图，直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，D是AB的中点．（1）求证：直线BC′∥平面A'CD；（2）若AC＝CB，求异面直线AB'与CD所成角的大小．解：（1）证明：连接AC′，交AC于点O，连接DO，∵直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，ACC′A′是矩形，∴O是AC′中点，∵D是AB的中点，∴OD∥BC′，∵BC′⊄平面A'CD，OD⊂平面A'CD，∴直线BC′∥平面A'CD；（2）解法一：∵AC＝CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AA′⊥平面ABC，∴CD⊂平面ABC，∴AA′⊥CD，∵AB∩AA′＝A，∴CD⊥平面ABB′A′，∵AB′⊂平面ABB′A′，∴AB′⊥CD，∴异面直线AB'与CD所成角的大小为90°．解法二：∵AC＝CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设CD＝c，AB＝a，AA′＝b，则A（﹣，0，0），B′（，0，b），C（0，c，0），D（0，0，0），＝（a，0，b），＝（0，﹣c，0），∵•＝0，∴AB′⊥CD，∴异面直线AB'与CD所成角的大小为90°．20．2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），[115，120]，得到如图的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间[90，100）的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率；（3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间[115，120]的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全．假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？解：（1）设平均车速的中位数的估值为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣105.0）＝0.5x＝107.5故平均车速的中位数为107.5．（2）车速在[90，95）内的有0.01×40×5＝2，车速在[95，100）的有0.02×40×5＝4，故抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率．（3）设事件A为“汽车收到短信提醒”，则，∵汽车的速度不受影响，∴连续两辆汽车都收到短信体现的概率P＝．21．如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AC为⊙O的直径，AB＝3，BC＝4，PA＝3，AE ⊥PB，点F为线段BC上一动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）当点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为PA垂直于⊙O所在的平面，即PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又AC为⊙O的直径，所以AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，因为AE⊥PB，BC∩PB＝B，所以AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．（2）解：因为AB＝3，PA＝3，所以PB＝＝3，又AE⊥PB，所以AE＝＝，由AB2＝BE•PB，可得BE＝，如图，过点E作EG∥PA交AB于点G，则＝，可得EG＝，又BC＝4，所以EC＝＝，所以S△ABC＝AB•BC＝6，S△AEC＝AE•EC＝，设点B到平面AEC的距离为h，由V E﹣ABC＝V B﹣AEC，可得S△ABC•EG＝S△AEC•h，解得h＝，所以当点F移动到C点时，PB与平面AEF所成角的正弦值为＝．22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？解：（1）∵AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∴tan B＝＝，∴B＝30°，∴A＝60°，∴AB＝2AC＝80，在△ACM中，由余弦定理可得CM2＝AC2+AM2﹣2AC•AM•cos A＝1600+400﹣2×40×20×＝1200，则CM＝20，∴AC2＝AM2+CM2，∴CM⊥AB，∵∠MCN＝30°，∴MN＝CM tan30°＝20，∴CN＝2MN＝40，∴护栏的长度（△MNC的周长）为20+40+20＝60+20；（2）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），因为鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，所以，即CN＝40sinθ，…在△CAN中，由，得CN＝，…从而40sinθ＝，即sin2θ＝，由0°＜2θ＜120°，得2θ＝45°，所以θ＝22.5°，即∠ACM＝22.5°．…（3）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），由（2）知CN＝，又在△ACM中，由，得CM＝，…所以S△CMN＝＝，…所以当且仅当2θ+60°＝90°，即θ＝15°时，△CMN的面积取最小值为km2．…（16分）。

广东省广州市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

广东省广州市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题一、单选题1．2024的倒数是（）A ．2024B ．2024-C ．12024D ．12024- 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）AB C D 3．已知一组数据：1，3，5，x ，6，这组数据的平均数是4，则众数是（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．34．如图，Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，OA ＝2，AB ＝1，点O 点为圆心，OB 为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点P 所表示的数是（）A ．2.2 BC ．D 5．如图，平地上A 、B 两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C ，并分别找到AC 和BC 的中点D 、E ，测量得16DE =米，则A 、B 两点间的距离为（）A ．30米B ．32米C ．36米D ．48米6．一次函数34y x =-+的图象不经过第（）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四7．如图，ABCD Y 的周长为30cm ，ABC V 的周长为27cm ，则对角线AC 的长为（）A ．27cmB ．17cmC ．12cmD ．10cm8．如图，在平行四边形ABCD 中，AD AB >，以点A 为圆心，AB 为半径画弧与AD 交于点F ，然后以大于12BF 为半径，分别以B ，F 为圆心画弧交于点G ，连接AG 交BC 于点E ，若6BF =，4AB =，则AE 的长为（）A B ．C ．5 D ．109．已知A 、B 两地相距600米，甲、乙两人同时从A 地出发前往B 地，所走路程y （米）与行驶时间x （分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（）A ．甲每分钟走100米B ．甲比乙提前3分钟到达B 地C ．两分钟后乙每分钟走50米D ．当2x =或6时，甲乙两人相距100米10．已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是一次函数22024y ax x =+-图象上不同的两个点，若记m =()()1212x x y y --，则当0m >时，a 的取值范围是（）A ．2024a <B ．2024a >C ．2a <-D ．2a >-二、填空题11x 的取值范围是．12=．13．已知△ABC 的三边长分别为5、12、13，则△ABC 的面积为．14．甲、乙、丙三人进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是2 2.5s =甲，2 1.0s =乙，2 4.5s =丙，则这3位同学发挥最稳定的是．15．如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x ，y 的二元一次方程组y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解是．16．如图，四边形ABCD 为正方形，E 为对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．给出以下结论：①矩形DEFG 是正方形； ②CE ；③CG 平分DCF ∠； ④CG CE =．其中正确的序号为．三、解答题17．解方程：()2142x x x -=-．18．如图，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，已知AD BC ∥，AD CB =，AE CF =．求证：B D ∠=∠．19．先化简，再求值：a b a b b a ab +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中2023a =，2024b =． 20．如图，在矩形ABCO 中，延长AO 到D ，使DO AO =，延长CO 到E ，使EO CO =，连接AE ED DC AC 、、、．(1)求证：四边形AEDC 是菱形；(2)连接EB ，若460AE AED =∠=︒，，求EB 的长．21．某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)本次调查数据的中位数是；(2)抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少?(3)若该校共有2000个学生，请根据统计数据，估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数．22．有煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度() F o ，右侧是摄氏温度()C o ．已知华氏温度y 与摄氏温度x 之间满足一次函数关系，小明通过观察温度计，得到如下表所示的数据．(1)请根据表格提供的数据求出一次函数解析式；(2)根据解析式，求出华氏温度为0F o 时对应的摄氏温度（结果保留一位小数）；(3)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？请说明理由．23．如图，直线3y x =+与坐标轴分别交于点A ，C ，直线BC 与AC 关于y 轴对称．(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)若点(),2P m 在ABC V 的内部（不包含边界），求m 的取值范围；(3)O 为坐标原点，若过点O 的直线将ABC V 分成的两部分面积之比为1:2，求该直线的解析式．24．如图1，正方形ABCD 的边长为4，点E 是边BC 上一动点（不与端点重合），连接AE ．(1)当1BE =时，求ABE V 的周长；(2)将ABE V 沿AE 折叠得到AME △，延长AM 交射线DC 于点F ．①如图2，当E 为BC 中点时，求CF 的长；②当点E 在BC 边上运动的过程中，小方同学认为AF CE CF ++的长度是一个定值，而小程同学认为AF CE CF +-的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由． 25．已知直线()():1311l y k x k k =++-≠-．(1)当k 为何值时，直线l 经过原点？(2)若直线l 不经过原点，设直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，当k 为何值时，2OA OB =，并求出此时AOB V 的面积；(3)定义：在平面直角坐标系中，若某个点到x 轴、y 轴的距离之和为2，则称该点为“元元点”，如点()1,1，()0,2，13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭都是“元元点”．若直线l 上至少有一个“元元点”，求k 的取值范围．。

广东省省实、广雅、执信、二中、六中五校2020-2021学年高二上学期期末联考试题数学 pdf版

10 ∵[90,100] 内的频率为 0.04
∴ y 0.04 0.004 ······4 分 10
1
由题意，80%分位数在[70,80]组内，······5 分
则（0.016+0.032）×10+（t-70）×0.04=0.80······6 分
解得 t=78
∴估计 t 的最小值为 78 分······7 分
cos B
sin B
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
化简可得 sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．······2 分
因为 A＋B＋C＝π，所以 sin C＝2sin A. ······3 分
因此sin C＝2.······4 分 sin A
(2)由sin C＝2，得 c＝2a.······5 分由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B 及 cos B＝1，b＝2，
12. 已知三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球 O 的表面上，侧面 BCC1B1 的面积为 4 3 .则正确的结论是（ * ） A.若 B1C1 的中点为 E，则 AC1 // 平面 A1BE B.若三棱柱 ABC A1B1C1 的体积为 4 3 ，则 A1 到平面 BCC1B1 的距离为 3
B. ,0 1, 2 D. 1, 2
2. 已知 a 0.3 ， b 20.3, c 0.30.2 则 a, b, c 三者的大小关系是( * )
A. b c a
B. b a c C. a b c
D. c b a
3. 已知直线 m、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m//n 的一个必要但不充分条件是
零点，求 a 1 的最小值. a

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广东省广州市第二中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}14A x =，，，{}21B x =，，且{}14A B x ⋃=，，，则满足条件的实数x 的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个.2．已知p ：﹣2＜x ＜2，q ：﹣1＜x ＜2，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题：“30,0x x x ∀≥+≥”的否定是（） A ．30,0x x x ∀<+< B ．30,0x x x ∀<+≥ C ．30,0x x x ∃≥+<D ．30,0x x x ∃≥+≥4．设a ＝log 54，b ＝（log 53）2，c ＝log 45，则（） A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c5．已知83sin(),,1722ππαπα⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（） A ．1517-B ．1517C ．1517±D ．815-6．已知0a >，0b >，如果不等式212m a b a b+≥+恒成立，那么m 的最大值等于（） A ．7B ．8C ．9D ．107．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( )A ．B ．C ．D ．8．已知()()3123,cos ,sin 24135ππβαβαβα<<<-=+=-，则cos2=α（） A ．6365 B ．6365-C ．3365D ．3365-二、多选题9．下列说法中错误的是（） A ．幂函数的图象不经过第四象限 B ．0y x =的图象是一条直线C ．若函数1y x =的定义域为{}|2x x >，则它的值域为1|2y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ．若函数2yx 的值域为是{}|04y y ≤≤，则它的定义域一定是{}|22x x -≤≤10．满足不等式,sin cos 0[,]2x x x π≥∈的x 的值可以是（）A ．12πB ．38πC ．56π D ．54π 11．若函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有（）A ．若()()0f a f b >，则不存在实数[,]c a b ∈，使得()0f c =B ．若()()0f a f b <，则存在且只存在一个实数[,]c a b ∈，使得()0f c =C ．若()()0f a f b >，则可能存在实数[,]c a b ∈，使得()0f c =D ．若()()0f a f b <，则可能不存在实数[,]c a b ∈，使得()0f c = 12．已知函数()()sin 0,,24f x x x ππωφωφ⎛⎫=+>≤=- ⎪⎝⎭为函数()f x 零点，直线4x π=为函数()f x 的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω不可能等于（） A ．11 B ．9C ．8D ．6三、填空题13．已知函数()3231x xn f x ⋅-=+为R 上的奇函数，则n 的值为___________. 14．已知3x <，则函数4()3f x x x =+-的最大值是________. 15．函数2sin 4cos 6y x x =--+的值域是___________.四、双空题16．已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．五、解答题17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )1()2t h，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？ 18．已知函数2()4f x ax ax b =-+（0a >）（1）若在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2．求a ，b 的值；（2）在（1）条件下，若在区间[1,1]-上，不等式f （x ）>x m -+恒成立，求实数m 的取值范围．19．已知函数1()log 1a x f x x +=-(0a >，且1a ≠). （1）求()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并求函数的单调区间. 20．已知函数()2sin cos 144f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数()()2g x f x x =-，求函数()g x 的单调增区间.21．已知函数()1cos 2sin cos 2f x x x x =+⋅，其中x ∈R . （1）求使()12f x ≥的x 的取值范围；（2）若函数()3224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的120x x t ≤<≤，恒有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数t 的最大值.参考答案1．C 【分析】根据集合元素的互异性，得x≠±1且x≠4．再由A ∪B={1，4，x}，得x 2=x 或x 2=4，可解出符合题意的x 有0，2，-2共3个．【详解】{}14A x =，，，{}21B x =，，所以由集合的互异性可得1x =±且4x ≠，{}14A B x ⋃=，，，则2x x =或24x =解之得0x =或2x =±满足条件的实数x 有022-，，共3个，故选C. 【点睛】本题给出含有未知数x 的集合A 、B ，在已知它们并集的情况下求实数x 值，着重考查了集合元素的基本性质和集合的运算等知识，属于基础题． 2．B 【分析】将,p q 相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】已知p ：﹣2＜x ＜2，q ：﹣1＜x ＜2； ∴q ⇒p ；但p 推不出q ， ∴p 是q 的必要非充分条件故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 3．C 【分析】利用全称命题的否定可得出结果. 【详解】命题“30,0x x x ∀≥+≥”为全称命题，该命题的否定为“30,0x x x ∃≥+<”.故选：C. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，注意量词与结论的变化，属于基础题. 4．D 【详解】∵a ＝log 54＜log 55＝1， b ＝（log 53）2＜（log 55）2＝1， c ＝log 45＞log 44＝1，所以c 最大单调增，所以又因为所以b<a 所以b<a<c. 故选D ． 5．A 【分析】利用诱导公式，由83sin(),,1722ππαπα⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，求得sin α，再利用平方关系求解. 【详解】因为()8sin sin 17απα-=-=-，所以8sin 17α=，又因为3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以15cos 17α==-. 故选：A. 6．Cmin 2121[()(2)]2m m a b a b a b a b+≥⇒≤+++2122()(2)5599b a a b m a b a b ++=++≥+=∴≤，选C. 7．D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示，故选D ． 8．D 【分析】先根据题意，由同角三角函数基本关系，求出cos()αβ+，sin()βα-，再由()()cos 2cos ααββα=+--⎡⎤⎣⎦，根据两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】解：因为324ππβα<<<，所以30,42ππβαπαβ-<-<<+<，又()()123cos ,sin 135βαβα-=+=-，所以()5sin 13βα-==-，()4cos 5βα+==-；所以()()cos 2cos αβαβα⎡⎤=+--⎣⎦()()()()cos cos sin sin βαβαβαβα=+-++-12453135135⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3365=-. 故选：D.【分析】对四个说法，结合幂函数的图像与性质逐一分析，由此确定说法错误的序号. 【详解】解：对于A ，由幂函数的图象知，它不经过第四象限，所以A 对；对于B ，因为当0x =时，0x 无意，即在0x =无定义，所以B 错；对于C ，函数1y x =的定义域为{|2}x x >，则它的值域为102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，不是12y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，所以C 错；对于D ，定义域不一定是{|22}x x -≤≤，如{|02}x x ≤≤，所以D 错. 故选：BCD. 10．BCD 【分析】利用三角函数的图象解得544x ππ≤≤即可得解. 【详解】由三角函数的图象知，当sin c 2[os ]0x x x π≥∈，，时，544x ππ≤≤，故B ，C ，D 都可以. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：利用三角函数的图象解不等式是解题关键. 11．ABD 【分析】取特殊函数和特殊区间可知A 说法错误；C 说法正确；B 说法错误；根据零点存在性定理可知，D 说法错误. 【详解】取2()1f x x =-，区间取为[2,2]-，满足(2)(2)0f f ->，但是()f x 在[2,2]-内存在两个零点1,1-，故A 说法错误；C 说法正确；取()sin f x x =，区间取为19[,]66ππ，满足19111()()()066224f f ππ=⨯-=-<，但是()f x 在19[,]66ππ内存在三个零点,2,3πππ，故B 说法错误；根据零点存在性定理可知，D 说法错误. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：正确理解零点存在性定理是解题关键. 12．ACD 【分析】根据4πx =-为函数()f x 零点及直线4x π=为函数()f x 的对称轴，则π4k k Z ωϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，，42n n Z ππωϕπ⨯+=+∈，，化简得到()21n k ω=-+，再由()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则12523618πππω⨯≥-，即12ω≤，再逐项验证.【详解】因为4πx =-为函数()f x 零点，所以π4k k Z ωϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，，又因为直线4x π=为函数()f x 的对称轴，所以42n n Z ππωϕπ⨯+=+∈，，所以()21n k ω=-+，又()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则12523618πππω⨯≥-，即12ω≤，当11ω=时，11,4k k Z πϕπ-+=∈， ∵||2πϕ≤， ∴4πϕ=-，此时()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，不满足题意；当9ω=时，94k k Z πϕπ-+=∈，， ∵||2πϕ≤，∴4πϕ=，此时()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，满足题意；故ω的最大值为9，则ω不可能等于11，6，8，故选：ACD. 【点睛】方法点睛：(1)研究f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝2π＋k π(k ∈Z)即可；（2）研究f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)即可．（3）研究f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0) 的单调性，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷． 13．2 【分析】利用(0)0f =求出n ，再验证即可. 【详解】∵函数()3231x xn f x ⋅-=+为R 上的奇函数， ∴()00f =，即()20011n f -==+，解得2n =，当2n =时，232()31x xf x ⨯-=+，()()2322233113x xx x f x f x --⨯--⨯-===-++，所以()f x 为奇函数，符合题意. 故答案为：2. 14．1- 【分析】配凑成()4()333f x x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦，再用利用均值不等式直接求解．【详解】因为3x <，所以()()43333413f x x x ⎡⎤=--+≤-=-=-⎢⎥-⎣⎦.当且仅当43=3x x --，即1x =时等号成立，故答案为: 1- 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.方法点睛：均值不等式a b +≥成立的3个条件“一正、二定、三相等”．一正：,a b 的范围要为正值二定：当,a b 为大于零的变量，那么a b +、最值．三相等：验证均值不等式在给定的范围内能否满足取等号的条件．15．[2,10] 【分析】将函数转化为2cos 21y x =-+（），根据cos [1,1]x ∈-，利用二次函数的性质求解. 【详解】函数2sin 4cos 6y x x =--+，21cos 4cos 6x x =---+（）， 2cos 4cos 5x x =-+，2cos 21x =-+（），因为cos [1,1]x ∈-，所以当cos 1x =时，函数取得最小值为2，当cos 1x =-时，函数取得最大值为10，故函数的值域为[2]10，，故答案为：[2]10，. 16．(1,4) (1,3](4,)+∞【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围. 详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)+∞.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 17．25 min 【详解】解：由题意知40－24＝(88－24)·201()2h ，即14＝201()2h 解之，得h ＝10.∴T －T a ＝(T 0－T a )1()2t h ，∴T －24＝(40－24)1()2th 当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(40－24)·101()2t ，即101()2t＝1116.两边取对数，用计算器求得t≈25. 因此，约需要25 min ，可降温到35 ℃.18．(1) a=b=1;(2) 实数m 的取值范围是（-∞，-1）. 【解析】试题分析：（1）由于对称轴为x=2，所以根据二次函数图像可确定最值取法，列方程组解得a ，b 的值；（2）分离参变得x 2-3x +1＞ m ，只要解x 2-3x +1在[]1,1-上最小值，即得实数m 的取值范围．试题解析：（1）[]0,1x ∈f （x ）=a （x 2-4x ）+b =a （x -2）2+b -4a ∵a ＞0，∴函数图象开口向上，对称轴x=2，∴f （x ）在[0，1]递减；∴f （0）=b=1，且f （1）=b-3a=-2，∴a=b=1；（2）f （x ）＞-x +m 等价于 x 2-4x +1＞-x +m ，即 x 2-3x +1-m ＞0，要使此不等式在[]-1,1x ∈上恒成立，只需使函数g （x ）=x 2-3x +1-m 在[-1，1]上的最小值大于0即可．∵g （x ）=x 2-3x +1-m 在[-1，1]上单调递减，∴g （x ）min =g （1）=-m -1，由-m -1＞0得，m ＜-1．因此满足条件的实数m 的取值范围是（-∞，-1）．19．（1）(,1)(1,)-∞-+∞；（2）函数为奇函数；当1a >时，函数()f x 在1-∞-（,），1（，）+∞上为减函数；当01a <<时，函数()f x 在1-∞-（,），1（，）+∞上为增函数. 【分析】（1）根据对数函数真数大于零，由101x x +>-求解. （2）利用函数奇偶性的定义判断，设11x x u +-＝，则211u x =+-在1-∞-（,）和1（，）+∞上均为减函数，再分1a >，01a <<，利用复合函数的单调性求解. 【详解】（1）∵log 11a x f x x -=+（）(0a >且1a ≠)， ∴101x x +>-，即()()110+->x x ，解得1x >或1x <-，故函数f x （）的定义域11-∞-⋃+∞（,）（，），（2）由（1）知，函数的定义域关于原点对称， ∵()()1lo g 1g l 1o 1aa x x x x f x f x -==-++-----＝， ∴函数为奇函数，设11x x u +-＝，则211u x =+-，因为函数u 在(,1)-∞-和(1,)+∞上均为减函数，当1a >时，函数log a y u =在0,∞（+）为增函数，所以函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上为减函数，当01a <<时，函数log a y u =在0,∞（+）为减函数，故函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上为增函数. 【点睛】方法点睛：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 20．（1）最小正周期为π；（2）5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，. 【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数得()sin 2f x x =，由三角函数的周期公式可得答案；（2）由余弦的二倍角公式和辅助角公式得()g x 2sin23x π=--（），再由正弦函数的性质可求得函数的单调增区间. 【详解】解：（1）函数()22sin cos 12cos 1cos 2sin 24444f x x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的最小正周期为22ππ=.（2）()()22sin 22cos 1sin 2g x f x x x x x x =-=-=）2sin 23x π=-（），令222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，，得51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，，所以函数()g x 的单调增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，. 【点睛】方法点睛：解决三角函数的周期和单调性等相关问题，先利用三角函数的恒等变换化简函数为一个角一个三角函数，再运用整体思想代入是常用的方法.21．（1）,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）4π. 【分析】（1）化简())24f x x π=+，根据正弦函数的图象解不等式sin 242x π⎛⎫+≥⎪⎝⎭可得结果；（2）构造函数()()()sin 2F x f x g x x =-=，将题意转化为当[0,]x t ∈时，()sin 2F x x =为增函数，根据[0,][,]22t ππ⊆-可解得结果.【详解】（1）()111cos 2sin cos cos 2sin 2222224f x x x x x x x π=+⋅=+=+（），()12f x ≥，即sin 242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以3222444k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，，解得4k x k k Z πππ≤≤+∈，，即使()12f x ≥的x 的取值范围是4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，.（2）令()()()3222424F x f x g x x x ππ=-=+-+（）（）22sin 22424x x x ππ=+-+=（）（），因为对任意的120x x t ≤≤＜，恒有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，所以当[0,]x t ∈时，()sin 2F x x =为增函数，所以[0,][,]22t ππ⊆-，所以22t π≤，解得4t π≤，所以实数t 的最大值为4π. 【点睛】关键点点睛：构造函数()()()sin 2F x f x g x x =-=，根据函数()sin 2F x x =在[0,]t 上为增函数求解是解题关键.。