《信号分析与处理》备课教案(第二章) (2)

第二章：单输入单输出系统的时域分析2.1.概述系统分析的主要任务是解决在给定的激励作用下，系统将产生什么样的响应。

即如果系统（这里指“线性时不变LTI系统”，以下相同）是确定的，激励是已知的，则响应一定也是确定的。

系统数学模型的时域描述主要有两种形式：“输入输出描述”与“状态变量描述”，本章只涉及“输入输出描述”，即采用微分或差分方程对系统进行描述。

为了确定一个线性时不变系统在时域中对给定激励的响应，首先要建立描述该系统的微分方程（对于连续系统）或差分方程（对于离散系统），并求出满足给定初始状态的解。

这里，解就是系统的响应。

LTI连续/离散系统的时域分析，可以归结为：建立并求解线性微分/差分方程。

这也称之为系统时域响应求解的“经典法”。

由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析法”。

这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。

几个重要的概念：由于对“线性时不变LTI系统”在时域中进行描述的数学模型就是“微分方程/连续系统”和“差分方程/离散系统”，因此这些方程的“解”就是系统的“时域响应”，进而又可以按照“解的形式”分解为“自由响应”和“强制响应”，也可以按照“响应产生的原因”分解为“零输入响应”和“零状态响应”。

1、自由响应“微分方程/差分方程”的“齐次通解”就是系统的“自由响应/固有响应”，其只取决于系统本身的特性。

也就是说，对于同一个系统，在不同的激励作用下，系统“自由响应”的形式是相同的。

（但系数仍与“激励形式和系统初始状态”有关）2、强制响应“微分方程/差分方程”的“特解”就是系统的“强制响应/受迫响应”，其形式由系统的激励所决定。

3、零输入响应指激励输入为零时，仅由系统的初始状态所产生的系统响应。

4、零状态响应指系统的初始状态为零，仅由激励输入所引起的系统响应。

5、全响应系统全响应 = 自由响应+强制响应 = 零输入响应+零状态响应2.2.连续系统的时域分析见书上P24～30，由于该部分内容已在高等数学与电路原理课程中作过较详细的讨论，因此本课程中为“自学内容”。

2.3.离散系统的时域分析一、差分与差分方程1、差分设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。

仿照连续信号的微分运算，如下式所示：定义离散信号的差分运算表达式如下：即一阶后向差分定义：)1()()(--=∇k f k f k f式中，▽称为差分算子。

本课程主要用后向差分，简称为差分。

2、差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。

将差分展开为移位序列，得一般形式即，∑∑=-=--=-mj j m n i i n j k f b i k y a 00)()(，其中1=n a上式称为n 阶（后向形式）差分方程。

差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。

这种方法可以称之为差分方程的“迭代解法”，但是采用这种方法一般不易得到解析形式的解，或称“闭合解”。

二、差分方程的建立一般情况下，实际的物理系统都是连续的模拟系统。

对于SISO 线形时不变连续系统，描述其的数学模型一般是微分方程形式；但是对于这样的数学模型，通过“差分法”即可以通过微分方程推导出差分方程，从而成为处理离散系统的数学模型。

例1: 考虑一个RC 串联电路如图所示，我们首先建立描述这一连续系统的数学模型，由电路运算基本规律：)()()(t e t r R t i =+Θ dt t dr C i )(=，代入上式并经整理，可得到： )(1)(1)(t e RCt r RC dt t dr =+ （2.3-1） 这是一个一阶微分方程，也就是描述RC 串联电路系统输入输出关系的数学模型，这里)(t e 为系统输入，)(t r 为系统输出。

下面采用“差分法”将该微分方程离散化。

考虑若将连续变量t 以步长s T 为间距进行等分，可得到),2,1,0(Λ==n nT t s ，所以产生了离散变量s nT ，从而连续函数)(t r 在s nT t =各点的取值就构成了离散序列)(s nT r 。

在s T 足够小的情况下，微分运算就可以表示为：ss s T nT r T n r dt t dr )(])1[()(-+≈，将此式代入上面的（2.3-1）式，得： )(1)(1)(])1[(s s s s s nT e RCnT r RC T nT r T n r =+-+ 整理后可得：)()()1(])1[(s s s s s nT e RCT nT r RC T T n r =-++ 取s T 为单位时间，即1=s T ，可得：)(1)()11()1(n e RCn r RC n r =-++ 令110-=RC a ，RC b 10=，可得：)()()1(00n e b n r a n r =++从而得到描述离散系统的一阶线形常系数差分方程。

例2: 某人每月向银行存款，当月存入无利息，月底结算，月利息为β元/月。

设第k 月存入f(k)元，月底结余为y(k)元，k-1月底结余为y(k-1)元，以f(k)为银行系统的输入，y(k)为输出，则y(k)与f(k)的关系为： )()1()1()(k f k y k y k y +-+-=β即： )()1()1()(k f k y k y =-+-β此即为描述这一银行结余系统的差分方程。

问题：1．自由响应与强制响应的区别是什么？2．零输入响应与零状态响应的区别是什么？3．在时域中对于LTI 系统，“输入输出描述”方式的系统数学模型是什么？为什么？三、差分方程的经典解对于形如下式描述的离散系统差分方程：其全响应可由以下两种分解响应构成：A 、齐次解)(k y h 与特解)(k y p 的求解1、齐次解)(k y h齐次方程为：0)()1()(01=-++-+-n k y a k y a k y n Λ具体考察一阶齐次差分方程0)1()(1=-+k y a k y这里 )1()(1-=-k y k y a显然，)(k y 是一个公比为1a -的几何级数，于是，一阶差分方程的齐次解)(k y h 的一般形式为k h a c k y )()(1-=对于n 阶齐次差分方程，齐次解是n 个形如k c λ的函数组合而成，将k c λ代入n 阶齐次差分方程，则有特征方程为：002211=++++----a a a n n n n n Λλλλ其根),,2,1(n i i Λ=λ称为差分方程的特征根。

齐次解的形式取决于特征根，具体情况如下：完全解/全响应 = 齐次解/自由响应+特解/强制响应 )()()(k y k y k y p h += 完全解/全响应 = 零输入响应+零状态响应 )()()(k y k y k y f x +=当特征根λ为单根时，齐次解)(k y h 的形式为：k C λ当特征根λ为r 重根时，齐次解)(k y h 的形式为：k r r r r C k C k C kC λ)(012211++++----Λ2、特解)(k y p特解的形式与激励的形式相同,主要分为以下三种形式：)sin()cos()(k Q k P k y p ββ+=方程两边同时除以k 2得：12=++P P P ，解得：41=P所以得特解(强制响应)：22241)(-=⨯=k k p k y ，0≥k 故全解为2212)2)(()(-+-+=+=k k p h C k C y y k y ，0≥k 将初始条件代入上式，可得：⎩⎨⎧+-+=-+=--121222)2)((120C C C 解得：⎩⎨⎧-==41121C C 所以齐次解(自由响应)为：k h k k y )2)(41()(--= 因此，系统的全响应为： 22)2)(41()()()(-+--=+=k k p h k k y k y k y ， 0≥k 总结求解的过程如下：（1）由差分方程得到“特征方程”，求解得到特征根。

（2）由特征根得到“自由响应”)(k y h 的一般式（包含待定系数）（3）由激励确定“强制响应”)(k y p 的形式（包含待定系数）（4）将)(k y p 代入原差分方程，求得待定系数，从而求得“强制响应”)(k y p （5）列出全响应表达式)()()(k y k y k y p h +=（此时仍有)(k y h 的待定系数待求出）（6）将初始条件代入上面的全响应表达式，求出)(k y h 的待定系数，最终求得“自由响应”)(k y h 和“全响应”)(k yB 、零输入响应)(k y x 与零状态响应)(k y f 的求解根据定义，零输入响应是激励为零时（即无激励时），仅由系统的初始条件所产生的响应，因此零输入响应也就是满足初始条件的齐次方程的解。

对于零状态响应，因是在激励之下产生的响应，因此应是非齐次方程的解（即包含齐次解和特解两个部分）。

设激励f(k)在k=0时接入系统，通常以y(–1), y(–2) , …，y(–n)描述系统的初始状态,则对于零状态响应，必有： 0)()3()2()1(=-==-=-=-n y y y y Λ由此“零状态响应意义下”初始条件可以确定零状态响应的待定系数。

例：若描述某离散系统的差分方程为)()2(2)1(3)(k f k y k y k y =-+-+已知激励k k f 2)(=，0≥k ，初始状态0)1(=-y ，21)2(=-y ，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

解：(1)先求零输入响应，由差分方程得特征方程如下：0232=++λλ,解得：11-=λ，22-=λ因此齐次方程的解为：k x k x x C C k y )2()1()(21-+-=将初始状态0)1(=-y ，21)2(=-y 代入上式，可得： ⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-+-=----22211211)2()1(21)2()1(0x x x x C C C C ， 解得：⎩⎨⎧-==2121x x C C 所以，零输入响应k k x k y )2(2)1()(---=，0≥k（2）求零状态响应a 、求出特解（强制响应）因为k k f 2)(=，0≥k ，所以有k p P k y 2)(=将k p P k y 2)(=代入原差分方程，得：k k k k P P P 22223221=++--方程两边同除以k2可得：12123=++P P P ，解得：31=P 所以，特解(强制响应)为：k p k y 231)(=， 0≥k b 、 零状态响应(应由齐次解和特解两部分组成) k k f k f p k f k f f C C k y C C k y 2)31()2()1()()2()1()(2121+-+-=+-+-=代入“零状态响应意义下”的初始条件0)2()1(=-=-y y ,可得：⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=+-+-=------22221112112)3/1()2()1(02)31()2()1(0f f f f C C C C 解得：⎩⎨⎧=-=13121f f C C 故零状态响应为：k k k f k y 231)2()1(31)(⋅+-+--=， 0≥k （4）求全响应 k k k f x k y k y k y 231)2()1(32)()()(⋅+---=+=， 0≥k 总结求解的过程如下：（1）由差分方程得到“特征方程”，求解得到特征根。