数据包络分析

数据包络分析3.1 数据包络分析的介绍在人们的生产活动和社会活动，经常会遇到这样一个问题：在一段时间后，你需要有相同类型的部门或单位（称为决策单元）的基础上进行评价，“输入”数据及其评价“输出”的数据，该输入数据是指在某些决策单元的资金总额中需要消耗的某些活动，诸如投资，劳动投入的总数，占地面积等；输出数据是所述决策单元中的一定量的输入后，将得到的显示的某些信息的活动，如不同类型的产品，产品质量，经济效益等的数量的效果。

再具体地，例如，在一所大学，各高校的评价时，投入的总数可以是每年大学基金，工作人员，并占领了课堂教学的总数，各种职称的教师人数等上;输出可以是博士生的人数，研究生人数，本科在校大学生人数，学生的素质“（德，智，体），教师的教学工作量，科研（数量和质量）的学校等等。

基于输入和输出的数据，以评估之间的决策单元，即所谓的相对有效性评估单元（或单元）的优点。

数据包络分析（the Data Envelopment Analysis，称为DEA）是于1978年由美国著名的运筹学W.W.Cooper和A.Charnes等学者的概念作为发展高效的评价方法的基础的相对效率。

他们的第一款模型被命名为C2R模型，从生产函数的角度来看，这种模式是用于多个输入学习，特别是那些与多重输出“生产部门”同时为“有效规模”与“技术有效”非常良好的和富有成效的做法。

1984年R.D.Banker,A.Charnes和W.W.Cooper给出的模型称为B C2模型。

数据包络分析（即DEA）可以被看作是统计分析，这是基于一组输入的新方法对于输出的观察来估计有效生产前沿。

在有效性的评价中，除了DEA方法，还有一些其他的方法，但这些方法几乎仅限于单一输出的情况下。

与此相反，DEA 方法特别问题的多输入，多输出能力是具有绝对的优势。

并且，可以使用不仅DEA线性编程方法来确定是否该决策单元对应于位于有效生产前沿的表面上的一个点，而提供了许多有用的管理信息。

因此，它是优越的，但也比一些其它方法（包括使用的统计方法）更广泛地是有用的。

3.2 DEA的C2R模型的建立数据包络的模型有很多种，根据评价的目的选择相应的模型，其中最常用的模型是C2R模型。

一般假设生产可能集T满足以下公里性假设，是一个凸锥。

相应的定理有：(1)凸性假设:如果(X1,Y1)∈T,(X2,Y2)∈T ,则λ∈ [0, 1 ] ,λ(X1,Y1) + (1-λ)(X2,Y2)∈T ,即总是存在一个系数λ,使得λX1+ ( 1 - λ) X2,作为新的投入,得到的产出是λY1+ (1–λ) Y2。

(2)无效性假设:如果(X1,Y1 )∈ T ,X1≤X2,,Y1≥Y2,则(X2,Y2)∈T,即在原来的基础上,单方面地增加投入或者减少产出总是可行的。

(3)规模报酬不变性假设：如果(X,Y)∈T ,K≥0,则K(X,Y)∈T,即如果投入量增加K倍,产出也增加K倍。

(4) 最小性：生产可能集T是满足上述3个条件所有集合的交集。

假设有t个被评价的同类部分,称为决策单元DMU,每个决策单元均有m投入变量和n个产出变量.如下,其中X ij表示第j个DMU对第i种输入的投入量,X ij>0; Y rj表示第j个DMU对第r种输出的产出量, Y rj>0;V i表示第i种输入的一种度量(或称“权”);U r表示第r中输出的一种度量（或称“权”）,i=1,2,…,m; r=1,2,…,n。

X ij, Y ij为已知数据,可以根据历史资料得到。

V i,U r为变量。

对于一组权系数V=(v1⋯v m)T ,U=(u1⋯u n)T。

则输入矩阵为(x11⋯x1n⋮⋱⋮x m1⋯x mn) ,输出矩阵为(y11⋯y1n⋮⋱⋮y s1⋯x sn)其中每个的定义有：X ij-------- 第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量，X ij〉0。

Y rj-------- 第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量，Y rj〉0。

V i-------- 对第i种类型输入的一种度量，是权系数。

U r-------- 对第r种类型输出的一种度量，是权系数。

i----------1,2,…,mr ----------1,2,…,sj ----------1,2,…,n则对每一个决策单元DMU都有相应的效率评价指数：h j=u T y jv x j =∑u r y rjnr=1∑v i x ijmi=1, j=1,2,⋯t其中x j=（x1j，x2j⋯x mj）T，y j=（y1j，y2j⋯y nj）Tj=1,2,⋯,t可以适当的取权系数和，使得其满足：h j≤1, j=1,2,⋯,t对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，h j0越大表明DUM j0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。

这样我们如果对DUM j0进行评价，看DUM j0在这n个DMU中相对来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能的变化权重时，h j0的最大值究竟是多少。

则有：{max u T y j0v T x j0,st. u T y jV x j≤1,j=1,2⋯,tu>0,v>0其中1≤j0≤t对该分式规划进行Charnes－Cooper变换，令s=1v T x0>0, ω=sv,μ=su则可以把上式变换成：{max h j0=μT y j0st.ωT x j−μT y j≥0,j=1,2,⋯,tωT x j0=1ω≥0,μ≥0又有其对偶规划为：{min θst.∑φj x j≤θx j0, tj=1∑φj y jtj=1≥y j0φj≥0,j=1,2,⋯,t 引入松弛变量有：{min θst.∑φj x j+s−=θx j0,tj=1∑φj y jtj=1−s+=y j0φj≥0,j=1,2,⋯,t式中s+和s−为松弛变量；θ为相对有效值（0≤θ≤1），表示基金的相对业绩水平。

通过计算求解出以上的不等式中的θ，s−及s+的值。

当θ越大表示其所对应的基金相对业绩越好，反之亦然。

当θ=1时，则基金是弱DEA有效；当θ=1且s+和s−都为0，则基金为DEA有效的；当0≤θ≤1时，基金为非DEA有效。

3.3 具体求解方法运用DEA的关键是选取合适的输入与输出指标。

要考虑很多的全面性的因数才确定DEA模型的输入与输出。

同时也要避免相同性质的输入与输出，以免照成重复，要选取有代表性的单位来作为输入与输出。

在本文中评价的是投资基金的业绩，则输入指标可以为初期单位资金净值，资金换手率，资金日收益率标准差，基金费用。

输出指标可以为期末单位资金净值，期末所持现金比率。

这些输入与输出指标反映出了基金的始末资金变化，投资中的投入以及收益的相对情况和风险的相对系数。

且有x11,x12,x13⋯x44，y11,y12⋯y24都为已知数，可以从网络或数据库中查询到。

则对于基金甲为例有以下不等式：{min θx11φ1+x12φ2+x13φ3+x14φ4+s1+=x11θx21φ1+x22φ2+x23φ3+x24φ4+s2+=x21θx31φ1+x32φ2+x33φ3+x34φ4+s3+=x31θx41φ1+x42φ2+x43φ3+x44φ4+s4+=x41θy11φ1+y12φ2+y13φ3+y14φ4−s1−=y11y21φ1+y22φ2+y23φ3+y24φ4−s2−=y21φj≥0,j=1,2,3,4 s1+,s2+,s3+,s4+,s1−,s2−≥0则可以用专门的计算工具求解出θ,φ1,φ2,φ3,φ4以及s1+,s2+,s3+,s4+,s1−,s2−的具体数值就可以有θ与s1+,s2+,s3+,s4+,s1−,s2−评价基金是否为DEA有效。

同理可以依次的求出基金乙，基金丙，基金丁是否为DEA有效。

3.4 实验结果分析本文选取了2003年1月1日到12月31日期间的20只封闭式基金作为决策单元，研究其的θ值的大小以及是否为DEA有效。

具体计算结果如下：表3.2 封闭式基金所求Θ值表通过计算可以发现这20只封闭式基金只有9只Θ值为1，其余的11只基金都为非DEA有效。

由于选取的基金数目的不全面，所以无法把数据结论推广为全国封闭式基金大概的情况。

我们只能看出在这20只基金中还是有占一半的基金属于非DEA有效，及反应了这些基金在管理上有资金浪费，投资组合结构不合理等。

3.5步骤总结对本文所适用的DEA的方法与步骤进行以下总结：（1）明确评估目的：DEA方法的基本功能是“评估”，特别是更多的样本之间的相同的评价的“的相对优点”。

所以显然需要一系列的问题，比如哪些DMU 可以一起评估，由什么输入/输出指标体系来评价和选择什么样的DEA模型来评估等。

（2）选择DMU。

在实践中，以下几点可以帮助我们选择DMU。

1.与DMU背景或物理空间来确定DMU具有相同的外部环境，相同的输入和输出指标和目标相同的任务;随着时间的间隔。

2.DMU活动构造。

（3）建立输入/输出指标。

1.要考虑到，可以实现在评估的目的。

通常为每种类型的决策单元作为输出指标体系，成本指标作为输入指标体系的实用指数。

2.能充分体现评价的目的。

3.考虑输入矢量和输出矢量之间的联系。

向专家咨询或统计分析也可以初步协议之后进行的初始输入/输出指标体系的确定。

几组用于分析数据，相应的权重个别指标的权样品的总是小的，表明该指数对DMU的有效性的影响不大，考虑删除这些指标。

（4）收集和整理数据。

评估可以包括在人文，社会和心理因素中的由给定量的分配所需的非结构化的，可靠的标准，如分成几个等级，用标记的字段。

在实际应用中，投入指标和产出指标有不同的尺寸，因为DEA方法并不直接集成指标数据，因而不需要建立前代车型无量纲的数据处理。

当然，该模型前可以进行无量纲处理。

（5）选择DEA模型。

需要从以下方面考虑的：1.由于非阿基米德无穷DMU DEA 模型确定的（弱）DEA是否有一个方便的地方，所以在实践中该模型经常被使用。

2.为了获得在评价中，在可能情况下，尽量使用不同类型的DEA模型的同时进行分析，并分析结果进行比较的不同方面的信息。

（6）分析结果的评估并提出政策建议。

通过解决编程模型DEA结果来确定每个DMU DEA的有效性如何识别无效的原因决策单元的非有效性及其改进措施，对结果形成评估报告，并提出建议。