线段垂直平分线的性质和判定

∵PC⊥AB,AC=CB
∴PA=PB 注意：文字叙述题要 根据题意画出图形写 出已知求正
A
C
B
已知：PC⊥AB,AC=CB 求证：PA=PB 证明：∵ PC⊥AB ∴ ∠ACP=∠BCP 在△ACP和△BCP中， AC=CB ∠ACP=∠BCP PC=PC A ∴△ACP≌△BCP(SAS)
l P
∴∠ACP=∠BCP= 90 在Rt△ACP和Rt△BCP中
l

PAPB PC PC
A
C
P
B
∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL) ∴AC=BC ∴点P在线段AB的垂直平分线上
在线段AB垂直平分线l上的点与A、B距离都 相等；反过来，与两点A 、B的距离相等的 点都在l上,所以直线l可以看成与两点A、B的 l 距离相等的所有点的集合 P
线段垂直平分线的性质和判定
一、教学目标 1. 了解轴对称图形中，对应点所连线段被对 称轴垂直平分的性质； 2. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段 的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等，到线段两端点的距离相等的点在线段 的垂直平分线上的定理； 3. 初步理解线段的垂直平分线的集合定义， 有意识渗透数学的研究方法，渗透集合思想 ，促进学生数学认知的科学建构 4. 从运动变化的角度加深对平面图形的认识 ，发展几何直觉，增进对数学的理解。
小结：
1. 了解轴对称图形中，对应点所连线段被对 称轴垂直平分的性质； 2. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段 的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等，到线段两端点的距离相等的点在线段 的垂直平分线上的定理； 3. 初步理解线段的垂直平分线的集合定义， 会用线段的垂直平分线定理进行简单的证明
2. 已知线段AB （ 1 ）若 CA=CB ，问：过 C 点的直线是 不是线段AB的垂直平分线？若不是，请找出 反例. （ 2 ）若 CA=CB ， DA=DB ，问过 C 和 D 两点 的直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？
C
A
D B
答：（ 1 ）过 C 点的直线不一定是线段 AB的垂直平分线， 反例：如图，CA=CB，但直线CD不是 线段AB的垂直平分线. C （2）过C和D两点的直线是 线段AB的垂直平分线。因 为点C、点D到线段AB的两 端点距离相等，它们一定都 在线段AB的垂直平分线上， 由“两点确定一条直线”可 A D B 知过C和D两点的直线必是 线段AB的垂直平分线
二、重点、难点 1. 重点：线段垂直平分线定理、逆的正 确理解和应用. 3. 难点的突破方法：利用多媒体手段直观引 入，引导学生自主研究发现规律，加深对定 理的理解。
通过演示可以发现，点P,P,到点A的距离与它 们到点B的距离分别相等。由此我们可以得 出： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 l P 点的距离相等

C
B
∴PA=PB
反过来，如果PA=PB，那麽点P是否在线段 AB的垂直平分线上呢？ 通过探究可以得到： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条 l 线段的垂直平分线上。 ∵PA=PB P ∴点P在线段AB的垂直平分线上
A B
C
已知：PA=PB 求证：点P在线段AB的垂直平分线上
证明：作PC⊥AB,垂足为C
∵PA=PB,DA=DB
∴PD⊥AB,AC=CB
A
C
D
B
1. 已知：如图，△ABC中，边AB、BC的垂 直平分线相交于点P. A 求证：PA=PB=PC
证明：∵△ ABC 中， 边 AB 、 BC 的 垂 直 平 分 线 B 相交于点P ∴PA=PB，PB=PC ∴PA=PB=PC
P C
如图， DE 是△ ABC 边 AB 的垂直平分线，交 AB 、 BC 于 D 、 E ， 若 AC=4 ， BC=5 ， 求 △AEC的周长 解：∵DE是△ABC边AB的垂直平分线 ∴EB=EA C ∴△AEC的周长 E =AC+CE+EA =AC+CE+EB B =AC+BC D =4+5 A =9