线段垂直平分线的性质和判定
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2. 已知线段AB ( 1 )若 CA=CB ,问:过 C 点的直线是 不是线段AB的垂直平分线?若不是,请找出 反例. ( 2 )若 CA=CB , DA=DB ,问过 C 和 D 两点 的直线是不是线段AB的垂直平分线?为什么?
C
A
D B
答:( 1 )过 C 点的直线不一定是线段 AB的垂直平分线, 反例:如图,CA=CB,但直线CD不是 线段AB的垂直平分线. C (2)过C和D两点的直线是 线段AB的垂直平分线。因 为点C、点D到线段AB的两 端点距离相等,它们一定都 在线段AB的垂直平分线上, 由“两点确定一条直线”可 A D B 知过C和D两点的直线必是 线段AB的垂直平分线
∴∠ACP=∠BCP= 90 在Rt△ACP和Rt△BCP中
l
PAPB PC PC
A
C
P
B
∴Rt△ACP≌Rt△BCP(HL) ∴AC=BC ∴点P在线段AB的垂直平分线上
在线段AB垂直平分线l上的点与A、B距离都 相等;反过来,与两点A 、B的距离相等的 点都在l上,所以直线l可以看成与两点A、B的 l 距离相等的所有点的集合 P
小结:
1. 了解轴对称图形中,对应点所连线段被对 称轴垂直平分的性质; 2. 理解线段的垂直平分线的概念,掌握线段 的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等,到线段两端点的距离相等的点在线段 的垂直平分线上的定理; 3. 初步理解线段的垂直平分线的集合定义, 会用线段的垂直平分线定理进行简单的证明
∵PC⊥AB,AC=CB
∴PA=PB 注意:文字叙述题要 根据题意画出图形写 出已知求正
A
C
B
已知:PC⊥AB,AC=CB 求证:PA=PB 证明:∵ PC⊥AB ∴ ∠ACP=∠BCP 在△ACP和△BCP中, AC=CB ∠ACP=∠BCP PC=PC A ∴△ACP≌△BCP(SAS)
l P
二、重点、难点 1. 重点:线段垂直平分线定理、逆定理. 2. 难点:线段垂直平分线定理、逆定理的正 确理解和应用. 3. 难点的突破方法:利用多媒体手段直观引 入,引导学生自主研究发现规律,加深对定 理的理解。
通过演示可以发现,点P,P,到点A的距离与它 们到点B的距离分别相等。由此我们可以得 出: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 l P 点的距离相等
C
B
∴PA=PB
反过来,如果PA=PB,那麽点P是否在线段 AB的垂直平分线上呢? 通过探究可以得到: 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条 l 线段的垂直平分线上。 ∵PA=PB P ∴点P在线段AB的垂直平分线上
A B
C
已知:PA=PB 求证:点P在线段AB的垂直平分线上
证明:作PC⊥AB,垂足为C
线段垂直平分线的性质和判定
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一、教学目标 1. 了解轴对称图形中,对应点所连线段被对 称轴垂直平分的性质; 2. 理解线段的垂直平分线的概念,掌握线段 的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等,到线段两端点的距离相等的点在线段 的垂直平分线上的定理; 3. 初步理解线段的垂直平分线的集合定义, 有意识渗透数学的研究方法,渗透集合思想 ,促进学生数学认知的科学建构 4. 从运动变化的角度加深对平面图形的认识 ,发展几何直觉,增进对数学的理解。
∵PA=PB,DA=DB
∴PD⊥AB,AC=CB
A
C
D
B
1. 已知:如图,△ABC中,边AB、BC的垂 直平分线相交于点P. A 求证:PA=PB=PC
证明:∵△ ABC 中, 边 AB 、 BC 的 垂 直 平 分 线 B 相交于点P ∴PA=PB,PB=PC ∴PA=PB=PC
P C
如图, DE 是△ ABC 边 AB 的垂直平分线,交 AB 、 BC 于 D 、 E , 若 AC=4 , BC=5 , 求 △AEC的周长 解:∵DE是△ABC边AB的垂直平分线 ∴EB=EA C ∴△AEC的周长 E =AC+CE+EA =AC+CE+EB B =AC+BC D =4+5 A =9