《实变函数》考试试卷(B卷)及参考答案

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2014年《实变函数》考试试卷(B 卷)

班别: 学号: 姓名: 成绩:

一、填空题(每空3分,共21分)

1.设{n A }是一个集列,且...321⊂⊂⊂A A A ,则=∞→n n A lim ∞=1m n A 。

2.设A=(0,1),B 为全体实数R ,则A 与B 的大小关系是B A = 。

3. n R E ⊂,则E 为可测集的卡氏条件是:n R T ⊂∀,有=T m *)()(** C E T m E T m +。

4.设{i S }是一列互不相交的可测集,则 ∞=1i i S 也是可测集,且有 ∞

==1)(i i S m ∑i S m *。

5.直线上的闭集F 或是全直线,或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不交的开集所得到的集。

6.设E 是[0,1]中所有无理数点组成的集合,则=mE 0 。

7.设]2,1[n

A n =(n=1,2,…),则=∞→n n A lim ]2,0(。 二、计算题(每题15分,共45分)

1.设2121(0,),(0,)n n A A n n

-== (n=1,2,3,…),求出集列{n A }的上限集和下限集。 解:当∞→n 时,φ→-12n A ,),0(2∞→n A 。),,0(∞∈∀x 必存在N ,使得,N x <因此,当N n >时,n N x <<<0,即n A x 2∈,n n A x ∞→∈lim ,所以),0(lim ∞=∞

→A n φ=∞→n n A lim ,若有n n A x ∞

→∈lim ,则存在N ,使任意N n >时,有n A x ∈,因此若N n >-12时,12-∈n A x ,即n

x 10<

<,令∞→n 得00<

解:c a x a

b c d y +---=

)(

3.设2}0,10|),{(R y x y x A ⊂=<<=,求A A A A ∂',,,0。 解:φ=0A ,

}0,10|),{(=≤≤='y x y x A

}0,10|),{(=≤≤=∂y x y x A

}0,10|),{(=≤≤=y x y x A

三、证明题(共34分)

1.若0*=E m ,则E 可测。(17分) 证明:∀T , )()(c E T T E T =,所以原问题有 )()(***T E m T E m T m c +≤, 又因为E T E ⊂ ,所以 0)(**=≤E m T E m ,T E T c ⊂ 从而T m E T m C *)(*≤⋂,从而 )()(***T E m T E m T m c +≥ 由以上例子,知道=T m *)()(** C E T m E T m +,从而E 可测。

2.证明R 中的可数集A 的外测度为0(17分) 证明:因为A 为可数集,所以可设为},,,{321 r r r A =。对任给0>ε,令 ,3,2,1),2,2(11=+-=++i r r I i i i i i ε

ε,则ε=i I ,∑∞

=≤1

*inf i i I A m ,从而*0m A =。

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