《实变函数》考试试卷(B卷)及参考答案

2014年《实变函数》考试试卷（B 卷）
班别： 学号： 姓名： 成绩：
一、填空题（每空3分，共21分）
1.设{n A }是一个集列，且...321⊂⊂⊂A A A ，则=∞→n n A lim ∞=1m n A 。

2.设A=（0，1），B 为全体实数R ，则A 与B 的大小关系是B A = 。

3. n R E ⊂，则E 为可测集的卡氏条件是：n R T ⊂∀，有=T m *)()(** C E T m E T m +。

4.设{i S }是一列互不相交的可测集，则 ∞=1i i S 也是可测集，且有 ∞
==1)(i i S m ∑i S m *。

5.直线上的闭集F 或是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不交的开集所得到的集。

6.设E 是[0，1]中所有无理数点组成的集合，则=mE 0 。

7.设]2,1[n
A n =（n=1,2,…），则=∞→n n A lim ]2,0(。

二、计算题（每题15分，共45分）
1．设2121(0,),(0,)n n A A n n
-== （n=1,2,3,…），求出集列{n A }的上限集和下限集。

解：当∞→n 时，φ→-12n A ，),0(2∞→n A 。

),,0(∞∈∀x 必存在N ，使得,N x <因此，当N n >时，n N x <<<0，即n A x 2∈，n n A x ∞→∈lim ，所以),0(lim ∞=∞
→A n φ=∞→n n A lim ，若有n n A x ∞
→∈lim ，则存在N ，使任意N n >时，有n A x ∈,因此若N n >-12时，12-∈n A x ，即n
x 10<
<，令∞→n 得00<<x ，矛盾。

2．建立一个从[a ，b]到[c ，d]（a<b ，c<d ）的一一映射。

解：c a x a
b c d y +---=
)(
3．设2}0,10|),{(R y x y x A ⊂=<<=，求A A A A ∂',,,0。

解：φ=0A ，
}0,10|),{(=≤≤='y x y x A
}0,10|),{(=≤≤=∂y x y x A
}0,10|),{(=≤≤=y x y x A
三、证明题（共34分）
1．若0*=E m ，则E 可测。

（17分） 证明：∀T ， )()(c E T T E T =，所以原问题有 )()(***T E m T E m T m c +≤， 又因为E T E ⊂ ，所以 0)(**=≤E m T E m ,T E T c ⊂ 从而T m E T m C *)(*≤⋂，从而 )()(***T E m T E m T m c +≥ 由以上例子，知道=T m *)()(** C E T m E T m +，从而E 可测。

2．证明R 中的可数集A 的外测度为0（17分） 证明：因为A 为可数集，所以可设为},,,{321 r r r A =。

对任给0>ε，令 ,3,2,1),2,2(11=+-=++i r r I i i i i i ε
ε，则ε=i I ，∑∞
=≤1
*inf i i I A m ，从而*0m A =。