混凝土结构受弯构件正截面承载力计算(极限状态法)

ftk /fyk=1.45ftd/1.2fsd=1.21ftd/fsd
min
As ft 0.45 bh fy
◆ 同时不应小于0.2%
桥梁工程系－杨 剑
3.4 受弯构件正截面 承载能力的设计计算
桥梁工程系－杨 剑
3.4.1 单筋矩形截面受弯构件
一.计算简图
αfc
M
x
C＝αfc bx
h
As
b
0
b
1 0.002
0.2%
εy εs
ε
e cu

fy Ese cu
相对界限受压区高度仅与材料性能有关，
而与截面尺寸无关。 桥梁工程系－杨 剑
《桥梁规范》规定的相对界限受压区高度 b
混凝土强度等级 R235 钢筋 HRB335 钢筋 HRB400、KL400 钢筋 钢丝、钢绞线 精轧螺纹钢 ≤C50 0.62 0.56 0.53 0.40 0.40 C55、C60 0.60 0.54 0.51 0.38 0.38 C65、C70 0.58 0.52 0.49 0.36 0.36 C75、C80 － － － 0.35 －
（1） （2）；或 （2a）
=0,
C
=0,
上述公式中的受压区高度 x 并非实际的压区高度，而是等效矩
形应力图块的高度，其与实际压区高度xn之间的关系是：x＝βxn。
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四. 界限相对受压区高度 ξb及最大配筋率ρmax ξ与配筋率 ρ的关系 由方程（1）可得：
fy As a f c bh0 a fc
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a f c bx f y As
M M u b f c bx (h0 - x / 2) M M u f y As (h0 - x / 2) (2a)
(1) (2)
(3) (4) (4a)
a f c bh0 f y As
2 M M u b f c bh0 (1 - 0.5 )
ecu
达到极限弯矩时，受拉区混凝土已开裂很大，截面受拉区很 小，且混凝土的抗拉强度很低，因此一般可忽略受拉区混凝 土的拉力合力Tc。 对于适筋梁，破坏时受拉钢筋已经屈服，即有： Ts＝σsAs＝fyAs
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一. 基本假定
1. 截面应变保持平面；
2. 钢筋的应力-应变关系为理想的弹塑性关系，受拉钢筋
C80 0.74
0.8
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基本方程 α fc
x＝βxn
Mu
h h0
C＝ αfcbx
As
b as
Ts=σsAs
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N 0, M =0,
x / h0
a f cbx s As
x M u a f cbx(h0 - ) 2
—— 相对受压区高度
N 0, M 0,
2
(5) (5a)
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三. 适用条件
1. b x b h0
或
max b
a fc
f sd
2 0
M M u ,max a s ,max a f cbh
a s a s ,max b (1 - 0.5b )
防止所设计的梁为超筋梁
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2 M M u a f c bh0 (1 - 0.5 )
(3) (4) (4a)
M M u f y As h0 (1 - 0.5 )
令：a s (1 - 0.5 ) ； s 1 - 0.5 这里：a s－截面的抵抗矩系数；
s－ 截面的内力偶臂系数。
M M u a f c .a s bh0 M M u f y As . s h0
e0 eu

fy
1
fc
Es
ey
0.01
0
e0
eu
e
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等效矩形应力图
在极限弯矩Mu的计算中，仅需知道 C 的大小和作用位置yc就足 够了。可取等效矩形应力图形来代换受压区混凝土压应力的实际 分布。
fc C
a fc
yc
Mu
xn
Mu z
x=b xn
C
yc
z
Ts
Ts
Mu = C Z
4
受弯构件强度和变形计算 ——混凝土结构规范部分
本章按照混凝土结构设计规范对钢筋砼受弯 构件进行分析
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本章主要内容
4-1 受弯构件的应力阶段及破坏状态
4-2 受弯构件正截面承载力计算 4-3 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算 4-4 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算
4-5 T形截面受弯构件正截面承载力计算
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Mu的确定
fc
x= b x n C = f cbx
Mu
M u f yk As (h0 - 0.5 x) ＝ f yk bh (1 - 0.5 )
2 0
T＝fyk As
近似取：1-0.5 =0.96； h=1.1h0
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min
As ftk 0.37 bh f yk
造价 总造价 混凝土 钢

经济配筋率
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经济配筋率 梁：
矩形截面梁： =（0.6~1.6）%
T形截面梁： =（0.9~1.8）%
板： =（0.4~0.8）%
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选定材料强度 fsd、fcd，截面尺寸b、h后，未知数就只有x，As， 则基本方程可解。 h0的近似确定： 梁 一层配筋时，取as＝40mm， h0＝h－40mm 两层配筋时，取as＝65mm， h0＝h－65mm 板 取as＝25mm， h0＝h－25mm
C55 0.99 0.79
C60 0.98 0.78
C65 0.97 0.77
C70 0.96 0.76
C75 0.95 0.73
C80 0.94 0.74
《桥梁规范》采用的混凝土受压区等效矩形应力图系数 ≤C50 C55 0.79 C60 0.78
a b
C65 1.0 0.77
C70 0.76
C75 0.73
b
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五. 最小配筋率ρmin
确定的原则： Mu ≥Mcr 这里： Mu－配筋率为ρmin的钢筋混凝土梁截面抗弯承载能力； Mcr－相应的素混凝土梁的抗弯承载能力。
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Mcr的确定
ec
Mcr
c =Ecec
h/3 h/4
etu
ftk
hh h 7 2 M cr f tk b f tk bh 2 4 3 24
b as
h0
Ts=fyAs
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二. 基本公式
a f cbx f y As
(1)
x M M u a f c bx(h0 - ) (2) 2 x M M u f y As (h0 - ) (2a) 2
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因为：x h0； 则有：
a f c bh0 f y As
Mu max as max fcbh
2 0
max b b
a fc
fy
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适筋梁的判别条件
max ； b ；
2 M M u ,max a s ,max f c bh0 ；
a s M / f c bh02 a s ,max
这几个判别条件是等价的；本质均是：
的极限拉应变取0.01。 3. 混凝土的受压应力-应变关系给定；
4. 忽略受拉区混凝土的抗拉作用。
Mu
xn
xt
C
Tc T
s
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钢筋受拉和受压：
Ese fy
e
e0
)n ]
e ey e ey
e e0 e 0 e e cu
混凝土受压：
c f c [1 - (1 c fc
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最大配筋率ρmax
由（ ）知： 3
b
则：
fy fc
fy As max bh0 fc fc fy （4）
max＝ b
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界限破坏时的受弯承载力为适筋梁Mu的上限
Mu,max a fcbh (1 - 0.5b )
2 0 b
as max b (1 - 0.5b )
4-6 受弯构件斜截面的受力性能 4-7 受弯构件斜截面承载能力设计计算 4-8 裂缝宽度验算 4-9 变形验算
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4-1 受弯构件的应力阶段及破坏状态
阶段Ⅲa时截面的应力、应变分布--承载能力极 限状态计算的基础 桥梁工程系－杨 剑
4.2 受弯构件正截面承载力计算一般原理
达到极限弯矩Mu时，受压区边缘混凝土达到其极限压应变
综合分析，确定较为经济合理的设计。
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◆通过合理的材料选用确定fc和fy：
●
适筋梁的Mu主要取决于fyAs， 因此RC受弯构件的混凝土强
度等级不宜过高。
现浇梁板：常用C20～C35级混凝土
预制梁板：常用C25～C40级混凝土
● RC受弯构件是带裂缝工作的，由于裂缝宽度和挠度变形的
限制，使得高强钢筋的强度也不能得到充分利用。 梁常用Ⅱ～Ⅲ级钢筋，板常用Ⅰ～Ⅱ级钢筋。
b =(1/3~1/4)h － T形截面，焊接骨架；
简支板可取h = (1/30 ~ 1/35)L
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给定M时 ● 截面尺寸b、h(h0)越大，所需的As就越少， 越小，但 混凝土用量和模板费用增加，并影响使用净空高度； ● 反之，b、h(h0)越小，所需的As就越大， 增大。
1 n 2( f cu - 50) 60 e 0 0.002 0.5( f cu - 50) 10-6
e u 0.0033 - ( f cu - 50) 10
-6
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《混凝土结构设计规范》混凝土应力 － 应变曲线参数 f cu n ≤ C50 2 0.002 0.0033 C60 1.83 0.00205 0.0032 C70 1.67 0.0021 0.0031 C80 1.5 0.00215 0.003
M M u f y As h0 (1 - 0.5 )
令：a s (1 - 0.5 ) ； s 1 - 0.5 M M u a s .a f cbh0 M M u s . f y As h0
fy
(3)
相对受压区高度ξ不仅反映了钢筋与混凝土的面积比（配筋率 ρ），也反映了钢筋与混凝土的材料强度比，是反映构件中两种材 料配比本质的参数。
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界限相对受压区高度ξb
ecu
x>xb’ Xb ’ x<xb’
ρ<ρmax
ρ=ρmax ρ>ρmax
ຫໍສະໝຸດ Baidu
ey
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h0
有明显屈服点钢筋：
xb
'
e cu e y
e cu
h0
b
1 fy
xb b xb b h0 h0
'
'
be cu e cu e y
e cu Es
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无明显屈服点钢筋：
σ
e s 0.002 e y 0.002
fy Es
σ
0.2
xb' b xb' be cu b h0 h0 e cu e s
a f cbh0 s As
M u a f c bh (1 - 0.5 )
2 0
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对于适筋梁，受拉钢筋应力 s=fy,则有：
N 0, M M
As
a f cbx f y As
x M u a f cbx(h0 - ) 2 x M u f y As (h0 - ) 2
2. min
防止所设计的梁为少筋梁
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四. 公式应用
1. 截面设计
已知：弯矩设计值M
求：截面尺寸b、h(h0)，材料强度 fy、fc ，截面配筋As 未知数：受压区高度x、 b，h(h0)、 fy、fc 、As 基本公式：2个
没有唯一解
设计人员应根据受力性能、材料供应、施工条件、使用要求等因素
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◆根据构造和受力要求确定截面尺寸
● 截面应具有一定刚度，满足正常使用阶段的验算能满足挠度变形的要求。
● 根据工程经验，一般常按高跨比h/L来估计截面高度

简支梁可取h=(1/10 ~ 1/18)L，
b=(1/2~1/3)h －矩形截面； b =(1/3~1/4)h －现浇T形截面，绑扎骨架；
Mu = C Z
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等效的原则：
1. 合力C的大小不变；
2. 合力C的作用位置yc不变，即合力矩大小不变。
a fc
C yc
fc
Mu
xn
Mu z
x=b xn
C yc
z
Ts
Ts
Mu = C Z
Mu = C Z
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《建工规范》采用的混凝土受压区等效矩形应力图系数
a b
≤C50 1.0 0.8