第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛题 C(小学组)2011

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题C （小学组）
（时间: 2011年4月16日10:00～11:30）
一、填空题（每小题 10分, 共80分）
1. 877655433++=.
2.工程队的8个人用30天完成了某项工程的3
2, 接着增加了4个人完成其余的工程, 那么完成这项工程共用了
天. 3.甲乙两人骑自行车同时从A 地出发去B 地, 甲的车速是乙的车速的1.2倍.
乙骑了4千米后, 自行车出现故障, 耽误的时间可以骑全程的6
1. 排除故障后, 乙的速度提高了60%, 结果甲乙同时到达B 地. 那么A, B 两地之间的距离为
千米.
4.在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟, 在圆形钟面的边界, 每分钟的刻度处都有一个小彩灯. 晚上9时37分20秒时, 在分针与时针所夹的锐角内有
个小彩灯.
5.在边长为2厘米的正方形ABCD 中, 分别以A , B , C , D 为
圆心, 2厘米为半径画四分之一圆, 交点E , F , G , H , 如图
所示. 则中间阴影部分的周长为 厘米.（取圆周率
3.141π=）
6.用同一种颜色对44⨯方格的7个格子进行涂色, 如果某列有
涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色, 相邻两列
中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如右
图）. 那么共有 种涂色的图案.
7.已知某个几何体的三视图如右
图, 根据图中标示的尺寸（单
位: 厘米）, 这个几何体的体积
是_______（立方厘米）.
8.公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数, 其中每个数字是由横竖放
置的七支荧光管显示, 如下图所示.
某公交车的数字显示器有一支坏了的荧光管不亮, 显示的线路号为“351”, 则可能的线路号有个.
二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)
9.在右面的加法竖式中, 不同的汉字可以代表相
同的数字, 使得算式成立. 在所有满足要求的
算式中, 四位数华杯决赛的最小值是多少?
10.长方形ABCD 的面积是70平方厘米. 梯形
AFGE 的顶点F 在BC 上, D 是腰EG 的中点. 试
求梯形AFGE 的面积.
11.求不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数.
12.设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数, 则这个月的21日可能是
星期几?
三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程）
13.以[]x 表示不超过x 的最大整数, 设自然数n 满足
200015151153152151>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n ,
则n的最小值是多少?
14.一个长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水, 深度
为a, 其中60
0≤
<a. 现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面, 问放
入铁块后水深是多少?
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题C参考答案（小学组）
一、填空题(每小题10分，共80分)
二、解答下列各题(每题10分，共40分, 要求写出简要过程)
9.答案: 1000
解答. 因为华杯决赛是四位数, 所以不会小于1000. 当
华杯决赛=1000, 十六届=990, 兔年=21
时题目要求的等式成立.
10.答案:70.
解答. 连接FD的直线与AE的延长线相交于H. 则△
DFG绕点D逆时针旋转180o与△DHE重合,
DF=DH.
梯形AEGF的面积
=△AFH的面积=2×△AFD的面积
=长方形ABCD的面积=70（平方厘米）.
11.答案: 17
解答. 合数有：
4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，…….
因为4 + 6 + 9 = 19, 所以19能写成3个不相等的合数之和. 大于19的奇数n可以表示成n=19+2k, k是非零自然数, 进而
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C 参考答案（小学组）
n =4+9+(6+2k ).
注意6+2k 为大于2的偶数, 是合数, 所以不小于19的奇数都写成3个不相等的合数之和.
另外, 17不能写成3个不相等的合数之和.
12.答案: 4, 6.
解答. 设这个月的第一个星期日是a 日（71≤≤a ）, 则这个月内星期日的日期是a k +7, k 是整数, 317≤+a k . 要求有三个奇数.
当a =1时, 要使7k +1是奇数, k 为偶数, 即k 可取0,2,4三个值, 此时,
177+=+k a k
分别为1, 15, 29, 这时21号是星期六.
当a =2时, 要使7k +2是奇数, k 为奇数, 即k 可取1, 3两个值, 7k+2不可能有三个奇数.
当a =3时, 要使7k+3是奇数, k 为偶数, 即k 可取0, 2, 4三个值, 此时
377+=+k a k
分别为3, 17, 31, 这时21号是星期四.
当74≤≤a 时, a k +7不可能有三个奇数.
三、解答下列各题 (每小题 15分，共30分，要求写出详细过程)
13.答案: 252.
解：令k m 15=, k 是自然数, 首先考虑满足下式的最大的m ,
.200015151153152151≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡m m 于是
.20002
13152)1(1515)1(152151150151511531521512≤-=+-=+⨯-++⨯+⨯+⨯=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k k k k k k
k m m 因此
.400013152≤-k k
又
40004114171317152>=⨯-⨯, 40003632161316152<=⨯-⨯,得知k 最大可以取16. 当16=k 时, m =240. 注意到这时
811161842
363220002131520002+⨯==-=--k k . 注意到
2000
2008121618161512151615111516152151615115161515161511516152151>=⨯+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 而
200019921116181615111516153152151<=⨯+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ . 所以 252 是满足题目要求的n 的最小值.
14. 解答. 由题设知
水箱底面积S 水箱＝40×25＝1000．
水箱体积V 水箱=1000×60＝60000，
铁块底面积S 铁＝10×10＝100．
铁块体积V 铁=10×10×10＝1000.
（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为60时，
1000a ＋1000＝60000, 得 a ＝59．
所以，当59≤a ≤60时，水深为60（多余的水溢出）．
（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10时，
1000a ＋1000＝10000, 得 a ＝9．
所以，当9≤a ＜59时，水深为a ×40×25+10×10×1040×25
= a +1. （3）由（2）知，当0＜a ＜9时，设水深为x ，则
1000x ＝1000a ＋100x ．得x ＝109
a ．答：当0＜a ＜9时，水深为
109a ；当9≤a ＜59时，水深为a +1；当59≤a ≤60时，水深为60.。