奇函数偶函数
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奇函数偶函数文件编码(GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968)
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值,都有f(-x)=-(x).那么就称f(x)为奇函数.
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值,都有f(-x)=f(x),那么就称f(x)为偶函数.
说明:(1)由奇函数、偶函数的定义可知,只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时,才有可能是奇
(2)判断是不是奇函数或偶函数,不能轻率从事,例如判断f(x)是不易的.为了便于判断有时可采取如下办法:计算f(x)+f(-x),视其结果而说明是否是奇函数.用这个方法判断此函数较为方便:f(x)
(3)判断函数的奇偶性时,还应注意是否对定义域内的任何x值,
当x≠0时,显然有f(-x)=-f(x),但当x=0时,f(-x)=f(x)=1,∴f(x)为非奇非偶函数.
(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形;偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形.
(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时,尤其要注意由它们的定义出发来进行论证.
例如果函数f(x)是奇函数,并且在(0,+∞)上是增函数,试判断在(-∞,0)上的增减性.
解设x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2<0
则有-x1>-x2>0,
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(-x1)>f(-x2)
又∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(x)对任意x成立,
∴=-f(x1)>-f(x2)
∴f(x1)<f(x2).
∴f(x)在(-∞,0)上也为增函数.
由此可得出结论:一个奇函数若在(0,+∞)上是增函数,则在(-∞,0)上也必是增函数,即奇函数在(0,+∞)上与(-∞,0)上的奇偶性相同.
类似地可以证明,偶函数在(0,+∞)和(-∞,0)上的奇偶性恰好相反.
时,f(x)的解析式
解∵x<0,∴-x>0.
又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
偶函数
f(x)=x2,偶函数的一个例子
设f(x)为一实变数值函数,则f为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立:
f(x)=f(?x)
几何上,一个偶函数会对y轴,亦即其在对y轴为後不会改变。
偶函数的例子有、x2、x4、(x)和(sec)(x)。
偶函数不可能是个。
奇函数
f(x)=x,奇函数的一个例子
再次地,设f(x)为一个实变数值函数,则f为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立:f(x)=?f(?x)或f(?x)=?f(x)
几何上,一个奇函数对对称,亦即其在绕原点做180後不会改变。
奇函数的例子有x、x3、(x)、(x)和(x)。