运筹学试卷

上 海 金 融 学 院

20 07 ——20 08 学年 第 二 学期 《运筹学》课程 代码：23330367

写出四个运筹学的分支： 、 、 、 。 1. 写出两个整数线性规划类型： 、 。

2. n S R ⊆是一个非空开凸集，:f S R →可微，则()f x 是一个严格凸函数的充

分必要条件是 。 3. 对策模型的三要素： 、 、 。 二．选择题(每题3分，共12分)

1. {},0n X x R Ax b x =∈=≥，若存在x *使得T T min x X

c x c x *∈=，则x *是( )。

A ． 可行解；

B ． 最优解；

C ． 基本可行解；

D ． 不可行解或者最优解

2. 设LP 是线性规划问题，DP 是其对偶问题，则( )不正确。

A ． L P 有最优解，DP 不一定有最优解；

B ． 若LP 和DP 都有最优解，则二者最优值肯定相等；

C ． 若LP 无可行解，则DP 无有界最优解；

D ． D P 的对偶问题为LP

3. n S R ⊆是一个非空凸集，:f S R →。如果对任意的()0,1λ∈，有

()()()()()12121211,,f x x f x f x x x S λλλλ+-≥+-∀∈，则f 是S 上的( )。

A ． 凸函数；

B ． 严格凸函数；

C ． 凹函数；

D ． 非凸非凹函数

4. 矩阵对策G=(S 1，S 2，A )，其中{}{}112212,,,S S ααββ==1043A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭

，

则( )。 A ． 没有纯策略解；

B ． 最优局势是()12,αβ；

C ． 最优局势是()21,αβ；

D ． 对策的值为 1

三．计算题(每题7分，共42分)

1. 对于下列线性规划

123

1323123min

41218..33()

2250,0,z y y y s t

y y P y x y y y =-++≥-+≥≥≤≥0

1).请化为标准形式； 2).请写出原规划(P)的对偶规划。 2. 解线性规划

123123123123min 24.. 25 3246 ,,0

z x x x s t x x x x x x x x x =++++≥+-≤≥

3. 给出线性规划问题

123123123123min 23111.. 1

333

147

3

333 0,0,0

z x x x s t x x x x x x x x x =---++≤++≤≥≥≥

用单纯形法求解得最优单纯形表：

如果b 1=1发生波动，试求波动值⊿b 1的范围，使原问题的最优基不变。

4. 12,x x 为整数，求解整数线性规划

1

121212min .. 236 230 0,0

z x s t x x x x x x =-+≤-≤≥≥

已知转轴后，得最优单纯形表如下：

5. 求非线性规划

221212min 2.. 10

x x s t x x ++-=

的K-T 点。

6. 用罚函数方法求解非线性规划

2

min ..20

x s t x -≤

取,1,2,...k M k k ==。

四．应用题(每题7分，共14分) 1. 生产线最优安排问题

某公司现有三条生产线，由于原有产品出现销售量下降的情况，管理部门决定

调整，停产不盈利的产品以释放产能来生产两种新产品甲、乙。其中，生成甲产品需要占用生产线一与生产线三的部分产能，生成乙产品需要占用生产线二与生产线三的部分产能。公司的生产部及财务部提供如下数据。

问：两种产品怎样组合（即每周生产多少数量）能最大化两种产品的总利润？ （建立模型，求出最优方案及最优总利润）

2. 求解下列矩阵对策：

甲乙两队进行乒乓求团体赛，每队都由三名球员组成。双方各可排出三种不同阵容，每一种阵容可以看成一种策略。甲队策略集：{}1123,,S ααα=，乙队策略集：

{}2123,,S βββ=。根据以往比赛的记录，相应的支付矩阵为

312603514A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭

那么，这次比赛双方各采用哪种阵容上场最稳妥？ 五．证明题(每题6分，共12分)

1. S 1，S 2是n R 中的两个凸集，定义{}12,S x y x S y S =+∈∈。请证明S 是凸集。

2. 证明下述非线性规划为凸规划：

221212121212min 44.. 10 20 0,0

x x x s t x x x x x x +-+-+≤-+≥≥≥

答案及评分标准

一．填空题(每空2分，共20分)

1. 线性规划、非线性规划、对策论、存贮论、排队论、动态规划等任意之四即

可。

2. 纯整数线性规划、混合整数线性规划、0-1整数线性规划等任意之二即可。

3. ()()()()121211212,,,f x x x f x f x x x S x x ∇-<-∀∈≠

4. 局中人、策略、赢得（支付）函数 二．选择题(每题3分，共12分)

D A C A

三．计算题(每题7分，共42分)

1. 解：标准形式：

123

134235123min 41218..33()

2250,0,z y y y s t

y y y P y x y y y y =+++-=+-=≥≥≥0

... ........... .....3’

对偶问题：

12121212max 35.. 4

212 3218 0,0

z x x s t x x x x x x =+≤-≥-+≤≥≥.......... ........... .....7’ 2. 解:

1*0,4,,*62T

x z ⎛

⎫== ⎪⎝⎭.......... ........... ...... .......... .......7’

3. 解：

最优基B=(A 1,A 2)= 11331433⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，.......... ................ .....2’

B -1=4111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭

。............... .....................4’

欲使11b =波动1b ∆，保持最优基不变，即，有