定积分的应用： 平面曲线弧长

( )
其中 ( ) 在[ , ]上具有连续导数.
x r ( ) cos y r ( ) sin
( )
ds (dx )2 (dy )2 r 2 ( ) r 2 ( )d ,
弧长 s

r 2 ( ) r 2 ( )d .
四、 求心形线 r a ( 1 cos ) 的全长. 五、 证明：曲线 y sin x (0 x 2) 的弧长等于椭 圆 x 2 2 y 2 2 的周长. 六、 在 摆 线 x a ( t sin t ), y a ( 1 cos t ) 上 求 分 摆线第一拱成1 : 3 的点的坐标.
弧长 s

2 ( t ) 2 ( t )dt .
例3 求星形线 x a cos3 t ,
y a sin3 t 的全长.
t
M
或
• 轨迹 : 半径为
的动圆圆周沿
半径为 a 的定圆滚动时, 其上 定点 M 的轨迹即为星形线
分析：曲线为参数方程，由于星形线关于x, y 轴都对称
i 1 n
曲线弧 AB 的弧长.
二、直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x ) ( a x b ) ，其中 f ( x ) 在[a , b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a , b] 上任取小区间[ x , x dx ]，
y
dy
o a x x dx b
x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
x x 2 a 2 I a 2 ln x x 2 a 2

1 x x 2 a 2 a 2 ln x I 2
x a c
2
2
sec
3
tdt
解 ：sec3 tdt sec t sec2 tdt sec t d (tan t ) sec t tan t tan t d (sec t ) sec t tan t tan 2 t sec tdt sec t tan t (sec2 t 1) sec tdt sec t tan t sec tdt sec3 tdt sec t tan t ln sec t tan t sec3 tdt 1 故 原 式 (sec t tan t ln sec t tan t ) C 2

s1 2 x(t )2 y(t )2 dt
0

则所求曲线弧长为
2 9a 2 cos4 t sin 2 t 9a 2 sin4 t cos 2 tdt
0

s 4 s1 6a .
3 3 2 a sin 2tdt a 2 0 2
四、极坐标情形
曲线弧为 r r ( )
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
思考题
闭区间[a , b] 上的连续曲线 y f ( x ) 是否一定可求长？
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证 曲线光滑才可求长．
练习题
一、 填空题： 1、 曲线 y ln x 上相应于 3 x 8 的一段弧长为 ____________； 2、 渐伸线 x a(cos t t sin t ) ，y a(sin t t cos t ) 上 相应于 t 从 0 变到 的一段弧长为______； 3 4 3、 曲 线 r 1 自 至 一 段 弧 长 为 4 3 ____________ . 2 x 2 3 2 二、计算半立方抛物线 y ( x 1) 被抛物线 y 3 3 截得的一段弧的长度 . 3 3 三、计算星形线 x a cos t ， y a sin t 的全长 .
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注：
x I x 2 a 2 dx x x 2 a 2 x dx x2 a2
x2 a2 a2 x x a dx x2 a2
2 2
1 x x 2 a 2 x 2 a 2 dx a 2 2 2 dx x a
例 4 求阿基米德螺线 r a (a 0)上相应于
从 0到 2 的弧长.
解
r a,

s

0
r 2 ( ) r 2 ( )d
a a d a 0
2 2 2
2
2
2 1d
a 2 1 4 2 ln( 2 1 4 2 ) . 2
五、小结
平面曲线弧长的概念 弧微分的概念
求弧长的公式 参数方程情形下 极坐标系下
直角坐标系下
弧微分
直角坐标方程 曲线方程 参数方程 极坐标方程
d s (d x )2 (d y )2
d s 2 ( t ) 2 ( t )dt
d s r 2 ( ) r 2 ( ) d
所以只须考虑第一象限中的情况。取参数 t 为积分变量，
t [0, ], 对t [0, ], 把区间 [t , t dt ] 上所对应的曲线 2 2 段长s 用切线段长 ds 代替,则得到曲线弧长的微元 ds


的解析式。
2 2 解: 取参数 t 为积分变量, t [0, ]. ds x ( t ) y( t ) dt . 2
小切线段的长 (dx )2 (dy )2 1 y 2 dx
s 1 y 2 dx . 弧长元素 ds 1 y dx 弧长 a
2
b
2 3 例 1 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从a 到 b 的一 3
段弧的长度.
解 y x ,
1 2
ds 1 ( x )2 dx 1 xdx ,
一、平面曲线弧长的概念
设 A 、B 是曲线弧上的两 y 个端点，在弧上插入分点
M2
M1 M n 1
B Mn
A M 0 , M 1 , M i , , M n 1 , M n B
o
A M0
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
此折线的长 | M i 1 M i | 的极限存在，则称此极限为
a
b
1 2
所求弧长为
s a
b
2 1 xdx [(1 b) (1 a ) ]. 3
3 2 3 2
例2
计算曲线 y

x n
0
n sin d 的弧长( 0 x n ) .
解
x 1 x y n sin sin , n n n
s a 1 y dx
三、参数方程情形
x (t ) , 曲线弧为 y (t )
( t )
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ]上具有连续导数.
[ 2 ( t ) 2 ( t )](dt )2 ds (dx ) (dy )
2 2
2 ( t ) 2 ( t )dt
练习题答案
a 2 1 3 5 3 一、1、1 ln ； 2、 ； 3、 ln . 2 2 12 2 2 3 8 5 2 二、 [( ) 1]. 9 2 三、 6a . 四、 8a .
2 3 3 )a, a ) . 六、 (( 3 2 2
2
b
n
x nt

0
0

x 1 sin dx n
2
1 sin t ndt
2
n
0

sin t cos t 2 sin t cos t dt 2 2 2 2
sin t cos t dt n 4n. 0 2 2