人教A高中数学必修2第四章《圆与方程》41-42练习
人教新课标A版高中数学必修2第四章圆与方程4.1圆的方程同步测试
人教新课标A版高中数学必修2 第四章圆与方程 4.1圆的方程同步测试共 25 题一、单选题1、已知圆心在点P(－2,3)，并且与y轴相切，则该圆的方程是（）A. B.C. D.2、方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是( )A.以(1，-2)为圆心，为半径的圆；B.以(1，2)为圆心，为半径的圆；C.以(-1，-2)为圆心，为半径的圆；D.以(-1，2)为圆心，为半径的圆3、以点和为直径两端点的圆的方程是（）A. B.C. D.4、已知，则以为直径的圆的方程是( )A. B.C. D.5、已知圆C经过两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是( )A. B.C. D.6、圆的圆心坐标和半径分别为（）A. B.C. D.7、经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是（ ）A. B.C. D.8、已知圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ）A. B.C. D.9、圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是（ ）A.2πB.2πC.πD.4π10、方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0表示的图形是（ ）A.两个点B.四个点C.两条直线D.四条直线（﹣，，﹣），﹣]﹣，=26 =26=26=26参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【分析】因为圆心点P（-2，3)到y轴的距离为|-2|=2，且圆与y轴相切，所以圆的半径为2，则该圆的标准方程为：（x+2)2+（y-3)2=4．故选B2、【答案】D【解析】【分析】配方得(x+1)2+(y-2)2=11，所以方程表示以(-1，2)为圆心，为半径的圆.选D【点评】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当时，表示圆的方程；当时，表示点；当时，不表示任何图形。
3、【答案】B【解析】【解答】∵（1，1)和（2，-2)为一条直径的两个端点，∴两点的中点为（)，且两点的距离为d=,半径为，故所求的方程为，选B.【分析】由已知的两点为直径的两端点，可得连接两点的线段的中点为圆心，连接两点线段长度的一半为圆的半径，故由中点坐标公式求出两点的中点，即为圆心坐标，利用两点间的距离公式求出两点间的距离，求出距离的一半即为圆的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的方程即可.4、【答案】A【解析】【解答】圆心为AB的中点，为。
高中数学必修2第四章方程与圆练习题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】4.1.1 圆的标准方程1．圆22(2)(3)2x y -++=的圆心和半径分别是【 】 A ．(2,3)-，1 B ．(2,3)-，3 C ．(2,3)- D ．(2,3)-2.圆13)2()3(22=++-y x 的周长是【】A.π13 B. π132 C. π2 D.π323.点)5,(2m 与圆2422=+y x 的位置关系是【】A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不能确定4．已知直线l 的方程为34250x y +-=，则圆221x y +=上的点到直线l 的距离的最小值是【 】A. 3B. 4C. 5D. 6 5.已知圆:M 2)2()3(22=-+-y x ，直线03:=-+y x l ，点)1,2(P ，那么【】A.点P 在直线l 上，但不在圆M 上B. 点P 在圆M 上，但不在直线l 上C. 点P 既在圆M 上，又在直线l 上D. 点P 既不在圆M 上，又不在直线l 上6．过两点P (2,2),Q (4,2) 且圆心在直线0x y -=上的圆的标准方程是【 】 A ．22(3)(3)2x y -+-= B. 22(3)(3)2x y +++=C.22(3)(3)x y -+-=D.22(3)(3)x y +++7. 圆3)2()1(22=-++y x 的圆心坐标是 ，半径是 . 8. 圆222)()(r b y a x =-+-过原点的条件是.9．圆1)4()3(22=++-y x 关于直线0=-y x 对称的圆的方程是 .10. 求经过点)4,1(-A ,)2,3(B 且圆心在y 轴上的圆的方程.4.1.2 圆的一般方程1．方程04262=2yx表示的图形是【】x--++yA．以)2,1(-为圆心，11为半径的圆B．以)2,1(为圆心，11为半径的圆C．以)2,1(--为圆心，11为半径的圆D ．以)2,1(-为圆心，11为半径的圆2．方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是【 】 A.114m << B. 1m > C.14m <D. 1m <3．已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么通过圆心的一条直线方程是【 】A ．012=--y xB ．012=++y xC ．012=+-y xD ．012=-+y x4．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为【 】A . 2 B.2C. 1D.5．与圆0352:22=--+x y x C 同圆心，且面积为其一半的圆的方程是【 】A ．3)1(22=+-y xB ．6)1(22=+-y xC ．9)1(22=+-y x D ．18)1(22=+-y x6．圆x 2+y 2－4x －5=0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 .7．已知方程042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值是 ．8．已知圆C：(x-1)2+y2=1，过坐标原点O作弦OA，则OA中点的轨迹方程是.9．求经过三点(1,1)C-的圆的方程,并求出圆的圆心与半径．B，(4,2)A-，(1,4)4.2.1 直线与圆的位置关系1．直线0+yx与圆1-3=452=2x的位置关系是【】+yA．相交B．相离C．相切D．无法判断2．平行于直线2x－y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是【】A．2x－y+5=0 B．2x－y－5=0C．2x＋y+5=0或2x＋y－5=0 D．2x－y+5=0或2x－y－5=0 3．过点)1,2(的直线中，被02422=yxx截得的弦为最长的直线方程-+y+是【】A．03=-+yx753=--yx B．0C．03=-+y5x3=1--yx D．04．圆2240+-=在点P处的切线方程为【】x y xA.x-= B.40x+-=20C.x+=40x+= D.205．若),(y xP是圆252=2+yx上的点，则yx+的最大值为【】A．5 B．10 C．210D．256．已知圆C：22-+-=及直线l：30(1)(2)4x y-+=，则直线l被C截得的x y弦长为 .7．圆8)2()1(22=-++y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有 ．8．一直线过点3(3,)2P --，被圆2225x y +=截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程.4.2.2 圆与圆的位置关系一、选择题1、两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系是（）A、相离B、外切C、相交D、内切2、两圆x2+y2=r2,(x-3)2+(y+1)2=r2外切、则正实数r的值是（）10C、5D、5A、10B、23、半径为6的圆与x 轴相切,且与圆x 2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是（ ）A 、(x-4)2+(y-6)2=6B 、(x4)2+(y-6)2=6C 、(x-4)2+(y-6)2=36D 、 (x4)2+(y-6)2=364、和x 轴相切，并和圆x 2+y 2=1外切的动圆的圆心的轨迹是（ ） A 、x 2=2y ＋1 B 、x 2=－2y ＋1 C 、x 2=2y ＋1 D 、 x 2=2y －15、以相交两圆C 1: x 2+y 2+4x ＋1=0及C 2: x 2+y 2+2x ＋2y ＋1=0的公共弦为直径的圆的方程（ ）A 、 (x －1)2+(y －1)2=1B 、(x ＋1)2+(y ＋1)2=1C 、(x ＋35)2+(y ＋65)2=45D 、(x －35)2+(y －65)2=456、圆x 2+y 2+2ax ＋2ay ＋1=0与x 2+y 2+4bx ＋2b 2－2=0的公切弦的最大值是（ ） A 、12B 、 1C 、32D 、 27、若圆x 2+y 2=4和圆x 2+y 2+4x －4y ＋4=0关于直线l 对称，则l 的方程为（ ）A 、x ＋y=0B 、x ＋y-2=0C 、x-y-2=0D 、x-y+2=08、和x 轴相切，并和圆221x y +=外切的动圆的圆心轨迹方程是（ ） A 、221x y =+ B 、221x y =-+ C 、22||1x y =+ D 、221x y =- 二、填空题9、圆C 1:x 2+y 2－6x ＋8y=0与x 2+y 2+b=0没有公共点，则b 的取值范围是______.10、已知两圆C 1: x 2+y 2+4x －2ny ＋n 2－5=0，则C 2: x 2+y 2+2nx ＋2y ＋n 2－3=0, C 1与C 2外离时n 的范围是_____，与内含时n 的范围是______. 11、若圆x 2+y 2-2ax+a 2=2和x 2+y 2-2by+b 2=1外离,则a,b 满足的条件是 .12、已知两圆22222306-10x y x x y +--=++=和，则它们的公共弦所在的直线方程为______________.13、圆222212:680:0C x y x y C x y b +-+=++=与没有公共点，则b 的取值范围为______. 三、解答题14、a 为何值时,圆1C : x 2+y 2-2ax+4y+(a 2-5)=0和圆2C : x 2+y 2+2x-2ay+(a 2-3)=0相交15、已知圆C 1:x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0,圆C 2:x 2＋y 2－4x ＋2y －11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.4.2.3 直线与圆的方程的应用1．圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是【 】A.相离B.外切C.相交D.内切 2．圆221:()(2)9C x m y -++=与圆222:(1)()4C x y m ++-=外切，则m 的值为【 】A. 2B. －5C. 2或－5D. 不确定3．若圆228x y +=和圆22440x y x y ++-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为【 】A.0x y -=B. 0x y +=C. 20x y -+=D. 20x y ++=4．两个圆221:2220C x y x y +++-=与222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有【 】A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．实数x ，y 满足方程40x y +-=，则22x y +的最小值为【 】A. 4B. 6C. 8D. 12 6. 圆心为)1,2(-的圆,在直线01=--y x 上截得的弦长为22，则这个圆的方程是【 】A.2)1()2(22=++-y xB. 4)1()2(22=++-y xC.8)1()2(22=++-y x D.16)1()2(22=++-y x7．两圆：x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0的公共弦所在直线方程为 . 8．已知直线20x y c ++=与曲线y =c 的取值范围 .9．求与圆222410x y x y +-++=同心，且与直线210x y -+=相切的圆的方程.10. 求经过圆0124:221=++-+y x y x C 与圆06:222=-+x y x C 的交点，且过点），（22-的圆的方程.4.3 空间直角坐标系1．点(2,1,0)A -在空间直角坐标系的位置是【 】 A. z 轴上 B.xOy 平面上C. xOz 平面上D. yOz 平面上2.点B 是点)3,2,1(A 在坐标平面yoz 内的射影，则||OB 等于【 】 A.14B. 13C. 32D.113.已知线段AB 的两个端点的坐标分别为)4,3,9(-A 和)1,2,9(B ，则线段AB 【 】A.与平面xoy 平行B. 与平面xoz 平行C. 与平面zoy 平行D. 与平面xoy 获zoy 平行4．已知三角形ABC 的顶点A （2，2，0），B （0，2，0），C (0，1，4)，则三角形ABC 是【 】A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．点(1,3,5)P 关于原点对称的点的坐标是 .6．连接平面上两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的线段12P P 的中点M 的坐标为1212(,)22x x y y ++，那么，已知空间中两点1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z ，线段12P P 的中点M 的坐标为 .7．已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7；8．在空间直角坐标系中，给定点(1,2,3)M ，求它关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标.。
人教A高中数学必修二课时分层训练：第四章 圆与方程 43 431 432 含解析
第四章4．3空间直角坐标系4．3．1空间直角坐标系4．3．2空间两点间的距离公式课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于坐标平面yOz的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为()A．3B．2C．1 D．0解析：选C对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为()A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)，故选D.4．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x 轴对称，则|BC|的值为()A．2 5 B．4C．2 2 D．27解析：选B点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，故|BC|＝(1－1)2＋(2＋2)2＋(1－1)2＝4.5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是()A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2解析：选D∵|AB|＝(x－2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝(x－2)2＋8＝26，∴x＝6或－2.6．已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是三角形．(填三角形的形状)解析：|AB|＝(4－7)2＋(3－1)2＋(1－2)2＝14.|AC|＝(4－5)2＋(3－2)2＋(1－3)2＝6，|BC|＝(7－5)2＋(1－2)2＋(2－3)2＝6，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC是等腰三角形．答案：等腰7．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为．解析：由两点间距离公式可得|AB |＝ (1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95≥355. 答案：3558．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为 ．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：4189．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32.10.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB 、AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)． ∵N 为CD 1的中点， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1.M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212. ‖层级二‖………………|应试能力达标|1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内． 2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称． 3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 与点C 的距离为( )A.132B.534C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝(2－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－0)2＝532. 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝(0－4)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝29.5．已知点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为 ．解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A ′B ′|＝(0－0)2＋(4－5)2＋(3＋7)2＝101. 答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是 ．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．对于任意实数x，y，z则(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－1)2＋x2＋y2＋z2的最小值为．解析：设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，则(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－1)2＋x2＋y2＋z2＝|PM|＋|PO|.由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，则|PM|＋|PO|≥|OM|＝1＋4＋1＝6，故所求的最小值为 6.答案： 68．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．解：(1)设P(x,0,0)．由题意，得|P0P|＝(x－4)2＋1＋4＝30，解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．(2)由已知，可设M(x0,1－x0,0)．则|MN|＝(x0－6)2＋(1－x0－5)2＋(0－1)2＝2(x0－1)2＋51.所以当x0＝1时，|MN|min＝51.此时点M的坐标为(1,0,0)．。
高中数学(人教版必修2)配套练习 第四章4.1圆的方程试题解析
第四章 圆与方程§4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程一、基础过关1．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心与半径分别为( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，42．点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．不确定3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝14．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离为( )A.12B.32C ．1 D. 3 5．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________． 6．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是________________． 7．求满足下列条件的圆的方程：(1)经过点P (5,1)，圆心为点C (8，－3)；(2)经过点P (4,2)，Q (－6，－2)，且圆心在y 轴上．8．求经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程． 二、能力提升9．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( )A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆 10．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________．12．平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？ 三、探究与拓展13．已知点A (－2，－2)，B (－2,6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最值．答案1．A 2.B 3.B 4．A 5．5＋ 26.⎝⎛⎭⎫x －1952＋⎝⎛⎭⎫y －352＝1 7．解 (1)圆的半径r ＝|CP |＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，圆心为点C (8，－3)，∴圆的方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25. (2)设所求圆的方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵点P 、Q 在所求圆上，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧16＋(2－b )2＝r 2，36＋(2＋b )2＝r 2，⇒⎩⎨⎧r 2＝1454，b ＝－52.∴所求圆的方程是x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋522＝1454. 8．解 由题意知线段AB 的垂直平分线方程为3x ＋2y －15＝0， ∴由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3.∴圆心C (7，－3)，半径r ＝|AC |＝65. ∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. 9．D 10.D 11．[0,2]12．解 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.将A ，B ，C 三点的坐标分别代入有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 将D (－1,2)代入上式圆的方程，得 (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程． 故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上． 13．解 设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝4.|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y . ∵－2≤y ≤2，∴72≤|P A |2＋|PB |2＋|PC |2≤88.即|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72.4.1.2 圆的一般方程一、基础过关1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m ＜12C ．m ＜2D ．m ≤122．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( )A ．1B. 2C. 3D ．23．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝04．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( )A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外5．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________． 6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.7．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．8．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 二、能力提升9．若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝0 10．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝011． 已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．12．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程． 三、探究与拓展13．已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．答案1．B 2.D 3．B 4．B 5．(0，－1) 6．－27．解 设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.圆心C (3,3)． ∵CM ⊥AM ， ∴k CM ·k AM ＝－1， 即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1， 即x 2＋(y ＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)． 8．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ； 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上， 所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0. 9．D 10．A12．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y . 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14.所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14. 13．解 设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组， 得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10E ＝－8F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.。
高中数学新课标人教A版必修二第四章 圆与方程同步经典习题
4.1.2圆的一般方程基础达标1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()．A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝02．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()．A．D＝E B．D＝FC．E＝F D．D＝E＝F3．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A 的轨迹方程是()．A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)4．已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心为________．6．已知圆x2＋y2－4x＋3＝0则x2＋y2的最大值是________．7．(1)定长为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点M 的轨迹．(2)如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．能力提升8．(天津高一检测)设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，P A是圆的切线且|P A|＝1，则P点的轨迹方程是()．A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x9．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．10．自点A(4，0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系基础达标1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()．A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称2．设z是任意实数，相应的点P(2，2，z)运动的轨迹是()．A．一个平面B．一条直线C．一个圆D．一个球3．(吉林高一检测)若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()．A．7 B．－7 C．－1 D．14．已知A(3，2，－4)，B(5，－2，2)，则线段AB中点的坐标为________．5．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1在如图所示的空间直角坐标系中，则体对角线的交点O的坐标是________．6．(北京东城高一检测)在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M1点，则M1关于原点的对称点坐标是________．7．四面体P－ABC是一个正方体截下的一角，且满足|P A|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，建立如图所示的空间直角坐标系，求△ABC的重心G的坐标．能力提升8．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为()．A．(4，0，6) B．(－4，7，－6)C．(－4，0，－6) D．(－4，7，0)9．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述是________．10．如图，有一个棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，以点D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA，DC，DD1的长度为单位长，建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，从而建立起一个空间直角坐标系O－xyz.一只小蚂蚁从点D出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．的距离的最大值和最小值．的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. 能力提升在平面内转动，15＝0也相切，求圆C的方y＝x截得的弦长为27，交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在r1－r2＝1.答案 1x2＋y2＝5的公共弦长为________．②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，|－3|3 22________．关于原点的对称点坐标是(2，0，3)．，|PC|，DD1的长度为单位轴，从而建立起一个空间直角坐标系O－xyz.一只小蚂请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么x＝________．＝(x－2)2＋(0－1)2＋(1－为坐标原点，分别以AB，0，0)，设B(a，0，0)，。
人教版高中数学必修二第四章圆与方程41圆的方程教师版个性化辅导含答案 精选学习文档
圆的方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 掌握圆的标准方程会求圆的标准方程；圆的一般方程和代入法的掌握、应用．一、圆的标准方程 )是圆，定点是圆心，定长是半径．1．平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹 2．确定圆的几何要素：三点确定的三角形叫该圆的内接不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的中垂线上，(1) 三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此(2) 求圆的方程必须具备三个独立条件．222rbayabrrx，称作圆的标准方程．特别)＋3．圆心为((，))半径为－(>0)的圆的方程为：(＝－222rrxy. 的圆方程为＝＋地，圆心在原点、半径为222rbayyPxx )＋(＝－)与圆(的位置关系．－4．点)(，00222rybPxa＋(>(在圆外?－－，))00ba)－－)rxy P222＝＋?((，在圆上00222ryPxab.－<在圆内?(＋－())00二、圆的一般方程22EDFDE4＋－????2222yx????FEyxyDx＋＋＝＋＋. 1．圆的一般方程＝＋0＋，配方得＋????224DE1??2222??FEDEFD，－－ >0时，方程表示以44＋为半径的圆；(1)当－＋为圆心，－??222DE??22??FED，－－－4；＋＝0(2)当时，方程表示一个点??2222FDE＋4当－时，方程没有实数解，它不表示任何图形．<0 (3)2222－4EFD0表示圆的条件是：A＝C≠0，B＝0，>0 ＋2．二元二次方程Ax＋Bxy＋Cy ＋＋DxEy＋F＝2222的位置关系是：4＝Ey＋F0(DF＋E>0)，3．点P(xy)与圆xy＋－＋Dx＋00，? 在圆内P，P在圆上?. P在圆外?4．求轨迹方程的五个步骤：的坐标；表示曲线上任意一点M)(1)建系：建立适当的坐标系，用(x，y ；pP＝{M|(M)}的点(2)设点：写出适合条件PM的集合0；)(M)y表示条件p()，列出方程Fx，y＝，((3)列式：用坐标x y为最简形式；)＝0，(化简：化方程(4)Fx (5)查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．类型一圆的标准方程页 1 第例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径．22yx＝2(1)；＋22yx＝4(2)(；－3)＋22yx1)＝(3)；＋(9－22yx8.＝(4)(＋＋1)＋(2) 解析：用圆的标准方程的公式解决．2.，半径为圆心(0,0)答案：(1)2. (2)圆心(3,0)，半径为3.(3)圆心(0,1)，半径为.222)，半径为(4)圆心(－1，－222应满足的条r、br＝、(r>0)：已知圆的方程为(x－a)，试根据下列条件，分别写出＋(y－b)a1练习件：轴上；(1)圆心在x轴相切；(2)圆与y轴相切；(3)圆过原点且与y圆与两坐标轴均相切．(4)b0. 答案：(1)＝aar|((2)≠0)．＝|bara．＝|＝|(0)(3)≠0，bbara ||＝≠0，((4)|≠0)．|＝??????22????C5,33,3M6,9Q,N,10?x?56??y是在圆上，的方程为试判断点练习2：已知圆，圆内，还是在圆外？22????109CM?6?5?6??M∴点在圆上答案：∵22????N53?6?13?CN??103?在圆外∵∴点22????5?CQ?563???3?10Q∴点在圆内∵yxPQ)＝(2,2)、0(4,2)，且圆心在直线上的圆的标准方程是－例2：过两点(22yx2＝－(A．3)－3)＋(22yx2＝＋．(3)＋3)＋(B22yx2＋－3)(＝－C．(3)22yx2＝(＋D．(3)＋3)＋P A.、D，故选C(2,2)不在选项B、C、D中的圆上，排除B、解析：解法一：点2222aaaRaaa(＋－4)(解法二：设圆心坐标为(，，－)，半径为，由题意得(2)－2)＋(－2)＝a3. 解得＝222R A. ＋(3－2)＝2，故选∴＝(3－2)A答案：BA的圆的方程．，半径为－：求经过点练习14,7)(10,5)、10(ba)(，答案：解法一：设圆心为22①?5＝100?－?a10?＋b－??∴?22②100－＋?b7?＝?＋?a4??abba－15，③，即＝7①－②整理得－－150＝7页 2 第2aa0.＝＋－68将③代入①得bbaa13.或，则＝∴＝－＝2或1＝42222yxxy100. ＝－4)＋(＋1)＝100或(故所求圆的方程为(13)－2)＋(－BA、解法二：的垂直平分线方程为410＋xxyy15.即－＝－6＝－(7－3)7－5ABab，的垂直平分线上，)设圆心为(，由于圆心在ab，7 －∴15＝22ba②＝100，－10)＋( －又∵(5)aa) 4.(将①代入②可得＝＝2或以下同解法一 2：求满足下列条件的方程练习??33,4C5；）圆心在点（1）圆心在原点，半径是上，半径半径是；（28y?5x?3）圆心在直线上，又圆与坐标轴相切（322????229x?y?5?x?34??y （2）；答案：（1）22????2ba??a?bba?a?y?x?a?b或由题意知，即（3）设所求的方程为：83y?5x?上，又∵圆心在直线1a??8a?45a?3a?8a?3a5或或∴解得：2222????????164??y?x?41??yx?1?1∴所求方程为或1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．(2,2)、B(5,3)、C(3，－练习3：求以A222rbxay.)－)＋答案：设所求圆的标准方程是((－＝222rab＝－＋2－2??222rab ?＝5－＋3－，由题意得?222?rab＝1－3－＋－a 4＝??b ?1＝.解得?2?r 5＝22ABCxy －1)＝5.－4)＋故△(的外接圆的标准方程为(类型二 圆的一般方程2222mxymmxmmym ＋2＝0(表示一个圆？－例3：＋是什么实数时，关于、2)的方程(2 ＋－1)＋＋22xyDxEyF ＝0解析：形如＋＋＋的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的＋22DEF >0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程－一般方程的定义，若4＋22xyDxEyF ＝0＋＋＋的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是＋这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．22mmmm ＋2－2，＋ －1＝答案：由题意，得2mm －3＝0＋2， 即mm ＝或解得1. ＝－322mxy ＋32＝0. 21当＝时，原方程化为＋不合题意舍去；页 3 第22yxm ，时，原方程化为14＝＋140－当1＝－3122yx ，表示以原点为圆心，即＝＋ 1414 为半径的圆．以14222mymxymx 05－2表示圆，求：＋＝练习1：已知方程＋＋＋2m 的取值范围；(1)实数 (2)圆心坐标和半径．22222mmmDEF )>0＋5(－2)答案：(1)由题意，得＋－－44(＝(2，)＋22mmm 20，>0＋4－4－即41m 解得，< 51m ．(－∞，故)的取值范围为 522222mymxmmxxyym －＋5)＋((2)将方程，＋2＋－－21)＋＝＋51＝0写成标准方程为(mm,r .－故圆心坐标为(11)，半径－5＝220R ?x ?y ?x ?y ?R 练习2： 表示一个圆，则）的取值范围是（11????????,2????,2????,, ． A ．． D C B ．????22????答案：CABCABCABC的外接圆的一般方程．，求△ (4，－5)(－2，例4：已知△3)的三个顶点为、(1,4)、PQMM(1,0)．的中点为解析：设，则由中点坐标公式得Maxybab＝＋0－上，∴＋0. ∵点＝在直线PQaxyb＝0又＋所在直线与直线垂直，－－1－1a＝－1·，∴－31－ab＝－2.2.故∴＝22ABCxyDxEyF＝0＋，答案：设△＋的外接圆的一般方程为＋＋ABC三点在圆上，∵、、FDE0＋4＝1＋16＋＋??FDE?03＝4＋9－2＋＋，∴??FDE0－54＝＋＋1625＋D2＝－??E?2＝.解得??F23＝－22ABCxyxy－23＝∴△＋的外接圆的一般方程为2＋－20.CDyx上的圆的一般方程． 1,1)和＝(1,3)且圆心在直线1练习：求过点－(DE22FyDxEyx，－)，－(0答案：设圆的方程为＋＋＋＋＝，则圆心为22页 4 第ED?＝－－?22?∴FDE0＝2－＋＋??FED010＋＋＋3＝D2＝－??E?2＝－.∴??F2＝－22yxxy0.2＝＋－－22－∴所求圆的一般方程为??????ABC?5,5B,?2,?2A?1,5C,的三个顶点坐标分别为练习2：，求其外接圆的方程．220?F?x?y?Dx?Ey答案：设圆的方程为??20?E?5F?D?1?5?4?D?????22????2E??0F??22?E?2??2D?解得由题意知2?????20??F220?F?5D?5E5?5????220??2y?20x?y?4x∴所求方程为CAB的轨迹方程，并说明，底边一个端点是，求另一个端点例5：等腰三角形的顶点是(3,5)(4,2) 它的轨迹是什么．解析：利用等腰三角形性质两腰相等．yCx )，答案：设另一端点．的坐标为(ABAC|. ||＝依题意，得| 由两点间距离公式，2222yx5得＋－24＋－－2＝4－，322yx10.(＝－整理得(2)－4)＋22ABxyAAB练习1＋的中点轨迹方程．＝4上的点，求弦：自圆(2,0)引此圆的弦22yyxxABPxyB，)，则有4，)，＋答案：设(的中点，(＝1111yx02＋＋11yxxyxy.，2∴＝2＝－且＝，2＝.11222222yxyx1.1)(2∴＋－2)＋(2＝)4，即(＝－AABP、点重合，不合题意，重合时，当与22xyx＝1(＋－1)≠2)．(∴所求轨迹方程为????2,08,0MMM2的轨迹方程是的距离等于到定点到的距离的2练习：已知动点倍，那么点）（????2216x161??y1x???y? C 222216?x?y32yx?? B A．．22D．．B答案：22)满足，则点P(3,2)(4－(－(1．已知圆的方程是x2)＋y3)＝．在圆上B．是圆心A页 5 第D．在圆外C．在圆内C答案：22)－2)＝4的圆心坐标和半径分别为(2．圆(x＋1)＋(y2 ，1,2)，2 B．(1，－2)A．(－4 ，，4 D．(1，－2)C．(－1,2)A答案：)为直径的圆的方程是－5,4)，则以AB(3．已知A(3，－2)，B(2225 1)＝＋(y A．(x－1)＋2225 1)＝＋(y B．(x＋1)－22100 1)＝(y C．(x－1)＋＋22100 1)＝(y D．(x＋1)－＋B答案：122)0x的圆心坐标和半径分别是＋y(－2x＋y＋＝4．圆4111；(1，－)；1B．(A．－1，)226116 ；1，－)；，)D．(－C．(12222B答案：222)的范围是(＋a－1＝0表示圆，则5．方程xa＋yay＋ax＋2＋2a22<2B a．－<a<－2或a> A．332 <2<a C．－2<a<0 D．－3D答案：22)y＋8＝0的周长等于6．圆x(＋y2－x＋6 B．2πA.2πD．C4π．22πC答案：222________.＝上，则实数＋ym－若点P(＝1，3)在圆xm7.2±答案：2222________ 的位置关系是＝y＋＋ym＋m0x＋x点8.P(1，－2)和圆C：C外部．答案：在圆3)的圆的标准方程．，圆心为点C(8，－9.求经过点P(5,1)答案：由题意知，圆的半径22CPr1＋3＝－58＝|＋，|＝ 5C (8，－3)． 圆心为点22xy ＋3)＝25.－8)＋∴圆的标准方程为((_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 基础巩固2t 1－t 2??22??，P ．点( )1与圆xy ＋的位置关系是＝122??t ＋1＋t 1 ．在圆外B A ．在圆内 t 有关．在圆上C ．与D 页 6 第22ttt ＋－211??????222??????PPO 在圆上．＝答案：|1|＋＝，故点C ＝222ttt ??????＋1＋＋1122)y ＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是(2．圆(x ＋2) ＋225 ＋y ＝(x －2)A ．225 ＋(yx －2)＝B ．225 ＝＋2)＋(yx C ．(＋2)225＝＋2)＋(y D ．x 22yx ，即对称圆的圆心5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为答案：圆((2,0)＋2)＋＝ 为(2,0)，对称圆的半径等于已知圆的半径，故选A.22) 10 ＝02x 表示的图形是＋2y (－4x ＋8y ＋．方程3 B ．一个圆A ．一个点 D ．不存在C ．一条直线 A答案：22的对称点在圆＝0y －1x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x 4．已知点P 是圆C ：x ＋＋y ＋4)a 等于(C 上，则实数10 ．－10 A ．B20．－．20 DC aaayCx ，∴－(－2，－)，∴2×(－2)－1答案：B. 由题意知，直线2＋＝－1＝0过圆0的圆心 2210. ＝－ 能力提升)5．过点A (1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为(222225 ＝y －－5)5)＋A ．(x －1)－＋(y 1)(＝1或(x 222 ＝－1)3)＋(y B ．(x －2225 5)＝＋(y －C ．(x －5)221 1)＝＋(y D ．(x －1)－A 答案：22)1) ＝25上的点到原点的最大距离是6．圆((x ＋3) ＋(y －10 －．510B ．5＋A10 C.10 D ．B 答案：22)12＝0上的最短路程是x (＋y 4－x －6y ：A 7. 一束光线从点(－1,1)出发经x 轴反射到圆C ＋5 B ．A ．4 6．2D32－1 C．A答案：8.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是__________________．22＝2＋x＋2)y答案：(PQx轴上截得的弦长为6的圆的方程．，－1)，且在9.经过两点2,4)(－、(322xyDxEyFPQ两点的坐标分别代入，得、＋0＋，将＋设圆的方程为答案：＋＝FED①－220－4＝???FDE②10＋＝－3－??2yxDxF＝0.＋又令＋＝0，得22xxxxxDxFDF＝36，③，∴的两根是方程其中＝－由已知，||6(，＋＋＝0)－42121①、②、③联立组成方程组，解得页 7 第DD6＝－＝－2????EE??8＝－＝－4.或，????FF0＝＝－82222xyxyxyxy＝8－6－8＝0或∴所求圆的方程为＋0.－2＋－4－CPk,QRCPC的1在点(2,0)、，试求圆(0,1)10．圆，已知圆通过不同三点的切线的斜率为(0)、方程．Pk,Q(2,0)在圆上，0)∵点、(22CxyDxEyF＝0＋＋，＋答案：设圆＋的方程为kD2kxDxF＝0＋2为方程的两根．＋∴、2＋＝－??FkkD,，∴＋2＝－.2即＝?kF2＝??PEF＝＋，故1＋0. 又因圆过点(0,1)EFk－1，故圆的方程为1＝－∴2＝－－22kxkyyxk＝0.＋2)－(2＋2＋－(1)＋kk＋1＋22????C，的坐标为∴圆心.??22P的切线斜率为1，又∵圆在点k＋21－02k＝－3，即，∴＝－1k2＋k－2DEF＝－6.5＝，从而1＝，22xyxy－6＝0. 5即圆的方程为＋＋＋页 8 第。
人教A版2019高中数学必修二学案：41圆的方程_含答案
4.1圆的方程4．1.1圆的标准方程预习课本P118～120，思考并完成以下问题1．确定圆的几何要素有哪些？2．圆的标准方程是什么？3．点与圆的位置关系有哪几种？怎样去判断？[新知初探]1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．2．点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x，y)，00则位置关系判断方法几何法│MA│＝r⇔点M在圆A上│MA│<r⇔点M在圆A内│MA│>r⇔点M在圆A外00代数法点M(x，y)在圆上⇔(x－a)＋2(y－b)＝2r2000点在圆上点在圆内点在圆外点M(x，y)在圆内⇔(x－a)＋2(y－b)＜2r2000点M(x，y)在圆外⇔(x－a)＋2(y－b)＞2r2000[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝m 2一定表示圆())(2)若圆的标准方程为(x ＋m )2＋(y ＋n )2＝a 2(a ≠0)，此圆的半径一定是a (答案：(1)×(2)×2．点P (m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是()B．在圆内D．不确定A．在圆外C．在圆上解析：选A ∵m 2＋25＞24，∴点P 在圆外．3．经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x ＋2)2＋y 2＝4.答案：(x ＋2)2＋y 2＝4求圆的标准方程[典例]求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．[解][法一待定系数法]22a＋b2＝r，设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，2a＝4，则有a－＋b－2a＋3b＋1＝0，2＝r2，解得b＝－3，r＝5.∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.[法二几何法]由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，2x＋3y＋1＝0，∴由x＝4，x＋y－1＝0，得y＝－3，2即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝42＋－∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.＝5.确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．[活学活用]已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有－a 2＋－b 2＝r 2，－a2＋－2－b 2＝r 2，－3－a 2＋－4－b 2＝r 2.a ＝－3，解得b ＝1，r ＝5.故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.13法二：因为A (0,5)，B (1，－2)，所以线段AB 的中点的坐标为，，直线AB 的斜率k AB －2－531221＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －＝x －，即x －7y ＋10＝0.同理1＝－0272可得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0.x －7y ＋10＝0，由2x ＋y ＋5＝0得圆心的坐标为(－3,1)，－3－2又圆的半径长r ＝＋－2＝5，故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.点与圆的位置关系[典例]已知圆C 的圆心为C (－3，－4)，且过原点O ，求圆C 的标准方程，并判断点M (－11,0)，M (1，－1)，M (3，－4)与圆C 的位置关系．23[解]因为圆C 过原点O ，圆心为C (－3，－4)，所以圆C 的半径长r ＝|OC |＝2＋－3－－4－2＝5，因此圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25.1因为(－1＋3)2＋(0＋4)2＝20＜25，所以点M (－1,0)在圆C 内；因为(1＋3)2＋(－1＋4)2＝25，所以点M (1，－1)在圆C 上；因为(3＋3)2＋(－4＋4)2＝36＞25，所以点M (3，－4)在23圆C 外．判断点与圆的位置关系的方法(1)确定圆的方程：化为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)将点的坐标代入代数式(x －a )2＋(y －b )2，比较代数式的值与r 2的大小关系．(3)下结论：若(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，表示点在圆上；若(x －a )2＋(y －b )2＞r 2，表示点在圆外；若(x －a )2＋(y －b )2＜r 2，表示点在圆内．此外，也可以利用点与圆心的距离d 与半径r 的大小关系来判断．当d ＞r 时，点在圆外；当d ＝r 时，点在圆上；当d <r 时，点在圆内．[活学活用]已知M(2,0)，N(10,0)，P(11,3)，Q(6,1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，－a∴＋b2＝r2，2－a＋b2＝r2，－a2＋－b2＝r2，2a＝6，解得b＝3，r2＝25.∴过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25.将点Q的坐标(6,1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25，∴点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上，∴M，N，P，Q四点不共圆.与圆有关的最值问题y[典例]已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值．xy[解]原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设＝k，即y＝kx，x|2k－0|当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝3，解得k＝± 3.k2＋1yx的最大值为3，最小值为－ 3.故[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．解：设y－x＝b，即y＝x＋b，|2－0＋b|当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝3，2即b＝－2± 6.故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.2．[变设问]在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．解：x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)＝(2＋3)2max＝7＋43，(x2＋y2)＝(2－3)2＝7－4 3.min与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：y －b (1)形如u ＝形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问x －a题．a l(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－x ＋截距的最值问题．b b(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．层级一学业水平达标1．方程|x |－1＝1－y －A．一个圆2所表示的曲线是()C．半个圆B．两个圆D．两个半圆解析：选D由题意，得2x |－2＋y －|x |－1≥0，＝1，2＝1，即x －x ≥12＋y －2＝1，x ＋或＋y －2x ≤－1，故原方程表示两个半圆．2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是()A．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13B．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13C．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52解析：选A 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.3．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是(A．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D．(x －1)2＋(y ＋3)2＝116|AB |1解析：选B 圆心为线段AB 的中点(1，－3)，半径为＝222)＋＋－1＋2＝29，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝29.故选B.4．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是()A．x ＋y －2＝0C．x ＋y －3＝0B．x －y ＋2＝0D．x －y ＋3＝0解析：选D圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)．因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l 的方程是y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.故选D.5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为(A．2C.3)B．1D.2解析：选B x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________.解析：∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上，∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2，∴m ＝±2.答案：±27．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．x －y ＋2＝0，解析：由可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2,4)，从而r ＝2x ＋y －8＝0，2－2＋－＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝208．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程为________________．解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r ＝＋2＋－3－2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝259．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程．解：设圆心为(a,0)，则a －22＋16＝2a －＋9，所以a ＝－2.半径r ＝a －＋16＝5，故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.10．求过点A(－1,3)，B(4,2)，且在x轴，y轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程．解：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.把点A，B的坐标代入，得－1－a2＋－b2＝r2，－a2＋－b2＝r2.消去r2，得b＝5a－5.①令x＝0，则(y－b)2＝r2－a2，y＝b±r2－a2，∴在y轴上的截距之和是2b.令y＝0，则(x－a)2＝r2－b2，x＝a±r2－b2，∴在x轴上的截距之和是2a.∴2a＋2b＝4，即a＋b＝2.②75①代入②，得a＝，∴b＝.6675169∴r2＝－1－2＋3－2＝.661875169∴圆的标准方程为x－2＋y－2＝.6618层级二应试能力达标1．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是()A．在圆内C．在圆外B．在圆上D．不确定解析：选C∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．2．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于() A．第一象限C．第三象限B．第二象限D．第四象限解析：选D由题意，知(－a，－b)为圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心．由直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6C．3解析：选BB．4D．2画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.4．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为(A．(x＋1)2＋y2＝1为)B．x2＋y2＝1C．x 2＋(y ＋1)2＝1D．x 2＋(y －1)2＝1(1,0)，半径长r ＝1.设圆心C (1,0)关于解析：选C 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1得圆心C 111直线y ＝－x 对称的点为(a ，b )，b a －1－＝－1，则a ＋1b －，2＝2解得a ＝0，b ＝－1.所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.5．若圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆________________．C 的标准方程是解析：圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的圆心为M (－2,1)，半径r ＝1，则点M 关于原点的对称点为C (2，－1)，圆C 的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝16．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．解析：由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为－2＋－2＋5＝5＋ 2.答案：5＋27．已知圆C 的圆心为C (x ，x )，且过定点P (4,2)．0(1)求圆C 的标准方程．(2)当x 为何值时，圆C 的面积最小？求出此时圆C 的标准方程．0解：(1)设圆C 的标准方程为(x －x )2＋(y －x )2＝r 2(r ≠0)．0∵圆C 过定点P (4,2)，∴(4－x )2＋(2－x )2＝r 2(r ≠0)．0∴r 2＝2x 2－12x ＋20.∴圆C 的标准方程为(x －x )2＋(y －x )2＝2x 2－12x ＋20.0(2)∵(x －x )2＋(y －x )2＝2x 2－12x ＋20＝2(x －3)2＋2，0∴当x ＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小．0此时圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2.8．已知圆C ：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 关于直线l 对称11的圆C 的方程．2解：设圆C 的圆心坐标为(m ，n )．27因为直线l的斜率k＝－，圆C：(x＋3)2＋(y－1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r14＝2，n－14＝7，m＋3所以，由对称性知－3＋m1＋n14×2＋8×2－31＝0，解得m＝4，n＝5.2所以圆C的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝4.4．1.2圆的一般方程预习课本P121～123，思考并完成以下问题1．圆的一般方程是什么？有什么特点？2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？3．已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径？4．圆的标准方程与一般方程怎样相互转化？[新知初探]圆的一般方程1．圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为D E－，－，半径221长为2D2＋E2－4F.[点睛]圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F 为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F＞0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆()(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆(答案：(1)×(2)√2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(A．(2,3)C．(－2，－3)解析：选D圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为))B．(－2,3)D．(2，－3)－46－，－，即(2，－3)．223．若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圆，则a的取值范围是________________．解析：若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圆，则2a2－4a＞0，∴a2－2a＞0，∴a＜0或a＞2.答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)圆的一般方程的辨析[典例]若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解](1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，1解得m＜，51－∞，.故m 的取值范围为5(2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D 2＋E 2－4F 是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．[活学活用]1．若方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．解析：法一：方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0，即为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1－a ，它表示圆，需满足1－a ＞0，故a ＜1.法二：要使方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，需满足(2a )2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得a ＜1.答案：(－∞，1)2．已知曲线C ：x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0.求证：当m ≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上．证明：∵D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2.又m ≠2，∴(m －2)2＞0，∴D 2＋E 2＋4F ＞0，即曲线C 是一个圆．设圆心坐标为(x ，y )，则由x ＝2m ，消去m ，得x ＋2y ＝0，即圆心在直线x ＋2y ＝0y ＝－m上.求圆的一般方程[典例]已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．[解][法一待定系数法]设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 的坐标分别代入上式，得4D －2E ＋F ＋20＝0，①D －3E －F －10＝0，②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知|y －y |＝43，其中y ，y 是方程③的两根．1212∴(y －y )2＝(y ＋y )2－4y y ＝E 2－4F ＝48.121212D ＝－2，联立①②④解得，D ＝－10，E ＝0，F ＝－12或E ＝－8，F ＝4.故所求方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.[法二几何法]由题意得线段PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上，设其坐标为(a ，a －1)．2又圆C 的半径长r ＝|CP |＝a －＋a ＋2.①由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |.∴r 2＝a 232，代入①并将两端平方得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1，a ＝5，∴r ＝13，121＋24r ＝37.2故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .[活学活用]求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程．解：设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，D E则圆心为－，－.2ED 2∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴2×－－－－3＝0.①22又∵点(5,2)和(3，－2)在圆上，∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0.②32＋(－2)2＋3D－2E＋F＝0.③解①②③组成的方程组，得D＝－4，E＝－2，F＝－5.∴所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.代入法求轨迹方程[典例]已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．31 [解](1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D，－.221又k＝－3，所以km＝3，AB所以直线m的方程为x－3y－3＝0.x－3y－3＝0，由得圆心C(－3，－2)，2x－y＋1＝0－3－2则半径r＝|CA|＝＋－2－＝5，所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.(2)设点M(x，y)，Q(x，y)．00因为点P的坐标为(5,0)，所以x＋5x＝2，y＋0y＝2，x＝2x－5，即y＝2y.又点Q(x，y)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，00所以(x＋3)2＋(y＋2)2＝25，00即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.25整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝.425即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝.4用代入法求轨迹方程的一般步骤[活学活用]已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x，y)．00∴2＋x2＝x，0＋y2＝y.①∵|AD|＝3，∴(x＋2)2＋y2＝9.②将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．层级一学业水平达标1．圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0的圆心坐标是(A．(2,3)C．(2，－3))B．(－2,3)D．(－2，－3)解析：选C将x2＋y2－4x＋6y＋3＝0配方，得(x－2)2＋(y＋3)2＝10，故圆心坐标为(2，－3)．故选C.2．将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是()B．x＋y＋3＝0D．x－y＋3＝0A．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0解析：选C要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A、B、C、D 四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(A．以(a，b)为圆心的圆)B．以(－a，－b)为圆心的圆D．点(－a，－b)C．点(a，b)解析：选D 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，x ＋a ＝0，∴y ＋b ＝0，即x ＝－a ，∴表示点(－a ，－b )．y ＝－b .4．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有()A．D ＝E C．E ＝FB．D ＝FD．D ＝E ＝FD E解析：选A 由D 2＋E 2－4F ＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心－，－在直线y ＝x 22上，故D ＝E .5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为()A．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0C．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0B．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0D．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，－x －y ＋1＝0，由得C (－1,2)．x ＋1＝0∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，则|PA |2＋1＝|PB |2，∴(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝27．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为________．解析：由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心C (1，－1)．设B (x ，y 0)，又A (0,1)，由中点坐标公式得＋0＝2，0x y 0＋1＝－2，x ＝2，解得y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3)．答案：(2，－3)8．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心坐标为－4－2，即(1,2)，故圆心到直－，－225|3×1＋4×2＋4|15线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝＝＝3.32＋42答案：39．当实数m 的值为多少时，关于x ，y 的方程(2m 2＋m －1)．x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆？解：要使方程(2m 2＋m －1)x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足 2m 2＋m －1＝m 2－m ＋2，得m 2＋2m －3＝0，所以m ＝－3或m ＝1.3①当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝－，不合题意，舍去；2114②当m ＝－3时，方程为14x 2＋14y 2＝1，即x 2＋y 2＝，表示以原点为圆心，以为半1414径的圆．综上，m ＝－3时满足题意．10．点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程．解：(1)设线段AP 的中点为M (x ，y )，由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )，在R △t PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.层级二应试能力达标1．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是(A．(－∞，－1)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞))B．(3，＋∞)3D.－，＋∞2解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．2．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为()A．2或1C．2B．－2或－1D．1解析：选C ∵x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]2＋[2(m －1)]2－4(2m 2－6m ＋4)＞0，∴m ＞1.又圆C 过原点，∴2m 2－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.3．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是()A．x 2＋y 2＝32C．(x －1)2＋y 2＝162B．x 2＋y 2＝16D．x 2＋(y －1)2＝162解析：选B 设M (x ，y )，则M 满足x －＋y 2＝2x －＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.4．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有()A．1个C．3个B．2个D．4个1解析：选C ∵圆心(－1，－2)，r ＝4＋16＋12＝22，22＝ 2.∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝2∴共有3个点．5．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.答案：(－∞，1)6．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．11解析：∵r ＝k 2＋4－4k 2＝4－3k 2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆22的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)7．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．x y解：如图所示，设P(x，y)，N(x，y)，则线段OP的中点坐标为，，00线22x－3y＋段MN的中点坐标为4，22.由于平行四边形的对角线互相平分，x x－3y y＋4故＝，＝，从而2222x＝x＋3，y＝y－4.又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.9122128当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.55559122128因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点－，和点－，.55558．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．D E D E解：圆心C－，－，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.2222①D2＋E2－12又∵半径长r＝＝2，2∴D2＋E2＝20.②D＝－4，D＝2，或由①②可得E E＝2.＝－4D又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.2则D＝2，E＝－4.故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.。
高一数学A版必修二《圆与方程》第四章4.2-4.2.3直线与圆的方程的应用 同步练习含答案
第四章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用A级基础巩固一、选择题1．已知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线方程是()A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0解析：所求直线实质是两圆心连线所在直线，即3x－y－9＝0.答案：C2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为()A．x2＋y2－6x－8y＝0B．x2＋y2＋6x－8y＝0C．x2＋y2＋6x＋8y＝0D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0解析：已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3，4)．答案：B3．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为()A．4条B．3条C．2条D．1条解析：⊙O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，⊙O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，所以|O1O2|＝（3＋2）2＋（－8－4）2＝13，所以r－R<|O1O2|<R＋r，所以两圆相交，所以公切线有2条．答案：C4．已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是() A．9 B．14C．14－6 5 D．14＋6 5解析：方程化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，所以圆心为(－2，1)，r＝3，而x2＋y2＝(（x－0）2＋（y－0）2)2.所以x2＋y2的最大值为(（－2－0）2＋（1－0）2＋3)2＝14＋6 5.答案：D5．(2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为：x2＋(y－a)2＝a2，由题意，d ＝a 2，所以有a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距＝2，半径和＝3，半径差＝1，所以二者相交．答案：B二、填空题6．已知圆C 1：(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．解析：C 1(1，2)，r 1＝2，C 2(－2，－2)，r 2＝3，|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝5，因此两圆外切．答案：外切7．两圆相交于两点A (1，3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________．解析：由题意得⎩⎨⎧k AB ＝3－（－1）1－m ＝－1，m ＋12－3－12＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，c ＝－2. 所以m ＋c ＝5－2＝3.答案：38．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是____________________________________．解析：设所求圆方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0，将(3，1)代入得λ＝－25.故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.答案：x2＋y2－133x＋y＋2＝0三、解答题9．半径为3的圆C1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1内切，切点为(0，2)，求圆C1的方程．解：因半径为3，设圆C1的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝9，则圆心C1(a，b)，由已知得圆C2圆心为C2(0，3)，半径r＝1.圆心距d＝（a－0）2＋（b－3）2＝a2＋（b－3）2.因C1与C2内切，故d＝|R－r|＝|3－1|＝2，即：a2＋（b－3）2＝2.①因切点为(0，2)，故(0－a)2＋(2－b)2＝9，即：a2＋(2－b)2＝9，②联合解方程①②得：a＝0，b＝5.所以圆C1的方程为：(x－0)2＋(y－5)2＝9，即：x2＋(y－5)2＝9.10．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)若相交，请求公共弦所在直线的方程；(3)若相交，请求公共弦的长度．解：(1)配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10.又|C1C2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10.所以r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，所以两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)法一 两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， ②①－②得x ＝2y －4，③把③代入②得y 2－2y ＝0，所以y 1＝0，y 2＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2.所以交点坐标为(－4，0)和(0，2)． 所以两圆的公共弦长为（－4－0）2＋（0－2）2＝2 5.法二 由(2)知公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0，由(1)知圆C 1：圆心为C (1，－5)，半径r ＝5 2.圆心C 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝35，设公共弦长为2l ，由勾股定理r 2＝d 2＋l 2，得50＝45＋l 2，解得l ＝5，所以公共弦长2l ＝2 5.B 级 能力提升1．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是( )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋3b ＋1＝0解析：由题意知，相交弦过已知圆圆心，相交弦所在直线方程为2(1＋a )x ＋2(1＋b )y －a 2－1＝0，而点(－1，－1)在此直线上，故有a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.答案：B2．已知圆x 2＋y 2＝1和(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则a ＝________．解析：因为C 1(0，0)，r 1＝1；C 2(－4，a )，r 2＝5，所以若|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝6，则a ＝±25；若|C 1C 2|＝r 2－r 1＝4，则a ＝0.答案：±25或03．有一种大型商品，A 、B 两地均有出售且价格相同，其地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B 地的两倍，若A ，B 两地相距10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设A (－5，0)，则B (5，0)．在坐标平面内任取一点P (x ，y )，设从A 运货到P 地的运费为2a 元/km ，则从B 运货到P 地运费为a 元/km.若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2a （x ＋5）2＋y 2<a （x －5）2＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫2032. 即点P 在圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2032的内部．也就是说，圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．。
新课标人教A版高中数学必修二第四章《圆与方程》课后训练题(含精品解析)
新课标人教A版高中数学必修二第四章《圆与方程》课后训练题1.1.圆x2＋y2＋x－3y－＝0的半径是________________【答案】2【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而可得结果.【详解】将圆的一般，化为标准方程为，可得圆的半径,故答案为2.【点睛】本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及根据圆的标准方程求圆的半径，属于简单题.2.2.点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是_________【答案】【解析】【分析】由不等式，即可得结果.【详解】在圆内，所以，,,，故答案为.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.3.3.直线5x＋12y－8＝0和圆(x－1)2＋(y＋3)2＝8的位置关系是_______________【答案】相离．【解析】【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，与半径比较即可得结果.【详解】由可得，圆的圆心坐标为，圆的半径为，到直线的距离为，因为，所以直线与圆的位置关系是相离．故答案为相离.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，利用判别式来解答.4.4.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C 的方程为_____________【答案】x2＋y2－4x＝0.【解析】设圆心坐标为,则圆方程为:(x−a)2+y2=4,根据点到直线的距离公式,得,解得a=2或(舍去),所以圆C的方程为:(x−2)2+y2=4,整理为一般方程为:.5.5.能够使得圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有两个点到直线2x＋y＋c＝0距离等于1的c的一个值为( )A. 2B.C. 3D. 3【答案】C【解析】【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3，列不等式求解即可.【详解】由圆的标准方程，可得圆心为，半径为2，根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线的距离为1，由可得，经验证，，符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题.6.6.若x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围为___________________【答案】λ>1或【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件可得，从而可得结果.【详解】根据二元二次方程表示圆的条件可得，，化为解得或，故答案为或.【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题. 二元二次方程表示圆的充要条件是：.7.7.直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＋2x＝0只在第二象限有公共点，则k的取值范围是___________【答案】【解析】【分析】先作出圆的图象，再由直线过定点，根据两者交点只在第二象限，结合图象可得结论.【详解】画出直线与圆的图象，如图所示：直线与圆相切时，直线过时，，直线与圆只在第二象限有公共点，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题、点到直线距离公式的应用以及数形结合思想的应用，属于中档题.8.8.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为____【答案】6.【解析】试题分析：将圆的方程变形为，可知圆心，半径．圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为．故C正确．考点：1点到线的距离；2圆的简单性质．【思路点睛】本题主要考查圆上的点到线的距离的最大最小值问题，难度一般．圆上的点为动点，到圆心的距离均等于半径，所以应将圆上的动点到定直线的距离问题先转化为圆心到定直线的距离的问题．由数形结合分析可知圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为．9.9.两圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为____条【答案】3【解析】试题分析：圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0可变为，圆心为，半径为；圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0可变为，圆心为，半径为；所以，，所以两圆相切；所以与两圆都相切的直线有3条.故选B.考点：圆与圆的位置关系.10.10.已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是__________【答案】【解析】【分析】设圆心关于直线对称点，根据垂直和中点在对称轴上这两个条件列方程求出的值，即得对称圆的圆心，再由半径等于1，求出圆的标准方程.【详解】圆圆心为，半径等于1，设圆心关于直线对称点，则有，且，解得，故点，由于对称圆的半径与圆的半径相等，故圆的方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质解析几何中的轴对称问题，属于中档题. 解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.11.11.已知动点M到定点(8,0)的距离等于M到(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程___________________________【答案】x2＋y2＝16【解析】【分析】设，由化简即可得结果.【详解】设，因为到定点的距离等于到的距离的2倍，所以，化简可得，故答案为.【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、两点间的距离公式，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法①求的轨迹方程的.12.12.过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m 的距离为________【答案】4【解析】【分析】判断在圆上，求出直线的斜率，确定出切线的斜率，求出的方程，得出，根据直线与直线平行，利用平行线的距离公式求出与的距离即可.【详解】将代入圆方程左边得：，左边=右边，即在圆上，直线的斜率为，切线的斜率为，即直线的方程为，整理得：，直线与直线平行，，即，直线方程为，即，直线与的距离为，故答案为4.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线与直线的位置关系以及两平行线的距离公式，属于中档题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.13.13.圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是_______【答案】相交．【解析】【分析】把两圆的方程化为标准方程后，分别找出两圆心坐标和两半径与，然后利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，比较与与和与差的大小，即可得到两圆的位置关系.【详解】由圆与圆，分别得到标准方程和，则两圆坐标分别为和，半径分别为，则两圆心之间的距离，则，即，故两圆的位置关系是相交，故答案为相交.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，属于简单题.若两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.14.14.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是_____【答案】a<1.【解析】【分析】根据二元二次方程能够表示圆的充要条件，得到关于的一元二次不等式，解不等式即可得到结果.【详解】方程表示圆，，化为，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题. 二元二次方程表示圆的充要条件是：.15.15.以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为___________【答案】(x－2)2＋(y＋1)2＝9【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，求出点到直线的距离，可得圆的半径，再由圆的标准方程，即可得到满足条件的圆的方程.【详解】因为圆以点(为圆心且与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径,即，所求圆的方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题是利用方法②解答的.16.16.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______【答案】m<．【解析】由D2＋E2－4F>0，得(－1)2＋12－4m>0，即m<.17.17.若圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1，2)的最短弦所在直线l的方程是_________【答案】x－2y＋3＝0．【解析】【分析】由圆的几何性质可得圆心与点的连线与垂直时，所截的弦长最短，利用直线垂直的充要条件及点斜式求解即可.【详解】将圆的一般方程化成标准方程为，所以,由题意知，过点的最短弦所在的直线应与垂直，所以,由，得,所以直线的方程为，即,故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及两直线垂直的充要条件，对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.18.18.过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是_____【答案】【解析】【分析】设直线方程为,由圆心到直线距离等于半径列方程求解即可.【详解】圆方程。
高中数学必修二第四章圆与方程解答题专项练习附答案学生版
（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA,求直线 l 的方程；
（3）设点 T（t,0）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得
t ,求实数 t 的取值范围。
10.已知过原点的动直线 与圆 C
相交于不同的两点 ， ．
（1）求圆 C 的圆心坐标； （2）求线段 的中点 的轨迹 C 的方程； （3）是否存在实数 ，使得直线 L 范围；若不存在，说明理由．
①若
，求|MQ|及直线 MQ 的方程；
②求证：直线 AB 恒过定点．
17.已知圆 C 经过 A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线 y=2x 上． （Ⅰ）求圆 C 的方程． （Ⅱ）若直线 l 经过点 P（﹣1，3）与圆 C 相切，求直线 l 的方程．
18.已知圆 C：x2+y2+2x﹣4y+3=0． （1）若圆 C 的切线在 x 轴、y 轴上的截距相等，求切线的方程； （2）从圆 C 外一点 P（x1 ， y1）向圆引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM| 最小的点 P 的坐标．
t tt
（1）求圆 的方程；
（2）若圆 与直线
交于 t 两点，且 t
t t t 三点． t ，求 的值．
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16.已知圆 M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）与曲线 C：（y﹣2）（3x﹣4y+3）=0 有三个不同的交点． （1）求圆 M 的方程； （2）已知点 Q 是 x 轴上的动点，QA，QB 分别切圆 M 于 A，B 两点．
h 关于直线 上取一横坐标为 的点 ，过点
作圆
对称. 的切
（ⅰ）若 t
，求 的值；
【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第四章《圆的标准方程》练习题(含答案)
第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程A级基础巩固一、选择题1．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是()A．－4<a<3B．－5<a<4C．－5<a<5 D．－6<a<42．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是() A．5B．3 C．4D．23．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则()A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝04．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A．2 B．1＋ 2C．2＋22D．1＋2 25．圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．若点M(6，9)在圆上，则a的值为()A.10 B．2C. 2 D．1二、填空题6．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为__________．7．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________．8．已知点P(1，－5)，则该点与圆x2＋y2＝25的位置关系是______________．三、解答题9．求经过A(－1，4)，B(3，2)两点且圆心在y轴上的圆的方程．B级能力提升1．过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝02．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是________________．3．若直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2有公共点，试求b的取值范围．参考答案第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程A级基础巩固一、选择题1．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是()A．－4<a<3B．－5<a<4C．－5<a<5 D．－6<a<4解析：由a2＋(a＋1)2<25可得2a2＋2a－24<0，解得－4<a<3.答案：A2．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是() A．5B．3 C．4D．2解析：圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，所以d＝|－25|32＋42＝5.答案：A3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则()A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝0解析：由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2.即a2＋b2＝r2.答案：B4．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2解析：圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x －y＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.答案：B5．圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a ＞0)．若点M (6，9)在圆上，则a 的值为( ) A.10B ．2 C. 2 D ．1解析：因为点M 在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a 2，又由a ＞0，可得a ＝10.答案：A二、填空题6．已知两圆C 1：(x －5)2＋(y －3)2＝9和C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为__________．解析：C 1(5，3)，C 2(2，－1)，根据两点间距离公式得|C 1C 2|＝（5－2）2＋（3＋1）2＝5.答案：57．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2，4)从而r ＝（2－0）2＋（4－0）2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝20.8．已知点P (1，－5)，则该点与圆x 2＋y 2＝25的位置关系是______________．解析：由于12＋(－5)2＝26＞25，故点P (1，－5)在圆的外部． 答案：在圆的外部三、解答题9．求经过A (－1，4)，B (3，2)两点且圆心在y 轴上的圆的方程． 解：法一 设圆心坐标为(a ，b )．因为圆心在y 轴上，所以a ＝0.设圆的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.因为该圆过A ，B 两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋（4－b ）2＝r 2，32＋（2－b ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.法二 因为线段AB 的中点坐标为(1，3)，k AB ＝2－43－（－1）＝－12， 所以弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.所以点(0，1)为圆的圆心．由两点间的距离公式，得圆的半径r ＝10，所以所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.10．求圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程．解：因为点P(x，y)关于直线y＝x对称的点为P′(y，x)，所以(1，2)关于直线y＝x对称的点为(2，1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x －2)2＋(y－1)2＝1.B级能力提升1．过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1，1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程x＋y－2＝0.答案：A2．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是________________．解析：因为点(－2，1)关于原点的对称点为(2，－1)，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝13．若直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2有公共点，试求b的取值范围．解：如图，在坐标系内作出曲线y＝4－x2(半圆)．当直线y＝x＋b与半圆y＝4－x2相切时，|b|2＝2，所以b＝2 2.当直线y＝x＋b过(2，0)时，b＝－2.直线l1：y＝x－2，直线l2：y＝x＋2 2.当直线l：y＝x＋b夹在l1与l2之间(包括l1，l2)时，l与曲线y＝4－x2有公共点，所以截距b的取值范围为：[－2，22]．。
高中数学必修2(人教A版)第四章圆与方程4.1知识点总结含同步练习及答案
3−1 (x − 2)，即 x + 3y + 1 = 0． 2+4
⎧ x = 7, { 2x + 3y − 6 = 0, 得 ⎨ ⎩y = − 8 . x + 3y + 1 = 0, 3 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 8 340 8 2 即圆心为 (7, − ) ，又半径为 r = √(7 − 3) + (− − 2) = √ ． 3 9 3
3a 2 3a2 2 a 2 − a + 1，由 − − a + 1 > 0 得 −2 < a < ． ) + ( y + a) 2 = − 4 4 3 2
2 ． 3
△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−1, 5) 、B(−2, −2)、C (5, 5) ，求其外接圆方程． 解：设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，由题设得方程组 ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩
1 B．a < 13
1 C．|a| < 5
1 D．|a| < 13
）
由题意得 (5a + 1 − 1)2 + (12a)2 < 1，所以 |a| <
1 ． 13
已知点 (1, 1) 在圆 (x − a)2 + (y + a)2 = 4 的外部，则 a 的取值范围为______． 解：(−∞, −1) ∪ (1, +∞)． 由题意知 (1 − a)2 + (1 + a)2 > 4，所以 a > 1 或 a < −1 ． 判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程． （1）x 2 + y 2 + 2x + 1 = 0； （2）x 2 + y 2 + 2ay − 1 = 0 ； （3）x 2 + y 2 + 20x + 121 = 0 ； （4）x 2 + y 2 + 2ax = 0． 解：（1）原方程可化为 (x + 1)2 + y 2 = 0，它表示点 (−1, 0) ，不表示圆． − − − − − （2）原方程可化为 x 2 + (y + a)2 = a2 + 1，它表示圆心在 (0, −a)，半径为 √a2 + 1 的圆， − − − − − 标准方程为 x 2 + (y + a)2 = (√a2 + 1)2 ． （3）原方程可化为 (x + 10)2 + y 2 = −21 < 0 ，此方程不表示任何曲线，故不表示圆． （4）原方程可化为 (x + a)2 + y 2 = a2 ． ①当 a = 0 时，方程表示点 (0, 0)，不表示圆； ②当 a ≠ 0 时，方程表示以 (−a, 0) 为圆心，以 |a| 为半径的圆，标准方程为 ( x + a) 2 + y 2 = a2 ． 若方程 x 2 + y 2 + ax + 2ay + 2a2 + a − 1 = 0 表示圆，则 a 的取值范围为______． 解：−2 < a < 配方得 (x +
高中数学 第四章 圆与方程本章复习与测试 新人教A版必修2(2021年最新整理)
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第四章 圆与方程例说解析几何圆问题的常规处理办法一、知识讲解知识点1：圆的概念和方程（1)平面内到定点距离等于定值的点的集合（轨迹）称为圆；（2）以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=；以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，以2242D E F+-为半径的圆的一般方程为:220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->；以()()1122,,,A x y B x y 为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=(3）以(),a b 为圆心,以r 为半径的圆的参数方程为：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（其中θ是参数）。
知识点2：圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系错误!点(),m n 与圆220x y Dx Ey F ++++=：若220m n Dm En F ++++<，点在圆内；若220m n Dm En F ++++=，点在圆上；若220m n Dm En F ++++>,点在圆外。
错误!点(),m n 与圆()()222x a y b r -+-=：若()()222m a n b r -+-<,点在圆内；若()()222m a n b r -+-=,点在圆上;若()()222m a n b r -+->，点在圆外。
人教版数学高一-人教A版必修2练习 4.1.2 圆的一般方程
4．1.2圆的一般方程基础梳理1．圆的一般方程的定义．当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形．3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系．已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则其位置关系如下表：练习1：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0在什么条件下表示圆的方程？答案：A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0练习2：圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为(1，－5)，半径为►思考应用1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？解析：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0中的系数A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程．2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组；(3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程．自测自评1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C )A ．(4，－6)，r ＝16B ．(2，－3)，r ＝4C ．(－2，3)，r ＝4D ．(2，－3)，r ＝16解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)，半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4.2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F 解析：由题知圆心⎝⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D 2，∴D ＝E.3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B )A ．RB ．(－∞，1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1.4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0．解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73，∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73，展开整理得，x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0为圆的一般方程．5．指出下列圆的圆心和半径：(1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)；(3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径r ＝12； (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a ，0)，半径r ＝|a |；(3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2. 基础达标1．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5＝0表示的曲线是(C )A ．两直线B ．圆C ．一点D ．不表示任何曲线2．x 2＋y 2－4y －1＝0的圆心和半径分别为(C )A ．(2，0)，5B ．(0，－2)， 5C ．(0，2)， 5D ．(2，2)，5解析：x 2＋(y －2)2＝5，圆心(0，2)，半径 5.3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是(C )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：x 2＋2x ＋y 2＝0配方得(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，故所求直线为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.4．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是(A )A ．[0，2]B ．[0，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 解析：l 必过圆心(1，2)，0≤k ≤2(几何意义知)．5．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________．解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13，r ＝13，C ＝2πr ＝213π.答案：213π6．(1)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，探求点M 的轨迹，然后求出它的方程；(2)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12时，M 点的轨迹又是什么？求出它的方程．解析：设M (x ，y )(1)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1， 所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝1， 化简得3x －2y ＋5＝0.所以M 的轨迹是直线，它的方程是3x －2y ＋5＝0；(2)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12， 所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝12， 化简得(x －6)2＋(y －23)2＝2089， 故此时M 的轨迹是以(6，23)为圆心，半径为4313的圆， 它的方程是(x －6)2＋(y －23)2＝2089. 巩固提升7．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________________________________________________________________．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝98．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得⎩⎨⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，A 的坐标为(x 0，y 0)．∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上，∴有2x 0－3y 0＋5＝0.又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02， ∴⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3.代入直线方程得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0，化简得：2x －3y －6＝0即为所求．1．任何一个圆的方程都可写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有D 2＋E 2－4F >0时，方程才表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆．2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式，这样得到的关于D ，E ，F 的三元一次方程组，要比使用标准方程简便得多．3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．。
高中数学必修2(人教A版)第四章圆与方程4.2知识点总结含同步练习及答案
− |3 × 0 &#+ 12 − |AB| − − − − − − √− 10 设直线 l 与圆 C 的交点为 A 、B ，则 ． = √r2 − d 2 = 2 2 − |AB| = √−
为 √5 ，点 (0, 1) 到直线 l 的距离为 d =
可知 Δ = 4m(3m + 4)．
4 时，直线与圆相切； 3 4 当 Δ > 0 ，即 m > 0 或 m < − 时，直线与圆相交； 3 4 当 Δ < 0 ，即 − < m < 0 时，直线与圆相离． 3
当 Δ = 0 ，即 m = 0 或 m = −
2.圆的切线 描述： 圆的切线长 过圆外一点P (x 0 , y 0 ) 向圆 M 作两条切线，其中圆心 M 的坐标为 (a, b) ，如图，
切：d = r；直线与圆相离：d > r． 2. 代数法：把直线的方程与圆的方程联立，得方程组，消去 y 或 x 整理得到关于 x 或 y 的一 元二次方程，其判别式为Δ ，直线与圆相交：Δ > 0 ；直线与圆相切：Δ = 0 ；直线与圆 相离：Δ < 0 ． 例题： 当 m 为何值时，直线 mx − y − m − 1 = 0 与圆 x2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 相交？相切？相 离？ 解：法一：（几何法） 由已知，得圆心坐标为 (2, 1)，半径 r = 2，圆心 (2, 1) 到直线 mx − y − m − 1 = 0 的距离
解得 A(
4.圆与圆的位置关系 描述： 圆与圆的位置关系
平面上两圆的位置关系有五种：
判断两圆的位置关系 判断圆C1 ：(x − a1 )2 + (y − b 1 )2 = r2 与圆C2 ：(x − a2 )2 + (y − b 2 )2 = r2 的位置关系，主要 1 2 有两种方法： ①几何法：比较圆心距与两圆半径的关系，设两圆的圆心距为d ， 当d > r1 + r2 时，两圆外离； 当d = r1 + r2 时，两圆外切； 当|r1 − r2 | < d < r1 + r2 时，两圆相交； 当d = |r1 − r2 | 时，两圆内切； 当0 ≤ d < |r1 − r2 | 时，两圆内含． ②代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 圆 C1 的方程与圆 C2 的方程联立，消去 x 或 y 得到关于y 或关于x的一元二次方程， 当Δ > 0 ⇒ 两圆相交； 当Δ = 0 ⇒ 两圆内切或外切； 当Δ < 0 ⇒ 两圆外离或内含． 例题： a 为何值时，两圆 C1 ：x 2 + y 2 − 2ax + 4y + a2 − 5 = 0 和C2 ： x2 + y 2 + 2x − 2ay + a2 − 3 = 0 ． （1）外切；（2）相交；（3）外离． 解：将两圆方程写成标准方程，
2020-2021学年高一数学人教A版必修二 习题 第四章 圆与方程 4.1.2 Word版含答案
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．圆2x 2＋2y 2－4ax ＋12ay ＋16a 2＝0(a ＜0)的周长等于( )A ．22πaB ．－22πaC ．2πa 2D ．－2πa解析： 由已知得，圆的标准方程为(x －a )2＋(y ＋3a )2＝2a 2，∵a ＜0，∴半径r ＝－2a ， ∴圆的周长为－22πa .答案： B2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F解析： 由已知D 2＋E 2－4F ＞0，可知方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线为圆．若圆关于y ＝x 对称，则知该圆的圆心在直线y ＝x 上，则必有D ＝E .答案： A3．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为( )A ．2x －y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝0解析： 由已知得圆心C (1，－3)，且圆心C 不在直线2x －y ＋1＝0,2x －y －1＝0,2x ＋y －1＝0上，而在直线2x ＋y ＋1＝0上，故该圆的一条直径所在直线的方程为2x ＋y ＋1＝0.答案： C4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0 解析： 把圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故此圆圆心为(1,2)，圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则22＝|1－2＋a |2，解得a ＝2，或a ＝0.故选C. 答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．若l 是经过点P (－1,0)和圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋3＝0的圆心的直线，则l 在y 轴上的截距是。
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人教A 高中数学必修2第四章《圆与方程》4.1-4.2练习 命题人:吕木火
姓名 座号 成绩
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为（ ）
A 2、4、4；
B -2、4、4；
C 2、-4、4；
D 2、-4、-4
2、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ）
(A)22 (B)4 (C)24 (D)2
3. 点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）
(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a
4. 方程22220x y ax ay ++-=表示的圆（ ）
Ａ．关于直线y x =对称 Ｂ．关于直线0x y +=对称
Ｃ．其圆心在x 轴上，且过原点 Ｄ．其圆心在y 轴上，且过原点
5. 已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是
( ) (A) 222=+y x (B) 422=+y x
(C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x
6. 若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为（ ）
A 、1，-1
B 、2，-2
C 、1
D 、-1
7. 如果实数x ，y 满足22(2)3x y -+=，那么
y x
的最大值是（ ） A 、3 B 、3- C 、33 D 、33- 8、过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )
A 、(x-3)2+(y+1)2=4
B 、(x+3)2+(y-1)2=4
9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是( )
A 、
6π B 、4π C 、3π D 、2
π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与 该圆的位置关系是（ ）
A 、相切
B 、相交
C 、相离
D 、相切或相交
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11、以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 .
12、 设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为____.
13、过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是_______________.
14、过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方
程为 .
15、 已知实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y-20=0，则x 2+y 2的最小值是 。
三、解答题
16. 已知直线l ：kx-y-3k=0；圆M ：x 2+y 2-8x-2y+9=0，
(1)求证：直线l 与圆M 必相交；
(2)当圆M 截l 所得弦最长时，求k 的值。
17、过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA。
(1)求弦OA中点M的轨迹方程；
(2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.
18.已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A（6，1），求该圆
的方程.
19、求与圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程
20、若x,y 满足(x-1)2+(y+2)2=4,求S=2x+y 的最大值和最小值
参考答案:
1、B;2.C;3.A;4.B;5.D;6.D;7.A;8.C;9.C;10.C
11.(x-2)2+(y-1)2=10; 12.2
225+; 13.x=-1或3x-4y+27=0;
14.(x+1)2+(y-1)2=13;
15、51030-
16、解：
(1)证明：直线l 可化为：y=k(x-3)，过定点A(3,0)，又圆M ：(x-4)2+(y-1)2=8
而
，所以点A 在圆M 内，于是直线l 与圆M 必相交。
(2)要使圆M 截l 所得弦最长，则l 过圆心M ，把点(4,1)代入直线方程得k=1。
17.(1)x 2+y 2-4x=0;(2)x 2+y 2-16x=0
18.(x-3)2+(y-1)2=9或(x-101)2+(y-37)2=1012
19、2)2()3(22=-++y x
20. 解: (x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)为圆心,半径等于2的圆,由S=2x+y 得y=-2x+S
当直线和圆相切时,S 取得最大值和最小值 由21221222=+--⨯S
,得52±=S
,52max =∴S ,52min -=S。