第四讲分治策略PPT课件
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将问题表示为：I=(n,a1,…,an,x) 选取一个下标k，可得到三个子问题：
I1=(k-1,a1,…,ak-1,x) I2=(1,ak,x) I3=(n-k,ak+1,…,an,x)
19.09.2020
a[k]
17
二元比较树
含9个元素的情况
4
1
6
0
2
5
7
3
8
19.09.2020
18
二元比较树
x:A[1]
不成功
x:A[2]
19.09.2020
不成功
x:A[n]
X>A[n]
A[n-1]<x<A[n]
不成功
不成功 15
线性算法复杂度
该方法没有很好利用已经排好序这个条件， 顺序搜索方法平均需要 O(n)次比较。
19.09.2020
16
2 二分搜索方法
基本思想
取一个中间元素做比较元素，如果x等于它，则 结束，如果小于，去左半部查找，否则去右半 部搜索
时，可知c(n) = 3n/ 2 - 2。
使用分而治之方法比逐个比较的方法少用 了2 5％的比较次数。
19.09.2020
7
4.1 分治法的基本思想
分而治之方法与软件设计的模块化方法非 常相似。为了解决一个大的问题，可以：
1) 把它分成两个或多个更小的问题； 2) 分别解决每个小问题； 3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到
0
1
9
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
15
27
4 mid = (left+right)/2
39
=(0+4)/2=2
left
9
12
mid
15
27
9
left mid
9
12
right
12
mid left
15
27
15
27
left mid right
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5
假设袋中有n 个金块。通过n-1次比较找到最重的金块。 找到最重的金块后，可以从余下的n-1个金块中用类似 的方法通过n-2次比较找出最轻的金块。这样，比较的 总次数为2n-3。
n≤2时，识别出最重和最轻的金块，做一次比较。
n＞2时，
第一步，把这袋金块平分成两个小袋A和B。
最后结果
}19.09.2020
10
问题
应把原问题分为多少个子问题才较适宜？ 每个子问题是否规模相同或怎样才为适当？
19.09.2020
11
分治法计算效率
原问题规模——n
分成k个子问题，每个规模——n/m
设分解阈值n0＝1，Adhoc解规模为1的 问题耗费1个单位时间
设分解原问题及用Merge将k个子问题的 解合并需要f(n)个单位时间
T(n)表示分治法的解规模为|P|=n的问题 所需的计算时间
19.09.2020
12
计算时间分析
由上可得
O(1)
n=1
T(n)=
kT(n/m)+f(n) n>1
解上式得到
lom gn1
T(n)nlom gk kjf(n/mj) j0
19.09.2020
13
4.2 二分搜索技术
问题提出
给定已排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个 元素中找出一特定元素x，找到则将其位置赋于变 量j中，否则j置-1。
x:A[(n-1)/2]
x:A[(n-3)/4]
x:A[(3n-1)/4]
x:A[0]
x:A[(n-1)/2-1] x:A[(n-1)/2+1]
x:A[n-1]
不成 功
不成 不 成
功
功
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不成不成
功
功
不成 功
不 成不 成
功
功
19
例2-6 在[9,12,15,27,39]中分别查找27，12，14
如果只允许进行元素间的比较而不允许 对它们进行其它的运算，则所设计的算法称为
以比较为基础的算法。
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14
1 线性搜索
任何以比较为基础的搜索算法的执行过程都可以用一棵二元 比较树来描述。每次可能的比较用一个内顶点表示，对应于 不成功的结果有一个外顶点与之对应。
线性搜索二元比较树如下：
原问题的解答。小问题通常与原问题相 似，可以递归地使用分而治之策略来解 决。
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8
原问题 子问题1 子问题2
相 同
子问题k 类
型
子问题1‘ 子问题2’ 子问题3‘
不可再 分，直 接求解
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9
分治法流程
用P表示问题的输入。
Divide-and-Conquer(P) {
第4讲 分治策略
19.09.2020
1
主要内容
分治法基本思想 二分搜索算法 合并排序算法 快速排序算法 线性时间选择
19.09.2020
2
4.1 分治法的基本思想
例:[找伪币问题]给你一个装有1 6个硬币的 袋子。1 6个硬币中有一个是伪造的，并 且那个伪造的硬币比真的硬币要轻一些。 你的任务是找出这个伪造的硬币。为了帮 助你完成这一任务，将提供一台可用来比 较两组硬币重量的仪器，利用这台仪器， 可以知道两组硬币的重量是否相同。
第二步，分别找出在A和B中最重和最轻的金块。HA 与LA，HB 和LB。
第三步，通过比较HA 和HB，可以找到所有金块中最 重的；通过比较LA 和LB，可以找到所有金块中最轻的。
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6
复杂度
设c(n)为比较次数。假设n是2的幂。
当n= 2时，c(n) = 1； 当n>2时，c(n) = 2c(n/ 2 ) + 2。当n是2的幂
19.09.2020
3
一种方式
两两对比，找到轻者，最差比较8次 另外一种
1)将16个硬币分成A、B两半； 2)将A放仪器的一边，B放另一边，如果 A袋轻，则表明伪币在A，解子问题A即 可，否则，解子问题B。
19.09.2020
4
例2－5 金块问题
有一个老板有一袋金块。每个月将有两名雇员
会因其优异的表现分别被奖励一个金块。按规 矩，排名第一的雇员将得到袋中最重的金块， 排名第二的雇员将得到袋中最轻的金块。根据 这种方式，除非有新的金块加入袋中，否则第 一名雇员所得到的金块总是比第二名雇员所得 到的金块重。如果有新的金块周期性的加入袋 中，则每个月都必须找出最轻和最重的金块。 假设有一台比较重量的仪器，我们希望用最少 的比较次数找出最轻和最重的金块。
判断输入规模p是 否足够的小
if (|P|<=n0) Adhoc(P);
解该规模问 题的函数
divide P into smaller subinstances
P1,P2,···,Pk;
分割函数
for(i=1;i<=k;i++)
分治解决
yi=Divide-and-Conquer (Pi);
return Merge(y1,···,yk); 合并得到
I1=(k-1,a1,…,ak-1,x) I2=(1,ak,x) I3=(n-k,ak+1,…,an,x)
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a[k]
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二元比较树
含9个元素的情况
4
1
6
0
2
5
7
3
8
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18
二元比较树
x:A[1]
不成功
x:A[2]
19.09.2020
不成功
x:A[n]
X>A[n]
A[n-1]<x<A[n]
不成功
不成功 15
线性算法复杂度
该方法没有很好利用已经排好序这个条件， 顺序搜索方法平均需要 O(n)次比较。
19.09.2020
16
2 二分搜索方法
基本思想
取一个中间元素做比较元素，如果x等于它，则 结束，如果小于，去左半部查找，否则去右半 部搜索
时，可知c(n) = 3n/ 2 - 2。
使用分而治之方法比逐个比较的方法少用 了2 5％的比较次数。
19.09.2020
7
4.1 分治法的基本思想
分而治之方法与软件设计的模块化方法非 常相似。为了解决一个大的问题，可以：
1) 把它分成两个或多个更小的问题； 2) 分别解决每个小问题； 3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到
0
1
9
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
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4 mid = (left+right)/2
39
=(0+4)/2=2
left
9
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mid
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15
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假设袋中有n 个金块。通过n-1次比较找到最重的金块。 找到最重的金块后，可以从余下的n-1个金块中用类似 的方法通过n-2次比较找出最轻的金块。这样，比较的 总次数为2n-3。
n≤2时，识别出最重和最轻的金块，做一次比较。
n＞2时，
第一步，把这袋金块平分成两个小袋A和B。
最后结果
}19.09.2020
10
问题
应把原问题分为多少个子问题才较适宜？ 每个子问题是否规模相同或怎样才为适当？
19.09.2020
11
分治法计算效率
原问题规模——n
分成k个子问题，每个规模——n/m
设分解阈值n0＝1，Adhoc解规模为1的 问题耗费1个单位时间
设分解原问题及用Merge将k个子问题的 解合并需要f(n)个单位时间
T(n)表示分治法的解规模为|P|=n的问题 所需的计算时间
19.09.2020
12
计算时间分析
由上可得
O(1)
n=1
T(n)=
kT(n/m)+f(n) n>1
解上式得到
lom gn1
T(n)nlom gk kjf(n/mj) j0
19.09.2020
13
4.2 二分搜索技术
问题提出
给定已排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个 元素中找出一特定元素x，找到则将其位置赋于变 量j中，否则j置-1。
x:A[(n-1)/2]
x:A[(n-3)/4]
x:A[(3n-1)/4]
x:A[0]
x:A[(n-1)/2-1] x:A[(n-1)/2+1]
x:A[n-1]
不成 功
不成 不 成
功
功
19.09.2020
不成不成
功
功
不成 功
不 成不 成
功
功
19
例2-6 在[9,12,15,27,39]中分别查找27，12，14
如果只允许进行元素间的比较而不允许 对它们进行其它的运算，则所设计的算法称为
以比较为基础的算法。
19.09.2020
14
1 线性搜索
任何以比较为基础的搜索算法的执行过程都可以用一棵二元 比较树来描述。每次可能的比较用一个内顶点表示，对应于 不成功的结果有一个外顶点与之对应。
线性搜索二元比较树如下：
原问题的解答。小问题通常与原问题相 似，可以递归地使用分而治之策略来解 决。
19.09.2020
8
原问题 子问题1 子问题2
相 同
子问题k 类
型
子问题1‘ 子问题2’ 子问题3‘
不可再 分，直 接求解
19.09.2020
9
分治法流程
用P表示问题的输入。
Divide-and-Conquer(P) {
第4讲 分治策略
19.09.2020
1
主要内容
分治法基本思想 二分搜索算法 合并排序算法 快速排序算法 线性时间选择
19.09.2020
2
4.1 分治法的基本思想
例:[找伪币问题]给你一个装有1 6个硬币的 袋子。1 6个硬币中有一个是伪造的，并 且那个伪造的硬币比真的硬币要轻一些。 你的任务是找出这个伪造的硬币。为了帮 助你完成这一任务，将提供一台可用来比 较两组硬币重量的仪器，利用这台仪器， 可以知道两组硬币的重量是否相同。
第二步，分别找出在A和B中最重和最轻的金块。HA 与LA，HB 和LB。
第三步，通过比较HA 和HB，可以找到所有金块中最 重的；通过比较LA 和LB，可以找到所有金块中最轻的。
19.09.2020
6
复杂度
设c(n)为比较次数。假设n是2的幂。
当n= 2时，c(n) = 1； 当n>2时，c(n) = 2c(n/ 2 ) + 2。当n是2的幂
19.09.2020
3
一种方式
两两对比，找到轻者，最差比较8次 另外一种
1)将16个硬币分成A、B两半； 2)将A放仪器的一边，B放另一边，如果 A袋轻，则表明伪币在A，解子问题A即 可，否则，解子问题B。
19.09.2020
4
例2－5 金块问题
有一个老板有一袋金块。每个月将有两名雇员
会因其优异的表现分别被奖励一个金块。按规 矩，排名第一的雇员将得到袋中最重的金块， 排名第二的雇员将得到袋中最轻的金块。根据 这种方式，除非有新的金块加入袋中，否则第 一名雇员所得到的金块总是比第二名雇员所得 到的金块重。如果有新的金块周期性的加入袋 中，则每个月都必须找出最轻和最重的金块。 假设有一台比较重量的仪器，我们希望用最少 的比较次数找出最轻和最重的金块。
判断输入规模p是 否足够的小
if (|P|<=n0) Adhoc(P);
解该规模问 题的函数
divide P into smaller subinstances
P1,P2,···,Pk;
分割函数
for(i=1;i<=k;i++)
分治解决
yi=Divide-and-Conquer (Pi);
return Merge(y1,···,yk); 合并得到