西南大学2016《初等数论》网上作业1、2次
初等数论1
第一次网络作业一、填空1.（525，231）的最大公因数为 1、212.2160的正约数的个数为 40个3. 求所有正约数的和等于15的最小正数为 84.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 28个5.35！的标准分解式为 2^5*3^3*5^2*7*11*13*17*19*23*29*31二、试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n是任意整数。
证明：n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n-1+n+2)=(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)而 n-1 n n+1是连续的三个整数，其中必有一个是3的倍数，至少有一个是2的倍数所以（n-1)n(n+1)是6的倍数同理 n(n+1)(n+2)也是6的倍数他们的和 n(n+1)(2n+1)也是6的倍数三、假如(a,b)=1，那末(a-b,a+b)=1或2因为(a,b)=1所以存在u,v使得ua+vb=1所以u(a+b)+(u-v)(-b)=1v(a+b)+(u-v)a=1把以上两式相加得(u+v)(a+b)+(u-v)(a-b)=2如果a+b被2整除，那么a-b也被2整除，我们可得(a-b,a+b)=2如果u+v被2整除，那么u-v也被2整除，我们可得(a-b,a+b)=1；如果a+b不被2整除,u+v不被2整除，那么a-b也不被2整除，u-v也不被2整除，此时必然u,v,a,b均为奇数，这与ua+vb=1矛盾四、求证(21n+4)/(14n+3)是不可约分数，这里n是任意正整数。
证明：-.-(21n+4)/(14n+3)=1+(7n+1)/(14n+3)又(14n+3)/(7n+1)=2+1/(7n+1)则1/(7n+1)不可约所以(14n+3)/(7n+1)不可约所以(21n+4)/(14n+3)也是不可约。
初等数论1习题参考答案
初等数论1习题参考答案附录1 习题参考答案第一章习题一1. (ⅰ) 由a b知b= aq，于是b=(a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。
反之，由a b，a b 及a b也可得a b；(ⅱ) 由a b，b c 知b= aq1，c= bq2，于是c= a(q1q2)，即a c；(ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac；(ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a0得|q| 1，从而|a||b|，后半结论由前半结论可得。
2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(nq)及条件m p mn pq可知m p mq np。
3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。
4. 设不然，n1 = n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。
5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2不能表示为a2p的形式，事实上，若(k1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。
第一章习题二1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。
2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0,1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1= r2 = 0，即3a且3b。
3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4- n k被10除的余数和r k+4- r k = r k( r4-1)被10 除的余数相同。
西南大学18秋[0346]《初等数论》作业答案
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概念解释题一、简答题1. 判断30是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。
2. 94536是否是9的倍数，为什么？3. 写出模6的最小非负完全剩余系。
4. 叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。
5. 叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。
6. 2358是否是3的倍数，为什么？二、给出不定方程ax + by = c有整数解的充要条件并加以证明。
三、给出有关同余的一条性质并加以证明。
四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。
作业1答案一、简答题（每小题10分，共30分）1. 判断30是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。
=⨯⨯。
答：30是合数，其标准分解式为302352. 94536是否是9的倍数，为什么？++++=是9的倍数。
答：94536是9的倍数，因为94536273. 写出模6的最小非负完全剩余系。
答：模6的最小非负完全剩余系为0，1，2，3，4，5。
4. 叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。
答：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数。
小于18的所有质数是2,3,5,7,11,13，17。
5. 叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。
答：0，1，2，…，m-1称为m的最小非负完全剩余系。
6. 2358是否是3的倍数，为什么？答：2358是3的倍数。
因为一个整数能被3整除的充要条件是它的各个位数的数字之和为3的倍数，而2+3+5+8=18，18是3的倍数，所以2358是3的倍数。
二、给出不定方程ax + by = c 有整数解的充要条件并加以证明。
解： 结论：二元一次不定方程ax + by = c 有整数解的充要条件是(,)|a b c 。
证明如下：若ax + by = c 有整数解，设为00,x y ，则00ax by c += 但(,)|a b a ，(,)|a b b ，因而(,)|a b c ，必要性得证。
反之，若(,)|a b c ，则1(,)c c a b =，1c 为整数。
初等数论练习题一（含答案）
初等数论练习题⼀（含答案）《初等数论》期末练习⼆⼀、单项选择题1、=),0(b （）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）.A aB bC 1D b a +3、⼩于30的素数的个数（）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定⽅程210231525=+y x （）.A 有解B ⽆解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最⼤公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、⼤于20且⼩于40的素数有（）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最⼩⾮负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定⽅程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （）.A 有解B ⽆解C ⽆法确定D 有⽆限个解⼆、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环⼩数的条件是（）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( )n ，⽽且与n （）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、+=][x x （）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?2、求解不定⽅程2537107=+y x .（8分）3、求??563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?6、求解不定⽅程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？8、求11的平⽅剩余与平⽅⾮剩余.四、证明题1、任意⼀个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、⼀个能表成两个平⽅数和的数与⼀个平⽅数的乘积,仍然是两个平⽅数的和;两个能表成两个平⽅数和的数的乘积,也是⼀个两个平⽅数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯⼀的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习⼆答案⼀、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B⼆、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环⼩数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( 3 ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( 不⼤于 )n ，⽽且与n （互素）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（⼗进位）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871?=5073684 所以24871与3468的最⼩公倍数是5073684。
2015秋季西南大学初等数论大作业答案
因为p、p＋1、p＋2除以3余数不同,p、p＋2都不被3整除,所以p＋1被3整除．
于是6是p＋1的因数．
\
6.叙述孙子定理的内容。
11.孙子定理的内容为：设 是k个两两互质的正整数,
(1)
设 ,
则同余式组(1)的解是
(2)
其中 是满足 的任一个整数，i＝1,2,…,k。
三、计算题（每小题8分，共40分）
1.求210与55的最大公因数。
答：210=2x3x5x7 ,55=5x11 210与55的最大公因数是5.
1.叙述整数a被整数b整除的概念。
答：设a,b是任意两个整数,其中b≠0,如果存在一个整数q使得等式a=bq成立,我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a
2.叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。
答一个大于1的整数,如果它的正因数只有1和它本身,就叫作质数(或素数)。14的所有质数2,3，5，7, 11，13.
性质3①若a1=b1(mod m),a2=b2(mod m),则a1+ a2 =b1+ b2( (mod m)
②若a+b≡c(mod m),则a≡c-b(mod m)
5. 196是否是3的倍数，为什么？
答：196不是3的倍数。因为由定义可知设a,b是任意两个整数,其中b≠0,如果存在一个整数q使得等式a=bq成立,则将a叫做b的倍数。所以a=196,b=3,不存在一个整数q使得等式a=bq成立,所以196不是3的倍数。
西南大学网络与继续教育学院课程考试答题卷
学号：1513150663001姓名：陈琛层次：专科起点本科
类别：网教专业：数学与应用数学（数学教育）2015年11月西南大学网络教育鹰潭职业技术学院学习中心
《初等数论》网络作业2
《初等数论》网络作业21、设正整数a 的十进制表示为1201(09,01,0)n n i n a a a a a i n a ---=≤≤≤≤-≠，即11101010n n a a a a --=⨯++⨯+，证明3|a 当且仅当103|n i i a -=∑证明：由01101,101,,101(mod 3),i i N ≡≡≡∈利用同余可加性和同余可乘性，得1110(mod 3)n n iiii i a a a --===⨯≡∑∑∴ 3|a 当且仅当13|n i i a -=∑2、求5221+被641除的余数。
解：依次计算同余式得，248163224,216,2256,2154,21(mod 641)≡≡≡≡≡-∴ 523221210(mod641)+=+≡，即52641|(21)+ ∴ 5221+被641除的余数为03、设n 是一个使3333123n ++++不能被5整除的自然数，试求2222123n ++++除以的5的余数。
解：设3333123A n =++++，2222123B n =++++对任意整数，有544333111(5)(5)0(mod 5)i i i t i t i i===+≡+≡≡∑∑∑544222111(5)(5)0(mod 5)i i i t i t i i===+≡+≡≡∑∑∑当1,2,3r =时，3311(5)(mod 5)rri i t i i ==+≡∑∑，但5不能整除31ri i=∑，∴ 当5(,0,1,2,3)n t r t N t r =+∈==时，A 不能被5整除。
对于t N ∈或0t =，通过计算得，当51n t =+时，1(mod5)B ≡当52n t =+时，0(mod5)B ≡ 当53n t =+时，4(mod5)B ≡∴ 当n 是一个使3333123A n =++++不能被5整除的自然数时，2222123B n =++++除以的5的余数为1或0或4。
初等数论习题解答
《初等数论》习题解答作业3一．选择题1，B 2，C 3，D 4，A二．填空题1，自反律 2，对称性 3，13 4，十进位 5，3 6，2 7，1三．计算题1， 解：由Euler 定理知：（a,m ）=1 则 a φ (m)≡1 (modm)∵(3,100)=1. 3φ (100)=340≡13360≡13364=3360×34≡34 (mod 100)∴34≡81 (mod 100)故：3364的末两位数是81.2, 解：132=169≡4 （mod 5）134=16≡1 (mod 5)1316≡1 (mod 5)1332≡1 (mod 5)1348≡1 (mod 5)1350=1348×1321350≡132≡4 (mod 5)3, 解： ∵(7,9)=1. ∴只有一个解7X －5≡9Y (mod 9)7X －9Y ≡5 (mod 9)解之得：X=2，Y=1∴X=2+9≡11=2 (mod 9)4, 解： ∵（24，59）=1 ∴只有一个解24X ≡7 (mod 59)59Y ≡﹣7 (mod 24)11Y=﹣7 (mod 24)24Z=7 (mod 11)2Z=7 (mod 11)11W=﹣7 (mod 2)W =﹣7 (mod 2)W=﹣1 (mod 2)Z=2711+-= －2 Y=117242-⨯-=－5X=247595+⨯-=2288-=－12 =47(mod59)5 解 ∵（45，132）=3，∴同余式有三个解。
45X ≡21（mod32）15x ≡7 (mod44)44y ≡-7 (mod15)14y ≡-7 (mod15)15z ≡-7 (mod14)z ≡7 (mod14) y=147715-⨯=7 x=157744+⨯=21 ∴x=21+31322⨯=109 (mod132) x=21+31321⨯=65 (mod132) x=21 (mod132)6、解 ∵（12，45）=3, ∴同余式有三个解。
西南大学2016年6月网教〈初等数论〉[0346]大作业A答案
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解：由公式n!=1×2×3……×n
所以5！=1×2×3×4×5
=1×23×3×5
3.求1510除以7的余数。
解：因为151（mod7）,所以151011018（mod7）,
即1510除以7的余数是8。
4.求不定方程 的一切整数解。
解：因为（3,1）=1，11，所以有整数解。
3x+y=1可以转化为y=1-3x。当x=0时，y=1
所以y=1-3x的一切整数解为x=0,1，2…。
5.解同余式 。
解：因为（2,7）=1,13，所以同余式 只有1个解。
由2x-7y=3得一个解x0=5,y0=1所以同余式的解为x5(mod7)
四、证明题（每小题8分，共16分）
1.证明：若 ， ，则 。
证明：由ab,bc及整除的定义知存在整数p,q
使得b=ap,c=bq
成立，而且q及r是唯一的。
证 作整数序列
…，－3b，－2b，－b，0，b，2b，3b，…
则a必在上述序列的某两项之间，及存在一个整数q使得qb≤a<(q+1)b成立。令a－qb＝r，则r为整数，且a＝qb＋r，而
设 是满足（2）的另两个整数，则
，
所以 ，于是 ，故 。由于r， 都是小于b的正整数或零，故 。如果 ，则 ，这是一个矛盾பைடு நூலகம்因此 ，从而 。
（1）每一整数必包含在而且仅包含在上述的一个集合里面；
（2）两个整数同在一个集合的充要条件是这两个整数对模m同余。
4.写出两条有关整除的基本性质。
答：（1）若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数。即：若b|a，c|b，则c|a。
（2）若a，b都是m的倍数，则 也是m的倍数。
(0346)《初等数论》网上作业题及答案
（0346）《初等数论》网上作业题及答案1：第一次作业2：第二次作业3：第三次作业4：第四次作业5：第五次作业1：[论述题]数论第一次作业参考答案：数论第一次作业答案2：[单选题]如果a|b，b|c，则（）。
A：a=cB：a=-cC：a|cD：c|a参考答案：C马克思主义哲学是我们时代的思想智慧。
作为时代的思想智慧，马克思主义哲学主要具有反思功能、概括功能、批判功能和预测功能。
（1）“反思”是哲学思维的基本特征，是以思想的本身为内容，力求思想自觉其为思想。
通过不断的反思，揭示自己时代的本质和规律，达到对事物本质和规律性的认识。
（2）概括是马克思主义哲学的重要功能，是马克思主义哲学把握人与世界总体性关系的基本思维方式。
（3）马克思主义哲学的批判功能主要是指对现存世界的积极否定。
（4）马克思主义哲学的预测功能在于预见现存世界的发展趋势。
3：[单选题]360与200的最大公约数是（）。
A：10B：20C：30D：40参考答案：D数论第一次作业答案4：[单选题]如果a|b，b|a ，则（）。
A：a=bB：a=-bC：a=b或a=-bD：a，b的关系无法确定参考答案：C数论第一次作业答案5：[单选题]-4除-39的余数是（）。
A：3B：2C：1D：0参考答案：C数论第一次作业答案6：[单选题]设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。
A：整除B：不整除C：等于D：小于参考答案：A数论第一次作业答案7：[单选题]整数6的正约数的个数是（）。
A：1B：2C：3D：4参考答案：D数论第一次作业答案8：[单选题]如果5|n ，7|n，则35（）n 。
A：不整除B：等于C：不一定D：整除参考答案：D数论第一次作业答案1：[论述题]数论第二次作业参考答案：数论第二次作业答案2：[单选题]288与158的最大公约数是（）。
A：2B：4C：6D：8参考答案：A数论第二次作业答案3：[单选题]-337被4除余数是（）。
福师《初等数论》在线作业一答卷
福师《初等数论》在线作业一-0003试卷总分:100 得分:98一、单选题 (共 25 道试题,共 50 分)1.9x+11y=100的正整数解的个数是（）A.0B.1C.2D.无穷答案:B2.题见图片{图}A.AB.BC.CD.D答案:A3.题见图片{图}A.AB.BC.CD.D答案:C4.被3除余1，被5除余4，被11除余5的最小正整数一定处于（）的区间A.[10,20]B.[20,30]C.[30,40]D.[40,50]答案:D5.100!的末尾0的个数是（）A.20B.21C.24D.25答案:C6.p为素数是2^(2^p)+1为素数的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件答案:B7.{图}。
A.AB.BC.CD.D答案:B8.整数202（）A.能够写成两数平方和B.能够写成两数平方差C.都可以D.都不能答案:A9.题见图片{图}A.AB.BC.CD.D答案:B10.题见图片{图}A.AB.BC.CD.D答案:C11.题见图片{图}A.AB.BD.D答案:A12.{图}。
A.AB.BC.CD.D答案:D13.题见图片{图}A.AB.BC.CD.D答案:B14.100!最高能被45的（）次幂整除A.20B.23C.24D.48答案:C15.题见下图{图}A.AB.BC.CD.D答案:A16.题见图片{图}A.AB.BC.C答案:C17.a,b大于1且互素，则不定方程ax-by=ab的正整数解的个数是（）A.0B.1C.2D.无穷答案:D18.{图}。
A.AB.BC.CD.D答案:B19.题见图片{图}A.AB.BC.CD.D答案:20.题见图片{图}A.AB.BC.CD.D答案:B21.题见图片{图}A.AB.BC.CD.D答案:B22.{图}。
A.AB.BC.CD.D答案:D23.{图}。
A.AB.BC.CD.D答案:D24.。
{图}A.AB.BC.CD.D答案:A25.题见图片{图}A.AB.BC.CD.D答案:B二、判断题 (共 25 道试题,共 50 分)26.题面见图片{图}答案:正确27.题面见图片{图}答案:正确28.题面见图片{图}答案:错误29.题见图片{图}答案:正确30.题见图片{图}答案:正确31.题见图片{图}答案:正确32.题见图片{图}答案:正确33.题见图片{图}答案:正确34.题面见图片{图} 答案:正确35.题见图片{图}答案:正确36.题见下图{图}答案:正确37.题面见图片{图} 答案:正确38.题见图片{图}答案:错误39.题见下图{图}答案:正确40.题面见图片{图} 答案:正确41.题见图片{图}答案:错误42.题面见图片{图} 答案:正确43.题面见图片{图} 答案:正确44.题见图片{图}答案:错误45.题见下图{图}答案:错误46.题见图片{图}答案:正确47.题见图片{图}答案:正确48.题面见图片{图}答案:错误49.题见下图{图}答案:正确50.题见下图{图}答案:正确。
《初等数论》习题集及答案
《初等数论》习题集及答案《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。
初等数论-网考题库
共 2 道大题，满分 100 分一、单选题（共 25 道小题，共 50 分）1. 如果a≡b(modm),c是任意整数，则（）（2 分）A. ac≡cb(modm)B. a=bC. a=cD. a≡bc(modm)【答案】A【解析】2. 同余方程58x≡87(mod47)的解为（）.（2 分）A. x≡25(mod47)B. x≡29(mod47)C. x≡35(mod47)D. x≡37(mod47)【答案】A【解析】3. 如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）（2 分）A. 奇数B. 偶数C. 奇数或偶数D. 由n的奇偶性而定【答案】B【解析】4. 下列各组数哪一组是模8的完全剩余系（）.（2 分）A. 1,3,5,7,9,11,13,15B. 2,4,6,8,17,21,23C. -7,-12,-17,-22,-27,-32,-37,-42D. –2,–7,11,15,18,21,24,27【答案】C【解析】5. 157！的标准分解式中素数7的指数为（）.（2 分）A. 22B. 23C. 24D. 25【答案】D【解析】6. 同余方程7x≡1(mod31)解为（）.（2 分）A. x≡6(mod31)B. x≡7(mod31)C. x≡8(mod31)D. x≡9(mod31)【答案】D【解析】7. 1001！中末尾0的个数为（）（2 分）A. 200B. 238C. 248D. 249【答案】D【解析】8. 整数6的正约数的个数是（）（2 分）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】9. 20以内的正素数有哪些（）（2 分）A. 1，2，3，5，7，11，13，17，19B. 2，3，5，7，11，13，17，19C. 1，2，4，5，10，20D. 2，3，5，7，12，13，15，17【答案】B【解析】10. 所有不超过156的正整数中，7的倍数有（）个（2 分）A. 20B. 21C. 22D. 23【答案】C【解析】11. 设n，m为整数，如果3|n,3|m，则9（）nm（2 分）A. 整除B. 不整除C. 等于D. 小于【答案】A【解析】12. 47的50次方的个位数为（）.（2 分）A. 1B. 3C. 7D. 9【答案】D【解析】13. (221,391,136)=( ).（2 分）A. 13B. 17C. 19D. 23【答案】B【解析】14. 模4的最小非负完全剩余系是（）（2 分）A. -2,-1,0,1B. -4,-3,-2,-1C. 1,2,3,4D. 0,1,2,3【答案】D【解析】15. 同余方程5x≡10(mod15)解的个数为（）.（2 分）A. 2个解B. 3个解C. 4个解D. 5个解【答案】D【解析】16. 如果3|n，5|n，则15（）n（2 分）A. 整除B. 不整除C. 等于D. 不一定整除【答案】A【解析】17. 设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）（2 分）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】18. 取1元、2元、5元的硬币共10枚，付出18元，有（）种不同的付法（2 分）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】19. 如果a≡b(mod q)，c≡d(mod q)，则有（）（2 分）A. a+c≡bd(mod q)B. ac≡b+d(mod q)C. a+c≡b+d(mod q)D. ab≡cd(mod q)【答案】C【解析】20. （54,198）=（）（2 分）A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】D【解析】21. 下列结论正确的是（）（2 分）A. 若a^2≡b^2(mod m)，则a≡b(mod m)B. 若a^2≡b^2(mod m)，则a≡b(mod m)或a≡-b(mod m)至少有一个成立C. 若a≡b(mod m)，则a^2≡b^2(mod m^2)D. 若a≡b(mod 2)，则a^2≡b^2(mod 4)【答案】D【解析】22. 不定方程525x+231y=210（）（2 分）A. 有解B. 无解C. 解都是正数D. 解都是负数【答案】A【解析】23.已知361a是一个4位数（其中a是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是（）（2 分）A. 0B. 2C. 5D. 9【答案】C【解析】24. 1050与858的最大公因数是（）（2 分）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】C【解析】25. 如果（），则不定方程ax+by=c有解（2 分）A. (a,b)|cB. c|(a,b)C. a|cD. (a,b)|a【答案】A【解析】二、判断题（共 25 道小题，共 50 分）26. 对任给的正整数k,必有k个连续正整数都是合数.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】27. 欧拉函数ψ(700) =240.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】28. 11除123的余数是2.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】29. 若x通过模m的完全剩余系,则x+b(b是整数)通过模m的完全剩余系.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】30. 同余方程x^2≡11(mod 17)无解.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】31. x^4+1的奇素因数p满足p≡1(mod8) .（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】32. 存在无穷多个形如4n-1的素数.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】33. 若ac≡bc(mod m)，则a≡b(mod m).（2 分）A. 错误B. 正确【答案】A【解析】34. 模P的简化剩余系中，二次剩余和非二次剩余的个数都是(p-1)/2.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】35. 294与194的最大公因数是2.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】36. 素数写成两个平方数和的方法是唯一的.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】37. 若a^3|b^3，则a|b.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】A【解析】38. 模7的最小非负完全剩余系是0、1、2、3、4、5、6.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】39. 3,9,21,27,33,39,51,57是模20的一个简化剩余系.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】40. 如果两个整数互相整除，则这两个数仅相差一个符号.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】A【解析】41. 200到500的整数中7的倍数的个数为43（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】42. 模9的最小非负完全剩余系0,1,2,3,4,5,6,7,8.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】43. 如果p和p+2都是大于3的质数，则6|p+1.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】44. 存在数m，使ψ(m) =14.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】A【解析】45. 奇数一定能表示为两平方数之差.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】46. 16x-37y=7有整数解.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】47. 若3|n且7|n，则21|n.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】48. 若某个剩余类中有一个数与模m互素,则该剩余类中每个数均与模m互素.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】49. 7是模29的平方剩余.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】50. 形如4n-1的整数不能写成两个平方数的和.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】共 2 道大题，满分 100 分一、单选题（共 25 道小题，共 50 分）1. 7的7次方个位数是（）（2 分）A. 1B. 3C. 7D. 9【答案】B【解析】2. 如果b|a，a|c，则（）（2 分）A. b=cB. b=-cC. b|cD. c|b【答案】C【解析】3. 24871与3468的最大公因数是（）（2 分）A. 11B. 13C. 17D. 19【答案】C【解析】4. 下列表述中与n≡5 (mod7)不等价的是（）（2 分）A. n=5+7k,k是整数B. n被7整除余5C. n-5被7整除D. n-7被5整除【答案】D【解析】5. 因为（），所以不定方程12x+15y=7没有整数解。
西南大学2016《初等数论》网上作业（共4次）
西南大学2016《初等数论》网上作业（共4次）初等数论第一次作业简答题1. 叙述整数a被整数b整除的概念。
2. 给出两个整数a，b的最大公因数的概念。
3. 叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。
4. 叙述合数的概念，并判断14是否为合数。
5. 不定方程c+有整数解的充分必要条件是什么？byax=6. 列举出一个没有整数解的二元一次不定方程。
7. 写出一组勾股数。
8. 写出两条同余的基本性质。
9. 196是否是3的倍数，为什么？10. 696是否是9的倍数，为什么？11. 叙述孙子定理的内容。
12. 叙述算术基本定理的内容。
13.给出模6的一个完全剩余系。
14.给出模8的一个简化剩余系。
15.写出一次同余式)ax≡有解得充要条件。
(mod mb答：1.设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq 成立，我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a。
2.设a,b是任意两个整数，若整数d是他们之中每一个的因数，那么d就叫做a,b的一个公因数。
a,b的公因数中最大的一个叫做最大公因数。
3.一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数(或素数)。
14的所有质数为2,3,5,7,11,134.一个大于1的整数，如果它的正因数除了1和它本身，还有其他的正因数，则就叫作合数。
14的所有正因数为1,2,7,14，除了1和本身14，还有2和7两个正因数，所以14是合数。
5.不定方程cax=+有整数解的充分必要条件是。
by6.没有整数解的二元一次不定方程10x+10y=5。
7.一组勾股数为3,4,5。
8.同余的基本性质为：性质1 m为正整数，a，b，c为任意整数，则①a≡a（mod m）；②若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；③若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）。
性质3①若（mod m），（mod m），则（mod m）②若a＋b≡c（mod m），则a≡c－b（mod m）。
国开电大初等数论(四川)形成作业一参考答案
题目1.任意5个整数中，其中有3个整数的和为3的倍数对错【答案】：对题目2.素因式分解没有唯一性对错【答案】：错题目3.偶数都是合数对错【答案】：错题目4.辗转相除法可以求得最大公因式对错【答案】：对题目5.整数的和是整数对错【答案】：对题目6.[1.2]=2对错【答案】：错题目7.2,3,5是素数对错【答案】：对题目8.任意大于1的整数都能写成素数的乘积对错【答案】：对题目9.(12,18)=6对错【答案】：对题目10.当n是奇数时，有3|(2n+1)对错【答案】：对题目11.(1008,1134)=( )a. 58b. 1008c. 1134d. 126【答案】：126题目12.398除于14的不完全商是（）a. 28b. 1c. 7【答案】：14题目13.设(a,b)=1,则(ab,a+b)=( )a. 1b. ac. a+bd. b【答案】：1题目14.(136,221,391)=( )a. 17b. 221c. 136d. 16【答案】：17题目15.设a，b，c为整数，如果a整除b，b整除a，则a=（）a. 1b. ±bc. a+2bd. 2b【答案】：±b题目16.[136,221,391]=( )a. 391b. 221c. 40664【答案】：40664题目17.[2.7]=( )a. 2.7b. 1c. 2d. 3【答案】：2题目18.设（a,b）=1，下列式子成立的是（）a. (ab,b)=(a,b)b. （ac,b）=(c,b)c. (ab,bc)=(c,b)d. (ab,b)=(c,b)【答案】：（ac,b）=(c,b)题目19.[3]=( )a. 3b. 2c. 1d. 4【答案】：3题目20.[24871,3468]=( )a. 3468b. 85c. 24871【答案】：17。
(完整版)初等数论练习题二(含答案)
《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、 在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、 如果a b （modm ） ,c 是任意整数 贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、 如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、 整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、 如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、 模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、 整数637693能被（）整除. A 3 B 5 C 7 D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、 同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、 如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、 在176与545之间有（）是13的倍数.10、 如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（ ）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、 如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、 如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、 如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为 （）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（ ）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、 素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、 同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、 如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、 如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 r b.7、 设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、 如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、 在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、 如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、 如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分） 解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。
初等数论练习题与答案
初等数论练习题一一、填空题1、 (2420)=27； (2420)=_880_2、设 a ， n 是大于 1 的整数，若 a n -1 是质数，则 a=_2.3、模 9 的绝对最小完全剩余系是 _{-4 ，-3，-2， -1，0，1，2，3，4}.4、同余方程 9x+12≡0(mod 37)的解是 x ≡11(mod 37)。
5、不定方程 18x-23y=100 的通解是 x=900+23t ，y=700+18tt Z 。
.6、分母是正整数 m 的既约真分数的个数为 _ ( m) _。
7、18100被 172除的余数是 _256。
8、65=-1。
103p19、若 p 是素数，则同余方程 x1(mod p) 的解数为 p-1 。
21、解同余方程： 3x 11x 20 0 (mod 105) 。
同余方程 3x 2 11x 20 0 (mod 3) 的解为 x 1 (mod 3) ，同余方程 3x 2 11x 38 0 (mod 5) 的解为 x 0， 3 (mod 5) ，同余方程 3x 2 11x 20 0 (mod 7) 的解为 x 2，6 (mod 7) ，故原同余方程有 4 解。
作同余方程组： x b 1 (mod 3) ，x b 2 (mod 5) ，x b 3 (mod 7) ，其中 b 1 = 1 ，b 2 = 0 ，3，b 3 = 2 ，6，由孙子定理得原同余方程的解为x 13，55， 58，100 (mod 105) 。
2、判断同余方程 x 2 ≡42(mod 107)是否有解？解： 42 ) （ 2 37）（ 2 ）（3 ）（7 ） 107 107 1071071072 ） 33 1 107 1107 ）2 ）7）（7 1 107 1107 2 ）（，（ ）（ ）22（ （ ，（ ）22 （） （ 11071107133110717 7（ 42） 1 107故同余方程 x 2≡ 42(mod 107)有解。
福师《初等数论》在线作业一15秋100分答案
正确答案：B14.题见图片A.错误B.正确
正确答案：B15.题见下图A.错误B.正确
正确答案：B16.题见图片A.错误B.正确
正确答案：A17.题面见图片A.错误B.正确
正确答案：B18.题面见图片A.错误B.正确
正确答案：B19.题面见图片A.错误B.正确
福师《初等数论》在线作业一
一、单选题（共25道试题，共50分。）1.题见图片A. AB. BC. CD. D
正确答案：B2.题见图片A. AB. BC. CD. D
正确答案：D3.。A. AB. BC. CD. D
正确答案：C4.。A. AB. BC. CD. D
正确答案：D5.题见图片A. AB. BC. CD. D
正确答案：B20.题见图片A.错误B.正确
正确答案：B21.题见图片A.错误B.正确
正确答案：A22.题见图片A.错误B.正确
正确答案：B23.题面见图片A.错误B.正确
正确答案：A24.题见图片A.错误B.正确
正确答案：B25.题见图片A.错误B.正确
正确答案：B
正确答案：B5.题见下图A.错误B.正确
正确答案：A6.题面见图片A.错误B.正确
正确答案：B7.题面见图片A.错误B.正确
正确答案：B8.题见图片A.错误B.正确
正确答案：B9.题面见图片A.错误B.正确
正确答案：A10.题见图片A.错误B.正确
正确答案：B11.题见图片A.错误B.正确
正确答案：B12.题见图片A.错误B.正确
正确答案：B24.。A. AB. BC. CD. D
正确答案：B25.题见图片A. AB. BC. CD. D
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初等数论第一次作业
简答题
1. 叙述整数a被整数b整除的概念。
2. 给出两个整数a，b的最大公因数的概念。
3. 叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。
4. 叙述合数的概念，并判断14是否为合数。
5. 不定方程c
+有整数解的充分必要条件是什么？
by
ax=
6. 列举出一个没有整数解的二元一次不定方程。
7. 写出一组勾股数。
8. 写出两条同余的基本性质。
9. 196是否是3的倍数，为什么？
10. 696是否是9的倍数，为什么？
11. 叙述孙子定理的内容。
12. 叙述算术基本定理的内容。
13.给出模6的一个完全剩余系。
14.给出模8的一个简化剩余系。
15.写出一次同余式)
ax≡有解得充要条件。
(mod m
b
答：
1.设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq 成立，我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a。
2.设a,b是任意两个整数，若整数d是他们之中每一个的因数，那么d就叫做a,b的一个公因数。
a,b的公因数中最大的一个叫做最大公因数。
3.一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数(或素数)。
14的所有质数为2,3,5,7,11,13
4.一个大于1的整数，如果它的正因数除了1和它本身，还有其他的正因数，则就叫作合数。
14的所有正因数为1,2,7,14，除了1和本身14，还有2和7两个正因数，所以14是合数。
5.不定方程c
ax=
+有整数解的充分必要条件是。
by
6.没有整数解的二元一次不定方程10x+10y=5。
7.一组勾股数为3,4,5。
8.同余的基本性质为：
性质1 m为正整数，a，b，c为任意整数，则
①a≡a（mod m）；
②若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；
③若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）。
性质3
①若（mod m），（mod m），则（mod m）
②若a＋b≡c（mod m），则a≡c－b（mod m）。
9.196不是3的倍数。
因为由定义可知设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。
所以a=196，b=3，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以196不是3的倍数。
10.696不是9的倍数。
因为由定义可知设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。
所以a=696，b=9，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以696不是9的倍数。
11.孙子定理的内容为：设是k个两两互质的正整数,
(1)
设,
则同余式组(1)的解是
(2)
其中是满足的任一个整数，i＝1,2,…,k。
12.任一大于1的整数能表成质数的乘积，即任一大于1的整数
，（1）
其中是质数，并且若，,其中
是质数，则m＝n，，i＝1，2，…，n。
13.模6的一个完全剩余系为1，2，3，4，5，6。
14.由于8的标准分解式为8=23，所以
所以模8的一个简化剩余系由4个数构成，这两个数都与8互质，并且它们关于模8不同余。
比如1,7就是模8的一个简化剩余系。
15.一次同余式)
ax 有解的充要条件是(a,m)|b。
b
(mod m
初等数论第二次作业
填空题
1．9除28的商是 3 。
2．11除23的余数是 1 。
3．6的正因数是1,2,3,6 。
4．{4.5}= 0.5 。
5．[8.3] +[-8.3] = ﹣1 。
6．30的最小质因数是 2 。
7．在所有质数中，是偶数的是 2 。
8．在所有质数中，最小的奇质数是 3 。
9．大于4小于16的素数有___ 5, 7, 11, 13 __ ____。
10．不定方程c
+
by
ax=
11．模5的最小非负完全剩余系是{0,1,2,3,4,} 。
12．模4的绝对最小完全剩余系是﹣1, 0, 1, 2 。
13．555
5的个位数是 5 。
14．77的个位数是_______ 3 ________。
15．316的十进位表示中的个位数字是 1 。
16．66的个位数是 6 。
17．710被11除的余数是 1 。
18．（1516，600）= 227400 。
19．6的所有正因数的和是12 _。
20．24与60的最大公因数是12 。
21．35的最小质因数是 5 。
22．46的个位数是 6 。
23．8的所有正因数的和是7 _。
24．18的标准分解式为18=2×3 ²。
25．20的欧拉函数值)
(ϕ= 8 。
20。