广州大学2017-2018常微分方程试卷A答案

广州大学2017-2018学年第一学期考试卷
参考答案及评分标准
课程 常微分方程 考试形式（闭卷，考试）
学院 系 专业 班级 学号 姓名_
特别提醒：2017年11月1日起，凡考试作弊而被给予记过（含记过）以上处分的，一律
不授予学士学位。

一、 填空（5*3分=15分）
1. 方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=为恰当微分方程的充要条件是
x N
y M ∂∂=∂∂. 2. 若()(1,2,
,)i x t i n =为n 阶齐次线性方程1111()()
()0n n n n n n d x d x
dx
a t a t a t x dt dt
dt
---++
++=的基本解组，则该齐次线性方程的所有解可表为
112212()()()(),,,,n n n x t c x t c x t c x t c c c =+++为任意常数。

3. 设n 阶常系数齐次线性方程111
10n n n n n n d x d x
dx
a a a x dt dt
dt
---++
++=的特征方程有一对k 重共轭复根
i λαβ=±，则它们对应的方程的实值解是
11cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,
,sin t t k t t t k t e t te t t e t e t te t t e t ααααααββββββ--。

4. 常系数方程组()x Ax f t '=+的通解为0
()()(),t tA t s A t x t e c e f s ds -=+⎰ 其中c 为任意常数列
向量。

5. 定义微分算子d
D dt
=。

设()P D 是关于D 的一个n 次多项式，它的逆算子记为1()P D 。

则
1()()t e v t P D λ= 1
()()
t e v t P D λλ+ 。

二、解下列方程（3*10分=30分） 1.
1dy dx x y
=+ 解：令x y u +=，则原方程化为 1du u
dx u
+=
分离变量，得
(1)1u
du dx u u
=≠-+ 积分，得ln |1|u u x c -+=+ … … … （6分） 变量还原，得原方程的通解
ln |1|y x y c =+++,c 为任意常数。

… … … （9分） 当1u =-时，显然1x y +=- 也是方程的解。

… … … （10分）
2. 2
32212()03xy x y y dx x y dy ⎛⎫
++
++= ⎪⎝
⎭
解：2
3
2212,3
M xy x y y N x y =++
=+， 222,2M N x x y x y x ∂∂=++=∂∂，所以，方程不是恰当方程。

… … … （2分）
由于
1M N
y x
N
∂∂-∂∂=，故方程有只与x 有关的积分因子： 1()dx
x x e e μ⎰
== … … … （6分）
方程两边乘以x
e ，得2
32212()03x
x e xy x y y dx e x y dy ⎛
⎫++
++= ⎪⎝
⎭，即23103x x d x ye y e ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

所以，方程的通解 2
3
1()3
x e x y y c +
=，c 为任意常数。

… … … （10分）
3. 2
323
20dy d y d y dx dx dx ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
解：若'0,''0y y ≠≠，原方程可以写成
''''''''
y y y y = … … … （2分） 即 (ln |''|ln |'|)'0y y -=。

积分，得
1''
'
y c y = … … … （5分） 再次积分，得 12'c x
y c e = … … … （7分） 继续积分，得原方程的通解 1231
c x
c y e c c =
+ … … … （9分） 其中，123,,c c c 为任意常数，10c ≠ 。

若''0y =，则12y c x c =+(12,c c 为任意常数)也是原方程的解。

若'0y =，则原方程有解
y c =，它包含在解12y c x c =+之中。

… … … （10分）
三、（12分）求三阶常系数非齐次线性方程3233258
4t d x d x dx
x e dt dt dt
-+-=的实通解。

解：原方程等价于
3()t P D x e =
其中 3
2
2
()584(1)(2)P D D D D D D =-+-=--。

特征多项式2
()(1)(2)P λλλ=--有两个特征根121,2λλ==（二重根） … … … （2分）
所以对应的齐次方程 ()0P D x =的通解为
22123()t t t
x t c e c e c te =++。

… … … （5分）
下面求原方程的一个特解。

由3()t
P D x e =，得特解 333111()()(3)2
t t t
x t e e e P D P =
== … … … （10分）
所以，原方程的通解
2231231()+2
t
t
t
t
x t c e c e c te e =++ … … … （12分）
其中，123,,c c c 为任意常数。

四、（第一小题10分，第二小题5分，共15分）
（1）设1()a t 和2()a t 是[,]αβ上的连续函数，1()x t 是二阶齐次线性方程
2122()()0d x dx
a t a t x dt dt
++= 的一个非零解，证明：该方程的通解为1()121
211()()()a t dt x t x t c c e
dt x t -⎛⎫
⎰=+ ⎪⎝⎭
⎰ . (2）验证1
()sin x t t t
= 是方程2220d x dx x dt t dt +
+=的解，并求该方程的通解。

解：（1）设()x t 是方程的任意解，则1()x t 和()x t 的Wronski 行列式 1111()()()=
()()()()()
()
x t x t W t x t x t x t x t x t x t ''=-'' … … … （2分）
满足一阶线性方程 1'()()()W t a t W t =-。

积分，得
1()1()a t dt
W t c e -⎰=
即 1()111()()()()a t dt
x t x t x t x t c e -⎰''-= … … … （7分）
这是关于()x t 一阶非齐次线性方程，故可得通解
1()121
211()()()a t dt x t x t c c e
dt x t -⎛⎫
⎰=+ ⎪⎝⎭
⎰ … … … （10分） （2）将1
()sin x t t t
=直接代入方程2220d x dx x dt t dt +
+=可知它是方程的一个非零解。

由（1）中的结论，得方程的通解
2
2212121()sin sin 1
(cos sin )dt t t x t t c c e dt t t c t c t t
-⎛⎫⎰=+ ⎪
⎝⎭
=-+⎰ … … … （5分）
其中，12,c c 为任意常数。

五、（14分）求常系数线性方程组
95dx x y dt =-，-+5dy y z dt =，-5dz
y z dt
=+的通解。

解：系数矩阵
9-500-150-15A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦。

由det()(4)(9)0I A λλλλ-=--=，得到三个特征单根123=0=4=9λλλ，，。

… … （3分） 设1=0λ对应的特征向量为123=(,,)T
u u u u 。

解代数方程
1123-950()01-5001-5u I A u u u λ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥-== ⎪⎢⎥
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
得25,5,19T
u ⎛⎫
= ⎪⎝⎭。

设2=4λ对应的特征向量为123=(,,)T
v v v v 。

解代数方程
1223-550()05-5001-1v I A v v v λ⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥
-== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
得()1,1,1T
v =。

设3=9λ对应的特征向量为123=(,,)T
w w w w 。

解代数方程
1323050()010-50015v I A v v v λ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥
-== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
得()1,0,0T
w = … … … （9分） 所以，基解矩阵为
3124944259()(,,)5010t t t t t
t t e e X t ue ve we e e λλλ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
… … … （12分）
因此通解为
4912325()119()510()110t t
x t y t c c e c e z t ⎛⎫
⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭
… … … （14分）
其中，123,,c c c 为任意常数。

六、（第一、第二小题各3分，第三小题8分，共14分） （1）叙述Picard 存在唯一性定理； （2）叙述Peano 存在性定理；
(3) 利用Picard 存在唯一性定理求定义在矩形区域2
{(,):||1,||1}t x R t x Ω=∈≤≤上的方程
2dx
x t dt
=- 过点(0,0) 的解的存在区间，并求出第三次近似解。

解：(1) Picard 存在唯一性定理:如果(,)f t x 在区域R ：00,t t a x x b -≤-≤上连续且关于x 满足利普希兹条件，则初值问题
00
(,)
()dx
f t x dt
x t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 在区间0t t h -≤上的解存在且唯一。

其中),
min(M
b
a h =，(,)max (,)t x R M f t x ∈=。

… … (3分）
(2）Peano 存在性定理：如果(,)f t x 在区域R ：00,t t a x x b -≤-≤上连续，则初值问题
00
(,)
()dx
f t x dt
x t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 在区间0t t h -≤上至少有一个解，其中),
min(M
b
a h =，(,)max (,)t x R M f t x ∈=。

… … （3分）
(3）显然，函数2
(,)f t x x t =-在区域2
{(,):||1,||1}t x R t x Ω=∈≤≤上连续。

由于
22f
x x
∂=≤∂，(,)f t x 在Ω上关于x 满足李普希兹条件，李普希兹常数可取为2L =。

由于(,)max |(,)|2t x M f t x Ω∈==，所以，11
min{1,}22
h ==。

由Picard 存在唯一性定理，方程通过（0,0）
的解的存在区间为11
[,]22
--。

… … … （4分）
下面计算第三次近似解3()t ϕ。

0()0t ϕ=，
221001
()(())2t
t d t ϕξϕξξ=-+=-⎰，
22521011
()(-())220t t d t t ϕξϕξξ=+=-+⎰，
2
258113201111()(())2201604400
t t d t t t t ϕξϕξξ=-+=-+-+⎰。

… … … （8分）。