特殊平行四边形：折叠问题教学文案
第60期特殊平行四边形中的折叠问题
第60期特殊平行四边形中的折叠问题上期微专题探讨了勾股定理与折叠问题的不解之缘，本期我们将一起来探究特殊平行四边形中的折叠问题。
透过现象看本质如图，在矩形ABCD中，把ΔADE沿AE折叠，点D与点F重合，且点F落在BC 边上.我们不难发现，折叠问题的本质其实就是轴对称，折叠的性质就是轴对称的性质。
性质1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、对应角相等.（由折叠性质1可得：ΔADE≌ΔAEF）性质2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.（由折叠性质2可得： AE是DF的垂直平分线）特殊平行四边形中的折叠问题，既要用到折叠的性质，又要用到特殊平行四边形本身的性质，有时还需要借助勾股定理和图形的相似等知识建立有关线段、角之间的联系。
接下来，我们通过3个例题来探究特殊平行四边形中的折叠问题。
类型一、折叠性质1的应用例1．如图，菱形纸片ABCD中，AM⊥CD于点M，将△ADM沿直线AM折叠后，点D落在点E处，AE交BC于点N，且AE⊥BC．（1）求证：△AME≌△ANB；（2）求∠CBE的度数．分析：本题的已知条件有1. △ADM沿直线AM折叠为△AME2. 菱形ABCD3. AM⊥CD, AE⊥BC那么我们便利用折叠性质和菱形的性质及垂直的特殊条件来寻找线段和角之间的关系。
解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD，∠ABC=∠D∵AM⊥CD，AN⊥BC∴∠AMD=∠ANB∴△ADM≌△ABN由折叠得△ADM≌△AEM∴△AME≌△ANB（2）由（1）得∠EAB=∠EAM，AE=AB∵CD//AB，AM⊥CD∴∠MAB=∠AMD = 90°∴∠EAB=∠EAM = 45°∴∠ABE=∠AEB = 67.5°∵AN⊥BN∴∠ABN =90°–∠EAB = 45°∴∠CBE=∠ABE–∠ABN = 67.5°–45° = 22.5°类型二、折叠性质2的应用例2．如图，已知矩形ABCD中，E是AB边的中点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B?处，连接AB?并延长交CD 于点F．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB = 6，BC=4，求tan∠CB?F的值．情景再现：本题第（2）问并不困难，难点在第（1）问。
2024年公开课四边形中折叠问题课件.
2024年公开课四边形中折叠问题课件.一、教学内容本节课选自《几何图形与证明》教材第四章第四节“四边形的性质”，主要详细内容包括四边形的定义、特性，以及折叠问题在四边形中的应用。
着重探讨如何将四边形问题转化为折叠问题，并运用折叠性质解决实际几何问题。
二、教学目标1. 理解并掌握四边形的定义、性质，特别是折叠性质。
2. 能够运用折叠性质解决四边形中的几何问题，提高问题分析和解决能力。
3. 培养学生的空间想象力和创新思维。
三、教学难点与重点难点：折叠性质的理解及其在四边形中的应用。
重点：四边形的性质，特别是折叠性质在解决四边形问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、折叠四边形模型。
2. 学具：直尺、量角器、剪刀、彩纸。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示生活中的折叠四边形现象，如纸飞机、折扇等，引导学生关注四边形与折叠的关系。
2. 知识讲解（15分钟）详细讲解四边形的定义、性质，以及折叠性质。
通过折叠四边形模型，让学生直观感受折叠性质。
3. 例题讲解（10分钟）选取一道典型例题，讲解如何将四边形问题转化为折叠问题，并运用折叠性质进行解答。
4. 随堂练习（10分钟）布置两道与例题类似的题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 小组讨论与分享（5分钟）学生分组讨论解题过程，分享各自的心得体会。
六、板书设计1. 四边形的定义、性质。
2. 折叠性质及其应用。
3. 例题解答步骤。
七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：任意四边形都可以通过折叠转化为一个三角形。
（2）已知：四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，求证：四边形ABCD为矩形。
答案：（1）将四边形的一个顶点向其对角线折叠，使顶点与对角线上的点重合，即可得到一个三角形。
（2）利用折叠性质，将四边形ABCD折叠成三角形A'B'C'，易得A'B'C'为等腰直角三角形，从而证明四边形ABCD为矩形。
32特殊平行四边形--矩形折叠问题
课 题3.2 特殊平行四边形—矩形折叠 课型 新授课 教学目标 在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。
折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。
本节课从几个不同的层面展示一下。
教学重点 矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。
教学难点 运用综合法证明矩形性质和判定。
教学方法 讲练结合法进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。
教 学 内 容 及 过 程 备注例1、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC 和折痕BD 就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A /BC,∠EBD=∠E /BD 。
例2、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O 。
（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。
（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。
（3）若AB=6,BC=8,则O 点到BD 的距离是 。
分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。
问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD 。
另外，还可以从另一个角度分析。
由折痕BD 可以找到∠OBD=∠CBD ，由于在矩形中，AD ∥BC ，∠ODB=∠CBD ，经过等量代换∠OBD ＝∠ODB ，然后等角对等边OB=OD 。
这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。
人教版初二数学下册《图形的折叠问题(专题)——特殊四边形之翻折 》教学设计
《图形的折叠问题(专题）——特殊四边形之翻折 》教学设计2017年6月9日一.教材分析：图形的折叠问题是图形变换的一种，折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
有关折叠问题在近几年各地中考中也频频出现，主要是考查学生的自主探索能力与空间想象能力以及判断推理能力。
二.教学目标：1.知识与技能目标：把握图形折叠问题的实质，分清折叠前后哪些元素没变，哪些元素变化，理解折叠前后关于折痕成轴对称图形。
2.通过动手操作掌握寻找折痕条数的规律、掌握图形折叠后求折痕长度的方法、掌握图形剪拼的方法3.理解数学思想方法的综合运用：方程思想、数形结合思想、勾股定理，结合运用成为具体策略。
4．过程与方法：采用小组合作探究与动手实践相结合的教学模式，使学生学会与他人交流思维过程和结果，在动手实践中使学生的逆向思维和发散思维的到发展，自主探索能力与空间想象能力以及判断推理能力 得以提高。
5.情感态度与价值观：在小组的讨论与交流中培养学生的合作意识，在动手实践中激发学生兴趣，通过折叠问题的研究，使学生明确事物的变化与统一，理解事物的联系与区别。
三、教学重点：把握折叠与拼图的实质，并利用它与轴对称、全等三角形、相似三角形、勾股定理、矩形的判定等联系在 一起，提高学生的分析问题、解决问题的能力。
四、教学难点：把握折叠的变化规律，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题五、教学方法：在教学过程中注重学生的亲身实践，注重学生能力的培养，采用小组合作探究与动手实践相结合的教学模式，充分尊重学生的主体地位。
六、学法指导数与形是一对孪生姐妹，要学好数学就要学生的数与形结合起来，把动手得到的图形转变成几何图形 七、设计理念：21世纪的教育要以人为本，在教学过程中充分尊重学生的主体地位，注重学生的亲身实践，注重学生能力的培养。
本节课我始终让学生分组合作和动手实践，使学生在合作中思维过程得以展现，思维结果得以肯定。
平行四边形中的折叠问题课件.
平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨人教版八年级数学上册第四章《平行四边形》中的折叠问题。
具体内容包括：平行四边形的性质，折叠后图形的特点，以及如何通过折叠解决问题。
重点章节为4.3节“平行四边形的判定”。
二、教学目标1. 让学生掌握平行四边形的基本性质，并能运用这些性质解决折叠问题。
2. 培养学生空间想象力和逻辑思维能力，提高解决实际问题的能力。
3. 通过折叠实践活动，让学生体会数学与生活的联系，激发学习兴趣。
三、教学难点与重点难点：平行四边形折叠后图形的形状变化，以及如何利用性质解决问题。
重点：平行四边形的性质及判定方法，折叠问题的解决方法。
四、教具与学具准备教具：平行四边形模型、折叠示例图、多媒体课件。
学具：剪刀、彩纸、直尺、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）让学生动手折叠一张平行四边形纸片，观察折叠后的形状变化，引导学生发现数学问题。
2. 例题讲解（15分钟）讲解折叠问题中涉及到的平行四边形性质，并通过例题演示解题方法。
例题：一个平行四边形沿着一条对角线折叠，求折叠后图形的周长。
3. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
练习题：一个平行四边形沿着一条高折叠，求折叠后图形的面积。
4. 小组讨论（5分钟）分组讨论折叠问题的解题方法，促进学生交流与合作。
6. 知识拓展（5分钟）介绍平行四边形折叠在生活中的应用，激发学生兴趣。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠问题的解决方法3. 例题及解答步骤七、作业设计1. 作业题目：（1）一个平行四边形沿着一条对角线折叠，求折叠后图形的周长和面积。
（2）一个平行四边形沿着一条高折叠，求折叠后图形的周长和面积。
2. 答案：（1）周长：原平行四边形的周长；面积：原平行四边形面积的一半。
（2）周长：原平行四边形的周长；面积：原平行四边形面积的一半。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过折叠实践活动，让学生掌握了平行四边形性质在折叠问题中的应用。
2024年平行四边形中的折叠问题课件
2024年平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨教材第十二章“几何变换”中的折叠问题，特别是平行四边形的折叠。
详细内容包括：理解平行四边形的基本性质，掌握折叠过程中的对称性和不变量，运用这些性质解决折叠问题。
二、教学目标1. 理解平行四边形的性质，并能运用性质解决折叠问题。
2. 通过折叠活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解折叠过程中平行四边形的对称性和不变量。
教学重点：平行四边形性质的应用，折叠问题的解决方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，平行四边形的模型。
2. 学具：剪刀，彩纸，尺子，圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示生活中的折叠实例，如纸飞机、纸盒等，让学生感受折叠在生活中的应用。
2. 知识讲解：（1）回顾平行四边形的性质。
（2）介绍折叠过程中平行四边形的对称性和不变量。
3. 例题讲解：（1）给出一个平行四边形折叠问题，引导学生分析问题，找出关键信息。
（2）示范解题过程，强调平行四边形性质的应用。
4. 随堂练习：让学生独立解决一个类似的折叠问题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：学生分组讨论解决折叠问题的方法，分享解题心得。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠过程中的对称性和不变量3. 折叠问题的解题步骤七、作业设计答案：折叠后的形状为一个三角形。
2. 作业题目：已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，沿对角线AC折叠，求折叠后的形状。
答案：折叠后的形状为一个三角形。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入，让学生感受到了折叠的趣味性。
在讲解过程中，注重引导学生运用平行四边形的性质解决问题。
2. 拓展延伸：鼓励学生探究其他多边形的折叠问题，培养学生的探究意识和创新精神。
重点和难点解析1. 实践情景引入的选择与设计。
2. 知识讲解中对平行四边形性质的回顾与强调。
第十八章微专题七特殊平行四边形中的折叠问题(教案)-2022-2023学年八年级下册数学(人教版)
4.折叠问题的实际应用：结合实际生活中常见的折叠问题，让学生学会运用所学知识解决实际问题。
5.折叠问题的拓展思考：引导学生思考折叠问题在其他几何图形中的应用，提高学生的创新能力和几何直观。
二、核心素养目标
-培养学生运用折叠方法解决问题的能力，使学生能够将理论知识与实际操作相结合。
举例：以矩形为例，重点讲解其对折后的图形仍为矩形，且对折线为矩形的对角线，对折前后矩形的面积相等但形状可能不同。
2.教学难点
-理解和掌握矩形、菱形、梯形折叠过程中几何量的变化规律，尤其是折叠后产生的新图形与原图形之间的关系。
最后，我认为在今后的教学中，还应加强对学生的鼓励和表扬，让他们在学习过程中感受到成功的喜悦，从而激发他们的学习兴趣和积极性。同时，我将不断学习，提升自身的教育教学水平，为学生们提供更优质的教学服务。
1.培养学生空间观念和几何直观，通过折叠问题的学习，让学生能够理解和把握图形的折叠特征，提高对几何图形变换的认识。
2.培养学生逻辑推理和问题解决能力，使学生能够运用折叠方法分析解决特殊平行四边形相关问题，形成严密的逻辑思维。
3.培养学生数学抽象和数学建模素养，让学生在折叠问题的探索过程中，学会提炼关键信息，构建数学模型，为解决实际问题奠定基础。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了特殊平行四边形折叠的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对折叠问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
初二数学(北京版)-特殊平行四边形与折叠-1教案
证明:连接BB’.
由折叠，CE垂直平分BB’.
∵E是AB中点，
∴EM∥AB’.
即AF∥EC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC.
例5把一个顶点折叠到图形内
如图，矩形ABCD中，E是AB边中点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B’处，连接AB’并延长交CD于点F.求证：四边形AECF是平行四边形.
分析：从平行四边形的判定入手.
方法一：
证明：由折叠，△BEC≌△B' EC.
∴BE=B' E，∠1=∠2.
∵E是AB中点，
例2把一个顶点折叠到对角线上
如图，矩形纸片ABCD中，BC=8，折叠纸片使点D落在对角线AC上的点F处，折痕为CE，若EF=3，求AB的长.
解：由折叠，△CED≌△CEF.
∴ED=EF=3，CD=CF，∠EFC=∠D.
设AB=x.
∵矩形ABCD，
∴CF=CD=AB=x，AD=BC=8，
∠B=∠D=90°.
性质2：点的对称：对称点所连线段被对称轴（折痕所在直线）垂直平分（AE垂直平分DF）
分析清楚折叠的本质，下面我们就通过几个例题来利用刚刚复习的性质解决特殊平行四边形与折叠问题.
透过现象看本质，复习折叠问题涉及到的轴对称性质，为本节课后续内容作好铺垫.
例题
例1把一个顶点折叠到一边上
如图，矩形纸片ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE折叠，使得点D恰好落在边BC上的点F处.若DE=5，CF=3，求AB的长.
例3把一个顶点折叠到另一个顶点上
如图，矩形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，求DE的长.
解：由折叠，设DE=BE=x.
初中数学_平行四边形中的折叠教学设计学情分析教材分析课后反思
四边形中的折叠姓名： .学习目标：1.学会提取基本图形，探究发现解决问题方法.2.通过变式训练，体会解题技巧.3.经历知识整合与分解过程，培养学好数学的信念和品质.基础练习1．如图：在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，求tan∠AFE的值.变式：如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．求点D的坐标为。
能力题升2.把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在DB′处。
1）请判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论。
2）若AB=4，AD=6，求重叠部分的面积.变式：把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°。
则矩形ABCD的面积是.拓展提高如图，将ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处。
设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I.求证：EI=FG.达标检测1正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，求EF的长.2.如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD 上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．当AE=4时，求折痕FG的长．学情分析：学生对特殊四边形已经有了深入的认识，而折叠是四边形中经常命题的一个角度。
尽管折叠作为学生比较熟悉的一项活动，对学生而言就很有吸引力。
但是四边形中折叠的题目类型较多，包含的知识点较多，所以蕴含的方法也丰富多彩。
这就导致了题目的综合性较强，对知识点的应用能力要求较高，对学生的生活经验是否能够转化为数学模型也是一种考验。
因此很多孩子虽然很喜欢折叠，但是因为四边形的基础知识没有掌握好，或是相关的证明的工具和方法没有学好。
19.3.2平行四边形中的折叠问题优质教案
19.3.2 平行四边形中折叠问题优质教案一、教学内容本节课，我们将深入探讨教材第19章第3节第2部分，关于平行四边形中折叠问题。
具体内容包括：理解平行四边形性质，掌握折叠过程中各边和角关系，以及运用这些性质解决实际问题。
二、教学目标1. 理解并掌握平行四边形性质。
2. 学会运用折叠方法，解决平行四边形相关问题。
3. 培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解平行四边形折叠过程中各边和角关系。
教学重点：掌握平行四边形性质，并运用其解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：平行四边形模型、剪刀、尺子、圆规。
2. 学具：每人一份平行四边形纸张、剪刀、尺子、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入向学生展示一个平行四边形模型，提问：“如何通过折叠，将这个平行四边形变成一个矩形？”邀请学生上台演示，并分享他们思考过程。
2. 例题讲解讲解平行四边形性质，如对边平行且相等，对角相等。
以一个具体折叠问题为例，引导学生运用性质，解决问题。
3. 随堂练习让学生分组讨论，解决教材中折叠问题。
指导学生运用所学知识，分析问题，得出结论。
4. 课堂小结强调在解决折叠问题时，要注意边和角关系。
六、板书设计1. 平行四边形性质对边平行且相等对角相等2. 折叠问题解决方法确定折叠前后关系运用性质，推导出答案七、作业设计1. 作业题目1）一个平行四边形，将其沿对角线折叠，求折叠后得到图形面积。
2）已知一个平行四边形，求将其折叠成一个矩形所需最小折叠次数。
2. 答案作业1：折叠后得到图形为两个全等三角形，根据全等三角形性质，可求出面积。
作业2：最少折叠两次，先将平行四边形沿一条对角线折叠，再沿另一条对角线折叠。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过折叠问题，让学生深入理解平行四边形性质，提高学生空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 拓展延伸：引导学生思考，如何将平行四边形折叠成一个正方形？鼓励学生进行课外探究，提高他们自主学习能力。
19.3.2平行四边形中的折叠问题教案
19.3.2 平行四边形中的折叠问题教案一、教学内容本节课选自高中数学教材第十九章三角形与四边形 19.3.2节，主要内容为平行四边形中的折叠问题。
具体内容包括：平行四边形折叠的性质，折叠后图形的形状及面积计算，折叠问题的实际应用。
二、教学目标1. 理解并掌握平行四边形折叠的性质，能运用性质解决相关问题。
2. 学会折叠后图形的形状识别和面积计算方法，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 能够将折叠问题应用于实际生活中，体会数学在现实生活中的价值。
三、教学难点与重点教学难点：折叠后图形的形状识别和面积计算。
教学重点：平行四边形折叠的性质及其应用。
四、教具与学具准备教具：平行四边形模型、剪刀、尺子、量角器。
学具：练习本、铅笔、直尺、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一些平行四边形折叠后的作品，让学生观察并思考其中的规律。
2. 例题讲解：讲解平行四边形折叠的性质，通过具体例子演示折叠过程，引导学生发现性质。
（1）性质一：平行四边形对角线互相平分。
（2）性质二：平行四边形对角线互相垂直。
（3）性质三：折叠后图形的面积不变。
3. 随堂练习：让学生动手折叠平行四边形，验证折叠性质，并计算折叠后图形的面积。
4. 知识拓展：介绍折叠问题在实际生活中的应用，如包装盒设计、建筑结构等。
六、板书设计1. 平行四边形折叠性质：（1）对角线互相平分（2）对角线互相垂直（3）面积不变2. 折叠后图形的形状及面积计算方法七、作业设计1. 作业题目：（1）折叠一个平行四边形，验证折叠性质，并计算折叠后图形的面积。
（图形见附件）2. 答案：（1）见学生实际操作。
（2）原平行四边形的面积为折叠后图形面积的两倍。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对折叠性质的理解和应用较为顺利，但在面积计算方面还需加强练习。
2. 拓展延伸：鼓励学生探索其他多边形的折叠性质，提高空间想象能力和创新能力。
重点和难点解析1. 教学内容中折叠性质的深入理解。
特殊平行四边形中的折叠问题教学设计--杭十中邹丹
特殊平行四边形中的折叠问题教学设计杭十中邹丹一、内容和内容解析在初中数学中，折叠是我们常见的一种数学问题，在中考中常以选择、填空的形式出现。
这类问题的解决是有规可循的，由于矩形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在矩形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等。
这些图形定量的不变性，在初中几何全等型问题的解决中，具有很重要的运用价值。
折叠问题中同时综合了轴对称、勾股定理、等腰三角形等知识，对于学生的能力是一个很好的提升。
本节课是一堂复习课，旨在用动手折纸的方式去打开同学们对未知结论的探索。
《课程标准》中要求：“课程内容要符合学生的认知规律，要贴近学生的实际。
”而矩形纸的折叠作为学生从小玩到大的游戏，受到学生的广泛欢迎，这部分内容是非常贴近学生实际的；折叠中蕴含的轴对称、全等的数学知识，在学生学习《特殊平行四边形》和《勾股定理》之后研究，符合学生的认知规律。
由于折叠的实质是轴对称变换，这为学生研究折叠中的角度、线段的长度、图形的面积和周长及特殊平行四边形的判定方法都提供了条件，因此本节课的产生水到渠成。
折叠问题的研究用到了数学中非常重要的方程思想、转化思想及数形结合思想。
本节课主要抓住折对称轴和折对称中心的线索进行展开，通过折纸活动来探索结论，达到复习特殊平行四边形相关知识的目的，这便是本节课的重点。
另外，在本节课中设计的编题环节利于培养同学们的高阶思维能力，教师在平时课堂中可以有意识的安排铺设相应的环节。
二、目标和目标解析1.知识与技能：（1）经历折纸的过程，掌握轴对称变换中的角度、线段长度、面积和周长的计算方法，以及特殊平行四边形的判定方法；（2）通过参与折纸活动，使学生积累综合运用数学知识，得到解决折叠问题的方法等数学活动经验。
2.数学思考：（1）建立折叠的空间观念，初步形成几何直观，发展学生的形象思维与抽象思维；（2）让学生通过探究，寻找到解决折叠问题的思路，并且从中体会探究过程中所渗透的数学思想。
2024年19.3.2 平行四边形中的折叠问题 精彩教案
2024年19.3.2 平行四边形中的折叠问题精彩教案一、教学内容本节课选自数学教材第九章第二节，主题为“平行四边形中的折叠问题”。
教学内容主要包括：理解平行四边形的性质，掌握平行四边形折叠后的特点，运用折叠性质解决实际问题。
二、教学目标1. 知识与技能：掌握平行四边形的性质，能运用折叠方法解决相关问题。
2. 过程与方法：培养学生观察、分析、解决问题的能力，提高学生的空间想象力和动手操作能力。
3. 情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养合作精神和探究精神。
三、教学难点与重点教学难点：平行四边形折叠后形状的判断。
教学重点：平行四边形性质的理解与应用。
四、教具与学具准备教具：平行四边形模型、剪刀、尺子、彩笔。
学具：每人一份平行四边形卡片、剪刀、尺子、彩笔。
五、教学过程1. 实践情景引入利用平行四边形模型，展示折叠过程，引导学生观察折叠后的形状。
2. 知识讲解（1）回顾平行四边形的性质。
（2）讲解折叠过程中平行四边形的特点。
3. 例题讲解（1）判断折叠后的形状。
（2）利用折叠性质解决实际问题。
4. 随堂练习（1）完成教材第89页第1、2题。
（2）小组讨论，分享解题方法。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠过程及特点3. 例题解析4. 课后作业七、作业设计1. 作业题目（1）教材第89页第3、4题。
（2）思考题：如何利用平行四边形折叠性质设计一个立体图形？2. 答案（1）见教材答案。
（2）略。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入，让学生在动手操作中掌握平行四边形的折叠性质，培养了学生的空间想象力和动手操作能力。
在课后，教师应关注学生对知识的掌握情况，及时进行反馈和指导。
同时，鼓励学生思考折叠性质在其他领域的应用，提高学生的创新意识。
重点和难点解析1. 实践情景引入2. 知识讲解中的平行四边形性质和折叠特点3. 例题讲解的详细步骤4. 随堂练习的设计与实施5. 作业设计中的思考题一、实践情景引入1. 选择具有趣味性和挑战性的平行四边形模型，引导学生观察折叠过程中的变化。
初中数学折叠专题教案
初中数学折叠专题教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解折叠的性质，掌握折叠问题的解题方法；（2）能够运用折叠性质解决实际问题，提高空间想象能力。
2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、猜想、验证等方法，探索折叠问题的解题思路；（2）培养学生的逻辑思维能力、归纳总结能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，提高学习积极性；（2）培养学生合作交流、解决问题的能力。
二、教学内容1. 折叠的性质（1）折叠前后图形的大小、形状不变；（2）折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；（3）折叠前后对应边相等，对应角相等。
2. 折叠问题的解题方法（1）观察法：通过观察折叠后的图形，找出折叠前后的对应关系，解决问题；（2）勾股定理：在直角三角形中，已知两边长度，求第三边长度；（3）全等法：利用折叠性质，证明两个三角形（或其他图形）全等，从而解决问题。
三、教学过程1. 导入：通过展示一些生活中的折叠现象，如折纸、衣服折叠等，引导学生关注折叠问题，激发学习兴趣。
2. 新课讲解：（1）讲解折叠的性质，让学生动手操作，感受折叠的变化；（2）引导学生观察折叠后的图形，发现折叠前后的对应关系；（3）讲解折叠问题的解题方法，如观察法、勾股定理、全等法等；（4）举例讲解，让学生跟随步骤解决问题。
3. 练习巩固：（1）布置一些折叠问题，让学生独立解决；（2）组织学生交流解题思路，讨论解决问题的方法；（3）教师点评，总结解题技巧。
4. 拓展提高：（1）引导学生思考折叠问题在实际生活中的应用；（2）提出一些综合性、开放性问题，让学生发挥想象力，解决问题。
5. 总结：本节课学习了折叠的性质和折叠问题的解题方法，通过观察、操作、猜想、验证等方法，探索折叠问题的解题思路。
学生能够运用折叠性质解决实际问题，提高空间想象能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、发言情况，了解学生的学习状态；2. 练习作业：检查学生完成练习作业的情况，评价学生的掌握程度；3. 学生互评：组织学生相互评价，促进学生之间的交流与合作。
特殊平行四边形中的折叠问题
特殊平行四边形中的折叠问题——教材P64“数学活动”的变式与应用【例】如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC 重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．图1【拓展延伸】再沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕MG，同时得到线段B′G，展开如图2.探究四边形MBGB′的形状，并证明你的结论．图21．(2020·青岛)如图，将矩形ABCD折叠，使点C 和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE＝5，BF＝3，则AO的长为( )A. 5B.325C.2 5D.4 52．如图，将边长为6 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是 cm.3．如图，将一张菱形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF＝4，EH＝3，则AB＝．4．如图，在矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.求证：(1)△ADE≌△CED.(2)△DEF是等腰三角形．在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段中的适当运用．【例】 解：∠MBN ＝30°.证明：连接AN.∵直线EF 是AB 的垂直平分线，点N 在EF 上，∴AN ＝BN.由折叠可知，BN ＝AB ， ∴△ABN 是等边三角形． ∴∠ABN ＝60°.∴∠MBN ＝∠ABM ＝12∠ABN ＝30°.【拓展延伸】解：四边形MBGB ′是菱形．证明： ∵∠ABM ＝30°，∠A ＝∠ABC ＝90°， ∴∠MBG ＝∠AMB ＝60°.根据折叠的性质，得BM ＝MB ′，BG ＝B ′G ，∠BMN ＝∠AMB.∴∠BMN ＝∠MBG ＝60°. ∴△MBG 是等边三角形． ∴BM ＝BG.∴BM ＝MB ′＝BG ＝B ′G. ∴四边形MBGB ′是菱形． 1．C 2．94cm.3．5． 4．证明：(1)由折叠相关性质可知，AE ＝AB ，CE ＝CB. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AE ＝AB ＝DC ，CE ＝CB ＝AD. 在△ADE 和△CED 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CE ，AE ＝CD ，DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS)． (2)由(1)知，△ADE ≌△CED ， ∴∠AED ＝∠CDE. ∴△DEF 是等腰三角形．。
八年级数学下册《特殊的平行四边形》教案、教学设计
2.提高题：完成课本第76页第7-10题，旨在培养学生运用特殊平行四边形知识解决实际问题的能力。
3.拓展题：选择一道与特殊平行四边形相关的拓展题，要求学生在课后查阅资料、思考讨论，提高学生的自主学习能力。
4.小组作业：以小组为单位，共同完成一道特殊平行四边形的综合应用题，培养学生团队合作精神和解决问题的能力。
6.加强学习评价，关注学生的个体差异，提高教学质量。
-过程性评价：关注学生在课堂上的表现，如发言、讨论、作业等，给予及时的反馈和指导。
-总结性评价：通过测试、竞赛等形式，检验学生对特殊平行四边形知识的掌握程度，为后续教学提供依据。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
-利用多媒体展示生活中常见的特殊平行四边形实物，如窗户、桌面、魔方等，引发学生对特殊平行四边形的关注。
-讲解矩形、菱形、正方形的性质，如对边平行、对角相等、邻边垂直等。
-结合实例，讲解特殊平行四边形的判定方法。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，每组选择一种特殊平行四边形，探讨其性质和判定方法。
-小组内部分工合作，共同完成探讨任务。
2.教学目的：
-培养学生的合作意识和团队精神。
4.掌握特殊的平行四边形在实际生活中的应用，如建过观察、猜想、验证等环节，让学生自主探究特殊的平行四边形的性质，培养他们的观察力和动手操作能力。
2.利用小组合作、讨论交流等形式，引导学生发现并解决问题，提高合作意识和团队精神。
3.运用实际问题，激发学生的学习兴趣，让他们在解决问题的过程中，掌握数学思维方法，提高分析问题和解决问题的能力。
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特殊平行四边形：折
叠问题
折叠问题
1．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′为度．
2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为度．
3．如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为度．
4．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，︒
>
∠60
BEG，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在约片上的点H处，连接AH，则与BEG
∠相等的角有个。
A.4
B. 3
C.2
D.1
E
D
B
C′
F C
D′
A
5．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B
落在CD边上的B'处，点A对应点为A'，且C
B'=3，则AM的长是
6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝6，沿AE•翻折梯形ABCD，使点B落在AD的延长线上，记为B′，连结B′E交CD于F，则DE:FC=
A.
1
3 B.
1
4 C.
1
5 D.
1
6
7.如图，在梯形ABCD中，∠DCB＝90°，AB∥CD，AB＝25，BC＝24. 将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为_______．
8．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是 .
A
B C
D
M
N
A'
B'
9.如图2是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在
DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD的长是
10.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，
AB＝3，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1
处．则BC的长
是
11．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD
重合，折痕为DG，则A'G的长是。
12. AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是 cm2．
F
E
D
B
A
C
13．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A’，D’处，则
整个阴影部分图形的周长
．．是
14．矩形纸片ABCD中，AB＝4，BD＝3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B’处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________．
15.如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF
交于
Q点，则PQ的长是____________cm.
A
B
C
B’
D
P
16.在正方形ABCD中,正方形的边长为2，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF。
则ΔEFD的面积为。
17．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG （如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．
18取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 .
19.长为1，宽为a的矩形纸片（1
2
1
<
<a），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的____________．
A
B
A
B C
D
E
①②
A
B C
D
E
G
M
N
③
20.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.
21.如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD 上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．
(1)如图②，若M为AD边的中点，
①,△AEM的周长=_____cm；
②求证：EP=AE+DP；
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
22、在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴,y轴上，且OA=4，OC=3.
(1)求对角线OB所在直线的解析式
第二次操作
第一次操作
(2)如图，将△OAB沿对角线OB翻折得打△OBN，ON与AB交于点M；
①判断△OBM是什么三角形，并说明理由
②试求直线MN的解析式。
23.如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，A点坐标为（0，a），E是线段BC上一点，且∠AEB=60°，沿AE折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标是。
24.如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB 上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与D N交于点K，得到△MNK．
A
F
D
C E
B D '
（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数． （2）△MNK 的面积能否小于1
2
？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．
（3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．
（备用图）
25.将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D '处，折痕为EF ．
（1）求证：ABE AD F '△≌△；
（2）连结CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？说明你的结论．
26．如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB DC ∥，90A ∠=o ，CD AD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片．
（1）求证：四边形ADEF 是正方形；
（2）取线段AF的中点G，连接EG，如果BG CD
，试说明四边形GBCE是
等腰梯形．
27.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB,BC于点F，E,若AD=2,BC=8.求：
（1） DE的长；
（2）∠CDE的正切值。
28.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝33，BC＝6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE＝30°．（1）求BE、QF的长．
（2）求四边形PEFH的面积．
29.把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重
合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。
（1）求证：△BHE≌△DGF；
（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长。
E C
B
D
A
G F
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