高等数学期中考试试题

高等数学期中考试试题
满分100分 时间100分钟 专业班级 姓名 成绩 一、填空题(每小题4分, 共32分)
1. 设,0
()cos ,0
x e x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，则2(1)f x -= .
2. (
)
x
x x
2cot 2
tan 31lim +→=
.
3. 设ln y x y =+, 则
dy dx
=.
4. 曲线sin 2cos t t
x e t
y e t ⎧=⎨=⎩
在点（0，1）处的切线方程是 . 5. 1010
0(2tan )(2sin )lim sin x x x x
→+--= .
6. 若221lim 2(1)x ax bx c x →++=-，则a = ，b = ，c = .
7. 设()()f x g x '=，则2(sin )df x = .
8. ()x x x f e =的带拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式为_________ . 二、选择题 (每小题4分, 共32分)
1．函数()sin f x x x =（ ）
（A ） 在（- ∞,+ ∞）内无界； （B ） 在（- ∞,+ ∞）内有界； （C ） 当x →∞时为无穷大； （D ） 当x →∞时极限存在.
2. 设曲线ax x y +=3与c bx y +=2在点(-1,0)处相切，其中a ,b ,c 为常数，则（ ）。

（A ）1,1,1=-=-=c b a （B ）2,2,1-==-=c b a （C ）2,2,1=-==c b a （D ）1,1,1=-==c b a
3.设31(),()11x
f x
g x x x
-=
=-+，则当1x →时，（ ）
（A ）f 与g 为等价无穷小； （B ）f 是较g 为高阶的无穷小；
（C ）f 是较g 为低阶的无穷小； （D ）f 与g 为同阶无穷小，但不等价.
4.函数()2f x x =+在点0x =处 ( )
(A)连续，但不可导; (B)连续且可导; (C)不连续，故不可导; (D)具有连续的导数. 5.设111()23x x
e
f x e
+=
+, 则0x =是()f x 的( )
(A)可去间断点; (B)跳跃间断点; (C)第二类间断点; (D)不是间断点.
6. 若函数()y f x =满足01
'()2
f x =，则当△0→x 时，0
x x dy =是（ ）。

（A ）与△x 等价的无穷小 （B ）与△x 同阶的无穷小 （C ）比△x 低阶的无穷小 （D ）比△x 高阶的无穷小
7. 设2
lim(
)01
x x x x αβ→∞--=+, 则( ) (A). 1,1αβ==; (B). 1,1αβ=-=; (C). 1,1αβ==-; (D). 1,1αβ=-=-.
8.设10021
n c c
c n +++=+ ，则在区间（0，1）内，方程010n n c c x c x +++= （ ）
(A)没有实根; (B)至少有一个实根;
(C)只有一个实根; (D)是否有实根不能判定.
三、(8分)求极限 1
1cos
0sin lim(
)x x x x
-→;
四、(10分) 设⎩⎨⎧+==t
t t y t x sin cos sin ln ,求22d d x y
.
五、(10分) 求函数n
n x x
x f 211lim
)(++=∞→的连续区间，若有间断点，则判断间断点
的类型.
六、(8分) 证明不等式:当0x >时,2
ln(1)2
x x x +>-.
高等数学第一学期期中考试试卷评分标准
一、填空题(每小题4分, 共32分)
1. 2
12
2
,1(1)cos(1),1
x e x f x x x -⎧≥⎪-=⎨-<⎪⎩; 2. 3e ; 3.
1
y
y -;
41
12
y x =
+; 5. 10102⋅； 6 2，-4，2 ; 7 2(sin )sin 2g x xdx ;
8. ()()()1
32
!11e !1!
2e +++++-++++=n x n x
x n x n n x x x x x θθ (0<θ<1).
或()()()1
!
11e ++++=n n x n n x R ξξ (ξ介于0与x 之间).
二、选择题(每小题4分, 共32分)
1. ( A ) ;
2. (A) ;
3. ( D ) ;
4. ( A ) ;
5. ( B ) ;
6. ( B ) ;
7. ( C ) ;
8. ( B ).
三、(8分)求极限 1
1cos
0sin lim(
)x x x x
-→; 解 11c o s
0s i n l i m (
x x x x
-→ 01sin lim
ln
1cos x x
x x e
→-=.............................1分
由于 001sin ln sin ln lim
ln lim 1cos 1cos x x x x x
x x x →→-=--
200cos 1
cos sin sin lim lim
sin sin x x x x x x
x x x x x →→-
-==………………………3分 3200cos sin cos sin cos lim lim 3x x x x x x x x x x x →→---==………… 5分 01sin 1lim 33
x x x →=-=-,…………………………………… 7分
所以原极限1
3
e -=…………………………………………………8分
四、(10分) 设⎩⎨⎧+==t
t t y t x sin cos sin ln ,求22d d x y
.
解
d cos sin cos d sin t t y y t t
t t t x x t
'==='
,………………………………… 3分
()x t
t t t x
y d d sin d d d d 2
2= …………………………………… 6分 sin cos cos sin t t t
t
t
+=
……………………………………………… 8分
sin tan sin t t t t =+ …………………………………………10分
五、(10分) 求函数n
n x x
x f 211lim )(++=∞→的连续区间，若有间断点，则判断间断点的类
型.
解 1,1,0
1,() 11,0
1,x x x f x x x ⎧+<⎪
>⎪=⎨
=⎪⎪=-⎩……………………… 4分 0)1( ,2)1(==+-f f ,故1=x 为跳跃间断点 …………………………6分 )1()1(0)1(+--=-==-f f f ，故函数在1-=x 处连续，……………8分 在区间),1( ),1,1( ),1,(+∞---∞上函数显然连续，故函数的连续区间为)1,(-∞及
),1(+∞. …………………………10分
六、(8分) 证明不等式:当0x >时,2
ln(1)2
x x x +>-.
证明 令2
()ln(1)2
x f x x x =+-+,[0,)x ∈+∞………………………………2分
则 1
()11f x x x
'=
-++，……………………………………………4分 222
1(1)1
()10(1)(1)
x f x x x +-''=-+=>++……………………………6分 故在[0,)+∞内,()f x '单调增,因此()(0)0f x f ''>=;从而()f x 在[0,)+∞内单调增,故()(0)0f x f >=,即当0x >时,
2
ln(1)02
x x x +-+>,
亦即 2
ln(1)2
x x x +>-…………………………8分。