2017年上海市高考数学模拟试卷 Word版含解析
【详解】2017年上海市青浦区高考数学一模试卷 Word版含答案
2017年上海市青浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知复数z=2+i（i为虚数单位），则．2．已知集合，则A∩B=．3．在二项式（x+）6的展开式中，常数项是．4．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于．5．如果由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，则实数a=．6．执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S=．7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为．8．设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．9．将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′中最短边的边长为．（精确到0.01）10．已知点A是圆O：x2+y2=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足|+|=|﹣|，则•=．11．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．12．已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n=ka n+3k﹣3，其中k为不等于0+1与1的常数，若a i∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，则满足条件的a1所有可能值的和为．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知f（x）=sin x，A={1，2，3，4，5，6，7，8}现从集合A中任取两个不同元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0的可能情况为（）A．12种B．13种C．14种D．15种14．已知空间两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒n⊥α；③m∥n；m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④15．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（）A．B．C．D．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．在如图所示的组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．18．已知函数f（x）=sin2x+cos2（﹣x）﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=，求的值．19．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上异于点、A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2是定值．20．如图，已知曲线及曲线，C1上的点P1的横坐标为．从C1上的点作直线平行于x轴，交曲线C2于Q n点，再从C2上的点作直线平行于y轴，交曲线C1于P n点，点P n（n=1，2，3…）的横坐标构成数列{a n}．+1（1）求曲线C1和曲线C2的交点坐标；与a n之间的关系；（2）试求a n+1（3）证明：．21．已知函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）．（1）当a=2时，解关于x的不等式﹣3＜f（x）＜5；（2）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；（3）函数y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．2017年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知复数z=2+i（i为虚数单位），则=3﹣4i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z代入z2，然后展开，再求出得答案．【解答】解：由z=2+i，得z2=（2+i）2=3+4i，则=3﹣4i．故答案为：3﹣4i．2．已知集合，则A∩B=[﹣1，3）．【考点】交集及其运算．【分析】利用指数函数的性质求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：集合A中的不等式变形得：2﹣1≤2x＜24，解得：﹣1≤x＜4，∴A=[﹣1，4）；由集合B中函数得：9﹣x2＞0，即x2＜9，解得：﹣3＜x＜3，∴B=（﹣3，3），则A∩B=[﹣1，3）．故答案为：[﹣1，3）3．在二项式（x+）6的展开式中，常数项是4320．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．=•6r•x6﹣2r，【解答】解：二项式（x+）6的展开式的通项公式为T r+1令6﹣2r=0，求得r=3，可得常数项为=4320，故答案为：4320．4．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．与双曲线的方程联立解得．可得4=|AB|=，解出a 即可得出．【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．联立，解得．∴4=|AB|=，解得a2=4．∴a=2．∴双曲线C的实轴长等于4．故答案为：4．5．如果由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，则实数a=﹣2．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，得到，即可求出a．【解答】解：∵由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，∴，∴a=﹣2．故答案为﹣2．6．执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S=log319．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，当n=19时满足条件n ＞3，退出循环，可得：S=log 319，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=1不满足条件n ＞3，执行循环体，n=3， 不满足条件n ＞3，执行循环体，n=19， 满足条件n ＞3，退出循环，可得：S=log 319． 故答案为：log 319．7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为 16π ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可． 【解答】解：∵设圆锥的母线长是l ，底面半径为r ，母线与底面所成的角为，可得①∵侧面积是20π， ∴πrl=20π，②由①②解得：r=4，l=5，故圆锥的高h===3则该圆锥的体积为：×πr2×3=16π故答案为：16π．8．设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b 的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】数列的函数特性．＞a n，化简整理，再利用【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，＞a n，∴∀n∈N*，a n+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．9．将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′中最短边的边长为 3.62．（精确到0.01）【考点】斜二测法画直观图．【分析】由题意，正三角形ABC的高为5，利用余弦定理求出△A′B′C′中最短边的边长．【解答】解：由题意，正三角形ABC的高为5，∴△A′B′C′中最短边的边长为≈3.62．故答案为3.62．10．已知点A是圆O：x2+y2=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足|+|=|﹣|，则•=4．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由|+|=|﹣|⇒（+）2=（﹣）2⇒•=0，∴AO⊥BO，∴△AOB是边长为2的等腰直角三角形，即可求•=||||cos45°．【解答】解：由|+|=|﹣|⇒（+）2=（﹣）2⇒•=0，∴AO⊥BO，∴△AOB是边长为2的等腰直角三角形，则•=||||cos45°=2×=4．故答案为：411．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是[，+∞）．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：解：∵x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f （x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象，若h（x）≥g（x）恒成立，则h（x）在直线f（x）的上方，即g（x）在直线f（x）的下方，则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=3x+b的距离d≥1，d=⇒b≥或b（舍去）即实数b的取值范围是[，+∞），12．已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n=ka n+3k﹣3，其中k为不等于0+1与1的常数，若a i∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，则满足条件的a1所有可能值的和为．【考点】数列递推式．+3=k（a n+3），再对a1=﹣3与a1≠﹣3讨论，特别是【分析】依题意，可得a n+1a1≠﹣3时对公比k分|k|＞1与|k|＜1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案．=ka n+3k﹣3，【解答】解：∵a n+1∴a n+3=k（a n+3），+1∴①若a1=﹣3，则a1+1+3=k（a1+3）=0，a2=﹣3，同理可得，a3=a4=a5=﹣3，即a1=﹣3复合题意；②若a1≠﹣3，k为不等于0与1的常数，则数列{a n+3}是以k为公比的等比数列，∵a i∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，a n+3可以取﹣675，﹣75，25，225，∵﹣75=25×（﹣3），225=﹣75×（﹣3），﹣675=225×（﹣3），∴若公比|k|＞1，则k=﹣3，由a2+3=22+3=﹣3（a1+3）得：a1=﹣﹣3=﹣；若公比|k|＜1，则k=﹣，由a2+3=﹣675=﹣（a1+3）得：a1=2025﹣3=2022；综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣3，﹣，2022．∴a1所有可能值的和为：﹣3﹣+2022=．．故答案为：．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知f（x）=sin x，A={1，2，3，4，5，6，7，8}现从集合A中任取两个不同元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0的可能情况为（）A．12种B．13种C．14种D．15种【考点】三角函数的化简求值．【分析】对于s值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足f（s）•f（t）=0的个数．【解答】解：已知函数f（x）=sin x，A={1，2，3，4，5，6，7，8}，现从A中任取两个不同的元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0，s=3时f（s）=cos=0，满足f（s）•f（t）=0的个数为s=3时8个t=3时8个，重复1个，共有15个．故选D．14．已知空间两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒n⊥α；③m∥n；m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面；②，n与α不一定垂直；③，m∥n；m∥α⇒n∥α或n⊂α；④，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，又∵α∥β⇒n⊥β．【解答】解：已知空间两条直线m，n两个平面α，β对于①，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面，故正确；对于②，n与α不一定垂直，显然错误；对于③，m∥n；m∥α⇒n∥α或n⊂α，故错；对于④，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，又∵α∥β⇒n⊥β，故正确．故选：A．15．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】求矩形ABCD面积的表达式，又要注意P点在长方形ABCD内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．判断函数的图象即可．【解答】解：设AD长为x，则CD长为16﹣x又因为要将P点围在矩形ABCD内，∴a≤x≤12则矩形ABCD的面积为x（16﹣x），当0＜a≤8时，当且仅当x=8时，S=64当8＜a＜12时，S=a（16﹣a）S=，分段画出函数图形可得其形状与C接近故选：B．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．【解答】解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①M={（x，y）|y=}，其图象向左向右和x轴无限接近，向上和y轴无限接近，据幂函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=}是“垂直对点集”．②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0=0，因此集合M不是“垂直对点集”；对于③M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=2x﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=sinx+1}，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故④符合；综上可得：只有①③④是“垂直对点集”．故选：C三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．在如图所示的组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A1C，∠AOD（或其补角）为异面直线A1C与AB1的所成角，利用余弦定理，可求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧弧AB的中点时，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，求出三棱锥A1﹣ABC的体积为，从而求出四棱锥A1﹣BCC1B1的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．【解答】解：（Ⅰ）如图，取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A1C，∴∠AOD（或其补角）为异面直线A1C与AB1的所成角，设正方形的边长为2，则△AOD中，OD=A1C=，AO=，AD=，∴cos∠AOD==∴∠AOD=；（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧AB的中点时，，，，∴．18．已知函数f（x）=sin2x+cos2（﹣x）﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=，求的值．【考点】三角函数的最值．【分析】（1）利用三角恒等变换的应用可化简f（x）=sin（2x﹣），再利用正弦函数的单调性可求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，由A＜B，且f（A）=f（B）=，可求得A=，B=，再利用正弦定理即可求得的值．【解答】（本题满分14分）第（1）小题满分，第（2）小题满分．解：f（x）=sin2x+cos2（﹣x）﹣=•+﹣=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）（1）由于0≤x≤，因此﹣≤2x﹣≤，所以当2x﹣=即x=时，f（x）取得最大值，最大值为1；（2）由已知，A、B是△ABC的内角，A＜B，且f（A）=f（B）=，可得：2A﹣=，2B﹣=，解得A=，B=，所以C=π﹣A﹣B=，得==．19．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上异于点、A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2是定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意焦距求得c，由对称性结合|F1A|+|F1B|=4可得2a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0），分别写出PA、PB所在直线方程，求出M、N的坐标，进一步求出MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，结合A、B在椭圆上可得k1•k2是定值．【解答】解：（1）∵焦距，∴2c=2，得c=，由椭圆的对称性及已知得|F1A|=|F2B|，又∵|F1A|+|F1B|=4，|F1B|+|F2B|=4，因此2a=4，a=2，于是b=，因此椭圆方程为；（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0），直线PA的方程为，令x=0，得，故M（0，）；直线PB的方程为，令x=0，得，故N（0，）；∴，，因此．∵A，B在椭圆C上，∴，∴．20．如图，已知曲线及曲线，C1上的点P1的横坐标为．从C1上的点作直线平行于x轴，交曲线C2于Q n点，再从C2上的点作直线平行于y轴，交曲线C1于P n点，点P n（n=1，2，3…）的横坐标构成数列{a n}．+1（1）求曲线C1和曲线C2的交点坐标；与a n之间的关系；（2）试求a n+1（3）证明：．【考点】数列与解析几何的综合．【分析】（1）取立，能求出曲线C1和曲线C2的交点坐标．（2）设P n（），，由已知，能求出．（3）由，，得与异号，由．此能证明a2n﹣1【解答】解：（1）∵曲线及曲线，取立，得x=，y=，∴曲线C1和曲线C2的交点坐标是（）．（2）设P n（），，由已知，又，===，．证明：（3）a n＞0，由，，得与异号，∵0＜a1，，，，．∴a2n﹣121．已知函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）．（1）当a=2时，解关于x的不等式﹣3＜f（x）＜5；（2）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；（3）函数y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）a=2时，把不等式﹣3＜f（x）＜5化为不等式组﹣3＜x2﹣4x＜5，求出解集即可；（2）由二次函数的图象与性质，讨论a＞0时|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立时，M（a）最大，此时对应的方程f（x）=±5根的情况，从而求出M （a）的解析式；（3）f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）=f（2a）=0，分类讨论，利用y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=x2﹣4x，∴不等式﹣3＜f（x）＜5可化为﹣3＜x2﹣4x＜5，解得，∴不等式的解集为（﹣1，1）∪（3，5）；（2）∵a＞0时，f（x）=x2﹣2ax=（x﹣a）2﹣a2，∴当﹣a2＜﹣5，即a＞时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=﹣5的较小的根，即M（a）=a﹣；当﹣a2≥﹣5，即0＜a≤时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=5的较大的根，即M（a）=a+；综上，M（a）=．（3）f（x）=（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）=f（2a）=0．①若t=0，则a≥t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2）=﹣4，当f（a）=﹣a2=﹣4时，a=±2，a=﹣2不合题意，舍去当f（2）=4﹣4a=﹣4时，a=2，②若t+2=2a，则a≤t+1，且f（x）min=f（a）=﹣4，或f（x）min=f（2a﹣2）=﹣4，当f（a）=﹣a2=﹣4时，a=±2，若a=2，t=2，符合题意；若a=﹣2，则与题设矛盾，不合题意，舍去当f（2a﹣2）=﹣4时，a=2，t=2综上所述，a=2，t=0和a=2，t=2符合题意．2017年1月13日。
上海市2017年高考数学模拟试卷(4)(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！2017年上海中学高考数学模拟试卷（4）一．选择题1．已知函数f（x）=a x+a﹣x，且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（）A．14 B．13 C．12 D．112．设f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A．（2﹣2）a万元B．5a万元C．（2+1）a万元D．（2+3）a万元4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则x=S2n+S22n，y=S n（S2n+S3n）的大小关系是（）A．x≥y B．x=y C．x≤y D．不确定二．填空题5．已知y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b﹣a的最小值为．6．已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，且在[﹣1，3]内，关于x 的方程f（x）=kx+k+1（k≠﹣1）有四个根，则k取值范围是．7．已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象在y 轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+fx，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于A n，B n两点，则数列的前n项和公式是．12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长都相等，M是BB1的中点，则BC1与平面AC1M所成角的大小是．13．设抛物线y=ax2（a＞0）与直线y=kx+b有两个公共点，其横坐标是x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，则x1，x2，x3的关系是．14．满足|z﹣z0|+|z+2i|=4的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是线段，则复数z0在复平面上对应的点的轨迹是．15．在△ABC中，三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部运动，若点P满足，则S△PAC：S△ABC= ．16．有一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数字填满整个格子；②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行、每列及每个每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少．那么A处应填入的数字为；B处应填入的数字为．49 A 3 5 72 63 54 2 8 6 91 76 9 3 5 42 8 9 B 51 2 8 7 64三．解答题17．已知函数f（x）=a+msin2x+ncos2x的图象经过点A（0，1），B（，1），且当x∈时，f（x）取得最大值2﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在向量，使得将f（x）的图象按向量平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出最小的；若不存在，说明理由．18．在五棱锥P﹣ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．G 为PE的中点．（1）求AG与平面PDE所成角的大小（2）求点C到平面PDE的距离．19．（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若，，试用，表示，，并判断与的关系；（2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，A n﹣1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．20．设数列{a n}，{b n}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{a n+1﹣a n}（n∈N+）是等差数列，数列{b n﹣2}（n∈N+）是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）是否存在k∈N+，使，若存在，求出k，若不存在，说明理由．21．在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，．过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．（1）求曲线C的方程；（2）问是否存在直线l，使得|BP|=|BQ|；若存在，求出直线l方程，若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=ax2+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b2﹣16ac＜﹣1；（2）若时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤5，求a为何值时M（a）最大？并求M（a）的最大值；（3）若a＞0，且a+b=1，又|x|≤2时，恒有|f（x）|≤2，求f（x）的解析式．2017年上海中学高考数学模拟试卷（4）参考答案与试题解析一．选择题1．已知函数f（x）=a x+a﹣x，且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（）A．14 B．13 C．12 D．11【考点】45：有理数指数幂的运算性质．【分析】考查题设条件，首先可得出a+=3，又f（2）=a2+a﹣2=﹣2，及f（0）=1+1=2，故f（0）+f（1）+f（2）的值易得【解答】解：由题意，函数f（x）=a x+a﹣x，且f（1）=3，可得a+=3，又f（2）=a2+a﹣2=﹣2=7，f（0）=1+1=2所以f（0）+f（1）+f（2）=2+3+7=12故选C2．设f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；3F：函数单调性的性质；3I：奇函数．【分析】由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．【解答】解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．3．如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A．（2﹣2）a万元B．5a万元C．（2+1）a万元D．（2+3）a万元【考点】KD：双曲线的应用．【分析】依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为，点C的坐标为（3，）．求出修建这条公路的总费用W，根据双曲线的定义有，根据a+b当且仅当a=b时取等号的方法求出W的最小值即可．【解答】解：依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 x2﹣=1，点C的坐标为（3，）．则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[|MB|+|MC|]，设点M、C在右准线上射影分别为点M1、C1，根据双曲线的定义有|MM1|=|MB|，所以=2a[|MM1|+|MC|]≥2a|C C1|=2a×（3﹣）=5a．当且仅当点M在线段C C1上时取等号，故ω的最小值是5a．故选B．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则x=S2n+S22n，y=S n（S2n+S3n）的大小关系是（）A．x≥y B．x=y C．x≤y D．不确定【考点】8K：数列与不等式的综合．【分析】考虑特殊数列1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1…，分情况讨论，等比数列{a n}的前n项和为S n，x=S2n+S22n，y=S n（S2n+S3n），要比较x，y的大小，可先将x，y的表达式进行整理，根据等比数列的性质将两个数用相同的量表示出来，再比较它们的大小【解答】解：对于等比数列1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1…，S2k=0，S4k﹣S2k=0，S6k﹣S4k=0…，令n=2k，此时有x=y=0，对于S n，S2n﹣S n，S3n ﹣S2n ，…各项不为零时则由于等比数列{a n}的前n项和为S n，∴S n，S2n﹣S n，S3n ﹣S2n ，是一个公比为q n的等比数列，∴S2n﹣S n=S n×q n，S3n ﹣S2n=S n×q2n∴S2n =S n ×（1+q n），S3n =S n ×（1+q n+q2n）∴x=S2n+S22n=S2n ×[1+（1+q n）2]=S2n ×（2+2q n+q2n）y=S n（S2n+S3n）=S n[S n ×（1+q n）+S n ×（1+q n+q2n）]=S2n ×（2+2q n+q2n）由上知，x=y故选B二．填空题5．已知y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b﹣a的最小值为．【考点】4K：对数函数的定义域；4L：对数函数的值域与最值．【分析】由y=|log2x|，知x=2y或x=2﹣y．由0≤y≤2，知1≤x≤4，或．由此能求出区间[a，b]的长度b﹣a的最小值．【解答】解：∵y=|log2x|，∴x=2y或x=2﹣y．∵0≤y≤2，∴1≤x≤4，或．即{a=1，b=4}或{a=，b=1}．于是[b﹣a]min=．故答案为：．6．已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，且在[﹣1，3]内，关于x 的方程f（x）=kx+k+1（k≠﹣1）有四个根，则k取值范围是（﹣，0）．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】把方程f（x）=kx+k+1的根转化为函数f（x）的图象和y=kx+k+1的图象的交点在同一坐标系内画出图象由图可得结论．【解答】解：因为关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠﹣1）有4个不同的根，就是函数f（x）的图象与y=kx+k+1的图象有4个不同的交点，f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，所以可以得到函数f（x）的图象，又因为y=kx+k+1=k（x+1）+1过定点（﹣1，1），在同一坐标系内画出它们的图象如图，由图得y=kx+k+1=k（x+1）+1在直线AB和y=1中间时符合要求，而K AB=﹣，所以k的取值范围是：﹣＜k＜0故答案为：．7．已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象在y 轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f的部分图象确定其解析式；GI：三角函数的化简求值．【分析】先将原函数用降幂公式转化为：f（x）=cos（2ωx+2ϕ）++1，求出函数的A，T，ω，通过f（x）的图象在y轴上的截距为2，求出φ，得到函数的表达式，然后求出所求的值．【解答】解：将原函数f（x）=Acos2（ωx+ϕ）+1转化为：f（x）=cos（2ωx+2ϕ）++1 相邻两对称轴间的距离为2可知周期为：4，则2ω==，ω=由最大值为3，可知A=2又∵图象经过点（0，2），∴cos2ϕ=0∴2φ=kπ+∴f（x）=cos（x+）+2=2﹣sin（x）∵f（1）=2+1，f（2）=0+2，f（3）=﹣1+2，f（4）=0+2…f（1）+f（2）+f（3）+…+f如图，在杨辉三角中，斜线l上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为S n，则S19等于283 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由图中锯齿形数列排列，发现规律：奇数项的第n项可以表示成正整数的前n项和的形式，偶数项构成以3为首项，公差是1的等差数列．由此再结合等差数列的通项与求和公式，即可得到S19的值．【解答】解：根据图中锯齿形数列的排列，发现a1=1，a3=3=1+2，a5=6=1+2+3，...，a19=1+2+3+ (10)而a2=3，a4=4，a6=5，…，a18=11，∴前19项的和S19=[1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+10）]+（3+4+5+…+11）=283．故选C故答案为：283．9．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a、b、c成等差数列，sinB=且△ABC的面积为，求b．【考点】84：等差数列的通项公式；HR：余弦定理．【分析】由三角形面积公式和a、b、c成等差数列，联解得出a2+c2=4b2﹣．由角B为锐角可得cosB==，由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac•cosB的式子，代入数据算出b2=4，从而得到b=2．【解答】解：∵由a、b、c成等差数列，得a+c=2b∴平方得a2+c2=4b2﹣2ac﹣﹣﹣﹣﹣﹣①…又∵S△ABC=且sinB=，∴S△ABC=ac•sinB=ac×=ac=故ac=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②…由①②联解，可得a2+c2=4b2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③…又∵sinB=，且a、b、c成等差数列∴cosB===．…由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④…由③④联解，可得b2=4，所以b=2．…10．若对终边不在坐标轴上的任意角x，不等式sinx+cosx≤m≤tan2x+cot2x恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】根据sinx+cosx=≤以及tan2x+cot2x≥2，不等式sinx+cosx≤m ≤tan2x+cot2x恒成立，从而求出实数m的取值范围．【解答】解：由于sinx+cosx=≤，tan2x+cot2x≥2 tanx•cotx=2，不等式sinx+cosx≤m≤tan2x+cot2x恒成立，故≤m≤2，故答案为：．11．对正整数n，设抛物线y2=2（2n+1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于A n，B n两点，则数列的前n项和公式是﹣n（n+1）．【考点】8E：数列的求和；KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】设A n（x n1，y n1），B（x n2，y n2），直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y2﹣2（2n+1）ty﹣4n（2n+1）=0，求出的表达式，然后利用韦达定理代入得=﹣4n2﹣4n，故可得，据此可得数列的前n项和．【解答】解：设直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y2﹣2（2n+1）ty﹣4n（2n+1）=0，设A n（x n1，y n1），B（x n2，y n2），则，用韦达定理代入得，故，故数列的前n项和﹣n（n+1），故答案为﹣n（n+1）．12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长都相等，M是BB1的中点，则BC1与平面AC1M所成角的大小是．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】要求BC1与平面AC1M所成角，首先求利用等体积点B到平面AMC1的距离，进而利用正弦函数可求BC1与平面AC1M所成角【解答】解：由题意，设棱长为2a，则∵，∴=∵S△AMB=a2设点B到平面AMC1的距离为h，根据得∴设BC1与平面AC1M所成角为α，则∴故答案为13．设抛物线y=ax2（a＞0）与直线y=kx+b有两个公共点，其横坐标是x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，则x1，x2，x3的关系是x1x2=（x1+x2）x3．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再根据直线解析式求出与x的交点横坐标，结论得证．【解答】解：由题意，联立抛物线y=ax2（a＞0）与直线y=kx+b得ax2﹣kx﹣b=0，∴，，∴，∴x1x2=x1x3+x2x3，即x1x2=（x1+x2）x3故答案为：x1x2=（x1+x2）x3．14．满足|z﹣z0|+|z+2i|=4的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是线段，则复数z0在复平面上对应的点的轨迹是以（0，﹣2）为圆心以 4 为半径的圆．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据关系式和点Z的轨迹是线段判断出，z0和﹣2i对应的点是对应线段上端点，再由（0，﹣2）是定点，线段是定长得出所求的轨迹是圆．【解答】解：∵|z﹣z0|+|z+2i|=4，且点Z的轨迹是线段，∴z0和﹣2i对应的点必然是Z的轨迹：线段上面2个端点，且线段的长为4，∴Z点轨迹：线段，它是通过一个端点（0，﹣2）的任意线段，并且长度为4，∴z0点轨迹其实是圆心为（0，﹣2），半径为4的圆，故答案为：以（0，﹣2）为圆心以 4 为半径的圆．15．在△ABC中，三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部运动，若点P满足，则S△PAC：S△ABC= 1：3 ．【考点】98：向量的加法及其几何意义．【分析】延长PB到B'，使PB'=2PB，延长PC到C'，使PC=3PC'，根据可知P是△AB'C'的重心，然后设S△PAB'=S△PAC'=S△PB'C'=k，然后将三个三角形的面积用k表示，即可求出所求．【解答】解：如图：延长PB到B'，使PB'=2PB，延长PC到C'，使PC=3PC'则，P是△AB'C'的重心，则S△PAB'=S△PAC'=S△PB'C'=kS1=S△PAB'=k，S3=S△PAC'=kS2=PB×PC×sin∠BPC=S△PB'C'=k故S1：S2：S3=：： =3：1：2∴S△PAC：S△ABC=1：3故答案为：1：316．有一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数字填满整个格子；②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行、每列及每个每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少．那么A处应填入的数字为 1 ；B处应填入的数字为1或3 ．49 A 3 5 72 63 54 2 8 6 91 76 9 3 5 42 8 9 B 51 2 8 7 64【考点】F1：归纳推理；8B：数列的应用．【分析】本题是一个简单的合情推理问题，根据“数独”的游戏规则，①在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1，2，3…，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，…9的所有数字．由A所处的行、列及小九宫格中已填数据，不难得到答案．【解答】解：与A同行的数据有：9、3、5、7与A同列的数据有：4、2、6、8与A处在同一九宫格中的数据有：2、4、9所以A处应填入的数字为1，与B同行的数据有：2、8、9、5与B同列的数据有：5、7、4、6与B处在同一九宫格中的数据有：4、5、6、7B处应填入的数字为 1或3故答案为：1 1或3三．解答题17．已知函数f（x）=a+msin2x+ncos2x的图象经过点A（0，1），B（，1），且当x∈时，f（x）取得最大值2﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在向量，使得将f（x）的图象按向量平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出最小的；若不存在，说明理由．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由题意求得m、n、a间的关系，再根据当x∈时，f（x）取得最大值2﹣1，求得a的值，可得函数的解析式．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得最小的．【解答】解：（1）∵函数f（x）=a+msin2x+ncos2x的图象经过点A（0，1），B（，1），∴a+0+n=1，且a+m+0=1，求得m=n=1﹣a，故有f（x）=a+（1﹣a）sin2x+（1﹣a）cos2x=a+（1﹣a）sin（2x+）．①若1﹣a＞0，∵当x∈时，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最大值为a+（1﹣a）．又f（x）的最大值2﹣1，可得a+（1﹣a）=2﹣1，求得a=﹣1，∴f（x）=﹣1+2sin（2x+）．②若1﹣a＜0，∵当x∈时，2x+∈[，]，故当2x+=或时，f（x）取得最大值为a+（1﹣a）•．又f（x）的最大值2﹣1，可得a+（1﹣a）•=2﹣1，求得a无解．③若1﹣a=0，f（x）=1，不满足条件．综上可得，a=﹣1，f（x）=﹣1+2sin（2x+）．（2）把f（x）的图象向右平移个单位，可得y=﹣1+2sin（2x﹣+）=﹣1+2sin2x的图象；再把所的图象向上平移1个单位，可得奇函数y=2sin2x的图象，此时，平移的距离最小．故若将f（x）的图象按向量平移后可以得到一个奇函数的图象，则存在=（，1），且满足||最小．18．在五棱锥P﹣ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．G 为PE的中点．（1）求AG与平面PDE所成角的大小（2）求点C到平面PDE的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）通过证明PA垂直平面ABCDE上的两条相交直线即可，在三角形PAB中运用勾股定理，可证明PA垂直于AB，在三角形PAE中，同样用勾股定理，可证明PA垂直AE，这样就可证明PA⊥平面ABCDE．通过证明AG垂直于平面PDE中的两条相交直线，在三角形中PA=AE=2a，可知AG垂直PE，再通过ED⊥平面PAE，利用线面垂直的性质，可得AG垂直于DE，则AG⊥平面PDE可证．（2）欲求点C到平面PDE的距离，只需过C点向平面PDE作垂线，但是垂足位置不容易找到，所以可以转化为其它点到平面的距离．证明CF∥DE，则点C到平面PDE的距离等于F 到平面PDE的距离，就可求F到平面PDE的距离．再由（3）中结论知FG⊥平面PDE，所以FG的长即F点到平面PDE的距离，放入△PAE中求出即可．【解答】解：（1）解：（1）证明∵PA=AB=2a，PB=2a，∴PA2+AB2=PB2，∴∠PAB=90°，即PA⊥AB．同理PA⊥AE．∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．又∵∠AED=90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG．∵PA=AE，G为PE中点，所以AG⊥PE，∴AG⊥平面PDE；∴AG与平面PDE所成角的大小为90°；（2）解：∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，BC=DE=a，AB=AE=2a，取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC，∴四边形ABCF为平行四边形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE⊂平面PDE，CF⊄平面PDE，∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则 FG⊥平面PDE．∴FG的长即F点到平面PDE的距离．在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE，∴FG=a．∴点C到平面PDE的距离为a．19．（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若，，试用，表示，，并判断与的关系；（2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，A n﹣1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】（1）由三角形法则及向量共线的数乘表示，分别用向量、表示出，相加即得用向量、表示的表达式，进而判断与的关系；（2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，A n﹣1是AB的n（n≥3）等分点，归纳得出猜想，再数学归纳法证明结论．【解答】解：（1）如图：点P、Q是线段AB的三等分点=，则，同理，所以即：，（2）设A1，A2．，…，A n﹣1是AB的n等分点，则；证：A1，A2，，A n﹣1是线段n≥2的等分点，先证明：（1≤k≤n﹣1，n、k∈N*）．由，，因为和是相反向量，则，所以．记，相加得∴．20．设数列{a n}，{b n}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{a n+1﹣a n}（n∈N+）是等差数列，数列{b n﹣2}（n∈N+）是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）是否存在k∈N+，使，若存在，求出k，若不存在，说明理由．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合；84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）先求出等差数列的公差，再利用a n+1﹣a n=（a2﹣a1）+（n﹣1）×1=n﹣3，表示出a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）即可求出数列{a n}的通项公式；同样先求出等比数列的公比，再利用即可求{b n}的通项公式；（2）先求出f（k）=a k﹣b k的表达式，并找到其单调区间的分界点，求出其函数值的范围即可得出结论．【解答】解：（1）由已知a2﹣a1=﹣2，a3﹣a2=﹣1得公差d=﹣1﹣（﹣2）=1所以a n+1﹣a n=（a2﹣a1）+（n﹣1）×1=n﹣3故a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=6+（﹣2）+（﹣1）+0+…+（n﹣4）==由已知b1﹣2=4，b2﹣2=2所以公比所以．故（2）设f（k）=a k﹣b k==所以当k≥4时，f（k）是增函数．又，所以当k≥4时，而f（1）=f（2）=f（3）=0，所以不存在k，使．21．在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，．过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．（1）求曲线C的方程；（2）问是否存在直线l，使得|BP|=|BQ|；若存在，求出直线l方程，若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），可知点M1的坐标，由可得点N的坐标和N1的坐标，进而表示出和，代入，求得x和x'的关系，y和y'的关系，再代入||中求得x和y的关系，即可得到曲线C的方程；（2）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点；当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k（x﹣5），联立直线方程与椭圆方程，消去y化为关于x的一元二次方程，根据判别式大于0求得k的范围，设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为R（x0，y0），利用根与系数的关系得x1+x2，求得R的坐标，根据|BP|=|BQ|可得BR⊥l，再由k•k BR=﹣1，整理得20k2=20k2﹣4，此结论不成立，可判断不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．【解答】解：（1）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），则M1的坐标为（0，y'），由=（x′，y′），得点N的坐标为（x′，y′），N1的坐标为（x′，0），∴=（x′，0），=（0，y′）．由，得（x，y）=（x′，0）+（0，y′），∴，得x′=x，y′=．由||=，得（x′）2+（y′）2=5，∴，即．故所求曲线C的方程为；（2）点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点；当直线l斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y=k（x﹣5）．联立，得（5k2+4）x2﹣50k2x+125k2﹣20=0．依题意△=20（16﹣80k2）＞0，得﹣＜k＜．当﹣＜k＜时，设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为R（x0，y0），则，．∴y0=k（x0﹣5）=k（）=．由|BP|=|BQ|，得BR⊥l，则k•k BR=﹣1，∴，即20k2=20k2﹣4，此式显然不成立，∴不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．22．已知函数f（x）=ax2+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b2﹣16ac＜﹣1；（2）若时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤5，求a为何值时M（a）最大？并求M（a）的最大值；（3）若a＞0，且a+b=1，又|x|≤2时，恒有|f（x）|≤2，求f（x）的解析式．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）由于函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，所以ax2+2bx+4c=±x无解，从而△＜0，故可证；（2）把b与c的值代入f（x）中，配方得到顶点式，由a小于0，得到函数有最大值，表示出这个最大值，当最大值大于5时，求出此时a的范围，又最大值小于﹣，M（a）是方程ax2+8x+3=5的较小根，利用求根公式求出M（a）即可判断出M（a）小于；当最大值小于等于5时，求出此时a的范围，最大值大于﹣，M（a）是方程ax2+8x+3=﹣5的较大根，根据求根公式求出M（a）即可判断M（a）小于等于，又大于，即可得到M （a）的最大值；（3）求出f（x）的导函数，由a大于0，求出函数有最大值让其等于2，得到a与b的关系式，由﹣2≤f（0）=4a=4a+4b+4c﹣4（a+b）=f（2）﹣4≤2﹣4=﹣2，得c的值，又因为|f（x）|≤2，所以f（x）≥﹣2=f（0），即可得到x=0时，函数取得最小值，表示出对称轴让其等于0，即可求得b的值，进而求出a的值，把a，b和c的值代入即可确定出f（x）的解析式【解答】解：（1）证明：∵函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，∴ax2+2bx+4c=±x无解∴△＜0∴4b2﹣16ac＜﹣1；（2）把b=4，c=代入得：f（x）=ax2+8x+3=a +3﹣，∵a＜0，所以f（x）max=3﹣①当3﹣＞5，即﹣8＜a＜0时，M（a）满足：﹣8＜a＜0且0＜M（a）＜﹣，所以M（a）是方程ax2+8x+3=5的较小根，则M（a）==＜=；②当3﹣≤5即a≤﹣8时，此时M（a）≥﹣，所以M（a）是ax2+8x+3=﹣5的较大根，则M（a）==≤=，当且仅当a=﹣8时取等号，由于＞，因此当且仅当a=﹣8时，M（a）取最大值；（3）求得f′（x）=2ax+2b，∵a＞0，∴f（x）max=2a+2b=2，即a+b=1，则﹣2≤f（0）=4a=4a+4b+4c﹣4（a+b）=f（2）﹣4≤2﹣4=﹣2，∴4c=﹣2，解得c=﹣，又∵|f（x）|≤2，所以f（x）≥﹣2=f（0）∴f（x）在x=0处取得最小值，且0∈（﹣2，2），∴﹣=0，解得b=0，从而a=1，∴f（x）=x2﹣2．。
上海市宝山区2017届高考数学一模试卷Word版含解析.pdf
2017年上海市宝山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．=．2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩?U B=．3．不等式的解集为．4．椭圆（θ为参数）的焦距为．5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=．6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为．7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为．8．已知向量，，则在的方向上的投影为．9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为．10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）11．设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=．12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）13．设a∈R，则“a=1”A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80 B．96 C．108 D．11015．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．416．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“ｋ⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“０⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f （t）|的最大值为（）A．B．3 C．D．2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．18．已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．19．设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n ∈N均成立，求实数x的取值集合．21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λＳk＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1?A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“Ｎ*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．2017年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．=2．【考点】极限及其运算．【分析】分子、分母都除以n，从而求出代数式的极限值即可．【解答】解：==2，故答案为：2．2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩?U B={﹣1，0，1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出?U B与A∩?U B即可．【解答】解析：因为全集U=R，集合B={x|x≥2}，所以?U B={x|x＜2}=（﹣∞，2），且集合A={﹣1，0，1，2，3}，所以A∩?U B={﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}．3．不等式的解集为（﹣2，﹣1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式转化（x+1）（x+2）＜0求解即可．【解答】解：不等式等价于（x+1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴原不等式组的解集为（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．4．椭圆（θ为参数）的焦距为6．【考点】椭圆的参数方程．【分析】求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【解答】解：消去参数θ得：，所以，c==3，所以，焦距为2c=6．故答案为6．5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设z=x+yi，则代入，再由复数相等的充要条件，即可得到x，y的值，则答案可求．【解答】解：设z=x+yi，∴．则=x+yi+2（x﹣yi）=3﹣i，即3x﹣yi=3﹣i，∴x=1，y=1，因此，z=1+i．故答案为：1+i．6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用行列式的计算，二倍角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性，求得a的值．【解答】解：∵y=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=π=aπ，所以，a=1，故答案为：1．7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=2x ﹣1．．【考点】反函数．【分析】求出函数f（x）的解析式，用x表示y的函数，把x与y互换可得答案．【解答】解：函数f（x）=1+log a x图象过点（8，4），可得：4=1+log a8，解得：a=2．∴f（x）=y=1+log2x则：x=2y﹣1，∴反函数为y=2x﹣1．故答案为f﹣1（x）=2x﹣1．8．已知向量，，则在的方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影公式为，代值计算即可．【解答】解：由于向量，，则在的方向上的投影为=．故答案为：9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为18π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意，得：底面直径和母线长均为6，利用侧面积公式求出该圆锥的侧面积．【解答】解：由题意，得：底面直径和母线长均为6，S侧==18π．故答案为18π．10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，由此能求出在选出的3人中男、女生均有的概率．【解答】解：某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，∴在选出的3人中男、女生均有的概率：p==．故答案为：．11．设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=2．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式T r+1=（r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得r，即可得出．【解答】解：T r+1==（r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得r=2，则=144，a＞0，解得a=2．故答案为：2．12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为6．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．【解答】解：由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，∵n＜2a1+n﹣1，且二者一奇一偶，∴（n，2a1+n﹣1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=﹣1时，也有三组．综上所述，共6组．故答案为6．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及纯虚数的定义判断即可．【解答】解：当a=1时，（a﹣1）（a+2）+（a+3）i=4i，为纯虚数，当（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数时，a=1或﹣2，故选：A．14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80 B．96 C．108 D．110【考点】分层抽样方法．【分析】求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数．【解答】解：设高二x人，则x+x﹣50+500=1350，x=450，所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400因为=，所以，高二学生抽取人数为：=108，故选C．15．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】在（1）中，P（M∪N）==；在（2）中，由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（3）中，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（4）中，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=；（5）由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件．【解答】解：在（1）中，若M、N为互斥事件，且，，则P（M∪N）==，故（1）正确；在（2）中，若，，，则由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（2）正确；在（3）中，若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（3）正确；在（4）中，若，，，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=，故（4）错误；（5）若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（5）正确．故选：D．16．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“ｋ⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“０⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f （t）|的最大值为（）A．B．3 C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设出函数f（x）的解析式，求出|t的范围，求出|f（t）|的解析式，根据不等式的性质求出其最大值即可．【解答】解：设f（x）=ax2+bx+c，则|f（﹣2）|≤2，|f（0）|≤2，|f（2）|≤2，即，即，∵t+1∈[﹣1，3]，∴|t|≤2，故y=|f（t）|=|t2+t+f（0）|=|f（2）+f（﹣2）+f（0）|≤|t（t+2）|+|t（t﹣2）|+|4﹣t2|=|t|（t+2）+|t|（2﹣t）+（4﹣t2）═（|t|﹣1）2+≤，故选：C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，由底面积和侧面积公式列出方程组，求出a=3，h=4，由此能求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．（2）由AB∥A1B1，知∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与AB所成的角．【解答】解：（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，则，解得a=3，h=4，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC?h=．（2）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AB∥A1B1，∴∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），连结B1C，则A1C=B1C=5，在等腰△A1B1C中，cos==，∵∠A1B1C∈（0，π），∴．∴异面直线A1C与AB所成的角为arccos．18．已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k的值，即可求得直线l的倾斜角．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，b==2，∴C的标准方程；（2）由题意可知：椭圆的右焦点（2，0），设直线l的方程为：y=k（x﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2）；整理得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，丨AB丨=?=?=，由丨AB丨=，=，解得：k2=1，故k=±1，经检验，k=±1，符合题意，因此直线l的倾斜角为或．19．设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），可得n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1．n ≥2时，由S n=4x n﹣3，可得x n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）y n+1﹣y n=x n=，且y1=2，利用y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n﹣y n﹣1）与等比数列的求和公式即可得出y n．代入不等式，化简即可得出．【解答】解：（1）∵4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），∴n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1=1．n≥2时，由S n=4x n﹣3，∴x n=S n﹣S n﹣1=4x n﹣3﹣（4x n﹣1﹣3），∴x n=，∴数列{x n}，是等比数列，公比为．∴x n=．（2）y n+1﹣y n=x n=，且y1=2，∴y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n﹣y n﹣1）=2+1+++…+=2+=3×﹣1．当n=1时也满足．∴y n=3×﹣1．不等式，化为：=，∴n﹣1＞3，解得n＞4．∴满足不等式的最小正整数n的值为5．20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n ∈N均成立，求实数x的取值集合．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可．（2）根据f（0）=1，求f（x）的解析式，根据在闭区间[2，3]上有实数解，分离λ，可得λ=lg（x+10）﹣，令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域即为λ的范围．（3）函数f（x）的图象过点（98，2），求f（x）的解析式，可得f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2转化为，求解x，又∵2+x＞0，即x＞﹣2和n∈N．讨论k的范围可得答案．【解答】解：函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，f（x）=lg（x+2）那么：不等式；即lg（+2）＞lg10，可得：，且解得：．∴不等式的解集为{x|}（2）∵f（0）=1，可得m=10．∴f（x）=lg（x+10），即lg（x+10）=在闭区间[2，3]上有实数解，可得λ=lg（x+10）﹣令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域．根据指数和对数的性质可知：F（x）是增函数，∴F（x）在闭区间[2，3]上的值域为[lg12﹣，lg13﹣]故得实数λ的范围是[lg12﹣，lg13﹣]．（3）∵函数f（x）的图象过点（98，2），则有：2=lg（98+m）∴m=2．故f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2即，∴，n∈N．解得：＜x＜，n∈N．又∵2+x＞0，即x＞﹣2，∴≥﹣2，n∈N．解得：k，∵k∈Z，∴k≥0．故得任意n∈N均成立，实数x的取值集合为（，），k∈N，n ∈N．21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λＳk＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1?A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“Ｎ*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）根据新定义A+B={a+b|a∈A，b∈B}，结合已知中的集合A，B，可得答案；（2）曲线表示双曲线，进而可得a n=，S n=n2，则S m+S n﹣λＳk ＞0恒成立，?＞λ恒成立，结合m+n=3k，且m≠n，及基本不等式，可得＞，进而得到答案；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，结合已知中“自生集”和“Ｎ*的基底集”的定义，可证得结论；【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线，即，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=，∴a1+a2+a3+…+a n=，∵B=，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（）=3?﹣m=n2，∴S m+S n﹣λＳk＞0恒成立，?＞λ恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴，即实数λ的最大值为；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，理由如下：设整数集合A={x|x=（﹣1）n?F n，n∈N*，n≥2}，其中{F n}为斐波那契数列，即F1=F2=1，F n+2=F n+F n+1，n∈N*，下证：整数集合A既是自生集又是N*的基底集，①由F n=F n+2﹣F n+1得：（﹣1）n?F n=（﹣1）n+2?F n+2+（﹣1）n+1?F n+1，故A是自生集；②对于任意n≥2，对于任一正整数t∈[1，F2n+1﹣1]，存在集合Ar一个有限子集{a1，a2，…，a m}，使得t=a1+a2+…+a m，（|a i＜F2n+1，i=1，2，…，m），当n=2时，由1=1，2=3+1﹣2，3=3，4=3+1，知结论成立；假设结论对n=k时成立，则n=k+1时，只须对任何整数m∈[F2k+1，F2k+3]讨论，若m＜F2k+2，则m=F2k+2+，∈（﹣F2k+1，0），故=﹣F2k+1+m′，m′∈[1，F2k+1），由归纳假设，m′可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+1的元素的和．因为m=F2k+2﹣F2k+1+m′＝（﹣1）2k+2?F2k+2+（﹣1）2k+1?F2k+1+m′，所以m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+3的元素的和．若m=F2k+2，则结论显然成立．若F2k+2＜m＜F2k+3，则m=F2k+2+m′，m′∈[1，F2k+1），由归纳假设知，m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+3的元素的和．所以，当n=k+1时结论也成立；由于斐波那契数列是无界的，所以，任一个正整数都可以表示成集合A的一个有限子集中所有元素的和．因此集合A又是N*的基底集．。
2017年上海市静安区高考数学一模试卷(解析版)
2017年上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每一个空格填对得5分，不然一概得零分．1．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，那么a的取值范围是．2．函数的最小正周期为．3．假设复数z为纯虚数，且知足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），那么实数a的值为．4．二项式展开式中x的系数为．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．已知α为锐角，且，那么sinα=．7．依照有关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，通过x个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且知足关系式（r为常数）．假设某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，那么这人饮酒后需通过小时方可驾车．（精准到小时）8．已知奇函数f（x）是概念在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，知足f（x7）+f（x8）=0，那么x2017的值为．9．直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，那么的最大值为．10．已知f（x）=a x﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，假设对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，那么的最小值为．二、选择题本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必需把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，不然一概得零分.11．假设空间三条直线a、b、c知足a⊥b，b⊥c，那么直线a与c（）A．必然平行B．必然相交C．必然是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能12．在无穷等比数列{a n}中，，那么a1的取值范围是（）A．B． C．（0，1） D．13．某班班会预备从含甲、乙的6名学生当选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种14．已知椭圆C1，抛物线C2核心均在x轴上，C1的中心和C2极点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，那么C1的左核心到C2的准线之间的距离为（）x3﹣24y0﹣4A．B．C．1 D．215．已知y=g（x）与y=h（x）都是概念在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），假设y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，那么正实数k的取值范围是（）A．B． C．D．三、解答题（此题总分值75分）本大题共有5题，解答以下各题必需在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F别离是棱AD，CD的中点．（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；（2）求四面体CA1EF的体积．17．设双曲线C：，F1，F2为其左右两个核心．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）假设动点P与双曲线C的两个核心F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．18．在某海边城市周围海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是不是开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时刻为多久？19．设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得概念域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）假设f（x）=2x﹣x2，试判定f（x）是不是为M1中的元素，并说明理由；（2）假设，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）假设（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．20．由n（n≥2）个不同的数组成的数列a1，a2，…a n中，假设1≤i＜j≤n时，a j＜a i（即后面的项a j小于前面项a i），那么称a i与a j组成一个逆序，一个有穷数列的全数逆序的总数称为该数列的逆序数．如关于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．（1）计算数列的逆序数；（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；（3）已知数列a1，a2，…a n的逆序数为a，求a n，a n﹣1，…a1的逆序数．2017年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每一个空格填对得5分，不然一概得零分．1．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，那么a的取值范围是（0，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判定．【分析】依照充分必要条件的概念求出a的范围即可．【解答】解：假设“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，那么a的取值范围是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．2．函数的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．【解答】解：函数=1﹣3•=1﹣•（1+sin2x）=﹣﹣sin2x 的最小正周期为=π，故答案为：π．3．假设复数z为纯虚数，且知足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），那么实数a的值为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（2﹣i）z=a+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，由复数z 为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由（2﹣i）z=a+i，得==，∵复数z为纯虚数，∴，解得a=．那么实数a的值为：．故答案为：．4．二项式展开式中x的系数为10．【考点】二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求得答案．，【解答】解：设二项式展开式的通项为T r+1=x2（5﹣r）•x﹣r=•x10﹣3r，那么T r+1令10﹣3r=1得r=3，∴二项式展开式中x的系数为=10．故答案为：10．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案．【解答】解：半径为1米的半圆的周长为=π，那么制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1，设圆锥的底面半径为r，那么2πr=π，即r=．∴圆锥的高为h=．∴V=×=（立方米）．故答案为：．6．已知α为锐角，且，那么sinα=．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的大体关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，那么sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：7．依照有关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，通过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且知足关系式（r为常数）．假设某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，那么这人饮酒后需通过8小时方可驾车．（精准到小时）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】先求出e r=，再利用89•e xr＜20，即可得出结论．【解答】解：由题意，61=89•e2r，∴e r=，∵89•e xr＜20，∴x≥8，故答案为8．8．已知奇函数f（x）是概念在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，知足f（x7）+f（x8）=0，那么x2017的值为4019．【考点】数列与函数的综合．【分析】设设x7=x，那么x8=x+2，那么f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f （x+1）=0=f（0），x7=﹣1．设数列{x n}通项x n=x7+2（n﹣7）．取得通项x n=2n﹣15．由此能求出x2020的值．【解答】解：设x7=x，那么x8=x+2，∵f（x7）+f（x8）=0，∴f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，∴f（x+1）=0=f（0），即x+1=0．∴x=﹣1，设数列{x n}通项x n=x7+2（n﹣7）=2n﹣15∴x2017=2×2017﹣15=4019．故答案为：40199．直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，那么的最大值为12．【考点】向量在几何中的应用．【分析】成立坐标系，设M （），那么=（），，【解答】解：如图成立平面直角坐标系，A（0，0），B（3，0），C（0.4），三角形ABC外接圆（x﹣）2+（y﹣2）2=，设M （），那么=（），，，故答案为：12．10．已知f（x）=a x﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，假设对任意实数x均有f（x）•g （x）≤0，那么的最小值为4．【考点】大体不等式．【分析】依照对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，求出a，b的关系，可求的最小值．【解答】解：f（x）=a x﹣b，g（x）=x+1，那么：f（x）•g（x）≤0，即（a x﹣b）（x+1）≤0．对任意实数x均成立，可得a x﹣b=0，x+1=0，故得ab=1．那么：=4，当且仅当x=y=时取等号．故的最小值为4．故答案为：4．二、选择题本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必需把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，不然一概得零分.11．假设空间三条直线a、b、c知足a⊥b，b⊥c，那么直线a与c（）A．必然平行B．必然相交C．必然是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的概念即可得出，假设直线a、b、c 知足a⊥b、b⊥c，那么a∥c，或a与c相交，或a与c异面．【解答】解：如下图：a⊥b，b⊥c，a与c能够相交，异面直线，也可能平行．从而假设直线a、b、c知足a⊥b、b⊥c，那么a∥c，或a与c相交，或a与c异面．应选D．12．在无穷等比数列{a n}中，，那么a1的取值范围是（）A．B． C．（0，1） D．【考点】数列的极限．【分析】利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出a1的取值范围．【解答】解：在无穷等比数列{a n}中，，可知|q|＜1，那么=，a1=∈（0，）∪（，1）．应选：D．13．某班班会预备从含甲、乙的6名学生当选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】依照题意，分2种情形讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情形数量，由加法原理计算可得答案．【解答】解：依照题意，分2种情形讨论，假设只有甲乙其中一人参加，有C21•C43•A44=192种情形；假设甲乙两人都参加，有C22•C42•A44=144种情形，那么不同的发言顺序种数192+144=336种，应选：A．14．已知椭圆C1，抛物线C2核心均在x轴上，C1的中心和C2极点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，那么C1的左核心到C2的准线之间的距离为（）x3﹣24y0﹣4A．B．C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】由表可知：抛物线C2核心在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），那么有=2p （x≠0），将（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，即可求得抛物线方程，求得准线方程，设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，），即可求得椭圆方程，求得核心坐标，即可求得C1的左核心到C2的准线之间的距离．【解答】解：由表可知：抛物线C2核心在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），那么有=2p （x≠0），据此验证四个点知（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，∴抛物线C2的标准方程为y2=4x．那么核心坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，）代入得，，解得：，∴C1的标准方程为+y2=1；由c==，左核心（，0），C1的左核心到C2的准线之间的距离﹣1，应选B．15．已知y=g（x）与y=h（x）都是概念在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），假设y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，那么正实数k的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】根的存在性及根的个数判定．【分析】问题转化为g（x）和h（x）有4个交点，画出函数g（x），h（x）的图象，结合图象取得关于k的不等式组，解出即可．【解答】解：假设y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，即g（x）和h（x）有4个交点，画出函数g（x），h（x）的图象，如图示：，结合图象得：，解得：＜k＜log32，应选：C．三、解答题（此题总分值75分）本大题共有5题，解答以下各题必需在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F别离是棱AD，CD的中点．（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；（2）求四面体CA1EF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）连接A1C1，由E，F别离是棱AD，CD的中点，可得EF∥AC，进一步取得EF∥A1C1，可知∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．然后求解直角三角形得答案；（2）直接利用等体积法把四面体CA1EF的体积转化为三棱锥A1﹣EFC的体积求解．【解答】解：（1）连接A1C1，∵E，F别离是棱AD，CD的中点，∴EF∥AC，那么EF∥A1C1，∴∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．在△A1C1B中，由AB=a，AA1=2a，得，，∴cos∠A1C1B=，∴异面直线BC1与EF所成角的大小为；（2）．17．设双曲线C：，F1，F2为其左右两个核心．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）假设动点P与双曲线C的两个核心F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）设M（x，y），，左核心，通过利用二次函数的性质求出对称轴，求出的取值范围．（2）写出P点轨迹为椭圆，利用，|PF1|+|PF2|=2a，结合余弦定理，和大体不等式求解椭圆方程即可．【解答】解：（1）设M（x，y），，左核心，=…=（）对称轴，…（2）由椭圆概念得：P点轨迹为椭圆，，|PF1|+|PF2|=2a=…由大体不等式得，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，b2=4所求动点P的轨迹方程为…18．在某海边城市周围海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是不是开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时刻为多久？【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）成立直角坐标系，…，那么城市A（0，0），当前台风中心，设t 小时后台风中心P的坐标为（x，y），由题意成立方程组，能求出10小时后，该台风尚未开始侵袭城市A．（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果．【解答】解：（1）如图成立直角坐标系，…那么城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），则，现在台风的半径为60+10t，10小时后，|PA|≈184.4km，台风的半径为r=160km，∵r＜|PA|，…∴10小时后，该台风尚未开始侵袭城市A．…（2）由（1）知t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，假设城市A受到台风侵袭，则，∴300t2﹣10800t+86400≤0，即t2﹣36t+288≤0，…解得12≤t≤24…∴该城市受台风侵袭的持续时刻为12小时．…19．设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得概念域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）假设f（x）=2x﹣x2，试判定f（x）是不是为M1中的元素，并说明理由；（2）假设，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）假设（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用f（1）=f（0）=1，判定f（x）∉M1．（2）f（x+a）﹣f（x）＞0，化简，通过判别式小于0，求出a的范围即可．（3）由f（x+a）﹣f（x）＞0，推出，取得对任意x∈[1，+∞）都成立，然后分离变量，通过当﹣1＜k≤0时，当0＜k＜1时，别离求解最小值即可．【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）∉M1．…（2）由…∴，…故a＞1．…（3）由，…即：∴对任意x∈[1，+∞）都成立∴…当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…当1≤k＜3时，．…综上：…20．由n（n≥2）个不同的数组成的数列a1，a2，…a n中，假设1≤i＜j≤n时，a j＜a i（即后面的项a j小于前面项a i），那么称a i与a j组成一个逆序，一个有穷数列的全数逆序的总数称为该数列的逆序数．如关于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．（1）计算数列的逆序数；（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；（3）已知数列a1，a2，…a n的逆序数为a，求a n，a n﹣1，…a1的逆序数．【考点】数列的求和．【分析】（1）由{a n}为单调递减数列，可得逆序数为99+98+ (1)（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．当n为偶数时：0＞a2＞a4＞…＞a2n．可得逆序数．（3）在数列a1，a2，…a n中，假设a1与后面n﹣1个数组成p1个逆序对，那么有（n﹣1）﹣p1不组成逆序对，可得在数列a n，a n﹣1，…a1中，逆序数为（n﹣1）﹣p1+（n﹣2）﹣p2+…+（n﹣n）﹣p n．【解答】解：（1）∵{a n}为单调递减数列，∴逆序数为．（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．当n为偶数时：∴0＞a2＞a4＞…＞a2n．当k为奇数时，逆序数为；当k为偶数时，逆序数为．（3）在数列a1，a2，…a n中，假设a1与后面n﹣1个数组成p1个逆序对，那么有（n﹣1）﹣p1不组成逆序对，因此在数列a n，a n﹣1，…a1中，逆序数为．。
2017年上海市七宝中学高考数学模拟试卷(5月份)+Word版含解析
2017年上海市七宝中学高考数学模拟试卷（5月份）一.填空题1．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为．2．5051﹣1被7除后的余数为．3．已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是．4．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为（结果用小数表示）5．地球的半径为R，在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°西经60°有一座城市B，则坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离是．（飞机的飞行高度忽略不计）6．如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为．7．已知定义在R上的增函数y=f（x）满足f（x）+f（4﹣x）=0，若实数a、b满足不等式f（a）+f（b）≥0，则a2+b2的最小值是．8．已知点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点（包括边界），则的取值范围是．9．椭圆（a＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，则△FAB的周长的最大值是．10．已知函数，（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．11．在直角坐标平面上，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．点M 是线段AD上的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是．12．设ω为正实数，若存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得cosωa+cosωb=2，则ω的取值范围是．二.选择题13．若z∈C，i为虚数单位，且，则复数z等于（）A．B．C．D．14．设M={a|a=x2﹣y2，x，y∈Z}，则对任意的整数n，形如4n，4n+1，4n+2，4n+3的数中，不是集合M中的元素是（）A．4n B．4n+1 C．4n+2 D．4n+315．直线l在平面α内，直线m平行于平面α，且与直线l异面，动点P在平面α上，且到直线l、m距离相等，则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线16．设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，]B．[，] C．（，）D．[0，]三.简答题17．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中点，E是棱CC1上任意一点．（1）证明：BD⊥A1E；（2）如果AB=2，，OE⊥A1E，求AA1的长．18．如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口E是AB的中点，F、G分别落在AD、BC上，且AB=20m，，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当θ为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．19．若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域均存在唯一的x2，满足f（x1）f（x2）=1，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断，y=2x是否为“依赖函数”；（2）若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，求a的值，并给出证明．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴的两顶点为A、B，左右焦点分别为F1、F2，焦距为2c且a=2c，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在双曲线上取点Q（异于顶点），直线OQ与椭圆C交于点P，若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，试证明：k1+k2+k3+k4为定值；（3）在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上取一点E，若EF1、EF2的斜率分别为、，求的取值范围．21．设T n为数列{a n}的前n项的积，即T n=a1•a2…•a n．（1）若T n=n2，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足T n=（1﹣a n）（n∈N*），证明数列{}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（3）数列{a n}共有100项，且满足以下条件：①a1•a2…•a100=2；②a1•a2…•a k+a k+1•a k+2…a100=k+2（1≤k≤99，k∈N*）．（Ⅰ）求a5的值；（Ⅱ）试问符合条件的数列共有多少个？为什么？2017年上海市七宝中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一.填空题1．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为[﹣2，0] ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】判断出cosx∈[﹣1，1]，从而求出f（cosx）的值域即可．【解答】解：∵f（x）的定义域是[﹣1，1]，值域是[﹣2，0]，而cosx∈[﹣1，1]，故f（cosx）的值域是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．2．5051﹣1被7除后的余数为0．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】根据5051﹣1=（49+1）51﹣1，按照二项式定理展开，可得它除以7的余数．【解答】解：5051﹣1=（49+1）51﹣1=•4951+•4950+•4949+…+•49+﹣1，显然，除了最后两项外，其余的各项都能被7整除，故它除以7的余数为﹣1=0，故答案为：0．3．已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是3x﹣4y+5=0．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】利用参数方程与普通方程的互化，消去参数求解即可．【解答】解：直线l的参数方程是（t为参数），可得，可得3x﹣4y+5=0．故答案为：3x﹣4y+5=0．4．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为0.388（结果用小数表示）【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】一天内至少有一台游戏机不需要维护的对立事件是三台都需要维护，由此利用对立事件概率计算公式能求出一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率．【解答】解：一天内至少有一台游戏机不需要维护的对立事件是三台都需要维护，∴一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率：p=1﹣0.9×0.8×0.85=0.388．故答案为：0.388．5．地球的半径为R，在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°西经60°有一座城市B，则坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离是．（飞机的飞行高度忽略不计）【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】欲求坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可．A、B两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离．即可得到答案．【解答】解：由已知地球半径为R，则北纬45°的纬线圈半径为R，又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，故连接两座城市的弦长L=R=R，则A，B两地与地球球心O连线的夹角∠AOB=，则A、B两地之间的距离是．故答案为：．6．如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为1．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．【分析】直接利用复数的几何意义，直接求解即可．【解答】解：复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），复数z的几何意义是到虚轴上的点到（0，1），（0，﹣1）的距离之和，|z|的最大值为：1，故答案为：1．7．已知定义在R上的增函数y=f（x）满足f（x）+f（4﹣x）=0，若实数a、b满足不等式f（a）+f（b）≥0，则a2+b2的最小值是8．【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】根据函数的单调性将不等式组进行转化，结合线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=﹣f（4﹣x），∴﹣f（x）=f（4﹣x），∴f（a）+f（b）≥0可化为f（a）≥﹣f（b）=f（4﹣b），又∵f（x）在R上单调递增，∴a≥4﹣b，即a+b﹣4≥0，a2+b2表示点（0，0）到点（a，b）的距离平方，∴a2+b2的最小值是点（0，0）到直线a+b﹣4＞0的距离平方．故答案为：88．已知点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点（包括边界），则的取值范围是．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．设P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．可得=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+1=++=f（x，y）．即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．A1（0，0，0），A（0，0，1），C（1，1，1），设P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．=（﹣x，﹣y，1），=（1﹣x，1﹣y，1），∴=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+1=++=f（x，y）．当x=，y=时，f（x，y）取得最小值．当点P取（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），f（x，y）取得最大值1．∴f（x，y）∈．故答案为：．9．椭圆（a＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，则△FAB的周长的最大值是8a．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的右焦点为M，则△FAB的周长AF+FB+AB≤FA+AM+FB+BM=8a 即可．【解答】解：如图，设椭圆的右焦点为M，由椭圆的方程得椭圆的长轴为2×2a=4a，△FAB的周长AF+FB+AB≤FA+AM+FB+BM=2×2a+2×2a=8a，故答案为：8a10．已知函数，（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．【考点】2H：全称命题．【分析】求出x2∈[0，2]时f（x2）的值域，x1∈[0，2]时g（x1）的值域；根据题意得出关于a的不等式组，求出a的取值范围．【解答】解：函数=﹣4+，（a＞0），x2∈[0，2]，x2+1∈[1，3]，∴∈[3，9]，∴﹣4+∈[﹣1，5]，即f（x2）∈[﹣1，5]；又x1∈[0，2]，x1∈[0，]，sin（x1）∈[0，1]，∴g（x）=asin（x1）+2a∈[a，3a]；对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，等价于，解得﹣1≤a≤；又a＞0，∴实数a的取值范围是0＜a≤．故答案为：（0，]．11．在直角坐标平面上，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．点M 是线段AD上的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是．【考点】IR：两点间的距离公式；7F：基本不等式．【分析】设M（x，y），由题意可得y=，代入距离公式可得x2+（y﹣2）2≤4[x2+（y﹣1）2]，消掉y可得（3t2+12）x2﹣16tx+4t2≥0恒成立，进而可得其△≤0，解此不等式可得t的范围，进而可得最小值．【解答】解：设M（x，y），则由A、M、D三点共线可得，整理可得y=，由两点间的距离公式，结合|AM|≤2|BM|恒成立可得x2+（y﹣2）2≤4[x2+（y ﹣1）2]，整理可得3x2+3y2﹣4y≥0，代入y=化简可得（3t2+12）x2﹣16tx+4t2≥0恒成立，∵3t2+12＞0，由二次函数的性质可得△=（﹣16t）2﹣4（3t2+12）•4t2≤0，整理可得3t4﹣4t2≥0，即，解得t≥，或t≤（因为t＞0，故舍去）故正实数t的最小值是：故答案为：12．设ω为正实数，若存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得cosωa+cosωb=2，则ω的取值范围是{2}∪[3，+∞）．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】运用三角函数的有界性，结合三角函数的周期性，分析得到答案．【解答】解：要cosωa+cosωb=2，则有cosωa=cosωb=1；余弦函数y=cosx图象如下：可知，当x=2kπ时，cosx=1，∵cosωa+cosωb=2，π≤a＜b≤2π），∴必有ωa=2kπ，ωb=2kπ+nπ，（k，n∈N+∴），得到k+1≤ω≤2k（k∈N+①k=1时，ω=2，②k=2时，3≤ω≤4，③k=3时，4≤ω≤6，④k=4时，5≤ω≤8，…可得ω的取值范围为{2}∪[3，+∞）．二.选择题13．若z∈C，i为虚数单位，且，则复数z等于（）A．B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），且，可得+i=﹣i，因此=，=﹣，解出即可得出．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），且，则+i=﹣i，∴=，=﹣，联立解得a=，b=﹣．∴z=﹣i ， 故选：B ．14．设M={a |a=x 2﹣y 2，x ，y ∈Z }，则对任意的整数n ，形如4n ，4n +1，4n +2，4n +3的数中，不是集合M 中的元素是（ ） A ．4n B ．4n +1C ．4n +2D ．4n +3【考点】12：元素与集合关系的判断． 【分析】根据平方差公式凑数判断．【解答】解：∵4n=（n +1）2﹣（n ﹣1）2，∴4n ∈M ， ∵4n +1=（2n +1）2﹣（2n ）2，∴4n +1∈M ， ∵4n +3=（2n +2）2﹣（2n +1）2，∴4n +3∈M ， 若4n +2∈M ，则存在x ，y ∈Z 使得x 2﹣y 2=4n +2， ∴4n +2=（x +y ）（x ﹣y ）， ∵x +y 和x ﹣y 的奇偶性相同，若x +y 和x ﹣y 都是奇数，则（x +y ）（x ﹣y ）为奇数，而4n +2是偶数；若x +y 和x ﹣y 都是偶数，则（x +y ）（x ﹣y ）能被4整除，而4n +2不能被4整除，∴4n +2∉M ． 故选C ．15．直线l 在平面α内，直线m 平行于平面α，且与直线l 异面，动点P 在平面α上，且到直线l 、m 距离相等，则点P 的轨迹为（ ） A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】作出直线m 在平面α内的射影直线n ，假设l 与n 垂直，建立坐标系，求出P 点轨迹即可得出答案．【解答】解：设直线m 在平面α的射影为直线n ，则l 与n 相交， 不妨设l 与n 垂直，设直线m 与平面α的距离为d ， 在平面α内，以l ，n 为x 轴，y 轴建立平面坐标系，则P到直线l的距离为|y|，P到直线n的距离为|x|，∴P到直线m的距离为，∴|y|=，即y2﹣x2=d2，∴P点轨迹为双曲线．故选：D．16．设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，]B．[，] C．（，）D．[0，]【考点】3T：函数的值；12：元素与集合关系的判断．【分析】利用当x0∈A时，f[f （x0）]∈A，列出不等式，解出x0的取值范围．【解答】解：∵0≤x0＜，∴f（x0）=x0 +∈[，1]⊆B，∴f[f（x0）]=2（1﹣f（x0））=2[1﹣（x0+）]=2（﹣x0）．∵f[f（x0）]∈A，∴0≤2（﹣x0）＜，∴＜x0≤．又∵0≤x0＜，∴＜x0＜．故选C．三.简答题17．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中点，E是棱CC1上任意一点．（1）证明：BD⊥A1E；（2）如果AB=2，，OE⊥A1E，求AA1的长．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】（1）连结AC，A1C1，证明BD⊥平面ACC1A1得出BD⊥A1E；（2）设AA1=a，求出△A1OE的边长，利用勾股定理列方程解出a．【解答】解：（1）证明：连结AC，A1C1，∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又AC∩AA1=A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1E．（2）∵AB=2，∴AO=CO=，A1C1=2，设AA1=a，则C1E=a﹣，∴OE2=2，A1O2=a2+2，A1E2=（a﹣）2+8=a2﹣2a+10，∵OE⊥A1E，∴A1O2=OE2+A1E2，即a2+2=2+a2﹣2a+10，解得a=．∴AA1=．18．如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口E是AB的中点，F、G分别落在AD、BC上，且AB=20m，，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当θ为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角函数定义表示出EG和FE的长度，利用勾股定理可得长度FG．三边之和可得污水管道的长度l．（2）根据（1）中的关系式利用三角函数公式化简，利用三角函数的有界限可得l的最大值，即污水净化效果最好．【解答】解：（1）由题意，∠GEB=θ．∠GEF=90°．则∠AEF=90°﹣θ，E是AB的中点，AB=20m，，∴EG=，EF==．FG==则定义域：；（2）由（1）可知则，；化简可得l=，令t=sinθ+cosθ=sin（）．∵；∴∈[，]，可得sin（）∈[，1]则：t∈[，]可得：sinθcosθ=，且t≠1．那么：l===．当t=时，长度l取得最大值为；此时：t=sin（）=，即=或∴或，故得或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为；19．若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域均存在唯一的x2，满足f（x1）f（x2）=1，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断，y=2x是否为“依赖函数”；（2）若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，求a的值，并给出证明．【考点】57：函数与方程的综合运用；3T：函数的值．【分析】（1）根据“依赖函数”的定义进行判断即可，（2）函数y=a+sinx（a＞1）为增函数，且函数关于（0，a）对称，若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，则只需要函数的最大值和最小值满足f （x1）f（x2）=1即可，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）函数，由f（x1）f（x2）=1，得=1，即x12x22=1，对应的x1、x2不唯一，所以，x﹣2不是“依赖函数”；对于函数y=2x，由f（x1）f（x2）=1，得2=1，得x1+x2=0，所以x2=﹣x1，可得定义域内的每一个值x1，都存在唯一的值x2满足条件，故函数y=2x是“依赖函数”．（2）当时，函数y=a+sinx（a＞1）为增函数，且函数关于（0，a）对称，若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，则只需要函数的最大值和最小值满足f（x1）f（x2）=1即可，则函数的最大值为a+1，最小值为a﹣1，则由（a+1）（a﹣1）=1得a2﹣1=1，得a2=2，得a=．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴的两顶点为A、B，左右焦点分别为F1、F2，焦距为2c且a=2c，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在双曲线上取点Q（异于顶点），直线OQ与椭圆C交于点P，若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，试证明：k1+k2+k3+k4为定值；（3）在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上取一点E，若EF1、EF2的斜率分别为、，求的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的通径公式及a=2c，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程方程；（2）根据直线的斜率公式，求得k1+k2=﹣，k3+k4=，由与共线，则=，即可求得k1+k2+k3+k4=0；（3）EF1的斜率=，（y2＞且y≠﹣2），EF2的斜率=，（y2＞且y≠2），则=，（y2＞且y≠±2），根据函数单调性即可求得的取值范围．【解答】解：（1）由题意a=2c，椭圆的通径丨AB丨==3，a2=b2+c2，则a=2，b=，c=1，∴椭圆的标准方程：；（2）由（1）可知：A（﹣2，0），B（2，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x1，y1），则，则x12﹣4=﹣，k1+k2=+===﹣，设Q（x2，y2），则，则x12﹣4=，则k3+k4=+===，又与共线，∴x1=λx2，y1=λy2，∴=，k1+k2+k3+k4=（﹣+）=0；（3）设E（，y），由，解得：，由E在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上一点，则y2＞，则EF1的斜率=，（y2＞且y≠﹣2），EF2的斜率=，（y2＞且y≠2）则=×==，（y2＞且y≠±2）则=，（y2＞且y≠±2）令t=y2，（t＞且t≠4，）设f（t）==﹣，（t＞且t≠4，），求导f′（t）=+＞0∴f（t）在（，4），（4，+∞）上单调递增，∴f（t）的取值范围（﹣，0）∪（0，+∞）∴的取值范围．21．设T n为数列{a n}的前n项的积，即T n=a1•a2…•a n．（1）若T n=n2，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足T n=（1﹣a n）（n∈N*），证明数列{}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（3）数列{a n}共有100项，且满足以下条件：①a1•a2…•a100=2；②a1•a2…•a k+a k+1•a k+2…a100=k+2（1≤k≤99，k∈N*）．（Ⅰ）求a5的值；（Ⅱ）试问符合条件的数列共有多少个？为什么？【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）利用作商法求a n；（2）利用等差数列的定义证明数列{}为等差数列，并求得{a n}的通项公式；（3）（Ⅰ）由题意联立方程组求得T4，T5，则a5=即得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得T k是方程x2﹣（k+2）x+2=0的一个实根（△＞0），当数列前k（2≤k≤98）项确定后，其前k项积T k确定，由T k+1可得到两个a k+1，即得符合条件的数列共有299个．【解答】解：（1）当n=1时，a1=T1=1；当n≥2时，a n==，∴a n=…（2）当n=1时，a1=T1=（1﹣a1），所以a1=，当n≥2时，2T n=1﹣a n=1﹣，所以﹣=2，数列{}为等差数列…=3+2（n﹣1）=2n+1，T n=，a n=1﹣2T n=…（3）（Ⅰ）由a1•a2…•a100=2，a1•a2…•a4+a5•a6…a100=6；可得T4=3±，由a1•a2…•a100=2，a1•a2…a5+a6•a7…a100=7，可得T5=，所以a5==或a5=．…（Ⅱ）a1+a2…•a100=3，所以a1=1或2T k是方程x2﹣（k+2）x+2=0的一个实根（△＞0），当数列前k（2≤k≤98）项确定后，其前k项积T k确定，由T k+1可得到两个a k+1所以符合条件的数列共有299个．…2017年6月18日。
上海市17年高考数学模拟试卷(3)(含解析)
2017年上海中学高考数学模拟试卷（3）一、填空题1．复数的虚部是．2．已知函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=ƒ（log2x）的定义域为．3．自圆x2+y2=4上点A（2，0）引此圆的弦AB，则弦的中点的轨迹方程为．4．已知函数，则方程f2（x）﹣f（x）=0的实根共有．5．在的取值范围为．6．已知函数对定义域内的任意x的值都有﹣1≤f（x）≤4，则a的取值范围为．7．函数f（x）=a（x+2）2﹣1（a≠0）的图象的顶点A在直线mx+ny+1=0上，其中m•n＞0，则的最小值为．8．一个四面体的各个面都是边长为的三角形，则这个四面体体积为．9．考察下列一组不等式：23+53＞22•5+2•52，24+54＞23•5+2•53，25+55＞23•52+22•53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是．10．关于x的方程2x2+3ax+a2﹣a=0至少有一个模为1的复数根，则实数a的所有可能值为．11．已知不等式对大于1的自然数n都成立，则实数a的取值范围为．12．在一个给定的正（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为．二、选择题13．已知，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．C．D．14．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC 的关系为（）A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点15．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）=lga+lgb，则lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值（）A．等于1 B．等于lg2 C．等于0 D．不是常数16．对b＞a＞0，取第一象限的点A k（x k，y k）（k=1，2，…，n），使a，x1，x2，…，x n，b 成等差数列，且a，y1，y2，…，y n，b成等比数列，则点A1，A2，…，A n与射线L：y=x（x ＞0）的关系为（）A．各点均在射线L的上方 B．各点均在射线L的上面C．各点均在射线L的下方 D．不能确定三、解答题17．已知函数与g（x）=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3的图象在（0，π）内至少有一个公共点，求a的取值范围．18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求a的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求异面直线CD和PB所成角大小；（2）求直线CD和平面ABE所成角大小．20．设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），函数（1）证明f（x）在区间（α，β）上是增函数；（2）当a为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．21．现有流量均为300m3/s的两条河流A，B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2kg/m3和0.2kg/m3．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流往相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒内交换100m3的水量，其交换过程为从A股流入B股100m3的水量，经混合后，又从B股流入A股100m3水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3．（不考虑泥沙沉淀）．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且||=2．（1）求椭圆方程；（2）对于x轴上的某一点T，过T作不与坐标轴平行的直线L交椭圆于P、Q两点，若存在x轴上的点S，使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，我们称S为T的一个配对点，当T为左焦点时，求T 的配对点的坐标；（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？2017年上海中学高考数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一、填空题1．复数的虚部是．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可求出复数的虚部．【解答】解：复数===﹣+i．复数的虚部为：；故答案为：．2．已知函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=ƒ（log2x）的定义域为．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】由函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，知．所以在函数y=ƒ（log2x）中，，由此能求出函数y=ƒ（log2x）的定义域．【解答】解：∵函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1，∴．∴在函数y=ƒ（log2x）中，，∴．故答案为：[]．3．自圆x2+y2=4上点A（2，0）引此圆的弦AB，则弦的中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1，（x≠2）．【考点】J3：轨迹方程．【分析】设出AB的中点坐标，利用中点坐标公式求出B的坐标，据B在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．【解答】解：设AB中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，B点坐标为（2x﹣2，2y）．∵B点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AB中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．不包括A点，则弦的中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1，（x≠2）故答案为：（x﹣1）2+y2=1，（x≠2）．4．已知函数，则方程f2（x）﹣f（x）=0的实根共有7个．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求解方程f2（x）﹣f（x）=0，可得f（x）=0或f（x）=1．画出函数的图象，数形结合得答案．【解答】解：由f2（x）﹣f（x）=0，得f（x）=0或f（x）=1．画出函数的图象如图，由图可知，f（x）=0可得x有3个不同实根；f（x）=1可得x有4个不同实根．∴方程f2（x）﹣f（x）=0的实根共有7个．故答案为：7个．5．在的取值范围为 （1，3） ．【考点】HQ ：正弦定理的应用．【分析】根据正弦定理可得到，结合∠C=3∠B 根据两角和的正弦公式和二倍角公式可得整理得到，再由∠B 的范围即可得到的取值范围．【解答】解：根据正弦定理，，得====4cos 2B ﹣1由∠C=3∠B ，4∠B ＜180°，故0°＜∠B ＜45°，cosB ∈（，1）故4cos 2B ﹣1∈（1，3）． 故答案为：（1，3） 6．已知函数对定义域内的任意x 的值都有﹣1≤f （x ）≤4，则a 的取值范围为 [﹣4，4] ．【考点】34：函数的值域．【分析】将已知条件转化为恒成立，恒成立，令两个二次不等式的判别式小于等于0即得到答案． 【解答】解：根据题意得：恒成立，所以恒成立所以解得﹣4≤a ≤4 故答案为[﹣4，4]．7．函数f （x ）=a （x+2）2﹣1（a ≠0）的图象的顶点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m•n＞0，则的最小值为8 ．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先根据二次函数求出顶点坐标，然后代入直线方程可得2m+n=1，然后中的1用2m+n代入，2用4m+2n代入化简，利用基本不等式可求出最小值．【解答】解：由题意可得顶点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2 =8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．8．一个四面体的各个面都是边长为的三角形，则这个四面体体积为 2 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】考虑一个长方体ABCD﹣A1B1C1D1，其四个顶点就构成一个四面体AB1CD1恰好就是每个三角形边长为，利用长方体的体积减去4个角的体积即可．【解答】解：设长方体ABCD﹣A1B1C1D1三棱分别是a，b，c，于是列出方程 a2+b2=5，b2+c2=10，c2+a2=13 于是解出 a2=4，b2=1，c2=9，a=2，b=1，c=3，即对于三棱分别为1，2，3的长方体去掉4个角就得到题中要求的四面体．于是，所求四面体体积为：长方体体积﹣4个角上直四面体体积=1×2×3=2．故答案为：2．9．考察下列一组不等式：23+53＞22•5+2•52，24+54＞23•5+2•53，25+55＞23•52+22•53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n ．【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中的式子变形得22+1+52+1＞22•51+21•52（1）23+1+53+1＞23•51+21•53（2）观察会发现指数满足的条件，可类比得到2m+n+5m+n＞2m5n+2n5m，使式子近一步推广得2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n ﹣k，n≥3，1≤k≤n【解答】解：22+1+52+1＞22•51+21•52（1）23+1+53+1＞23•51+21•53（2）观察（1）（2）（3）式指数会发现规律，则推广的不等式可以是：2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n故答案为：2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n．10．关于x的方程2x2+3ax+a2﹣a=0至少有一个模为1的复数根，则实数a的所有可能值为．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】原方程的根是实根与虚根讨论：（1）对于方程 2x2+3ax+a2﹣a=0 若方程有实根，（2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ﹣isinθ，分别求出a的值，从而得到答案．【解答】解：（1）对于方程 2x2+3ax+a2﹣a=0 若方程有实根，则实根中有一个根为1或﹣1，△=9a2﹣8（a2﹣a）=a（a+8）≥0，得a≤﹣8或a≥0，将x=1代入方程，得2+3a+a2﹣a=0，即a2+2a+2=0，a无实根；将x=﹣1代入方程，得2﹣3a+a2﹣a=0，即a2﹣4a+2=0，得a=2±（2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ﹣isinθ，△=9a2﹣8（a2﹣a）=a（a+8）＜0，得﹣8＜a＜0 由韦达定理，有 cosθ+isinθ+cosθ﹣isinθ=2cosθ=﹣a，得cosθ=﹣a，（cosθ+isinθ）（cosθ﹣isinθ）=cos2θ+sin2θ=1=（a2﹣a），即（a+1）（a﹣2）=0，⇒a=2或a=﹣1，a=﹣1时，cosθ=∈[﹣1，1]；a=2不在﹣8＜a＜0的范围内，舍去．∴a=﹣1故答案为：a=2±或﹣111．已知不等式对大于1的自然数n都成立，则实数a的取值范围为．【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】设S n=，（n≥2），由已知，只需小于Sn的最小值，利用作差法得出Sn随n的增大而增大，当n=2时Sn取得最小值，再解对数不等式即可．【解答】设S n=，（n≥2）则S n+1=Sn+1﹣Sn==＞0，∴Sn随n的增大而增大．当n=2时，Sn取得最小值，S2=∴恒成立．移向化简整理得log a（a﹣1）＜﹣1．①根据对数的真数为正得：a﹣1＞0，a＞1，①再根据对数函数单调性得a﹣1＜，a2﹣a﹣1＜0，②①②联立解得故答案为：12．在一个给定的正（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】从（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点中取3个的所有不同的取法有C2n+13，每种取法等可能出现，属于古典概率，正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部，若第一个点取的就是点2n+1，对于第二个点分类考虑：第二个点取取的是点1，第二个点取的是点2…第二个点取的是m，第二个点取的是点n，再考虑第三个点的所有取法，利用古典概率的公式可求．【解答】解：不妨设以时钟12点方向的顶点为点2n+1，顺时针方向的下一个点为点1，则以时钟12点和6点连线为轴，左右两边各有n个点．多边形中心位于三角形内部的三角形个数a：假设第一个点取的就是点2n+1，则剩下的两点必然在轴线的一左一右．对于第二个点取的是点1，对于第二个点取的是点2，第三个点能取点n+1、点n+2，有2种…对于第二个点取的是点m，第三个点能取点n+1、点n+2…点n+m，有m种…对于第二个点取的是点n，第三个点能取点n+1，点n+2…点2n，有n种一共1+2+…n=（n+1）n种如果第二个点取的是点n+1到点2n，可视为上述情况中的第三个点．所以a=（n+1）n×（2n+1）=（2n+1）（n+1）n一共可构成三角形个数b=（2n+1）n（2n﹣1）∴P==故答案为：二、选择题13．已知，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．C．D．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【分析】由题意，可先化简集合A，再由A∪B=A得B⊆A，由此对B的集合讨论求a，由于集合B可能为空集，可分两类探讨，当B是空集时，与B不是空集时，分别解出a的取值范围，选出正确选项【解答】解：由题意，，由A∪B=A得B⊆A又B={x|x2﹣2ax+a+2≤0}当B是空集时，符合题意，此时有△=4a2﹣4a﹣8＜0解得﹣1＜a＜2当B不是空集时，有解得2≤a≤综上知，实数a的取值范围是故选D14．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC 的关系为（）A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论．【解答】解：∵，∴，∴，∴P是AC边的一个三等分点．故选项为D15．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）=lga+lgb，则lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值（）A．等于1 B．等于lg2 C．等于0 D．不是常数【考点】4H：对数的运算性质．【分析】由lg（a+b）=lga+lgb，知lg（a+b）=lg（ab）=lga+lgb，所以a+b=ab，由此能求出lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值．【解答】解：∵lg（a+b）=lga+lgb，∴lg（a+b）=lg（ab）=lga+lgb，∴a+b=ab，∴lg（a﹣1）+lg（b﹣1）=lg[（a﹣1）×（b﹣1）]=lg（ab﹣a﹣b+1）=lg[ab﹣（a+b）+1]=lg（ab﹣ab+1）=lg1=0．故选C．16．对b＞a＞0，取第一象限的点A k（x k，y k）（k=1，2，…，n），使a，x1，x2，…，x n，b 成等差数列，且a，y1，y2，…，y n，b成等比数列，则点A1，A2，…，A n与射线L：y=x（x ＞0）的关系为（）A．各点均在射线L的上方 B．各点均在射线L的上面C．各点均在射线L的下方 D．不能确定【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】先由等差数列的通项公式，求出x k=，再由等比数列的通项公式，求出y k=a，最后作差即可证明各点均在射线L的下方【解答】解：依题意，设数列{x n}的公差为d，由b=a+（n+1）d，得d=∴x k=a+kd=a+设数列{y n}的公比为q，由b=aq n+1，得∴y k=aq k=a∵y k﹣x k=a﹣a﹣＜0∴各点Ak均在射线L：y=x（x＞0）的下方故选C三、解答题17．已知函数与g（x）=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3的图象在（0，π）内至少有一个公共点，求a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】要使f（x）与g（x）的图象在（0，π）内至少有一个公共点可转化成f（x）=g（x）在（0，π）内至少有一个解，然后根据三角函数公式进行化简整理，将a分离出来，求出另一侧的取值范围即可求出所求．【解答】解：∵函数与g（x）=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3的图象在（0，π）内至少有一个公共点，∴=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3在（0，π）内至少有一个解即sin﹣sin=2sin [cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3]∴2cos sinx=2sin [cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3]2cos cos=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3cos2x+cosx=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3∴a=（1+cosx）+令1+cosx=t，t∈（0，2）∴a≥2∴a的取值范围是[2，+∞）18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求a的值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后，由sinA不为0，即可得到cosB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，配方后把b，a+c及cosB的值代入，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：（1）由正弦定理得===2R，得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入=﹣，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，化简得：2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，∵sinA≠0，∴cosB=﹣，又∵角B为三角形的内角，∴B=；（2）将b=，a+c=4，B=，代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得13=a2+（4﹣a）2﹣2a（4﹣a）cos，∴a2﹣4a+3=0，∴a=1或a=3．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求异面直线CD和PB所成角大小；（2）求直线CD和平面ABE所成角大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角．【分析】分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（1）设异面直线CD和PB所成角为α，用向量表示CD和PB，再利用公式可求．（2）先求平面ABE的法向量，再利用公式求解．【解答】解：由题意，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴．设PA=a，则P（0，0，a），B（a，0，0），，（1）设异面直线CD和PB所成角为α∴∴异面直线CD和PB所成角为（2）设直线CD和平面ABE所成角为βPA=AB=BC，∠ABC=60°，故PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC，PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．又CD⊥AC，PA∩AC=A，故CD⊥面PAC，AE⊆面PAC，故CD⊥AE．从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE．∵，∴∴直线CD和平面ABE所成角为．20．设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），函数（1）证明f（x）在区间（α，β）上是增函数；（2）当a为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】（1）设Φ（x）=2x2﹣ax﹣2，则当α＜x＜β时，Φ（x）＜0，利用f′（x）的符号进行判定函数的单调性即可；（2）运用方程的根，求得f（α）•f（β）==﹣4＜0，可知函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，而f（α）•f（β）=﹣4，则当f（β）=﹣f（α）=2时，f（β）﹣f（α）取最小值，从而得到结论．【解答】解：（1）证明：设Φ（x）=2x2﹣ax﹣2，则当α＜x＜β时，Φ（x）＜0．f′（x）==﹣＞0，∴函数f（x）在（α，β）上是增函数．（2）由关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），可得α=，β=，f（α）==，f（β）=，即有f（α）•f（β）==﹣4＜0，函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，∴当且仅当f（β）=﹣f（α）=2时，f（β）﹣f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，此时a=0，f（β）=2．当a=0时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．21．现有流量均为300m3/s的两条河流A，B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2kg/m3和0.2kg/m3．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流往相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒内交换100m3的水量，其交换过程为从A股流入B股100m3的水量，经混合后，又从B股流入A股100m3水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3．（不考虑泥沙沉淀）．【考点】8B：数列的应用．【分析】我们设第n个观测点A股水流含沙量为a n，B股水流含沙量为b n．由已知我们易得{a n﹣b n}是以a1﹣b1为首项，为公比的等比数列．求出数列的通项公式后，构造不等式，解不不等式，即可得到结论．【解答】解：设第n个观测点A股水流含沙量为a n kg/m3，B股水流含沙量为b n．a n=即：a n﹣b n=（a n﹣1﹣b n﹣1）∴{a n﹣b n}是以a1﹣b1为首项，为公比的等比数列．a n﹣b n=1.8•解不等式1.8•＜10﹣2得2n﹣1＞180，又由n正整数，∴n≥9因此，从第9个观测点开始，两股水流含沙量之差小于0.01kg/m3．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且||=2．（1）求椭圆方程；（2）对于x轴上的某一点T，过T作不与坐标轴平行的直线L交椭圆于P、Q两点，若存在x轴上的点S，使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，我们称S为T的一个配对点，当T为左焦点时，求T 的配对点的坐标；（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）设椭圆的顶点为P，由||=2=2c可得c=1，由PF1=PF2=2结合椭圆的定义可得2a，结合b2=a2﹣c2可求椭圆的方程（2）可设过T的直线方程为y=k（x+1），（k≠0），联立椭圆方程整理可得（3+4k2）x2+8k2x+4（k2﹣3）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），S （a，0），由∠PST=∠QST 可得k PS=﹣K QS即，结合方程的根与系数的关系代入可求a（3）设T（x0，0），直线PQ的方程y=k（x﹣x0），S （a，0），使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，则T必须在P，Q 之间即﹣2＜x0＜2同（2）的整理方法，联立直线与椭圆方程由∠PST=∠QST可得，2x1x2﹣（a+x0）（x1+x2）+2ax0=0，同（2）的方法一样代入可求【解答】解：（1）设椭圆的顶点为P，由||=2=2c可得c=1PF1=PF2=2可得2a=4∴a=2，b2=a2﹣c2=3椭圆的方程为：（2）∵T（﹣1，0），则过可设过T的直线方程为y=k（x+1），（k≠0），联立椭圆方程整理可得（3+4k2）x2+8k2x+4（k2﹣3）=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），S （a，0），则，∵∠PST=∠QST∴k PS=﹣K QS∴∴整理可得2x1x2+（1﹣a）（x1+x2）﹣2a=0即∴a=﹣4（3）设T（x0，0），直线PQ的方程y=k（x﹣x0），S （a，0）使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，则T必须在P，Q 之间即﹣2＜x0＜2同（2）的整理方法，联立直线与椭圆方程可得，，由∠PST=∠QST可得，2x1x2﹣（a+x0）（x1+x2）+2ax0=0同（2）的方法一样代入可求a=。
2017年上海中学高考数学模拟试卷(1)+Word版含解析
2017年上海中学高考数学模拟试卷（1）一、填空题1．定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=．2．如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于．3．若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=．4．（文）若，则目标函数z=2x+y的最小值为．5．已知a＜0，则关于x的不等式的解集为．6．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为．7．数列{a n}满足：a n=，它的前n项和记为S n，则S n=．8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为．9．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是．10．在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为．11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．12．若函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于（精确到0.1）．13．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）二．选择题14．若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（）A．B．C．D．15．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin （B+）+316．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上17．数列{a n}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032 B．5044 C．5048 D．5050三．解答题18．已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．19．设虚数z满足|2z+15|=|+10|．（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．20．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．21．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n年该公司付给职工工资总额y（万元）表示成年限n的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p的最小值．22．已知函数f（x）=（|x|﹣b）2+c，函数g（x）=x+m．（1）当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；（2）当c=﹣3，m=﹣2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．23．若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．2017年上海中学高考数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一、填空题1．定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=0．【考点】3Q：函数的周期性；3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），又根据f（x）是以2为周期的周期函数得f（x+2）=f（x），取x=﹣1可求出f（1）的值．【解答】解：∵f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（1）=f（﹣1），又函数f（x）是奇函数，∴﹣f（1）=f（﹣1）=f（1），∴f（1）=f（﹣1）=0故答案为：02．如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于0．【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的代数标准形式，根据实部和虚部互为相反数，得到实部和虚部和为0，得到结果．【解答】解：∵===，∵实部和虚部互为相反数，∴，∴，∴b=0，故答案为：03．若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=5．【考点】DC：二项式定理的应用．=C n r（2x）r=2r C n r x r分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系【分析】由题意可得T r+1数，从而可求=C n r（2x）r=2r C n r x r【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，T r+1令r=3可得含x3项的系数为：8C n3，令r=1可得含x项的系数为2C n1∴8C n3=8×2C n1∴n=5故答案为：54．（文）若，则目标函数z=2x+y的最小值为4．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点A（1，2）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，A（1，2），（4，2），C（1，5），则目标函数z=2x+y的最小值为4．故答案为：4．5．已知a＜0，则关于x的不等式的解集为（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．【考点】R2：绝对值不等式．【分析】把不等式转化为0＜|x+a|＜﹣3a，利用绝对值不等式的几何意义，即可求出不等式的解集．【解答】解：因为a＜0，则关于x的不等式，所以不等式0＜|x+a|＜﹣3a，根据绝对值不等式的几何意义：数轴上的点到﹣a的距离大于0并且小于﹣3a，可知不等式的解集为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．故答案为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．6．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10，根据椭圆方程求得焦距，利用内切圆的性质把三角形PF1F2分成三个三角形分别求出面积，再利用面积相等建立等式求得P点纵坐标．【解答】解：根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10，|F1F2|=6，令内切圆圆心为O则=++=（|PF1|r+|PF2|r+|F1F2|r）=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•1=8又∵=|F1F2|•y P=3y P．所以3y p=8，y p=．故答案为7．数列{a n}满足：a n=，它的前n项和记为S n，则S n=．【考点】8E：数列的求和；6F：极限及其运算．【分析】先分奇数与偶数分别求前n项和记为S n，再求它们的极限．【解答】解：当n=2k时，当n=2k+1时，∴S n=故答案为8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】把城市A被选中的情况和城市A未被选中的情况都找出来，即可得到城市A被选中的概率．【解答】解：从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的情况有：ACE、ACF、ACG、ACH、ADF、ADG、ADH、AEG、AEH、AFH，共10种．则城市A未被选中的情况有：BDF、BDG、BDH、BEG、BEH、BFH、CEG、CEH、CFH、DFH 共10种．故城市A被选中的概率为：=，故答案为：．9．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∪{0} ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】据题意设y1=，y2=﹣kx+2，画出函数y1=图象，结合图象，即可得到k的取值范围．【解答】解：根据题意设y1=，y2=﹣kx+2，当k=0时，方程只有一个解x=0，满足题意；当k≠0时，根据题意画出图象，如图所示：根据图象可知，当﹣k＞1或﹣k＜﹣1时，直线y=﹣kx+2与y=只有一个交点，即方程只有一个解，综上，满足题意k的取值范围为k=0或k＞1或k＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∪{0}10．在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP：正弦定理．【分析】由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，根据海仑公式得：16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，再结合二次函数的性质求出答案即可．【解答】解：由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，所以设p=所以根据海仑公式得：S==，所以16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，当a2=12时，即当a=2时，△ABC的面积有最大值，并且最大值为2．故答案为．11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．【考点】L3：棱锥的结构特征；L2：棱柱的结构特征．【分析】先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．【解答】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6=×6×6×6=72∴V四棱锥P﹣ABCD∵棱长为12的正方体体积为12×12×12=1728∵，∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．故答案为2412．若函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于8.4（精确到0.1）．【考点】4R：反函数．【分析】根据题意画出图形，如图，设A（x，a x），函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0 对称，得出点A到直线y=x的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式及A（x，a x）在函数y=的图象上得到a=（）≈8.4即可．【解答】解：根据题意画出图形，如图，设A（x，a x），∵函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0 对称，∴|AB|=，⇒点A到直线y=x的距离为，∴⇒a x﹣x=2，①又A（x，a x）在函数y=的图象上，⇒a x=，②由①②得：﹣x=2⇒x=，∴a﹣（﹣1）=2，⇒a=（）≈8.4故答案为：8.4．13．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）【考点】F3：类比推理；LL：空间图形的公理．【分析】由题意可得：•=0，即与垂直，设D为BC的中点，则=，可得=，即可得到，进而得到点P在BC的垂直平分线上，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：•=﹣||+||=0∴与垂直设D为BC的中点，则=，所以，所以=，因为与垂直所以，又∵点D为BC的中点，∴点P在BC的垂直平分线上，即P的轨迹会通过△ABC的外心．故答案为：．二．选择题14．若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（）A．B．C．D．【考点】H5：正弦函数的单调性；HA：余弦函数的单调性．【分析】可把A，B，C，D四个选项中的值分别代入题设中进行验证，只有D项的符合题意．【解答】解：y=cos2x在区间上是减函数，y=sin（x+）[0，]上单调增，在[，]上单调减，故排除A．y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除B．y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除C．在区间上也是减函数，故选D．15．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin （B+）+3【考点】HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理分别求得AC和AB，最后三边相加整理即可得到答案．【解答】解：根据正弦定理，∴AC==2sinB，AB==3cosB+sinB∴△ABC的周长为2sinB+3cosB+sinB+3=6sin（B+）+3故选D．16．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上【考点】IH：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M、N在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a与c的关系，从而可判定点P（c，），Q（，b）和l 的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上∴a+=1，b+=1则b=即+=1化简得c+=1∴点P（c，）在直线l上而b+=1则Q（，b）在直线l上故选A．17．数列{a n }满足：a 1=，a 2=，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1对任何的正整数n 都成立，则的值为（ ） A ．5032B ．5044C ．5048D ．5050【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1，①；a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+a n +1a n +2=（n +1）a 1a n +2，②；①﹣②，得﹣a n +1a n +2=na 1a n +1﹣（n +1）a 1a n +2，，同理，得=4，整理，得，是等差数列．由此能求出．【解答】解：a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1，① a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+a n +1a n +2=（n +1）a 1a n +2，② ①﹣②，得﹣a n +1a n +2=na 1a n +1﹣（n +1）a 1a n +2，∴， 同理，得=4，∴=，整理，得，∴是等差数列．∵a 1=，a 2=，∴等差数列的首项是，公差，．∴==5044．故选B ．三．解答题18．已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）=1﹣sin，再由它的周期等于π求出ω=1，故f（x）=1﹣sin．（2）由x∈[0，π]，可得2x+∈[，]，列表作图即得所求．【解答】解：（1）∵=+1﹣=1﹣sin．由于它的最小正周期为π，故=π，∴ω=1．故f（x）═1﹣sin．（2）∵x∈[0，π]，∴2x+∈[，]．列表如下：如图：19．设虚数z满足|2z+15|=|+10|．（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】A8：复数求模．【分析】（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则代入条件|2z+15|=|+10|然后根据复数的运算法则和模的概念将上式化简可得即求出了|z|的值（2）对于此种题型可假设存在实数a使∈R根据复数的运算法则设（z=c+bi（c，b∈R且b≠0））可得=+（）∈R即=0再结合b≠0和（1）的结论即可求解．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则∵|2z+15|=|+10|∴|（2a+15）+2bi|=|（a+10）﹣bi|∴=∴a2+b2=75∴∴|z|=（2）设z=c+bi（c，b∈R且b≠0）假设存在实数a使∈R则有=+（）∈R∴=0∵b≠0∴a=由（1）知=5∴a=±520．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．【考点】MI：直线与平面所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）判断知，B1C与C1A垂直，可在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，证明B1C⊥平面ABC1，再由线面垂直的定义得出线线垂直；（2）由图形知，，变换棱锥的底与高后，求出它的体积即可；【解答】解：（1）B1C⊥C1A证明如下：在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，∵侧面BA1⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC，∠B1BA是BB1与平面ABC所成的角，∴∠B1BA=π﹣=，连接BC1，∵BB1CC1是菱形，∴BC1⊥B1C，CD⊥平面A1B，B1D⊥AB，∴B 1C ⊥AB ， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∴B 1C ⊥C 1A ．（2）解：由题意及图，答：四棱锥B ﹣ACC 1A 1的体积为221．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n 年该公司付给职工工资总额y （万元）表示成年限n 的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p 的最小值． 【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）y=10n（1+10%）n +0.2n 2+1.8n ，n ∈N * （2）由0.2n 2+1.8n ≤10n ⋅1.1n ⋅p%，得p%≥，令a n =，由此能求出p 的最小值．【解答】解：（1）y=10n （1+10%）n +0.2n 2+1.8n ，n ∈N * （2）由0.2n 2+1.8n ≤10n ⋅1.1n ⋅p%， 得p%≥， 令a n =，由，得1≤n≤2，∴p%≥a1=a2=，∴p≥．22．已知函数f（x）=（|x|﹣b）2+c，函数g（x）=x+m．（1）当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；（2）当c=﹣3，m=﹣2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）将b=2，m=﹣4代入函数解析式，根据f（x）≥g（x）恒成立将c 分离出来，研究不等式另一侧函数的最大值即可求出c的取值范围；（2）将c=﹣3，m=﹣2代入函数解析式得（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，然后转化成（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，最后根据根的分布建立关系式，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，∴c≥x﹣4﹣（|x|﹣2）2=，由二次函数的性质得c≥﹣．（2）（|x|﹣b）2﹣3=x﹣2，即（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，∴（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，由根的分布得b≥1且1＜b＜，∴1＜b＜．23．若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1），由根的差别式能得到l与椭圆C相切．（2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0．由△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0，能求出N（x0，y0）在椭圆C的外部．（3）此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0．由此能求出λ1+λ2=0．【解答】解：（1）即ax2﹣2ax0x+ax02=0∴△=4a2x02﹣4a2x02=0∴l与椭圆C相切．（2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0则△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0∴ax02﹣by02+b2y04﹣ax02+abx02y02＞0∴by02+ax02＞1∴N（x0，y0）在椭圆C的外部．（3）同理可得此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，即ax0x1+by0y1=1，整理得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0同理得关于λ2的方程，类似．即λ1、λ2是（ax02+by02﹣1）λ2+ax12+by12﹣1=0的两根∴λ1+λ2=0．2017年7月7日。
上海市2017年高考数学模拟试卷(6)(含解析)
2 ． 等 比 数 列 {an} 的 首 项 为 a1=a ， 公 比 q ≠ 1 ， 则
=
．
【考点】8E：数列的求和． 【分析】先求出数列的首项和公式，然后根据等比数列的前 n 项和进行求解，化简即可得到 结论．
【解答】解：
是首项为
= ，公比为
∴
=
=
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18．已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1，底面边长 AB=2，AB1⊥BC1，点 O、O1 分别是边 AC，A1C1 的中 点，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求正三棱柱的侧棱长；
=．
化简可得 a1= 故答案为：
，故有 0＜a1＜3 且 a1≠ ， ．
9．某甲 A 篮球队的 12 名队员（含 2 名外援）中有 5 名主力队员（含一名外援），主教练要 从 12 名队员中选 5 人首发上场，则主力队员不少于 4 人，且有一名外援上场的概率是
． 【考点】C7：等可能事件的概率． 【分析】由题意可得：基本事件总数为 C125=792，主力队员不少于 4 人，即 5 名队员中有主 力队员 4 人或者 5 人，并且其选法分别为 25 种、1 种，进而根据等可能事件的概率公式可 得答案． 【解答】解：由题意可得：主教练要从 12 名队员中选 5 人首发上场不同的选法有：C125=792 种． 因为主力队员不少于 4 人，所以 5 名队员中有主力队员 4 人或者 5 人， 当从 12 名队员中选 5 人首发上场其中主力队员为 4 人并且有一名外援上场时，不同的选法 共有 1+C43C61=25 种； 当从 12 名队员中选 5 人首发上场其中主力队员为 5 人并且有一名外援上场时，不同的选法
上海市2017-2018学年高考数学模拟试卷(含解析).pdf
2017-2018学年上海市高考数学模拟试卷一.填空题最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
1．函数f（x）=lnx+的定义域为．2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为．4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是．5．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，则m的最小值为．7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是．10．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=， =2，则?的值为．11．已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= ．12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是．二.选择题13．直线（t为参数）的倾角是（）A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan214．“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+16．对数列{a n}，如果?k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+…+λk a n 成立，其中n∈N*，则称{a n}为k阶递归数列．给出下列三个结论：①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；②若{a n}是等差数列，则{a n}为2阶递归数列；③若数列{a n}的通项公式为，则{a n}为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三.简答题17．若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．18．如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ 的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP?O Q的最大值．21．已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a n}共有m项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，m﹣1）；（1）若数列{a n}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1=1，r1=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求数列{a n}的通项公式；（3）试构造项数为m的数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使数列{r i}是单调递增的，并说明理由．2017年上海市复旦附中高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一.填空题1．函数f（x）=lnx+的定义域为{x|0＜x≤1} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出f（x）的定义域．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+，∴，解得0＜x≤1；∴函数f（x）的定义域为{x|0＜x≤1}．故答案为：{x|0＜x≤1}．2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线y2=4x的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，进而根据双曲线的性质得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c=1，由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，故2a2=1，又由a＞0，∴a=．故答案为：。
上海市闵行区2017年高考数学一模试卷 Word版含解析
上海市闵行区2017年高考数学一模试卷(解析版)一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．方程lg（3x+4）=1的解x=．2．若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a+b=．3．已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为．4．函数的反函数是．5．6展开式中x3项的系数为（用数字作答）6．如图，已知正方形ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则三棱锥D1﹣ADE的体积为．7．从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有种排法（用数字作答）8．集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}=（用列举法表示）9．如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧上的一个动点，则取值范围是．10．已知x、y满足曲线方程，则x2+y2的取值范围是．11．已知两个不相等的非零向量和，向量组和均由2个和2个排列而成，记，那么S的所有可能取值中的最小值是（用向量、表示）=a n，数列{b n}满足12．已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2b n﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数+1次，则满足要求的b1的值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a、b为实数，则“a＜1”是“”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要14．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．215．函数f（x）=|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值是a，那么实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）16．曲线C1：y=sinx，曲线（r＞0），它们交点的个数（）A．恒为偶数B．恒为奇数C．不超过2017 D．可超过2017三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）18．（14分）已知，，A、B、C是△ABC的内角；（1）当时，求的值；（2）若，|AB|=3，当取最大值时，求A的大小及边BC的长．19．（14分）如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系式，并求y的取值范围．20．（16分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（18分）在平面直角坐标系上，有一点列P0，P1，P2，P3，…，P n，P n，﹣1设点P k的坐标（x k，y k）（k∈N，k≤n），其中x k、y k∈Z，记△x k=x k﹣x k﹣1，△y k=y k﹣y k，且满足|△x k|•|△y k|=2（k∈N*，k≤n）；﹣1（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；（2）已知点P0（0，1），△x k=1（k∈N*，k≤n），且{y k}（k∈N，k≤n）是递增数列，点P n在直线l：y=3x﹣8上，求n；（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．2017年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．方程lg（3x+4）=1的解x=2．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据对数概念求解．【解答】解：∵lg（3x+4）=1，∴3x+4=10，x=2，∵故答案为：2．【点评】本题简单的考查了对数的概念，关键是把对数式化为指数式子，属于简单题目．2．若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a+b=5．【考点】其他不等式的解法．【分析】求出a，b的值，从而求出a+b即可．【解答】解：若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a=1，b=4或a=4，b=1，则a+b=5，故答案为：5．【点评】本题考查了不等式的解集问题，是一道基础题．3．已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为a n=2n﹣1．【考点】数列的求和．【分析】根据题意和公式，化简后求出数列的通项公式【解答】解：当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，又21﹣1=1，所以a n=2n﹣1，故答案为：a n=2n﹣1．【点评】本题考查了a n、S n的关系式：的应用，注意验证n=1是否成立．4．函数的反函数是f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥0）．【考点】反函数．【分析】根据反函数的定义，求出x关系y的函数，把x与y互换，可得反函数的解析式．【解答】解：函数，其定义域为{x|x≥0}．解得：x=（y﹣1）2．把x与y互换可得y=（x﹣1）2．∴函数的反函数位：f﹣1（x）=（x﹣1）2．故答案为：f﹣1（x）=（x﹣1）2．（x≥0）【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题．5．（1+2x）6展开式中x3项的系数为160（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】利用通项公式即可得出．==2r，令r=3，【解答】解：通项公式T r+1可得：（1+2x）6展开式中x3项的系数==160．故答案为：160．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．如图，已知正方形ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则三棱锥D1﹣ADE的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知求出△DED1的面积，然后利用等体积法求得三棱锥D1﹣ADE的体积．【解答】解：如图，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1=2，E为棱CC1的中点，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．7．从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有240种排法（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a“全排列，有C53A44种结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a“全排列，C53A44=240，即含有“a”的共有240种．故答案为240．【点评】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是看出要选出三个字母同所给的字母进行排列，本题是一个基础题．8．集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={， } （用列举法表示）【考点】三角方程．【分析】由已知得，或，由此能求出结果．【解答】解：∵集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}，∴，或，∴cosx=或cosx=﹣，∴x=或x=，∴集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={， }．故答案为：{， }．【点评】本题考查集合的表示，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．9．如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧上的一个动点，则取值范围是[，] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合图形，将代入进行数量积的运算，并代入∠BOP=60°﹣∠AOP 进行化简即可得出，这样，根据0°≤∠AOP ≤60°即可求出sin （∠AOP ﹣30°）的范围，即求出的取值范围．【解答】解：==cos ∠BOP ﹣cos ∠AOP=cos （60°﹣∠AOP ）﹣cos ∠AOP===sin （∠AOP ﹣30°）； 0°≤∠AOP ≤60°；∴﹣30°≤∠AOP ﹣30°≤30°；∴；∴的取值范围为．故答案为：[]．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，两角和差的正余弦公式，以及不等式的性质，熟悉正弦函数的图象．10．已知x 、y 满足曲线方程，则x 2+y 2的取值范围是 [，+∞） ．【考点】基本不等式．【分析】先求出y 2的范围，再令y 2=t ，t ≥，则f （t ）=2+t ﹣，根据函数的单调性即可求出范围．【解答】解：，则x 2+y 2=2﹣+y 2，∵∴y2≥设y2=t，t≥，则f（t）=2+t﹣，∴f′（t）=1+＞0，∴f（t）在[，+∞）为增函数，∴f（t）≥f（）=2+﹣2=，故则x2+y2的取值范围是为[，+∞），故答案为：[，+∞）【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，属于中档题．11．已知两个不相等的非零向量和，向量组和均由2个和2个排列而成，记，那么S的所有可能取值中的最小值是（用向量、表示）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意即可求出S的所有可能的取值，然后根据不等式a2+b2≥2ab及数量积的计算公式即可比较这些值的大小，从而找出最小值．【解答】解：根据条件得，S所有可能取值为：，，∴S的所有可能取值中的最小值为．故答案为：．【点评】考查数量积的计算公式，余弦函数的值域，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．=a n，数列{b n}满足12．已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=∴b n+1﹣b n=a n=，∴b2n+2﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，…，=b4n﹣2，，∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a、b为实数，则“a＜1”是“”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由＞1，解得：0＜a＜1，故“a＜1”是“”的必要不充分条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．14．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数相等的充要条件．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．15．函数f（x）=|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值是a，那么实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】对a讨论，分a≤0，a＞0，可得a＞0成立，由|x2﹣a|=a，可得x=0或±，由≥1，即可得到所求范围．【解答】解：若a≤0，则f（x）=x2﹣a，f（x）在[﹣1，1]的最大值为1﹣a，即有1﹣a=a，可得a=，不成立；则a＞0，由|x2﹣a|=a，可得x=0或±，由图象结合在区间[﹣1，1]上的最大值是a，可得≥1，解得a≥．故选：C．【点评】本题考查函数的最值的判断，考查分类讨论思想方法，数形结合思想，以及运算能力，属于中档题．16．曲线C1：y=sinx，曲线（r＞0），它们交点的个数（）A．恒为偶数B．恒为奇数C．不超过2017 D．可超过2017【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据两个曲线的图象特征，可得这两个曲线一定有一个交点是原点，但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定．【解答】解：由于圆C2：x2+（y+r﹣）2=r2（r＞0）．圆心为（0，﹣r），在横轴上，半径等于r，正弦曲线C1：y=sinx也过原点，故这两个曲线一定有交点．但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定．故选D．【点评】本题主要考查圆的标准方程、正弦函数的图象，属于基础题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）（2017•闵行区一模）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）由圆锥的侧面积S侧=πrl，能求出结果．（2）取OB的中点E，连结DE、CE，则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，由此能求出直线CD与平面BOC所成角的大小．【解答】解：（1）∵在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，4×π=8π．∴圆锥的侧面积S侧=πrl=2×（2）取OB的中点E，连结DE、CE，则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∴∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，在Rt△DEC中，CE=，DE=，tan=，∴．∴直线CD与平面BOC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（14分）（2017•闵行区一模）已知，，A、B、C是△ABC的内角；（1）当时，求的值；（2）若，|AB|=3，当取最大值时，求A的大小及边BC的长．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由即可求出向量的坐标，从而得出的值；（2）进行数量积的坐标运算并化简即可得出，从而看出A=时，取最大值，这样在△ABC中，根据正弦定理即可求出边BC的长．【解答】解：（1）时，；∴；（2）==；取最大值时，；又；∴在△ABC中，由正弦定理得：；即；∴．【点评】考查三角函数求值，根据向量坐标求向量长度的方法，数量积的坐标运算，以及二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，正弦定理．19．（14分）（2017•闵行区一模）如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系式，并求y的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知条件直接求解在城镇A和城镇B单独建厂，共需总费用．（2）列出函数的解析式，利用平方，转化通过二次函数的最值求解即可．【解答】解：（1）分别单独建厂，共需总费用：y1=25×30.7+25×50.7≈131.1万元．（2）联合建厂，共需总费用y=25×（3+5）0.7+（0≤x≤20）令h（x）=（0≤x≤20），可得h2（x）=20+2=20+2∈[20，40]，121.5≈25×≤y≤≈127.4，y的取值范围：[121.5，127.4]．【点评】本题考查函数的实际应用，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（16分）（2017•闵行区一模）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（1）求由题意，a=1，c=，b=2，即可双曲线Γ的方程；（2）y M==在（0，2）上单调递增，即可求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）求出k OM+k BP=0，可得直线BP与OM关于直线x=对称【解答】解：（1）由题意，a=1，c=，b=2，∴双曲线Γ的方程=1；（2）由题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入椭圆方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0∴x=﹣1或x2=，∴Q（，），M（﹣，）∴y M==在（0，2）上单调递增，∴y M∈（0，1）（3）由题意，k AP•k BP==4，同理k AP•k OM=﹣4，∴k OM+k BP=0，设直线OM：y=k′x，则直线BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x=，∵k OM+k BP=0，∴直线BP与OM关于直线x=对称．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查斜率的计算，属于中档题．21．（18分）（2017•闵行区一模）在平面直角坐标系上，有一点列P0，P1，P2，P3，…，P n，P n，设点P k的坐标（x k，y k）（k∈N，k≤n），其中x k、y k∈Z，﹣1记△x k=x k﹣x k﹣1，△y k=y k﹣y k﹣1，且满足|△x k|•|△y k|=2（k∈N*，k≤n）；（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；（2）已知点P0（0，1），△x k=1（k∈N*，k≤n），且{y k}（k∈N，k≤n）是递增数列，点P n在直线l：y=3x﹣8上，求n；（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．【考点】数列与解析几何的综合．【分析】（1）由已知得|△x1|•|△y1|=2，0＜△x1＜△y1，，由此能示出P1的坐标．（2）求出p n（n，1+2n），将P n（n，1+2n）代入y=3x﹣8，能求出n．（3）y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，设T n=x0+x1+x2+…+x n=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2 +△x n，由此能求出x0+x1+x2+…+x2016的最大值．△x n﹣1【解答】解：（1）∵x k∈Z，y k∈Z，∴△x k，△y k∈Z，又∵|△x1|•|△y1|=2，0＜△x1＜△y1，∴，∴x1=x0+△x1=0+1=1，y1=y0+△y1=1+2=3，∴P1的坐标为（1，3）．（2）∵，∴x n=x0+△x1+△x2+…+△x n=n，又|△x k|•|△y k|=2，△x k=1，∴△y k=±2，（k∈N*，k≤n），∵y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n，{y k}（k∈N，k≤n）是增数列，∴，∴y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n=1+2n，∴p n（n，1+2n），将P n（n，1+2n）代入y=3x﹣8，得1+2n=3n﹣8，解得n=9．（3）∵y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n，∴y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，设T n=x0+x1+x2+…+x n=x0+（x0+△x1）+（x0+△x1+△x2）+…+（x0+△x1+△x2+…+△x n）=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△x n+△x n，﹣1∵n=2016是偶数，n＞100，T n=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△x n+△x n≤2[n+（n﹣1）+…+2+1]=n2+n，﹣1当△y1=△y2=△y3=…=△y100=1，△y101=﹣1，…，△y n﹣1=1，△y n=﹣1，△x1=△x2=△x3=…=△x n=2时，（取法不唯一）（T n）max=n2+n，∴x0+x1+x2+…+x2016的最大值（T2016）max=20162+2016=4066272．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查实数值的求法，考查数列的前2017项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质及构造法的合理运用．。
上海市普陀区2017届高考数学二模试卷 含解析 精品
2017年上海市普陀区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．计算：（1+）3=．2．函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为．3．若＜α＜π，sinα=，则tan=．4．若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=．5．曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为．6．若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．7．若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m的取值范围是．8．若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为．9．若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=．10．若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为．11．设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是．12．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x214．若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β16．关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B 港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．20．（16分）已知椭圆T： +=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n}为等比数列，则称{a n}具有+1性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．2017年上海市普陀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．计算：（1+）3=1．【考点】6F：极限及其运算．【分析】根据题意，对（1+）3变形可得（1+）3=（+++1），由极限的意义计算可得答案．【解答】解：根据题意，（1+）3==（+++1）=1，即（1+）3=1；故答案为：1．【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．2．函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：1﹣＞0，解得：x＞1或x＜0，故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．3．若＜α＜π，sinα=，则tan=3．【考点】GW：半角的三角函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，再利用半角公式求得tan的值．【解答】解：若＜α＜π，sinα=，则cosα=﹣=﹣，∴tan==3，故答案为：3．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．4．若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=﹣1+i．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】先化简，再根据共轭复数的定义即可求出【解答】解：z=（1+i）•i2=﹣1﹣i，∴=﹣1+i，故答案为：﹣1+i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算以及共轭复数，是基础的计算题．5．曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为2．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），由两点间距离公式计算可得答案．【解答】解：曲线C：，其普通方程为x2﹣y2=1，则曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），则则两个顶点之间的距离为2；故答案为：2．【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，涉及双曲线的几何性质，关键是将曲线的参数方程化为普通方程．6．若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=52×52，再求出两张牌都是K包含的基本事件个数m=13×13，由此能求出两张牌都是K的概率．【解答】解：从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，在放回抽取的情形下，基本事件总数n=52×52，两张牌都是K包含的基本事件个数m=13×13，∴两张牌都是K的概率为p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是基础题．7．若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m的取值范围是[1，] ．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意，关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，转化为函数y=sin（x+）与函数y=m的图象有交点问题．【解答】解：由题意，sinx+cosx﹣m=0，转化为：sinx+cosx=m，设函数y=sin（x+）x∈[0，]上，则x+∈[，]∴sin（x+）∈[]∴函数y=sin（x+）的值域为[1，]关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则函数y=m的值域为[1，]，即m∈[1，]故答案为：[1，]．【点评】本题考查了方程有解问题转化为两个函数的交点的问题．属于基础题．8．若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为5．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，利用体积为125π，建立方程，即可求出此圆锥的高．【解答】解：设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，∵体积为125π，∴=125π，∴h=5．故答案为：5．【点评】本题考查圆锥体积的计算，考查方程思想，比较基础．9．若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=4．【考点】4R：反函数．【分析】由题意，log22x﹣log2x+1=3，根据x≥2，即可得出结论．【解答】解：由题意，log22x﹣log2x+1=3，∵x≥2，∴x=4，故答案为4．【点评】本题考查对数方程，考查反函数的概念，正确转化是关键．10．若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为20π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由余弦定理求出BC=2，利用正弦定理得∠ABC=90°．从而△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，∴BC==2，∴AC2=BC2+AB2，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，∴球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=20π．故答案为：20π．【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．11．设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是a≤﹣2．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案．【解答】解；不等式等价于1﹣cos2x+acosx+a2﹣1﹣cosx≥0，恒成立，整理得﹣cos2x+（a﹣1）cosx+a2≥0，设cosx=t，则﹣1≤t≤1，g（t）=﹣t2+（a﹣1）t+a2，要使不等式恒成立需：求得a≥1或a≤﹣2，而a＜0故答案为：a≤﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质．注重了对数形结合思想的运用和问题的分析．12．在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由三角形的面积公式，S △ABC =2S △MBC ，则S △MBC =，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则•+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则•+2的最小值；方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴A 到BC 的距离=点A 到BC 的距离的一半，∴S △ABC =2S △MBC ，而△ABC 的面积1，则△MBC 的面积S △MBC =，S △MBC =丨MB 丨×丨MC 丨sin ∠BMC=，∴丨MB 丨×丨MC 丨=．∴•=丨MB 丨×丨MC 丨cos ∠BMC=．由余弦定理，丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC ，显然，BM 、CM 都是正数，∴丨BM 丨2+丨CM 丨2≥2丨BM 丨×丨CM 丨，∴丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC=2×﹣2×．．∴•+2≥+2×﹣2×=，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos ∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos ∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值是，方法二：令y=，则ysin ∠BMC +cos ∠BMC=2，则sin （∠BMC +α）=2，tanα=，则sin （∠BMC +α）=≤1，解得：y ≥，•+2的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．动点P 在抛物线y=2x 2+1上移动，若P 与点Q （0，﹣1）连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为（ ） A ．y=2x 2B ．y=4x 2C ．y=6x 2D ．y=8x 2【考点】J3：轨迹方程．【分析】先设PQ 中点为（x ，y ），进而根据中点的定义可求出M 点的坐标，然后代入到曲线方程中得到轨迹方程．【解答】解：设PQ 中点为（x ，y ），则M （2x ，2y +1）在抛物线y=2x 2+1上， 即2（2x ）2=（2y +1）﹣1， ∴y=4x 2． 故选B ．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据正切函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若“α≠β”，则“tanα≠tanβ”不成立，不是充分条件，反之也不成立，比如α=，β=，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查正切函数的性质，是一道基础题．15．设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．16．关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数【考点】H7：余弦函数的图象；GT：二倍角的余弦．【分析】先化简函数，再利用余弦函数的图象与性质，即可得出结论．【解答】解：y=sin2x=（1﹣os2x）=﹣cos2x+∴函数的最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数，故选C．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•普陀区二模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B1BGF 为平行四边形，得BG∥B1F，再由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG=DE，从而得到B1F∥DE，且B1F=DE，进一步得到四边形B1EDF为平行四边形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，得到四边形B1EDF是菱形；（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，然后利用空间向量求异面直线A1C与DE所成的角．【解答】（1）证明：取AD中点G，连接FG，BG，可得B1B∥FG，B1B=FG，∴四边形B1BGF为平行四边形，则BG∥B1F，由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG=DE，则B1F∥DE，且B1F=DE，∴四边形B1EDF为平行四边形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，∴四边形B1EDF是菱形；（2）解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），E（1，，0），∴，，∴cos＜＞==．∴异面直线A1C与DE所成的角为arccos．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．18．（14分）（2017•普陀区二模）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．【考点】GI：三角函数的化简求值；3K：函数奇偶性的判断．【分析】首先，根据已知得到f（x）=sin（x+θ），然后根据最值建立等式，得到a=b，再化简函数f（x）=asin（x+），（1）将代入解析式求值；（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性．【解答】解：由已知得到f（x）=sin（x+θ），又x=时，f（x）取得最大值．所以a=b，f（x）=asin（x+），所以（1）f（）=asin（3π）=0；（2）g（x）为偶函数．理由：设g（x）=f（﹣x）=asin（﹣x）=acosx，所以函数g（﹣x）=g（x），为偶函数．【点评】本题考查了三角函数的性质以及奇偶性的判定；属于基础题．19．（14分）（2017•普陀区二模）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）分析题意，找出相关量之间的不等关系，（2）求出x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数p与直线截距的关系，进而求出最优．【解答】解：（1）由题意得：x=，4≤v≤20，y=，30≤ω≤100，∴P=100+3（5﹣）+（8﹣）=123﹣﹣，其中，4≤v≤20，30≤ω≤100，（2）由（1）可得2.5≤x≤12.5，3≤y≤10，①由于汽车、乘船所需的时间和应在9至14小时之间，∴9≤x+y≤14 ②因此满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分目标函数p=100+3（5﹣x）+（8﹣y）=123﹣3x﹣y，当x=11，y=3时，p 最小，此时，p=123﹣33﹣3=87【点评】本题考查不等式关系的建立，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）（2017•普陀区二模）已知椭圆T： +=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）利用两点之间距离公式，即可求得m的值，由椭圆的方程，即可求得焦点坐标，即可求证P必为Γ的焦点；（2）利用两点之间的距离公式，根据二次函数的单调性，当x0=﹣2时，取最大值，代入即可求得m的值；（3）求得直线AB的方程，代入方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用基本不等式的性质，即可求得△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）证明：由椭圆焦点F（±1，0），由|PC|==2，解得：m=±1，∴P点坐标为（±1，0），∴P必为Γ的焦点；（2）设D（x0，y0），y02=3（1﹣），|PD|2=（x0﹣m）2+y02=﹣2mx0+m2+3，﹣2≤x0≤2，有函数的对称轴x0=4m＞0，则当x0=﹣2时，取最大值，则|PD|2=1+4m+m2+3=9，m2+4m﹣5=0，解得：m=1或m=﹣5（舍去），∴m的值1；（3）直线l的一个法向量为=（1，k），则直线l的斜率﹣，则直线l方程：y﹣0=﹣（x﹣），整理得：ky+x﹣=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3k2+4）y2﹣6ky﹣3=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，丨AB丨=•=，则O到直线AB的距离d=，则△AOB面积S=×丨AB丨×d=××==≤=，当且仅当=，即k2=，取等号，∴△AOB面积的最大值．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．21．（18分）（2017•普陀区二模）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n}为等比+1数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．【考点】8B：数列的应用．}为等比数列，由a1=a2=1，a3=3，可得{a n+a n+1}的公比为2，【分析】（1）{a n+a n+1=2n，进而得出a4、a5的值；可得a n+a n+1（2）证明{b n+b n}是以公比为2的等比数列，即可得出结论；+1=2n，利用d n＞102，求正整数n的取值范围．（3）求出d n+d n+1【解答】解：（1）{a n+a n}为等比数列，+1∵a1=a2=1，a3=3，∴a1+a2=1+1=2，a2+a3=1+3=4，∴{a n+a n}的公比为2，+1=2n，∴a n+a n+1∴a3+a4=23=8，即a4=5，∴a4+a5=24=16，即a5=11；（2）∵b n=2n+（﹣1）n，=2n+（﹣1）n+2n+1+（﹣1）n+1=3•2n，∴b n+b n+1∴{b n+b n}是以公比为2的等比数列，+1∴数列{b n}具有性质P．（3）∵c1+c2+…+c n=n2+n，=（n﹣1）2+n﹣1，∴c1+c2+…+c n﹣1∴c n=2n，∵d1=1，d3﹣d2=c1=2，d2+d3=c2=4，∴d2=1，d3=3，∵数列{d n}具有性质P，=2n，∴d4=5，d5=11，d6=21，d7=43，d8=85，d9=171，由（1）可得，d n+d n+1∵d n＞102，∴正整数n的取值范围是[9，+∞）．【点评】本题考查新定义，考查等比数列的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
上海市黄浦区2017届高考数学4月模拟试卷(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！黄浦区2017年高考模拟考数学试卷（完卷时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1. 函数的定义域是________．【答案】；【解析】试题分析：考点：函数的定义域的求法.2. 若关于的方程组有无数多组解，则实数_________．【答案】；【解析】当时，，不合题意；当时，，得，综上：.3. 若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为_________．【答案】；【解析】由得：或；若“”是“”的必要不充分条件，则，所以的最大值为.【点睛】从集合的角度看充要条件，若对应集合，对应集合，如果，则是的充分条件；如果，则是的充分不必要条件；如果，则是的必要条件；如果，则是的必要不充分条件；如果，则是的充要条件，如果无上述包含关系，则是的既不充分也不必要条件；4. 已知复数，(其中i为虚数单位)，且是实数，则实数t等于________．【答案】；【解析】为实数，则.5. 若函数 (a>0,且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是________．【答案】；【解析】当时，在上为减函数，而在上为减函数，要使函数在R上为减函数，则a满足，解得.6. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为___________【答案】；【解析】先画出二元一次不等式组所表示的平面区域，目标函数为截距型目标函数，令，作直线，由于，表示直线的截距，平移直线得最优解为，的最小值为.【点睛】线性规划问题要搞清目标函数的几何意义，常见的目标函数线有截距型、距离型（两点间的距离、点到直线的距离）、斜率型等，主要考查最值或范围.另外有时考查线性规划的逆向思维问题，难度稍大一点. 线性规划问题为高考高频考点，属于必得分题.7. 已知圆和两点，若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是________．【答案】；【解析】由于两点在以原点为圆心，为半径的圆上，若圆上至少存在一点，使得，则两圆有公共点，设圆心距为，，则，则，则的取值范围是.8. 已知向量，，如果∥，那么的值为________．【答案】；【解析】，则，.【点睛】有关三角函数计算问题，“异名化同名，异角化同角”，注意弦切互化，最关键问题是寻找角与角之间的关系，角与角之间是否存在和、差、倍关系，再借助诱导公式，同角三角函数关系，和、差公式，二倍角公式等求值.9. 若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是________．【答案】；【解析】正八边形的八个顶点，无三点在同一直线上，任取3点可连成一个三角形，共可作个三角形，其中4条对角线为其外接圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，每条直径可连接6个直角三角形，共计可作个直角三角形，概率为.10. 若将函数的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是________．【答案】；【点睛】11. 三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是________．【答案】；【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.【答案】（或，或）．【解析】数列满足，，，当，时，，，若时，，，当时，，，解得，填写 .继续讨论可求出其他的解（略）.二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A. y = sin(2x+B. y = cos(2x+C. y = sin(x+D. y = cos(x+【答案】A【解析】根据正、余函数周期公式可知，排除C、D. 对于，，，则在上为减函数，选.14. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是下部为圆柱体，上部是半径为1的球，直接求表面积即可。
2017年上海市松江区高考数学一模试卷解析版
实用标准文档文案大全2017年上海市松江区高考数学一模试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=3．已知函数f（x）=a x﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）4．不等式x|x﹣1|＞0的解集为5．已知向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），则函数f（x）=?的最小正周期为6．里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为7．按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是8．设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，若=，则n=9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是cm2．10．设P（x，y）是曲线C： +=1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值=11．已知函数f（x）=，若F（x）=f（x）﹣kx在其定义域内有3个零点，则实数k∈12．已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，若|a n+1﹣a n|=2n（n∈N*），且{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列，则=实用标准文档文案大全二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知a，b∈R，则“ab＞0“是“+＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于（）A．B．C．D．15．若矩阵满足：a11，a12，a21，a22∈{0，1}，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有（）A．2个B．6个C．8个D．10个16．解不等式（）x﹣x+＞0时，可构造函数f（x）=（）x﹣x，由f（x）在x∈R是减函数，及f（x）＞f（1），可得x＜1．用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0的解集为（）A．（0，1] B．（﹣1，1）C．（﹣1，1] D．（﹣1，0）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．（1）求证：PC⊥BD；（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．实用标准文档文案大全18．已知函数F（x）=，（a为实数）．（1）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的x≥1，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．19．上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米．试求：（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1°）．20．已知双曲线C：﹣=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率k PA，实用标准文档文案大全k PB均存在，求证：k PA?k PB为定值；（3）若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有?=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．（1）若数列{a n}为“H型数列”，且a1=﹣3，a2=，a3=4，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{a n}为“H型数列”，且其前n项和S n 满足S n＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{a n}的每一项均为正整数，且{a n}为“H型数列”，b n=a n，c n=，当数列{b n}不是“H型数列”时，试判断数列{c n}是否为“H型数列”，并说明理由．2017年上海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N {1} ．【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合M和N，由此能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}{x|0＜x≤1}，∴M∩N={1}．实用标准文档文案大全故答案为：{1}．2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案．【解答】解：由a，b∈R，且a+i=2﹣bi，得，即a=2，b=﹣1．∴a+bi=2﹣i．∴（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i．．故答案为：3﹣4i．．3．已知函数f（x）=a x﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）2【考点】反函数．【分析】根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案．【解答】解：函数f（x）=a x﹣1的图象经过（1，1）点，可得：1=a﹣1，解得：a=2．∴f（x）=2x﹣1那么：f﹣1（3）的值即为2x﹣1=3时，x的值．由2x﹣1=3，解得：x=2．∴f﹣1（3）=2．故答案为2．4．不等式x|x﹣1|＞0的解集为（0，1）∪（1，+∞）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵x|x﹣1|＞0，实用标准文档文案大全∴x＞0，|x﹣1|＞0，故x﹣1＞0或x﹣1＜0，解得：x＞1或0＜x＜1，故不等式的解集是（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．5．已知向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），则函数f（x）=?的最小正周期为π【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量的坐标运算可得f（x），再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期．【解答】解：∵=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），∴f（x）=?=sin2x﹣sinxcosx===．∴T=．．故答案为：π．6．里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=，由此能求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率．【解答】解：里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，基本事件总数n=，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=，实用标准文档文案大全∴2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为p===．故答案为：．7．按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是143【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，k的值，当x=143时满足条件x＞115，退出循环，输出x的值为143，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=17，k=0执行循环体，x=35，k=1不满足条件x＞115，执行循环体，x=71，k=2不满足条件x＞115，执行循环体，x=143，k=3满足条件x＞115，退出循环，输出x的值为143．故答案为：143．8．设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，若=，则n=11【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开可得：（1+x）n=+x3+…=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，比较系数即可得出．【解答】解：∵（1+x）n=+x3+…=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，又=，∴=，∴=，n﹣2=9，则n=11．故答案为：11．实用标准文档文案大全9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是πcm2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案．【解答】解：由题意可知球的体积为：×13=cm3，圆锥的体积为：×π×12×h=hcm3，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以=h，所以h=4cm，圆锥的母线：l==cm．．故圆锥的侧面积S=πrl=πcm2，故答案为：π10．设P（x，y）是曲线C： +=1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值=10【考点】曲线与方程．【分析】先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10．【解答】解：曲线C可化为：=1，它表示顶点分别为（±5，0），（0，±3）的平行四边形，根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10，当且仅当点P为（0，±3）时取最大值，故答案为10．11．已知函数f（x）=，若F（x）=f（x）﹣kx在其定实用标准文档文案大全义域内有3个零点，则实数k∈（0，）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】问题转化为f（x）和y=kx有3个交点，画出函数f（x）和y=kx的图象，求出临界值，从而求出k的范围即可．【解答】解：若F（x）=f（x）﹣kx在其定义域内有3个零点，即f（x）和y=kx有3个交点，画出函数f（x）和y=kx的图象，如图示：，点（2，0）到直线y=kx的距离d==1，解得：k=，故：0＜k＜；故答案为：（0，）．12．已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，若|a n+1﹣a n|=2n（n∈N*），且{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列，则=﹣【考点】数列的极限．【分析】依题意，可求得a3﹣a2=22，a4﹣a3=﹣23，…，a2n﹣a2n﹣1=﹣22n﹣1，累加求和，可得a2n=﹣?22n，a2n﹣1=a2n+22n﹣1=+?22n；从而可求得的值．实用标准文档文案大全【解答】解：∵a1=1，a2=3，|a n+1﹣a n|=2n（n∈N*），∴a3﹣a2=±22，又{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列，∴a3﹣a2=4=22；同理可得，a4﹣a3=﹣23，a5﹣a4=24，a6﹣a5=﹣25，…，a2n﹣1﹣a2n﹣2=22n﹣2，a2n﹣a2n﹣1=﹣22n﹣1，∴a2n=（a2n﹣a2n﹣1）+（a2n﹣1﹣a2n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1=1+2+（22﹣23+24﹣…+22n﹣2﹣22n﹣1）=3+=﹣?22n﹣2=﹣?22n；∴a2n﹣1=a2n+22n﹣1=+?22n；∴则===﹣．故答案为：﹣．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知a，b∈R，则“ab＞0“是“+＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由+＞2，得：＞0，实用标准文档文案大全故ab＞0且a≠b，故“ab＞0“是“+＞2”的必要不充分条件，故选：B．14．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】由已知可得AC1⊥平面A1DB，可得P为AC1与截面A1DB的垂足时线段AP最小，然后利用等积法求解．【解答】解：如图，连接AC1交截面A1DB于P，由CC1⊥底面，可得CC1⊥BD，又AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC1，则AC1⊥BD．同理可得AC1⊥A1B，得到AC1⊥平面A1DB，此时线段AP最小．由棱长为1，可得等边三角形A1DB的边长为，∴．由，可得，得AP=．．故选：C．15．若矩阵满足：a11，a12，a21，a22∈{0，1}，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有（）A．2个B．6个C．8个D．10个【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】根据题意，分类讨论，考虑全为0；全为1；三个0，一个1；两个0，两个1，即可得出结论．实用标准文档文案大全【解答】解：由=0，可得a11a22﹣a12a21=0，由于a11，a12，a21，a22∈{0，1}，可得矩阵可以是，，，，，，，，，．则这样的互不相等的矩阵共有10个．故选：D．16．解不等式（）x﹣x+＞0时，可构造函数f（x）=（）x﹣x，由f（x）在x∈R是减函数，及f（x）＞f（1），可得x＜1．用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0的解集为（）A．（0，1] B．（﹣1，1）C．（﹣1，1] D．（﹣1，0）【考点】类比推理．【分析】由题意，构造函数g（x）=arcsinx+x3，在x∈[﹣1，1]上是增函数，且是奇函数，不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0可化为g（x2）＞g（﹣x），即可得出结论．【解答】解：由题意，构造函数g（x）=arcsinx+x3，在x∈[﹣1，1]上是增函数，且是奇函数，不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0可化为g（x2）＞g（﹣x），∴﹣1≤﹣x＜x2≤1，∴0＜x≤1，故选：A．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．（1）求证：PC⊥BD；实用标准文档文案大全（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出△PBC，△PDC都是等边三角形，从而BE⊥PC，DE⊥PC，由此能证明PC⊥BD．（2）连接AC，交BD于点O，连OE，则AP∥OE，∠BOE即为BE与PA所成的角，由此能求出直线BE与PA所成角的余弦值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，且PA=AB=a，∴△PBC，△PDC都是等边三角形，…∵E是棱PC的中点，∴BE⊥PC，DE⊥PC，又BE∩DE=E，∴PC⊥平面BDE…又BD?平面BDE，∴PC⊥BD…解：（2）连接AC，交BD于点O，连OE．四边形ABCD为正方形，∴O是AC的中点…又E是PC的中点∴OE为△ACP的中位线，∴AP∥OE∴∠BOE即为BE与PA所成的角…在Rt△BOE中，BE=，EO=，…∴．∴直线BE与PA所成角的余弦值为．…实用标准文档文案大全18．已知函数F（x）=，（a为实数）．（1）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的x≥1，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）、根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出F（﹣x）的解析式，进而分2种情况讨论：①若y=f（x）是偶函数，②若y=f（x）是奇函数，分别求出每种情况下a的值，综合即可得答案；（2）根据题意，由f（x）的范围，分2种情况进行讨论：f（x）≥1以及f（x）≤3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得a的值，进而综合2种情况，可得答案．【解答】解：（1）函数F（x）=定义域为R，且F（﹣x）==，①若y=f（x）是偶函数，则对任意的x 都有f（x）=f（﹣x），即=，即2x（a+1）=a+1，解可得a=﹣1；②若y=f（x）是奇函数，则对任意的x 都有f（x）=﹣f（﹣x），即=﹣，即2x（a﹣1）=1﹣a，解可得a=1；故当a=﹣1时，y=f（x）是偶函数，实用标准文档文案大全当a=1时，y=f（x）是奇函数，当a≠±1时，y=f（x）既非偶函数也非奇函数，（2）由f（x）≥1可得：2x+1≤a?2x﹣1，即≤a﹣1 …∵当x≥1时，函数y1= 单调递减，其最大值为1，则必有a≥2，同理，由f（x）≤3 可得：a?2x﹣1≤3?2x+3，即a﹣3≤，∵当x≥1时，y2=单调递减，且无限趋近于0，故a≤3，综合可得：2≤a≤3．19．上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米．试求：（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1°）．【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由题意可知：△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，AH=BH=x，∠实用标准文档文案大全HAB=27°，AB=33.6，即可求得x===18.86；（2）∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知：=，OH==2.28，则倾斜角∠OPH=arctan=arctan=6.89°【解答】解：（1）设塔高PH=x，由题意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°，∴△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，∴AH=BH=x…在△AHB中，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，∴x===18.86…（2）在△BOH中，∠BOH=120°，∴∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86，由=，得OH==2.28，…∴∠OPH=arctan=arctan=6.89°，…∴塔高18.9米，塔的倾斜度为6.8°…20．已知双曲线C：﹣=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．实用标准文档文案大全（1）求双曲线C的方程；（2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率k PA，k PB均存在，求证：k PA?k PB为定值；（3）若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有?=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）利用双曲线C：﹣=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，建立方程，即可求双曲线C的方程；（2）设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N的坐标，设P（x，y），结合题意，又由M、P在双曲线上，可得y02=3x02﹣3，y2=3x2﹣3，将其坐标代入k PM?k PN中，计算可得答案．（3）先假设存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设出M点坐标，根据数量级为0，求得结论．【解答】（1）解：由题意得…解得a=1，b= …∴双曲线C的方程为；…（2）证明：设A（x0，y0），由双曲线的对称性，可得B（﹣x0，﹣y0）．设P（x，y），…则k PA?k PB=，∵y02=3x02﹣3，y2=3x2﹣3，…所以k PA?k PB==3 …（3）解：由（1）得点F1为（2，0）当直线l的斜率存在时，设直线方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）实用标准文档文案大全将方程y=k（x﹣2）与双曲线方程联立消去y得：（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，∴x1+x2=，x1x2=假设双曲线C上存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设为M（m，n）则?=（x1﹣m）（x2﹣m）+[k（x1﹣2）﹣n][k（x2﹣2）﹣n]=（k2+1）x1x2﹣（2k2+kn+m）（x1+x2）+m2+4k2+4kn+n2==0，故得：（m2+n2﹣4m﹣5）k2﹣12nk﹣3（m2+n2﹣1）=0对任意的k2＞3恒成立，∴，解得m=﹣1，n=0∴当点M为（﹣1，0）时，MA⊥MB恒成立；当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，﹣3）知点M（﹣1，0）使得MA⊥MB也成立．又因为点（﹣1，0）是双曲线C的左顶点，所以双曲线C上存在定点M（﹣1，0），使MA⊥MB恒成立．…21．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．（1）若数列{a n}为“H型数列”，且a1=﹣3，a2=，a3=4，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{a n}为“H型数列”，且其前n项和S n 满足S n＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{a n}的每一项均为正整数，且{a n}为“H型数列”，b n=a n，c n=，当数列{b n}不是“H型数列”时，试判断数列{c n}是否为“H型数列”，并说明理由．【考点】数列的求和．实用标准文档文案大全【分析】（1）由题意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣＞2，即2﹣=＞0，解得m范围即可得出．（2）假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+，由题意可得：n+＜n2+n对n∈N*都成立，即d都成立．解出即可判断出结论．（3）设等比数列{a n}的公比为q，则a n=，且每一项均为正整数，且a n+1﹣a n=a n（q﹣1）＞2＞0，可得a n+1﹣a n=a n（q﹣1）＞a n﹣a n﹣1，即在数列{a n ﹣a n﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．同理在数列{b n﹣b n﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”为最小项．由{a n}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，即a1（q﹣1）＞2，又因为{b n}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，可得b2﹣b1≤2，即a1（q﹣1）≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a1（q﹣1）=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通过分类讨论即可判断出结论．【解答】解：（1）由题意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣＞2，即2﹣=＞0，解得m或m＜0．∴实数m的取值范围时（﹣∞，0）∪．（2）假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+，由题意可得：n+＜n2+n对n∈N*都成立，即d都成立．∵=2+＞2，且=2，∴d≤2，与d＞2矛盾，因此不存在等差数列{a n}为“H型数列”．（3）设等比数列{a n}的公比为q，则a n=，且每一项均为正整数，且a n+1﹣a n=a n（q﹣1）＞2＞0，∴a1＞0，q＞1．∵a n+1﹣a n=a n（q﹣1）＞a n﹣a n﹣1，即在数列{a n﹣a n﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．同理在数列{b n﹣b n﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”为最小项．由{a n}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，即a1（q﹣1）＞2，又因为{b n}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，∴b2﹣b1．实用标准文档文案大全≤2，即a1（q﹣1）≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a1（q﹣1）=3，∴a1=1，q=4或a1=3，q=2，①当a1=1，q=4时，，则，令，则，令，则=，∴{d n}为递增数列，即d n＞d n﹣1＞d n﹣2＞…＞d1，即c n+1﹣c n＞c n﹣c n﹣1＞c n﹣1﹣c n﹣2＞…＞c2﹣c1，∵，所以，对任意的n∈N*都有c n+1﹣c n＞2，即数列{c n}为“H型数列”．②当a1=3，q=2时，，则，显然，{c n}为递减数列，c2﹣c1＜0≤2，故数列{c n}不是“H型数列”；综上：当时，数列{c n}为“H型数列”，当时，数列{c n}不是“H型数列”．。
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2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。