实数基本概念的讲义

实数的基本概念

一．平方根

平方根:如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．

也就是说，若2x a=，则x就叫做a的平方根．

一个非负数a的平方根可用符号表示为“”．

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

例题：

1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____

2.下列说法正确的是（）

A.正数的平方根是它本身

B.100的平方根是10

C.﹣10是100的一个平方根

D.﹣1的平方根是﹣1

练习：

1.已知|b﹣4|+（a﹣1）2=0，则的平方根是（）

A．B．C．D．

2．一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x= ．

3．若一正数的两个平方根分别是a﹣3和3a﹣1，则这个正数是___．

二：算术平方根

算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，可用符号表示

0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．

例题：

1.的算术平方根为____

练习：

1．（5+m）2的平方根是，算术平方根是．

2．自由落体的公式为s=gt2（g为重力加速度，g=9.8m/s2）．若物体下落的高度s为78.4m，则下落的时间t是s．

3．的算术平方根是．

三：立方根

立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也就是说，若3,

x a

则x就叫做a的立方根.

一个数a

3”叫做根指数，不能省略．

2

任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，

正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．

例题：

1.计算的结果是（）

2如果m2=36，n3=﹣64，=5，则m+n﹣x的值有____个．

练习

1．已知2a﹣7的平方根是±3，2a+b﹣1的算术平方根是4，求a+b的立方根．

2．已知x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x 2+y 2的平方根．

3.已知2x ﹣y 的平方根为±4，﹣2是y 的立方根，求﹣2xy 的平方根．

四：实数

1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．

注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．

（2）圆周率π及一些含π的数是无理数．

（3）不循环的无限小数是无理数．

（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．

2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；

3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．

实数的分类：

0⎧⎧

⎫

⎧⎪⎪⎪

⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪

⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭

⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭

⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数

正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数

负无理数

4 实数与数轴上的点一一对应：

即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．

例题：

1.下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有_____个

2.把下列各数填入相应的集合：

﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、、0、0.131331333、﹣

（1）有理数集合{ }；

（2）无理数集合{ }

（3）整数集合{ }

（4）负实数集合{ }

3.计算：

﹣12+（﹣2）3×﹣×（）

练习：

1．计算：﹣|﹣2|+（）﹣1= ．

2．计算= ．

3．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．

例如计算：（2+i）+（3﹣5i）=（2+3）+（1﹣5）i=5﹣4i；

（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；

根据以上信息，下列各式：

①i3=﹣1；②i4=1；③（1+i）×（3﹣4i）=﹣1﹣i；④i+i2+i3+i4+……+i2019=﹣1．

其中正确的是（填上所有正确答案的序号）．

4．计算：|8|﹣+（﹣3）0+2﹣1=

综合练习：

1.的平方根是．

2.（﹣4）2的算术平方根是．

3.计算：= ．

4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2018的值为．

5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是．

6.在，2π，﹣2，0，0.454454445…，﹣，中，无理数的有个．

7.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为．

8.比大且比小的整数是．

9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14，，﹣，﹣，0，，π，1010010001…

①有理数集合{ …}

②无理数集合{ …}

③负实数集合{ …}．

10.计算：﹣2+|﹣2|．

11.计算：

﹣﹣（﹣2）2．

12.一个数值转换器，如图所示：

（1）当输入的x为16时．输出的y值是；

（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值：．