七年级数学上册数学压轴题(Word版 含解析)

七年级数学上册数学压轴题（Word 版 含解析）
一、压轴题
1．请观察下列算式，找出规律并填空． 111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，1114545
=-⨯． 则第10个算式是________，第n 个算式是________．
根据以上规律解读以下两题：
（1）求111112233420192020
++++⨯⨯⨯⨯的值； （2）若有理数a ，b 满足|2||4|0a b -+-=，试求：
1111(2)(2)(4)(4)(2016)(2016)
ab a b a b a b ++++++++++的值． 2．如图：在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，点C 表示数c ，a 是多项式
2241x x --+的一次项系数，b 是最小的正整数，单项式2412
x y -的次数为.c ()1a =________，b =________，c =________；
()2若将数轴在点B 处折叠，则点A 与点C ________重合（填“能”或“不能”）； ()3点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点C 以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点A 和点B 分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动，t 秒钟过后，若点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，则AB =________，BC =________（用含t 的代数式表示）；
()4请问：3AB BC -的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.
3．点A 、B 在数轴上分别表示数,a b ，A 、B 两点之间的距离记为AB ．我们可以得到AB a b =-：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示-2和-5两点之间的距离是 ；数轴上表示1和a 的两点之间的距离是 ．
（2）若点A 、B 在数轴上分别表示数-1和5，有一只电子蚂蚁在数轴上从左向右运动，设电子蚂蚁在数轴上的点C 对应的数为c ．
①求电子蚂蚁在点A 的左侧运动时AC BC +的值，请用含c 的代数式表示； ②求电子蚂蚁在运动的过程中恰好使得1
511c c ，c 表示的数是多少？ ③在电子蚂蚁在运动的过程中，探索15c c 的最小值是 ．
4．如图，数轴上点A 、B 表示的点分别为-6和3
（1）若数轴上有一点P ，它到A 和点B 的距离相等，则点P 对应的数字是________（直接写出答案）
（2）在上问的情况下，动点Q 从点P 出发，以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左移动，是否存在某一个时刻，Q 点与B 点的距离等于 Q 点与A 点的距离的2倍？若存在，求出点Q 运动的时间，若不存在，说明理由．
5．如图9，点O 是数轴的原点，点A 表示的数是a 、点B 表示的数是b ，且数a 、b 满足()26120a b -++=．
（1）求线段AB 的长；
（2）点A 以每秒1个单位的速度在数轴上匀速运动，点B 以每秒2个单位的速度在数轴上匀速运动．设点A 、B 同时出发，运动时间为t 秒，若点A 、B 能够重合，求出这时的运动时间；
（3）在（2）的条件下，当点A 和点B 都向同一个方向运动时 ，直接写出经过多少秒后，点A 、B 两点间的距离为20个单位．
6．如图①，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，将一直角三角板如图摆放（90MON ∠=）．
（1）若35BOC ∠=，求MOC ∠的大小．
（2）将图①中的三角板绕点O 旋转一定的角度得图②，使边OM 恰好平分BOC ∠，问：ON 是否平分AOC ∠？请说明理由．
（3）将图①中的三角板绕点O 旋转一定的角度得图③，使边ON 在BOC ∠的内部，如果50BOC ∠=，则BOM ∠与NOC ∠之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
7．如图，数轴上点A ，B 表示的有理数分别为6-，3，点P 是射线AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点．
（1）若点P 表示的有理数是0，那么MN 的长为________；若点P 表示的有理数是6，那
么MN 的长为________；
（2）点P 在射线AB 上运动（不与点A ，B 重合）的过程中，MN 的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN 的长的过程；若改变，请说明理由．
8．定义：若90αβ-=，且90180α<<，则我们称β是α的差余角．例如：若110α=，则α的差余角20β=．
（1）如图1，点O 在直线AB 上，射线OE 是BOC ∠的角平分线，若COE ∠是AOC ∠的差余角，求∠BOE 的度数．
（2）如图2，点O 在直线AB 上，若BOC ∠是AOE ∠的差余角，那么BOC ∠与∠BOE 有什么数量关系．
（3）如图3，点O 在直线AB 上，若COE ∠是AOC ∠的差余角，且OE 与OC 在直线AB 的同侧，请你探究AOC BOC COE
∠-∠∠是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
9．小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题.
（1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2=3条；一条直线上有4个点，线段共有1+2+3=6条…一条直线上有10个点，线段共有 条. （2）总结规律：一条直线上有n 个点，线段共有 条.
（3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA 、OB 形成1个角∠AOB （∠AOB ＜180°）；在∠AOB 内部再加一条射线OC ，此时具有公共端点的三条射线OA 、OB 、OC 共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n 条射线OA 、OB 、OC…共形成 个角
（4）解决问题：曲沃县某学校九年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？
10．已知120AOB ∠︒＝ (本题中的角均大于0︒且小于180︒)
(1)如图1，在AOB ∠内部作COD ∠，若160AOD BOC ∠∠︒＋＝，求COD 的度数；
(2)如图2，在AOB ∠内部作COD ∠，OE 在AOD ∠内，OF 在BOC ∠内，且
3DOE AOE ∠∠＝，3COF BOF ∠=∠，72EOF COD ∠=∠，求EOF ∠的度数；
(3)射线OI 从OA 的位置出发绕点O 顺时针以每秒6︒的速度旋转，时间为t 秒(050t <<且30t ≠)．射线OM 平分AOI ∠，射线ON 平分BOI ∠，射线OP 平分MON ∠．若3MOI POI ∠=∠，则t = 秒．
11．如图1,射线OC 在∠AOB 的内部,图中共有3个角:∠AOB 、∠AOC 和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍,则称射线OC 是∠AOB 的“奇分线”，如图2,∠MPN=42°:
(1)过点P 作射线PQ,若射线PQ 是∠MPN 的“奇分线”,求∠MPQ ；
(2)若射线PE 绕点P 从PN 位置开始,以每秒8°的速度顺时针旋转,当∠EPN 首次等于180°时停止旋转,设旋转的时间为t (秒).当t 为何值时,射线PN 是∠EPM 的“奇分线”?
12．已知∠AOB 和∠AOC 是同一个平面内的两个角,OD 是∠BOC 的平分线.
(1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,如图(1),图(2),求∠AOD 的度数；
(2)若∠AOB=m 度,∠AOC=n 度,其中090090180m n m n ＜＜，＜＜，＜+且m n ＜，求∠AOD 的度数(结果用含m n 、的代数式表示)，请画出图形，直接写出答案．
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一、压轴题
1．111=10111011-⨯，()111=11n n n n -++；（1）20192020；（2）10094040
【解析】
【分析】
归纳总结得到一般性规律，写出第10个等式及第n 个等式即可；
（1）原式变形后，计算即可得到结果；
（2）利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：第10个算式是
111=10111011-⨯， 第n 个算式是
()111=11n n n n -++； （1）
1111...12233420192020++++⨯⨯⨯⨯ =111111...22320192020-
+-++- =112020
- =20192020
； （2）∵|2||4|0a b -+-=，
∴a-2=0，b-4=0，
∴a=2，b=4， ∴1111(2)(2)(4)(4)(2016)(2016)
ab a b a b a b ++++++++++
=
111124466820182020++++⨯⨯⨯⨯ =1111111...2244620182020⎛⎫-+-++- ⎪⎝⎭
=111222020⎛⎫- ⎪⎝⎭
=10094040
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（1）4-，1，6；（2）能；（3）5t +，53t +；（4）3AB BC -的值不会随时间t 的变化而变化，值为10
【解析】
【分析】
（1）由一次项系数、最小的正整数、单项式次数的定义回答即可，
（2）计算线段长度，若AB BC =则重叠，
（3）线段长度就用两点表示的数相减，用较大的数减较小的数即可，
（4）根据（3）的结果计算即可．
【详解】
（1）观察数轴可知，
4a =-，1b =，6c =.
故答案为：4-；1；6.
（2）()145AB =--=，615BC =-=，AB BC =，
则若将数轴在点B 处折叠，点A 与点C 能重合.
故答案为：能.
（3）经过t 秒后43a t =--，12b t =-，6c t =+，则5AB a b t =-=+， 53BC b c t =-=+.
故答案为：5t +；53t +.
（4）5AB t =+，
∴3153AB t =+.
又53BC t =+，
∴()()315353AB BC t t -=+-+
15353t t =+--
10=.
故3AB BC -的值不会随时间t 的变化而变化，值为10.
【点睛】
本题考查列代数式求值，有理数的概念及分类，多项式的项与次数，单项式的系数与次
数，在数轴上表示实数，解题的关键是用字母表示线段长度．
3．（1）3，3，1a -；（2）①42c -；②72-或152；③6 【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离公式解答即可；
（2）①根据两点间的距离公式可得AC 与BC 的值，然后根据绝对值的性质化简绝对值，进一步即可求出结果；
②分电子蚂蚁在点A 左侧、在点A 、B 之间和在点B 右侧三种情况，先根据两点间的距离和绝对值的性质化简绝对值，再解方程即可求出答案； ③代数式15c c 表示数轴上有理数c 所对应的点到﹣1和5所对应的两点距离之和，
于是可确定当15c -≤≤时，代数式15c c 取得最小值，据此解答即可． 【详解】
解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是523-=；
数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是()()253---=； 数轴上表示1和a 的两点之间的距离是1a -； 故答案为：3，3，1a -；
（2）①∵电子蚂蚁在点A 的左侧，
∴11AC c c =--=--，55BC c c =-=-，
∴1542AC BC c c c +=--+-=-；
②若电子蚂蚁在点A 左侧，即1c <-，则10c +<，50c -<，
∵1511c c ，
∴()()1511c c -+--=，解得：72c =-
； 若电子蚂蚁在点A 、B 之间，即15c -≤≤，则10c +>，50c -<， ∵1511c c ，
∴15611c c ++-=≠，故此种情况不存在；
若电子蚂蚁在点B 右侧，即5c >，则10c +>，50c ->， ∵1511c c ，
∴()()1511c c ++-=，解得：152c =
； 综上，c 表示的数是72-或152； ③∵代数式15c c 表示数轴上有理数c 所对应的点到﹣1和5所对应的两点距离之
和，
∴当15c -≤≤时，代数式15c c 的最小值是()516--=， 即代数式15c c 的最小值是6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的化简和应用以及简单的一元一次方程的解法等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
4．（1）-1.5；（2）存在这样的时刻，点Q 运动的时间为0.5秒或4.5秒．
【解析】
【分析】
（1）根据同一数轴上两点的距离公式可得结论；
（2）分两种情况：当点Q 在A 的左侧或在A 的右侧时，根据Q 点与B 点的距离等于Q 点与A 点的距离的2倍可得结论；
【详解】
解：（1）数轴上点A 表示的数为-6；点B 表示的数为3；
∴AB=9；
∵P 到A 和点B 的距离相等，
∴点P 对应的数字为-1.5.
（2）由题意得：设Q 点运动得时间为t ，则QB=4.5+3t ，QA=4.53t -
分两种情况：
①点Q 在A 的左边时，4.5+3t=2()4.53t -，
t=0.5，
②点Q 在A 的右边时，4.5+3t=2()3 4.5t -，
t=4.5，
综上，存在这样的时刻，点Q 运动的时间为0.5秒或4.5秒．
【点睛】
本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分情况进行讨论．
5．（1）18；（2）6或18秒；（3）2或38秒
【解析】
【分析】
（1）根据偶次方以及绝对值的非负性求出a 、b 的值，可得点A 表示的数，点B 表示的数，再根据两点间的距离公式可求线段AB 的长；
（2）分两种情况：①相向而行；②同时向右而行．根据行程问题的相等关系分别列出方程即可求解；
（3）分两种情况：①两点均向左；②两点均向右；根据点A 、B 两点间的距离为20个单位分别列出方程即可求解．
【详解】
解：（1）∵|a﹣6|+（b+12）2＝0，
∴a﹣6＝0，b+12＝0，
∴a＝6，b＝﹣12，
∴AB＝6﹣（﹣12）＝18；
（2）设点A、B同时出发，运动时间为t秒，点A、B能够重合时，可分两种情况：
①若相向而行，则2t+t＝18，解得t＝6；
②若同时向右而行，则2t﹣t＝18，解得t＝18．
综上所述，经过6或18秒后，点A、B重合；
（3）在（2）的条件下，即点A以每秒1个单位的速度在数轴上匀速运动，点B以每秒2个单位的速度在数轴上匀速运动，设点A、B同时出发，运动时间为t秒，点A、B两点间的距离为20个单位，可分四种情况：
①若两点均向左，则（6-t）-（-12-2t）=20，解得：t=2；
②若两点均向右，则（-12+2t）-（6+t）=20，解得：t=38；
综上，经过2或38秒时，A、B相距20个单位．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离公式、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离公式结合点之间的关系列出一元一次方程是解题的关键．注意分类讨论思想的应用．
6．（1）125°；（2）ON平分∠AOC，理由详见解析；（3）∠BOM=∠NOC+40°，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据∠MOC=∠MON+∠BOC计算即可；
（2）由角平分线定义得到角相等的等量关系，再根据等角的余角相等即可得出结论；（3）根据题干已知条件将一个角的度数转换为两个角的度数之和，列出等式即可得出结论．
【详解】
解： (1) ∵∠MON=90°，∠BOC=35°，
∴∠MOC=∠MON+∠BOC= 90°+35°=125°．
(2)ON平分∠AOC．
理由如下：
∵∠MON=90°，
∴∠BOM+∠AON=90°，∠MOC+∠NOC=90°．
又∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=∠MOC．
∴∠AON=∠NOC．
∴ON平分∠AOC．
(3)∠BOM=∠NOC+40°．
理由如下：
∵∠CON+∠NOB=50°，∴∠NOB=50°-∠NOC．
∵∠BOM+∠NOB=90°，
∴∠BOM=90°-∠NOB=90°-(50°-∠NOC)=∠NOC+40°．
【点睛】
本题主要考查了角的运算、余角以及角平分线的定义，解题的关键是灵活运用题中等量关系进行角度的运算．
7．（1）6；6；（2）不发生改变，MN为定值6，过程见解析
【解析】
【分析】
（1）由点P表示的有理数可得出AP、BP的长度，根据三等分点的定义可得出MP、NP的长度，再由MN=MP+NP（或MN=MP-NP），即可求出MN的长度；
（2）分-6＜a＜3及a＞3两种情况考虑，由点P表示的有理数可得出AP、BP的长度（用含字母a的代数式表示），根据三等分点的定义可得出MP、NP的长度（用含字母a的代数式表示），再由MN=MP+NP（或MN=MP-NP），即可求出MN=6为固定值．
【详解】
解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6，BP=3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP=2
3
AP=4，NP=
2
3
BP=2，
∴MN=MP+NP=6；
若点P表示的有理数是6（如图2），则AP=12，BP=3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP=2
3
AP=8，NP=
2
3
BP=2，
∴MN=MP-NP=6．
故答案为：6；6．
（2）MN的长不会发生改变，理由如下：
设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）．
当-6＜a＜3时（如图1），AP=a+6，BP=3-a．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP=2
3
AP=
2
3
（a+6），NP=
2
3
BP=
2
3
（3-a），
∴MN=MP+NP=6；
当a＞3时（如图2），AP=a+6，BP=a-3．
∵M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点．
∴MP=
23AP=23（a+6），NP=23BP=23
（a-3）， ∴MN=MP-NP=6． 综上所述：点P 在射线AB 上运动（不与点A ，B 重合）的过程中，MN 的长为定值6．
【点睛】
本题考查了两点间的距离，解题的关键是：（1）根据三点分点的定义找出MP 、NP 的长度；（2）分-6＜a ＜3及a ＞3两种情况找出MP 、NP 的长度（用含字母a 的代数式表示）．
8．（1）30°；（2）BOC ∠+∠BOE =90°；（3）为定值2，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据差余角的定义，结合角平分线的性质可得∠BOE 的度数；
（2）根据差余角的定义得到BOC ∠和AOE ∠的关系，
（3）分当OE 在OC 左侧时，当OE 在OC 右侧时，根据差余角的定义得到COE ∠和AOC ∠的关系，再结合余角和补角的概念求出
AOC BOC COE
∠-∠∠的值. 【详解】 解：（1）如图，∵COE ∠是AOC ∠的差余角
∴AOC ∠-COE ∠=90°，
即AOC ∠=COE ∠+90°，
又∵OE 是BOC ∠的角平分线，
∴∠BOE =COE ∠，
则COE ∠+90°+COE ∠+COE ∠=180°，
解得COE ∠=30°；
（2）∵BOC ∠是AOE ∠的差余角，
∴AOE ∠-BOC ∠=90°，
∵AOE ∠=AOC ∠+COE ∠，BOC ∠=∠BOE +COE ∠，
∴AOC ∠-∠BOE =90°，
∵AOC ∠=180°
-BOC ∠， ∴180°-BOC ∠-∠BOE =90°，
∴BOC ∠+∠BOE =90°；
（3）当OE 在OC 左侧时，
∵COE ∠是AOC ∠的差余角，
∴AOC ∠-COE ∠=90°，
∴∠AOE =∠BOE=90°， 则AOC BOC COE
∠-∠∠
=90COE BOC COE ∠+︒-∠∠ =COE COE COE
∠+∠∠ =2；
当OE 在OC 右侧时，
过点O 作OF ⊥AB ，
∵COE ∠是AOC ∠的差余角，
∴AOC ∠=90°
+COE ∠， 又∵AOC ∠=90°
+COF ∠， ∴COE ∠=COF ∠，
∴
AOC BOC COE ∠-∠∠ =90COE BOC COE
∠+︒-∠∠ =9090COE COF COE
∠+︒-︒+∠∠ =COE COF COE
∠+∠∠ =COE COE COE
∠+∠∠ =2.
综上：
AOC BOC COE
∠-∠∠为定值2. 【点睛】
本题属于新概念题，考查了余角、补角的知识，仔细观察图形理解两个角的差余角关系、互补关系是解题的关键．
9．（1）45；（2）
(1)2n n -；（3）(1)2n n -；（4）共需拍照991张，共需冲印2025张纸质照片
【解析】
【分析】
（1）根据规律可知：一条直线上有10个点，线段数为整数1到10的和；
（2）根据规律可知：一条直线上有n 个点，线段数为整数1到n 的和；
（3）将角的两边看着线段的两个端点，那么角的个数与直线上线段的问题一样，根据线段数的规律探究迁移可得答案；
（4）把45名学生看着一条直线上的45点，每2名学生拍1张两人照看着两点成的线段，那么根据（2）的规律即可求出两人合影拍照多少张，再加上集体照即可解答共拍照片张数，然后根据两人合影冲印，集体合影45张计算总张数即可.
【详解】
解：（1） 一条直线上有10个点，线段共有1+2+3+……+10=45（条）.
故答案为：45；
（2） 一条直线上有n 个点，线段共有122)3(1n n n ⋯⋯+=
-+++条. 故答案为：(1)2
n n -； （3）由（2）得：具有公共端点的n 条射线OA 、OB 、OC …共形成
(1)2n n -个角； 故答案为：
(1)2n n -； （4）解：4545-119912
+=（） 45×（45-1）+1×45=2025 答：共需拍照991张，共需冲印2025张纸质照片
【点睛】
此题主要考查了线段的计数问题，体现了“具体---抽象----具体”的思维探索过程，探索规律、运用规律.解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．
10．（1）40º；（2）84º；（3）7.5或15或45
【解析】
【分析】
（1）利用角的和差进行计算便可；
（2）设AOE x ∠=︒，则3EOD x ∠=︒，BOF y ∠=︒，通过角的和差列出方程解答便可；
（3）分情况讨论，确定∠MON 在不同情况下的定值，再根据角的和差确定t 的不同方程进行解答便可．
【详解】
解：（1））∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD
又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120°
∴COD AOD BOC AOB ∠=∠+∠-∠
160120=︒-︒
40=︒
（2）3DOE AOE ∠=∠，3COF BOF ∠=∠
∴设AOE x ∠=︒，则3EOD x ∠=︒，BOF y ∠=︒
则3COF y ∠=︒，
44120COD AQD BOC AOB x y ∴∠=∠+∠-∠=︒+︒-︒
EOF EOD FOC COD ∠=∠+∠-∠
()()3344120120x y x y x y =︒+︒-︒+︒-︒=︒-︒+︒ 72EOF COD ∠=∠ 7120()(44120)2
x y x y ∴-+=+- 36x y ∴+=
120()84EOF x y ∴︒+︒︒∠=-=
（3）当OI 在直线OA 的上方时，
有∠MON=∠MOI+∠NOI=12（∠AOI+∠BOI ））=12∠AOB=12
×120°=60°， ∠PON=
12
×60°=30°， ∵∠MOI=3∠POI ， ∴3t=3（30-3t ）或3t=3（3t-30），
解得t=152
或15； 当OI 在直线AO 的下方时，
∠MON═1
2
（360°-∠AOB）═
1
2
×240°=120°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴180°-3t=3（60°-6120
2
t-
）或180°-3t=3（
6120
2
t-
-60°），
解得t=30或45，
综上所述，满足条件的t的值为15
2
s或15s或30s或45s．
【点睛】
此是角的和差的综合题，考查了角平分线的性质，角的和差计算，一元一次方程（组）的应用，旋转的性质，有一定的难度，体现了用方程思想解决几何问题，分情况讨论是本题的难点，要充分考虑全面，不要漏掉解．
11．（1）10.5°或14°或28°或31.5°；（2）7
4
或
21
8
或
21
2
或
63
4
【解析】
【分析】
（1）分4种情况，根据奇分线定义即可求解；
（2）分4种情况，根据奇分线定义得到方程求解即可．【详解】
解：（1）如图1，∵∠MPN=42°，
∵当PQ是∠MPN的3等分线时，
∴∠MPQ=1
3
∠MPN=
1
3
×42°=14°
或∠MPQ=23∠MPN=23
×42°=28° ∵当PQ 是∠MPN 的4等分线时，
∴∠MPQ=
14∠MPN==14×42°=10.5° 或∠MPQ=34∠MPN=34
×42°=31.5°； ∠MPQ=10.5°或14°或28°或31.5°；
（2）依题意有①当3×8t=42时，解得t=
74； ②当2×8t=42时，解得t=
218； ③当8t=2×42时，解得t=212
． ④当8t=3×42时，解得：t=
634， 故当t 为74或218或212或634
时，射线PN 是∠EPM 的“奇分线”． 【点睛】
本题考查了旋转的性质，新定义奇分线，以及学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇分线”的定义是解题的关键．
12．（1）图1中∠AOD=60°；图2中∠AOD=10°；
（2）图1中∠AOD=
n m 2+；图2中∠AOD=n m 2-. 【解析】
【分析】
（1）图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=20°，则∠BOD=10°，根据∠AOD=∠AOB+∠BOD 即得解；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°，则∠BOD=60°，根据∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB 即可得解；
（2）图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m ，则∠BOD=
n m 2﹣，故∠AOD=∠AOB+∠BOD=n m 2+；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n ，则∠BOD=n m 2
+，故∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=
n m 2-. 【详解】
解：（1）图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=70°﹣50°=20°，
∵OD 是∠BOC 的平分线，
∴∠BOD=12
∠BOC=10°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+10°=60°；
图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°，
∵OD 是∠BOC 的平分线，
∴∠BOD=12∠BOC=60°， ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=60°﹣50°=10°；
（2）根据题意可知∠AOB=m 度，∠AOC=n 度，其中090090180m n m n ＜＜，＜＜，＜+且m n ＜，
如图1中，
∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m ，
∵OD 是∠BOC 的平分线，
∴∠BOD=
12∠BOC=n m 2
﹣， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=n m 2+； 如图2中，
∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n ，
∵OD 是∠BOC 的平分线，
∴∠BOD=
12∠BOC=n m 2
+， ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=n m 2
-. 【点睛】 本题主要考查角平分线，解此题的关键在于根据题意进行分类讨论，所有情况都要考虑，切勿遗漏.。