空间图形的公理(公理1、2、3)_

课堂探究2
空间图形的公理 思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是 否在平面α内？
思考2:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否在
平面α 内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘 就落在了桌面上．
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
线共点问题
如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分
别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的 点，且 求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．
证明三线交于一点的常见方法：一是 证其中两线的交点在第三条直线上，二是 证直线a与b的交点和b与c的交点重合．
练习：已知Δ ABC在平面α 外，AB、AC、BC的 延长线分别与平面α 并于点P、Q、R三点， A
A, B , C 不共线 A, B , C 确定一平面
讨
论：
你是怎么样来理解公理2中的 “有且只有一个” 这句话的 ？ 答：“有且只有一个”的 含义： 是存在性和唯一性。 注意： 条件中提到三点不共线的含义。
三条推论:
1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. 2.经过两条相交直线,有且只有一个平面. 3.经过两条平行直线,有且只有一个平面.
解 文字语言叙述为： 点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，AB、AC 分 别在 α、β 内． 图形语言表示为如图所示．
理论迁移
知识点二 直线与直线位置关系的判定
例： 如图所示的正方体 ABCD－A1B1C1D1，判断 下列直线的位置关系．
平行 ； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_______ 相交 ； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_________
求证：P、Q、R三点共线.
AB P, 证明：
B C
P AB，P 平面 ,
α
p
Q
R
点P在平面ABC与平面的交线上.
同理可证： Q ，R也在平面ABC与平面 的交线上.
P，Q，R三点共线.
要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相 交平面内，则落在它们的交线上.
(4)空间直线与平面的位置关系有三种：
无数个 公共点. ①直线在平面内：直线和平面有________
只有一个 公共点. ②直线和平面相交：直线和平面___________
没有 公共点. ③直线和平面平行：直线和平面_______
变式训练
将下面用符号语言表示的关系改用文
字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
思考5:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面
与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？

B

B
思考6：观察长方体，你发现长方体的两个相交平面有公
共直线吗？ 这条公共直线B′C′叫作这两个平面
D
A
C A′B′C′D′和平面BB′C′C的交线．
B
另一方面，相邻两个平面有一个公共
点，如平面A′B′C′D′和平面BB′C′C有一个公
思考3：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样确定一个
平面呢？ 生活中经常看到用三角架支撑照相机．
测量员用三角架支撑测量仪器平板仪．
公理2
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一
个平面（即可以确定一个平面）．
B

A
C
经过不在同一条直线上的三个点A、B、C的平面α，
又可记作“平面ABC”．
作用：确定平面的主要依据．
实例引入空间图 形的基本关系
点、直线、平面 的位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
不能自助的人也难以受到别人的帮助。
Fra Baidu bibliotek
条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）．
在生产、生活中， l 人们经过长期观察与实 A 践，总结出关于平面的 B 一些基本性质，我们把 它作为公理．这些公理 是进一步推理的基础． A l ,B l ,A ,B l
作用：
判定直线是否在平面内．
(3)空间两条直线的位置关系有三种： 同一个平面 内，而且没有_______ 公共点 的两条直线. ①平行直线：在___________ 只有一个公共点 的两条直线. ②相交直线：________________ 不同在任何一个平面内 的两条直线. ③异面直线：______________________
D A B
C 共点B′，经过点B有且只有一条过该点的
公共直线B′C′.
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么
它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
P l, 且P l


P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
【例1】如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1 棱BB1的中点. (1)指出由A1，C1，M三点所确定的平面 与正方体表面的交线； (2)试作出平面A1C1M与 平面ABCD的交 线．